De Nationale Wetenschapsquiz 2004, vragen 16 en X

[Verwijderd]

Confusion schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 11:59:
[...]

Er wordt maar 1 bal getrokken, dus ik begrijp niet waar je het over hebt.

Er worden 2 ballen getrokken, zo kun je het iig opvatten aangezien er maar 2 ballen in het zakje zitten, dus 2e getrokken bal in mijn verhaal = resterende bal. Van de 1e weet je dat die wit is en de vraag is wat de kans is dat de 2e getrokken bal/resterende bal ook wit is. Het antwoord daarop is 2/3 zoals ik en anderen met mij zowel formeel als informeel hebben bewezen, dus ik snap eigenlijk niet dat er nog mensen zijn die denken dat het antwoord 2/3 fout is.

Nog even ter verduidelijking: de kans dat je een witte bal uit het zakje haalt en dat er daarna nog een witte bal inzit is 1/2 (de situatie is wit/wit in zakje of wit/rood in zakje). Echter, je moet de info meenemen dat je weet dat de eerste bal wit is. De kans dat je een witte bal uit het zakje haalt is 1/2 * 1 + 1/2*1/2 = 3/4 (de kans op wit/wit = 1/2 en de kans dat je er dan een witte uithaalt = 1; de kans op wit/rood = 1/2 en de kans dat je er dan een witte uithaalt = 1/2). Hieruit volgt dan de kans op een resterende witte bal, gegeven dat je een witte bal uit het zakje hebt gehaald = (1/2)/(3/4) = 2/3.

[ Voor 44% gewijzigd door Verwijderd op 30-11-2004 12:29 ]

[Confusion]

Verwijderd schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 12:15:
Echter, je moet de info meenemen dat je weet dat de eerste bal wit is. De kans dat je een witte bal uit het zakje haalt is 1/2 * 1 + 1/2*1/2 = 3/4 (de kans op wit/wit = 1/2 en de kans dat je er dan een witte uithaalt = 1; de kans op wit/rood = 1/2 en de kans dat je er dan een witte uithaalt = 1/2).

De kans dat je er een witte uithaalt in dat laatste geval is volgens helemaal geen 1/2. Die kans is 1. Dat is namelijk het gegeven. Jij zegt dat je de info mee moet nemen dat de eerste bal wit is, maar volgens mij is dat precies wat je niet doet, door er een kans aan toe te kennen. De kans dat de eerste bal wit is, is 1, ongeacht de zak waar hij uit komt.

De kans dat die uit een zak met wit/wit komt, is 1/2. De kans dat die uit een zak met wit/rood komt, is ook 1/2 (want zo zijn de zakken verdeeld). De kans dat er dus een witte achterblijft, is 1/2.

Oscar maakt in zijn eerste post dezelfde fout: hij suggereert dat je in 100 trekkingen 75 witte en 25 rode zou trekken. Maar dat is niet zo: je trekt 100 witte. Dat is namelijk het gegeven. In dat geval blijven er 50 witte en 50 rode achter.

[ Voor 27% gewijzigd door Confusion op 30-11-2004 12:59 ]

[Sendy]

Waarom bijven jullie nu volhouden dat je "het gegeven" niet moet meetellen?

Stel de volgende casus:
Je gooit een muntje op. Je noemt kop 1 en munt 0. Nu trek je een tweede keer, en telt bij deze uitkomst (0 of 1) de uitkomst van de vorige worp op.

Stel dat gegeven is dat de eerste worp munt is. Dan heeft de tweede worp dus als waarde 1 of 2. Je gebruikt het eerste gegeven dus!

[en ja, de originele vraag, en bovenstaande situatie zijn vergelijkbaar]

edit:

En ik moet de eerste reactie nog tegenkomen die mijn formules (2e post dit topic) kan tegenspreken.

[ Voor 15% gewijzigd door Sendy op 30-11-2004 13:06 ]

[compie]

Ok, we hebben vraag 16 nu wel behandeld
Nu vraag X dan maar....

P.S. Ik was nog wel van plan om een topic te maken met de vragen 11 t/m 16, maar goed dat deze een aparte topic is geworden

[ Voor 56% gewijzigd door compie op 30-11-2004 13:33 ]

[abeker]

spoiler:

Stel je hebt 100 zakken met ieder een witte bal. In 50 van deze zakken stop je een witte bal erbij en in de andere 50 zakken stop je een rode bal erbij. Je hebt dus 50 zakken met 2 witte ballen, en 50 zakken met een witte en een rode bal. Nu haal je uit iedere zak een bal, deze blijkt 100x wit te zijn. Je houdt dus over: 50 zakken met een witte bal, en 50 zakken met een rode bal. De kans dat de overgebleven bal een witte is, is dus 1/2

[Verwijderd]

Confusion schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 12:54:
De kans dat je er een witte uithaalt in dat laatste geval is volgens helemaal geen 1/2. Die kans is 1. Dat is namelijk het gegeven. Jij zegt dat je de info mee moet nemen dat de eerste bal wit is, maar volgens mij is dat precies wat je niet doet, door er een kans aan toe te kennen. De kans dat de eerste bal wit is, is 1, ongeacht de zak waar hij uit komt.

Hier ga je de fout in. Ik neem aan dat je zelf ook wel inziet dat de kans dat de 1e bal wit is niet gelijk aan 1 is, dat zou nl. betekenen dat je onmogelijk een rode bal zou kunnen pakken. Er is een verschil tussen de kans op een event en de toevallige gebeurtenis van een event. In dit geval ga jij op basis van een enkel experiment algemeniseren dat de kans dat de 1e bal wit is gelijk aan 1 is en dat is dus niet zo. Die kans blijft 3/4 en dat blijft altijd zo tenzij je de omstandigheden gaat wijzigen (bijv. meer ballen toevoegen).

Ik neem de info dat de eerste bal wit is wel mee door eerst de kans te bepalen dat beide ballen wit zijn en die vervolgens te delen door de kans dat de 1e bal wit is. Overigens als je zoekt op "conditional probability" zul je tot inzicht komen dat je met de formule P(A|B ) = P(A en B)/P(B ) het juiste antwoord krijgt, waarbij event A = resterende bal is wit en event B = 1e bal is wit. Een ander antwoord dan 2/3 geven betekent dus automatisch bewijzen dat deze formule niet klopt (of een rekenfout maken natuurlijk )

zie overigens ook de post van Sendy hierover.

[ Voor 5% gewijzigd door Verwijderd op 30-11-2004 13:29 ]

[Dido]

Confusion schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 12:54:
Oscar maakt in zijn eerste post dezelfde fout: hij suggereert dat je in 100 trekkingen 75 witte en 25 rode zou trekken. Maar dat is niet zo: je trekt 100 witte. Dat is namelijk het gegeven. In dat geval blijven er 50 witte en 50 rode achter.

Nee, als je 100 keer trekt (1ste bal) zouden er wel degelijk 25 rode ballen uitkomen. We trekken namelijk blind.
In de vraag krijg je als extra informatie dat we een witte bal getrokken hebben. Dat betekent niet dat we geen rode bal hadden kunnen trekken.
Het feit dat gegeven is dat de eerste bal wit is, betekent niet dat de kans op een wite bal wit 100% was.

abeker schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 13:14:

spoiler:

Stel je hebt 100 zakken met ieder een witte bal. In 50 van deze zakken stop je een witte bal erbij en in de andere 50 zakken stop je een rode bal erbij. Je hebt dus 50 zakken met 2 witte ballen, en 50 zakken met een witte en een rode bal. Nu haal je uit iedere zak een bal, deze blijkt 100x wit te zijn. Je houdt dus over: 50 zakken met een witte bal, en 50 zakken met een rode bal. De kans dat de overgebleven bal een witte is, is dus 1/2

Nee, het is zeer onwaarschijnlijk dat je 100 witte ballen trekt. Naar alle waarschijnlijkheid trek je er 75. Gegeven in de vraag is dat we 1 trekking hebben, en dat die toevallig wit is. We hebben dus al te maken met de 75% van de gevallen dat we beginnen met een witte bal, en de gevallen waarin we beginnen met een rode bal (de helft van de gevallen dat er uberhaupt een rode bal is) vallen daardoor af voor verdere berekeningen.

[CBass]

Abeker: probeer dat ook maar eens met oneindig veel zakken! Wedden dat je ook een keertje de rode bal eruit haalt! In de vraag staat dus niet dat men er de witte uithaalt maar dat men er eentje uithaalt die wit blijkt te zijn, alleen bij deze steekproef.
De tweede post van sendy is gewoon de manier om het uit te rekenen, vandaar dat het ook niet tegen gesproken kan worden.

[Voutloos]

Sorry Confusion, maar je begaat een fout welke ik al 5x heb toegelicht en deze toelichting is nog door niemand verworpen.

Als je een witte bal als 1e eruit gepakt hebt, heb je in 2 van de 3 gevallen de beginbal te pakken. Als je de beginbal te pakken hebt is je kans 1/2 uiteraard. Maar als je de toegevoegde bal te pakken hebt, is de kans 1. Als je dit optelt met en de 1/2 kans 2x weegt omdat deze 2x zovaak voorkomt, kom je op 2/3

[Confusion]

Verwijderd schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 13:24:
Hier ga je de fout in. Ik neem aan dat je zelf ook wel inziet dat de kans dat de 1e bal wit is niet gelijk aan 1 is, dat zou nl. betekenen dat je onmogelijk een rode bal zou kunnen pakken.

Maar dat is ook zo. Dat is nu juist het punt van de vraag: de kans dat de eerste bal wit is, is 1. Dat is het gegeven van de vraag.

Ik neem de info dat de eerste bal wit is wel mee door eerst de kans te bepalen dat beide ballen wit zijn

Je neemt de info juist niet mee. Je berekent namelijk de kans dat de eerste bal wit is, door die te trekken uit zakken met wit/wit en rood/wit combinaties. Maar de eerste bal is wit. Dat weet je zeker. Dat is gegeven. Waarom ga je dan uitrekenen hoe groot de kans is dat die wit is?

Een ander antwoord dan 2/3 geven betekent dus automatisch bewijzen dat deze formule niet klopt

Die formule gaat op, voor een andere situatie. Die formule beantwoord de vraag: hoe groot is de kans dat ik een witte bal trek uit een verzameling zakken waarin wit/wit en wit/rood 1:1 verdeeld zijn, wanneer de eerste bal die ik trek wit is. In die situatie moet je de kans uitrekenen dat de eerste bal wit is, gevolgd door de kans dat de volgende ook wit is. Hier is echter gegeven dat de eerste bal wit is, waardoor het geen 'gestapelde' kansbereking meer is, maar de eerste stapel wegvalt. De kans dat 'de eerste bal' wit is, is geen 75%, maar 100%. Dat gegeven gaat is ongelijk aan het gegeven van de 'normale' kansberekening en dat maakt het verschil.

Voutloos schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 13:33:
Sorry Confusion, maar je begaat een fout welke ik al 5x heb toegelicht en deze toelichting is nog door niemand verworpen.

Die heb ik wel verworpen, want jouw toelichting is gebaseerd op het voorbeeld van Oscar en ik heb aangegeven waarom die fout is.

Dido schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 13:24:
In de vraag krijg je als extra informatie dat we een witte bal getrokken hebben.

Juist, hebben getrokken, voltooid verleden tijd. Het is gebeurd. Er valt geen kansberekening meer op los te laten.

Het feit dat gegeven is dat de eerste bal wit is, betekent niet dat de kans op een wite bal wit 100% was.

Niet dat die kans 100% was. Wel dat die kans nu 100% is.

[ Voor 13% gewijzigd door Confusion op 30-11-2004 14:05 ]

[Verwijderd]

Confusion, het spijt me, maar je snapt er geen hout van.

De kans dat de eerste bal wit is, is 75%.

Je hebt als gegeven dat de eerste bal wit is, waarmee deze 75% inderdaad de '1' wordt. Je hebt nu nog een keer 50% over die wel goed is, en 25% die niet goed is. Wel ff terugschalen naar 1, net zoals je voor die eerste witte bal hebt gedaan.
50/75 = 2/3.

[laatste poging]

[Confusion]

Draai het eens om: we hebben een zak met een witte bal. Er is gegeven dat je uit die zak een witte bal trekt, dus bij elke trekking verlaat een witte bal de zak. Er gaat altijd een witte bal uit de zak, dus het maakt niet uit of je dat doet voordat of nadat je er ballen bijstopt. Doen we het voordat we er ballen bijstoppen, dan hou je dus een lege zak over. Vervolgens stop je er aselect een witte of een rode bal in. Hoe groot is de kans dat er een witte of een rode inzit?

Omdat je zeker weet dat je er een witte uithaalt, kan je er ook aselect een rode of witte bijstoppen en dan gewoon in de zak kijken en er een witte uithalen.

[ Voor 35% gewijzigd door Confusion op 30-11-2004 14:16 ]

[Oscar Mopperkont]

Confusion schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 12:54:
Oscar maakt in zijn eerste post dezelfde fout: hij suggereert dat je in 100 trekkingen 75 witte en 25 rode zou trekken. Maar dat is niet zo: je trekt 100 witte. Dat is namelijk het gegeven. In dat geval blijven er 50 witte en 50 rode achter.

Je gaat helemaal voorbij aan het feit dat je ook je de bal die je erbij stopt getrokken kunt hebben. Zou de bal uit een zak komen met twee witte dan kun je of de beginbal getrokken hebben of de bijgevoegde bal. Komt de bal uit een zak met een rode en een witte dan heb je zeker weten de beginbal getrokken. De kans dat je dus in een zak met twee witten hebt lopen graaien is dus twee maal zo groot. Daaromis de kans dat je daarna een witte trekt ook twee maal groter dan dat je een rode trekt. Hetgeen de kans op een witte dus 2/3 maakt.

Tijdens mijn typen maak je helemaal duidelijk dat je die denkfout maakt

Draai het eens om: we hebben een zak met een witte bal. Er is gegeven dat je uit die zak een witte bal trekt, dus bij elke trekking verlaat een witte bal de zak. Er gaat altijd een witte bal uit de zak, dus het maakt niet uit of je dat doet voordat of nadat je er ballen bijstopt. Doen we het voordat we er ballen bijstoppen, dan hou je dus een lege zak over. Vervolgens stop je er aselect een witte of een rode bal in. Hoe groot is de kans dat er een witte of een rode inzit?

Omdat je zeker weet dat je er een witte uithaalt, kan je er ook aselect een rode of witte bijstoppen en dan gewoon in de zak kijken en er een witte uithalen.

Hiermee zeg je dus letterlijk dat je de kans uitsluit dat je de bal die je erbij stopt er ook uit kunt trekken. Je zegt gewon dat je zeker weten de witte bal eruit hebt gehaald die er in eerste instantie inzat, maar dat wordt niet gegeven.

[ Voor 37% gewijzigd door Oscar Mopperkont op 30-11-2004 14:29 ]

[Dido]

Confusion schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 14:03:
Maar dat is ook zo. Dat is nu juist het punt van de vraag: de kans dat de eerste bal wit is, is 1. Dat is het gegeven van de vraag.

Nee, het is gegeven dat we een witte bal getrokken hebben. Niet dat de kans daarop 1 was.

Juist, hebben getrokken, voltooid verleden tijd. Het is gebeurd. Er valt geen kansberekening meer op los te laten.

offtopic:
Voltooid tegenwoordige tijd

Wat de kans was dat we een witte bal trokken is wel degelijk van belang.
Immers, er is een kans dat ik de oorspronkelijke witte bal trok, en er is een kans dat ik de toegevoegde witte bal trok.
Als ik zou weten dat ik de toegevoegde witte bal heb getrokken, dan is mijn kans op een tweede witte 100%. Aangezien ik niet weet of ik de toegevoegde witte bal heb getrokken, zal ik het moeten doen met de kans dat ik dat gedaan heb. Als ik negeer dat de toegevoegde bal trekken mijn kansen verhoogt op een tweede witte, terwijl ik wel kan berekenen wat de kans is dat ik de toegevoegde ipv de orospronkelijk witte bal trek, dan laat ik dus beschikbare informatie links liggen.

Laat ik het zo zeggen: ik wil best met jou gokken: we herhalen dit experiment 1000 keer, en iedere keer als er een witte bal wordt getrokken als eerste, geldt voor de tweede bal een euro uitbetaling voor jou als ie rood is, 1 euro voor mij als ie wit is .
Als jij gelijk hebt zullen we ruwweg quitte spelen, maar ik ben er vrij zeker van dat ik 2/3 van de spelletjes win.

[abeker]

ok ik snap hem nu

na het toevoegen van een witte of rode bal kun je twee zakken hebben:
zak a: wit1+wit2
zak b: wit1+rood

nu trekken we een witte bal uit een onbekende zak. De kans dat deze uit zak a komt is 2/3. De kans dat de overgebleven bal wit is, is dus 2/3.

[Salvatron]

Verwijderd schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 14:10:
De kans dat de eerste bal wit is, is 75%.

Nee, die is 100%

Je hebt als gegeven dat de eerste bal wit is, waarmee deze 75% inderdaad de '1' wordt. Je hebt nu nog een keer 50% over die wel goed is, en 25% die niet goed is. Wel ff terugschalen naar 1, net zoals je voor die eerste witte bal hebt gedaan.
50/75 = 2/3.

De kans is imho 1/2. De witte bal die al in de zak zat is niet relevant omdat je weet dat je al een witte bal uit de zak hebt gehaald. Dat betekent dus dat de kans uitsluitend afhangt van de vraag welke bal je blind gekozen hebt.

[Dido]

Confusion schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 14:12:
Omdat je zeker weet dat je er een witte uithaalt, kan je er ook aselect een rode of witte bijstoppen en dan gewoon in de zak kijken en er een witte uithalen.

Je voegt niet alleen aselect toe, je haalt er ook aselect een uit!
Het feit dat dat een witte blijkt te zijn, betekent niet dat dat vaststond.

[Oscar Mopperkont]

Dido schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 14:25:
Laat ik het zo zeggen: ik wil best met jou gokken: we herhalen dit experiment 1000 keer, en iedere keer als er een witte bal wordt getrokken als eerste, geldt voor de tweede bal een euro uitbetaling voor jou als ie rood is, 1 euro voor mij als ie wit is .
Als jij gelijk hebt zullen we ruwweg quitte spelen, maar ik ben er vrij zeker van dat ik 2/3 van de spelletjes win.

Ik heb daar dus zoals al eerder in het topic stond een progje voor geschreven en de kans is inderdaad telkens 2/3
Misschien moet Confusion dat progje maar even opzoeken dan kan hij het met eigen ogen zien, hij is namelijk denk ik een beetje confused

[Dido]

bacterie schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 14:28:
Nee, die is 100%

Dus als iemand 100 keer een 5 gooit met een dobbelsteen, dan zeg jij ook niet "goh, de kans daarop is erg klein", maar je stelt "oh, natuurlijk, het is net gebeurd, dus de kans daarop is 100%"
Er wordt blind, aselect, wilelkeurig een bal uit die zak gehaald. Het feit dat ie wit blijkt te zijn betekent niet dat ie niet rood had kunnen zijn. De kans erop is dus geen 100%.

(Als iemand de loterij wint, en dan vraagt: goh, hoe groot is de kans nou dat dat uitgerekend mij overkomt? Dan antwoord je ook 100%?)

[Confusion]

Oscar Mopperkont schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 14:25:
Je gaat helemaal voorbij aan het feit dat je ook je beginbal getrokken kunt hebben.

Zoals ik hierboven schreef:

Omdat je zeker weet dat je er een witte uithaalt, kan je er ook aselect een rode of witte bijstoppen en dan gewoon in de zak kijken en er een witte uithalen.

Je hebt de beginbal wel getrokken, maar niet blind, niet aselect. Je trekt nooit een rode; de kans daarop is 0. Dat is gegeven in de vraag: je trekt een witte bal. Kan op witte bal is 1, kans op rode bal is 0. Ik kan het niet anders zeggen dan door te herhalen: dat is wat er staat: je trekt een witte bal.

Dido schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 14:25:
Nee, het is gegeven dat we een witte bal getrokken hebben. Niet dat de kans daarop 1 was.

Maar wat de kans was is irrelevant. We hebben namelijk een hele bijzondere situatie te pakken: je trekt altijd een witte bal. De kans daarop is ongelovelijk klein als je het met veel zakken gaat proberen, maar het is gegeven dat het zo is. Voor mijn part heb je een zesde zintuig waardoor je altijd een witte bal weet te trekken. Als je een witte bal getrokken hebt, dan is daarna de kans dat je een witte bal getrokken hebt 1. En je hebt een witte bal getrokken. Misschien is dat de beste omschrijving van de essentie van het probleem: dit is een zeer bijzondere situatie, als deze zich in de praktijk voor zou doen: altijd een witte bal trekken.

Immers, er is een kans dat ik de oorspronkelijke witte bal trok, en er is een kans dat ik de toegevoegde witte bal trok.

Dat maakt niet uit, want witte ballen zijn ononderscheidbaar en ongenummerd. De ballen nummeren is hier een fout. Ben je het hier mee eens:

Omdat je zeker weet dat je er een witte uithaalt, kan je er ook aselect een rode of witte bijstoppen en dan gewoon in de zak kijken en er een witte uithalen.?

Zonee, dan wil ik graag weten wat het verschil is, uitgaande van de ene zak (want met 100 zakken gaan werken maakt het juist onduidelijker volgens mij), tussen mijn methode en de methode waarin je 'een witte bal trekt'.

Als jij gelijk hebt zullen we ruwweg quitte spelen, maar ik ben er vrij zeker van dat ik 2/3 van de spelletjes win.

Als je het met mijn stuk in italics eens bent, dan wil ik best spelen, maar dat is nogal een zinloze exercitie .

[Confusion]

Oscar Mopperkont schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 14:32:
Ik heb daar dus zoals al eerder in het topic stond een progje voor geschreven en de kans is inderdaad telkens 2/3
Misschien moet Confusion dat progje maar even opzoeken dan kan hij het met eigen ogen zien, hij is namelijk denk ik een beetje confused

Tjah, als je je progje iets laat uitrekenen dat niet gevraagd wordt, komt er nog steeds een goed antwoord uit, maar niet het relevante antwoord. Vertrouw een computer nooit, tenzij je precies weet wat je erin hebt gestopt. Ik heb voldoende onzin bij elkaar gesimuleerd om iemands progje niet als zinvol bewijs te beschouwen.

Dido schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 14:34:
Dus als iemand 100 keer een 5 gooit met een dobbelsteen, dan zeg jij ook niet "goh, de kans daarop is erg klein", maar je stelt "oh, natuurlijk, het is net gebeurd, dus de kans daarop is 100%"

De kans is inderdaad erg klein, maar het is net gebeurd. Net zoals je in dit geval net een witte bal hebt getrokken. Je kan dit experiment ook doen met een zak met 100 witte ballen erin, waar je vervolgens een rode of een witte bijstopt. Vervolgens trek je er 100 witte uit. Die kans is ongelovelijk klein. Maar het is gebeurd (want ik stel: je trekt er 100 witte uit). Hoe groot is de kans dat de resterende bal rood is? 50%. Hoe groot is de kans dat ik 100 witte ballen trek en dat de resterende rood is? Ongelovelijk klein, vergeleken met de kans dat de resterende wit is.

Het feit dat ie wit blijkt te zijn betekent niet dat ie niet rood had kunnen zijn.

Volgens de vraag kan de bal niet rood zijn.

[ Voor 54% gewijzigd door Confusion op 30-11-2004 14:44 ]

[CBass]

Dat zou wel handig zijn.
Stel: wie begint er met de bal bij het voetbal: kop of munt. Het BLIJKT munt te zijn. De worp was vals, het is 100% munt.

idd Confusion, als jij net zo programmeert als dat je kans berekent, kun je je uitkomsten idd niet echt vertrouwen

[ Voor 29% gewijzigd door CBass op 30-11-2004 14:41 ]

[Salvatron]

Dido schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 14:34:
Dus als iemand 100 keer een 5 gooit met een dobbelsteen, dan zeg jij ook niet "goh, de kans daarop is erg klein", maar je stelt "oh, natuurlijk, het is net gebeurd, dus de kans daarop is 100%"
Er wordt blind, aselect, wilelkeurig een bal uit die zak gehaald. Het feit dat ie wit blijkt te zijn betekent niet dat ie niet rood had kunnen zijn. De kans erop is dus geen 100%.

In feite is er geen sprake van een kans maar van een observatie: in het begin zit er een witte bal in de zak en wanneer je de eerste keer naar een bal grijpt dan zie je dat je een witte bal in je hand hebt. Omdat je dus al weet dat je een witte bal in je hand hebt is het dus zo dat de kans dat de volgende bal ook wit is afhangt van slechts 1 "event", namelijk toen je er blind een rode of witte bal bij deed.

(Als iemand de loterij wint, en dan vraagt: goh, hoe groot is de kans nou dat dat uitgerekend mij overkomt? Dan antwoord je ook 100%?)

Die vraag beantwoord je met 100% als je het antwoord van te voren al weet zoals dat in vraag 16 het geval is.

[CBass]

ja bacterie, dat is juist alleen het toevoegen van de tweede bal bepaalt dat of je rood of wit trekt. Maar door het feit dat je al een witte hebt getrokken is de kans dat er in de zak twee witten zitten groter dan dat er een witte en een rode inzit. Dus de kans dat de tweede trekking ook een witte is is dus groter.
(staat hier pas 100x)

[Oscar Mopperkont]

Confusion schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 14:37:
...Ik heb voldoende onzin bij elkaar gesimuleerd ...

Dat geloof ik graag ja als je jouw logica gebruikt!

Maar nogmaals, dat je een witte bal hebt getrokken betekent niet dat je de eerste witte bal hebt getrokken die dus vanaf het begin in de zak zat. Het is heel goed mogelijk dat je de witte bal hebt getrokken die je erbij hebt gedaan. Daar houd je absoluut geen rekening mee.

[Lordy79]

Tjonge...

Ik dacht eerst dat ik heeeeeeeel erg dom was omdat ik dacht dat het 3/4 was, maar als Confusion hetzelfde denkt, durf ik toch te posten... hehe


We hebben een zak met 1 witte bal. (de 1e bal)
De kans dat bal 1 wit is, is 100%.

We doen hier een bal bij bij. (de 2e bal)
De kans dat bal 2 wit is, is 50%.

Vervolgens halen we er eentje uit die wit is. Dat is OF bal 1, OF bal 2.

Als bal 1 verwijderd is, dan is de kans 50% dat de overblijvende bal (in dit geval de 2e bal) wit is. Immers: de kans dat de 2e bal wit is, is 50%.

Als bal 2 verwijderd is, dan is de kans 100% dat de overblijvende bal (in dit geval de 1e bal) wit is, aangezien gegeven is dat de eerste bal wit is.

Aangezien we niet MEER weten, is de kans dus (50% van 50%) + (50% van 100%) dat de overgebleven bal wit is. En dit som is 75%.


(edit: toelichting op die eindberekening:

kans = (50% van 50%) + (50% van 100%)

1e 50% - de kans dat bal 1 is verwijderd
2e 50% - de kans dat bal 2 (die overgebleven is) wit is

3e 50% - de kans dat bal 2 is verwijderd
4e 100% - de kans dat bal 1 (die overgeleven is) wit is (dit is een gegeven)

[ Voor 16% gewijzigd door Lordy79 op 30-11-2004 14:53 ]

[Salvatron]

CBass schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 14:45:
ja bacterie, dat is juist alleen het toevoegen van de tweede bal bepaalt dat of je rood of wit trekt. Maar door het feit dat je al een witte hebt getrokken is de kans dat er in de zak twee witten zitten groter dan dat er een witte en een rode inzit. Dus de kans dat de tweede trekking ook een witte is is dus groter.
(staat hier pas 100x)

Dat staat er 100x fout. Dit is de vraag:

Vraag 16: Je hebt een zak met een witte bal. Je doet er blind een rode of witte bal bij. Vervolgens haal je één bal uit de zak. Die blijkt wit te zijn. Hoe groot is de kans dat de resterende bal ook wit is?

Je hebt dus een zak met een witte bal waar je vervolgens een witte bal uithaalt. Hoe groot is de kans dat de volgende keer weer een witte bal getrokken wordt? Dat is een keuze tussen 2 ballen en die kans is dus fifty-fifty. Het antwoord lijkt me dus duidelijk 1/2. (ik haal nooit een hoge score bij de wetenschapsquiz overigens). De kans hangt niet van 3 ballen af maar van 2. Het gaat namelijk om de situatie na de eerste trekking en dan is er slechts de keus tussen 2 ballen.

Het is dus een keuze tussen 2 ballen en niet tussen 3.

[Dido]

Confusion schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 14:35:
Omdat je zeker weet dat je er een witte uithaalt, kan je er ook aselect een rode of witte bijstoppen en dan gewoon in de zak kijken en er een witte uithalen.

Nee, want dan zie je wat er voor bal naast zit!
Aselect trekken en constateren dat de bal wit is, is niet hetzelfde als in de zak kijken en er een (of de) witte uithalen.

Misschien is dat de beste omschrijving van de essentie van het probleem: dit is een zeer bijzondere situatie, als deze zich in de praktijk voor zou doen: altijd een witte bal trekken.

Er wordt niet altijd een witte bal getrokken. Er kan een witte of een rode getrokken worden, en in het geval dat er een witte getrokken wordt gaan we daar conclusies aan verbinden.

Je zult niet met me oneens zijn dat het trekken van een eerste rode bal een grote invloed heeft op de kans van de kleur van de tweede bal.
Maar toch stel je dat als die eerste bal wit is, dat die invloed nul is. Dat is zeer onwaarschijnlijk: ik trek een bal, en afhankelijk van de kleur krijg ik 100% informatie, of helemaal nada... en dat terwijl ik trek "zonder terugleggen" en er dus sprake is van afhankelijke kansen.

Ben je het hier mee eens:

Omdat je zeker weet dat je er een witte uithaalt, kan je er ook aselect een rode of witte bijstoppen en dan gewoon in de zak kijken en er een witte uithalen.?

Nee, want als je in de zak kijkt weet je de kleur van de tweede bal.

Als je het met mijn stuk in italics eens bent, dan wil ik best spelen, maar dat is nogal een zinloze exercitie .

Jij speelt vals (door in de zak te kijken )

Als iemand anders in de zak kijkt en er een witte bal uithaalt terwijl ie kijkt is dat niet hetzelfde als wanneer iemand aselect een bal trekt, en die blijkt wit te zijn.
De eerste persoon had namelijk geen rode kunnen trekken, de tweede persoon wel. Dat ie dat niet gedaan heeft, is het resultaat van de kans dat ie dat al dan niet deed.

[Oscar Mopperkont]

De aantallen in een vraag veranderen maakt het vaak inzichtelijk. Dat is ook met het quizmaster deuren verhaal als je het aantal deuren verhoogd naar 100. Dus ik heb dat met deze vraag ook even gedaan en dan hoop ik dat alle 1/2 mensen het eindelijk gaan snappen

Stel ik heb twee zakken
Zak 1: 100 rode ballen
Zak 2: 99 witte ballen en 1 rode

Ik trek een rode bal. Uit welke zak heb ik denk je een bal gehaald? En welke kleur zal de volgende bal waarschijnlijk dan hebben?

[CBass]

Lees alles dan nog maar een keer door:

er zijn vier mogelijkheden van trekken

trekking 1 trekking 2
1 wit1 wit2
2 wit2 wit1
3 wit1 rood
4 rood wit1

nummer vier valt af, trekking 1 BLIJKT (met de NADRUK op BLIJKT, je kiest dus niet de witte, je trekt er een die BLIJKT wit te zijn, had rood kunnen zijn, maar nee hoor, het BLIJKT) een witte te zijn. Dus dan zijn er nog drie situaties over die alle drie evenveel voorkomen. Twee keer wit een keer rood: dus 2/3

[Lordy79]

CBass schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 15:01:
Lees alles dan nog maar een keer door:

nummer vier valt af, trekking 1 BLIJKT (met de NADRUK op BLIJKT, je kiest dus niet de witte, je trekt er een die BLIJKT wit te zijn, had rood kunnen zijn, maar nee hoor, het BLIJKT) een witte te zijn. Dus dan zijn er nog drie situaties over die alle drie evenveel voorkomen. Twee keer wit een keer rood: dus 2/3

Ja, lees alles nog maar eens goed door:

Vraag 16:
Je hebt een zak met een witte bal.
Je doet er blind een rode of witte bal bij.
Vervolgens haal je één bal uit de zak.
Die blijkt wit te zijn.
Hoe groot is de kans dat de resterende bal ook wit is?

Het gaat hier om 1 geval. Om DIT geval in vraag 16. Niet om 100 gevallen, maar om DIT geval.

Je haalt VERVOLGENS 1 bal uit de zak.
Die blijkt wit te zijn.
Hoe groot is de kans dat de RESTERENDE bal ook wit is?


De 2/3 mensen lezen de vraag zo:


Vraag 16:
Je hebt een zak met een witte bal.
Je doet er blind een rode of witte bal bij.
Vervolgens haal je één bal uit de zak.
Hoe groot is de kans dat de resterende bal wit is?

(dus o.a. Oscars opmerking dat het handiger wordt als je de aantallen vergroot, gaat in dit geval niet op, tenzij je vraag 16 fout leest)

[ Voor 7% gewijzigd door Lordy79 op 30-11-2004 15:07 ]

[Oscar Mopperkont]

@CBass: Misschien handig als je laat blijken tegen wie je het hebt, nu lijkt het net alsof je het tegen mij hebt, terwijl ik de eerste op GoT was die in het 2/3 kamp zat! Ik ben oprichter van dat kamp

[Salvatron]

CBass schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 15:01:
Lees alles dan nog maar een keer door:

Ik had het al doorgelezen en ik blijf bij 1/2.

er zijn vier mogelijkheden van trekken

trekking 1 trekking 2
1 wit1 wit2
2 wit2 wit1
3 wit1 rood
4 rood wit1

Nee, er zijn slechts 2 mogelijkheden:
1) je trekt een witte bal
2) je trekt een rode bal

nummer vier valt af, trekking 1 BLIJKT (met de NADRUK op BLIJKT, je kiest dus niet de witte, je trekt er een die BLIJKT wit te zijn, had rood kunnen zijn, maar nee hoor, het BLIJKT) een witte te zijn. Dus dan zijn er nog drie situaties over die alle drie evenveel voorkomen. Twee keer wit een keer rood: dus 2/3

Nee, het gaat namelijk om de situatie NA de eerste trekking. Lees de vraag maar eens goed: er wordt de vraag gesteld hoe groot de kans is NA de eerste trekking en het gaat hier dus om 2 ballen en niet om 3. Er staat in de vraag: hoe groot is de kans dat de resterende bal ook wit is? En het gaat hier dus om de situatie NADAT de eerste bal uit de zak is gehaald. Het gaat dus om een keuze tussen 2 ballen en niet tussen 3 en de kans is dus 1/2.

[CBass]

Ik zit in het 2/3 kamp (en waarschijnlijk het kamp met mensen die statisiek hebben gehad en dus ook weten dat je het eigenlijk moet uitrekenen volgens de manier die beschreven staat door sendy).

Is iedereen het er wel mee eens dat er in het totaal twee mogelijk heden zijn die er in de zak kunnen zitten
1 wit1 en wit2
2 wit1 en rood

Lijkt me duidelijk: ja iedereen mee eens!
nu gaan we trekken!!!

trekking 1: rood (telt niet meer mee, eerste bal blijkt wit te zijn)
opnieuw:
trekking 1 wit1 (jippie: blijven wit 2 en rood over). trekking 2:rood of trekking 2: wit2
is er dus nog een mogelijkheid die even veel waarschijnlijkheid heeft
trekking 1 wit2: (jippie, blijf er wit1 over) trekking 2: wit1
Dus drie geldige trekkingen: twee keer kans op wit en een op rood: 2/3

[Dido]

Is er iemand die deze formulering anders vindt dan die van de vraag?
Er is een zak met N ballen. Minimaal 1 bal is wit, en er zijn 0 of meer rode ballen. Ik trek N-1 ballen uit de zak. Die blijken allemaal wit te zijn. Hoe groot is de kans dat de laatste bal ook wit is?

Stel nu N op 1000. Ik trek (blind) 999 ballen uit de zak. Hoe groot is de kas dat de laatste bal ook wit is?

De 1/2 voorstanders zullen ook nu 1/2 stellen: er is gegeven dat de ballen wit of rood zijn, en er zit 1 bal in de zak. (En er wonen mensen op de maan ).

Ik zou zonder nadenken mijn geld op een witte bal zetten, en wel hierom:
Als er een rode bal in de zak zat (meer dan 1 kan niet meer: er zijn al 999 witte ballen getrokken!) dan zou het redelijk waarschijnlijk zijn dat die bij 999 keer trekken uit 1000 ballen een keer tevoorschijn was gekomen: 1-(999/1000*998/999*997/998...1/2) = 99.90%.
Het is heel wat waarschijnlijker dat er helemaal geen rode bal was (dat is dus de meest waarcshijnlijke verklaring voor het feit dat er 999 witte ballen zijn getrokken) en dus ligt het het meest voor de hand dat de laatste bal ook wit is. De laaste bal kan rood zijn, maar dat is erg onwaarschijnlijk.

Anders gesteld: als je niet weet hoe groot de kans op een rode bal is voordat je begint te trekken en je trekt 999 witte ballen, dan is het wellicht geen slecht idee om je verwachting bij te stellen.

[Dido]

bacterie schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 15:10:
Nee, er zijn slechts 2 mogelijkheden:
1) je trekt een witte bal
2) je trekt een rode bal

Natuurlijk, de vraag is hoe groot de kans is dat 1 van die twee gebeurt. Het feit dat er twee mogelijkheden zijn, betekent niet dat de kans daarop even groot is! (Nogmaals: dan wonen er mensen op de maan.)

[Lordy79]

Dido schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 15:23:
Is er iemand die deze formulering anders vindt dan die van de vraag?
Er is een zak met N ballen. Minimaal 1 bal is wit, en er zijn 0 of meer rode ballen. Ik trek N-1 ballen uit de zak. Die blijken allemaal wit te zijn. Hoe groot is de kans dat de laatste bal ook wit is?

Ja. Ik!

Zie mijn post hierboven.


Ik denk ook dat het grootste probleem tussen de 2/3 en de 3/4 mensen is, dat ze de vraag verschillend interpreteren. Het is net religie

[ Voor 15% gewijzigd door Lordy79 op 30-11-2004 15:29 ]

[Salvatron]

CBass schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 15:22:
Ik zit in het 2/3 kamp (en waarschijnlijk het kamp met mensen die statisiek hebben gehad en dus ook weten dat je het eigenlijk moet uitrekenen volgens de manier die beschreven staat door sendy).

Het is geen kwestie van statistiek maar van taalkunde: de situatie in de vraag heeft betrekking op 2 ballen en niet op 3. Je kunt wel de kans gaan berekenen in een situatie die betrekking heeft op 3 ballen maar daar gaat de vraag niet over.

Is iedereen het er wel mee eens dat er in het totaal twee mogelijk heden zijn die er in de zak kunnen zitten
1 wit1 en wit2
2 wit1 en rood

Lijkt me duidelijk: ja iedereen mee eens!
nu gaan we trekken!!!

Helemaal niet mee eens! Er is maar 1 mogelijkheid die er in de zak kan zitten, namelijk een witte en een rode bal.

trekking 1: rood (telt niet meer mee, eerste bal blijkt wit te zijn)
opnieuw:
trekking 1 wit1 (jippie: blijven wit 2 en rood over). trekking 2:rood of trekking 2: wit2
is er dus nog een mogelijkheid die even veel waarschijnlijkheid heeft
trekking 1 wit2: (jippie, blijf er wit1 over) trekking 2: wit1
Dus drie geldige trekkingen: twee keer kans op wit en een op rood: 2/3

Er zijn maar twee geldige trekkingen want er zijn maar 2 ballen in de zak:
trekking 1: wit
trekking 1: rood

Je hebt een witte bal in je hand en de vraag welke bal er nu in de zak zit hangt slechts af van 1 ding: welke kleur je blind gekozen hebt.

[ Voor 8% gewijzigd door Salvatron op 30-11-2004 15:39 ]

[Lordy79]

Ik vind dat voor bacteries verhaal ook veel valt te zeggen.


Maar het ligt er volledig aan hoe je de vraag interpreteert. Wat is nu de beste interpretatie? Ik ben bang dat dat die van bacterie is.

[clements]

ik heb niet het hele topic gelezen, maar volgens mij maakt het alleen uit welke bal je er in stop omdat er al een witte inzit. de kans dat je een rode of een witte erin doet is toch gewoon 1/2
edit : eigenlijk hetzelfde wat bacterie zegt.

[ Voor 11% gewijzigd door clements op 30-11-2004 15:35 ]

[Oscar Mopperkont]

Bacterie heeft zelf even wat taallessen nodig, daar ik niemand maar dan ook niemand in dit topic heb zien beweren dat er ineens 3 ballen in de zak zouden zitten.
Omdat er twee mogelijkheden zijn bij het meespelen bij een loterij, namelijk je wint of je wint niet, betekent dat geenszins dat de kans op winnen en niet winnen dus automatisch gelijk is. Doordat je weet dat je een witte bal hebt getrokken is het waarschijnlijker dat je in een zak met twee witte ballen hebt lopen graaien. Zie mijn voorbeeld hierboven:
Oscar Mopperkont in "De Nationale Wetenschapsquiz 2004, vrage..."

Verder is het totaal geen kwestie van interpreteren, de vraag is volstrekt duidelijk gesteld. Het is alleen nog een kwestie van logica, je beroepen op een verkeerde interpretatie kan in dit stadium echt niet meer Je kunt de vraag misschien in eerste instantie verkeerd gelezen hebben, maar het is nu al een keer of duizend gezegd dat het niet vaststaat dat je de beginbal hebt getrokken, je daar nu nog op gaan beroepen is gewoon een zwaktebod om te verdoezelen dat je het gewoon niet snapte. Er is niks ergs aan als je het niet snapt, maar ga geen lullig excuus bedenken.

[ Voor 34% gewijzigd door Oscar Mopperkont op 30-11-2004 15:39 ]

[CBass]

bacteries leg mij maar eens uit waar er bij mij drie ballen in de zak zitten!

[Verwijderd]

Dido schreef op maandag 29 november 2004 @ 16:20:
Ik had alweer geedit, he

Het regen-verhaal gaat op zolang jij stelt dat
"dus dan blijft er 1 bal over die wit of rood kan zijn dus 50 % kans"
houd je geen enkele rekening met andere relevante informatie. Mijn voorbeeld met regen is volledig accuraat, uitgaande van wat jij opschreef: het kan A zijn, of het kan B zijn, dus de kans op A is 50%.

Een bekende illustratie van waarom dat niet mag is de volgende:

Er wonen mensen op de maan, of niet. Twee mogelijkheden, dus 50% kans.
Er wonen 0, 1 of meer mensen op de maan. Drie mogelijkheden, ieder 33% kans.
Er wonen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 of meer mensen op de maan. 10 mogelijkheden, ieder 10% kans.

In dat laatste geval kan ik 1, 2, 3 of meer allemaal samenvatten als "er wonen mensen op de maan".

De kans daarop is 90%!

Als ik dit doorzet kan ik het erg onwaarschijnlijk maken dat er geen mensen wonen

Ik weet niet of je met jouw zin iets anders bedoelde, maar zoals ie er staat is je uitspraak volledig equivalent met
• Het regent of wel, of niet -> 50% kans
• Er wonen mensen op de maan, of niet -> 50% kans
• Er is een rode bal, of niet -> 50% kans

Nu haal jij een vraag aan waarvan we het antwoord al weten. Wat erg misleidend en overtuigend is.

- Je hebt een vraag met daarbij tien antwoorden.
- Je weet het antwoord niet.
- Maar je mag negen antwoorden uitkiezen en als het juiste antwoord er tussen zit heb je de vraag goed.

Hoe groot is de kans dat je vraag goed hebt?

Hoe meer antwoorden er bij komen, zolang je maar alle antwoorden minus één mag selecteren, des groter de kans is dat je het de vraag goed beantwoord

[Confusion]

Ik zal het eens proberen uit te leggen op basis van 100 zakken. Men neme 100 zakken met een witte bal. Vervolgens stoppen we in elke zak aselect een witte of een rode bal erbij. Laten we zeggen dat het toevallig precies 50/50 is, dus we hebben nu 50 zakken wit/wit en 50 zakken met wit/rood.

Nu even een belangrijk punt: de vraag gaat over 1 zak, waaruit we een witte bal trekken. Gaan we het experiment meerdere keren uitvoeren, twee of honderd keer, dan trekken we in ieder experiment een witte bal uit de zak. Uit iedere zak waar de vraag over gaat wordt tenslotte een witte bal getrokken.

We hadden dus 50 zakken wit/wit en 50 zakken wit/rood, waarna we uit iedere zak, los van elkaar, een bal trekken die wit blijkt te zijn. Dan hebben we 50 zakken met een witte bal en 50 zakken met een rode bal over toch? Anders heb je geen bal getrokken die wit blijkt te zijn.

De vraag gaat over zakken waaruit een bal getrokken wordt die wit blijkt te zijn. Als je dit N keer achter elkaar doet, uit ongerelateerde zakken, dan zal je een witte bal trekken uit gemiddeld N/2 zakken die wit/wit bevatten en N/2 zakken die wit/rood bevatten. Je houdt dan N/2 zakken met een witte bal en N/2 zakken met een rode bal over.

[ Voor 17% gewijzigd door Confusion op 30-11-2004 15:40 ]

[Verwijderd]

Als de kans dat je een witte bal pakt 3/4 is, dan moet de kans dat je een rode bal pakt wel 1/4 zijn, want de totaalkans is uiteraard 1.

Ben erg benieuwd of iemand uit het 3/4-kamp daar ook een mooie kromme redenering voor kan aanvoeren.

Dus, waarom is de kans op een rode bal 1/4?

[Oscar Mopperkont]

Confusion schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 15:37:
Ik zal het eens proberen uit te leggen op basis van 100 zakken. Men neme 100 zakken met een witte bal. Vervolgens stoppen we in elke zak aselect een witte of een rode bal erbij. Laten we zeggen dat het toevallig precies 50/50 is, dus we hebben nu 50 zakken wit/wit en 50 zakken met wit/rood.

Nu even een belangrijk punt: de vraag gaat over 1 zak, waaruit we een witte bal trekken. Gaan we het experiment meerdere keren uitvoeren, twee of honderd keer, dan trekken we in ieder experiment een witte bal uit de zak. Uit iedere zak waar de vraag over gaat wordt tenslotte een witte bal getrokken.

We hadden dus 50 zakken wit/wit en 50 zakken wit/rood, waarna we uit iedere zak, los van elkaar, een bal trekken die wit blijkt te zijn. Dan hebben we 50 zakken met een witte bal en 50 zakken met een rode bal over toch? Anders heb je geen bal getrokken die wit blijkt te zijn.

De vraag gaat over zakken waaruit een bal getrokken wordt die wit blijkt te zijn. Als je dit N keer achter elkaar doet, uit ongerelateerde zakken, dan zal je een witte bal trekken uit gemiddeld N/2 zakken die wit/wit bevatten en N/2 zakken die wit/rood bevatten. Je houdt dan N/2 zakken met een witte bal en N/2 zakken met een rode bal over.

Je zult twee keer zo vaal uit een rood-witte zak een bal moeten trekken om tot een witte bal te komen, dan als je dat doet uit een wit-wit zak. Dat vergeet je telkens mee te nemen.

[Confusion]

Oscar Mopperkont schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 15:41:
Je zult twee keer zo vaal uit een rood-witte zak een bal moeten trekken om tot een witte bal te komen

Dat klopt, maar daar gaat de vraag niet over. De vraag gaat alleen over zakken waaruit je een witte bal trekt. Dat is het tegenintuitieve aan de vraag. Je hebt ontzettend veel zakken nodig, maar daar gaat de vraag niet over en dus neem ik die niet mee.

Kan je aanwijzen wat er aan mijn verhaal niet klopt?

[ Voor 6% gewijzigd door Confusion op 30-11-2004 15:44 ]

[Salvatron]

Oscar Mopperkont schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 15:34:
Bacterie heeft zelf even wat taallessen nodig, daar ik niemand maar dan ook niemand in dit topic heb zien beweren dat er ineens 3 ballen in de zak zouden zitten.

Ik heb m'n post even aangepast.

Omdat er twee mogelijkheden zijn bij het meespelen bij een loterij, namelijk je wint of je wint niet, betekent dat geenszins dat de kans op winnen en niet winnen dus automatisch gelijk is. Doordat je weet dat je een witte bal hebt getrokken is het waarschijnlijker dat je in een zak met twee witte ballen hebt lopen graaien.

Je voegt nu iets toe wat niet in de vraag staat, namelijk dat het waarschijnlijk is dat je in een zak met witte ballen hebt lopen graaien. Dat volgt niet uit de vraag.

Je kunt de vraag misschien in eerste instantie verkeerd gelezen hebben, maar het is nu al een keer of duizend gezegd dat het niet vaststaat dat je de beginbal hebt getrokken, je daar nu nog op gaan beroepen is gewoon een zwaktebod om te verdoezelen dat je het gewoon niet snapte. Er is niks ergs aan als je het niet snapt, maar ga geen lullig excuus bedenken.

De beginbal staat wel vast: die is wit.

[Verwijderd]

Deze vraag kun je toch echt maar op 1 manier interpreteren en dan kom je toch echt op 2/3 uit, hoe intuitief het antwoord 1/2 ook moge klinken.

Het feit dat de 1e bal wit is is een toevalligheid in dit experiment en daarmee kun je dus niet zeggen dat bij herhaling je altijd een witte bal als eerste trekt. Daar zit de gedachtefout in het 1/2 kamp. Het feit dat de eerste bal wit is heeft nl. consequenties voor de kans dat de resterende bal ook wit is.

[Salvatron]

CBass schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 15:35:
bacteries leg mij maar eens uit waar er bij mij drie ballen in de zak zitten!

Die had ik er even bijgetoverd - ehm er zit nog maar 1 bal in de zak: een rode of een witte - welke weet je niet.

[abeker]

Verander de vraag nu eens in het volgende:
Je hebt een zak met een witte bal.
Je doet er blind een rode of witte bal bij.
Vervolgens haal je één bal uit de zak.
Die blijkt wit te zijn.
Hoe groot is de kans dat deze bal uit een zak kwam waar eerst twee witten ballen in zaten?

Als je ziet waarom hier de kans 2/3 is, dan zie je ook waarom het antwoord op de originele vraag 2/3 is.

[clements]

Verwijderd schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 15:45:
Deze vraag kun je toch echt maar op 1 manier interpreteren en dan kom je toch echt op 2/3 uit, hoe intuitief het antwoord 1/2 ook moge klinken.

Het feit dat de 1e bal wit is is een toevalligheid in dit experiment en daarmee kun je dus niet zeggen dat bij herhaling je altijd een witte bal als eerste trekt. Daar zit de gedachtefout in het 1/2 kamp. Het feit dat de eerste bal wit is heeft nl. consequenties voor de kans dat de resterende bal ook wit is.

je weet wel 100 % zeker dat er 1 witte in de zak zit.

het maakt toch ook niet uit in welke volgorde de ballen uit de zak getrokken wordt. de kans wordt toch bepaalt door welke bal er in gaat. wat er in gaat komt er automatisch uit.
50% kans wit erin = 50% kans wit eruit.
50% kans rood erin = 50% kans rood eruit.

[ Voor 18% gewijzigd door clements op 30-11-2004 15:51 ]

[Confusion]

Verwijderd schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 15:45:
Het feit dat de 1e bal wit is is een toevalligheid in dit experiment

Het is in dit experiment geen toevalligheid meer.

Anders moet je een fout in mijn laatste voorbeeld aan kunnen wijzen. Wat klopt er niet met de vraag? Dat ik uit iedere zak een witte bal haal? Toch is dat wat er staat: ik haal uit iedere zak een bal die wit blijkt te zijn. Dat is toch wat ik doe in mijn voorbeeld? Dat dat buitengewoon onwaarschijnlijk is, honderd keer achter elkaar, is een heel ander verhaal.

[Lordy79]

Verwijderd schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 15:38:
Als de kans dat je een witte bal pakt 3/4 is, dan moet de kans dat je een rode bal pakt wel 1/4 zijn, want de totaalkans is uiteraard 1.

Ben erg benieuwd of iemand uit het 3/4-kamp daar ook een mooie kromme redenering voor kan aanvoeren.

Dus, waarom is de kans op een rode bal 1/4?

Heel goed.

Nou.
We begonnen met 1 witte (bal1)
we dedener een onbekende kleur bal bij (bal2)

Vervolgens haalden we er een bal uit, die wit bleek te zijn:

Stel, dat die bal bal 1 was, dan blijft bal 2 over. De kans dat de overblijvende bal dan ROOD is, is 50%. (immers, bal2 kan rood of wit zijn)

Stel, dat die bal bal 2 was, dan blijft bal 1 over. De kans dat de overblijvende bal dan WIT is, is 0% (immers, bal 1 is wit)

Totale kans voor rood is dus: (50% van 50%) + (50% van 0%) = 25% = 1/4

1e 50% = kans dat bal 1 eruit gehaald is.
2e 50% = kans dat de 2e bal rood is.
3e 50% = kans dat bal 2 eruit gehaald is.
0% = kans dat de 1e bal rood is.


Helder toch?


Als ik er nog langer over ga denken, denk ik straks dat alle ballen roze zijn...

[ Voor 5% gewijzigd door Lordy79 op 30-11-2004 15:51 ]

[Salvatron]

bacterie schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 15:44:
De beginbal staat wel vast: die is wit.

O, nou begrijp ik wat er bedoeld wordt met de "beginbal". Inderdaad staat die bal niet vast. Je kunt immers niet weten waar die witte bal vandaan kwam.

Het punt is dat er op een gegeven moment 2 ballen in de zak zitten: 1 ervan is sowieso wit, de kleur van de andere is rood of wit. Omdat je nu een witte bal er uit hebt gehaald is het dus in feite zo dat de kans volgens mij afhangt van de vraag welke bal je blind gekozen hebt. Het punt is dat de situatie die beschreven heeft volgens mij betrekking heeft op de keuzemogelijkheid tussen een rode en een witte bal en niet tussen een rode en 2 witte.

[Sendy]

Gelukkig zijn er veel mensen die er een idiote gedachtegang op na houden. Geeft mij meer kans om de wetenschapkwis te winnen

[clements]

Lordy79 schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 15:50:
[...]


Heel goed.

Nou.
We begonnen met 1 witte (bal1)
we dedener een onbekende kleur bal bij (bal2)

Vervolgens haalden we er een bal uit, die wit bleek te zijn:

Stel, dat die bal bal 1 was, dan blijft bal 2 over. De kans dat de overblijvende bal dan ROOD is, is 50%. (immers, bal2 kan rood of wit zijn)

Stel, dat die bal bal 2 was, dan blijft bal 1 over. De kans dat de overblijvende bal dan WIT is, is 0% (immers, bal 1 is wit)

Totale kans voor rood is dus: (50% van 50%) + (50% van 0%) = 25% = 1/4

1e 50% = kans dat bal 1 eruit gehaald is.
2e 50% = kans dat de 2e bal rood is.
3e 50% = kans dat bal 2 eruit gehaald is.
0% = kans dat de 1e bal rood is.


Helder toch?


Als ik er nog langer over ga denken, denk ik straks dat alle ballen roze zijn...

de kans is dan 100 % dat bal 1 wit is. of snap ik er nix meer van

[Lordy79]

alclemenso schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 15:55:
[...]


de kans is dan 100 % dat bal 1 wit is. of snap ik er nix meer van

Nee, lees hier mijn eerdere post (Sorry voor de lange quote)

Lordy79 schreef eerder:
We hebben een zak met 1 witte bal. (de 1e bal)
De kans dat bal 1 wit is, is 100%.

We doen hier een bal bij bij. (de 2e bal)
De kans dat bal 2 wit is, is 50%.

Vervolgens halen we er eentje uit die wit is. Dat is OF bal 1, OF bal 2.

Als bal 1 verwijderd is, dan is de kans 50% dat de overblijvende bal (in dit geval de 2e bal) wit is. Immers: de kans dat de 2e bal wit is, is 50%.

Als bal 2 verwijderd is, dan is de kans 100% dat de overblijvende bal (in dit geval de 1e bal) wit is, aangezien gegeven is dat de eerste bal wit is.

Aangezien we niet MEER weten, is de kans dus (50% van 50%) + (50% van 100%) dat de overgebleven bal wit is. En dit som is 75%.


(edit: toelichting op die eindberekening:

kans = (50% van 50%) + (50% van 100%)

1e 50% - de kans dat bal 1 is verwijderd
2e 50% - de kans dat bal 2 (die overgebleven is) wit is

3e 50% - de kans dat bal 2 is verwijderd
4e 100% - de kans dat bal 1 (die overgeleven is) wit is (dit is een gegeven)

[ Voor 6% gewijzigd door Lordy79 op 30-11-2004 15:57 ]

[RikTW]

alclemenso schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 15:55:
[...]


de kans is dan 100 % dat bal 1 wit is. of snap ik er nix meer van

In 3/4 van de gevallen wel ja

[Dido]

Confusion schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 15:49:
Het is in dit experiment geen toevalligheid meer.

Anders moet je een fout in mijn laatste voorbeeld aan kunnen wijzen. Wat klopt er niet met de vraag? Dat ik uit iedere zak een witte bal haal? Toch is dat wat er staat: ik haal uit iedere zak een bal die wit blijkt te zijn. Dat is toch wat ik doe in mijn voorbeeld? Dat dat buitengewoon onwaarschijnlijk is, honderd keer achter elkaar, is een heel ander verhaal.

Nee, het gebeurt niet dat je honderd keer een witte bal trekt: je trekt 75 keer een witte bal, en 25 keer een rode (idealiter).
De gevallen waarin de rode bal getrokken worden rekenen we niet door: we willen alleen weten wat er gebeurt als we een witte bal trekken.

Jij bent ook in mijn voorbeeld met 1000 zakken zeker dat de kans op een rode bal 50% is? (En ben je het eens met mijn herverwoording van de vraag?)

Als de vraag verwoord was als: ... je trekt een bal uit de zak. Wat is de kans dat de overgebleven bal wit is, als de eerste bal wit was, en wat is die kans als die eerste bal rood was?

Dan is er niet gegeven wat de kleur van de eerste bal is. Je zult dan geen enkele reden hebben om dat als feit (kans = 1) aan te nemen, en dan zou de kans op twee witte ballen opeens groter zijn?

[Dido]

Lordy79 schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 15:25:
Ja. Ik!

Zie mijn post hierboven.

Ik kan met de beste wil van de wereld niet zien wat het verschil tussen de oorspronkelijk vraag en mijn - iets algemener opgestelde - herdefinitie van de situatie is. Ook niet met behulp van jouw post. Zou je toe kunnen lichten waar het verschil dan zit?
(De openingsvraag is een specfiek geval van mijn formulering voor N=2: er zijn 2 ballen, minimaal 1 witte, 0 of meer rode, en alle ballen op een na worden getrokken en blijken wit te zijn.)

[Oscar Mopperkont]

Confusion schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 15:44:
[...]

Dat klopt, maar daar gaat de vraag niet over. De vraag gaat alleen over zakken waaruit je een witte bal trekt. Dat is het tegenintuitieve aan de vraag. Je hebt ontzettend veel zakken nodig, maar daar gaat de vraag niet over en dus neem ik die niet mee.

Kan je aanwijzen wat er aan mijn verhaal niet klopt?

Ja, zie Oscar Mopperkont in "De Nationale Wetenschapsquiz 2004, vrage..."

Je hebt een witte bal getrokken de kans is aanmerkelijk groter (2x om precies te zijn) dat je dus in een zak hebt lopen graaien waar twee witte ballen inzaten. Als je een rode bal trekt weet je immers ook zeker dat je in een zak hebt lopen graaien waar een witte en een rode bal inzat. Wat je trekt zegt dus wel degelijk iets over de kans in wat voor zak je hebt lopen graaien. Bekijk mijn gegeven link nog maar eens en beantwoord daarna "vraag 16" nog eens en je zult inzien dat het 2/3 is

[Salvatron]

abeker schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 15:47:
Verander de vraag nu eens in het volgende:
Je hebt een zak met een witte bal.
Je doet er blind een rode of witte bal bij.
Vervolgens haal je één bal uit de zak.
Die blijkt wit te zijn.
Hoe groot is de kans dat deze bal uit een zak kwam waar eerst twee witten ballen in zaten?

Als je ziet waarom hier de kans 2/3 is, dan zie je ook waarom het antwoord op de originele vraag 2/3 is.

Oke, een poging: Je hebt dus een zak met 1 witte bal erin. Vervolgens knal je er een bal in die rood of wit is. Vervolgens grijp je er een bal uit die wit is maar dat hoeft niet de beginbal te zijn geweest. Maar omdat het antwoord al vast staat (bal is wit) hangt dus in feite de kans af van slechts 1 ding: welke bal je blind gekozen hebt. Ik zou dus zeggen dat de kans hier ook 1/2 is. Het punt is dat je al weet dat je een witte bal hebt gepakt.

[mycosis]

Misschien hulp bij de bonusvraag?

http://village.fortunecity.com/carnival/383/adverts.htm

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 15:45:
Deze vraag kun je toch echt maar op 1 manier interpreteren en dan kom je toch echt op 2/3 uit, hoe intuitief het antwoord 1/2 ook moge klinken.

Het feit dat de 1e bal wit is is een toevalligheid in dit experiment en daarmee kun je dus niet zeggen dat bij herhaling je altijd een witte bal als eerste trekt. Daar zit de gedachtefout in het 1/2 kamp. Het feit dat de eerste bal wit is heeft nl. consequenties voor de kans dat de resterende bal ook wit is.

We hebben hier toch niet over herhaling? Dat is waar al die statiestiekmensen de fout in gaan.

[Lordy79]

Dido schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 16:00:

Is er iemand die deze formulering anders vindt dan die van de vraag?
Er is een zak met N ballen. Minimaal 1 bal is wit, en er zijn 0 of meer rode ballen. Ik trek N-1 ballen uit de zak. Die blijken allemaal wit te zijn. Hoe groot is de kans dat de laatste bal ook wit is?

Ik ga jouw formulering even aanpassen:

Er is een zak waarin N ballen zaten. Minimaal 1 bal was wit, en er waren 0 of meer rode ballen. Ik trok N-1 ballen uit de zak. Die beken allemaal wit te zijn. Hoe groot is de kans dat de laatste bal ook wit is?

Stel dat N nu 1000 was. Ik trok er (blind) 999 ballen uit en deze bleken allemaal wit te zijn. Hoe groot is de kans dat de laatste bal ook wit is?


Lordy79's antwoord:
In jouw geval, waarbij N = 1000, is de kans praktisch 0 dat de 1000e ook wit is. Maar gegeven is dat N = 2, waarbij minimaal 1 bal wit was.

Dus:

Stel dat N nu 2 was, waarbij minimaal 1 bal wit was. Ik trok er (blind) [N - 1] = 1 bal uit en deze bleek wit te zijn. Hoe groot is de kans dat de laatste bal ook wit is?

Die kans is 3/4

[CBass]

andere vraag:
Je doet een groene bal in een zak. Dan kies je blind een bal uit twee (een rode en een witte), deze bal doe je ook in de zak. Wat is de kans dat de tweede getrokken bal rood is.

antwoord 1/4.
namelijk vier mogelijk heden van trekken:
1: trekking 1 groen trekking 2 wit
2: trekking 1 groen trekking 2 rood
3: trekking 1 wit trekking 2 groen
4: trekking 1 rood trekking 2 groen

iedereen mee eens.

Nu ben ik ineens kleuren blind en zie ik geen verschil meer tussen groen en wit. Maar ik heb trekking 1 als gedaan en die blijkt groen cq wit te zijn, dus niet rood.
Wat houd ik dan over
trekking 2 wit
trekking 2 rood
trekking 2 groen

De kans dat ik nu nog rood trek is 1/3. hoppa kans op niet rood (kleurenblind wit/groen) 2/3
En dit is de 101 ste keer

[Lordy79]

[een hele domme post, even weggehaald]

ik stop even met de discussie

*schaam schaam*

[ Voor 93% gewijzigd door Lordy79 op 30-11-2004 16:24 ]

[CBass]

tuurlijk niet, Lordy79. Er kunnen in mijn laatste voorbeeld nog drie kleuren inzitten.
Groen, wit en rood. Die alle drie evenveel waarschijnlijkheid hebben.

[Confusion]

Dido schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 15:58:
Jij bent ook in mijn voorbeeld met 1000 zakken zeker dat de kans op een rode bal 50% is? (En ben je het eens met mijn herverwoording van de vraag?)

Je bedoelt:

Er is een zak met N ballen. Minimaal 1 bal is wit, en er zijn 0 of meer rode ballen. Ik trek N-1 ballen uit de zak. Die blijken allemaal wit te zijn. Hoe groot is de kans dat de laatste bal ook wit is?

Stel nu N op 1000. Ik trek (blind) 999 ballen uit de zak. Hoe groot is de kas dat de laatste bal ook wit is?

De 1/2 voorstanders zullen ook nu 1/2 stellen: er is gegeven dat de ballen wit of rood zijn, en er zit 1 bal in de zak.

Die verwoording klopt niet. Er is een zak met N ballen. N-1 ballen zijn wit. De laatste bal is aselect rood of wit. Je trekt N-1 ballen uit de zak, die allen wit blijken te zijn. Hoe groot is de kans dat de laatste bal ook wit is?

De kans dat je N-1 witte ballen trekt uit een zak met 1 rode bal, is ontzettend klein voor grote N. De kans dat de laatste bal wit is, lijkt dus ontzettend groot. Maar: je zakken worden niet geselecteerd door uit oneindig veel zakken diegene te selecteren waaruit je N-1 witte kan trekken. Deze vraag 100 keer herhaald begint 50 keer met N witte ballen en 50 keer met N-1 witte ballen en 1 rode bal. Vervolgens trek je 100 keer N-1 witte ballen uit de zak. Die beginverdeling is absurd scheef. Je zou het experiment onmogelijk veel keren moeten doen om die beginverdeling te krijgen. Maar de vraag is zo opgeschreven dat beginverdeling voor rood of wit als resterende bal gelijk is. Daar zit hem de crux. De kans blijft dus 1/2.

Oscar Mopperkont schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 16:01:
Je hebt een witte bal getrokken de kans is aanmerkelijk groter (2x om precies te zijn) dat je dus in een zak hebt lopen graaien waar twee witte ballen inzaten.

Zie hierboven over waarom deze vraag anders is dan het quizmasterprobleem.

[ Voor 10% gewijzigd door Confusion op 30-11-2004 16:38 ]

[Oscar Mopperkont]

Confusion schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 16:35:
Zie hierboven over waarom deze vraag anders is dan het quizmasterprobleem.

De vraag is ook heel anders dan het quizmaster probleem, ik zeg alleen maar dat het quizmaster probleem inzichtelijker wordt met meer deuren en dat dat voor dit probleem in zekere zin ook geldt.

Daarom herhaal ik mijn vraag:
Stel ik heb twee zakken
Zak 1: 100 rode ballen
Zak 2: 99 witte ballen en 1 rode

Ik trek een rode bal. Uit welke zak heb ik denk je een bal gehaald? En welke kleur zal de volgende bal waarschijnlijk dan hebben?

Wat is je antwoord op die vraag Confusion?

Ga het experiment anders eens 100 keer uitvoeren, zoals beschreven in de vraag 16, wedden dat je op 2/3 uitkomt?

[ Voor 9% gewijzigd door Oscar Mopperkont op 30-11-2004 16:49 ]

[Lordy79]

11 stellingen:

1. Je had een witte. Deze bal noem ik 'WITJE'
2. Daar is een rode of een witte bijgekomen. Deze 2e bal noem ik even 'ROODWITJE'.
3. De kans dat ROODWITJE WIT is, is 50%.
4. De kans dat ROODWITJE ROOD is, is 50%
5. Vervolgens is er eentje willekeurig verwijderd.
6. De verwijderde (Zijn naam is VERWIJDERBAL) is WIT.
7. De kans dat ROODWITJE er nog inzit is 50%
8. De kans dat WITJE er nog inzit is 50%.
9. De kans dat ROODWITJE WIT is en BOVENDIEN in nog in de zak zit is 50% van 50% = 25%

10. De kans dat WITJE WIT is en BOVENDIEN nog in de zak zit is 50% van 100% = 50%

11. Dus de kans dat de bal die overbleef wit is, is 50% + 25% = 75%.


Als je het niet met me eens bent: prima! Maar zeg dan waar ik de mist in ga!

[Lordy79]

Oscar Mopperkont schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 16:41:

Ga het experiment anders eens 100 keer uitvoeren, zoals beschreven in de vraag 16, wedden dat je op 2/3 uitkomt?

Ik GA het 100x uitvoeren. en wel nu...

ik ben het beu...

[Dido]

[quote]Confusion schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 16:35:
Die verwoording klopt niet. Er is een zak met N ballen. N-1 ballen zijn wit. De laatste bal is aselect rood of wit. Je trekt N-1 ballen uit de zak, die allen wit blijken te zijn. Hoe groot is de kans dat de laatste bal ook wit is? [quote]
Subtiel verschil, inderdaad. Toch maakt het weinig uit. Ook als er maximaal 1 rode bal is (jouw versie voegt slechts dat gegeven toe) doet dat weinig af aan het feit dat als er 999 keer geen rode bal getrokken wordt, er waarschijnlijk geen rode bal is.

De kans dat je N-1 witte ballen trekt uit een zak met 1 rode bal, is ontzettend klein voor grote N. De kans dat de laatste bal wit is, lijkt dus ontzettend groot.

Lijkt? Waarom is ie dat niet?
Het is gegeven dat ik N-1 witte ballen trek. Al is die kans 1 op een miljard, er is gegeven dat het gebeurt is. De vraag is dus hoe waarschijnlijk het is dat het zou gebeuren.

Maar: je zakken worden niet geselecteerd door uit oneindig veel zakken diegene te selecteren waaruit je N-1 witte kan trekken.

Nee, er wordt een specifiek mogelijk geval gepresenteerd, en er wordt gevraagd wat voor conclusie je kunt trekken uit de gegeven situatie. De situatie is helemaal niet onwaarschijnlijk, op voorwaarde dat er geen rode bal is.

Deze vraag 100 keer herhaald begint 50 keer met N witte ballen en 50 keer met N-1 witte ballen en 1 rode bal. Vervolgens trek je 100 keer N-1 witte ballen uit de zak. Die beginverdeling is absurd scheef.

Nee: ik trek 100 keer N-1 ballen uit de zak. Ik negeer echter de gevallen waarin ik niet-witte ballen trek.

Je zou het experiment onmogelijk veel keren moeten doen om die beginverdeling te krijgen. Maar de vraag is zo opgeschreven dat beginverdeling voor rood of wit als resterende bal gelijk is. Daar zit hem de crux. De kans blijft dus 1/2.

De beginverdeling voor de overblijvende bal is niet gelijk. Juist vanuit de beginsituatie is de kans 2/3 dat de overgebleven bal wit is.
Van alle mogelijke combinaties (dat zijn er maar vier) valt er een af: degene die niet voldoet aan het gegeven dat de eerste bal wit is. Er blijven er drie over, waarvan er twee een witte bal opleveren.

Het feit dat er vier combinaties zijn kun je aanvechten, namelijk door te stellen dat de kans op een witte bal toevoegen en dezelfde trekken + de kans op een witte bal toevoegen en de andere bal trekken samen gelijk zijn aan de kans om een rode bal toe te voegen en de andere bal te trekken.

Ik zou echter verwachten dat je inziet dat de kans dat je een witte bal toevoegt en de oorspronkelijke bal trekt gelijk is aan de kans dat je een rode bal toevoegt en de oorspronkelijke bal trekt.

Beide situaties voldoen aan de gegevens in de vraag.

Daarnaast is het mogelijk dat ik de witte bal toevoeg en diezelfde bal trek.

Ook die situatie voldoet aan de vraag, en is pertinent anders dan de situatie waarin ik de oorspronkelijke bal trek.

De ballen zijn welliswaar niet te onderscheiden, maar als ik de oorspronkelijke bal trek is het mogelijk daarna een rode of een witte te trekken. In het geval ik de toegevoegde witte bal trek is het zeker dat ik daarna de oorspronkelijke bal trek.

[Oscar Mopperkont]

Lordy79 schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 16:52:
[...]


Ik GA het 100x uitvoeren. en wel nu...

ik ben het beu...

Dit is makkelijker:
Oscar Mopperkont in "De Nationale Wetenschapsquiz 2004, vrage..."

[Lordy79]

ik zit nu op 50x

ik heb een colonisten van Catan spel.

ik heb 1 zwart fiche op mijn bureau gelegd (de eerste witte bal)

10 rode en 10 zwarte fiches in de grabbelzak gedaan (of ik nu 1 rode en 1 zwarte of 10 rode en 10 zwarte pak maakt natuurlijk niet uit)

daar heb ik 1 uit gepakt. (dit is de willekeurige 2e bal die bij de eerste wordt gevoegd)

Wanneer dit een ZWARTE fiche is, noteer ik 1 'punt' voor de WITTE BAL, aangezien ik dan 2 zwarte fiches heb. Als ik er 1 van weg pak, blijft er altijd een zwarte over.

Wanneer dit een RODE fiche is, gooi ik dat rode fiche met een zwart fiche in de grabbelzak. Vervolgens pak ik er opnieuw een fiche uit.

Wanneer dit opnieuw de rode is, verklaar ik die sessie als ONGELDIG omdat in de vraag stond dat ik een WITTE zou pakken. (dat bleek immers)

Wanneer dit een zwarte is, noteer ik 1 'punt' voor de RODE BAL, aangezien de rode dan in ze zak ik achtergebleven.

En de stand is nu:

39x WIT
11x ROOD

dit is 78%.

Ik ga voor de lol nog ff door tot 100x.

[CBass]

Lordy79, je gaat fout omdat je denkt dat wanneer je de eerste bal hebt getrokken de kans dat roodwitje wit is 50 % is en nog aanwezig 50%. Maar dat is niet zo. Als hij wit zou zijn is de kans dat je hem bij de eerst trekking trekt aanwezig. Hierdoor zal de kans dat roodwitje voor 50% wit en aanwezig is na de eerste trekking dalen. Het zou wel zo zijn als je zegt dat het niet uitmaakt wat de eerste trekking voor kleur heeft, dan is het wel zo dat roodwitje voor 25% procent aanwezig en wit is.

Heb ondertussen ook een programmatje in matlab gemaakt en dat 10 miljoen keer laten trekken. Ant. 0.66666

[ Voor 12% gewijzigd door CBass op 30-11-2004 17:11 ]

[Verwijderd]

volgens mij zit het probleem in de vraagstelling, op het punt van een witte bal er uit halen.

- als je een bal eruit haalt, en het hele geval negeert doet als het de rode is dan is de kans 2/3.

- als je zeker weet dat de bal die je er uit haalt wit is(magische krachten ) doe je het nooit over en is de kans 1/2

nu terug naar de vraag: "...Vervolgens haal je één bal uit de zak. Die blijkt wit te zijn..."
komt er dus op neer dat je de gevallen waarbij de eerste rood zou zijn negeert, dus de kans is 2/3

[ Voor 4% gewijzigd door Verwijderd op 30-11-2004 17:11 ]

[Lordy79]

nee, ik ben het toch niet eens met je verhaal.

[ Voor 196% gewijzigd door Lordy79 op 30-11-2004 17:16 ]

[Oscar Mopperkont]

Ik neem mijn woorden terug bij de opmerking "Wedden dat het 2/3 is als je het 100 keer doet" De kans dat je dan op een getal uitkomt dat dichter bij 75 ligt dan bij 66,67 is namelijk nog behoorlijk groot. Pas vanaf 1000 zit je behoorlijk zeker met 2/3.

[ Voor 4% gewijzigd door Oscar Mopperkont op 30-11-2004 17:15 ]

[Salvatron]

Ik begin nu ook sterke twijfels te hebben over 1/2. De vraag hangt niet alleen af van de kans welke kleur je hebt gekozen maar ook van de kans dat je de beginbal hebt gepakt.

edit:
Wit
Wit+wit / wit+rood
min wit
Wit /Rood
kans is dus 50%

Ik blijf dus bij 1/2 maar ik heb er nu wel sterke twijfels over.

[ Voor 29% gewijzigd door Salvatron op 30-11-2004 17:32 ]

[Lordy79]

CBass schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 17:06:
Lordy79, je gaat fout omdat je denkt dat wanneer je de eerste bal hebt getrokken de kans dat roodwitje wit is 50 % is en nog aanwezig 50%. Maar dat is niet zo. Als hij wit zou zijn is de kans dat je hem bij de eerst trekking trekt aanwezig. Hierdoor zal de kans dat roodwitje voor 50% wit en aanwezig is na de eerste trekking dalen. Het zou wel zo zijn als je zegt dat het niet uitmaakt wat de eerste trekking voor kleur heeft, dan is het wel zo dat roodwitje voor 25% procent aanwezig en wit is.

Verwerp jij in je programmaatje wel de keren dat er de eerste keer een rode bal wordt getrokken of tel je die wel mee?


Geef anders ff de relevante broncode, want zoveel is het neem ik aan niet?

[ Voor 6% gewijzigd door Lordy79 op 30-11-2004 17:20 ]

[Sendy]

Gewaagde stelling Oscar. Heb je de variantie uitgerekend? Wat is de kans dat je na 100 trekkingen (waarbij 1e rood genegeerd wordt) dichter bij 3/4 dan bij 2/3 zit?

[en dit is statistiek ja. Al het bovenstaande is kansberekening ;)]

[CBass]

Code:
% 1=wit 0=rood
trekking=0;
antw=0;

% doe 10 milljoen trekkingen
for i=1:10000000
zak=[1 0];
keuze=round(rand(1));
zak(2)=keuze;
%willekeurig positie bepalen voor de eerst bal
pos=1+round(rand(1));
if pos==1
nietpos=2;
elseif pos==2
nietpos=1;
end
%neem alleen de trekkingen met de eerste bal wit
if zak(pos)==1
%is de tweede bal rood, doe niets
if zak(nietpos)==0
antw=antw+0;
% is de tweede bal wit, tel de keer van succes op
elseif zak(nietpos)==1
antw=antw+1;
end
% aantal trekkingen bijhouden
trekking=trekking+1;
end
i=i+1;
end
% Aantal positieve trekkingen (antw)/aantal trekking
antw/trekking

[ Voor 9% gewijzigd door CBass op 30-11-2004 17:25 ]

[Oscar Mopperkont]

Sendy schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 17:20:
Gewaagde stelling Oscar. Heb je de variantie uitgerekend? Wat is de kans dat je na 100 trekkingen (waarbij 1e rood genegeerd wordt) dichter bij 3/4 dan bij 2/3 zit?

[en dit is statistiek ja. Al het bovenstaande is kansberekening ;)]

Ik heb dat niet uitgerekend Sendy, deze vraag vind ik leuk, maar statistiek is geen hobby van mij! Ik heb uit luiheid gewoon 100 ingevuld bij mijn programma en een x aantal keer geklikt en gezien dat er vaak een getal dat in de buurt van 75 lag uitkwam (uiteraard lag het vaker bij 66/67). Bij duizend komt dat haast niet voor.

Maar je mag het voor me uitrekenen als je er zin in hebt! Ik houd me gelukkig niet zoveel meer bezig met statistiek sinds ik rechten studeer

[zeeg]

De kans is een 1/2, lijkt me duidelijk!

Jullie maken het allemaal veels te moeilijk.

Situatie 1: Zakmet witte én rode bal: kans daarop 50 %
Situatie 2: Zak met 2 witte ballen: kans daarop 50 %

Je haalt er een witte uit.

In situatie 1: 0 % kans dat de resterende bal ook wit is, want die is rood.
In situatie 2: 100% kans dat de resterende bal ook wit.

Dus: 0,5 *0% + 0,5*100%= 50% = 1/2

offtopic:
hmm...voegt weinig toe bij nader inzien

[ Voor 8% gewijzigd door zeeg op 30-11-2004 17:31 . Reden: hmm...voegt weinig toe bij nader inzien ]

[CBass]

Gelukkig geeft spuit 11 ook modder

[ Voor 11% gewijzigd door CBass op 30-11-2004 17:32 ]

[dusty]

Okay, laten we het eens moeilijker maken voor de mensen

Wat is de kans dat je een witte bal trekt als de eerste bal rood is?

De oplossing lijkt mij duidelijk, maar leg ook even uit WAAROM het wit is. (mocht je het niet weten, dan kan je in de spoiler kijken die ik eerder geplaatst hebt. )

[Confusion]

Dido schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 16:57:
Nee: ik trek 100 keer N-1 ballen uit de zak. Ik negeer echter de gevallen waarin ik niet-witte ballen trek.

Dat is niet wat er in de vraag staat. In de (gemodificeerde, maar met N=2 ongewijzigde) vraag staat:

1. Je begint met N-1 witte ballen in de zak.
2. Je voegt aselect een rode of een witte bal toe.

Ad 2. Dat betekent dus dat je de helft van de keren dat je deze vraag 'speelt'/'simuleert' N witte ballen en de andere helft van de keren N-1 witte ballen + 1 rode hebt.

3. Vervolgens trek je N-1 witte ballen.

Ad 3. Die N-1 witte ballen trek je de helft van de keren met kans 1 uit N witte ballen. De andere helft van de keren trek je die met zeer kleine kans uit N-1 witte ballen + 1 rode. Niettemin trek je ze: je trekt N-1 ballen die wit blijken te zijn. Ze zijn wit. Ze zijn niet rood.

Conclusie: als je M keer deze vraag stelt, heb je M/2 keer N witte ballen en M/2 keer N-1 witte ballen + 1 rode. In M gevallen trek je N-1 witte ballen, waardoor in M/2 gevallen, met zekerheid, een witte bal resteert en in M/2 gevallen op zeer onwaarschijnlijke wijze een rode bal resteert.

De vraag gaat over het geval waarin je geen rode bal trekt, terwijl er de helft van de keren wel een rode bal in het spel is (dat moet volgens de tweede regel). Het negeren van het wel trekken van een rode bal is eenvoudigweg niet aan de orde: je trekt geen rode bal. De getrokken ballen blijken wit te zijn, ongeacht of er een witte of rode bal als 'laatste bal' in het spel is. Het is eenvoudigweg niet mogelijk een rode bal te trekken en dat is wat deze vraag tegenintuitief maakt, omdat het in werkelijkheid onvermijdelijk is dat je rode ballen trekt. Maar die mogelijkheid bestaat nu niet: uit de N-1 witte + 1 rode trek je M keer N-1 witte.

[Voutloos]

bacterie schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 17:17:
Ik begin nu ook sterke twijfels te hebben over 1/2. De vraag hangt niet alleen af van de kans welke kleur je hebt gekozen maar ook van de kans dat je de beginbal hebt gepakt.

Nofi, maar dat heb ik dus echt al heel vaak gezegd.

Ook Confusion wil dit maar niet erkennen. Als je op het moment van de vraagstelling de altijd witte beginbal in je handjes hebt, is de kans idd 1/2 op nog een witte in de zak. MAAR je kan ook (in 1 van de 3 gevallen) de toegevoegde bal vasthebben. En dan is de kans op een volgende witte bal 1. Dit combineren met gewichten levert 2/3.

Punt. Er wordt éérst een rode XOR witte bal toegevoegd en _daarna_ heb je pas een witte eruit gepakt. Als deze volgorde andersom was dan doet de altijd witte begin bal er uiteraard niet toe, maar de volgorde is nou eenmaal zoals gesteld in de vraag.

Kijk nou maar gewoon naar alle mogelijke situaties op het moment dat je 1 wiite bal al eruit hebt gehaald. Zeveren hoe groot de kans op een witte bal bij de 1e keer graaien is, is verder irrelevant.

Het blijkt dat een aantal mensen niet wil toegeven (val ik zelf net zo hard onder), dus vandaar maar hier nu een belofte, ipv een eeuwig welles nietes geroep:
[b]Als het antwoord 1/2 is, zet ik een maandlang "ik ben dom" neer als ondertitel. Desnoods regeelt iemand dit maar via Moto of Curry als status.
Het zou mooi zijn als iemand van het 1/2 kamp ook deze tegenprestatie durft te ondergaan.

edit:

Confusion, ook in je nieuwe post over de N-1 vertaling, ga je totaal voorbij aan de kans dat je een van de altijd witte ballen in de zak over kan houden.

[ Voor 8% gewijzigd door Voutloos op 30-11-2004 17:43 ]

[Oscar Mopperkont]

Ik doe mee met Voutloos, dus als het antwoord niet 2/3 blijkt te zijn dan verander ook ik mijn ondertitel in "ik ben dom" voor een maand!

[CBass]

IK wil best mee doen, maar goed ik weet dat ze bij de wetenschapsquiz er soms ook behoorlijk naast kunnen zitten. Dus wat defineer je als waarheid!

[Oscar Mopperkont]

Is er geen bekend forum voor wiskundigen waar we de vraag alvast kunnen deponeren?

[redwing]

Voutloos schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 17:40:
[...]
Ook Confusion wil dit maar niet erkennen. Als je op het moment van de vraagstelling de altijd witte beginbal in je handjes hebt, is de kans idd 1/2 op nog een witte in de zak. MAAR je kan ook (in 1 van de 3 gevallen) de toegevoegde bal vasthebben. En dan is de kans op een volgende witte bal 1. Dit combineren met

edit:

Confusion, ook in je nieuwe post over de N-1 vertaling, ga je totaal voorbij aan de kans dat je een van de altijd witte ballen in de zak over kan houden.

Ligt er gewoon aan hoe je de vraag leest. Als je er vanuit gaat dat je altijd een witte bal uit die zak haalt kom je toch echt uit op 50% Als je van de beginsituatie ook een kans maakt, en deze meenemeent in de berekening kom je uit op 2/3.

Situaties die je nl. kunt hebben zijn :

w1-w2
w1-r2
w2-w1
r2-w1

Als je hier altijd eerst de witte uithaalt trek je de ballen dus op de volgende manier :

w1-w2
w1-r2
w2-w1
w1-r2 ! Want gegeven is dat de 1e bal die getrokken is altijd wit is.

En hier kom je mooi uit op een verdeling van 50%. Dit is niet echt logisch in de praktijk natuurlijk, maar als je de gegeven 1e bal die altijd wit is zo leest kom je uit op 1/2.
Ik neem aan dat de vraag zo niet bedoelt is aangezien in de vraagstelling staat dat de 1e bal wit blijkt te zijn, en niet is

[zeeg]

redwing schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 18:02:
En hier kom je mooi uit op een verdeling van 50%. Dit is niet echt logisch in de praktijk natuurlijk, maar als je de gegeven 1e bal die altijd wit is zo leest kom je uit op 1/2.
Ik neem aan dat de vraag zo niet bedoelt is aangezien in de vraagstelling staat dat de 1e bal wit blijkt te zijn, en niet is

Als die bal wit blijkt te zijn, is de kleur toch wit?

Je zou het een vreemde vraagstelling kunnen vinden, maar zoals ie er staat, kan ik er niets ander van maken hoor.

[Oscar Mopperkont]

Er valt niks te interpreteren aan de vraag, hij is duidelijk gesteld. Waarom hoor ik ook alleen uit het 1/2 kamp dingen over onduidelijkheid van de vraag?

Mijn antwoord op vraag X:
Zien mannen hun omgeving anders dan vrouwen? En waarom wel of niet?
Ja mannen zien hun omgeving anders dan vrouwen. In de eerste plaats zien vrouwen meer kleur dan mannen, aan de andere kant kunnen mannen beter licht-donker onderscheiden. Heeft te maken met het aantal kleurkegeltjes en staafjes enzo in de ogen. Bij vrouwen zitten meer kegeltjes en minder staafjes, bij de mannen is dat andersom. Waarom is dat. Mannen hebben meer aan de staafjes, het zijn jagers en ze hebben er dus meer aan om in het donker goed te kunnen zien en tevens reageren de staafjes sneller. De vrouwen hebben juist meer eraan om kleur te zien, daarmee kun je beter beoordelen of eten bedorven is.
Het blikveld van de mannen is dieper en smaller dan bij vrouwen, die dus een breder blikveld hebben. Ook dit is dacht ik vanuit de rolverdeling te verklaren.
Ook zijn vrouwen veel beter in staat om emoties bij mensen te herkennen, wederom verklaarbaar vanuit evolutie-oogpunt. Maar volgens mij wordt daar niet op gedoeld in de vraag

[ Voor 78% gewijzigd door Oscar Mopperkont op 30-11-2004 18:28 ]

[dusty]

Redwing, lezende uit je laatste antwoord.. zeg jij nu dat het uiteindelijke antwoord 1/2 is of 2/3 ?

[compie]

Voutloos schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 17:40:
[...]
[b]Als het antwoord 1/2 is, zet ik een maandlang "ik ben dom" neer als ondertitel. Desnoods regeelt iemand dit maar via Moto of Curry als status.
Het zou mooi zijn als iemand van het 1/2 kamp ook deze tegenprestatie durft te ondergaan.

Ik doe mee! (Ik behoor tot het 2/3 kamp).

[ Voor 6% gewijzigd door compie op 30-11-2004 18:49 ]

[Oscar Mopperkont]

Niemand uit het 1/2 kamp durft nog mee te doen. Beetje jammer

[Confusion]

Voutloos schreef op dinsdag 30 november 2004 @ 17:40:
Ook Confusion wil dit maar niet erkennen.

Je hebt me niet weten te overtuigen, dus beschuldig je me maar van koppigheid; het is immers overduidelijk dat jij gelijk hebt? Pogingen mijn ongelijk aan te tonen door me van immoreel gedrag te beschuldigen zijn onacceptabel.

Verder is het ook geen geldig argument om te laten zien hoezeer je wel niet achter je redenatie staat, door een of andere tegenprestatie aan je ongelijk te verbinden. Ik blijf gewoon mijn stelling herformuleren tot iemand kan laten zien welke aanname of welke gevolgtrekking er verkeerd is. Dat is tot nu toe niet gebeurd, want niemand heeft laten zien hoe uit de vraag volgt dat de beginverdeling van de zakken niet 50:50 is. Maar zie ook hieronder.

Als je op het moment van de vraagstelling de altijd witte beginbal in je handjes hebt, is de kans idd 1/2 op nog een witte in de zak. MAAR je kan ook (in 1 van de 3 gevallen) de toegevoegde bal vasthebben.

Je kiest de samenstelling van de zakken aan het begin van de vraag niet. Die is gegeven. Waar ben je het mee oneens? Heb je niet de helft van de keren een zak met wit-wit en de andere helft van de keren een zak met wit-rood, of trek je niet altijd de witte bal uit de zak?. Het eerste staat onweerlegbaar in de vraag; simuleer de vraag maar 100 keer. 50 keer maak je een zak met een witte bal met nog een witte erbij en 50 keer een zak met een witte bal en nog een rode erbij. Iedere keer trek je een witte bal, ook dat staat in de vraag. Je trekt een witte, ongeacht of er een witte of een rode bij is gekomen. Dat is wat er in de vraag staat. Dat dat voor zakken met alleen maar witte ballen op twee manieren kan boeit niet. Dat het voor zakken met een witte en een rode bal bij veelvuldige herhaling onwaarschijnlijk is, boeit ook niet.

Je trekt een bal en die blijkt wit te zijn (zin 3+4 van de vraag). Die bal komt uit een zak, die uit een verzameling zakken komt, waarvan in de helft een witte en een witte zit en in de andere helft een witte en een rode (zin 1+2 van de vraag). De helft van de keren trek je dus een witte bal uit een zak met twee witte ballen. De andere helft van de keren trek je een witte bal uit een zak met een witte en een rode bal. Waar ben je het nu mee oneens, dat je die zakken zo verdeeld zijn, of dat je altijd een witte bal trekt?

[ Voor 11% gewijzigd door Confusion op 30-11-2004 19:05 ]