De Nationale Wetenschapsquiz 2004, vragen 16 en X

[dusty]

Aangezien niemand mijn vraag beantwoord:
"wat is de kans dat je een witte bal trekt als de eerste bal rood is."

Antwoord is uiteraard 100%. Waarom?

(a) In de zak zit al Wit1, je doet er Wit2 of Rood1 bij.

(b)
dus de mogelijke trekkingen zijn:
Wit1, Wit2
Wit2, Wit1
Wit1, Rood1
Rood1, Wit1

(c) Omdat rood is getrokken (gegeven) kan alleen Wit1 volgen, Dit vanwege uitsluiting, daarmee vervallen alle mogelijkheden die niet beginnen met rood.

(d) Om nu de witte methode aan te tonen kan je dezelfde regel gebruiken.

(e) Wit wordt als eerste getrokken, dit kan dus zowel Wit1 als Wit2 zijn, dit betekent dat er 3 mogelijkheden zijn.

(f) Bij deze drie mogelijkheden zijn er twee mogelijkheden waarbij de tweede bal wit is, en bij een van deze mogelijkheden is de tweede bal rood.

(g) Antwoord is dus 2/3.

Als iemand nog steeds wilt zeggen dat het antwoord 1/2 is, Geef mij eens de letter van de regel die volgens jou fout is.

[Clay]

* Clay sluit zich aan bij het 2/3 kamp.

De bal die je toevoegt is wit of rood, dus heb je in de zak 2 witte, of 1 witte en 1 rode. Als de eerste die je pakt wit is, moet dat er 1 van 3 mogelijkheden zijn; 1 van de 2 witte, of die ene bij de rode. Maar van die 3 witte ballen zijn er maar 2 waarbij de 2e bal ook wit is, namelijk die witte bij elkaar, 2 van de 3 dus; 2/3

De rode als 2e pakken heeft dan idd ook 1/3 kans. Je moet namelijk die ene witte pakken die bij de rode erin zat, en dat is 1 van de 3 mogelijke witte ballen.

De kans dat je op zich 2 witte ballen pakt is wel 50%, maar dat geldt alleen als je door mag gaan als je als eerste een rode pakt en dat mag niet.

[Sendy]

Oscar Mopperkont schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 17:15:
Ik neem mijn woorden terug bij de opmerking "Wedden dat het 2/3 is als je het 100 keer doet" De kans dat je dan op een getal uitkomt dat dichter bij 75 ligt dan bij 66,67 is namelijk nog behoorlijk groot. Pas vanaf 1000 zit je behoorlijk zeker met 2/3.

Ik heb dit toch maar eens nagerekend. Er blijkt een handige webpagina hiervoor te zijn: http://faculty.vassar.edu/lowry/binomialX.html

Definities:
We doen 100 keer een onafhankelijke Bionomiale trekking, met kans 2/3 op 1, en 1/3 op 0. Nu defineren we 'dichter bij' als volgt:
Dichterbij 1/2 betekent dat de som van de 100 trekkingen in [0,58] zit.
Dichterbij 2/3 betekent dat de som van de 100 trekkingen in [59,70] zit.
Dichterbij 3/4 betekent dat de som van de 100 trekkingen in [71,100] zit.

De handige webpagina geeft dan als resultaten:
P(dichterbij 1/2) = 0.043
P(dichterbij 2/3) = 0.791
P(dichterbij 3/4) = 0.209

Dus je eerste stelling is correct: de kans is nog behoorlijk groot dat je een verkeerde uitslag krijgt.

Nu de tweede stelling (bij 1000 zit je behoorlijk zeker):
Dichterbij 1/2 betekent nu dan de som in [0,583] zit
Dichterbij 2/3 betekent dat de som in [584,708] zit
Dichterbij 3/4 betekent dat de som in [709,1000] zit.

De kansen hierop zijn (bij benadering):
P(dichterbij 1/2) = 0
P(dichterbij 2/3) = 0.998
P(dichterbij 3/4) = 0.002

En je blijkt weer gelijk te hebben: bij een significantie niveau van .025 (2.5%), zit je behoorlijk zeker.

Sorry dat ik aan je twijfelde

[Dit betekent overigens dat bij een significantie niveau van .0025, als je bij 1000 steekproeven een uitslag tussen de 584 en 708 krijgt dat de twee hypotheses H1/2 en H3/4 kunnen worden verworpen.]

[ Voor 9% gewijzigd door Sendy op 30-11-2004 19:38 ]

[Dido]

Confusion schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 19:03:
of trek je niet altijd de witte bal uit de zak?.

Je trekt niet de witte bal, maar een bal.
Het maakt een wereld van verschil of je de oorspronkelijke bal trekt of de toegevoegde bal. (Zo komen mensen ook op 3/4: als je de oorspronkelijke bal trekt heb je 50% kans op wit2, als je de toegevoegde bal trekt heb je 100% kans op wit2, dus gemiddeld 75%. Daar zit echter een ander foutje in )

Je trekt een bal, en je ziet dan dat ie wit is. Dat kan maar drie dingen betekenen:
• Er is een witte bal toegevoegd, en die is er weer uit. (W2)
• Er is een witte bal toegevoegd, en die zit er nog in. (W2)
• Er is een rode bal toegevoegd, en die zit er nog in. (R2)

Elk van die drie mogelijkheden is een aparte situatie, en elk van die mogelijkheden heeft evenveel kans.

Volgens jouw redenatie zijn situatie 1 en twee gelijk.
Als situatie 1 en twee gelijk zijn, zijn ze dan ook gelijk op het moment dat ik de eerste bal trek, maar voordat ik kijk welke kleur die heeft? Met andere woorden, als de eerste bal ook rood kan zijn?
• Er is een witte bal toegevoegd, en die is er weer uit. (W2)
• Er is een witte bal toegevoegd, en die zit er nog in. (W2)
• Er is een rode bal toegevoegd, en die is er weer uit. (W2)
• Er is een rode bal toegevoegd, en die zit er nog in. (R2)

Als nu situatie 1 en 2 nog steeds gelijk zijn, dan zijn situatie 3 en vier dat logischerwijs ook.
Echter zijn situatie 3 en 4 niet gelijk: mijn tweede bal heeft een andere kleur!

De kans op situatie (1 of 2) is uiteraard even groot als de kans op situatie (3 of 4)

Op het moment dat ik zie dat mijn getrokken bal wit is, is situatie drie echter niet meer mogelijk! Toch stel je dat situatie (1 of 2) nog steeds net zo'n grote kans heeft als situatie
(3 of 4). En dat terwijl net de helft van situatie (3 of 4) onmogelijk is geworden!
De enige manier waarop dat kan is als je stelt dat de kans op situatie 3 zojuist verdubbeld is door te kijken naar de kleur van mijn eerste bal. Daarmee verhoog je opeens de kans dat er oorspronkelijk een rode bal is toegevoegd, en dhet lijkt me stug dat je dat met droge ogen beweert.

[Oscar Mopperkont]

Sendy schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 19:20:
Sorry dat ik aan je twijfelde

Thnx voor het uitrekenen!

[Voutloos]

Confusion schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 19:03:
[...]

Je hebt me niet weten te overtuigen, dus beschuldig je me maar van koppigheid; het is immers overduidelijk dat jij gelijk hebt? Pogingen mijn ongelijk aan te tonen door me van immoreel gedrag te beschuldigen zijn onacceptabel.

Nou, ik zei ook dat ik zelf koppig was. We zijn blijkbaar allebei erg zeker van onze zaak. Het was niet als aanval bedoeld, hoogstens als constatering dat we allebei nog niet van plan zijn van kant te wisselen.

Verder is het ook geen geldig argument om te laten zien hoezeer je wel niet achter je redenatie staat, door een of andere tegenprestatie aan je ongelijk te verbinden.

Dat staat je vrij en het was idd misschien iets te uitdagend van me.

Ik blijf gewoon mijn stelling herformuleren tot iemand kan laten zien welke aanname of welke gevolgtrekking er verkeerd is. Dat is tot nu toe niet gebeurd, want niemand heeft laten zien hoe uit de vraag volgt dat de beginverdeling van de zakken niet 50:50 is

OK, dan ga ik wel zo uitgebreid mogelijk op jouw uitleg in bij deze.

50 keer maak je een zak met een witte bal met nog een witte erbij en 50 keer een zak met een witte bal en nog een rode erbij. Iedere keer trek je een witte bal, ook dat staat in de vraag. Je trekt een witte, ongeacht of er een witte of een rode bij is gekomen.

Daar ben ik het helemaal mee eens.

Dat dat voor zakken met alleen maar witte ballen op twee manieren kan boeit niet. Dat het voor zakken met een witte en een rode bal bij veelvuldige herhaling onwaarschijnlijk is, boeit ook niet.

Dit is het punt waarop onze interpretatie pas begint te verschillen. Het boeit imo namelijk wél en ik ga op je komende voorbeeld in en probeer het uit te leggen waarom ik vind dat het wel een verschil maakt.

De helft van de keren trek je dus een witte bal uit een zak met twee witte ballen. De andere helft van de keren trek je een witte bal uit een zak met een witte en een rode bal.

Je pakt de 1e bal blind, volledig aselect. En het is 2x zo waarschijnlijk dat deze uit een zak komt met 2 witte ballen, dan uit een zak met 1 witte en 1 rode. Dit komt niet omdat er 2x zoveel zakken zijn met 2x wit, dan zakken met 1x elk. De 2 configuraties van zakken komen ook in mijn uitleg even vaak voor. Dit verschil is er, omdat je blind pakt.
Stel je hebt dus idd 50 zakken van beide samenstellingen. Dan pak je bij de 50 zakken met de 2xwit samenstelling uiteraard altijd wit als eerste bal. Maar met blind pakken lukt je dat niet (als in: de kans dat het je lukt is verwaarloosbaar klein) bij 50 zakken van de 1x beide kleuren samenstelling.

Dit verschil in mening zit hem ook in verschillende interpratie van de vraag. Ik hecht grote waarde aan het woord "blijkt". Dit geeft aan dat de persoon die in de zak mag grabbelen, niet per definitie op magische wijze de witte bal als eerste pakt. Vanwege het woordje "blijkt" durf ik de 25 gevallen waarbij de rode bal als eerste getrokken wordt weg te strepen.Het is een constatering halverwege het experiment, maar deze constatering maakt het wel aannemelijker dat je met een zak met 2x wit erin van doen hebt.

[Oscar Mopperkont]

Confusion schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 19:03:
Je hebt me niet weten te overtuigen, dus beschuldig je me maar van koppigheid; het is immers overduidelijk dat jij gelijk hebt? Pogingen mijn ongelijk aan te tonen door me van immoreel gedrag te beschuldigen zijn onacceptabel.

Vat alles eens niet zo persoonlijk op Confusion! Natuurlijk is het geen beschuldiging, je moet gewoon de lol van zo'n discussie inzien. Het woord immoreel heeft Voutloos, bij mijn weten, niet in de mond (hand) genomen.
Maar dat Voutloos gelijk heeft met 2/3 is inmiddels wel evident

Verder is het ook geen geldig argument om te laten zien hoezeer je wel niet achter je redenatie staat, door een of andere tegenprestatie aan je ongelijk te verbinden.

Het wordt ook niet als argument gebruikt voor zijn gelijk. Het geeft alleen maar aan hoeveel je in je eigen gelijk gelooft. Daar kun je geenszins een gelijk uit afleiden. Maar "wees een vent" en ga de uitdaging dan aan en ga ook akkoord met de weddenschap zou ik zeggen. Je gelooft toch immers ook dat je gelijk hebt, dan heb je niks te verliezen zou ik zeggen. Zeker als het om iets eenvoudigs als een sig gaat

Ik blijf gewoon mijn stelling herformuleren tot iemand kan laten zien welke aanname of welke gevolgtrekking er verkeerd is. Dat is tot nu toe niet gebeurd, want niemand heeft laten zien hoe uit de vraag volgt dat de beginverdeling van de zakken niet 50:50 is. Maar zie ook hieronder.

Of totdat je erachter komt dat je er naast zat!

Je kiest de samenstelling van de zakken aan het begin van de vraag niet.

Juist!

Die is gegeven.

Die is in zoverre gegeven dat het niet vaststaat of er een witte of rode bal bij is gedaan.

Waar ben je het mee oneens?

Tot nu toe spoort je verhaal nog, ga zo door!

Heb je niet de helft van de keren een zak met wit-wit en de andere helft van de keren een zak met wit-rood, of trek je niet altijd de witte bal uit de zak?

Je trekt altijd een witte bal uit de zak. Het is dus waarschijnlijker dat je met je handjes in een wit-wit zak hebt lopen graaien. Zie mijn meedere malen gegeven voorbeeld met twee zakken met 100 ballen. Daar ben je het neem ik aan ook met me eens dat je waarschijnlijk in de zak met 100 rode ballen hebt gezeten. Ik zou mijn geld iig daar op zetten. Nu zou ik mijn geld zetten op de wit-wit zak, die kans is immers groter.

. Het eerste staat onweerlegbaar in de vraag; simuleer de vraag maar 100 keer.

Pas vanaf 1000 kun je dingen met zekerheid gaan zeggen! Zie Sendy in "De Nationale Wetenschapsquiz 2004, vrage..."
Maar meerdere mensen hebben dat inmiddels met verschillende programma's en zelfs in real-life gedaan! En het antwoord was nooit een 1/2.

50 keer maak je een zak met een witte bal met nog een witte erbij en 50 keer een zak met een witte bal en nog een rode erbij.

25 maal graai je in een zak met een rode en een witte bal. De andere 25 keer pak je immers een rode (en dat was niet het geval!) Of je moet hebben lopen kijken in de zak en dan pak je inderdaad altijd de witte bal uit de rood-wit zak. Maar dat is nergens in de vraag gegeven.

Iedere keer trek je een witte bal, ook dat staat in de vraag.

Je hebt een witte bal getrokken, dat staat in de vraag. En pas als je een witte hebt getrokken, ga je door met je experiment. Niet als je een rode hebt getrokken.

Je trekt een witte, ongeacht of er een witte of een rode bij is gekomen. Dat is wat er in de vraag staat.

Je telt alleen de gevallen als je een witte hebt getrokken, dat volgt uit de vraag.

Dat dat voor zakken met alleen maar witte ballen op twee manieren kan boeit niet. Dat het voor zakken met een witte en een rode bal bij veelvuldige herhaling onwaarschijnlijk is, boeit ook niet.

Dat boeit heel veel, het boeit zelfs alles voor deze vraag. Er wordt immers blind getrokken.

Je trekt een bal en die blijkt wit te zijn (zin 3+4 van de vraag). Die bal komt uit een zak, die uit een verzameling zakken komt, waarvan in de helft een witte en een witte zit en in de andere helft een witte en een rode (zin 1+2 van de vraag). De helft van de keren trek je dus een witte bal uit een zak met twee witte ballen. De andere helft van de keren trek je een witte bal uit een zak met een witte en een rode bal. Waar ben je het nu mee oneens, dat je die zakken zo verdeeld zijn, of dat je altijd een witte bal trekt?

Oneens met de stelling dat je net zo vaak een witte bal zult trekken uit een wit-wit zak als uit een wit-rood zak.

[chaosonline]

Vraag 16: Je hebt een zak met een witte bal. Je doet er blind een rode of witte bal bij. Vervolgens haal je één bal uit de zak. Die blijkt wit te zijn. Hoe groot is de kans dat de resterende bal ook wit is?

Aan de hand van het tooltje van Oscar is duidelijk te zien dat de kans dat de tweede bal ook wit is 50% is! De eerste bal is immers al getrokken (en blijkt wit te zijn) en hoort dus niet in de kansberekening meegenomen te worden.

De vraag is hier mijnsinzien dus niet
"Wat is de kans dat er 2 witte ballen achter elkaar getrokken worden?"

Ik sluit me dus aan bij het 1/2 kamp en zal voor één maand "ik ben dom" in mijn ondertitel gaan dragen mocht op 25-12 bekend worden dat ik geen gelijk heb.

[dusty]

Confusion: Even niet kijken naar de vraag maar naar deze simpele stelling:

Als je een wit-wit zak hebt, hoe vaak trek je er een witte bal als eerste uit als je 100 keer trekt ?

Als je een wit-rood zak hebt, hoe vaak trek je er dan een witte bal als eerste uit als je 100 keer trekt?

Als ik nou een willekeurige zak neemt, en ik trek er een witte bal uit, is die kans dan even groot dat ik hem uit de wit-wit zak heb gehaald als uit de wit-rode zak ?

[dusty]

chaosonline schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 19:48:
[...]


[afbeelding]

Aan de hand van het tooltje van Oscar is duidelijk te zien dat de kans dat de tweede bal ook wit is 50% is! De eerste bal is immers al getrokken (en blijkt wit te zijn) en hoort dus niet in de kansberekening meegenomen te worden.

De vraag is hier mijnsinzien dus niet
"Wat is de kans dat er 2 witte ballen achter elkaar getrokken worden?"

Ik sluit me dus aan bij het 1/2 kamp en zal voor één maand "ik ben dom" in mijn ondertitel gaan dragen mocht op 25-12 bekend worden dat ik geen gelijk heb.

Aj, Chaosonline:
je bent toch niet vergeten dat het aantal keren dat de witte bal als eerste was slechts : 7526 was he ? Dat betekent dus dat van die 7526 keren dat de eerste bal wit was dat de tweede bal 5090 de tweede bal ook wit was. Aangezien er wordt gegeven dat de eerste bal wit was. mag je 5090/7526 delen. = 0.68 wat dus ongeveer 2/3 is.

[ Voor 12% gewijzigd door dusty op 30-11-2004 20:00 ]

[Oscar Mopperkont]

chaosonline schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 19:48:
[...]


[afbeelding]

Aan de hand van het tooltje van Oscar is duidelijk te zien dat de kans dat de tweede bal ook wit is 50% is! De eerste bal is immers al getrokken (en blijkt wit te zijn) en hoort dus niet in de kansberekening meegenomen te worden.

De vraag is hier mijnsinzien dus niet
"Wat is de kans dat er 2 witte ballen achter elkaar getrokken worden?"

Ik sluit me dus aan bij het 1/2 kamp en zal voor één maand "ik ben dom" in mijn ondertitel gaan dragen mocht op 25-12 bekend worden dat ik geen gelijk heb.

In de vraag is duidelijk gegeven dat je eerst een witte bal trekt. Je moet dus als "basis" getal die 7526 nemen.

het woordje 'ook' in de 'dat ook de tweede bal wit is' is fout. Het hoort het zinnetje 'het aantal keer dat de tweede bal wit is.' te zijn. ( en niet 'ook' ). want het programma'tje rekent ook het aantal keren wit als tweede bal terwijl de eerste bal rood was mee, in die regel.

Dat zinnetje is niet fout, misschien had er moeten staan "het aantal keer dat nu ook de tweede bal wit is" Het ook slaat op dat de eerste getrokken bal wit was.
Het programmaatje rekent op die regel overigens wel degelijk het goede getal uit. Het telt namelijk alleen als bij de eerste trekking de bal wit was.

Even de programmacode om aan te tonen dat er echt alleen dan geteld wordt:

Delphi:

procedure TForm1.btnStartClick(Sender: TObject);
var
  i,b1,b2,j,k: integer;
  r:  double;
begin
  j:=0;
  k:=0;
  for i:=1 to StrToInt(edit1.Text) do
  begin
    b1:=1; //Bal 1 is wit
    b2:=round(random); //Bal 2 heeft kans van 50% om wit te zijn
    if round(random)=1 then //Als dat zo is is bal 1 getrokken
    begin
      if b1=1 then //Als deze bal wit is, wat natuurlijk zo is
      begin
        j:=j+1; //Dan hoogt het aantal keer dat een witte bal is getrokken is met 1 op
        if b2=1 then
          k:=k+1; //Als de tweede bal dan wit is hoogt het aantal keer dat bal 2 wit was ook op
      end;
    end
    else //Bal 2 is dus getrokken
      if b2=1 then //Als deze wit is dan gaan we door, anders zijn we niet in de situatie zoals gezegd
      begin
        j:=j+1; //Dan hoogt het aantal keer dat een witte bal is getrokken is met 1 op
        if b1=1 then
          k:=k+1; //Als de tweede bal dan wit is hoogt het aantal keer dat bal 2 wit was ook op
      end;

    Label3.Caption:=IntToStr(j);
    Label5.Caption:=IntToStr(k);
    r:=0;
    if j>0 then
      r:=k/j;
    Label7.Caption:=FloatToStr(RoundTo(r,-2));
  end;


end;

[ Voor 71% gewijzigd door Oscar Mopperkont op 30-11-2004 20:06 ]

[Sendy]

chaosonline >
Bespaar je de ondertitel-moeite. De kans dat er twee witte ballen worden getrokken is natuurlijk 1/2. (Want dit kan alleen (en gebeurt dan ook zeker) als er al twee witte ballen in de vaas zitten.

Of wil je zeggen dat deze situatie gelijkwaardig is, en dus de gevraagde kans gelijk is hieraan?

[dusty]

Oscar Mopperkont schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 19:56:
[...]
Dat zinnetje is niet fout, misschien had er moeten staan "het aantal keer dat nu ook de tweede bal wit is" Het ook slaat op dat de eerste getrokken bal wit was.
Het programmaatje rekent op die regel overigens wel degelijk het goede getal uit. Het telt namelijk alleen als bij de eerste trekking de bal wit was.

Had ik zelf ook al door, daarom was mijn edit ook lekker een minuutje eerder dan de jouwe

[ejtnaj]

Hmm ik sluit me bij de 1/2 kamp aan.

Ik vind gewoon dat als je twee ballen in een zak hebt, waarvan een wit en de ander onbekend is, de kans 50% is. Waarom? De eerste bal dat je eruit trekt blijkt wit te zijn. Je hebt nog een bal, waarvan je de kleur niet weet. En die kan rood, of wit zijn => 50%.

Het is gewoon dat de eerste bal dat je eruit trekt, wit dus, de oorspronkelijke witte bal wordt , omdat je niet weet welke je eruit hebt getrokken. De overgebleven bal blijft de mysterie, en die kan rood of wit zijn.

Maar ik kan ook wel zeggen dat ik ook iets inzie in de 2/3 argument, maar volgens mij moet je niet zo moeilijk doen met berekeningen enzo.

[dusty]

lazyGun: Als ik een wit-wit zak heb.. en jij een wit-rood zak.. wie heeft de meeste kans om een witte bal als eerste eruit te trekken? Jij of ik ?

[Koekje]

lazygun schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 20:05:
Hmm ik sluit me bij de 1/2 kamp aan.

Ik vind gewoon dat als je twee ballen in een zak hebt, waarvan een wit en de ander onbekend is, de kans 50% is. Waarom? De eerste bal dat je eruit trekt blijkt wit te zijn. Je hebt nog een bal, waarvan je de kleur niet weet. En die kan rood, of wit zijn => 50%.

Het is gewoon dat de eerste bal dat je eruit trekt, wit dus, de oorspronkelijke witte bal wordt , omdat je niet weet welke je eruit hebt getrokken. De overgebleven bal blijft de mysterie, en die kan rood of wit zijn.

Maar ik kan ook wel zeggen dat ik ook iets inzie in de 2/3 argument, maar volgens mij moet je niet zo moeilijk doen met berekeningen enzo.

/me volgens mij moet je de kans op de zekere gebeurentis niet meerekenen want deze is toch 100%

edit:
ik ben het dus met je eens

het is dus: wit-rood of wit-wit

echt een instinker 'juck'

[ Voor 3% gewijzigd door Koekje op 30-11-2004 20:18 ]

[Clay]

Plaatje moet het toch duidelijker maken Juist omdat de eerste die je trekt gegeven is als wit komt het zo uit. Anders was het idd 50/50 geweest.



(afgerond) 33% of 25% boeit natuurlijk niets, je moet het toch ergens omrekenen

[dusty]

toch maar een polletje erbij?
Poll: Wat is het antwoord op vraag 16?
• 1/2
• 2/3
• 3/4
• Geen Idee.

^{Ook een poll maken? Klik hier}

[ejtnaj]

dusty schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 20:11:
lazyGun: Als ik een wit-wit zak heb.. en jij een wit-rood zak.. wie heeft de meeste kans om een witte bal als eerste eruit te trekken? Jij of ik ?

aarrghhhh--- goed punt. Maar toch heb ik het gevoel dat er iets fout is.

[Koekje]

ben ik de enige die denkt dat wit als 1e pakken de zekere gebeurtenis is, en dus niet relevant is? in de zin van:

Vervolgens haal je één bal uit de zak. Die blijkt wit te zijn

en dan

Hoe groot is de kans dat de resterende bal ook wit is

dus dat met je berekenen!

[ Voor 53% gewijzigd door Koekje op 30-11-2004 20:27 ]

[dusty]

dus als wij beiden onze bal ophouden en een ander persoon zegt "De eerste bal is wit", wie heeft dan de meeste kans dat hij ook die eerste bal ophoudt ?

Als we dat dan 100 keer doen, zal het bij mij 100/100 zijn.. bij jou 50/100 zijn. dus gaan we bij mij 100 keer doortrekken naar de tweede bal, en wonderbaarlijk zal de tweede bal dus 100 keer wit zijn!.. ( woei!) gaan we doortrekken bij jouw witte ballen ( 50 keer dus. ) is het wonderbaarlijk 50 keer rood...

uiteindelijk hebben we dus 150 keer getrokken en 100 keer daarvan is het wit geworden en 50 keer rood.. laat nu precies 100/150 = 2/3 zijn.

[Clay]

ben ik de enige die denkt dat wit als 1e pakken de zekere gebeurtenis is, en dus niet relevant is?

Dat is dus wel relevant omdat die bal uit een wit-wit of rood-wit zak komen kan, en de kans dat je doorgaat met ballen tekken (omdat je geen rode trok) is in het voordeel van de wit-wit zak.

dus dat met je berekenen!

Yup, en je hoeft maar tot 4 te kunnen tellen. 3 van de 4 ballen uit 2 mogelijke zakcombinaties zijn wit. 2 van die 3 komen uit een wit wit zak. 2/3 dus

[ Voor 48% gewijzigd door Clay op 30-11-2004 20:29 ]

[dusty]

bonzaibuddy schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 20:23:
ben ik de enige die denkt dat wit als 1e pakken de zekere gebeurtenis is, en dus niet relevant is? in de zin van:

[...]

Juist door die zekere gebeurtenis.

Ik pak de wit-wit zak, ik trek 100 keer... jij pakt de wit-rood zak.. als het wit is trekken we door..

ik mag dus 100 keer doortrekken, en de tweede bal zal 100 keer wit zijn.

Jij mag 50 keer doortrekken ( kans dat jij immers als eerste de witte bal trekt is 50% ).. en wonderbaarlijk van die 50 keer is 50 keer de tweede bal rood.

dus uit de 150 keer trekken (waar de bal als eerste wit was, immers was dat de zekerheid. en kijken we alleen naar die gevallen.) is de tweede bal 100 keer wit.. 100/150 = 2/3

[ejtnaj]

bonzaibuddy schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 20:23:
ben ik de enige die denkt dat wit als 1e pakken de zekere gebeurtenis is, en dus niet relevant is? in de zin van:

[...]

Precies, denk ik ook. Ik denk alleen: ik heb een zak met een onbekende bal erin. Die is rood of wit! En toch klopt er iets niet!

[Koekje]

dusty schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 20:27:
[...]

Juist door die zekere gebeurtenis.

Ik pak de wit-wit zak, ik trek 100 keer... jij pakt de wit-rood zak.. als het wit is trekken we door..

ik mag dus 100 keer doortrekken, en de tweede bal zal 100 keer wit zijn.

Jij mag 50 keer doortrekken ( kans dat jij immers als eerste de witte bal trekt is 50% ).. en wonderbaarlijk van die 50 keer is 50 keer de tweede bal rood.

dus uit de 150 keer trekken (waar de bal als eerste wit was, immers was dat de zekerheid. en kijken we alleen naar die gevallen.) is de tweede bal 100 keer wit.. 100/150 = 2/3

Sorry hier kan ik niet in mee gaan omdat je de 1e keer 100% wit pakt er zijn dus maar 2 mogenlijkheden!

de zogenaamde:
wit-wit oftewel wit 50%
wit-rood oftewel rood 50%

je moet de kans niet berkenenen op wit wit of wit rood maar van de 2e rood, dat is een heel verschil!

nogmaals berkeken de zekere gebeurentis niet mee!

offtopic: op msn ben ik ook bereikbaar, dit is zo omslachtig

[ Voor 4% gewijzigd door Koekje op 30-11-2004 20:35 ]

[ejtnaj]

Wacht ff. Je kan ook de vraag anders beredeneren: wat is de kans dat ik een zak krijg met 2 witte ballen?

Een witte bal zit er al in! Je gooit er een onbekende bal in! Dus 50%!

Of is deze situatie niet hetzelfde?

[Koekje]

lazygun schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 20:37:
Wacht ff. Je kan ook de vraag anders beredeneren: wat is de kans dat ik een zak krijg met 2 witte ballen?

Een witte bal zit er al in! Je gooit er een onbekende bal in! Dus 50%!

Of is deze situatie niet hetzelfde?

juist! dat kan ook, maar dat is wiskundig niet verantwoord omdat je dan ook de kans op de 1e gebeurtenis mee rekent wat totaal zinloos is.

[Oscar Mopperkont]

Dat is geenszins hetzelfde, anders was dat natuurlijk wel de vraag geweest!

[dusty]

Ik ben *niet* bereikbaar op MSN.

Er zijn 4 verschillende mogelijkheden dat je een bal trekt ( 2 verschillende zakken..)
De kans dat je zak 1 pakt is even groot als zak 2.

(a) Wit1, Wit2
(b) Wit2, Wit1
(c) Wit1,Rood1
(d) Rood1, Wit1

Jij zegt dat we het zekere niet mee moeten rekenen, mooi, daarmee zeg je dus zelf al dat we (d) niet mee mogen nemen in de berekening.

Blijft over dat als de eerste bal wit is dat er drie mogelijkheden zijn. Waarvan twee mogelijkheden dus als tweede bal wit hebben.

Aangezien de zakken dus evenveel kans hebben om gepakt te worden pakken we de zak 4 keer, en statisch hebben we geluk en pakken we elke keer exact de juiste zak. Waarvan we een keer niet voldoen aan de eerste voorwaarde, dus die keer tellen we dus niet mee. Hebben we dus uiteindelijk 3 steekproeven gedaan waarbij de eerste bal wit was, daarbij was 2 keer de tweede bal wit.

[ejtnaj]

Maar, ze vragen wat de kans is dat je twee witte ballen trekt. Wat is nou de kans dat je een zak hebt met twee witte ballen? Is dat niet hetzelfde?

[Clay]

De eerste gebeurtenis is gegeven in de zin dat je weet dat die bal wit was, meer niet. Daarmee weet je nog niet of dat een witte bal is uit een zak met 2 witte, of 1. De kans dat de eerste wit is is idd 75%, maar dat hoef je ook helemaal niet mee te rekenen om toch op die 2/3 uit te komen.

nogmaals:




De eerste als rood trekken is geen optie. Had dat wel meegeteld dan had je evenvaak 2 witte als een witte en een rode getrokken. Maar gegeven is dat je een witte trok, en dat gebeurt natuurlijk vaker uit een zak met 2 witte

[Sendy]

Dat vragen ze niet. Ze vragen de kans dat je twee witte ballen hebt, terwijl je weet dat er al een witte uit is.

[ Voor 20% gewijzigd door Sendy op 30-11-2004 20:48 ]

[dusty]

Nee, de vraag is in principe "Als de eerste bal wit is, wat is de kans dat de tweede bal ook wit is."

Nog een ander voorbeeld om aan te geven dat 1/2 niet correct is.

Als ik een gele bal in een zak stop, en ik gooi er een blauwe of een rode bal bij, wat is de kans dan dat de tweede bal een blauwe bal is als de eerste bal geel is.

er zijn 4 combinaties.

Geel, Blauw
Blauw,Geel
Geel,Rood
Rood,Geel.

Waarvan er twee met geel beginnen, een daarvan is blauw. dat zou dus 50% zijn.
Als ik nou vraag hoeveel kans is er als de eerste blauw is dat de tweede bal geel is. Er is er maar een mogelijkheid die begint met blauw, daarbij is de tweede bal altijd geel, dat zou dus 100% zijn.

Als ik dus nu ga vragen wat de kans is voor blauw of geel als tweede bal als de eerste bal blauw of geel is. er zijn dan 4 mogelijkheden, 3 voldoen aan de voorwaarde, waarvan er twee weer aan de tweede bal voldoen.

Verander nu de kleuren blauw EN geel in WIT. ( dus Wit is Blauw OF geel ), gebruik de zelfde logica.

[Koekje]

dusty schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 20:41:
(a) Wit1, Wit2
(b) Wit2, Wit1
(c) Wit1,Rood1
(d) Rood1, Wit1

Je pakt eerst wit 1 (offtopic: zekere gebeurtenis) en daarna een wit 2 of een rood1, waarom je daar een onderscheid tussen maakt is mij nog niet duidelijk.
wit 2 is gewoon een als 2e gepakte bal?! 'dat doe je in andere kans berkeningen ook niet'

[Niels_0]

bonzaibuddy schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 20:51:
[...]

Je pakt eerst wit 1 (offtopic: zekere gebeurtenis)

Nee, je pakt eerst een witte bal, dat kan wit 1 of wit 2 zijn.

[dusty]

Wat gebeurt er als je wit2 als eerste pakt, beschouw jij dat dan niet als een witte bal als eerst?

[Clay]

Je pakt eerst wit 1 (offtopic: zekere gebeurtenis) en daarna een wit 2 of een rood1, waarom je daar een onderscheid tussen maakt is mij nog niet duidelijk.

Omdat je op 3 manieren die witte pakken kan. Met 2 dobbelstenen heb je ook meer kans op 7 gooien, omdat dat simpelweg op meer verschillende manieren kan dan b.v. 3 gooien.

[ Voor 7% gewijzigd door Clay op 30-11-2004 20:56 ]

[Koekje]

dusty schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 20:54:
Wat gebeurt er als je wit2 als eerste pakt, beschouw jij dat dan niet als een witte bal als eerst?

Ik beschouw de wit 2 als een imaginaire naamgeving voor een als 2e witte gepakte bal, waarom moet rekenkundig een verschil gemaakt worden tussen 2 dezelfde uitkomsten? leg me dat eerst eens uit! denk er aan dat je als 1e een witte bal pakt ''wit1!''

[ Voor 8% gewijzigd door Koekje op 30-11-2004 21:00 ]

[dusty]

okay, even wat meer 'blunt'

Wit1 is een witte bal,die er als EERSTE inzit. , daarkan een tweede witte bal bijkomen.

Er staat nergens dat de eerste bal die eruit komt ook de witte bal moet zijn die er al inzat, het kan bij de wit-wit zak OOK de witte bal zijn (wit2) die we erbij hebben gegooid. Of zie jij ergens in de omschrijving staan dat alleen de witte bal die er al in zat eruit mogen trekken? ik zie alleen een kleur staan, en WIT2 is OOK wit.

[dusty]

bonzaibuddy schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 20:59:
[...]

Ik beschouw de wit 2 als een imaginaire naamgeving voor een als 2e witte gepakte bal, waarom moet rekenkundig een verschil gemaakt worden tussen 2 dezelfde uitkomsten? leg me dat eerst eens uit! denk er aan dat je als 1e een witte bal pakt ''wit1!''

Wacht.. Ik stop twee witte ballen in een zak, ik zet op de ene bal een A en op de andere bal een B.

Wat is de kans dat je een witte bal uit de zak haalt ?

Wat is de kans dat je een bal uit de zak haalt met de letter A ?

Wat is dus de kans dat je de witte bal met de letter A uit de zak haalt ten opzichte van de witte bal met de letter B?

edit:

De WIT2 , betekent namelijk niet dat die bal als tweede uit de zak komt, maar als tweede de zak is INGEGAAN.

[ Voor 9% gewijzigd door dusty op 30-11-2004 21:11 ]

[Grom]

1) Je hebt een zak met een witte bal (100% zeker).
2) Je doet er een rode of witte bal bij (50% kans).
3) Je haalt er een witte bal uit (100% zeker).
1-3 = 0% maw alleen 2 blijft over dus antwoord is alleen afhankelijk van de kans dat je uit twee ballen, een witte en een rode, een witte of een rode pakt (blind).

spoiler:

50% is dus het antwoord, kans op een witte == kans op een rode == 50%

[dusty]

grom:

dus 4 mogelijkheden om die ballen uit de zak te halen.

Zak1
Wit (origineel), Wit(Toegevoegd)
Wit (Toegevoegd), Wit (origineel)
Wit (origineel) , Rood (toegevoegd)
Rood (Toegevoegd), Wit(origineel)

daarvan zijn er dus 3 als eerste wit die hebben allemaal even veel kans om de eerste witte te zijn. Daarvan zijn er 2 als tweede bal ook wit. Of weet jij met zekerheid te zeggen WELKE witte bal uit zak 1 wordt gehaald?

--> alternatieve uitleg methode.

Wiskundig correct, Echter lastig wiskundig uit te leggen waarom het correct is.

We hebben dus 2 zakken met even veel kans een wit-wit zak en een wit-rood zak. Deze stoppen we bij elkaar. ( immers heeft elke bal dan even veel kans om getrokken te worden. )

Nu zit in de zak 4 ballen. 3 witten en 1 rode. Er is gezegd dat er een witte bal als eerste uitkomt., houden we dus nog een zak over met 2 witte ballen en 1 rode bal.

Wat is de kans dat de volgende bal een witte bal is? 2 van de 3 is wit. dus 2/3.

[Confusion]

Dido schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 19:21:
Je trekt niet de witte bal, maar een bal.

Ik begrijp dat punt en het argument voor "2/3" is, maar mijn probleem is dat ik niet zie wat er fout is aan de "1/2" uitleg, waarmee er automatisch een fout in de "2/3" uitleg zit.

Voutloos schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 19:35:
hoogstens als constatering dat we allebei nog niet van plan zijn van kant te wisselen.

Ik ben vandaag al diverse keren van kant gewisseld, maar ik weet nog steeds niet wat er fout is aan de "1/2" uitleg.

Dit verschil in mening zit hem ook in verschillende interpratie van de vraag. Ik hecht grote waarde aan het woord "blijkt". Dit geeft aan dat de persoon die in de zak mag grabbelen, niet per definitie op magische wijze de witte bal als eerste pakt.

Dan zou "Vervolgens haal je één bal uit de zak. Die blijkt wit te zijn." ongelijk zijn aan "Vervolgens haal je een witte bal uit de zak"?

De redenatie die naar "2/3" toe leidt is overigens:
P(W2 | W1) = P(W1&W2) / P(W1) = (1/2) / (1*1/2 + 1/2*1/2) = 2/3

Maar

P(R2 | W1) = P(W1&R2) / P(W1) = (1/2) / (1*1/2 + 1/2*1/2) = 2/3 ?

Dat kan niet. Waar zit de fout?

[Clay]

geweldig dat hier nu al 10 pagina's over geruzied wordt

* Clay blijft bij 2/3. Het is gevoelsmatig niet het meest voor de hand liggende antwoord, maar je komt er rekenkundig wel op uit.

[Koekje]

dusty schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 21:07:
okay, even wat meer 'blunt'

Wit1 is een witte bal,die er als EERSTE inzit. , daarkan een tweede witte bal bijkomen.

Er staat nergens dat de eerste bal die eruit komt ook de witte bal moet zijn die er al inzat, het kan bij de wit-wit zak OOK de witte bal zijn (wit2) die we erbij hebben gegooid. Of zie jij ergens in de omschrijving staan dat alleen de witte bal die er al in zat eruit mogen trekken? ik zie alleen een kleur staan, en WIT2 is OOK wit.

ik geef het op. blijkbaar kunnen wij het hierover niet eens worden.
ik ben overigens altijd gebleven bij 1/2 dit is het enige kloppende antwoord
offtopic: ik kan hier een berekening neerzetten maar het blijf een kwestie van inzicht.
no offence!

[ Voor 13% gewijzigd door Koekje op 30-11-2004 21:31 ]

[dusty]

Waarover kunnen wij het dan niet eens worden? Dat de witte bal die toegevoegd wordt, ook de eerst bal kan zijn die eruit komt?

[Koekje]

dusty schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 21:30:
Waarover kunnen wij het dan niet eens worden? Dat de witte bal die toegevoegd wordt, ook de eerst bal kan zijn die eruit komt?

over het antwoord. en dus blijkbaar ook de berekening

[Confusion]

dusty schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 19:50:
Confusion: Even niet kijken naar de vraag maar naar deze simpele stelling:

Als je een wit-wit zak hebt, hoe vaak trek je er een witte bal als eerste uit als je 100 keer trekt ?

Als je een wit-rood zak hebt, hoe vaak trek je er dan een witte bal als eerste uit als je 100 keer trekt?

100 keer respectievelijk 50 keer.

Als ik nou een willekeurige zak neemt, en ik trek er een witte bal uit, is die kans dan even groot dat ik hem uit de wit-wit zak heb gehaald als uit de wit-rode zak ?

Als je een willekeurige zak zou nemen niet. Maar je neemt geen willekeurige zak. Je neemt een zak waaruit een witte bal gekomen is.

Chaosonline slaat de hamer op de kop, met het tooltje van Oscar nonetheless:

chaosonline schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 19:48:
Aan de hand van het tooltje van Oscar is duidelijk te zien dat de kans dat de tweede bal ook wit is 50% is! De eerste bal is immers al getrokken (en blijkt wit te zijn) en hoort dus niet in de kansberekening meegenomen te worden.

En dat is precies mijn punt. Je moet niet normaliseren naar het aantal keer dat de eerste bal wit was. De eerste bal is volgens de vraagstelling iedere keer wit. Van 10000 trekkingen, is de eerste bal dus 10000 keer wit, hoewel je op basis van statistiek 7500 zou verwachten. Vervolgens is de tweede bal 5000 keer wit, wat in beide gevallen zo is. Alleen zijn er nu ook 5000 rood in de tweede trekking, terwijl je er anders op basis van statistiek in de eerste trekking 2500 uitgegooid zou hebben. Dat is volgens mij de betekenis van die zin: de bal blijkt wit te zijn. Telkens weer.

[ Voor 11% gewijzigd door Confusion op 30-11-2004 21:37 ]

[Clay]

P(R2 | W1) = P(W1&R2) / P(W1) = (1/2) / (1*1/2 + 1/2*1/2) = 2/3 ?

Dat kan niet. Waar zit de fout?

Omdat die deling niet klopt. (1/2)/(3/4) is welliswaar 2/3, maar je deelt daar de kans dat je een zak met R en W (of W1 en W2) had door de kans dat je een witte bal trok, en dat zegt niets over de 2 bal die je daarna gaat trekken. Ik weet ook niet wat het wel zegt maar het zegt iig niets over de 2e bal.

Naar mijn weten moet je kansen altijd nog vermenigvuldigen. 2 keer 6 gooien is 1/36. Een witte pakken is 3/4, daarna een witte pakken is 2/3. Samen is dat 6/12 = 50% Een witte pakken waar een rode na volgt is 25%, en een rode pakken waar een witte na volgt is ook 25%. bij elkaar 100%.



De rode telt niet mee, aangezien je een witte blijkt te pakken. 50% wit wit, en 25% wit rood, dus 2/3

[ Voor 8% gewijzigd door Clay op 30-11-2004 21:38 ]

[dusty]

bonzaibuddy schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 21:28:
[...]
offtopic: ik kan hier een berekening neerzetten maar het blijf een kwestie van inzicht.
no offence!

De berekening is op zich niet offtopic, dus kom maar op met die berekening.

[Grom]

@ Dusty

Ik los dit op:

Confusion schreef op maandag 29 november 2004 @ 15:00:

Vraag 16: Je hebt een zak met een witte bal. Je doet er blind een rode of witte bal bij. Vervolgens haal je één bal uit de zak. Die blijkt wit te zijn. Hoe groot is de kans dat de resterende bal ook wit is?

A. 1/2.
B. 2/3.
C. 3/4.

Het zit hem er imo in dat er zeker een witte bal uit de zak wordt genomen.
Of dit nu een toegevoegde bal is of de enige originele doet niet ter zakke.

[Clay]

Of dit nu een toegevoegde bal is of de enige originele doet niet ter zakke.

Als je de toegevoegde witte pakt kan je geen rode meer pakken.
Als je de originele witte pakt kan je nog wel een rode pakken.

Dus dat doet wel degelijk ter zake.

[dusty]

Confusion schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 21:35:
[...]

Okay even een vraagje, als ik een zak heb en ik doe er een witte bal in, en trek eerst die witte bal eruit en voeg er dan een witte of een rode bal toe.

Is dat dezelfde techniek als in de vraagstelling?

of hoor je het proefsteek gewijs te benaderen, waardoor je af en toe een rode bal trekt, en DIE juist niet mee telt in je berekening. Immers in het programma van oscar wordt er 10.000 keer een bal getrokken uit een willekeurige zak. Daarvan komt er een aantal keren rood als eerste uit. als dat voorkomt telt je die trekking niet mee.

Wanneer er wel een witte bal als eerste uitkomt, tel je uiteraard WEL mee. Daarna ga je de tweede bal trekken. Is die wit dan heb je een winnaar en is de tweede bal ook wit.

Bij het programma van oscar zijn er dus 10.000 iteraties doorlopen, waarvan er ongeveer 7500 keer de eerste bal WIT was, ( de overige 2500 keer was rood, die hoor je dus niet mee te tellen ). Van die 7500 keer was de tweede bal 5000 keer wit. 5000 / 7500 = 2 / 3

Of moet iemand even het programmatje aanpassen voor je zodat hij door blijft lopen totdat er wel 10.000 keer een witte bal als eerste uit is gekomen ?

[Grom]

Clay schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 21:45:
[...]
Als je de toegevoegde witte pakt kan je geen rode meer pakken.
Als je de originele witte pakt kan je nog wel een rode pakken.

spoiler:

50% kans dus

Is die spoiler nog steeds nodig?

[Confusion]

dusty schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 21:45:
Okay even een vraagje, als ik een zak heb en ik doe er een witte bal in, en trek eerst die witte bal eruit en voeg er dan een witte of een rode bal toe.

Is dat dezelfde techniek als in de vraagstelling?

Ik heb eerder in de draad betoogd dat dat volgens mij hetzelfde is en daar sta ik nog steeds achter.

Immers in het programma van oscar wordt er 10.000 keer een bal getrokken uit een willekeurige zak. Daarvan komt er een aantal keren rood als eerste uit. als dat voorkomt telt je die trekking niet mee.

Maar het punt is dat dat volgens de vraagstelling niet voorkomt. Er wordt 10000 keer als eerste een witte bal getrokken, terwijl de helft van de zakken een witte + een rode bal bevat. Het is onwaarschijnlijk, maar dat is volgens mij het gegeven.

Of moet iemand even het programmatje aanpassen voor je zodat hij door blijft lopen totdat er wel 10.000 keer een witte bal als eerste uit is gekomen ?

Nee, want dan gooi je alle trekkingen waarin rood als eerste voorkomt weg, terwijl die trekkingen eenvoudigweg niet voorkomen, in mijn interpretatie van de vraagstelling.

[dusty]

okay, klaar met het gezeik.

--check0--
Origineel Wit = A
Toegevoegde Witte = B
Toegevoegde Rode = C
--check1--
Met de opmerking dat A = B ( aangezien ze dezelfde kleur zijn. )
--check2--
zak 1 : A + B
zak 2 : A + C
--check3--
zak1
Kans op A = 50%
Kans op B = 50%
--check4--
Zak2
Kans op A = 50%
Kans op C = 50%
--check5--
Omdat alle ballen gelijkwaardig zijn en even veel kans hebben om getrokken te worden (immers is de kans op zak1 even groot als de kans op zak 2 ) stoppen we ze bij elkaar.
--check6--
Nieuwe zak:
A+A+B+C.
25%+25%+25%+25%.
--check7--
B is ook wit, aangezien A ook witte ballen zijn, maken we van B een A. (gelijkwaardig)
--check8--
A+A+A+C
25%+25%+25%+25%
--check9--
het is gegarandeerd dat een witte bal eruit komt, pak een A eruit.
A+A+C
--check10--
Hoeveel kans is er nu dat de volgende een witte bal is ?
--check11-

Als er iemand hier niet mee eens is, zeg mij tussen welke 'check' je het niet eens bent?

[Clay]

Grom schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 21:51:
[...]

spoiler:

50% kans dus

Is die spoiler nog steeds nodig?

wat mij betreft niet.

2 opties betekent nog geen 50%. Zoals gezegd kan je op 3 manieren een witte pakken.

De originele, terwijl er nog een witte inzit.
De originele, terwijl er een rode inzit.
De toegevoegde, terwijl de originele er nog inzit.

Bij 2 van de bovenstaande opties pak je uiteindelijk 2 witte.
2 van de 3. Niet 1 van de 2.

[Grom]

Jullie denken te moeilijk.
Het is één zak en twee trekkingen met één 50% toevoeging, bij de eerste treking trekje er een zekerheid uit (een witte bal) blijft over de 50% kans op een witte of rode bal , imo!

[ Voor 56% gewijzigd door Grom op 30-11-2004 22:16 ]

[Clay]

Het gaat ook om de kans, niet de uitkomst.

[Confusion]

dusty schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 21:54:
--check5--
Omdat alle ballen gelijkwaardig zijn en even veel kans hebben om getrokken te worden

Hier gaat het volgens mij mis. De witte bal die bij de rode zit heeft niet evenveel kans om getrokken te worden als de anderen. Die bal heeft een kans 1 dat hij getrokken wordt. De bal die getrokken wordt uit een willekeurige zak is immers iedere keer wit. Dat kan niet bij gelijkwaardige kansen.

[dusty]

Okay Confusion:
Wat is de kans dat je de combinatie hebt van zak 1 en wat is de kans op de combinatie van zak 2 ?

[Confusion]

dusty schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 22:15:
Okay Confusion:
Wat is de kans dat je de combinatie hebt van zak 1 en wat is de kans op de combinatie van zak 2 ?

De combinaties komen even vaak voor: 50/50. De 'kans' dat er uit de combinatie als eerste een witte bal getrokken wordt, is in beide gevallen 1.

[dusty]

Nee, de constatering dat er een witte bal uit de combinatie wordt getrokken is 100%, dat maakt de kans dat de witte bal als eerste getrokken wordt nog niet 100%. Immers staat er in de beschrijving dat blijkt dat de eerste bal wit is wat een constatering is, niet een kans.

[ Voor 54% gewijzigd door Confusion op 30-11-2004 22:21 ]

[Confusion]

dusty schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 22:18:
Nee, de constatering dat er een witte bal uit de combinatie wordt getrokken is 100%, dat maakt de kans dat de witte bal als eerste getrokken wordt nog niet 100%. Immers staat er in de beschrijving dat blijkt dat de eerste bal wit is wat een constatering is, niet een kans.

De kans dat er een witte bal getrokken is, is 100%. De kans dat er een witte bal getrokken zou worden, is geen 100%. Maar dat laatste is irrelevant, omdat het eerste is gegeven. Het is raar dat een kans te noemen, maar bij gebrek aan een betere term, noemde ik het maar 'kans'. Punt is dat het uit je kansberekening valt, omdat die kans-vooraf geen onderdeel van het vraagstuk uitmaakt. De kans-achteraf is gegeven.

[ Voor 19% gewijzigd door Confusion op 30-11-2004 22:22 . Reden: Oeps, verkeerde bericht ge-edit... sowwy ]

[Clay]

de kans dat er als eerste een witte bal getrokken is is niet relevant. De manier waarop wel, maar die is niet gegeven, en moet je meenemen in de kansberekening omdat dat op 3 manieren kan.
waarvan er 2 ook voor de 2e bal op wit uitkomen

[ Voor 26% gewijzigd door Clay op 30-11-2004 22:27 ]

[Botje]

Er heerst veel verwarring.
Het volgende is een poging om geheel zonder formules een oplossing te genereren. Misschien wordt dan duidelijk waar het antwoord 2/3 vandaan komt.

Het probleem moet als volgt opgevat worden.

Er is een zak met 1 witte knikker en ik kies een rode of een witte knikker.
Als ik een rode knikker kies en in de zak er bij doe, krijg ik een zak met een rode of een witte knikker.
Als ik een witte knikker pak en in de zak er bij doe, krijg ik een zak met twee witte knikkers.
Beide mogelijkheden tot kiezen zijn even waarschijnlijk.

Het gevraagde probleem laat zich nu als volgt herformuleren.

Gegeven twee vazen A en B.
Vaas A bevat 2 witte knikkers.
Vaas B bevat 1 witte en 1 rode knikker.
Kies willekeurig een vaas (de kans op vaas A of vaas B is dus ½).
Trek uit die vaas een knikker. Stel die is wit.
Hoe groot is de kans dat de tweede knikker, de overgebleven knikker, ook wit is.

De oplossing zou als volgt kunnen lopen.
Wanneer is de tweede knikker wit?
Als de eerste witte knikker uit vaas A afkomstig is.
De gevraagde kans is dus de kans dat de getrokken witte knikker uit A afkomstig is. Noem die kans q.

De berekening loopt als volgt.

Hoe groot is de kans om uberhaupt een witte knikker te trekken?
Er zijn in totaal 4 knikkers waarvan 3 wit dus die kans is ¾.
Dan is de kans dat de getrokken witte knikker uit A afkomstig is het produkt ¾*q
Maar hoe groot is de kans op een witte knikker uit A?
Dat is het produkt van de kans op het kiezen van vaas A (en dat is ½), vermenigvuldigd met de kans op een witte knikker in A (en dat is 1), tesamen ½.
Dus ¾*q = ½.
De gevraagde kans q is hiermee 2/3.

[dusty]

Confusion schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 22:20:
[...]

De kans dat er een witte bal getrokken is, is 100%. De kans dat er een witte bal getrokken zou worden, is geen 100%. Maar dat laatste is irrelevant, omdat het eerste is gegeven. Het is raar dat een kans te noemen, maar bij gebrek aan een betere term, noemde ik het maar 'kans'. Punt is dat het uit je kansberekening valt, omdat die kans-vooraf geen onderdeel van het vraagstuk uitmaakt. De kans-achteraf is gegeven.

Terwijl ik naar huis reed, schoot me wat te binnen.

Onder normale omstandig heden heb je 4 mogelijke methoden (zoals eerder al gezegd) ( wit1 = originele bal, wit2 = toegevoegde witte bal. )

Zak 1)
Wit1, Wit2
Wit2, Wit1

Zak2)
Wit1, Rood1
Rood1, Wit1

De NORMALE kans op elke zak is 50%. en elke volgorde binnen die zak 50%, Ik neem aan dat je dat niet ontkent. Dat betekent dat elke onderdeel even veel kans heeft om te vallen.

Nu trek je toevalligerwijs als eerste een witte bal ( de waarneming. ) Hierdoor valt EEN mogelijkheid af. (de rode eerst) Wat betekent dus dat er DRIE mogelijke combinaties overblijven, die drie mogelijkheden hebben allemaal nog steeds onderling even veel kans om te vallen onder elkaar. omdat je niet weet welke witte bal het is. (kan wit1 zijn, kan wit2 zijn.)

Juist omdat er drie gelijke mogelijkheden zijn en daarvan 2 gevolgd worden door een andere witte is de kans 2/3 op een witte.

[Woudloper]

Clay schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 21:24:
geweldig dat hier nu al 10 pagina's over geruzied wordt

Heb jij dan maar 25 posts per pagina

Ik heb er ook nog eens wat mee zitten rekenen. Zal ze niet uitschrijven, dat is namelijk al genoeg gedaan. Maar de kans is 2/3. Dat is ook het antwoord wat ik zou geven voor deze vraag.

[talpje]

OK, mijn 2 centjes er nog maar ingooien,
het is vast al gezegd maar dit is wat ik ervan denk:

De mensen die zeggen dat de kans 2/3 is, gaan uit van het principe van: (1) ALS er een witte bal getrokken is, terwijl de mensen die zeggen dat het 1/2 is er van uitgaan (2) DAT er een witte bal getrokken is.

Je kan wit/wit of wit/rood krijgen. In het geval van het eerste uitgangs punt krijg je in de gevallen dat het wit/rood is 50% kans om eerst een rode te trekken, dus neem je die zak niet mee in je berekening, terwijl in de opgave gezegt wordt dat je IEDERE zak mee moet nemen (de eerste is namelijk _altijd_ wit). Op die manier kom je natuurlijk makkelijk op 2/3 uit aangezien wit/rood dus half zo vaak voorkomt als wit/wit). Neem je de tweede (en imo correcte) aanname, dan kom je uit op 1/2.

Dit komt ook neer op wat inderdaad al eerder is gezegd: Je moet de eerste trekking _niet_ meenemen in je berekening want die is al gegeven.

[ Voor 9% gewijzigd door talpje op 30-11-2004 23:15 ]

[CBass]

Eventjes voor het 50% kamp. Post eens een code die simuleert dat het antwoord 50% is?

En het feit dat de eerste bal wit blijkt te zijn is dus juist van belang en dus mee nemen. Er staat niet dat je de witte bal eruit haalt. Maar je haalt er een uit en die BLIJKT wit te zijn.

[ Voor 54% gewijzigd door CBass op 30-11-2004 23:25 ]

[dusty]

Talpje: Zie mijn reactie en uitleg 2 posts boven de jouwe.

Daarmee ga ik ervan uit DAT er een witte bal getrokken is. De kans is JUIST daardoor 2/3.

[talpje]

dusty, waar jou denk fout zit, is dat je altijd eerst de witte bal erin doet, dus dat wit1, wit2 en wit2, wit1 nooit allebei voor kunnen komen.

en het stukje code ervoor is ook niet zo lastig, ik zal het ff schrijven, hold on!

[redwing]

dusty schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 18:30:
Redwing, lezende uit je laatste antwoord.. zeg jij nu dat het uiteindelijke antwoord 1/2 is of 2/3 ?

2/3 , maar ik kan me voorstellen dat je de vraag zo kunt lezen dat je op 1/2 uitkomt. Oftewel ik kan me ook goed vinden in de uitleg van Confusion, al denk ik dat de vraag zo niet is bedoelt

ff confusion een beetje helpen, want ik snap goed wat ie bedoelt Ik blijf trouwens wel erbij dat het antwoord 2/3 moet zijn, maar heb aan de andere kant ook nog geen goede weerlegging van zijn uitleg gezien. Enige waarom ik naar 2/3 neig is het woordje 'blijkt' in de originele vraag.

dusty schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 23:01:
[...]
Zak 1)
Wit1, Wit2
Wit2, Wit1

Zak2)
Wit1, Rood1
Rood1, Wit1

De NORMALE kans op elke zak is 50%. en elke volgorde binnen die zak 50%, Ik neem aan dat je dat niet ontkent. Dat betekent dat elke onderdeel even veel kans heeft om te vallen.

Nu trek je toevalligerwijs als eerste een witte bal ( de waarneming. ) Hierdoor valt EEN mogelijkheid af. (de rode eerst) Wat betekent dus dat er DRIE mogelijke combinaties overblijven, die drie mogelijkheden hebben allemaal nog steeds onderling even veel kans om te vallen onder elkaar. omdat je niet weet welke witte bal het is. (kan wit1 zijn, kan wit2 zijn.)

Je trekt niet toevallig een witte, je trekt zeker een witte. Hierdoor valt er geen mogelijkheid af, maar trek je in zak2 altijd de witte bal (niet logisch volgens kansberekening, maar is toch wel gegeven). Hierdoor hou je dan weer 4 mogelijkheden over waarbij er bij 2 een rode bal uitkomt -> 2/4 = 1/2

[ Voor 80% gewijzigd door redwing op 30-11-2004 23:34 ]

[talpje]

code:

class Raadsel {
        enum Ball {
            white = 0,
            red = 1
        }

        [STAThread]
        static void Main(string[] args) {
            int ROUNDS = 10000;
            int count = 0;

            Random r = new Random();

            double red = 0;
            double white = 0;
            
            Ball[] bag = new Ball[2];

            while(count < ROUNDS) {
                bag[0] = Ball.white;
                bag[1] = (Ball)r.Next(0, 2);
                
                int draw = -1;
                if(bag[1] == Ball.white) // Als de tweede bal wit is mag je die ook meteen trekken, anders niet.
                    draw = r.Next(0, 2);
                else
                    draw = r.Next(0, 1);                

                if (bag[(draw + 1) % 2] == Ball.white)
                    white++;
                else 
                    red++;

                Console.WriteLine("Av: [{0}", white / red); // Dit gaat naar de 1
                count++;
            }
        }
    }

[redwing]

talpje schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 23:29:

code:

class Raadsel {
.......

Leuke code, maar voegt naar mijn idee niets toe. Jij gebruikt de uitleg van Confusion voor het maken van je programma en zult dus op 1/2 uitkomen. Als je de uitleg van Dusty als uitgangspunt pakt zul je op 2/3 uitkomen.

edit:
Aangezien ik de code verkeerd had begrepen heb ik dusty/confusion en 1/2 en 2/3 ff omgedraait

[ Voor 67% gewijzigd door redwing op 30-11-2004 23:46 ]

[talpje]

redwing, je hebt zeker niet goed naar mijn code en commentaar gekeken? Volgens dat proggie komt er namelijk wel 1 uit (oftewel 1/2)

dit laat trouwens wel zien hoe slecht men mekaars commentaar leest, zo kom je natuurlijk nooit ergens uit. dit is geen directe aanval op redwing trouwens, meer een algemene opmerking. iedereen zit zo in z'n eigen idee vast dat hij/zij niet wil geloven dat het anders kan zijn

ik ben het dus met redwing en de andere 1/2'ers eens, en CBas vroeg me daarvoor code te laten zien dus : voila!

[redwing]

talpje schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 23:39:
redwing, je hebt zeker niet goed naar mijn code en commentaar gekeken? Volgens dat proggie komt er namelijk wel 1 uit (oftewel 1/2)

dit laat trouwens wel zien hoe slecht men mekaars commentaar leest, zo kom je natuurlijk nooit ergens uit. dit is geen directe aanval op redwing trouwens, meer een algemene opmerking. iedereen zit zo in z'n eigen idee vast dat hij/zij niet wil geloven dat het anders kan zijn

ik ben het dus met redwing en de andere 1/2'ers eens, en CBas vroeg me daarvoor code te laten zien dus : voila!

Srry, ik kan niet echt proggen in al die vreemde taaltjes, alleen LabVIEW snap ik goed

[CBass]

De rede van de code is omdat het de uitkomst logischer wijs 2/3 is. Als iemand iets moet programmeren is dat logisch en zal hij of zij tot inzicht komen. Maar goed ik ken de taal niet. Dus ben nog aan het kijken wat er precies gedaan wordt en dan zal ik proberen op de fout te wijzen.

Zou je iets meer commentaar erbij kunnen geven

[ Voor 9% gewijzigd door CBass op 30-11-2004 23:45 ]

[talpje]

CBass, waarschijnlijk val je hierover:

code:

if(bag[1] == Ball.white) // Als de tweede bal wit is mag je die ook meteen trekken, anders niet.

en dat is precies waarom de vraag onduidelijk? is... of hoe je hem anders kan interpreteren...

[Lordy79]

Het is toch 2/3:


In de zak zit WIT1

Er wordt een ONBEKENDE bijgestopt.

Vervolgens pak je er een witte uit.

De kans dat de onbekende ROOD was en de WIT1 werd gepakt, is 50% x 50% = 25%
De kans dat de onbekende WIT was en de WIT1 werd gepakt, is 50% x 50% = 25%
De kans dat de onbekende WIT was en de ONBEKENDE(wit) werd gepakt, is 50% x 50% = 25%
De kans dat de onbekende ROOD was en de ONBEKENDE(rode) werd gepakt, is 25%

Er blijkt dat er een witte bal is getrokken. Hierdoor valt optie 4 af.

De kans dat de volgende bal OOK wit is, is dus 2/3.

[redwing]

Hele vraag gaat er nog om of je ervan uit moet gaan dat je altijd de witte bal trekt, of dat je die 1e bal in de berekening mee moet nemen. Lijkt mij eerlijk gezegt dat je hier nooit uit kunt komen, aangezien dit een interpretatie van de vraag is. Degene die voor 1/2 gaan zullen dus niet van mening veranderen, en die van 2/3 ook niet.

Aangezien er blijkt in de vraag staat neig ik nog steeds naar 2/3, maar vind de redenatie van Confusion en de andere 1/2'ers ook heel logisch. Denk dat we hier dus een beetje in een patstelling aan het belanden zijn.

[Lordy79]

Het is 1/2 want:

Je begint met een witte bal.
Er komt een bal bij.
Er MOET dan wel een rode bal bijgekomen zijn. Die kans is 50%, dus het wordt dus al 'slechts' 50% dat er uiteindelijk een rode overblijft.
Vervolgens wordt er een bal getrokken die wit is.
De kans dat de bal die overblijft ROOD is, is 100%.

[RikTW]

OMFG, er wordt hier nog steeds over gekwebbeld ....

Zou het helpen als de vraag ietsje uitgebreider geformuleerd zou zijn:

origineel:

Je hebt een zak met een witte bal. Je doet er blind een rode of witte bal bij. Vervolgens haal je één bal uit de zak. Die blijkt wit te zijn. Hoe groot is de kans dat de resterende bal ook wit is?

naar:

Je hebt een zak met een witte bal. Je doet er blind een rode of witte bal bij. Vervolgens haal je één bal uit de zak. In het geval dat deze bal wit is, hoe groot is de kans dat de resterende bal ook wit is?

[talpje]

voor CBass::

code:

class Raadsel {
        enum Ball {
            white = 0,
            red = 1
        }

        [STAThread]
        static void Main(string[] args) {
            int ROUNDS = 10000; // Het aantal rondes dat we gaan doen.
            int count = 0;      // Nummer om het aantal rondes die is gedaan bij te houden.

            Random r = new Random(); // Random nummer generator.

            double red = 0; // Het totaal aantal rode ballen dat is getrokken.
            double white = 0; // Het totaal aantal witte ballen dat is getrokken.
            
            Ball[] bag = new Ball[2]; // De zak met plaats voor 2 ballen.

            while(count < ROUNDS) { // Main loop.
                bag[0] = Ball.white; // We stoppen een witte bal in de zak.
                bag[1] = (Ball)r.Next(0, 2); // We stoppen nog een willekeurige kleur bal in de zak.
                
                int draw = -1; // De bal die getrokken is. (Dit is een witte).
                if(bag[1] == Ball.white)    // Als de tweede bal die erin gestopt is wit blijkt,
                                            // mag hij ook getrokken worden, anders alleen de eerste
                                            // (witte) bal.
                    draw = r.Next(0, 2);    // We kiezen tussen 0 en 1.
                else
                    draw = r.Next(0, 1);    // We kiezen tussen 0 en 0. (oja? wat zal dat worden ;))

                // Op dit punt is draw (de (eerst) getrokken bal) altijd een witte...
                // draw + 1 modulo 2 is dus de andere bal.

                if (bag[(draw + 1) % 2] == Ball.white)  // Als de 2e bal die we trekken wit is tellen
                                                        // we die bij het totaal aantal witte op.
                    white++;
                else 
                    red++;                              // anders bij de rode.

                Console.WriteLine("Av: [{0}", white / red); // Het aantal witte delen door het aantal
                                                            // rode gaat naar de 1, dit betekend dat 
                                                            // ze even vaak getrokken zijn; ergo: 1/2
                count++;
            }
        }
    }

verder ben ik het met redwing eens... het gaat toch duidelijk om de uitleg van de vraag.

[Verwijderd]

Oke ten eerste het antwoord is 2/3. omdat de eerste trekking van de witte bal er ter dege toe doet. want,

Stel je voor je hebt een zak met 99 witte ballen en je stopt daar, of een witte, of een rode in. Gegeven dat je eerst 99 witte trekt, wat is dan de kans dat de 100e ook wit is?

je kunt je voorstellen dat de kans op eerst 99 witte ballen trekken bij het geval er ook nog een rode bal in zit best klein is (1/100). Daarom is de kans dat de 100e ook wit is groter dan een half.

edit: berekening

code:

P(A l B) = P( A en B)/ P(B)
P( A en B)=kans op 100 * wit= 1/2
P (B)=kans op 99 * wit=P(alles wit) + P(99wit en 1rood)=1/2 + 1/100*1/2=101/200
P(A l B) = 1/2 / 101/200 = 200/202 = 100/101

best een grote kans dus als je eerst 99 keer al een witte hebt getrokken.

[ Voor 25% gewijzigd door Verwijderd op 01-12-2004 00:13 . Reden: ff netjes uitgerekend ]

[CBass]

talpje volgens mij wordt er in jou proggie altijd de bal die je er als eerste instopt als eerste getrokken en dat is niet het geval.

de code moet als volgt zijn opgebouwd:
een witte erin, een rood/witte random erbij. trek een van de twee ballen random. kijk of ie wit is. Zo ja, trek de tweede en kijk naar de kleur en houd dat bij. Zo nee, doe het experiment opnieuw. Als je dit volgt klomt er zeker 2/3 uit

[talpje]

CBass, daar gaat hij niet vanuit, kijk nog maar eens goed, hij gaat er alleen vanuit dat wanneer de 2e bal een rode is, je die nooit kan trekken... (wat een gegeven is in de vraag, of niet )

[ Voor 14% gewijzigd door talpje op 01-12-2004 00:00 ]

[CBass]

Dat is het juist dat is niet gegeven. Je kan hem wel trekken maar dat doe je toevallig niet. Er staat niet dat je de witte eruit haalt. Er staat hij witte BLIJKT te zijn. Als ik een euro uit mijn portemonee heb gehaalt en het blijkt een duitse te zijn wil dat toch ook niet zeggen dat ik altijd die duitse eruit zou halen?

[RikTW]

talpje schreef op woensdag 01 december 2004 @ 00:00:
CBass, daar gaat hij niet vanuit, kijk nog maar eens goed, hij gaat er alleen vanuit dat wanneer de 2e bal een rode is, je die nooit kan trekken... (wat een gegeven is in de vraag, of niet )

En hoe is dat in het geval van mijn herformulering (paar posts boven je)?

Je hebt een zak met een witte bal. Je doet er blind een rode of witte bal bij. Vervolgens haal je één bal uit de zak. In het geval dat deze bal wit is, hoe groot is de kans dat de resterende bal ook wit is?

Je kan de rode wel degelijk trekken, alleen wordt de kans gevraagd in het geval dat je (toevallig) een witte trok.

(Waarschijnlijk zinloos, tis een geloof)

[ Voor 12% gewijzigd door RikTW op 01-12-2004 00:08 ]

[Verwijderd]

Er lijkt veel geprogrammeerd te worden en de 2/3 kamp en 1/2 kamp blijven strijden. Ik heb geen argument gezien dat definitie aantoond dat 2/3 fout is maar het is wel degelijk fout.

Iedereen die 2/3 zegt is fout en maakt de fout door zich te beroepen op een formulering of een programma waar 2/3 uitkomt:

Garbage in-Garbage Out!

De pakkans voor twee ballen in een zak geeft twee kansen.
De pakkans voor 1 kleur wit uit twee witte ballen is 1 kans=100%

Iedereen die 2/3 zegt heeft dit niet door en ziet de wit1 en wit2 als aparte balpakkansen, maar er is slechts 1 kleurpakkans voor wit uit twee witte ballen. Deze twee ballen zijn identiek kwa kleur, en deze twee witte ballen kunnen zonder enig effect verwisseld worden. De overblijvende kleurenkansverdeling van 1 bal is 1/2 voor wit en 1/2 voor rood, maar dit is ALLEEN zo als de extra toegevoegde bal uit een wit:rood verzameling komt waarin de wit en rood ook echt een 50/50 verdeling hebben.

Ik neem aan dat iedereen dit laatste als noodzakelijk beschouwd in de vraagstelling (Het feit dat er een bal "blind" wordt toegevoegd betekend alleen maar dat we niet weten welke kleur het heeft. Het zou uit een verzameling met een scheve wit:rood distributie kunnen komen en dan is de kans voor wit in de tweede trekking uiteraard weer niet 1/2).

Het antwoord is 1/2 kans op wit.

Zie:

Conrad :: 01 december 00:19

http://nationalewetenscha...g.nl/index.log?ID=1389509

Een computerprogramma voor deze vraag is volstrekt overbodig.

[ Voor 31% gewijzigd door Verwijderd op 01-12-2004 00:56 ]

[MLM]

Vraag 16: Je hebt een zak met een witte bal. Je doet er blind een rode of witte bal bij. Vervolgens haal je één bal uit de zak. Die blijkt wit te zijn. Hoe groot is de kans dat de resterende bal ook wit is?

We breken even de vraag op in kleinere stukjes. Om te beginnen is er deze situatie:

Je hebt een zak met een witte bal, W1.
Naast de zak staat een tafel met een witte bal W2 en een rode bal R.

Vraag 16: Je hebt een zak met een witte bal.

Dat is dus Zak(W1)

Je doet er blind een rode of witte bal bij.

Je pakt dus van de tafel bal W2 of R, beide 50% kans.
Je hebt dus 50% kans op Zak(W1,W2) of 50% kans op Zak(W1,R)

We gaan nu de ballen uit de zak halen. We halen eerst 1 bal (B1) uit de zak.
Daarna halen we de overgebleven bal (B2) eruit.

We kijken nu even NIET naar de restrictie dat de eerste bal wit blijkt te zijn!

De 50% kans op Zak(W1,W2) kan opgedeeld worden als:
25% kans op B1 = W1, B2 = W2
25% kans op B1 = W2, B2 = W1
De 50% kans op Zak(W1,R) kan opgedeeld worden als:
25% kans op B1 = W1, B2 = R
25% kans op B1 = R, B2 = W1

Vervolgens haal je één bal uit de zak. Die blijkt wit te zijn.

Dus B1 = W1 of W2
CRUCIAAL PUNT: Hierdoor valt de 25% kans op B1 = R, B2 = W1 af!
Die 25% wordt eerlijk verdeeld over de andere mogelijkheden.

Er blijft dus over:
33% kans op B1 = W1, B2 = W2
33% kans op B1 = W2, B2 = W1
33% kans op B1 = W1, B2 = R
0% kans op B1 = R, B2 = W1

Hoe groot is de kans dat de resterende bal ook wit is?

Alleen de eerst 2 kansen, dus 33% + 33% = 67%

(eigenlijk: 33% + 33% = 66% maar lees 33% als 1/3 kans, en 67% als 2/3 kans)

[RikTW]

Verwijderd schreef op woensdag 01 december 2004 @ 00:40:
Er lijkt veel geprogrammeerd te worden en de 2/3 kamp en 1/2 kamp blijven strijden. Ik heb geen argument gezien dat definitie aantoond dat 2/3 fout is maar het is wel degelijk fout.

Iedereen die 2/3 zegt is fout en maakt de fout door zich te beroepen op een formulering of een programma waar 2/3 uitkomt:

Garbage in-Garbage Out!

De pakkans voor twee ballen in een zak geeft twee kansen.
De pakkans voor 1 kleur wit uit twee witte ballen is 1 kans=100%

Iedereen die 2/3 zegt heeft dit niet door en ziet de wit1 en wit2 als aparte balpakkansen, maar er is slechts 1 kleurpakkans voor wit uit twee witte ballen. Deze twee ballen zijn identiek kwa kleur, en deze twee witte ballen kunnen zonder enig effect verwisseld worden. De overblijvende kleurenkansverdeling van 1 bal is 1/2 voor wit en 1/2 voor rood, maar dit is ALLEEN zo als de extra toegevoegde bal uit een wit:rood verzameling komt waarin de wit en rood ook echt een 50/50 verdeling hebben.

Ik neem aan dat iedereen dit laatste als noodzakelijk beschouwd in de vraagstelling (Het feit dat er een bal "blind" wordt toegevoegd betekend alleen maar dat we niet weten welke kleur het heeft. Het zou uit een verzameling met een scheve wit:rood distributie kunnen komen en dan is de kans voor wit in de tweede trekking uiteraard weer niet 1/2).

Het antwoord is 1/2 kans op wit.

Zie:

Conrad :: 01 december 00:19

http://nationalewetenscha...g.nl/index.log?ID=1389509

Een computerprogramma voor deze vraag is volstrekt overbodig.

Ik ben het met je eens dat een computerprogramma overbodig is, 1 simpele vergelijking is voldoende , namelijk die van Bayes: zoals Sendy heeft laten zien: P(2e wit | 1e wit) = P(1e wit en 2e wit) / P(1e wit).
Alleen, de meesten hier uit het 1/2 kamp interpreteren de vraag (volgens mij dan) verkeerd: een keertje wat code schrijven kan in zo'n geval soms een beetje inzicht geven in waar de verschillen in interpretatie nou precies zitten: in dit geval of je wel of niet moet delen door P(1e wit) (3/4): deel je niet (oftewel, negeer je dat er eerst toevallig een witte is gepakt) dan kom je op 1/2, deel je die 1/2 wel door 3/4, dan kom je op 2/3.
Ik vind overigens niet dat de vraag onduidelijk gesteld is, volgens mij is ie eenduidig en zoek je naar de kans dat de tweede wit is in het geval dat de eerste toevallig ook wit was

[Botje]

Verwijderd schreef op woensdag 01 december 2004 @ 00:40:
Er lijkt veel geprogrammeerd te worden en de 2/3 kamp en 1/2 kamp blijven strijden. Ik heb geen argument gezien dat definitie aantoond dat 2/3 fout is maar het is wel degelijk fout.

Iedereen die 2/3 zegt is fout en maakt de fout door zich te beroepen op een formulering of een programma waar 2/3 uitkomt:

Garbage in-Garbage Out!

De pakkans voor twee ballen in een zak geeft twee kansen.
De pakkans voor 1 kleur wit uit twee witte ballen is 1 kans=100%

Iedereen die 2/3 zegt heeft dit niet door en ziet de wit1 en wit2 als aparte balpakkansen, maar er is slechts 1 kleurpakkans voor wit uit twee witte ballen. Deze twee ballen zijn identiek kwa kleur, en deze twee witte ballen kunnen zonder enig effect verwisseld worden. De overblijvende kleurenkansverdeling van 1 bal is 1/2 voor wit en 1/2 voor rood, maar dit is ALLEEN zo als de extra toegevoegde bal uit een wit:rood verzameling komt waarin de wit en rood ook echt een 50/50 verdeling hebben.

Ik neem aan dat iedereen dit laatste als noodzakelijk beschouwd in de vraagstelling (Het feit dat er een bal "blind" wordt toegevoegd betekend alleen maar dat we niet weten welke kleur het heeft. Het zou uit een verzameling met een scheve wit:rood distributie kunnen komen en dan is de kans voor wit in de tweede trekking uiteraard weer niet 1/2).

Het antwoord is 1/2 kans op wit.

Zie:

Conrad :: 01 december 00:19

http://nationalewetenscha...g.nl/index.log?ID=1389509

Een computerprogramma voor deze vraag is volstrekt overbodig.

Kansrekening is soms tegen intuitief. Maar 2/3 is echt goed. Lees maar

dusty schreef op maandag 29 november 2004 @ 20:31:
[...]


[/spoiler]

Je kunt ook mijn verhaal lezen

Botje schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 22:45:

of het verhaal onder je

MLM schreef op woensdag 01 december 2004 @ 00:46:
[...]

Er zijn verschillende vormen van dit probleem.
Een beroemde is het volgende quizmasterprobleem.
Ik heb 3 kistjes A,B,C waarvan slechts 1 een geldbedrag bevat.
Ik bepaal mijn keus op kistje A, maar maak het nog niet open.
De quizmaster weet welk kistje het geld bevat en laat zien dat het kistje B leeg is.
Hoe groot is de kans dat het geld in kistje A zit?

[dusty]

talpje schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 23:24:
dusty, waar jou denk fout zit, is dat je altijd eerst de witte bal erin doet, dus dat wit1, wit2 en wit2, wit1 nooit allebei voor kunnen komen.

en het stukje code ervoor is ook niet zo lastig, ik zal het ff schrijven, hold on!

*kuch*.. jij leest dus niet goed.

Wat ik zeg is dat er twee verschillende combinaties zijn ; (ik neem even alle ballen als verschillende ballen om het wat duidelijker te maken)

Zak1: Wit1, Wit2
Zak2: Wit3, Rood

Beiden zakken kunnen er op twee verschillende manieren uitgehaald worden. Met allemaal dezelfde kans.
Zak1:
Wit1 eerst, Wit2
Wit2 eerst, Wit1
Zak2:
Wit3 eerst, Rood.
Rood eerst, Wit3

Het probleem hier is dat er wordt gezegd dat er een witte bal wordt getrokken, daaruit kan je niet opmaken uit welke zak het is, wat je er ook niet op uit kunt maken welke witte bal het is, Dus het kan Wit1 zijn, Het kan Wit2 zijn, Het kan Wit3 zijn, en allemaal hebben ze even veel kans. Er waren 4 kansen bij het beginnen, door het eruit nemen van een witte bal, kan je alleen een optie verwijderen uit alle 4 de mogelijkheden, dat is de mogelijkheid van de rode eerst. Daardoor blijven er 3 mogelijkheden over, door te zeggen dat de eerste bal wit is sluit je dus slechts EEN mogelijkheid af.

Door te zeggen dat Zak1 50% kans heeft en Zak2 50% kans heeft wordt je van slag gebracht, immers is dit niet meer van belang bij begin heeft elke mogelijkheid evenveel kans. Als je er een uitsluit, sluit je slechts die uit, de andere mogelijkheden blijven indezelfde verhouding staan. Dus blijven er 3 mogelijkheden over die allemaal dezelfde kans hebben.

Of kan iemand van de 1/2-front precies vertellen WELKE witte bal het is ? en waarom een van de eerste mogelijkheden van zak1 dan niet meer beschikbaar is?

[RikTW]

Botje schreef op woensdag 01 december 2004 @ 01:27:

[...]

Een beroemde is het volgende quizmasterprobleem.
Ik heb 3 kistjes A,B,C waarvan slechts 1 een geldbedrag bevat.
Ik bepaal mijn keus op kistje A, maar maak het nog niet open.
De quizmaster weet welk kistje het geld bevat en laat zien dat het kistje B leeg is.
Hoe groot is de kans dat het geld in kistje A zit?

En belangrijker nog: hoe groot is de kans dat het in kistje C zit (nadat B geopend is dus)

[Voutloos]

KISS:
Feit: Je pakt vaker succesvol een witte bal blind uit een zak met wit/wit dan uit een zak met wit/rood.
Feit: Je hebt een witte bal gepakt.
Context: De persoon pakt blind, bezit geen magische krachten en de ballen zijn op kleur na identiek (aanname die iedereen wel moet maken) en de testpersoon heeft dus 0.0 invloed op de kleur van de eerstgepakte bal.
Aangezien je een witte bal gepakt hebt, heb je blijkbaar met 1 vd 3 ipv 4 situaties te maken. Verder is de kans een simpele constatering na gebruik maken van hierboven 2 genoemde feiten.

[Voutloos]

Verwijderd schreef op woensdag 01 december 2004 @ 00:40:
Het antwoord is 1/2 kans op wit.
Zie:
Conrad :: 01 december 00:19
http://nationalewetenscha...g.nl/index.log?ID=1389509

OK, een persoon genaamd Wim zegt dit vlak voor die post:

Wim :: 30 november 22:53
Ik ga de vraag herschrijven:
Je hebt een zak met een witte bal. Je doet er blind een rode of een blauwe bal bij. Vervolgens haal je 1 bal uit de zak. Die blijkt niet rood te zijn. Hoe groot is de kans dat de resterende bal rood is.

In de zak zit dus:
wit en rood
of
wit en blauw

De mogelijkheden (je pakt geen rode, dus die laat ik weg):
Je pakt wit, blijft over rood
Je pakt wit, blijft over blauw
Je pakt blauw, blijft over wit

De kans dat rood achterblijft in de zak is dus 1/3
De kans op de andere combinatie is 2/3.

Dit komt overeen met mijn post in het begin van het draadje met een vertaling naar 3 kleuren (zie: Voutloos in "De Nationale Wetenschapsquiz 2004, vrage...")
De post die jij aanhaalt, begint met deze opmerking:

Je voorbeeld met 3 kleuren is uiteraard anders dan met 2 kleuren.

Dit roept deze persoon zonder bewijs (en gaat imo daarom de mist in). Welke persoon uit het 1/2 kamp wil bij deze eens bewijzen dat de vertaling naar 3 kleuren niet een gelijke vraag oplevert?
_{Om niet helemaal naar dat forum te verhuizen aub het liefst mijn 3 kleuren versie quoten, ookal zijn deze gelijk.}

[ Voor 7% gewijzigd door Voutloos op 01-12-2004 01:46 ]

[Verwijderd]

Hmm ja volgens mij moet het ook 2/3 zijn:
Er zijn twee mogelijkheden op een zak met twee ballen (voordat je eesrte bal trekt die wit blijkt te zijn) nl:

RW of
WW

nu zijn er vier mogelijkheden tot pakken:
R W
W W
W W
W R

Nu alleen de laatste zijn van toepassing omdat de eerste wit blijkt te zijn en dus hebben we kans op tweede witte bal= goede mogelijkheden/totaal mogelijkheden = 2/3

[Clay]

Woudloper schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 23:08:
[...]

Heb jij dan maar 25 posts per pagina

ja, 100% goed

Ik heb er ook nog eens wat mee zitten rekenen. Zal ze niet uitschrijven, dat is namelijk al genoeg gedaan. Maar de kans is 2/3. Dat is ook het antwoord wat ik zou geven voor deze vraag.

Inderdaad.

Vortex2
De pakkans voor twee ballen in een zak geeft twee kansen.
De pakkans voor 1 kleur wit uit twee witte ballen is 1 kans=100%

Iedereen die 2/3 zegt heeft dit niet door en ziet de wit1 en wit2 als aparte balpakkansen, maar er is slechts 1 kleurpakkans voor wit uit twee witte ballen. Deze twee ballen zijn identiek kwa kleur, en deze twee witte ballen kunnen zonder enig effect verwisseld worden. De overblijvende kleurenkansverdeling van 1 bal is 1/2 voor wit en 1/2 voor rood, maar dit is ALLEEN zo als de extra toegevoegde bal uit een wit:rood verzameling komt waarin de wit en rood ook echt een 50/50 verdeling hebben.

De pakkans per bal is identiek. voor de 2 mogeljke zakken (witwit, witrood) 25% per bal. Enige probleem is dat er dan 3 witte, en 1 rode bal is. De kleurkans is natuurlijk identiek aan de balkans, of wil je zeggen dat je in een zak met 99 witte, en 1 rode bal, nog steeds 50% kans hebt de rode te pakken?
Qua kleur kunnen de witte ballen inderdaad verwisseld worden, en maakt het niet uit of je eerst de originele witte pakte, of eerst de toegevoegde, maar dat maakt de kans nog niet 50%.

Het antwoord is 1/2 kans op wit.

Zie:

Conrad :: 01 december 00:19

http://nationalewetenscha...g.nl/index.log?ID=1389509

Een computerprogramma voor deze vraag is volstrekt overbodig.

Een meerderheid heeft niet per definitie gelijk. Die poll zegt niets over het waarom van het antwoord, het zegt alleen maar dat de meerderheid niet goed genoeg nagedacht heeft

Vraag 16: Je hebt een zak met een witte bal. Je doet er blind een rode of witte bal bij. Vervolgens haal je één bal uit de zak. Die blijkt wit te zijn. Hoe groot is de kans dat de resterende bal ook wit is?

Die had dus ook rood kunnen zijn, maar dat is niet zo. De kans dat je een witte pakt uit een witwit zak is 100%. De kans dat je die witte pakte uit de witrood zak is 50%. Dat de vraagstelling als gegeven die witte bal stelt maakt die 50% nog geen 100%.

[Verwijderd]

Wel geinig dat er nog steeds gediscussieerd wordt over deze vraag

Stel dat de vraag is:

Je hebt een zak met 99 witte ballen. Je doet er blind een rode of een witte bal bij. Vervolgens haal je 99 ballen uit de zak. Die blijken allemaal wit te zijn. Hoe groot is de kans dat de resterende bal ook wit is?

Zijn degenen uit het 1/2 kamp het met me eens dat die kans in dit geval erg dicht tegen de 1 aanligt?