Dido schreef op donderdag 26 mei 2011 @ 22:16:
[...]
Ok, ik ga elk positief geheel getal koppelen aan een negatief geheel getal. Lekker makkelijk, ik koppel 1 aan -1, 2 aan -2, 3 aan -3, etc.
Ben je met me eens dat elk postief geheel getal dan gekoppeld is aan een negatief geheel getal?
Ben je met me eens dat er oneindig veel positieve gehele getallen zijn?
Als ik elk positef geheel getal vervang door een hotelkamer, en elk negatief geheel getal door een hotelgast, waarom zou ik dan niet oneindig veel hotelkamers gevuld hebben met gasten?
Ondanks mijn verwarde pseudologica, vind ik dat je jou kant van het verhaal duidelijk uitlegt!
Tot zover ben ik het met je eens, maar ik ben het niet meer met je eens als je aan de oneindige aantallen gasten in de hotelkamer nog oneindig veel gasten zou kunnen toevoegen zodra de oneindig aantallen gasten hun kamer verlaten en met een nieuw aantal oneindige gasten weer de oneindig aantallen kamers zouden intrekken.
Aan mij de uitdaging om uit te leggen hoe ik aan de stelling kom ,,dat het wel een probleem is om oneindig veel kamers allemaal te bezetten met oneindig veel gasten.'' Zoals ik zei bewijst de uitkomst dat er nog oneindig aantallen kamers niet bezet zijn. Hoe kom ik daar aan?
Bekijk de bovenste cirkel. Dat is ons hotel. De diameter van die cirkel is oneindig.
Raaraa, hoe kan een cirkel een oneindige diameter hebben? Nee, dat kan niet, maar een hotel met oneindig aantallen kamers kan ook niet. Laten we dus gewoon deze onmogelijke en irreeele startpositie aannemen.
[...]
Dat staat nergens. Pas als je iedereen laat verhuizen kan dat zo zijn. Dan zijn dus ook niet meer alle kamers bezet. (Er zijn wel nog steeds oneindig veel kamers bezet).
Voordat we de gasten uit hun kamers halen kijken we naar de situatie in de middelste cirkel.
Elk positief getal (ai, ik heb het verwisseld

ten opzichte van jou voorbeeld) is een gast, elk negatief getal is een kamer.
Daar de diameter van de cirkel oneindig is, past hier een oneindige reeks kamers in die gekoppeld is aan evenveel oneindige gasten.
Maar, en daar komt de truk, je kunt ook zeggen dat lengte A oneindig is, als gevolg van het feit dat de diameter van de cirkel ook oneindig is, maar lengte A is niet dezelfde oneindigheid als die van de cirkel. A is een stukje van die oneindigheid en zelf tegelijk oneindig. Ook in dit gedeelte van de cirkel is ieder van de oneindige aantallen gasten gekoppeld aan evenveel oneindig aantallen kamers.
Nu gaan we de gasten uit hun kamers halen, we koppelen beide cirkels dus los:
Als cirkel geel (de gasten) even oneindig is als cirkel grijs (de kamers), en we halen de beide cirkels los, dan past hier geen oneindig aantal nieuwe gasten tussen. Het is immers zo dat iedere gast aan één kamer gekoppeld was. Nu schuiven de gasten één kamer op of de cirkel geel draait één positie door. Daarna leggen we beide cirkels weer op elkaar. Hoe wilde je daar nog één gast tussen proppen?
Ja, inderdaad, de diameter van de cirkel en daarmee de cirkel zelf is oneindig, dus je kunt nooit meer, als je één en dezelfde richting op blijft draaien, al doe je dit tot in het oneindige, of de gasten in dezelfde richting door laat schuiven, op de oude positie of in de oude kamer terugkomen. In kamer -1 daar komt een gast te zitten die een oneindig positief nummer heeft uit een oneindige negatieve kamer.
Onmogelijk? Uiteraard, maar dat is het gevolg van onze onmogelijke startpositie. Namelijk dat we een cirkel hebben met een oneindige diameter. Dat is even mogelijk of onmogelijk als een hotel met oneindig aantallen kamers met in iedere kamer één gast.
Terug naar mijn getallen: ik koppel nu elk negatief geheel getal aan een even positief geheel getal, gelijk aan het tegengestelde dubbel ervan. Dus -1 koppel ik aan 2, -2 koppel ik aan 4, -3 koppel ik aan 6.
Nu heb ik nog steeds oneindig veel kamers (de even positieve getallen) bezet met oneindig veel gasten (negatieve gehele getallen). Ik heb echter ook nog oneindig veel kamers vrij (1, 3, 5, 7, etc).
Problem?
Ja, je hebt geen kamers vrij. Elke kamer was in de startpositie namelijk bezet. Je kunt dan de gasten wel uit hun kamer halen en in een andere kamer plaatsen. Maar dat betekent alleen maar dat je in mijn voorbeeld in die oneindige cirkel posities verwisselt.
Wat je doet met getallen kan uiteraard wel. Dat zie je heel duidelijk in de onderste cirkel.
We hebben gesteld dat de diameter van de cirkel oneindig is. Welnu, jij neemt stukje A eruit, dat eveneens oneindig is (met een oneindige reeks positieve getallen en oneindige reeks negatieve getallen die aan elkaar gekoppeld zijn) als gevolg van het feit dat de cirkel een oneindige diameter heeft met oneindig veel kamers. Dus A is oneindig, maar niet van dezelfde oneindigheid als de gehele cirkel.
In andere woorden. In A zijn oneindig veel gasten (geel). Zij bezetten oneindig veel kamers. Echter is dat oneindig aantal kamers in stukje A niet gelijk aan het totaal aantal oneindige kamers in de gehele cirkel.
Nu laten we de oneindige aantallen gasten in stukje A hun kamer uit komen, daarna stoppen we ze in andere kamers en we stoppen er nog eens oneindig veel gasten bij. Geen probleem, want er zijn altijd kamers vrij! Wat je namelijk doet is een positief getal van 1 tot oneindig, de gasten in het gele gedeelte, koppelen aan een negatieve kamer van -2, -4, -6 tot oneindig. Al is het aantal kamers in A oneindig, je neemt nu echter ook een stuk mee van die grotere oneindigheid van buiten A in de gehele cirkel terwijl A -1, -3, -5 tot oneindig gevuld wordt met de nieuwe oneindig aantallen gasten. Daardoor is A van een andere oneindigheid geworden dan het voorheen was.
[...]
Ja, het is ook wat. Dat is het punt met oneindige verzamelingen

Ik heb nu uitgelegd dat oneindig en oneindig niet hetzelfde hoeven te zijn. Als je stelt dat in alle oneindige kamers een gast zit en ze slechts hun kamer uit hoeven, iets op te schuiven en een nieuwe kamer hebben samen met een nieuw aantal oneindige gasten, dan kom je mijns inziens op een andere oneindigheid uit. De uitkomst bewijst immers dat er nog altijd oneindig aantallen kamers niet bezet waren.
[...]
Pardon? Je hoeft de lagere school niet afgemaakt te hebben om te begrijpen dat 0+0=0.
Jantje heeft geen geld. Hij krijgt deze week van zijn vader geen zakgeld. Hoeveel geld heeft Jantje nu?
Je draaft nu wel erg door hoor.
Het is een onmogelijke bewerking bij absoluut niets nog eens absoluut niets toe te voegen. Je kunt onmogelijk niets toevoegen.
Dat die 0 optellen wel verdraaid handig is om over een langere periode per week te berekenen ,,hoeveel'' of ,,niets'' erbij komt, is een ander verhaal. Dat neemt niet weg dat niets toevoegen of optellen een onmogelijke bewerking is.
[...]
Hoezo error? Als ik de unie neem van de verzameling van positieve even gehele getallen (oneindig groot) en de verzameling van oneven positieve gehele getallen (ook oneindig groot) heb ik gewoon de verzameling van positieve gehele getallen (tadaa! ook oneindig groot). Waarom zou dat een probleem zijn? Doe je moeilijk om het moeilijk doen?
Ik probeer het te bevatten, daarom loop ik vast met een error. Maar hoe langer ik hierover denk, hoe meer ik je op dit punt gelijk geef. ∞ + ∞ = ∞ maar niet gelijk aan het voorgaande. Het is een andere oneindigheid geworden.
[...]
Je verwarde pseudologica maakt het allesbehalve duidelijk hoe je tot die concludie komt. Als alle kamers bezet zijn en ik kan geen gasten meer toevoegen, dan is het aantal kamers juist eindig.
Probeer voor de aardigheid eens om mijn voorbeelden met gehele getallen te weerleggen.
Lijkt me toch duidelijk dat als je iets oneindigs vult met iets oneindigs, in dit geval kamers met oneindig veel gasten, je oneindig door gaat met vullen.
Anderzijds, als je er eenmaal van uitgaat dat iedere kamer door één gast bezet is, dan kun je geen nieuwe stroom aan oneindige gasten toevoegen aan deze oneindige aantallen kamers die allen bezet zijn (ook al laat je de gasten even uit hun kamer en een andere kamer innemen). Je krijgt dan immers te maken met een andere oneindigheid om de simpele rede dat er toch nog kamers vrij zijn.