Het begrip 'oneindig'

[Rannasha]

Verwijderd schreef op vrijdag 20 juli 2012 @ 22:49:
Nou, nou, ik zocht eigenlijk iets over video-intercoms en nu kom ik hier terecht. Waarom moet ik nog uitzoeken. 14 pagina's met reacties, ik heb ze echt niet allemaal gelezen. Alle gasten een eenpersoonskamer, je moet er van houden.
3 kamers en 3 gasten: per kamer exact 1 gast. 12 kamers, 12 gasten: idem. X kamers en X gasten: per kamer X/X = 1 gasten. Als X naar oneindig gaar, geldt dit nog steeds. Er komt 1 gast bij: per kamer dus (X+1)/X gasten = 1 + 1/X. Wanneer X tot oneindig nadert, staat er dus 1 + 0 = 1 gast per kamer.
Stel dat er nog X gasten bijkomen. Dan zijn er dus ineens (X+X)/X gasten per kamer = 2. En dan is niet meer aan de voorwaarde voldaan dat er 1 gast in iedere kamer zit.
Het zou natuurlijk toevallig zijn wanneer er exact X nieuwe gasten aankomen. Kunnen er ook Y zijn, maar wel oneindig. Hoeveel gasten er dan per kamer zitten hangt af van hoe snel X en Y naar oneindig naderen.
Als X sneller dan Y naar oneindig gaat, zal de bezetting per kamer kleiner dan 2 worden, maar nooit meer 1.

De redeneerfout die je maakt is het aannemen dat de gebruikelijke rekenkundige operaties als optelling en deling op dezelfde manier werken zodra je met oneindige objecten werkt. Dat is niet zo.

[BramSd]

RayNbow schreef op dinsdag 31 juli 2012 @ 07:43:
[...]

Heb je de thread gelezen? Oneindig is geen getal.

Hij zegt dat 'eindig' het grootste getal is, niet 'oneindig'. Dat is zelfs het tegenovergestelde van wat hij zegt.

Na het lezen van schier oneindig vaak terugkomende misverstanden, dacht ik het volgende: als je een voorstelling probeert te maken van een oneindig aantal gasten in een hotel met een oneindige hoeveelheid kamers die allemaal een kamer moeten opschuiven, dan ga je er niet uitkomen. Dit is wiskunde en de oplossing is tegen-intuïtief. Het is niet voor niets Hilbert's 'paradox'.

Probeer het eens zo: alle gasten schuiven één kamer op. Dit doen ze om beurten, ofwel gast 1 pakt zijn spullen in en loop naar kamer 2 om de boodschap door te geven. Hij wacht geduldig terwijl gast 2 zijn spullen pakt om naar kamer 3 te lopen en daar gast 3 de boodschap te geven ... etc.
Aangezien er de stelling uitgaat van mensen en mensen nog altijd een gemiddelde levensverwachting hebben van rond de 80 jaar, kom je vroeg of laat de situatie tegen dat een X jaar oude gast naar kamer 349823958739872 strompelt en daar een al overleden gast 349823958739873 aantreft.
Vanaf dat moment is het een kwestie van het lijk uit het raam gooien en de kamer even laten luchten.

Op deze manier kom je in de situatie terecht dat een oneindig aantal nieuwe gasten aankomt bij het hotel waar een oneindige hoeveelheid kamers zijn, gevuld met een oneindig aantal 'oude' gasten, waarvan een oneindig aantal al overleden is.
Dat werpt een leuke andere vraag op: hoe weet je of de gast in kamer N nog leeft?

... epic bruggetje naar Schrödinger is epic...

[RayNbow]

BramSd schreef op dinsdag 31 juli 2012 @ 11:53:
[...]


Hij zegt dat 'eindig' het grootste getal is, niet 'oneindig'. Dat is zelfs het tegenovergestelde van wat hij zegt.

In de zin er na gebruikt hij echter het woord "oneindig", dus ik neem dat "eindig" een typfout is. Zo niet, dan is er geen samenhang in zijn tekst.

Dat werpt een leuke andere vraag op: hoe weet je of de gast in kamer N nog leeft?

... epic bruggetje naar Schrödinger is epic...

Is het ethisch verantwoord om Schrödinger toe te passen op mensen? Of gaat het hier om een dierenhotel voor katten?

[BramSd]

RayNbow schreef op dinsdag 31 juli 2012 @ 12:03:
[...]
Is het ethisch verantwoord om Schrödinger toe te passen op mensen? Of gaat het hier om een dierenhotel voor katten?

Hehe, dat maakt het probleem nog lastiger: katten hebben 9 levens. Dat is lastig in de berekening te proppen. Daarnaast: als een kat overlijdt, komt hij dan terug met dezelfde leeftijd? In dat geval sterft hij natuurlijk vrijwel direct weer. Of anders: als een kat overlijdt, komt hij dan terug in zijn oude kamer, of staat hij eerst weer op de stoep voor het hotel als nieuwe gast?

Zoveel diepgang!

[Onbekend]

witeken schreef op dinsdag 31 juli 2012 @ 01:23:
Verklaring: Iedereen is het er over eens dat eindig het grootste getal is? Dus dan maakt oneindig + 1 nog steeds oneindig. Die "1" behoort dan tot de groep oneindig. En aangezien er oneindig kamers zijn is er dus geen enkel probleem.

Nee, dat kan niet.
Als "oneindig" het grootste getal is, dan bestaat het getal "oneindig + 1" niet. Aangezien je altijd een getal bij een ander getal kunt optellen, kan "oneindig" nooit het grootste getal zijn.

Je gebruikt oneindig als je het getal niet kunt opschrijven of kunt gebruiken bij de berekeningen, maar dan kan je er ook nooit 1 bij optellen.

[Rannasha]

Onbekend schreef op dinsdag 31 juli 2012 @ 12:48:
[...]

Je gebruikt oneindig als je het getal niet kunt opschrijven of kunt gebruiken bij de berekeningen, maar dan kan je er ook nooit 1 bij optellen.

Jawel hoor. Dat kan in ordinaal-rekenkunde en in niet-standaard modellen van de Peano rekenkunde. Geen probleem.

[witeken]

BramSd schreef op dinsdag 31 juli 2012 @ 11:53:
[...]

Hij zegt dat 'eindig' het grootste getal is, niet 'oneindig'. Dat is zelfs het tegenovergestelde van wat hij zegt.

Typo

[witeken]

RayNbow schreef op dinsdag 31 juli 2012 @ 07:43:
[...]

Heb je de thread gelezen? Oneindig is geen getal.

Dan is iedereen het er mee eens dat oneindig het woord is om het grootste aantal weer te geven dat er bestaat.

Nogmaals: Ik heb 2 keer oneindig iPhones

edit: sorry voor dubbelpost

edit2:

Onbekend schreef op dinsdag 31 juli 2012 @ 12:48:
[...]

Nee, dat kan niet.
Als "oneindig" het grootste getal is, dan bestaat het getal "oneindig + 1" niet. Aangezien je altijd een getal bij een ander getal kunt optellen, kan "oneindig" nooit het grootste getal zijn.

Je gebruikt oneindig als je het getal niet kunt opschrijven of kunt gebruiken bij de berekeningen, maar dan kan je er ook nooit 1 bij optellen.

Nogmaals: Ik heb oneindig iPhones en dan nog 1 1*oneindig is de grootste waarde dat er bestaat. Want die ene wordt gewoon bij die oneindig andere iPhones getelt. 3+1 iPhone maakt ook 4 iPhones als je het verder berekent. Bij oneindig kun je ook verder optellen, aftrekken, delen, vermenigvuldigen,... maar het blijft gewoon oneindig .

edit: Wat zijn paradoxen toch grappig... Waarom is er geen algemeen topic daarover ? "wat gebeurt er als een tijdreiziger terug in de tijd gaat en (per ongeluk of opzettelijk) zijn grootvader vermoordt, voordat deze de vader of moeder van de tijdreiziger heeft kunnen verwekken"

[ Voor 67% gewijzigd door witeken op 31-07-2012 13:10 ]

[Sleepie]

Je probeert theoretische wiskunde te vertalen naar normale dagelijkse objecten, dan gaat de vergelijking inderdaad een beetje mank

Maar stel het zo voor:
- Jij hebt een oneindig aantal iPhones
- Ik heb ook een oneindig aantal iPhones

De interessante vragen:
- Hoeveel iPhones hebben we samen?
- En is dat (samen dus) meer iPhones dan jij alleen hebt?
- Als ik overstap naar Android en mijn oneindig aantal iPhones weggooi, zijn er dan minder iPhones over in toaal?

Leuke hersenspinseltjes wel

[Onbekend]

witeken schreef op dinsdag 31 juli 2012 @ 12:57:
Nogmaals: Ik heb oneindig iPhones en dan nog 1 1*oneindig is de grootste waarde dat er bestaat. Want die ene wordt gewoon bij die oneindig andere iPhones getelt. 3+1 iPhone maakt ook 4 iPhones als je het verder berekent. Bij oneindig kun je ook verder optellen, aftrekken, delen, vermenigvuldigen,... maar het blijft gewoon oneindig .

Jij definieert het woord "oneindig" nu als vast getal 3.

Oneindig + 1 is nog steeds oneindig, maar je hebt er wel 1 meer. Het is onmogelijk dat je "oneindig" + 1 = "bekend getal" kan geven, aan gezien het woord "oneindig" dan ook bekend is.


Totaal anders:
Verder is bijvoorbeeld het aantal waterdruppels in een vol zwembad niet oneindig, maar (voorlopig) ontelbaar. Hier kan je een paar waterdruppels uit weghalen. Het aantal waterdruppels is weer niet oneindig, maar nog steeds ontelbaar. Maar als je door blijft gaan met het weghalen van waterdruppels is het zwembad uiteindelijk leeg. Je hebt dus de waterdruppels kunnen tellen en is niet oneindig dus.

[Rannasha]

Onbekend schreef op dinsdag 31 juli 2012 @ 13:19:
[...]

Oneindig + 1 is nog steeds oneindig, maar je hebt er wel 1 meer. Het is onmogelijk dat je "oneindig" + 1 = "bekend getal" kan geven, aan gezien het woord "oneindig" dan ook bekend is.

Welke definitie van de operatie "+" gebruik je hier? Er zijn er meerdere (ordinaal-rekenkunde, kardinaal-rekenkunde). Voor natuurlijke getallen komen die op hetzelfde neer.

Welke waarde van "oneindig" gebruik je? Er zijn er meerdere. Sterker nog, er zijn er oneindig veel (pun intended).

Het probleem met dit soort discussies is dat begrippen die voor de natuurlijke getallen bekend zijn lukraak worden geextrapoleerd naar "oneindige getallen". Er is een mooie, consistente wiskunde van dit soort getallen, maar er zijn verschillende methodes van aanpak die hele verschillende resultaten hebben.

Zo geldt in de ordinaal-rekenkunde, waar ω het kleinste oneindige ordinaal-getal is, bijvoorbeeld:
1 + ω = ω
maar
ω + 1 = ω
is *niet* waar. Oftewel, opelling is niet meer commutatief (dat wil zeggen: a + b = b + a geldt niet altijd meer).

[Onbekend]

In normale vorm bedoelde ik dat waarbij de getallen in de zelfde dimensie liggen. Dus geen imaginaire getallen e.d.

[ Voor 27% gewijzigd door Onbekend op 31-07-2012 13:51 ]

[Rannasha]

Onbekend schreef op dinsdag 31 juli 2012 @ 13:51:
In normale vorm bedoelde ik dat waarbij de getallen in de zelfde dimensie liggen. Dus geen imaginaire getallen e.d.

Dimensie? Imaginaire getallen? Volgens mij moet je je wiskundige-termen-kennis een beetje opfrissen, want beide concepten hebben niet heel veel te maken met hetgeen hier besproken wordt.

[Mx. Alba]

Sleepie schreef op dinsdag 31 juli 2012 @ 13:12:
Je probeert theoretische wiskunde te vertalen naar normale dagelijkse objecten, dan gaat de vergelijking inderdaad een beetje mank

Maar stel het zo voor:
- Jij hebt een oneindig aantal iPhones
- Ik heb ook een oneindig aantal iPhones

De interessante vragen:
- Hoeveel iPhones hebben we samen?
- En is dat (samen dus) meer iPhones dan jij alleen hebt?
- Als ik overstap naar Android en mijn oneindig aantal iPhones weggooi, zijn er dan minder iPhones over in toaal?

Leuke hersenspinseltjes wel

Dat gaat mank omdat er überhaupt niet oneindig veel iPhones kunnen zijn want dan zou je bij wijze van spreken het hele universum vol iPhones hebben.

Het begrip oneindig is gewoon niet te betrekken op fysieke zaken.

[RayNbow]

witeken schreef op dinsdag 31 juli 2012 @ 12:57:
[...]

Dan is iedereen het er mee eens dat oneindig het woord is om het grootste aantal weer te geven dat er bestaat.

Nou, nee. Zo zijn er oneindig veel natuurlijke getallen en er zijn evenveel priemgetallen. Er zijn ook oneindig veel reële getallen, maar er zijn meer reële getallen dan natuurlijke getallen. Er bestaan dus verschillende "grote" oneindigheden.

[fanta22]

Er is een hotel met oneindig veel kamers, en al die kamers zijn bezet.
Er staat dus niet oneindig veel bezette kamers maar oneindig veel kamers die bezet zijn.
Dit betekent dat het doorschruiven van kamer met +1 wel kan.

[Koenoe]

Ik weet niet of het al gepost is in deze topic. Zo ja, negeer/delete deze post maar dan.

http://topdocumentaryfilms.com/dangerous-knowledge/

[witeken]

Sleepie schreef op dinsdag 31 juli 2012 @ 13:12:
Je probeert theoretische wiskunde te vertalen naar normale dagelijkse objecten, dan gaat de vergelijking inderdaad een beetje mank

Maar stel het zo voor:
- Jij hebt een oneindig aantal iPhones
- Ik heb ook een oneindig aantal iPhones

De interessante vragen:
- Hoeveel iPhones hebben we samen?
- En is dat (samen dus) meer iPhones dan jij alleen hebt?
- Als ik overstap naar Android en mijn oneindig aantal iPhones weggooi, zijn er dan minder iPhones over in toaal?

Leuke hersenspinseltjes wel

-Samen hebben we oneindig iPhones. Neem nu het omgekeerde: Samen hebben we oneindig iPhones. We delen dit door 2 zodat we elke de helft hebben. Hoeveel iPhones hebben we elk?
-Ja, in totaal hebben we elk oneindig iPhones in on bezit. Maar als bv ik jouw iPhones aan mij toe-eigen heb ik minder iPhones als toen jij ook nog oneindig iPhones had, omdat alleen ik nu nog oneindig iPhones heb en jij geen meer.
-Ja, want jij hebt er geen meer en ik wel nog, zie hierboven.

Inderdaad, oneindig is een vreemd getal ^^

---

Hieronder komen nog enkele edits

---

edit1:

Onbekend schreef op dinsdag 31 juli 2012 @ 13:19:
[...]

Jij definieert het woord "oneindig" nu als vast getal 3.

Oneindig + 1 is nog steeds oneindig, maar je hebt er wel 1 meer. Het is onmogelijk dat je "oneindig" + 1 = "bekend getal" kan geven, aan gezien het woord "oneindig" dan ook bekend is.


Totaal anders:
Verder is bijvoorbeeld het aantal waterdruppels in een vol zwembad niet oneindig, maar (voorlopig) ontelbaar. Hier kan je een paar waterdruppels uit weghalen. Het aantal waterdruppels is weer niet oneindig, maar nog steeds ontelbaar. Maar als je door blijft gaan met het weghalen van waterdruppels is het zwembad uiteindelijk leeg. Je hebt dus de waterdruppels kunnen tellen en is niet oneindig dus.

Nee ik gaf net een voorbeeld dat 3+1 niet 3+1 blijft maar dat je het verder kunt uitrekenen naar uitkomst 4.

Totaal anders: Je kan toch oneindig veel water hebben zoals je oneindig veel iPhones kunt hebben?

---

edit2:

Mx. Alba schreef op dinsdag 31 juli 2012 @ 14:09:
[...]


Dat gaat mank omdat er überhaupt niet oneindig veel iPhones kunnen zijn want dan zou je bij wijze van spreken het hele universum vol iPhones hebben.

Het begrip oneindig is gewoon niet te betrekken op fysieke zaken.

Je kunt ook niet oneindig veel mensen en kamers enz. hebben. Dat is net het punt van de paradox: Proberen het antwoord te vinden en het uitleggen in euhh... een oneindige discussie

---

edit3:

RayNbow schreef op dinsdag 31 juli 2012 @ 14:15:
[...]

Nou, nee. Zo zijn er oneindig veel natuurlijke getallen en er zijn evenveel priemgetallen. Er zijn ook oneindig veel reële getallen, maar er zijn meer reële getallen dan natuurlijke getallen. Er bestaan dus verschillende "grote" oneindigheden.

Ja, maar nu ga je in de fout. Er zijn inderdaad oneindig veel getallen en priemgetallen. Maar jij neemt nu een eindig getal en dan ga je het aantal (priem)getallen tellen en de balans opmaken.

[ Voor 49% gewijzigd door witeken op 31-07-2012 16:10 ]

[Verwijderd]

Het is zeer vervelend dat je zegt dat iemand een fout maakt als je zelf niet begrijpt dat oneindig een begrip is en niet een getal. Maar in wiskunde kan er nog wel met bijvoorbeeld verhoudingen gerekend worden. Of met limieten. Probeer niet steeds een getalletje in te vullen. Oneindig is geen getal.

[engelbertus]

als we het er over eens zijn dat oneindig plus oneindig ook oneindig is, als je er dan toch "simpel"mee wilt rekenen, dan kun je alle gasten uit hun kamer, naar de lobby sturen, de buslading nieuwe gasten stop je er bij, nu heb je weer oneindiggasten, en ook nog steeds oneindig kamers, iedereen heeft een plek. het heeft geen zin om een tijdfactor hierin te betrekken, of uit te gaan van dode mensen, schrodinger.
dat heeft toch niks met het raadsel en de oplossing te maken?
iedereen die gaat beweren dat het NIET zo kan, komt met allerlei extra randvoorwaarden die er A, niet teoe doen, en in geval van oneindig rekenkundig, of natuurkundig oid ook niet van toepassing zijn.
oneindig is een begrip.


pas als je weet dat iets tot eoeindig NADERT, kun je iets zeggen over hoe snel, of hoeveel, sneller of minder snel dan een andere functie de tot oneindig nadert.

fysiek ( als in, uit materie bestaand) is er geen oneindig AANTAL mogelijk, maar een oneindige hoeveelheid (priem) getallen bestaat wel

dat is toch ook raar? er zijn oneindig veel even getallen, en oneindig oneven getallen, dan wil je toch niet bewerend dat er opeens twee keer zoveel getallen zijn gekomen?

je zou moeten beweren dat beide oneindig zijn, en dus ook samen oneindig zijn.

vergelijk eens de gasten in kamers met even getallen en gasten iuit de bus met oneven getallen.

en dan het aantal kamers...
dat is ook al zo'n foute benaming, want het hotel heeft dus geen aantal kamers. het hotel heeft juist oneindig veel kamers.


of bekijk het eens zo, een hotel heeft oneindig "aantal" blauwe kamers, en oneindig "veel" rode kamers, er zijn ook oneidnig veel gasten, en alle rode en bleuwe kamers zijn bezet.

hoe kunnen nu alle rode en blauwe kamers nu bezet zijn, als er slechts oneindig äanta;/veel"gasten zijn.

en tussen haakjes, omdat het een beetje raar is dat je eerst zegt dat het oneindig is, en vervolgens plak je er een nummer, aantal of aanduiding van hoeveelheid op, die dan ongetwijfeld aan een bepaalde subjectieve beleving van de spreker/ toehoorder gerelateerd is.
oneindig is gewoon oneindig, oneindig is niet hetzelfde als ontelbaar, oneindig is ook niet te meten of vast et leggen, of aan te duiden.
oneindig kan zo groot zijn als een speldenknop, ook al heb je een speld zonder knop.

de vraag of het universum of het helal dan oneindig is, dat hangt helemaal af van hoe je dat helal dan ziet. en dat is nog steeds niet duidelijk.


als het al oneidnig is, is het al een oneindige lus, of oneindig klein.

immers, het kan oneinig uitzetten, dus ALS je het van buiten zou kunnen bekijken, zou het op dit moment nog oneindig klein zijn, of dus helemaal )absoluut/resulterend) 0 , in wat voor waard dan ook), het bestaat NIET!

dus dan moet het toch zo zijn dat heelal wel eindig IS.

[RayNbow]

engelbertus schreef op zaterdag 11 augustus 2012 @ 21:52:
dan kun je alle gasten uit hun kamer, naar de lobby sturen, de buslading nieuwe gasten stop je er bij, nu heb je weer oneindiggasten, en ook nog steeds oneindig kamers, iedereen heeft een plek.

Dat is nu net wat het net iets moeilijker maakt. Als hoteleigenaar moet je wel elke gast vertellen naar welke kamer hij moet gaan en jouw uitleg rept daar geen woord over.

[pazzje]

Ik heb het topic met veel intresse doorgelopen en ik loop al een tijdje met een andere vraag rond die mischien wel iets met dit onderwerp te maken heeft. Stel ik heb een pak vanillevla en een pak chocoladevla. Ik gooi de vanillevla in een transperante beker en daarna gooi ik hier de chocoladevla in. Je ziet dan onderin gele vla en bovenop bruine vla. Ik ga nu roeren. De vla wordt een homogene massa met de kleur licht bruin. Als ik nu een oneindige tijd heb on te roeren, gaat het me dan lukken om op een gegeven moment weer de beginsituatie te krijgen? Ik neem namelijk niet aan dat er een chemische verbinding optreedt tussen de twee soorten vla.

[CaptJackSparrow]

Lijkt me wel. En omdat die twee liter vla een eindig aantal 'gele en bruine moleculen' heeft zou je de kans evt. zelfs kunnen berekenen en zou het aantal keren dat die situatie zich voordoet zelf ook weer oneindig groot zijn.

[Sparhawk]

pazzje schreef op vrijdag 17 augustus 2012 @ 10:54:
Ik heb het topic met veel intresse doorgelopen en ik loop al een tijdje met een andere vraag rond die mischien wel iets met dit onderwerp te maken heeft. Stel ik heb een pak vanillevla en een pak chocoladevla. Ik gooi de vanillevla in een transperante beker en daarna gooi ik hier de chocoladevla in. Je ziet dan onderin gele vla en bovenop bruine vla. Ik ga nu roeren. De vla wordt een homogene massa met de kleur licht bruin. Als ik nu een oneindige tijd heb on te roeren, gaat het me dan lukken om op een gegeven moment weer de beginsituatie te krijgen? Ik neem namelijk niet aan dat er een chemische verbinding optreedt tussen de twee soorten vla.

Zoek maar eens op wikipedia naar entropie, dat geeft een mooie uitleg over jouw vraag, en dan specifiek het stukje analogie

[MSalters]

Het kan zelfs in een eindige tijd*, omdat de hoeveelheid vla eindig is.

* Dwz. de kans dat de vla ontmengd is binnen een tijd T neemt asymptotisch toe tot 1. Voor elke kans 1-ε is de tijd T_ε eindig, ongeacht hoe klein je ε kiest.

[engelbertus]

RayNbow schreef op zaterdag 11 augustus 2012 @ 22:04:
[...]

Dat is nu net wat het net iets moeilijker maakt. Als hoteleigenaar moet je wel elke gast vertellen naar welke kamer hij moet gaan en jouw uitleg rept daar geen woord over.

niemand zegt dat de gasten een sleutel hebben met een nummer, en zo... ? ik zie me al zoeken om de kamer.....

maar dan nog, je geeft ze een sleutel met een nummer en stuurt ze naar de gang waaraan alle kamers zitten, netjes genummerd.

again, het gaat wel heeeeel lang duren voordat iedereen weer in een kamer zit ( oneindig lang) maar het gaat hier niet om zoiets onnozel praktisch als tijd.

[engelbertus]

Sparhawk schreef op vrijdag 17 augustus 2012 @ 11:35:
[...]


Zoek maar eens op wikipedia naar entropie, dat geeft een mooie uitleg over jouw vraag, en dan specifiek het stukje analogie

er is toch iets over chaostheorie, wat er op neer komt dat de vla juist door elkaar zal blijven?
als je eerst in de ene richting roert en dan in de andere, dan krijg je ook niet meer de oorspronkelijke situatie terug. misschien dat het er wel op lijkt, als je nog maar net een cm, hebt geroerd, maar na twee rondjes is het wel echt "in de war".....

of is het net als een rubikscube, als je maar lang genoeg blijft draaien, krijg je hem weer goed?
( en hoe lang gaat dan dan duren, want dat moet dan makkelijk te berekenen zijn, er zijn maar een beperkt aantal vlakjes en blokjes?

[Henk007]

pazzje schreef op vrijdag 17 augustus 2012 @ 10:54:Als ik nu een oneindige tijd heb on te roeren, gaat het me dan lukken om op een gegeven moment weer de beginsituatie te krijgen?

Nee, door roeren zal de entropie van het systeem niet spontaan worden verlaagd.

[RayNbow]

engelbertus schreef op maandag 20 augustus 2012 @ 14:11:
[...]

niemand zegt dat de gasten een sleutel hebben met een nummer, en zo... ? ik zie me al zoeken om de kamer.....

maar dan nog, je geeft ze een sleutel met een nummer en stuurt ze naar de gang waaraan alle kamers zitten, netjes genummerd.

Je mist het punt. Het gaat erom dat er in de beginsituatie een toekenning van kamers aan gasten bestaat en dat je een nieuwe toekenning op basis van de oude toekenning kunt bedenken zodat alle gasten een kamer hebben.

Wat hand-waving en zeggen dat je alle huidige gasten naar de lobby stuurt, je de nieuwe gasten uit de bus ook naar de lobby stuurt en daarna zegt, "Beste gasten, zoek maar een kamer", is niet overtuigend.


Maar voor jou een ander probleem. Ik heb een leeg hotel met oneindig veel kamers. De kamers zijn genummerd 1, 2, enz. Nu komt er een bus die alle reële getallen tussen 0 en 1 bevat (0, 1, 0.5, half-wortel-2, enz.). Kun je elk reëel getal van een hotelkamer voorzien? Dat wil zeggen, kun jij mij een overtuigend bewijs geven dat elk getal een kamer krijgt?

[Andamanen]

Volgens mij zijn jullie op het moment langs elkaar aan het praten. Als we het eens zijn dat er een verschil is tussen aftelbaar oneindig (bijv. de natuurlijke getallen en hier het aantal hotelkamers) en overaftelbaar oneindig (het aantal reële getallen), dan is er geen probleem meer, toch?

Als er een bus met evenveel nieuwe gasten komt als het aantal (reeds bezette) kamers, kun je ook deze nieuwe gasten een plaats geven in het hotel door slim te schuiven met gasten.

[RayNbow]

Andamanen schreef op maandag 20 augustus 2012 @ 16:44:
Als er een bus met evenveel nieuwe gasten komt als het aantal (reeds bezette) kamers, kun je ook deze nieuwe gasten een plaats geven in het hotel door slim te schuiven met gasten.

Maar het slim schuiven is het aspect wat engelbertus nou niet echt aanstipt in zijn posts.

[engelbertus]

Het slimme schuiven is zenaar delobby te sturen, en de lobby is maar eenmetaforish iets, want de fiesieke hoedanigheid van een hotel is helelmaal niet een punt in het probleem. In het probleem wordt ook niet gesproken over een toekenning of verband of functie tussen de gast en de kamer.

Het nieuwe probleem, je kunt de buslading met alle reeele getallen, als je wilt, in de kamer met hetzelde getal zetten, maar dat hoeft helemaal niet. Het past in ieder geval, want je hebt ontelbaar of oneindig veel kamers. Je zou kunnen zeggen dat je kamers overhoud, maar gezien dat ook de reeele getallen niet eindig zijn is dat discutabel.

Je KUNT dus wel beredeneren dat van het een meer moet zijn als het andere, maar datis iets anders dan meer oneindig.


Voor het oorspronkelijke probleem kun je veel redeneren over hoe je het wilt doen, maar dan houd hetal op bij iets practisch als tijd. Of hoe groot de bus wel niet moet zijn. En komt die bus wel ooit leeg?

Maar dat zijn geen onderdelen van deprobleemstelling, je moet er niet meer randvoorwaarden bij bedenken dan er in de oorspronkelijke stelling waren.

[Rannasha]

engelbertus schreef op maandag 20 augustus 2012 @ 23:55:
Het nieuwe probleem, je kunt de buslading met alle reeele getallen, als je wilt, in de kamer met hetzelde getal zetten, maar dat hoeft helemaal niet. Het past in ieder geval, want je hebt ontelbaar of oneindig veel kamers. Je zou kunnen zeggen dat je kamers overhoud, maar gezien dat ook de reeele getallen niet eindig zijn is dat discutabel.

Je kunt niet een verzameling elementen ter grootte van de reele getallen (de buspassagiers) afbeelden op een verzameling ter grootte van de natuurlijke getallen (de kamers). De reden hiervoor is vrij simpel (Google: Cantor diagonal argument).

Je KUNT dus wel beredeneren dat van het een meer moet zijn als het andere, maar datis iets anders dan meer oneindig.

Het is krom verwoord, maar de cardinaliteit van R is groter dan die van N, dus je zou het wel degelijk kunnen zien als "meer oneindig". Maar dat is opzich lompe, niet-wiskundige, terminologie en daar blijven we het liefst zo ver mogelijk van verwijderd.

Voor het oorspronkelijke probleem kun je veel redeneren over hoe je het wilt doen, maar dan houd hetal op bij iets practisch als tijd. Of hoe groot de bus wel niet moet zijn. En komt die bus wel ooit leeg?

Maar dat zijn geen onderdelen van deprobleemstelling, je moet er niet meer randvoorwaarden bij bedenken dan er in de oorspronkelijke stelling waren.

De oorspronkelijke probleemstelling is:

Gegeven een verzameling X met cardinaliteit van N (= de natuurlijke getallen). Bewijs dat er een bijectie bestaat tussen een verzameling met 2 kopieen van N en X.

Het hele gedoe met een hotel, kamers, een bus, opschuiven van hotelgasten, enz... zijn enkel analogien om de wiskundige stelling wat concreter te maken. Het probleem is echter dat gezien het gaat om oneindige grootheden en deze in de fysieke wereld niet voorkomen op deze manier, iedere analogie bij voorbaat al tekort schiet. Vandaar dat ik niet zo'n fan ben van dingen als Hilbert's Hotel. Hoewel het een aardige manier is om het probleem te introduceren aan niet-wiskundigen, zullen juist deze mensen vaak op zoek gaan naar antwoorden die in de fysieke wereld mogelijk zijn, waardoor je de interessante wiskunde die erachter zit misloopt.

[Servertje]

Ik heb niet het hele topic door gelezen, sorry als de vraag dus al gesteld is.

Maar oneindig bestaat toch niet?
Als je even nadenkt dan kan ik niks verzinnen dat oneindig is.

Weet iemand hier iets op?

[Andamanen]

In de fysieke wereld misschien niet (het is onduidelijk of tijd en ruimte oneindig zijn), maar we kunnen natuurlijk wel oneindige verzamelingen bedenken, zoals in dit topic de verzameling gehele getallen.

[Servertje]

Andamanen schreef op woensdag 22 augustus 2012 @ 22:12:
In de fysieke wereld misschien niet (het is onduidelijk of tijd en ruimte oneindig zijn), maar we kunnen natuurlijk wel oneindige verzamelingen bedenken, zoals in dit topic de verzameling gehele getallen.

Daar ben ik het wel met je eens, je kan oneindig veel getallen achter elkaar zetten.
Maar inderdaad in fysieke wereld kan ik niks bedenken.

Want oneindig is een raar begrip.
Net zoals een Perpetuum mobile dat bestaat ook niet..

Hebben jullie daar soms nog meningen over?

[ Voor 3% gewijzigd door Servertje op 22-08-2012 22:16 ]

[gambieter]

Servertje, misschien kun je je eerst inlezen op het onderwerp. En als je wat wilt weten, kun je dan svp (net als elders op het forum) aangeven wat je zelf al hebt opgezocht, en de vraag wat specifieker maken?

[Servertje]

gambieter schreef op woensdag 22 augustus 2012 @ 22:44:
Servertje, misschien kun je je eerst inlezen op het onderwerp. En als je wat wilt weten, kun je dan svp (net als elders op het forum) aangeven wat je zelf al hebt opgezocht, en de vraag wat specifieker maken?

Haha ja sorry. Vind het wel raar om over dit soort dingen na te denken en plaats dan wel onzin.
Maar voor de volgende keer ik zal erop letten

[RayNbow]

Misschien wel een aardige toevoeging voor het topic:

[SkyStreaker]

(ik heb bewust de reacties niet gelezen om mijn antwoord puur te houden, vanuit mijn logica)

Een oneindigheid aan bezetting, dus: bij voorbaat al bezet. Je kan dus niet de gasten 1 kamer laten opschuiven, je kan immers geen lege kamer kan creëren. De oneindigheid is opgevuld met oneindigheid.

(wat ik me ook altijd afvraag - oneindig groot en oneindig klein?)

[ Voor 10% gewijzigd door SkyStreaker op 11-09-2012 12:31 ]

[Henk007]

Klinkt niet onlogisch, maar als het zo zou zijn hadden we geen 350+ reacties in dit topic nodig gehad.
Intuïtie en wiskunde willen nog wel eens wringen.

[Henk007]

dubbelpost

[ Voor 93% gewijzigd door Henk007 op 11-09-2012 13:04 ]

[Verwijderd]

SkyStreaker schreef op dinsdag 11 september 2012 @ 12:30:
Een oneindigheid aan bezetting, dus: bij voorbaat al bezet. Je kan dus niet de gasten 1 kamer laten opschuiven, je kan immers geen lege kamer kan creëren.

Nogmaals dan. Stel je hebt 20 kamers aan een ronde gang. Kun je alle gasten een kamer laten opschuiven? Elke gast gaat naar een kamer waar de huidige gast gegarandeerd net uit gaat.

Bij een rechte gang heb je datzelfde principe, behalve dan dat de eerste kamer leeg komt te staan als iedereen een kamer opschuift. Er is geen laatste kamer of laatste gast, dus je hoeft je geen zorgen te maken om "het einde van de gang". Die was namelijk oneindig en maar aan één kans begrensd.

[SkyStreaker]

Verwijderd schreef op dinsdag 11 september 2012 @ 13:06:
[...]

Nogmaals dan. Stel je hebt 20 kamers aan een ronde gang. Kun je alle gasten een kamer laten opschuiven? Elke gast gaat naar een kamer waar de huidige gast gegarandeerd net uit gaat.

Bij een rechte gang heb je datzelfde principe, behalve dan dat de eerste kamer leeg komt te staan als iedereen een kamer opschuift. Er is geen laatste kamer of laatste gast, dus je hoeft je geen zorgen te maken om "het einde van de gang". Die was namelijk oneindig en maar aan één kans begrensd.

Ik snap je. Als iets aan 1 kant is begrensd, dan kan je oneindig 1 lege kamer maken.

[Xyphoid]

Waarom zou je dan iedereen laten opschuiven? Gooi die nieuwe gast gewoon in een nieuwe kamer.

Maar het "raadsel" is sowieso raar, want als alle kamers vol zijn, dan kunnen er geen gasten meer bij.
Ook al zijn er oneindig veel kamers. Er kunnen niet ineens nieuwe lege kamers bijkomen.
Het is dus onmogelijk om de nieuwe lading oneindige gasten in het hotel te proppen.

Opschuiven of in een nieuwe kamer gooien zijn dus geen oplossingen.

[ Voor 8% gewijzigd door Xyphoid op 11-09-2012 14:02 ]

[Janoz]

Lees cheetah's verhaal nog eens. Stel je 20 kamers in een rondje voor. Roep om dat iedereen tegelijk naar buiten moet en een kamer naar links moeten. Ga pas verder met lezen tot je voorgaande stap begrijpt en je kunt voorstellen.


Neem nu een oneindige rij met alleen maar bezette kamers. roep daar nogmaals om dat iedereen tegelijk naar buiten moet en de kamer ernaast naar binnen moet. Degene in kamer 1 gaat naar kamer 2. Degene die in kamer 2 zat is daar niet meer want die gaat op dat moment naar kamer 3. Precies dezelfde handeling als eerder in het cirkeltje. Aangezien er niemand naar kamer 1 gegaan is is deze kamer nu dus vrij.

Volgens jou zou er nu iemand helemaal aan het einde zijn kamer uit stappen en daarnaast geen kamer meer vinden die vrijgekomen is. Maar hier komt juist de vreemdheid van oneindigheid om de hoek zetten. er is helemaal geen laatste kamer. Er zal altijd een kamer naast staan die net vrij gekomen is omdat degene die daar zat naar de kamer is gegaan die daar weer naast zit enz enz enz enz tot in het oneindige....


Maar goed, hier gaat het al tig posts over.....

[ Voor 3% gewijzigd door Janoz op 11-09-2012 14:50 ]

[Xyphoid]

Gooi die nieuwe gast dan meteen in de "laatste" kamer. Dan hoeft niemand op te schuiven.
Maar goed, dat gaat niet, want alle oneindige kamers zijn bezet met oneindige gasten. En dat is nou juist, wat de hele oplossing onmogelijk maakt. Als alle kamers bezet zijn en ze schuiven allemaal een kamer op, dan blijven alle kamers bezet. Net als in het cirkeltje. En vol = vol zoals ze wel eens zeggen.

Anders zijn er twee redenen:
- Het hotel zat niet vol
- Er is een kamer bijgekomen

In de TS staat "Er is een hotel met ondeindig veel kamers, en al die kamers zijn bezet".
Om dit op te lossen moeten alle gasten een kamer opschuiven. Hiermee verander je dus de situatie.
Dan had je net zo goed kunnen zeggen: Er worden oneindig veel kamers bijgebouwd.

[ Voor 27% gewijzigd door Xyphoid op 11-09-2012 15:32 ]

[Rannasha]

Xyphoid schreef op dinsdag 11 september 2012 @ 15:04:
Gooi die nieuwe gast dan meteen in de "laatste" kamer. Dan hoeft niemand op te schuiven.
Maar goed, dat gaat niet, want alle oneindige kamers zijn bezet met oneindige gasten. En dat is nou juist, wat de hele oplossing onmogelijk maakt. Als alle kamers bezet zijn en ze schuiven allemaal een kamer op, dan blijven alle kamers bezet. Net als in het cirkeltje. En vol = vol zoals ze wel eens zeggen.

Anders zijn er twee redenen:
- Het hotel zat niet vol
- Er is een kamer bijgekomen

Of reden nr 3:
- Jij redeneert over oneindigheden alsof ze dezelfde eigenschappen hebben als (eindige) natuurlijke getallen, wat absoluut niet zo is.

[Xyphoid]

Rannasha schreef op dinsdag 11 september 2012 @ 15:30:
[...]

Of reden nr 3:
- Jij redeneert over oneindigheden alsof ze dezelfde eigenschappen hebben als (eindige) natuurlijke getallen, wat absoluut niet zo is.

Ik zeg alleen dat als alle oneindige kamers vol zitten, er geen lege bij zitten. En als iedereen een kamer opschuift, is de beginstelling veranderd.

[RayNbow]

Xyphoid schreef op dinsdag 11 september 2012 @ 15:04:
Gooi die nieuwe gast dan meteen in de "laatste" kamer. Dan hoeft niemand op te schuiven.

Er is geen laatste kamer. Hier is de beginsituatie:

Kamer    Gast
   1        1
   2        2
   3        3
   4        4
   5        5
   6        6
   7        7
   8        8
   9        9
  10       10
  11       11
  12       12
  13       13
  14       14
  15       15
  16       16
  17       17
  18       18
  19       19
  20       20
  21       21
  22       22
  23       23
  24       24
  25       25
  26       26
  27       27
  28       28
  29       29
  30       30
  31       31
  32       32
  33       33
  34       34
  35       35
  36       36
  37       37
  38       38
  39       39
  40       40
  41       41
  42       42
  43       43
  44       44
  45       45
  46       46
  47       47
  48       48
  49       49
  50       50
  51       51
  52       52
  53       53
  54       54
  55       55
  56       56
  57       57
  58       58
  59       59
  60       60
  61       61
  62       62
  63       63
  64       64
  65       65
  66       66
  67       67
  68       68
  69       69
  70       70
  71       71
  72       72
  73       73
  74       74
  75       75
  76       76
  77       77
  78       78
  79       79
  80       80
  81       81
  82       82
  83       83
  84       84
  85       85
  86       86
  87       87
  88       88
  89       89
  90       90
  91       91
  92       92
  93       93
  94       94
  95       95
  96       96
  97       97
  98       98
  99       99
 100      100
 ...      ...

Probeer de laatste kamer maar aan te wijzen. Noem maar een kamernummer.

Als alle kamers bezet zijn en ze schuiven allemaal een kamer op, dan blijven alle kamers bezet. Net als in het cirkeltje.

Nee hoor, opschuiven is simpel:

Kamer    Gast
   1         
   2        1
   3        2
   4        3
   5        4
   6        5
   7        6
   8        7
   9        8
  10        9
  11       10
  12       11
  13       12
  14       13
  15       14
  16       15
  17       16
  18       17
  19       18
  20       19
  21       20
  22       21
  23       22
  24       23
  25       24
  26       25
  27       26
  28       27
  29       28
  30       29
  31       30
  32       31
  33       32
  34       33
  35       34
  36       35
  37       36
  38       37
  39       38
  40       39
  41       40
  42       41
  43       42
  44       43
  45       44
  46       45
  47       46
  48       47
  49       48
  50       49
  51       50
  52       51
  53       52
  54       53
  55       54
  56       55
  57       56
  58       57
  59       58
  60       59
  61       60
  62       61
  63       62
  64       63
  65       64
  66       65
  67       66
  68       67
  69       68
  70       69
  71       70
  72       71
  73       72
  74       73
  75       74
  76       75
  77       76
  78       77
  79       78
  80       79
  81       80
  82       81
  83       82
  84       83
  85       84
  86       85
  87       86
  88       87
  89       88
  90       89
  91       90
  92       91
  93       92
  94       93
  95       94
  96       95
  97       96
  98       97
  99       98
 100       99
 ...      ...

Ik hoop dat je me vergeeft dat ik niet de gehele kamerbezetting neerpen. Dit kost me namelijk net iets te veel tijd.

[Rannasha]

Ik denk dat je punt ook wel duidelijk was geweest als je het tot 10 of 20 had gepost in plaats van tot 100

[engelbertus]

hierboven bewijs je alleen dat er nu een gast nummer 100 is, die de hele gang terug moet lopen om in kamer 1 te moeten kruipen.

het "opschuiven" en "naast" is iets reeels dat helemaal niet bij oneindig past.

iedereen naar de lobby roepen zorgt er voor dat je een nieuwe "pool" kamers hebt en een nieuwe "pool"gasten. beide zijn oneindig dus dat klopt exact. nu doe je er oneindig gasten bij. nu heb je nog steeds oneindig gasten. ( dat je denkt dat het meer is dan erst, is niet juist. oneindig is altijd oneidnig, er kan niet meer ijn, je kunt het pas over meer hebben als je precies weet waar de laatste of het einde is, die zijn er niet. dat is nu een keer de definitie. dus kan je niet zomaar zeggen dat iets meer oneindig is.

de gasten kunnen dus allemaal in een kamer.

dat je op een of andere manier toch iets wilt doen met het gegeven dat je voor je gevoel opeens 2 keer zoveel gasten hebt, en nog steeds 1 x zoveel kamers, tja. dat is een ander verhaal.

oneindig wordt niet voor niks niet met een cijfer aangeduid, maar met een symbool dat oneindig betekend.
anders zou je voor oneindig wel meer of andere benamingen hebben zoals k-oneindig M-oneindig of G-oneindig of zo. zoals kB MB GB

[Xyphoid]

RayNbow schreef op dinsdag 11 september 2012 @ 15:40:
[...]

Er is geen laatste kamer.

Dat begrijp ik. Maar als alle oneindige kamers vol zitten, kan er ook niet opgeschoven worden.
Dan vind ik een betere oplossing:

Alle kamers eerst leeg halen, om daarna gevuld te worden met alle oneindige gasten (die uit het hotel en uit de bus).

- Edit -
Engelbertus was me voor...

[ Voor 4% gewijzigd door Xyphoid op 11-09-2012 15:59 ]

[Janoz]

Xyphoid schreef op dinsdag 11 september 2012 @ 15:04:
Gooi die nieuwe gast dan meteen in de "laatste" kamer. Dan hoeft niemand op te schuiven.
Maar goed, dat gaat niet, want alle oneindige kamers zijn bezet met oneindige gasten. En dat is nou juist, wat de hele oplossing onmogelijk maakt.

Vertel mij dan eens welke gast voor een deur komt te staan waar al iemand in zit?

Als alle kamers bezet zijn en ze schuiven allemaal een kamer op, dan blijven alle kamers bezet. Net als in het cirkeltje. En vol = vol zoals ze wel eens zeggen.

Oh? Is alles vol na het opschuiven? Welke gast is er dan in kamer 1 terecht gekomen?

Xyphoid schreef op dinsdag 11 september 2012 @ 15:39:
Ik zeg alleen dat als alle oneindige kamers vol zitten, er geen lege bij zitten. En als iedereen een kamer opschuift, is de beginstelling veranderd.

Ja, de situatie is veranderd. Nu zitten immers alle gasten in een andere kamer en is er een lege kamer bij gekomen. Nu hoef je alleen de nieuwe gast in die lege kamer te zetten en je bent bij je eind situatie. QED

Xyphoid schreef op dinsdag 11 september 2012 @ 15:58:
Dat begrijp ik. Maar als alle oneindige kamers vol zitten, kan er ook niet opgeschoven worden.
Dan vind ik een betere oplossing:

Met het cirkeltje heb ik laten zien dat het keurig mogelijk is om van kamer te wisselen terwijl alle kamers bezet zijn.

Alle kamers eerst leeg halen, om daarna gevuld te worden met alle oneindige gasten (die uit het hotel en uit de bus).

Dat is leuk, maar dan heb je niet bewezen dat er ook daadwerkelijk voor iedereen een kamer is. Juist het stappenplan toont aan dat je een bewerking kunt doen om bij een oneindig aantal bezette kamers een kamer vrij te maken. Je kunt wel zeggen dat het geheel niet klopt, maar wanneer je de verschillende deelstappen niet kunt ontkrachten, kun je het geheel ook niet ontkrachten. Zo werkt logica.

Ik stel onomstotelijk vast dat je middels handeling X van situatie A naar situatie B kunt komen. Vervolgens toon ik ook aan dat je met handeling Y van situatie B naar situatie C kunt komen. Jij kunt nu wel beweren dat het onmogelijk is om van situatie A naar C te komen, maar dan zul je eerst moeten aantonen dat handeling X of handeling Y onmogelijk zijn.

engelbertus schreef op dinsdag 11 september 2012 @ 15:55:
hierboven bewijs je alleen dat er nu een gast nummer 100 is, die de hele gang terug moet lopen om in kamer 1 te moeten kruipen.

Nee hoor, die gaat naar kamer 101.

het "opschuiven" en "naast" is iets reeels dat helemaal niet bij oneindig past.

Jazeker wel. x:=x+1 is een keurige wiskundige notatie van 'opschuiven naar de kamer ernaast'.

iedereen naar de lobby roepen zorgt er voor dat je een nieuwe "pool" kamers hebt en een nieuwe "pool"gasten. beide zijn oneindig dus dat klopt exact. nu doe je er oneindig gasten bij. nu heb je nog steeds oneindig gasten. ( dat je denkt dat het meer is dan erst, is niet juist. oneindig is altijd oneidnig, er kan niet meer ijn, je kunt het pas over meer hebben als je precies weet waar de laatste of het einde is, die zijn er niet. dat is nu een keer de definitie. dus kan je niet zomaar zeggen dat iets meer oneindig is.

de gasten kunnen dus allemaal in een kamer.

dat je op een of andere manier toch iets wilt doen met het gegeven dat je voor je gevoel opeens 2 keer zoveel gasten hebt, en nog steeds 1 x zoveel kamers, tja. dat is een ander verhaal.

Ook hier weer. Je hebt nog niet bewezen dat het past. "Het is allebei oneindig dus het past" gaat niet op. Het is bijvoorbeeld wel te bewijzen dat er 1 gast bij kan. Er is ook te bewijzen dat er een bus met oneindig aantal gasten bij kan. Ook is het te bewijzen dat er x bussen met oneindig aantal gasten bij kunnen. Het is echter niet te bewijzen dat een oneindig aantal bussen met oneindig veel passagiers bij kan.

oneindig wordt niet voor niks niet met een cijfer aangeduid, maar met een symbool dat oneindig betekend.
anders zou je voor oneindig wel meer of andere benamingen hebben zoals k-oneindig M-oneindig of G-oneindig of zo. zoals kB MB GB

Je bedoeld zoals aftelbaar oneindig en overaftelbaar oneindig?

[ Voor 87% gewijzigd door Janoz op 11-09-2012 16:37 ]

[Rannasha]

engelbertus schreef op dinsdag 11 september 2012 @ 15:55:
hierboven bewijs je alleen dat er nu een gast nummer 100 is, die de hele gang terug moet lopen om in kamer 1 te moeten kruipen.

Nee, gast 100 gaat naar kamer 101. De lijst is natuurlijk niet volledig uitgeschreven, maar het proces gaat gewoon verder: Gast N gaat naar kamer N+1.

iedereen naar de lobby roepen zorgt er voor dat je een nieuwe "pool" kamers hebt en een nieuwe "pool"gasten. beide zijn oneindig dus dat klopt exact. nu doe je er oneindig gasten bij. nu heb je nog steeds oneindig gasten. ( dat je denkt dat het meer is dan erst, is niet juist. oneindig is altijd oneidnig, er kan niet meer ijn, je kunt het pas over meer hebben als je precies weet waar de laatste of het einde is, die zijn er niet. dat is nu een keer de definitie. dus kan je niet zomaar zeggen dat iets meer oneindig is.

de gasten kunnen dus allemaal in een kamer.

Je roept over de intercom "Iedereen de kamer uit en bij de kamerdeur gaan staan". Daarna over de intercom "Kijk op je deur welk kamernummer je hebt, tel daar 1 bij op. Dat is je nieuwe kamer." Nu heeft iedereen een nieuwe kamer om te bewonen en kamer 1 blijft leeg. Of kun je aangeven bij welke gast dit proces niet werkt?

dat je op een of andere manier toch iets wilt doen met het gegeven dat je voor je gevoel opeens 2 keer zoveel gasten hebt, en nog steeds 1 x zoveel kamers, tja. dat is een ander verhaal.

Kan ook. Roep je om "Kijk op je deur welk kamernummer je hebt, en verdubbel het. Dat is je nieuwe kamer." Heb je alle oneven kamernummers vrij en toch heeft iedere gast een kamer.

oneindig wordt niet voor niks niet met een cijfer aangeduid, maar met een symbool dat oneindig betekend.
anders zou je voor oneindig wel meer of andere benamingen hebben zoals k-oneindig M-oneindig of G-oneindig of zo. zoals kB MB GB

Er zijn vele vormen van oneindig. Je hebt de kardinaliteit van de natuurlijke getallen, aleph-nul. Ook wel aftelbaar oneindig. Daarnaast zijn er strict meer reele getallen dan natuurlijke getallen. We zeggen dat de verzameling reele getallen overaftelbaar oneindig is. (Zie: Cantor Diagonal Argument voor bewijs).

Dezelfde constructie kun je steeds verder doorvoeren. Er zijn oneindig veel verschillende vormen van oneindig. En welke vorm van oneindig ik bedoel met die eerste "oneindig" in de vorige zin is een huiswerkopgave

[enomiss]

Even een weirde inval zo midden in de nacht..

Zou een oneindig aantal kamers niet betekenen dat het hele universum (alles wat bestaat) alleen uit kamers bestaat? Dat er dus niets anders is? Geen zonnen/planeten. Ik bedoel, als we dan toch consequent moeten zijn.. bouw kamers in alle dimensionale richtingen in oneindigheid, en dan bestaat er niets anders meer dan kamers in het universum. Dat is pas werkelijke oneindigheid.

Dat de kamers dan in een cirkel zijn waarin heel makkelijk geschoven kan dan helemaal niet. Want een cirkel is, zodra die af is eindig. Je kan de diameter wel veranderen en zo een oneindig grote cirkel maken, maar dit kan je later niet aanpassen. Als je begint met de kamers te bouwen kan je nooit een diameter bepalen die een oneindig grote cirkel aan kamers maakt. Want de diameter is ook oneindig groot.

De enige constructie is dus dat alle kamers naast elkaar en op elkaar gestapeld zijn in 3 dimensies of zelfs meer. Alleen zo kan je oneindigheid krijgen. Er kan geen 'lucht' tussen de kamers zitten, want ooit moet die opgevuld worden met een kamer, om de oneindigheid geldig te maken.

Nu denk ik dat oneindigheid (als het bestaat) zich uitstrekt over alle dimensies. Want anders is het eindig. Stel dus nu dat de oneindigheid verder gaat dan deze 3 dimensies, hoe zou de kamerstructuur er dan uitzien? En welke mogelijkheden tot schuiven zijn er? Stel, je haalt de dimensie tijd erbij... dan wordt schuiven vertaald in tijdreizen. In deze dimensie geldt: schuiven = tijdreizen. Wanneer tijdreizen dus mogelijk is, dan kun je altijd terug in de tijd om de nog onbezette kamers te benutten voor de nieuwe gasten.

Dus zou de oplossing tijdreizen kunnen zijn? Ben benieuwd wat jullie ervan denken.

[ Voor 3% gewijzigd door enomiss op 12-09-2012 03:45 ]

[Verwijderd]

enomiss schreef op woensdag 12 september 2012 @ 03:41:
Zou een oneindig aantal kamers niet betekenen dat het hele universum (alles wat bestaat) alleen uit kamers bestaat? Dat er dus niets anders is? Geen zonnen/planeten. Ik bedoel, als we dan toch consequent moeten zijn.. bouw kamers in alle dimensionale richtingen in oneindigheid, en dan bestaat er niets anders meer dan kamers in het universum. Dat is pas werkelijke oneindigheid.

Nope. Ik kan oneindig veel knikkers hebben en oneindig veel kamers en die kunnen prima samen bestaan. Er zouden zelfs ook nog bijvoorbeeld een boom, kat en auto kunnen zijn.

Oneindig veel kamers sluit de rest niet uit.

Maar ik meen me dat de hele discussie hierboven enige tijd geleden al tot in den treuren gevoerd was. Of wordt dit zo'n topic waar iedere paar pagina's dezelfde argumenten op tafel komen?

[Rannasha]

enomiss schreef op woensdag 12 september 2012 @ 03:41:

Zou een oneindig aantal kamers niet betekenen dat het hele universum (alles wat bestaat) alleen uit kamers bestaat? Dat er dus niets anders is? Geen zonnen/planeten. Ik bedoel, als we dan toch consequent moeten zijn.. bouw kamers in alle dimensionale richtingen in oneindigheid, en dan bestaat er niets anders meer dan kamers in het universum. Dat is pas werkelijke oneindigheid.

Het leek mij vrij evident dat de hele discussie een gedachteexperiment is gezien een oneindig aantal materiele objecten (kamers) niet kan bestaan in ons eindige universum.

[engelbertus]

ik vind het kortzichtig om te stellen dat je wel naar de kamer hiernaast kunt, omdat die leeg is, omdat de gast die er in zat ook naar de kamer er naast gaat. ( op zich is dat ook niet bewezen) maar dat je daaruit opmaakt dat dat dus kan. als je niet ook accoord bent met dat de kamers oneindig zijn, anders kom je op jou manier ook ooit bij een laatste kamer, OF het aantal kamers is oneindig. en dan kan je een oneindig aantal gasten in een oneindig aantal kamers stoppen. niet slechts X maal oneindig, maar ook oneindig aantal gasten.

anders had er al in de opgave moeen staan dat de ene oneindig niet even groot was als de andere.

in mijn idee is de definitie van oneindig towel zodanig, dat oneiding altijd gelijk is aan oneindig.

als het er nu om gaat om dat te bewijzen voor de beginvraag lijkt mij dat een hele andere vraag, en is dat dus buiten de oorspronkelijke vraag.

je zou alleen op een halfbakken manier hiervan uit kunnen gaan als je stelt dt oneindig gasten in kamers en oneindig gasten in een bus meer moet zijn dan oneindig kamers. maar dan heeft het helemaal niets meer te maken met het begrip oneindig, en doe je net alof oneindig, juist niet oneindig is.

een wiskundige notatie x:=x+1 heb ik niet gehad op school dus daar kan ik verder niet over oordelen.

jij kunt niet bewijzen dat de oneindige gast altijd in een van de oneindige kamer kan.
juist als je zegt dat iedereen naar een andere kamer verruilt, zeg je in mijn ogen juist dat er precies evenveel kamers als gasten zijn op het moment van verwissellen. en dan blijft er dus juist geen kamer vrij.
op het moment dat de gast uit de bus in een kamer wil stappen, gaat daar een gast naar binnen uit 1 van de andere kamers.

als je iedereen naar de lobby stuurt weet je dat j eniet 1 maar (niet alle, maar juist) oneindig kamers leeg hebt.
alleen hierdoor kun je oneindig gasten in een kamer stoppen. tel hierbij op dat oneindig+oneindig=oneindig, en het bewijs is daar.
je kunt niet zeggen dat alle oneindige kamers leeg zijn, (alle = oneindig)

[engelbertus]

enomiss schreef op woensdag 12 september 2012 @ 03:41:
Even een weirde inval zo midden in de nacht..

Zou een oneindig aantal kamers niet betekenen dat het hele universum (alles wat bestaat) alleen uit kamers bestaat? Dat er dus niets anders is? Geen zonnen/planeten. Ik bedoel, als we dan toch consequent moeten zijn.. bouw kamers in alle dimensionale richtingen in oneindigheid, en dan bestaat er niets anders meer dan kamers in het universum. Dat is pas werkelijke oneindigheid.

Dat de kamers dan in een cirkel zijn waarin heel makkelijk geschoven kan dan helemaal niet. Want een cirkel is, zodra die af is eindig. Je kan de diameter wel veranderen en zo een oneindig grote cirkel maken, maar dit kan je later niet aanpassen. Als je begint met de kamers te bouwen kan je nooit een diameter bepalen die een oneindig grote cirkel aan kamers maakt. Want de diameter is ook oneindig groot.

De enige constructie is dus dat alle kamers naast elkaar en op elkaar gestapeld zijn in 3 dimensies of zelfs meer. Alleen zo kan je oneindigheid krijgen. Er kan geen 'lucht' tussen de kamers zitten, want ooit moet die opgevuld worden met een kamer, om de oneindigheid geldig te maken.

Nu denk ik dat oneindigheid (als het bestaat) zich uitstrekt over alle dimensies. Want anders is het eindig. Stel dus nu dat de oneindigheid verder gaat dan deze 3 dimensies, hoe zou de kamerstructuur er dan uitzien? En welke mogelijkheden tot schuiven zijn er? Stel, je haalt de dimensie tijd erbij... dan wordt schuiven vertaald in tijdreizen. In deze dimensie geldt: schuiven = tijdreizen. Wanneer tijdreizen dus mogelijk is, dan kun je altijd terug in de tijd om de nog onbezette kamers te benutten voor de nieuwe gasten.

Dus zou de oplossing tijdreizen kunnen zijn? Ben benieuwd wat jullie ervan denken.

de tijd of de ruimte of de fysieke afmetingen van wat dan ook, doen inet terzake. tijdreizen, afstand of vorm doen er dus ook niet toe.
anders kun ej beter knikkers in zakjes stoppen, want de gemiddelde gast leeft niet oneindig, en oneindig ver lopen naar je kamer is ook een beetje te ver. en wat moet je anders al die tijd eten?

[Rannasha]

engelbertus schreef op woensdag 12 september 2012 @ 10:05:
ik vind het kortzichtig om te stellen dat je wel naar de kamer hiernaast kunt, omdat die leeg is, omdat de gast die er in zat ook naar de kamer er naast gaat. ( op zich is dat ook niet bewezen) maar dat je daaruit opmaakt dat dat dus kan. als je niet ook accoord bent met dat de kamers oneindig zijn, anders kom je op jou manier ook ooit bij een laatste kamer, OF het aantal kamers is oneindig. en dan kan je een oneindig aantal gasten in een oneindig aantal kamers stoppen. niet slechts X maal oneindig, maar ook oneindig aantal gasten.

anders had er al in de opgave moeen staan dat de ene oneindig niet even groot was als de andere.

in mijn idee is de definitie van oneindig towel zodanig, dat oneiding altijd gelijk is aan oneindig.

als het er nu om gaat om dat te bewijzen voor de beginvraag lijkt mij dat een hele andere vraag, en is dat dus buiten de oorspronkelijke vraag.

je zou alleen op een halfbakken manier hiervan uit kunnen gaan als je stelt dt oneindig gasten in kamers en oneindig gasten in een bus meer moet zijn dan oneindig kamers. maar dan heeft het helemaal niets meer te maken met het begrip oneindig, en doe je net alof oneindig, juist niet oneindig is.

een wiskundige notatie x:=x+1 heb ik niet gehad op school dus daar kan ik verder niet over oordelen.

jij kunt niet bewijzen dat de oneindige gast altijd in een van de oneindige kamer kan.
juist als je zegt dat iedereen naar een andere kamer verruilt, zeg je in mijn ogen juist dat er precies evenveel kamers als gasten zijn op het moment van verwissellen. en dan blijft er dus juist geen kamer vrij.
op het moment dat de gast uit de bus in een kamer wil stappen, gaat daar een gast naar binnen uit 1 van de andere kamers.

als je iedereen naar de lobby stuurt weet je dat j eniet 1 maar (niet alle, maar juist) oneindig kamers leeg hebt.
alleen hierdoor kun je oneindig gasten in een kamer stoppen. tel hierbij op dat oneindig+oneindig=oneindig, en het bewijs is daar.
je kunt niet zeggen dat alle oneindige kamers leeg zijn, (alle = oneindig)

Sorry, maar wat je hier probeert te zeggen is mij volkomen onduidelijk. De redenering stuitert alle kanten op zonder een duidelijk doel en gecombineerd met de rare zinsbouw betekent het dat ik er geen touw aan vast kan knopen.

[RayNbow]

engelbertus schreef op woensdag 12 september 2012 @ 10:05:
jij kunt niet bewijzen dat de oneindige gast altijd in een van de oneindige kamer kan.

Wat is een "oneindige gast"? Wat is een "oneindige kamer"?

[Janoz]

engelbertus schreef op woensdag 12 september 2012 @ 10:05:
....

in mijn idee is de definitie van oneindig towel zodanig, dat oneiding altijd gelijk is aan oneindig.
...
[knip]
...
tel hierbij op dat oneindig+oneindig=oneindig, en het bewijs is daar.

Zie je hoe onsamenhangend verhaal je aan het ophangen bent? Je definitie is dat oneindig is oneindig en vervolgens zeg je dat oneindig *2 = oneindig....

[engelbertus]

@ Janoz,

Ja dat klopt precies.

dat is nu een keer zo omdat oneindig niet een bepaald aantal is.
als je het niet met mijn, volgens jou blijkbaaronmogelijke stelling eens bent, kun je inderdaad nooit oneindig aantal gasten in een bus een lege kamer geven als er alleen onendig volle kamers zijn ( met oneindig gasten).

In jou belevening weet je wel hoeveel oneindig is, maar zijn het er zoveel dat je er geen getal aan kan knopen. Dat is niet wat oneindig is...

[engelbertus]

RayNbow schreef op woensdag 12 september 2012 @ 10:52:
[...]

Wat is een "oneindige gast"? Wat is een "oneindige kamer"?

lees oneindig aantal gasten, en oneindig aantal kamers.

[Xyphoid]

Janoz schreef op dinsdag 11 september 2012 @ 16:08:
[...]

Vertel mij dan eens welke gast voor een deur komt te staan waar al iemand in zit?

De nieuwe gast als ie net aankomt.

Janoz schreef op dinsdag 11 september 2012 @ 16:08:
Dat is leuk, maar dan heb je niet bewezen dat er ook daadwerkelijk voor iedereen een kamer is. Juist het stappenplan toont aan dat je een bewerking kunt doen om bij een oneindig aantal bezette kamers een kamer vrij te maken. Je kunt wel zeggen dat het geheel niet klopt, maar wanneer je de verschillende deelstappen niet kunt ontkrachten, kun je het geheel ook niet ontkrachten. Zo werkt logica.

En als iedereen opschuift? Waar is bewezen dat iedereen die opschuift een kamer krijgt?
Dat is net zo min bewijsbaar als in het geval van "eerst alle kamers leeghalen en dan weer vullen".
Wat in principe hetzelfde is, want alle gasten gaan uit de kamer om op te schuiven, dus op een gegeven moment zijn alle kamers leeg.

Alleen zie je in het geval van opschuiven een kamer leegkomen. Maar daarmee is nog niet bewezen dat alle gasten kunnen opschuiven.
Met het leeghalen en weer vullen zie je geen kamer leegkomen, maar ga je gewoon alle kamers weer vullen. Maar daarmee kan je ook niet bewijzen dat je alle gasten kwijt kunt.

Maar aangezien je oneindige kamers hebt, kun je oneindig doorgaan met vullen. Of je dat nu aan het begin doet of aan het einde.
Dus het is alleen mogelijk om oneindige gasten kwijt te kunnen nadat oneindige kamers eerst leeg gemaakt zijn. Want zoals de TS zegt: Er zijn oneindig veel kamers en al die kamers zijn bezet.
Maar volgens mij valt niet te bewijzen dat oneindige gasten gaan passen.
En voor mij hoeft dat ook niet, want het vullen gaat toch oneindig door (Dat is mijn conclusie, want nu krijg ik hoofdpijn van dit topic en stop ik met denken).

[Verwijderd]

Xyphoid schreef op woensdag 12 september 2012 @ 11:26:

Maar aangezien je oneindige kamers hebt, kun je oneindig doorgaan met vullen. Of je dat nu aan het begin doet of aan het einde.

Er is geen einde.
Het zit nota bene in het woord oneindig.

[ Voor 3% gewijzigd door Verwijderd op 12-09-2012 11:40 ]

[engelbertus]

Verwijderd schreef op woensdag 12 september 2012 @ 11:40:
[...]

Er is geen einde.
Het zit nota bene in het woord oneindig.

volgens mij bedoelt hij dat juist ook, alleen benadrukt hij dat het -dus- daarnaast ook niet uitmaakt of je het aan het begin of eind doet. juist omdat mensen steeds over begin en eind beginnen, en dan een bij kamernummers bij 1 beginnen en in 1 richting verder tellen. dat hoeft op zich niet in t ehouden dat er ergens een kamer is die niet aan alle kanten grenst aan een andere kamer. maar dat is ook weer zoiets. bij oneindig aantal kamers, hoeven die niet aan elkaar t egrenzen. die "beeldvorming"ontstaat alleen doordat men een beeld van een hotel voor zich heeft.

[Janoz]

engelbertus schreef op woensdag 12 september 2012 @ 11:17:
@ Janoz,

Ja dat klopt precies.

dat is nu een keer zo omdat oneindig niet een bepaald aantal is.

Dit is de fout die je maakt. 'Dit is nu een keer zo'. Je verzint definities en op basis daarvan denk je alles onderuit te kunnen halen. Het probleem is dat je argumentatie volledig gebaseerd is op de juistheid van die definitie. Als je eigen definitie fout is gaat dus je hele verhaal onderuit.

Dat er niet een grootte gedefinieerd is betekend nog niet dat je er verder helemaal niks mee kunt. Stel je kunt niet tellen. Kun je dan aantonen dat een bak met knikkers meer rode dan blauwe knikkers heeft?

Ja dat kan.

Pak telkens een rode en een blauwe knikker en leg die bij elkaar net zo lang tot je geen rode of blauwe knikkers meer over hebt. Zijn er geen knikkers meer dan zijn er evenveel knikkers. Zijn er nog rode over dan waren er meer rode.

Op eenzelfde manier kun je aantonen dat de ene oneindig groter is dan de ander. Wanneer je iets kunt verzinnen waarbij een element uit de ene verzameling uniek gecombineert kan worden met een element uit de andere verzameling heb je aangetoond dat beide verzamelingen even groot zijn.

[Xyphoid]

engelbertus schreef op woensdag 12 september 2012 @ 12:29:
[...]


volgens mij bedoelt hij dat juist ook, alleen benadrukt hij dat het -dus- daarnaast ook niet uitmaakt of je het aan het begin of eind doet. juist omdat mensen steeds over begin en eind beginnen, en dan een bij kamernummers bij 1 beginnen en in 1 richting verder tellen. dat hoeft op zich niet in t ehouden dat er ergens een kamer is die niet aan alle kanten grenst aan een andere kamer. maar dat is ook weer zoiets. bij oneindig aantal kamers, hoeven die niet aan elkaar t egrenzen. die "beeldvorming"ontstaat alleen doordat men een beeld van een hotel voor zich heeft.

^ dat dus.

[Janoz]

Xyphoid schreef op woensdag 12 september 2012 @ 11:26:
En als iedereen opschuift? Waar is bewezen dat iedereen die opschuift een kamer krijgt?
Dat is net zo min bewijsbaar als in het geval van "eerst alle kamers leeghalen en dan weer vullen".

Ik kan voor elke kamer aangeven dat de gast die daar zat naar een andere kamer vertrokken. Zat de gast in kamer x dan is deze vertrokken naar kamer x+1. En kamer x+1 is vrij omdat de persoon die daar zat naar kamer x+2 vertrokken is.

Wat in principe hetzelfde is, want alle gasten gaan uit de kamer om op te schuiven, dus op een gegeven moment zijn alle kamers leeg.

Maar dat zou oneindig lang duren. Het vrijmaken van 1 kamer kan in 1 stap (iedereen tegelijk uit zijn kamer stappen en de volgende kamer binnen stappen en klaar)

Alleen zie je in het geval van opschuiven een kamer leegkomen. Maar daarmee is nog niet bewezen dat alle gasten kunnen opschuiven.
Met het leeghalen en weer vullen zie je geen kamer leegkomen, maar ga je gewoon alle kamers weer vullen. Maar daarmee kan je ook niet bewijzen dat je alle gasten kwijt kunt.

Maar aangezien je oneindige kamers hebt, kun je oneindig doorgaan met vullen. Of je dat nu aan het begin doet of aan het einde.
Dus het is alleen mogelijk om oneindige gasten kwijt te kunnen nadat oneindige kamers eerst leeg gemaakt zijn. Want zoals de TS zegt: Er zijn oneindig veel kamers en al die kamers zijn bezet.
Maar volgens mij valt niet te bewijzen dat oneindige gasten gaan passen.
En voor mij hoeft dat ook niet, want het vullen gaat toch oneindig door (Dat is mijn conclusie, want nu krijg ik hoofdpijn van dit topic en stop ik met denken).

Door alle mensen naar de lobby te halen en vervolgens naar de kamer sturen kun je niet bewijzen of er voor iedereen wel een kamer is. Je hebt zeg maar niet een manier om de mensen hun kamernummer te melden. Dat kan wel door ze op te schuiven.

[Zoijar]

Oneindigheid moet je over discussieren in wiskundige termen anders heeft het weinig nut.

Sowieso staat er bijvoorbeeld in de vraagstelling al "oneindig veel kamers" -- ik neem aan dat dat aftelbaar oneindig veel is. Mochten het er namelijk overaftelbaar veel zijn dan werkt het opschuiven al niet. In taal en dat soort analogieen zitten teveel onduidelijkheden.

Verder moet men maar gewoon aannemen dat dit zo is. Het is niet iets waar je over kan discussieren: in de wiskundige vorm is dit zo, bewijsbaar, of eigenlijk haast per definitie.

[Rannasha]

Voor mensen die geinteresseerd zijn in het wiskundige concept oneindig (eventueel in combinatie met het hotel-probleem van dit topic): Ik heb ooit een introductie tot het onderwerp geschreven voor de Vierkant voor Wiskunde zomerkampen. Dit stuk is geschreven voor kinderen in de 1e en 2e klas middelbare school, die interesse hebben in wiskunde. Om die reden is het dus voor iedereen hier waarschijnlijk goed te volgen (hopelijk). Helaas is het hierdoor ook niet heel erg wiskundig rigoreus, want teveel definities en abstracte concepten werkt niet goed voor kinderen van die leeftijd.

Tellen tot Oneindig (.doc)

[Janoz]

Zoijar schreef op woensdag 12 september 2012 @ 13:03:
Oneindigheid moet je over discussieren in wiskundige termen anders heeft het weinig nut.

Sowieso staat er bijvoorbeeld in de vraagstelling al "oneindig veel kamers" -- ik neem aan dat dat aftelbaar oneindig veel is. Mochten het er namelijk overaftelbaar veel zijn dan werkt het opschuiven al niet. In taal en dat soort analogieen zitten teveel onduidelijkheden.

In het originele verhaal hebben de kamers een kamernummer en stelt het dus eigenlijk de verzameling van positief natuurlijke getallen voor. Het toevoegen van oneindig veel gasten is ook niet zomaar gekozen. Deze gasten komen allemaal aan in een oneindig grote bus waarin elke passagier een stoelnummer heeft. Anders is er inderdaad weinig te beginnen.

[Auredium]

Zoijar schreef op woensdag 12 september 2012 @ 13:03:
Oneindigheid moet je over discussieren in wiskundige termen anders heeft het weinig nut.

Sowieso staat er bijvoorbeeld in de vraagstelling al "oneindig veel kamers" -- ik neem aan dat dat aftelbaar oneindig veel is. Mochten het er namelijk overaftelbaar veel zijn dan werkt het opschuiven al niet. In taal en dat soort analogieen zitten teveel onduidelijkheden.

Verder moet men maar gewoon aannemen dat dit zo is. Het is niet iets waar je over kan discussieren: in de wiskundige vorm is dit zo, bewijsbaar, of eigenlijk haast per definitie.

Hangt er vanaf. Je kunt oneindigheid ook filosofisch benaderen. Maar misshcien dat je bedoeld dat het makkelijker is om te werken met een concept zoals oneindigheid vanuit een wiskundig perspectief. In die zin ben ik het wel met je eens. Al hoewel ik zelf niet vanuit een concept zoals oneindig uit ga in realiteit. oneindig is net zoiets als almachtig of'voor altijd; supreme overtreffende trap begrippen, niet gebaseerd op de reale wereld.

Wiskunde hoeft echter niet gebaseerd zijn op de reale wereld, enkel de wiskundige.

[engelbertus]

als je nu wilt kunnen aantonen dat de ene verzameling groter is dan de ndere, dan kun je dat met de gegevens van de vraagstelling niet. daarin is daarvoor te weinig informaie gegeven.
de kamer, de gasten erin, en de gasten in de bus, ze zijn allemaal oneindig.

het enige dat ik dan kan verzinnen is dat er inderdaad geen einde is, en je DUS niets kunt zeggen of de ene verzameling groter is dan de andere, met andere woorden kan ik er alleen van uit gaan dat ze even groot, namelijk oneindig zijn. en in dat geval, hoe je dat wiskundig qua aftelbaarheid ook noemt, is oneindig oneindig.
anders zou je eerst ook moeten controleren of alle gasten een kamernummer hebben, dat zal zo zijn, want alle kamers zijn vol. als je zelf aangeeft dat de ene oneindig groter is (of kan zijn) dan de andere, is er hier een speciale vorm, namelijk dat ze exact even groot moeten zijn. dan kun je wel iedereen uit de kamer halen en stoelendans spelen, dan nog past er niet opeens een gast bij.

anders, in kamer x+1 zat een gast, en die moet ergens heen, dus zolang je x+1 kunt doen is er ook een gast x+1 geweest. juist dat je ze aan elkaar wilt koppelen en wilt verschuiven, bewijst dat je na een verschuiving geen kamer meer vrij hebt. je zegt immers dat de oneindige hoeveelheid kamer exact even groot is als het aantal oneindige gasten.
dat is een"- beperking- die je jezelf oplegt.
tenslotte staat het in de vraag als dat er oneindig bezette kamers zijn.

jij gaat er telkens van uit dat je de ene oneindig toch ergens kunt begrenzen of aan kunt duiden als meer of minder. ik lees dat niet in de vraagstelling, en in de vraag blijkt ook niet dat we te maken hebben met een bepaalde smaak van oneindig.

dan ga IK er van uit dat oneindig daadwerkelijk oneindig is, en oneindig = oneindig en oneindig+oneindig= oneindig.
de vraagstelling is in iedergeval op dat niveau beschreven, zonder ( wiskundige) omschrijvingen.

daarnaast, denk ik dat op het moment dat je iemand een daadwerkelijk nummer toekent. er maar 1 kamer zal zijn met het bijhorende nummer. dan past er in 1 kamer niet 2 gasten. en het is ook niet mogelijk toevallig, ik noem maar iets, de even nummers in de bus te hebben, want dan zouden de even nummers in het hotel er niet zijn, of ook bezet zijn.

volgens mij is de oplossing juist de clou, dat wanneer je iedereen uit de kamer haalt, en samenvoegt met de mensen in de bus, je opeens wel "2x zoveel"mensen een eigen kamer kunt geven in een hotel dat al vol was.

opschuiven bewijst niets, en eigenlijk, je verhaal over dat je met een bepaald aantal stappen dus bewijst dat het kan, vind ik helemaal niet een bewijs voor wat dan ook. de vraagstelling is abstract je bewijs puur practisch. en oneindig heeft niets met practisch te maken in mijn ogen. het is alleen een practisch iets om te de tegenpool van 0 te omschrijven.

[Rannasha]

engelbertus schreef op woensdag 12 september 2012 @ 14:24:
als je nu wilt kunnen aantonen dat de ene verzameling groter is dan de ndere, dan kun je dat met de gegevens van de vraagstelling niet. daarin is daarvoor te weinig informaie gegeven.
de kamer, de gasten erin, en de gasten in de bus, ze zijn allemaal oneindig.

het enige dat ik dan kan verzinnen is dat er inderdaad geen einde is, en je DUS niets kunt zeggen of de ene verzameling groter is dan de andere, met andere woorden kan ik er alleen van uit gaan dat ze even groot, namelijk oneindig zijn. en in dat geval, hoe je dat wiskundig qua aftelbaarheid ook noemt, is oneindig oneindig.
anders zou je eerst ook moeten controleren of alle gasten een kamernummer hebben, dat zal zo zijn, want alle kamers zijn vol. als je zelf aangeeft dat de ene oneindig groter is (of kan zijn) dan de andere, is er hier een speciale vorm, namelijk dat ze exact even groot moeten zijn. dan kun je wel iedereen uit de kamer halen en stoelendans spelen, dan nog past er niet opeens een gast bij.

anders, in kamer x+1 zat een gast, en die moet ergens heen, dus zolang je x+1 kunt doen is er ook een gast x+1 geweest. juist dat je ze aan elkaar wilt koppelen en wilt verschuiven, bewijst dat je na een verschuiving geen kamer meer vrij hebt. je zegt immers dat de oneindige hoeveelheid kamer exact even groot is als het aantal oneindige gasten.
dat is een"- beperking- die je jezelf oplegt.
tenslotte staat het in de vraag als dat er oneindig bezette kamers zijn.

jij gaat er telkens van uit dat je de ene oneindig toch ergens kunt begrenzen of aan kunt duiden als meer of minder. ik lees dat niet in de vraagstelling, en in de vraag blijkt ook niet dat we te maken hebben met een bepaalde smaak van oneindig.

dan ga IK er van uit dat oneindig daadwerkelijk oneindig is, en oneindig = oneindig en oneindig+oneindig= oneindig.
de vraagstelling is in iedergeval op dat niveau beschreven, zonder ( wiskundige) omschrijvingen.

daarnaast, denk ik dat op het moment dat je iemand een daadwerkelijk nummer toekent. er maar 1 kamer zal zijn met het bijhorende nummer. dan past er in 1 kamer niet 2 gasten. en het is ook niet mogelijk toevallig, ik noem maar iets, de even nummers in de bus te hebben, want dan zouden de even nummers in het hotel er niet zijn, of ook bezet zijn.

volgens mij is de oplossing juist de clou, dat wanneer je iedereen uit de kamer haalt, en samenvoegt met de mensen in de bus, je opeens wel "2x zoveel"mensen een eigen kamer kunt geven in een hotel dat al vol was.

opschuiven bewijst niets, en eigenlijk, je verhaal over dat je met een bepaald aantal stappen dus bewijst dat het kan, vind ik helemaal niet een bewijs voor wat dan ook. de vraagstelling is abstract je bewijs puur practisch. en oneindig heeft niets met practisch te maken in mijn ogen. het is alleen een practisch iets om te de tegenpool van 0 te omschrijven.

Oke, als je de vraagstelling niet precies genoeg vindt, wil ik deze wel herformuleren:

Hotel-formulering
Gegeven een hotel met aleph-nul kamers, opgesteld in een enkele gang. De kamers zijn opeenvolgend genummerd: De eerste kamer voorbij de ingang heeft nummer 1, de volgende kamer in de gang heeft kamernummer 2, enz... In iedere kamer is 1 gast. Er is een intercom-systeem waarmee de receptionist tegelijk alle gasten in kamers en mensen in de gang kan toespreken.

Er komt 1 gast bij de receptie op zoek naar een kamer. Kan de receptionist de persoon in een kamer plaatsen. Zo ja, hoe?

Wiskundige formulering
Gegeven een verzameling met kardinaliteit aleph-nul en een verzameling met kardinaliteit 1. Wat is de kardinaliteit van de vereniging van beide verzamelingen?

[engelbertus]

Ik heb inderdaad nog eens naar de TS gekeken. hierin worden inderdaad een boel dingen weggelaten die in de eerste reactie die richting wikipedia wijst, wel worden genoemd.

de wikipediapagina legt het in iedergeval duidelijk genoeg uit voor mij om het te snappen, en dat je wel kunt "schuiven".

Wat mij daarin nog tegen de borst stuit, is dat je dan ook meer kamers vrij kunt maken dan er gasten zijn. (uit de kamers+uit de bus), hetgeen er vervolgens toe kan leiden dat niet alle kamers meer bezet zijn, en er toch genoeg kamers zijn waar de gasten in terecht kunnen.
( en dan heb je de omgekeerde situatie, maar daarbij bewijs je opeens dat er meer kamers zijn dan gasten.)

Het naar de lobby sturen van de gasten is op zich geen bewijs dat er daarna genoeg kamers vrij zijn, maar gesteld ( wat de oplossingen op wikipedia ook doen) dat er oneindig aantal kamers zijn, raak je ze allemaal uiteindelijk wel kwijt in een kamer, ook al heb ik niet bepaald dat het in kamer x+1 of x*2.

naast bovenstaande, noem j enu in je betere omschrijving dat er 1 gast bij moet, wat niet zo was in de vraag, ( ook niet op wikipedia) het gaat om een bus met oneindig aantal gasten.

Het naar de volgende kamer opschuiven kan alleen bij een eindig aantal gasten in de bus volgens wikipedia.
Wanneer je een oneindig aantal buspassagiers wilt huisvesten, moet je ze verplaatsen naar x=2x.

dit kan allemaal, je kunt ook besluiten om de gasten in het hotel te verplaatsen naar x^2.
Er komen dan meer kamers vrij dan dat er ( tot stap X) weer worden gevuld. en je kunt dan nog meer gasten uit de bus een plek geven.

maar betekent dit dan dat je op een gegeven moment kamers overhoud, of zijn er genoeg mensen in de bus om ook die vrijgekomen plekken te vullen met een gast

[ Voor 20% gewijzigd door engelbertus op 12-09-2012 15:49 ]

[Rannasha]

engelbertus schreef op woensdag 12 september 2012 @ 15:43:

naast bovenstaande, noem j enu in je betere omschrijving dat er 1 gast bij moet, wat niet zo was in de vraag, ( ook niet op wikipedia) het gaat om een bus met oneindig aantal gasten.

Kan ook. Het standaard voorbeeld begint met 1 gast erbij en daarna een bus met een oneindig (aleph-nul) aantal gasten. Vervolgens ga je verder met oneindig (aleph-nul) veel bussen met elk oneindig (aleph-nul) veel gasten. Ook dat past gewoon.

[engelbertus]

ik heb mijn post hierboven iets aangevuld, om niet een oneindig aantal nieuwe post te krijgen in dit tpoic. kun je daar ook iets van zeggen? ( over mensen verplaatsen volgens x=x^2 ?

[Rannasha]

engelbertus schreef op woensdag 12 september 2012 @ 15:51:
ik heb mijn post hierboven iets aangevuld, om niet een oneindig aantal nieuwe post te krijgen in dit tpoic. kun je daar ook iets van zeggen? ( over mensen verplaatsen volgens x=x^2 ?

Je houdt met x -> x^2 net zoveel vrije kamers over als met x -> 2x.

[witeken]

Rannasha schreef op woensdag 12 september 2012 @ 13:27:
Voor mensen die geinteresseerd zijn in het wiskundige concept oneindig (eventueel in combinatie met het hotel-probleem van dit topic): Ik heb ooit een introductie tot het onderwerp geschreven voor de Vierkant voor Wiskunde zomerkampen. Dit stuk is geschreven voor kinderen in de 1e en 2e klas middelbare school, die interesse hebben in wiskunde. Om die reden is het dus voor iedereen hier waarschijnlijk goed te volgen (hopelijk). Helaas is het hierdoor ook niet heel erg wiskundig rigoreus, want teveel definities en abstracte concepten werkt niet goed voor kinderen van die leeftijd.

Tellen tot Oneindig (.doc)

Dan was wat ik zei toch juist (oneindig+oneindig=oneindig).

[engelbertus]

@witeken
0=0 0x0=0 0+0=0 2*0=0
tot nu toe niks vreemds metoneindig
1=1 1x1=1
nog steeds niet...

1+1=2 2*1=2 begint al vreemd te worden...

[engelbertus]

Rannasha schreef op woensdag 12 september 2012 @ 15:59:
[...]


Je houdt met x -> x^2 net zoveel vrije kamers over als met x -> 2x.

je houdt ze niet over, maar ze komen vrij denk ik, om weer gevuld te kunnen worden.
maar bewijs dan eens dat 2x of x^2 in het hotel geval niets uitmaakt?

De mensen die uit x kwamen gaan steeds verder van hun oorspronkelijke kamer terecht komen, de tussenliggende kamers worden steeds minder opgevuld door gasten uit het hotel. je zou dus "denken"dat er meer mensen uit de bus op die plekken kunnen worden gestopt.

aangezien oneindig is oneindig, kun je zeggen dat je niet met lege kamers blijft zitten, maar misschien dan wel dat de mensen uit de bus sneller in de nieuwe kamer kunnen ( minder ver lopen)
wel gemeen dat de mensen die al in het hotel zaten allemaal steeds verder, en verder dan de mensen uit de bus moeten lopen naar hun nieuwe kamer.

[ Voor 8% gewijzigd door engelbertus op 12-09-2012 16:39 ]

[Rannasha]

engelbertus schreef op woensdag 12 september 2012 @ 16:37:
[...]


je houdt ze niet over, maar ze komen vrij denk ik, om weer gevuld te kunnen worden.
maar bewijs dan eens dat 2x of x^2 in het hotel geval niets uitmaakt?

Ja, ze komen vrij, dat bedoel ik.

En het bewijs? Het complement ten opzichte van N (= verz. van natuurlijke getallen) van het bereik van de afbeelding x -> 2x (Noem deze verzameling V) is niet eindig. Omdat kard(N) (= kardinaliteit (wiskundige term die ongeveer "grootte" betekent, maar ook toepasbaar is op oneindige verzamelingen) van N) het kleinste niet-eindige kardinaal getal is, moet gelden dat de kardinaliteit van V gelijk zijn aan kard(N).

Idem voor x -> x^2. Het complement ten opzichte van N van het bereik van deze afbeelding is wederom niet eindig (bewijs: triviaal), waardoor op dezelfde wijze volgt dat het dezelfde kardinaliteit heeft als N.

Een algemener resultaat: Iedere deelverzameling van de natuurlijke getallen is eindig of heeft dezelfde kardinaliteit als de natuurlijke getallen.

Dit kun je toepassen op het "hotel-probleem": Iedere injectieve afbeelding (dwz: 2 gasten worden niet naar dezelfde kamer gestuurd) van kamernummers x -> f(x), waarbij er een oneindig aantal kamers vrij komen, heeft hetzelfde aantal vrijgekomen kamers: kard(N).

[ Voor 3% gewijzigd door Rannasha op 12-09-2012 16:56 ]

[engelbertus]

ok.
dus basicaly, de beide oneindig zijn hebben dezelde kadinaliteit, en dus zijn ze zeg maar even groot.
de oneindig in de bus is net zo groot, anders zou het niet "passen" ?

[Rannasha]

engelbertus schreef op donderdag 13 september 2012 @ 00:38:
ok.
dus basicaly, de beide oneindig zijn hebben dezelde kadinaliteit, en dus zijn ze zeg maar even groot.
de oneindig in de bus is net zo groot, anders zou het niet "passen" ?

Ja.

[Zoijar]

Als je trouwens een groter oneindig wilt zien uitgelegd met bewijs: Wikipedia: Diagonaalbewijs van Cantor

Dan zie je dus ook dat in het algemeen niet geldt "oneindig = oneindig".

[Verwijderd]

Ok, stel dat je geloofd in een oneindig aantal universa, dan is het heel waarschijnlijk dat je niet geloofd in het bestaan van een god.

Het begrip oneindig is echter zo onbegrijpelijk groot dat op een gegeven moment in een gegeven universum alle deeltjes waarvan het heelal is opgebouwd, zo samenkomen, al is het maar een fractie van een seconde, dat er een machtig opperwezen onstaat waarin wij een god zouden zien?

Het idee is wat verder van je bed dan het feit dat je in een parallel universum nu rondloopt met een paarse hoed op, maar juist het begrip oneindig maakt alles mogelijk.

[RayNbow]

Verwijderd schreef op donderdag 27 september 2012 @ 15:53:
Ok, stel dat je geloofd in een oneindig aantal universa, dan is het heel waarschijnlijk dat je niet geloofd in het bestaan van een god.

Irrelevant.

Het begrip oneindig is echter zo onbegrijpelijk groot

Het begrip zelf is niet onbegrijpelijk groot. Je kunt het begrip in 6 zinnen opschrijven. Dat lijkt me nog wel te begrijpen.

maar juist het begrip oneindig maakt alles mogelijk.

Dit is onzin.

[Mutatie]

RayNbow schreef op donderdag 27 september 2012 @ 20:46:


[...]

Dit is onzin.

Is dat echt zo?

In een enkel oneindig universum zou het mischien al mogelijk kunnen zijn als je maar ver genoeg zou reizen dat je bv oneindig veel versies van jezelf tegen zou komen. Gooi daar nog eens oneindig veel parallelle universa met oneindig verschillende eigenschappen tegenaan.
Wat is dan eigenlijk nog onmogelijk?

Verder wel eens met de irrelevantie van een god, daarbij zou deze eventueel buiten de universa kunnen bestaan.

[ Voor 10% gewijzigd door Mutatie op 27-09-2012 21:30 ]

[Verwijderd]

Mutatie schreef op donderdag 27 september 2012 @ 21:28:
[...]

Is dat echt zo?

In een enkel oneindig universum zou het mischien al mogelijk kunnen zijn als je maar ver genoeg zou reizen dat je bv oneindig veel versies van jezelf tegen zou komen. Gooi daar nog eens oneindig veel parallelle universa met oneindig verschillende eigenschappen tegenaan.
Wat is dan eigenlijk nog onmogelijk?

Verder wel eens met de irrelevantie van een god, daarbij zou deze eventueel buiten de universa kunnen bestaan.

Inderdaad, alles is mogelijk (binnen de mogelijke wetten van de universa natuurlijk). De kans dat alle deeltjes zo samenkomen dat ze een roze hoed op mijn hoofd vormen na miljarden jaren door het universum gereisd te hebben, is net zo groot als de kans dat ze ergens op de maan een roze hoed vormen.

Ja, maar die roze hoed is hier in een fabriek gemaakt door de mens die die kans heeft gemanipuleerd hoor ik mensen nu denken. Hoe groot is de kans dan dat die febriek met die mensen op die planeet precies zo gevormd werd? Er zijn oneindig veel universa in dit verhaal. Alles is mogelijk binnen de gestelde kaders en alles gebeurd ook.

[Rannasha]

Oftewel: De Many-Worlds interpretatie van de quantum-mechanica (Wikipedia: Many-worlds interpretation). Heeft op zich niet bijzonder veel met het concept oneindig of de verschillende gradaties oneindig te maken.

Overigens is het helemaal niet zeker dat er oneindig veel universa zijn in de many-worlds interpretatie. Als we er van uitgaan dat alle natuurkundige grootheden (tijd, ruimte, energie) opgebouwd zijn uit quanta en dus discreet zijn in plaats van continu, is er slechts een eindig (maar groot) aantal mogelijk quantum-toestanden van het universum.

[Zoijar]

Verwijderd schreef op donderdag 27 september 2012 @ 15:53:
Het begrip oneindig is echter zo onbegrijpelijk groot

Terzijde, eigenlijk is het niet "groot"; het is namelijk oneindig en heeft dus geen grootte. Indien het wel een groote had, zeg 'y', dan kom ik met 'y+1' dat groter is, en dus is het begrensd en eindig.

[Janoz]

Ik kan een oneindige lijn tekenen binnen een vierkante centimeter. Is dat dan groot?

[link0007]

Mutatie schreef op donderdag 27 september 2012 @ 21:28:
[...]

Is dat echt zo?


In een enkel oneindig universum zou het mischien al mogelijk kunnen zijn als je maar ver genoeg zou reizen dat je bv oneindig veel versies van jezelf tegen zou komen. Gooi daar nog eens oneindig veel parallelle universa met oneindig verschillende eigenschappen tegenaan.
Wat is dan eigenlijk nog onmogelijk?

Dat hangt er van af wat de beperkingen zijn. Als iets volgens bepaalde wetmatigheden vormt, dan zullen veel zaken uitgesloten zijn vanwege die wetmatigheid.
Als ik bijvoorbeeld oneindig veel druppels regen laat vallen door een koude laag lucht, dan zullen er veel verschillende vormen sneeuwvlokjes naar beneden komen. Maar het zal in geen enkel geval gebeuren dat in plaats van een sneeuwvlokje een piano naar beneden valt.

Oneindig is immers nog altijd gebonden aan fysieke noodzakelijkheid, metafysische noodzakelijkheid en logische noodzakelijkheid. Zelfs in een oneindig aantal universa met verschillende natuurwetten zullen de metafysische en logische noodzakelijkheid alsnog constant blijven.

Een analogie met de wiskunde: Er zijn oneindig veel getallen tussen 0 en 1. Maar geen van deze getallen is groter dan 1 of kleiner dan 0.

[ Voor 5% gewijzigd door link0007 op 28-09-2012 14:24 ]

[Zoijar]

Janoz schreef op vrijdag 28 september 2012 @ 13:06:
Ik kan een oneindige lijn tekenen binnen een vierkante centimeter. Is dat dan groot?

Je kan het bij een lijn alleen over lengte hebben, aangezien het 1D iets is (hoewel je in dit geval beter in fractal dimensies kan praten). Die lijn heeft inderdaad geen lengte/oneindig. Dat wil niet zeggen dat je iets niet kan omvatten door een hoger-dimensionale ruimte.

[Mutatie]

Daar heb je helemaal gelijk aan. Het was wat simpel van me om het zo neer te zetten. Ik bedoel ook niet dat er bv een universum bestaat waarin alle planeten bv appels zijn. Alles binnen het mogelijke, al is wat mogelijk is totaal onbekend.

Veder vind ik het begrip oneindig in combinatie met dit universum wel interessant.
Het klinkt mij iets te zweverig, maar zou het echt zo kunnen zijn dat dan deeltjes zich zo combineren dat er oneindig versies met minieme verschillen van jezelf of bv deze wereld bestaan?
Het klinkt mogelijk, maar toch een beetje te over de top.

[Sebas1979]

Janoz schreef op vrijdag 28 september 2012 @ 13:06:
Ik kan een oneindige lijn tekenen binnen een vierkante centimeter. Is dat dan groot?

Of beter: er is een oneindige lijn denkbaar binnen een vierkante centimeter. Of jij m daadwerkelijk kunt tekenen, betwijfel ik nogal

Waarmee we weer terug zijn op het hele probleempunt van de originele opgave met hotelkamers en gasten: 'oneindig' bestaat alleen in de wiskunde, niet in de praktijk.

[Rannasha]

Zoijar schreef op vrijdag 28 september 2012 @ 13:03:
[...]

Terzijde, eigenlijk is het niet "groot"; het is namelijk oneindig en heeft dus geen grootte. Indien het wel een groote had, zeg 'y', dan kom ik met 'y+1' dat groter is, en dus is het begrensd en eindig.

Onwaar. Zoals al meerdere keren eerder aangegeven in dit topic, er zijn vele "niveaus" van oneindigheid waarin de ene vorm strikt groter is dan de andere (dat wil zeggen, er bestaat een injectieve functie van de ene verzameling naar de andere, maar niet andersom).

Bovendien, als je met ordinaal-rekenkunde werkt, dan kun je een oneindig ordinaalgetal hebben, er 1 bij optellen (aan de rechterkant, y + 1 dus, wat zeker niet hetzelfde is als 1 + y) en een ander ordinaalgetal krijgen dat strikt groter is, maar nog steeds oneindig.