Het begrip 'oneindig'

[ruurd v.]

Ik weet niet of dit topic hier thuishoort maar...

Ik heb een tijdje geleden naar aanleiding van een soort raadsel een flinke discussie gehad over het begrip oneindig en heb nog steeds geen bevredigend antwoord. Wellicht dat de mede-tweaker het een en ander kan verduidelijken..

het 'raadsel':

Er is een hotel met ondeindig veel kamers, en al die kamers zijn bezet.
Nu komt er een buslading met oneindig veel mensen die ook een kamer in dat hotel willen.
Hoe lost de hotel eigenaar dit op?

Antwoord:
De hotel eigenaar laat iedereen die op dat moment in een kamer zit, één kamer opschuiven, zodat de eerste kamer vrij komt voor de nieuwe gasten

Nu ben ik zelf wiskundig niet enorm goed onderlegd, maar iets zegt me dat dit neerkomt op het verschuiven van het probleem. Is het niet zo dat er op deze manier altijd iemand zonder kamer zit? immers, als iemand een kamer opschuift zal diegene nooit een lege kamer aantreffen en dus zal de volgende persoon ook weer door moeten schuiven, etc, etc, tot in het oneindige....

Mijns inziens kunnen er dus nooit mensen meer bij in dat hotel aangezien alle kamers al vol waren met een oneindig aantal mensen (oneindig+1 kan niet, toch?). degene die met dit raadsel kwam, beweerde echter bij hoog en laag dat het antwoord wel degelijk klopte.

Komt het door mijn beperkte begrip voor 'oneindig' en zie ik iets over het hoofd, of klopt er iets niet aan het raadsel?

[Anoniem: 98590]

De gegeven oplossing klopt alleen als er een eindig aantal gasten aankomt inderdaad. De juiste oplossing voor een oneindig aantal gasten kun je hier lezen.

[ruurd v.]

Is het dan niet nog steeds zo dat er dus altijd een persoon 'op de gang' staat aangezien er nooit een kamer zal zijn die leeg is?

[Anoniem: 238498]

Hoe kunnen oneindig veel kamers bezet zijn? dan zijn er al niet oneindig veel kamers....

[Caeruleus]

Anoniem: 238498 schreef op dinsdag 24 mei 2011 @ 14:47:
Hoe kunnen oneindig veel kamers bezet zijn? dan zijn er al niet oneindig veel kamers....

Dat was ook het punt waarop ik afhaakte

[Sendy]

Als je alle kamers afloopt en al deze kamers zijn bezet, en er komt nooit een eind aan de kamers, dan zijn alle, (aftelbaar) oneindig aantal, kamers bezet.

[L0we]

Anoniem: 238498 schreef op dinsdag 24 mei 2011 @ 14:47:
Hoe kunnen oneindig veel kamers bezet zijn? dan zijn er al niet oneindig veel kamers....

Mijn idee is omdat er ook oneindig veel bezoekers zijn. Oneindig = oneindig, dus dan is het vol.

Als ik heel simpel redeneer is een nieuwe buslading oneindig veel bezoekers ook geen prolbeem, want oneindig + oneindig = oneindig. Aangezien er ook een oneindig aantal kamers zijn, past het nog steeds.

Of denk ik nu te simpel?

[Bloemstukje]

Een hotel met een oneindig aantal kamers wat vol zit ? Dat kan nooit want oneindig + 1 = ook oneindig

[Stiegl]

Hoe zit het eigenlijk bij 0 kamers en 0 bezoekers? Zijn dan alle kamers bezet of geen kamers bezet? Als je het antwoord daarop weet, weet je het volgens mij ook voor oneindig.

[Sendy]

SanderPS3 schreef op dinsdag 24 mei 2011 @ 15:01:
Een hotel met een oneindig aantal kamers wat vol zit ? Dat kan nooit want oneindig + 1 = ook oneindig

Dat kan wel, want in iedere kamer die je bekijkt zit een gast. Dus is het hotel vol.

Maar toch passen er nog gasten bij zoals in de startpost beschreven.

[Napo]

Sendy schreef op dinsdag 24 mei 2011 @ 15:04:
[...]

Dat kan wel, want in iedere kamer die je bekijkt zit een gast. Dus is het hotel vol.

Maar toch passen er nog gasten bij zoals in de startpost beschreven.

Hoe kan het hotel vol zitten als het een oneindige hoeveelheid kamers heeft?

[Danot]

Napo schreef op dinsdag 24 mei 2011 @ 15:06:
[...]


Hoe kan het hotel vol zitten als het een oneindige hoeveelheid kamers heeft?

Iedere kamer is bezet.

[Napo]

Danot schreef op dinsdag 24 mei 2011 @ 15:06:
[...]

Iedere kamer is bezet.

Hoe kan iedere kamer bezet geacht worden als het onbekend is hoeveel kamers er überhaupt zijn,

[mickjuh]

Napo schreef op dinsdag 24 mei 2011 @ 15:06:
[...]


Hoe kan het hotel vol zitten als het een oneindige hoeveelheid kamers heeft?

Danot schreef op dinsdag 24 mei 2011 @ 15:06:
[...]

Iedere kamer is bezet.

Dus er zijn oneindig veel kamer == altijd een kamer vrij
Het gegeven "en al die kamers zijn bezet" klopt dus niet in het raadsel

[wasted247]

Ik snap niet wat hier zo moeilijk aan is, er zijn oneindig kamers, ook al zijn deze bezet, er zijn er altijd meer. Ook al zouden er dan altijd meer gasten zijn, danwel oneindig, is er altijd een vrije kamer gezien deze ook oneindig zijn.

Edit:
Zie het zo, als ik oneindig liters water zou hebben, en een oneindig aantal glazen, kan ik eeuwig (oneindig) glazen vullen.

[Voor 21% gewijzigd door wasted247 op 24-05-2011 15:22]

[Sendy]

Hoe bedenk je dat een normaal hotel vol is? Je loopt alle kamers af en kijkt of er een gast zit. Zou je dat met dit speciale hotel doen, dan zou je ook zien dat iedere kamer bezet is. En als iedere kamer bezet is, dan is het hotel vol.

[wasted247]

Sendy schreef op dinsdag 24 mei 2011 @ 15:19:
Hoe bedenk je dat een normaal hotel vol is? Je loopt alle kamers af en kijkt of er een gast zit. Zou je dat met dit speciale hotel doen, dan zou je ook zien dat iedere kamer bezet is. En als iedere kamer bezet is, dan is het hotel vol.

Niet dus, want voor elke (nieuwe) gast komt er een kamer bij. Het begrip 'vol' gaat voor dit hotel simpelweg niet op. Het kan niet vol zijn.

[Napo]

Sendy schreef op dinsdag 24 mei 2011 @ 15:19:
Hoe bedenk je dat een normaal hotel vol is? Je loopt alle kamers af en kijkt of er een gast zit. Zou je dat met dit speciale hotel doen, dan zou je ook zien dat iedere kamer bezet is. En als iedere kamer bezet is, dan is het hotel vol.

Dan wens ik jou veel succes om een oneindig aantal kamers langs te lopen, roep maar als je klaar bent , Vertel je wel het laatste kamernummer wat je bent tegengekomen als je roept?

[Voor 7% gewijzigd door Napo op 24-05-2011 15:22]

[Sendy]

Volgens mij betekent "Hotel vol" hetzelfde als "Alle kamers bezet"? En voor dit speciale hotel definieer je dat iedere kamer bezet is. En dus vol.

Maar toch kan je ruimte maken en is het dus niet vol. Grappig maar contra-intuitief.

[wasted247]

Sendy schreef op dinsdag 24 mei 2011 @ 15:25:
Volgens mij betekent "Hotel vol" hetzelfde als "Alle kamers bezet"? En voor dit speciale hotel definieer je dat iedere kamer bezet is. En dus vol.

Maar toch kan je ruimte maken en is het dus niet vol. Grappig maar contra-intuitief.

Maar die kamers die op dat moment bezet zijn zijn dus niet alle kamers

[Napo]

Sendy schreef op dinsdag 24 mei 2011 @ 15:25:
Volgens mij betekent "Hotel vol" hetzelfde als "Alle kamers bezet"? En voor dit speciale hotel definieer je dat iedere kamer bezet is. En dus vol.

Maar toch kan je ruimte maken en is het dus niet vol. Grappig maar contra-intuitief.

* Napo vraagt zich nu af waarom er volgens jou überhaupt ruimte gemaakt moet worden.
* Napo denkt dat de ruimte er namelijk al is.

[Sendy]

wasted247 schreef op dinsdag 24 mei 2011 @ 15:26:
[...]
Maar die kamers die op dat moment bezet zijn zijn dus niet alle kamers

Jawel, dat is de definitie. Dat je in een hotel met een aftelbaar oneindig aantal kamers zomaar maar kamers erbij kan toveren is een consequentie van het begrip "aftelbaar oneindig."

[Napo]

Sendy schreef op dinsdag 24 mei 2011 @ 15:30:
[...]

Jawel, dat is de definitie. Dat je in een hotel met een aftelbaar oneindig aantal kamers zomaar maar kamers erbij kan toveren is een consequentie van het begrip "aftelbaar oneindig."

Nu verander je de probleemstelling, de probleemstelling heeft met geen woord gerept over "aftelbaar oneindig"

[Sendy]

Dat komt door de topicstarter. De (nep)paradox gaat over een hotel met een aftelbaar oneindig aantal kamers. Als het een hotel met een overaftelbaar oneindig aantal kamers zou zijn kan je de kamers niet nummeren. En is een hotel met ongenummerde kamers handig?

[Maethor2]

Sendy schreef op dinsdag 24 mei 2011 @ 15:25:
Volgens mij betekent "Hotel vol" hetzelfde als "Alle kamers bezet"? En voor dit speciale hotel definieer je dat iedere kamer bezet is. En dus vol.

Maar toch kan je ruimte maken en is het dus niet vol. Grappig maar contra-intuitief.

Volgens mij is dat net het probleem voor veel mensen. Jij stelt alle kamers zijn bezet gelijk aan het hotel zit vol terwijl dat enkel geldig is in een hotel met een eindig aantal kamers. Hier is dat niet het geval.

[Napo]

Sendy schreef op dinsdag 24 mei 2011 @ 15:34:
Dat komt door de topicstarter. De (nep)paradox gaat over een hotel met een aftelbaar oneindig aantal kamers. Als het een hotel met een overaftelbaar oneindig aantal kamers zou zijn kan je de kamers niet nummeren. En is een hotel met ongenummerde kamers handig?

Desalniettemin wordt de probleemstelling gewijzigd, of iets handig is is totaal niet aan de orde bij de probleemstelling. Daarnaast is de vraag ook maar bij aftelbaar oneindig of je de allerlaatste kamer überhaupt krijgt te zien, je ziet kamer N maar bij oneindig, ook bij aftelbaar oneindig is er een kamer N+1.

Een oneindig iets kan nooit vol of leeg zijn, als dat wel zo is zou het niet oneindig zijn. Ben je daar niet mee eens mag je het aantonen dat ik verkeerd zit

[Voor 10% gewijzigd door Napo op 24-05-2011 15:38]

[Maethor2]

Sendy schreef op dinsdag 24 mei 2011 @ 15:34:
Dat komt door de topicstarter. De (nep)paradox gaat over een hotel met een aftelbaar oneindig aantal kamers. Als het een hotel met een overaftelbaar oneindig aantal kamers zou zijn kan je de kamers niet nummeren. En is een hotel met ongenummerde kamers handig?

Hotelkamers zijn altijd aftelbaar, het is niet dat je tussen iedere hotelkamer nog een halve hotelkamer ofzo kunt vinden.

[Osiris]

Maethor2 schreef op dinsdag 24 mei 2011 @ 15:35:
[...]


Volgens mij is dat net het probleem voor veel mensen. Jij stelt alle kamers zijn bezet gelijk aan het hotel zit vol terwijl dat enkel geldig is in een hotel met een eindig aantal kamers. Hier is dat niet het geval.

Waarom? Als de definitie is dat een oneindig aantal kamers állemaal vol zit, waarom kan het hotel dan niet vol zitten? Elke kamer die je er "extra bijverzint" zit per definitie óók vol.

[Sendy]

Daarin heb je gelijk. De originele paradox spreekt ook niet van "vol", maar slechts van "alle kamers bezet."

[maarud]

Als in een oneindig hotel alle kamers bezet zijn, zijn alle kamers dus bezet. Dus je kan helemaal geen kamer vrij maken, er is geen vrije kamer, want er is net gezegd dat alles bezet is. Dus ook creeër je er een nieuwe kamer bij, dan is die bezet want er is net gezegd dat ALLES bezet is

[wasted247]

maarud schreef op dinsdag 24 mei 2011 @ 15:40:
Als in een oneindig hotel alle kamers bezet zijn, zijn alle kamers dus bezet. Dus je kan helemaal geen kamer vrij maken, er is geen vrije kamer, want er is net gezegd dat alles bezet is. Dus ook creeër je er een nieuwe kamer bij, dan is die bezet want er is net gezegd dat ALLES bezet is

Maar nooit vol

[Osiris]

Napo schreef op dinsdag 24 mei 2011 @ 15:36:
[...]

Een oneindig iets kan nooit vol of leeg zijn, als dat wel zo is zou het niet oneindig zijn. Ben je daar niet mee eens mag je het aantonen dat ik verkeerd zit

Een oneindig aantal kamers met een oneindig aantal gasten kan prima? En met een oneindig aantal gasten kun je probleemloos een oneindig aantal kamers volproppen

Wiskundig gezien komt de paradox neer op: "oneindig + oneindig = hoeveel precies?", wat natuurlijk wederom oneindig is.

Dus alle extra oneindige gasten zoeken gewoon een kamertje in het volle hotel, aangezien ze in principe al onderdeel waren van de voorgaande oneindig aantal gasten die d'r al zaten

[maarud]

De mensen in de bus hebben een kamer gereserveerd, dus die passen er gewoon in.

Problem solved...

[Sparhawk]

Omdat dit W&L is en niet de HK is het misschien handig, als mensen in plaats van hier blind wat neer te tikken waarvan ze denken dat het zo is, eerst eens goed de wikipedia link in de 2e post lezen.

Dit heet niet voor niets een paradox, dus een schijnbare tegenstrijdigheid.
Ook het concept van (over)aftelbaar oneindig is wel handig om te snappen...

[Voor 6% gewijzigd door Sparhawk op 24-05-2011 15:43]

[Anoniem: 238498]

maarud schreef op dinsdag 24 mei 2011 @ 15:43:
De mensen in de bus hebben een kamer gereserveerd, dus die passen er gewoon in.

Problem solved...

sorry wegens overboekingen gaat die stelling niet op

[Maethor2]

Stel je even voor dat alle hotelkamers in één lange rij zich naast elkaar bevinden. Iedere kamer die je afloopt is bezet. Er komen een aantal extra gasten aan die een kamer wensen.

Je roept met behulp van een microfoon om via een luidspreker in elke kamer dat iedereen een kamer moet opschuiven. Iedereen zal dat ook doen en niemand zal in een bezette kamer terechtkomen terwijl je wel een kamer vrijmaakt. Als je denkt ja maar die laatste heeft toch een probleem want dan is er geen kamer meer. Die is er wel want er zijn (weliswaar aftelbaar) oneindig veel kamers.

Lijkt me toch redelijk te snappen als je een klein beetje abstract kan denken.

[Ventrigo]

Anoniem: 238498 schreef op dinsdag 24 mei 2011 @ 15:44:
sorry wegens overboekingen gaat die stelling niet op

oneindige overboekingen

[ruurd v.]

Maethor2 schreef op dinsdag 24 mei 2011 @ 15:45:
Stel je even voor dat alle hotelkamers in één lange rij zich naast elkaar bevinden. Iedere kamer die je afloopt is bezet. Er komen een aantal extra gasten aan die een kamer wensen.

Je roept met behulp van een microfoon om via een luidspreker in elke kamer dat iedereen een kamer moet opschuiven. Iedereen zal dat ook doen en niemand zal in een bezette kamer terechtkomen terwijl je wel een kamer vrijmaakt. Als je denkt ja maar die laatste heeft toch een probleem want dan is er geen kamer meer. Die is er wel want er zijn (weliswaar aftelbaar) oneindig veel kamers.

Lijkt me toch redelijk te snappen als je een klein beetje abstract kan denken.

Zo zat ik ook te denken, en die 'laatste' persoon zal ook nooit een probleem hebben aangezien die gewoon de volgende kamer pakt. Maar mijn punt is dus dat er altijd iemand bezig is met verhuizen en op dat moment dus geen kamer heeft... dit zal dus tot in de oneindigheid blijven duren.

Ik snap het begrip oneindig denk ik wel (voor zover een mens dat kan), maar dan is in dit geval dus de stelling dat het hotel vol/elke kamer bezet zou zijn niet waar... toch?

[Maethor2]

ruurd v. schreef op dinsdag 24 mei 2011 @ 16:06:
[...]


Zo zat ik ook te denken, en die 'laatste' persoon zal ook nooit een probleem hebben aangezien die gewoon de volgende kamer pakt. Maar mijn punt is dus dat er altijd iemand bezig is met verhuizen en op dat moment dus geen kamer heeft... dit zal dus tot in de oneindigheid blijven duren.

Ik snap het begrip oneindig denk ik wel (voor zover een mens dat kan), maar dan is in dit geval dus de stelling dat het hotel vol/elke kamer bezet zou zijn niet waar... toch?

In het hypothetische geval dat iedereen tegelijk verhuist, dus op hetzelfde moment de kamer verlaat en eentje opschuift heeft iedereen gewoon op elk moment terug een kamer. Niemand is bezig met verhuizen na de kamerwissel en er is een kamer vrij voor de nieuwe gast.

[Marzman]

Oneindig + Oneindig = Oneindig toch? Je kunt ook iedereen zich laten melden bij de receptie en ze daarna samen met de nieuwe gasten een nieuwe kamer geven.

[Sendy]

Marzman schreef op dinsdag 24 mei 2011 @ 16:13:
Oneindig + Oneindig = Oneindig toch? Je kunt ook iedereen zich laten melden bij de receptie en ze daarna samen met de nieuwe gasten een nieuwe kamer geven.

Klopt, maar de paradox geeft je een manier om al die gasten terug in de kamers te plaatsen. En dat is beter dan alleen zeggen "het kan."

[Sissors]

Maethor2 schreef op dinsdag 24 mei 2011 @ 15:45:
Stel je even voor dat alle hotelkamers in één lange rij zich naast elkaar bevinden. Iedere kamer die je afloopt is bezet. Er komen een aantal extra gasten aan die een kamer wensen.

Je roept met behulp van een microfoon om via een luidspreker in elke kamer dat iedereen een kamer moet opschuiven. Iedereen zal dat ook doen en niemand zal in een bezette kamer terechtkomen terwijl je wel een kamer vrijmaakt. Als je denkt ja maar die laatste heeft toch een probleem want dan is er geen kamer meer. Die is er wel want er zijn (weliswaar aftelbaar) oneindig veel kamers.

Lijkt me toch redelijk te snappen als je een klein beetje abstract kan denken.

Ja maar die kamer is ook weer vol.


Sowieso is het niet oneindig + oneindig, maar oneindig - oneindig, en dat kan alles zijn tussen - oneindig en + oneindig. Het gaat er uiteraard om hoeveel kamers er vrij zijn, en dat is aantal kamers min het aantal mensen in de kamers.

Als je dat zou opschrijven als x aantal kamers, waarbij x -> oneindig, en waarin het aantal mensen (uitgaande van 1 per kamer) y is, en y_old = x, dan kom je er toch echt niet op uit als je nu met y = y_old+1 zit.

[D4NG3R]

Kun je in dit geval "Oneindig" niet beter aan een "Eindig" getal knopen?

Stel eventjes:
Oneindig = 10

Alle 10 kamers zitten vol
Er komen weer 10 mensen bij

Dan kan je dus geen kamers meer vullen.

Oneindig is geen vast getal.. Dat is het probleem in deze wiskundige stelling. Als je van Oneindig een vast getal kan maken (Wat wiskundig gezien niet kan*) kan je de vraagstelling oplossen.

* Oneindig word momenteel gezien als een getal wat zo groot is, dat het niet te berekenen is. Hoe veel resources je ook hebt. Echter bestaat er geen oneindig getal. De enige limiterende factor is opslag.

(Denk bijv aan het berekenen van het Pi getal. Dit kost heeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeel veel opslagruimte).

[Voor 29% gewijzigd door D4NG3R op 24-05-2011 16:43]

[MoiZie]

Dan zou gelden, Oneindig = 10.

10 kamers
10 kamers zitten vol
Er komen 10 mensen bij die ook 10 kamers dus nodig hebben

10+10 = 10.

Geef mij dan maar;

Oneindig = ∞

∞ kamers
∞ kamers zitten vol
Er komen ∞ mensen bij die ook ∞ kamers dus nodig hebben

∞+∞=∞

[Voor 39% gewijzigd door MoiZie op 24-05-2011 16:53]

[Marzman]

Het staat ook op de Nederlandse Wikipedia (minder uitgebreid)

quote: http://nl.wikipedia.org/wiki/Hilberts_hotel

Hilberts hotel is de gebruikelijke benaming voor een fictief hotel met paradoxale eigenschappen, bedacht door David Hilbert als illustratie van het begrip transfiniet getal.

Hilberts hotel heeft een aftelbaar oneindig aantal kamers. Het paradoxale aspect van het hotel is dat, zelfs als alle kamers bezet zijn, het een oneindig aantal nieuwe gasten kan opnemen.

Het hotel kan één extra gast herbergen als alle gasten precies één kamer opschuiven; evenzo kan het ieder eindig aantal n nieuwe gasten opnemen als alle gasten n kamers opschuiven.

Het hotel kan zelfs een aftelbaar oneindig aantal nieuwe gasten herbergen: in dat geval moeten alle gasten in het hotel hun kamernummer vermenigvuldigen met 2 en verhuizen naar de kamer met het nummer dat de vermenigvuldiging oplevert. Aangezien een vermenigvuldiging met 2 altijd een even getal oplevert, is er nu een oneindig aantal kamers leeg geworden: alle kamers met oneven nummers. De nieuwe gasten kunnen deze kamers betrekken.

Maar wat als bij het volle hotel aftelbaar oneindig veel bussen aankomen, elk met aftelbaar oneindig veel gasten? Geen probleem. De aanwezige gasten gaan weer als tevoren naar de kamers met de even nummers. Vervolgens gaan de gasten uit bus 1 naar de kamers met de nummers 3, 9, 27,... dus machten van 3. Uit bus 2 betrekken de gasten de kamers met als nummers de machten van 5, dus de kamers 5, 25, 125,... Voor bus 3 nemen we de kamers met de machten van 7 als nummers. Steeds nemen we voor een volgende bus de kamers met de machten van een volgend priemgetal als nummer. We weten dan zeker dat de kamers voor de gasten vrij zijn. Er blijven zelfs nog aftelbaar oneindig veel lege kamers over!

[D4NG3R]

MoiZie schreef op dinsdag 24 mei 2011 @ 16:51:
Dan zou gelden, Oneindig = 10.

10 kamers
10 kamers zitten vol
Er komen 10 mensen bij die ook 10 kamers dus nodig hebben

10+10 = 10.

Geef mij dan maar;

Oneindig = ∞

∞ kamers
∞ kamers zitten vol
Er komen ∞ mensen bij die ook ∞ kamers dus nodig hebben

∞+∞=∞

Exact.

[Fish]

Ja maar

∞+∞=∞

dus
∞=∞ - ∞
∞=0




Je hoeft niet uit te leggen dat er iets niet klopt

[Voor 24% gewijzigd door Fish op 24-05-2011 16:59]

[Maethor2]

furby-killer schreef op dinsdag 24 mei 2011 @ 16:37:
[...]

Ja maar die kamer is ook weer vol.

Die kamer is niet vol want de persoon in die jamer is ook een kamer opgeschoven.

Sowieso is het niet oneindig + oneindig, maar oneindig - oneindig, en dat kan alles zijn tussen - oneindig en + oneindig. Het gaat er uiteraard om hoeveel kamers er vrij zijn, en dat is aantal kamers min het aantal mensen in de kamers.

Als je dat zou opschrijven als x aantal kamers, waarbij x -> oneindig, en waarin het aantal mensen (uitgaande van 1 per kamer) y is, en y_old = x, dan kom je er toch echt niet op uit als je nu met y = y_old+1 zit.

Waarom zou het oneindig - oneindig zijn? Er is geen enkele kamer vrij, want in elke kamer zit een persoon. Alleen als iedereen één opschuift komt er een kamer vrij. Dat is nu net de paradox.

[Marzman]

Maethor2 schreef op dinsdag 24 mei 2011 @ 17:09:

Waarom zou het oneindig - oneindig zijn? Er is geen enkele kamer vrij, want in elke kamer zit een persoon. Alleen als iedereen één opschuift komt er een kamer vrij. Dat is nu net de paradox.

En als iedereen een kamer zoekt met het dubbele kamernummer van wat ze hadden komt er een oneindig aantal kamers vrij met oneven nummers. Hoeven ze maar een keer van kamer te veranderen ipv een oneindig aantal keren.

[Ventrigo]

ruurd v. schreef op dinsdag 24 mei 2011 @ 16:06:
Maar mijn punt is dus dat er altijd iemand bezig is met verhuizen en op dat moment dus geen kamer heeft... dit zal dus tot in de oneindigheid blijven duren.

Die is dus oneindig aan het verhuizen. Dus eigenlijk heeft niemand ooit een kamer .

[18327]

D4NG3R schreef op dinsdag 24 mei 2011 @ 16:40:
Kun je in dit geval "Oneindig" niet beter aan een "Eindig" getal knopen?

Stel eventjes:
Oneindig = 10

Alle 10 kamers zitten vol
Er komen weer 10 mensen bij

Dan kan je dus geen kamers meer vullen.

Oneindig is geen vast getal.. Dat is het probleem in deze wiskundige stelling. Als je van Oneindig een vast getal kan maken (Wat wiskundig gezien niet kan*) kan je de vraagstelling oplossen.

* Oneindig word momenteel gezien als een getal wat zo groot is, dat het niet te berekenen is. Hoe veel resources je ook hebt. Echter bestaat er geen oneindig getal. De enige limiterende factor is opslag.

(Denk bijv aan het berekenen van het Pi getal. Dit kost heeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeel veel opslagruimte).

Oneindig wordt niet gezien als een getal dat zo groot is dat het niet te berekenen is. Of iets te berekenen is, is niet belangrijk. Oneindig is groter dan het grootste getal. Als je een getal zou bedenken dat groter is dan het grootste getal, is oneindig groter dan dat nieuwe getal.

Wat bedoel je überhaupt met een oneindig getal? Een getal met oneindig decimalen? Oneindig niet-repeterende decimalen? Hoe kom je erbij dat dat laatste niet zou bestaan?

[Sissors]

Maethor2 schreef op dinsdag 24 mei 2011 @ 17:09:
[...]


Die kamer is niet vol want de persoon in die jamer is ook een kamer opgeschoven.


[...]


Waarom zou het oneindig - oneindig zijn? Er is geen enkele kamer vrij, want in elke kamer zit een persoon. Alleen als iedereen één opschuift komt er een kamer vrij. Dat is nu net de paradox.

Omdat waar het omgaat het aantal vrije kamers is, oftewel het aantal kamers (oneindig) min het aantal gebruikers van die kamers (ook oneindig). Als we aantal kamers x noemen en aantal gasten (1 per kamer) y, dan is het initieel hier x = y = oneindig.

Als ze allebei onafhankelijk van elkaar oneindig waren dan kan x-y elk reeel getal zijn, inclusief +/- oneindig. Echter ze zijn gelijk initieel, dus dan is x-y=0 vrije kamers.

Komen er nu 10 nieuwe gasten aan, dan is y=y_old+10. y_old was gelijk aan x, dus y=x+10.

Doe nu x-y en je komt op -10 uit. En dat moet je dan doen voor het limiet dat x -> oneindig, maar er verandert dan niks aan. Wat dan wel een relevante vraag is, is het antwoord gelijk als x naar oneindig gaat en als x oneindig is (blijkbaar niet).

[Rannasha]

D4NG3R schreef op dinsdag 24 mei 2011 @ 16:40:
Oneindig is geen vast getal.. Dat is het probleem in deze wiskundige stelling. Als je van Oneindig een vast getal kan maken (Wat wiskundig gezien niet kan*) kan je de vraagstelling oplossen.

* Oneindig word momenteel gezien als een getal wat zo groot is, dat het niet te berekenen is. Hoe veel resources je ook hebt. Echter bestaat er geen oneindig getal.

Ik zie dat je niet gehinded wordt door enige kennis van de wiskunde. Het is namelijk prima mogelijk om de definitie van natuurlijke getallen, als equivalentieklassen van verzamelingen (met als equivalentierelatie het bestaan van een bijectie tussen twee verzamelingen), toe te passen op oneindige objecten. Op deze manier ontstaat er een hele hierarchie van verschillnde niveaus van oneindigheid en vind je rekenregels voor het omgaan met oneindige objecten. Er zijn hele interessante onderwerpen en stellingen binnn de wiskunde op dit gebied.

Het probleem van het Hilbert hotel komt neer op de volgende wiskundige vragen:
-gegeven de verzameling van alle natuurlijke getallen en diezelfde verzameling met een element weggelaten, zijn deze verzamelingen even groot? (Dit komt overeen met de situatie van 1 nieuwe gast in het hotel)
-gegeven de verzameling van alle natuurlijke getallen en de verzameling van alle even natuurlijk getallen, zijn deze verzamelingen even groot? (Dit komt overeen met de situatie waar er aftelbaar oneindig veel nieuwe gasten het hotel binnenkomen op zoek naar en kamer)

Het antwoord op beide vragen is "ja". Volgens de wiskundige definitie zijn twee verzamelingen even groot als er een functie te vinden is die de ene verzameling op de andere afbeeldt zodat ieder element in de beeldverzameling precies en keer als uitkomst van de functie voor komt. Een dergelijke functie heet een bijectie. In het tweede voorbeeld is de gezochte bijectie de functie f(n) = 2 * n.

Het Hilbert hotel is een mooi voorbeeld dat laat zien dat onze gebruikelijke manier vaan omgaan en rekenen met, eindige, getallen niet zomaar te gebruiken is voor oneindige objecten en dat je in plaats daarvan gebruik moet maken van andere, net zo rigoreus gedefinieerde, methodes.

[Dido]

furby-killer schreef op dinsdag 24 mei 2011 @ 20:01:
Wat dan wel een relevante vraag is, is het antwoord gelijk als x naar oneindig gaat en als x oneindig is (blijkbaar niet).

Inderdaad, dat is de essentie.

Als initieel in elke kamer iemand zit, wil dat zeggen dat ik in elke kamer waarin ik kijk een gast vindt.
Als ik, door iedereen te laten verhuizen naar tien kamers verderop, dan kan ik tien nieuwe gasten kwijt. Ik heb dan echter nog steeds evenveel kamers en evenveel gasten, namelijk oneindig.

De truuk is dat het verhuizen noodzakelijk is omdat ik niet kan zeggen tegen een nieuwe gast dat ie maar een lege kamer moet zoeken: die zijn er namelijk niet. Maar elke specifieke kamer wordt wel beschikbaar als er iemand uit vertrekt, dus kan daar een nieuwe gast in.

Het hele probleem is ook niet interessant als ik een eindig aantal gasten kwijt wil: ik stuur gewoon iedereen naar kamer n+x, en ik kan x nieuwe gasten kwijt.

Pas bij een oneindig aantal nieuwe gasten wordt het interessanter, maar ook dat is te tackelen door iedereen naar kamer n*2 te sturen en de nieuwe gasten in de oneven kamers te plaatsen.

Op de wikilink staat uitgelegd wat ik kan doen als ik oneindig veel bussen met oneindig veel passagiers kwijt moet

edit: overal waar ik het hier over oneindig heb, heb ik het uiteraard om aftelbaar oneindige verzamelingen. Dat spreekt op zich vanzelf aangezien hotelkamers, mensen en bussen allemaal telbaar zijn.

[Voor 7% gewijzigd door Dido op 25-05-2011 01:09]

[Fish]

Een verzameling van Natuurlijke getallen dus. want telbaar is het niet, begin er maar eens aan
Wikipedia: Natuurlijk getal

[Camacha]

Maethor2 schreef op dinsdag 24 mei 2011 @ 15:45:
Stel je even voor dat alle hotelkamers in één lange rij zich naast elkaar bevinden. Iedere kamer die je afloopt is bezet. Er komen een aantal extra gasten aan die een kamer wensen.

Je roept met behulp van een microfoon om via een luidspreker in elke kamer dat iedereen een kamer moet opschuiven. Iedereen zal dat ook doen en niemand zal in een bezette kamer terechtkomen terwijl je wel een kamer vrijmaakt. Als je denkt ja maar die laatste heeft toch een probleem want dan is er geen kamer meer. Die is er wel want er zijn (weliswaar aftelbaar) oneindig veel kamers.

Lijkt me toch redelijk te snappen als je een klein beetje abstract kan denken.

Echter is die hele exercitie overbodig, want je kan die nieuwe gasten immers ook gewoon achteraan de rij in kamers stoppen. Daarvoor hoef je niet de hele rij op te laten schuiven, want als je de laatste in een 'nieuwe' kamer kunt zetten, kan je dat met de gast die aan de balie staat ook. Je vertelt de gast uit kamer 1 om naar een niet bestaande kamer te vertrekken of de nieuwe gast aan de balie. Het komt op hetzelfde neer.

Volgens mij is dit weer eens een mooi voorbeeld dat de meeste mensenhersentjes niets kunnen met het begrip oneindig. Dat vervalt altijd in een verkapte eindigheid.

[Voor 5% gewijzigd door Camacha op 25-05-2011 01:28]

[Dido]

fish schreef op woensdag 25 mei 2011 @ 01:21:
Een verzameling van Natuurlijke getallen dus. want telbaar is het niet, begin er maar eens aan
Wikipedia: Natuurlijk getal

Aftelbaar oneindige verzamelingen bestaan uit telbare elementen. Eraan beginnen is niet moeilijk, maar je hebt oneindig lang nodig om het te doen. Wiskundig geen enkele probleem.
Natuurlijke getallen zijn maar 1 voorbeeld van dergelijke verzamelingen. De gehele getallen zijn ook aftelbaar, net als even gehele of natuurlijke getallen, etc.
Sterker nog, de rationale getallen zijn ook aftelbaar.

Camacha schreef op woensdag 25 mei 2011 @ 01:23:
Echter is die hele excersitie overbodig, want je kan die nieuwe gasten immers ook gewoon achteraan de rij in kamers stoppen. Daarvoor hoef je niet de hele rij op te laten schuiven, want als je de laatste in een 'nieuwe' kamer kunt zetten, kan je dat met de gast die aan de balie staat ook.

Naar welke kamer stuur jij die gast aan de balie dan? Hier heeft u de sleutel van kamer 12. O nee daar zit iemand. Nou, pak dan kamer 342 maar. Shit daar zit ook iemand.

Dat is het tegenintuitieve aan dit probleem. Er is geen achteraan in de rij, want de rij is oneindig lang.

Volgens mij is dit weer eens een mooi voorbeeld dat de meeste mensenhersentjes niets kunnen met het begrip oneindig. Dat vervalt altijd in een verkapte eindigheid.

Je doet wel erg denigrerend over de meeste mensenhersentjes in een post waarin je zelf iets absurds postuleert als "die gast aan de balie kan achteraan aansluiten". Daarmee vervalt jpouw begrip van oneindig nou net tot een eindigheid.

[Voor 44% gewijzigd door Dido op 25-05-2011 01:29]

[Camacha]

Dido schreef op woensdag 25 mei 2011 @ 01:26:
Naar welke kamer stuur jij die gast aan de balie dan? Hier heeft u de sleutel van kamer 12. O nee daar zit iemand. Nou, pak dan kamer 342 maar. Shit daar zit ook iemand.

Dat is het tegenintuitieve aan dit probleem. Er is geen achteraan in de rij, want de rij is oneindig lang.

Maar waar stuur jij die gast die je wegstuurt uit kamer 1 dan heen? Dan heeft die geen kamer meer, toch? Het opschuiven is irrelevant omdat je, wat je ook met die persoon uit kamer 1 gaat doen, dat ook gelijk met de volgende persoon aan de balie kunt doen.

Je doet wel erg denigrerend over de meeste mensenhersentjes in een post waarin je zelf iets absurds postuleert als "die gast aan de balie kan achteraan aansluiten". Daarmee vervalt jpouw begrip van oneindig nou net tot een eindigheid.

Wat gelijk mijn punt bewijst

[Dido]

Camacha schreef op woensdag 25 mei 2011 @ 01:32:
Maar waar stuur jij die gast die je wegstuurt uit kamer 1 dan heen? Dan heeft die geen kamer meer, toch? Het opschuiven is irrelevant omdat je, wat je ook met die persoon uit kamer 1 gaat doen, dat ook gelijk met de volgende persoon aan de balie kunt doen.

Persoon uit kamer 1 stuur ik naar kamer 2. Persoon uit kamer twee naar 3. Oftwel, ik stuur iedereen naar uit kamer n naar kamer n+1.
Ik kan inderdaad de persoon aan de balie naar kamer 2 sturen en de persoon in kamer 1 laten zitten. Dan moeten er nog steeds oneindig veel mensen van kamer wisselen. Kan allemaal.
Maar ik schiet er weinig mee op: ik kan een arbitrair eindig aantal mensen laten zitten, maar er zullen er altijd oneindig veel moeten verhuizen.
Het maakt helemaal niet uit in welke kamer ik de persoon aan de balie neerzet: de kamer waar hij heengaat was al bezet, dus degene die daar zat moet ik verhuizen.

Iedereen naar kamer n+1 is de simpelste oplossing, maar zeker niet de enige. Sterker nog, er zijn een aftelbaar oneindig aantal oplossingen volgens het stramien: nieuwe gast in kamer x, en alle gasten vanaf kamer x schuiven 1 kamer op.

[Camacha]

Dat geeft echter nog geen antwoord op mijn vraag Het zijn allemaal mooie verhalen die om de hete brij heen draaien. Of ik zie iets ontzettend over het hoofd natuurlijk, maar dat hoor ik dan ook graag.

Je vervangt degene die je uit een bepaalde kamer haalt alleen maar met de persoon die aan de balie staat, maar per saldo los je helemaal niets op.

Ja, ik snap hoe de oplossing werkt en dat mijn 'aan het einde van de rij' inderdaad een eindigheid veronderstelt (immers, er is een einde), maar tegelijk zou het voor de uitwerking geen verschil moeten maken. Als we dan toch aan het gedachtenexperimenteren zijn

[Voor 28% gewijzigd door Camacha op 25-05-2011 01:59]

[crizyz]

Ik vind dit wel een hele interessante discussie. Altijd leuk om over dit soort dingen na te denken.
Ik kan me wel in een aantal argumenten vinden. Alleen weet ik niet echt helemaal welke voor mij doorslaggevend zijn.

Maar ik ben het toch met Camacha eens denk ik. Meh, ik weet het niet zo.
Ik heb van alles in me hoofd, maar ik weet het niet zo goed te verwoordden. Toch ga ik het proberen. Ik laat voor het gemak even die oneindig aantal bussen en oneindig aantal gasten buiten beschouwing. Ik hou het even bij iedereen 1 plek opschuiven.

Je kunt tegen een nieuwe gast inderdaad niet zeggen, ga naar kamer x, want die is al bezet. (per definitie)
Echter, als je zegt, schuif een plaats op tegen een gast die er al zit, krijg je een kettingreactie (tot zover eigenlijk alleen herhaling van wat eerder gezegd is).
-Bij een eindig aantal kamers, zou het niet passen, omdat er op een gegeven moment iemand moet verhuizen die geen kamer aantreft.
-Bij een oneindig aantal kamers kan het echter ook niet, want die verhuisbeweging blijft ook oneindig doorgaan. Waardoor dus nooit alle gasten een kamer kunnen hebben. Damn, dit is ook geen duidelijke argumentatie hè... Edit nav Camacha hieronder: De verhuizing blijft oneindig doorgaan, de berekening dus ook, maakt dit het dan wel tot een mogelijkheid?

Ik denk dus _voorlopig, dat het gewoon een onmogelijkheid is.

[Voor 5% gewijzigd door crizyz op 25-05-2011 02:56]

[Camacha]

crizyz schreef op woensdag 25 mei 2011 @ 02:25:
-Bij een oneindig aantal kamers kan het echter ook niet, want die verhuisbeweging blijft ook oneindig doorgaan. Waardoor dus nooit alle gasten een kamer kunnen hebben. Damn, dit is ook geen duidelijke argumentatie hè...

Dat is nu juist het punt. Daardoor is de oplossing mogelijk, juist omdat die oneindige beweging een plekje vrijmaakt.

Echter, je kan het ook anders zien. Als je de meneer in kamer 1 vraagt te verhuizen en je stopt de nieuwe gast in die kamer en je trekt de deur dicht, is de situatie exact zoals tevoren. Vervolgens klop je aan bij kamer 2, vraagt die gast te verhuizen, stopt de meneer uit kamer 1 daarin en trekt die deur dicht. Dan is de situatie weer hetzelfde als de beginsituatie (niet uitgaande van persoonlijkheden e.d., dan krijgen we weer een heel ander verhaal).

Daarom dat ik ook zeg dat je dan net zo goed gelijk de gast aan de balie de laatste kamer kunt geven, omdat het effectief op hetzelfde neerkomt (ondanks dat er geen laatste kamer is). De situatie is namelijk steeds hetzelfde als de uitgangssituatie als je de deur dichttrekt.

Dan kan je de nieuwe gast dus net zo goed gelijk in kamer ∞ + 1 zetten, dat voorkomt een hoop verhuizen en is effectief natuurlijk gewoon wat je in eerste instantie al doet. Het enige verschil is imo of het ∞ + 1 of 1 + ∞ is.

[Voor 10% gewijzigd door Camacha op 25-05-2011 02:52]

[enchion]

Maar oneidig is helemaal geen getal , dus hoe kan je dan denken in concepten van even, oneven of evenveel ?

[crizyz]

Camacha schreef op woensdag 25 mei 2011 @ 02:41:
Dat is nu juist het punt. Daardoor is de oplossing mogelijk, juist omdat die oneindige beweging een plekje vrijmaakt.

Maar daardoor duurt die berekening dus ook oneindig, is die berekening dan wel mogelijk?

Daarom dat ik ook zeg dat je dan net zo goed gelijk de gast aan de balie de laatste kamer kunt geven, omdat het effectief op hetzelfde neerkomt (ondanks dat er geen laatste kamer is).

Nee, want daarmee ga je voorbij aan wat oneindig is.
Edit (nav jouw edit):

Dan kan je de nieuwe gast dus net zo goed gelijk in kamer ∞ + 1 zetten, dat voorkomt een hoop verhuizen en is effectief natuurlijk gewoon wat je doet.

Probleem is alleen, dat die kamer dus al bezet is, want er is dan geen ∞+1 (anders is het geen oneindig).

Edit 2:
Trouwens, die tweede quote spreekt de eerste tegen.

En je kunt nooit alle deuren dichttrekken, anders werkt het hele systeem niet (zoals je zelf al aangeeft).

Edit 3:

Het enige verschil is imo of het ∞ + 1 of 1 + ∞ is.

Dat is je hele punt van dat het niet uitmaakt of je van vooraan of achteraan begint. Daar heb ik zelf ook even over na zitten te denken.
Echter, er is wel een begin, maar geen einde. Er is in dit geval dus wel wezenlijk een verschil tussen 1+∞ en ∞+1 (al is het dat volgens de wiskunde regeltjes dan weer misschien niet, maar daar gaat het hier ook niet om).
Het gaat hier namelijk om dat verhuizen. Met dat laatste maak je het eindig. Je zou dan namelijk iemand in de laatste kamer stoppen stoppen, en de verhuizing zou de andere kant opgaan, wat moet dan de gast in kamer 1? Nog los van het feit dat je dus compleet voorbij gaat aan oneindig aantal kamers, die allemaal bezet zijn.

Je kunt die gast wel ergens anders zetten dan in de 1e kamer, maar die verhuizing zal toch echt moeten gebeuren.

offtopic:
Volgens mij ben ik teveel aan het herhalen.

[Voor 71% gewijzigd door crizyz op 25-05-2011 03:09]

[Jaap-Jan]

Als ik het punt van Camacha even samenvat als vraag: Waarom kun je wel aan bestaande gasten vragen of ze een kamer willen opschuiven, maar kan een nieuwe gast niet in diezelfde kamer?

Volgens mij is dat puur omdat volgens de definitie elke kamer bezet is. De 'nieuwe' kamer wordt bezet door de gast die uit een andere kamer kwam (n-1, n/2 of n/priem>=3). Deze 'nieuwe' kamer kan niet door iemand anders bezet zijn (of er is iemand stiekem langs de balie geslopen, maar daar wordt niets over gezegd).

Zou een nieuwe gast echter kijken, dan ziet 'ie dat alle kamers bezet zijn.

enchion schreef op woensdag 25 mei 2011 @ 02:50:
Maar oneidig is helemaal geen getal , dus hoe kan je dan denken in concepten van even, oneven of evenveel ?

∞ zelf is geen getal, maar alle facetten in de paradox zijn telbaar en dus kun je ermee rekenen.

[Camacha]

De hele grap van het verhaal is natuurlijk in dit geval dat een oneindige reeks getallen geen einde heeft, maar wel een begin. Aan het einde kan je je nieuwe gast niet kwijt omdat ieder kamernummer dat je zou pakken al bezet zou zijn en doorschuiven naar 0 toe kan ook niet. Daarom moet je alles naar het oneindige toe schuiven om toch een plekje vrij te maken en omdat oniendigheid daar een mooie escape is kan dat dan ook.

Echter vind ik dit meer weg hebben van een semantisch spelletje dan een daadwerkelijke oplossing. Met hetzelfde gemak kan ik zeggen dat een echt oneindige reeks ook geen begin kan hebben, omdat het immers van je perspectief afhangt of iets een begin danwel een einde is.

Edit: ik zie nu dat cryziz iets ruwweg in dezelfde trant als mijn eerste alinea zei.

[Voor 22% gewijzigd door Camacha op 25-05-2011 03:59]

[Camacha]

En je kunt nooit alle deuren dichttrekken, anders werkt het hele systeem niet (zoals je zelf al aangeeft).

Natuurlijk kan je wel alle deuren dichttrekken, want dat is al het geval als een oneindig aantal kamers bezet is met een oneindig aantal gasten.

Echter, er is wel een begin, maar geen einde. Er is in dit geval dus wel wezenlijk een verschil tussen 1+∞ en ∞+1 (al is het dat volgens de wiskunde regeltjes dan weer misschien niet, maar daar gaat het hier ook niet om).
Het gaat hier namelijk om dat verhuizen. Met dat laatste maak je het eindig. Je zou dan namelijk iemand in de laatste kamer stoppen stoppen, en de verhuizing zou de andere kant opgaan, wat moet dan de gast in kamer 1? Nog los van het feit dat je dus compleet voorbij gaat aan oneindig aantal kamers, die allemaal bezet zijn.

Nee, je hoeft die beweging helemaal niet de andere kant op te laten gaan. Ik zeg alleen dat je die nieuwe gast net zo goed gelijk in 'de laatste kamer' kunt stoppen, waarbij de laatste kamer dus geen concrete kamer is maar ∞+1. Dat is immers net zo'n concrete oplossing als alles ∞ laten doorschuiven (1+∞).

Je kunt die gast wel ergens anders zetten dan in de 1e kamer, maar die verhuizing zal toch echt moeten gebeuren.

Dan dus niet

[crizyz]

Haha volgens mij zijn we het eigenlijk meer met elkaar eens dan oneens.
Ik snap de redenatie achter de oplossing, maar ik vind het ook geen daadwerkelijke oplossing.

We hebben het er nu over hoe hij wel zou kloppen, terwijl we allebei vinden dat die niet klopt. Discussieerd wel grappig.
Uitgebreid typen is een beetje lastig nu op de telefoon, zal nog wat uitgebreider reageren als ik achter de laptop zit.

Achter laptop: Je kunt toch niet alle deuren dichttrekken als de berekening eindeloos door blijft gaan (waar ik van overtuigd ben). Dan kan er immers niemand meer verhuizen.

Nee, je hoeft die beweging helemaal niet de andere kant op te laten gaan. Ik zeg alleen dat je die nieuwe gast net zo goed gelijk in 'de laatste kamer' kunt stoppen, waarbij de laatste kamer dus geen concrete kamer is maar ∞+1. Dat is immers net zo'n concrete oplossing als alles ∞ laten doorschuiven (1+∞).

Niet mee eens. Die ∞+1 is dan ook al een bezette kamer. Dat opschuiven is zoals je al zei, gewoon een escape om dat probleem te omzeilen.

Overigens ben ik het er absoluut mee eens dat het een beetje spelen met betekenissen is en niet alleen wiskundig is. Dit wou ik in mijn eerste reactie al erbij zetten, maar wist het niet goed te verwoorden. Het is inderdaad meer een semantisch spelletje naar mijn mening. Voor zover ik de betekenis van semantisch begrijp dan, vermoed ik dat je hetzelfde bedoelt als wat ik ook eerder al aan wou halen. Lekker duidelijk...

[Voor 59% gewijzigd door crizyz op 25-05-2011 05:03]

[Camacha]

crizyz schreef op woensdag 25 mei 2011 @ 04:43:
Achter laptop: Je kunt toch niet alle deuren dichttrekken als de berekening eindeloos door blijft gaan (waar ik van overtuigd ben). Dan kan er immers niemand meer verhuizen.

Je trekt continu deuren achter je dicht. Ik zie het zo: in de beginsituatie zijn alle deuren dicht. De nieuwe gast staat bij de balie en wordt naar kamer 1 verwezen. Die bewoner trekt de deur open, stapt naar buiten, de nieuwe meneer stapt naar binnen en doet de deur weer dicht. Nu is de situatie precies zoals eerst, behalve dat de persoon uit kamer 1 nu buiten staat in plaats van een nieuw persoon. Vervolgens klopt die op deur 2, waarna de bewoner van kamer 2 opendoet. Etcetera etcetera.

Je hoeft niet eens te wachten tot gast 1 in de oneindigheid is opgelost (voor zover dat kan natuurlijk, want in feite gebeurt dat niet), je kan de tweede nieuwe gast er gelijk achteraan sturen zodat je een hele rits nieuwe gasten krijgt die de oude opschuiven.

Overigens ben ik het er absoluut mee eens dat het een beetje spelen met betekenissen is en niet alleen wiskundig is.

Dat is precies wat ik in dit geval met semantisch bedoel Het is geen inhoudelijke oplossing, het is een spelletje met waarden. Al zou je misschien kunnen beweren dat het overgrote deel van wiskunde dat is, maar dat is weer een andere discussie.

[Voor 18% gewijzigd door Camacha op 25-05-2011 05:16]

[Anoniem: 26306]

De enige truc die er nodig is, is een algoritme waarmee je een gast kunt verhuizen naar die andere kamer waarbij je zeker weet dat die andere kamer door hetzelfde algoritme gegarandeerd vrij komt.

Stel f(n) is een functie f van het kamernummer n waar ik iemand wil plaatsen. Dan moet gelden dat f(n+1) altijd een kamernummer oplevert dat nog niet eerder is gebruikt. Dan is het namelijk ineens niet meer belangrijk of een kamer vol is of leeg.

(volgens mij gebruik ik nu niet helemaal de juiste notatie, wie verbetert me?)

[Camacha]

Anoniem: 26306 schreef op woensdag 25 mei 2011 @ 05:31:
De enige truc die er nodig is, is een algoritme waarmee je een gast kunt verhuizen naar die andere kamer waarbij je zeker weet dat die andere kamer door hetzelfde algoritme gegarandeerd vrij komt.

Op zich, ja, maar volgens mij maak je het dan al nodeloos ingewikkeld. Je gaat er dan alweer vanuit dat verhuizen onvermijdelijk is.

[Anoniem: 26306]

Camacha schreef op woensdag 25 mei 2011 @ 05:33:
Op zich, ja, maar volgens mij maak je het dan al nodeloos ingewikkeld. Je gaat er dan alweer vanuit dat verhuizen onvermijdelijk is.

Het is niet ingewikkeld, het is gewoon een wiskundige benadering.
Je begint zelf met impliceren dat er een verschil is tussen 1+∞ en ∞+1, en dat is er niet. Beiden zijn ∞
Ik reduceer het probleem tot iets simpels.

n + 1 is al een geldige oplossing, n * 2 ook.

Er moeten altijd gasten verhuizen. Er moeten altijd oneindig veel gasten verhuizen. Er mogen nooit meerdere gasten naar dezelfde kamer verhuizen. Kortom, bedenk een functie waarvan het resultaat uniek is voor elke invoer.

Als iemand daar problemen mee heeft kan ik niet anders concluderen dat die iemand inderdaad inzicht mist.

[Camacha]

Anoniem: 26306 schreef op woensdag 25 mei 2011 @ 05:49:
Het is niet ingewikkeld, het is gewoon een wiskundige benadering.
Je begint zelf met impliceren dat er een verschil is tussen 1+∞ en ∞+1, en dat is er niet. Beiden zijn ∞

Nee, ik zeg dus juist niet dat er een verschil is. Dat zegt men door te stellen dat iemand zou moeten verhuizen. Als 1+∞ en ∞+1 hetzelfde is kan je dus iemand in 'de laatste kamer' (om het maar even een naam te geven) plaatsen zonder verhuizingen. Wat mij betreft zijn de nu voorgestelde alternatieven ingewikkelder.

[Voor 5% gewijzigd door Camacha op 25-05-2011 06:03]

[Anoniem: 26306]

Nee dat kan niet omdat de gastheer tegen een gast moet zeggen naar welke kamer hij moet. Hij kan niet naar de laatste kamer worden gestuurd want er is geen laatste kamer. Welk kamernummer zou dat zijn?

Terwijl elke gast met een voor hem bekend kamernummer wel verhuisd kan worden naar een ander kamernummer dat aan de hand van het huidige kamernummer kan worden bepaald.

Doe eens niet zo eigenwijs, dit probleem kan niet worden opgelost zonder gasten te verhuizen. Hier maak jij de denkfout:

Camacha schreef op woensdag 25 mei 2011 @ 05:06:
Je trekt continu deuren achter je dicht. Ik zie het zo: in de beginsituatie zijn alle deuren dicht. De nieuwe gast staat bij de balie en wordt naar kamer 1 verwezen. Die bewoner trekt de deur open, stapt naar buiten, de nieuwe meneer stapt naar binnen en doet de deur weer dicht. Nu is de situatie precies zoals eerst, behalve dat de persoon uit kamer 1 nu buiten staat in plaats van een nieuw persoon. Vervolgens klopt die op deur 2, waarna de bewoner van kamer 2 opendoet. Etcetera etcetera.

Het probleem is dat je daar al de nieuwe gast invult. Dat moet je niet doen. Je moet het als volgt zien. De gastheer drukt op een knop, op dat moment krijgen alle gasten de opdracht naar de volgende kamer te gaan. Elke gast doet de deur open, stapt de gang op, trekt de deur dicht en loopt naar de volgende kamer. Die kamer is leeg want de gast is daar nét vertrokken. Het kaartje aan de deurknop slingert nog heen en weer.

De eerste kamer is daarna leeg, want er is niemand die de opdracht heeft gekregen naar kamer 1 te gaan.

En nu pas komt er een nieuwe gast. Die kan zonder problemen in kamer 1.

Oneindig is een leuk begrip, maar is zeker niet onbegrijpelijk. Stel je voor dat je het omdraait. Alle gasten moeten tegelijk naar een kamer met een lager nummer. Er is dan één gast die afvalt omdat er geen kamer met een lager nummer is, maar er komt géén kamer vrij. Er is namelijk geen laatste kamer. En ook geen laatste gast. Zo kun je dus oneindig veel gasten uit het hotel halen zonder dat er ooit een kamer vrij komt.

Jij loopt met het idee rond dat er wel een kamer vrij komt aan het einde. Maar er is geen einde, daarom heet het oneindig.

[Camacha]

Anoniem: 26306 schreef op woensdag 25 mei 2011 @ 06:33:
Nee dat kan niet omdat de gastheer tegen een gast moet zeggen naar welke kamer hij moet. Hij kan niet naar de laatste kamer worden gestuurd want er is geen laatste kamer. Welk kamernummer zou dat zijn?

Zoals hierboven al gesteld, ∞+1. Dat is net zo realistisch als iedereen een kamer doorschuiven.

Doe eens niet zo eigenwijs, dit probleem kan niet worden opgelost zonder gasten te verhuizen. Hier maak jij de denkfout:

Sorry, maar het heel hard roepen maakt het uiteraard niet waar

Het probleem is dat je daar al de nieuwe gast invult. Dat moet je niet doen.

Niet om vervelend te doen om het vervelend doen, maar waarom moet ik dat niet doen en wat jij denkt wel?

Jij loopt met het idee rond dat er wel een kamer vrij komt aan het einde. Maar er is geen einde, daarom heet het oneindig.

Als je mijn vorige posts aandachtig had gelezen had je gezien dat ik het concept wel begrijp. Ik snap dat er geen einde aan komt, daarom is ∞+1 ook geen probleem (net zo min als ∞-1 een probleem is) . Begin of einde is behoorlijk triviaal, op een hoop verhuizen na.

[Voor 3% gewijzigd door Camacha op 25-05-2011 06:46]

[Maverick]

Camacha schreef op woensdag 25 mei 2011 @ 06:39:
[...]

Zoals hierboven al gesteld, ∞+1. Dat is net zo realistisch als iedereen een kamer doorschuiven.


[...]

Sorry, maar het heel hard roepen maakt het uiteraard niet waar


[...]

Niet om vervelend te doen om het vervelend doen, maar waarom moet ik dat niet doen en wat jij denkt wel?


[...]

Als je mijn vorige posts aandachtig had gelezen had je gezien dat ik het concept wel begrijp. Ik snap dat er geen einde aan komt, daarom is ∞+1 ook geen probleem (net zo min als ∞-1 een probleem is) . Begin of einde is behoorlijk triviaal, op een hoop verhuizen na.

∞+1 is wel een probleem. Je kunt dit namelijk niet uitrekenen. Dit soort dingen opschrijven is DE manier om ruzie met je wiskunde docent te krijgen

[Camacha]

Maverick schreef op woensdag 25 mei 2011 @ 06:54:
∞+1 is wel een probleem. Je kunt dit namelijk niet uitrekenen. Dit soort dingen opschrijven is DE manier om ruzie met je wiskunde docent te krijgen

Met hetzelfde gemak wordt gesteld dat ∞-1 geen probleem is (je kan namelijk een oneindig aantal personen uit het hotel halen, waar ik me in kan vinden). Dan kunnen wiskundeleraren nog zo mekkeren, maar ∞+1 is dan ook geen probleem.

[Anoniem: 26306]

Camacha schreef op woensdag 25 mei 2011 @ 06:39:

Zoals hierboven al gesteld, ∞+1. Dat is net zo realistisch als iedereen een kamer doorschuiven.

∞+1=∞ en ∞-1=∞
Dat maakt het nogal ingewikkeld om de laatste kamer te vinden, denk je ook niet? Welk kamernummer staat er op de deur die kamer waar de gast heen moet? Geef daar eens antwoord op?

Sorry, maar het heel hard roepen maakt het uiteraard niet waar

Daarom leg ik het daarna ook uit.

Niet om vervelend te doen om het vervelend doen, maar waarom moet ik dat niet doen en wat jij denkt wel?

Omdat jij niet inziet dat het niet gaat om de nieuwe gast. Het gaat om het legen van minstens een kamer.
En je kunt geen kamers legen zonder gasten te verhuizen.

Als je mijn vorige posts aandachtig had gelezen had je gezien dat ik het concept wel begrijp. Ik snap dat er geen einde aan komt, daarom is ∞+1 ook geen probleem (net zo min als ∞-1 een probleem is) . Begin of einde is behoorlijk triviaal, op een hoop verhuizen na.

Lees deze post dan nog maar minstens 3 keer. Of misschien wel oneindig keer. Net zolang tot je het probleem begrijpt.

[Maverick]

Camacha schreef op woensdag 25 mei 2011 @ 06:56:
[...]

Met hetzelfde gemak wordt gesteld dat ∞-1 geen probleem is (je kan namelijk een oneindig aantal personen uit het hotel halen, waar ik me in kan vinden). Dan kunnen wiskundeleraren nog zo mekkeren, maar ∞+1 is dan ook geen probleem.

∞-1 is net zo fout. ∞ is geen getal. Dat is net zoiets als zeggen "rood-1". Dat een hoop mensen zich aan deze fout schuldig maken wil niet zeggen dat het correct is.

[Rannasha]

Anoniem: 26306 schreef op woensdag 25 mei 2011 @ 05:49:
[...]

Je begint zelf met impliceren dat er een verschil is tussen 1+∞ en ∞+1, en dat is er niet. Beiden zijn ∞

Dit geldt alleen als je de getallen en hun uitbreiding naar oneindigheden ziet als cardinaal-getallen. Als je ze ziet als ordinaal-getallen (equivalentie-klassen van welordeningen), dan is er weldegelijk een verschil tussen 1+∞ en ∞+1.

[Dido]

Camacha schreef op woensdag 25 mei 2011 @ 06:39:
Begin of einde is behoorlijk triviaal, op een hoop verhuizen na.

Daar ga je de mist in. Begin of einde is niet triviaal. Het begin is namelijk bekend, dat is kamer 1. Het einde is niet bekend. (Tot jij me het kamernummer kunt geven).

Het verhuizen is nou juist noodzakelijk vanwege dat niet-triviale verschil.

Camacha schreef op woensdag 25 mei 2011 @ 05:06:
Je trekt continu deuren achter je dicht. Ik zie het zo: in de beginsituatie zijn alle deuren dicht. De nieuwe gast staat bij de balie en wordt naar kamer 1 verwezen. Die bewoner trekt de deur open, stapt naar buiten, de nieuwe meneer stapt naar binnen en doet de deur weer dicht. Nu is de situatie precies zoals eerst, behalve dat de persoon uit kamer 1 nu buiten staat in plaats van een nieuw persoon. Vervolgens klopt die op deur 2, waarna de bewoner van kamer 2 opendoet. Etcetera etcetera.

Je hoeft niet eens te wachten tot gast 1 in de oneindigheid is opgelost (voor zover dat kan natuurlijk, want in feite gebeurt dat niet), je kan de tweede nieuwe gast er gelijk achteraan sturen zodat je een hele rits nieuwe gasten krijgt die de oude opschuiven.

Je maakt het nodeloos ingewikkeld. Als iedereen in het hotel tegelijkertijd een seintje krijgt om een kamer op te schuiven dan heb je kamer 1 vrij na pak hem beet een half uurtje.

[ruurd v.]

Camacha schreef op woensdag 25 mei 2011 @ 05:06:
[...]

Je trekt continu deuren achter je dicht. Ik zie het zo: in de beginsituatie zijn alle deuren dicht. De nieuwe gast staat bij de balie en wordt naar kamer 1 verwezen. Die bewoner trekt de deur open, stapt naar buiten, de nieuwe meneer stapt naar binnen en doet de deur weer dicht. Nu is de situatie precies zoals eerst, behalve dat de persoon uit kamer 1 nu buiten staat in plaats van een nieuw persoon. Vervolgens klopt die op deur 2, waarna de bewoner van kamer 2 opendoet. Etcetera etcetera.

Ik begrijp wel wat Camacha probeert te zeggen, en dit is ook waar ik tegenaan loop...

Als je het op de in de quote beschreven manier bekijkt zijn er altijd net zoveel mensen op de gang bezig met verhuizen, als dat er kwamen vragen om een nieuwe kamer. Nu zou de eigenaar ook kunnen zeggen tegen die nieuwe gast: zoek maar een vrije kamer (wetende dat de gast deze niet gaat vinden) waardoor er per saldo evenlang verhuisd wordt: een oneindig aantal mensen voor pak em beet 30 seconden p/p versus 1 persoon tot in de oneindigheid (zuur voor die ene persoon, dat wel...).

Nu kun je, zoals Cheatah, zeggen dat dit op te lossen is door via een intercom iedereen op hetzelfde moment te laten verplaatsen. Echter, als je een oneindig lange gang hebt, zul je zelfs aan communicatie met de snelheid van het licht niet genoeg hebben om dit te realiseren. (kamer 2365182618145200 (kamer=4m breed) zal die oproep dus pas na een jaar ontvangen). Er zal ook in dit geval dus een soort verhuis-golf plaatsvinden die nooit ophoud...

Hier zou je dus uit kunnen concluderen dat de hotel-eigenaar de nieuwe gasten niet in kamers (elke extra kamer die je erbij 'bedenkt' is immers al bezet), maar in zijn oneindig lange gang herbergt... En daar betaal je dan de volle mep voor!!

[CaptJackSparrow]

Het probleem is wat mij betreft gelegen in de formulering van het gegeven. Je zou het op twee manieren kunnen doen.

1. Een hotel met een oneindig aantal kamers met een oneindig aantal gasten.

2. Een hotel met een oneindig aantal kamers die allemaal bezet zijn.

Die twee stellingen zijn nl. naar mijn mening niet aan elkaar gelijk en dat leidt tot het probleem.

De oplossing van het 1 kamer opschuiven gaat nl. wel op in de eerste situatie maar niet in de tweede. Daar heb je nl. geen hotel met een oneindig aantal kamers maar een hotel met een oneindig aantal bezette(!) kamers. Dat was nl. het gegeven en die stelling heeft gevolgen.

Als je in het eerste hotel zou vragen hoeveel vrije kamers er zijn is het antwoord zowel 0 als oneindig. Op de vraag hoeveel vrije kamers er in het tweede hotel zijn moet het antwoord 0 zijn. Dat is het gevolg van het gegeven(!) dat alle(!) kamers bezet zijn. Dus kun je in het tweede hotel de mensen niet vragen een kamer op te schuiven want dat impliceert dat er een vrije kamer moet zijn. Een hotel volgens de eerste definitie heeft die wel maar een hotel volgens de tweede definitie heeft die niet.

Wat men doet is de suggestie wekken dat men met de tweede definitie van de situatie in het hotel hetzelfde beschrijft als met de eerste definitie maar dat is niet zo.

[ruurd v.]

CaptJackSparrow schreef op woensdag 25 mei 2011 @ 09:48:
Het probleem is wat mij betreft gelegen in de formulering van het gegeven. Je zou het op twee manieren kunnen doen.

1. Een hotel met een oneindig aantal kamers met een oneindig aantal gasten.

2. Een hotel met een oneindig aantal kamers die allemaal bezet zijn.

Die twee stellingen zijn nl. naar mijn mening niet aan elkaar gelijk en dat leidt tot het probleem.

De oplossing van het 1 kamer opschuiven gaat nl. wel op in de eerste situatie maar niet in de tweede. Daar heb je nl. geen hotel met een oneindig aantal kamers maar een hotel met een oneindig aantal bezette(!) kamers. Dat was nl. het gegeven en die stelling heeft gevolgen.

....

Van de wiki Hillbert's hotel: "Consider a hypothetical hotel with countably infinitely many rooms, all of which are occupied – that is to say every room contains a guest"

Dit gaat zo te zien toch over geval 2 uit jouw post en juist hier zou de oplossing zijn: verhuizen..

[CaptJackSparrow]

Omdat men dus denkt, of doet alsof, dat de tweede beschrijving hetzelfde is als de eerste beschrijving. Daar vloeit de schijnbare paradox uit voort. Maar als je inziet dat de twee definities wezenlijk verschillend zijn is er geen probleem.

Je zou moeten beginnen met de eerste definitie zoals ik die gaf en dan vragen of er nog onbezette kamers zijn in het hotel. Vragen dus en niet stellen! Als je het vraagt en de gevraagde beantwoordt die vraag zelf met het antwoord dat er geen onbezette kamers zijn dan blijft het hele verhaal in stand. Zodra je echter stelt dat alle kamers bezet zijn maak je de fout de twee definities door elkaar heen te gebruiken en dan krijg je het probleem.

[Maethor2]

Een hotel met oneindig veel kamers bestaat niet, een manier om aan alle gasten in dat hypothetische hotel duidelijk te maken dat ze een kamer moeten opschuiven ook niet want dat duurt oneindig lang. In dit raadsel gaan we er echter van uit dat dat eerste wel bestaat, en puur hypothetisch kunnen we van dat tweede ook het theoretisch bestaan veronderstellen.

De volgende situatie doet zich voor:

18.00: Een nieuwe gast meldt zich aan
18.01: Omroep in alle kamers: Gelieve u zich tegen 18.29 naar de deur te begeven, u verhuist van kamer
18.29: Open de deur en ga binnen in de volgende kamer op het fluitsignaal
18:30: Fluitsignaal
18.31: Iedereen is in de volgende kamer, kamer 1 is vrij

Niemand is nog onderweg en het feit dat ik een fysische beperking overtreed doet eigenlijk niets af aan de gegeven oplossing. Het gaat hier over oneindigheid in de kamers en het feit dat we er gasten bijkrijgen, niet over de verhuistijd/gegeven signaal/... .

[AP3X]

Respect voor alle redenaties hier (ik was zelf nooit zo geweldig in wiskunde)
Maar kunnen ze niet gewoon met z'n 2en in een kamer gaan zitten ?
Er staat toch nergens dat er in een kamer maar plek is voor 1 persoon.

[Voor 24% gewijzigd door AP3X op 25-05-2011 10:21]

[Maethor2]

Chaser2600 schreef op woensdag 25 mei 2011 @ 10:20:
Kunnen ze niet gewoon met z'n 2en in een kamer gaan zitten ?
Er staat toch nergens dat er in een kamer maar plek is voor 1 persoon.

Dan hebben we een hotel met allemaal volle kamers. Er komt een oneindige lading nieuwe gasten toe. Overal twee gasten in de kamer en vanaf dan zit je weer met hetzelfde probleem. Opschuiven die handel.

Daarnaast, iedereen zit hier te rekenen met oneindig +1 enzo, maar zo mag je enkel rekenen als je met limieten werkt.

Dus bvb (x->+oneindig) lim (x+1) = +oneindig

[Voor 15% gewijzigd door Maethor2 op 25-05-2011 10:23]

[AP3X]

Maethor2 schreef op woensdag 25 mei 2011 @ 10:21:
[...]


Dan hebben we een hotel met allemaal volle kamers. Er komt een oneindige lading nieuwe gasten toe. Overal twee gasten in de kamer en vanaf dan zit je weer met hetzelfde probleem. Opschuiven die handel.

Daarnaast, iedereen zit hier te rekenen met oneindig +1 enzo, maar zo mag je enkel rekenen als je met limieten werkt.

Dus bvb (x->+oneindig) lim (x+1) = +oneindig

Maar er komt toch maar 1x een oneindige lading gasten ? of komt er een oneindig aantal ladingen met oneindig aantal gasten ?

[Maethor2]

Chaser2600 schreef op woensdag 25 mei 2011 @ 10:28:
[...]


Maar er komt toch maar 1x een oneindige lading gasten ? of komt er een oneindig aantal ladingen met oneindig aantal gasten ?

Je verschuift gewoon het probleem. Het gaat om de paradox waaraan een aantal beperkingen zijn. Jouw oplossing voldoet niet aan die beperking. Jouw oplossing zorgt dat je één oneindige lading mensen kan huisvesten, maar in het probleem is ook sprake van oneindig veel oneindige ladingen van mensen. Dit kan je niet oplossen op deze manier.

Nadat je die mensen in je hotel hebt moet er maar 1 gast aankomen voor je weer een probleem hebt.

[Dido]

CaptJackSparrow schreef op woensdag 25 mei 2011 @ 09:48:
Het probleem is wat mij betreft gelegen in de formulering van het gegeven. Je zou het op twee manieren kunnen doen.

1. Een hotel met een oneindig aantal kamers met een oneindig aantal gasten.

2. Een hotel met een oneindig aantal kamers die allemaal bezet zijn.

Die twee stellingen zijn nl. naar mijn mening niet aan elkaar gelijk en dat leidt tot het probleem.

De oplossing van het 1 kamer opschuiven gaat nl. wel op in de eerste situatie maar niet in de tweede. Daar heb je nl. geen hotel met een oneindig aantal kamers maar een hotel met een oneindig aantal bezette(!) kamers. Dat was nl. het gegeven en die stelling heeft gevolgen.

Als je in het eerste hotel zou vragen hoeveel vrije kamers er zijn is het antwoord zowel 0 als oneindig. Op de vraag hoeveel vrije kamers er in het tweede hotel zijn moet het antwoord 0 zijn. Dat is het gevolg van het gegeven(!) dat alle(!) kamers bezet zijn. Dus kun je in het tweede hotel de mensen niet vragen een kamer op te schuiven want dat impliceert dat er een vrije kamer moet zijn. Een hotel volgens de eerste definitie heeft die wel maar een hotel volgens de tweede definitie heeft die niet.

Wat men doet is de suggestie wekken dat men met de tweede definitie van de situatie in het hotel hetzelfde beschrijft als met de eerste definitie maar dat is niet zo.

In het geval van 1) is het mogelijk dat er vrije kamers zijn. Dan stuur je je gast gewoon naar een vrije kamer.

Het gaat juist om situatie 2). Er zijn geen vrije kamers; dat wil zeggen dat elke kamer die ik bekijk, een gast bevat. Ik zal nooit een kamer vinden die leeg is.

Nu ga ik in situatie 2) iedereen vragen om op te schuiven. Dan komt uit elke kamer iemand, en is elke kamer even vrij. Iedereen heeft al een nieuwe kamer toegwezen gekregen, dus daar gaan ze heen. Geen probleem want voor iedereen geldt dat de kamer waar ze heen gaan net veralten is door iemand anders. Zonder uitzondering.
Na de verhuizing heb ik een nieuwe situatie: ik heb 1 vrije kamer.

[mickjuh]

Dido schreef op woensdag 25 mei 2011 @ 10:40:
Nu ga ik in situatie 2) iedereen vragen om op te schuiven. Dan komt uit elke kamer iemand, en is elke kamer even vrij. Iedereen heeft al een nieuwe kamer toegwezen gekregen, dus daar gaan ze heen. Geen probleem want voor iedereen geldt dat de kamer waar ze heen gaan net verlaten is door iemand anders. Zonder uitzondering.
Na de verhuizing heb ik een nieuwe situatie: ik heb 1 vrije kamer.

Waardoor normaal gesproken de laatste persoon geen kamer zou hebben maar aangezien de kamers oneindig zijn is er geen laatste persoon die geen kamer meer heeft en houdt je wel 1 vrije kamer aan het begin.

[Janoz]

CaptJackSparrow schreef op woensdag 25 mei 2011 @ 09:48:
Het probleem is wat mij betreft gelegen in de formulering van het gegeven. Je zou het op twee manieren kunnen doen.

1. Een hotel met een oneindig aantal kamers met een oneindig aantal gasten.

2. Een hotel met een oneindig aantal kamers die allemaal bezet zijn.

Die twee stellingen zijn nl. naar mijn mening niet aan elkaar gelijk en dat leidt tot het probleem.

De oplossing van het 1 kamer opschuiven gaat nl. wel op in de eerste situatie maar niet in de tweede. Daar heb je nl. geen hotel met een oneindig aantal kamers maar een hotel met een oneindig aantal bezette(!) kamers. Dat was nl. het gegeven en die stelling heeft gevolgen.

Precies andersom. Situatie 2 is juist het geval waarbij het opschuiven werkt. Dat algoritme gaat er immers vanuit dat er in elke kamer iemand zit. In situatie 1 heb je of oneindig gasten die geen kamer hebben, of oneindig lege kamers. Maar gelukkig is de eerste van die twee makkelijk op te door oneindig maal het truukje toe te passen, of door alle mensen die ene kamer hebben te verhuizen naar een kamernummer dat twee keer zo groot is.

[CaptJackSparrow]

Dan doe je dus ook alsof beschrijving 2 gelijk is aan beschrijving 1. Zolang je dat doet 'werkt' die 'oplossing' omdat je dan een lege kamer kunt creëren. Alleen zijn die twee beschrijvingen m.i. wezenlijk verschillend. Je kunt naar mijn mening niet voor de probleemstelling definitie 2 gebruiken en dan voor de oplossing plotseling definitie 1, maar dat is wel wat men doet.

Het verschil is een hotel met een oneindig aantal kamers en een hotel met een oneindig aantal bezette kamers. Zodra je de tweede situatie stelt in plaats van de eerste situatie mag je niet meer de eerste definitie gebruiken. De tweede definitie laat geen ruimte voor onbezette kamers tenzij je terugvalt naar definitie 1. Maar dat is valsspelen.

mickjuh schreef op woensdag 25 mei 2011 @ 10:49:
Waardoor normaal gesproken de laatste persoon geen kamer zou hebben maar aangezien de kamers oneindig zijn is er geen laatste persoon die geen kamer meer heeft en houdt je wel 1 vrije kamer aan het begin.

En dat is dus niet het gegeven. Het gegeven is niet dat er een oneindig aantal kamers is maar dat er een oneindig aantal bezette kamers is. Dat maakt al het verschil.

[enchion]

Is het niet eigenlijk zo,

Aangezien je de beginsituatie vergelijkt met de eindsituatie geldt het onderstaande

Je hebt ∞*beginsituatie (beginsituatie noemen we X) en
Je hebt ∞*eindsituatie (eindsituatie noemen we Y)
dus je hebt dan Y=X+1
Met andere woorden die twee oneindigs zijn niet gelijk aan elkaar.

oneindig is niks anders dan het sluitingshaakje "}" van de verzameling waarmee je de as vult.
Als je as verdeelt in drie porties is oneindig dus gelijk aan 3
Aangezien men "normaal" de as verdeelt in R krijg je een heel groot getal.
Het getal van de eindsituatie is dan dus R+1 , je voegt 1 getal toe aan R.

[Voor 32% gewijzigd door enchion op 25-05-2011 11:07]

[Maethor2]

enchion schreef op woensdag 25 mei 2011 @ 11:01:
Is het niet eigenlijk zo,

Aangezien je de beginsituatie vergelijkt met de eindsituatie geldt het onderstaande

Je hebt ∞*beginsituatie (beginsituatie noemen we X) en
Je hebt ∞*eindsituatie (eindsituatie noemen we Y)
dus je hebt dan Y=X+1
Met andere woorden die twee oneindigs zijn niet gelijk aan elkaar.

Op wat slaat je dat is niet zo?

[Janoz]

CaptJackSparrow schreef op woensdag 25 mei 2011 @ 10:56:
En dat is dus niet het gegeven. Het gegeven is niet dat er een oneindig aantal kamers is maar dat er een oneindig aantal bezette kamers is. Dat maakt al het verschil.

De paradox werkt ook alleen maar wanneer alle kamers bezet zijn. Probeer eens niet naar het geheel te kijken, maar naar elke stap los.

• Iedereen krijgt de opdracht om naar zijn kamernummer te kijken en vervolgens te verhuizen naar kamernummer +1.

• Alle kamernummers zijn gehele positieve getallen.

• Het aantal kamers is oneindig dus kamernummer +1 bestaat altijd.

• Kamernummer +1 is altijd vrij omdat diegene die daar zat verhuist is naar kamernummer +2.

• Er is geen kamer 0 dus niemand krijgt de opdracht om naar kamer 0+1 = 1 te verhuizen.


Probeer elk van deze stellingen eens los te ontkrachten. Dat zal je namelijk niet lukken. Hieruit is vervolgens de conclusie te trekken dat kamer 1 nu dus vrij is.

Je denkwijze "Alle kamers zijn bezet, dus het kan niet" is begrijpelijk, maar niet toepasbaar wanneer je theoretische concepten als oneindig aan het toepassen bent.

[Little Bear]

Theoretisch klopt het en kunnen de gasten erbij. In de praktijk is het niet mogelijk, wat natuurlijk ook de bedoeling van de paradox is.

Laat me een gelijkaardig voorbeeld aanhalen. 2 auto's rijden naast elkaar met dezelfde snelheid. Deze auto's kunnen oneindig snel rijden en worden hierin niet beperkt door technolgie. Auto 2 heeft echter wel de beperking dat het gaspedaal volledig ingedrukt is (cfr alle kamers zitten vol), waar je het gaspedaal bij auto 1 kan blijven indrukken (cfr er komen extra gasten toe). Hoe kunnen beide auto's even snel blijven rijden als het auto 1 het gaspedaal in drukt?

In theorie kan auto 2 even snel gaan, op voorwaarde dat de beperking van het gaspedaal overwonnen wordt. Is dat niet het geval, dat is het niet mogelijk. In de praktijk kan je het pedaal gewoon niet verder indrukken, waardoor het praktisch niet mogelijk is.

Hetzelfde voor het hotel. Je kan er oneindig veel gasten bij steken, op voorwaarde dat niet alle kamers bezet zijn. Dit is echter wel het geval, dus je kan er geen gasten meer bijsteken.

[CaptJackSparrow]

Janoz schreef op woensdag 25 mei 2011 @ 11:15:
• Het aantal kamers is oneindig dus kamernummer +1 bestaat altijd.

Je doet hier precies wat ik steeds zeg. Je gebruikt een aanname in je redenering die niet overeen komt met hoe het probleem gedefinieerd is. Er wordt nl. in de probleemstelling niet gegeven dat het aantal kamers oneindig is. Alleen dat het aantal bezette kamers oneindig is.

Dat is mijn punt.

Edit: Little Bear snapt het.

[Voor 3% gewijzigd door CaptJackSparrow op 25-05-2011 11:43]

[eamelink]

CaptJackSparrow schreef op woensdag 25 mei 2011 @ 11:39:
[...]

Je doet hier precies wat ik steeds zeg. Je gebruikt een aanname in je redenering die niet overeen komt met hoe het probleem gedefinieerd is. Er wordt nl. in de probleemstelling niet gegeven dat het aantal kamers oneindig is. Alleen dat het aantal bezette kamers oneindig is.

Dat is mijn punt.

Edit: Little Bear snapt het.

Maar het lijkt me niet onredelijk om aan te nemen dat de set bezette kamers een subset is van de set kamers. Dus als die eerste set oneindig is, is de laatste set dat ook