Die regels kun je ook wel achterhalen als je gewoon een beetje snapt wat die functies doen.
x^y betekent natuurlijk y keer x met zichzelf vermenigvuldigen. Pretty obvious.
Daaruit volgt: (x^y)^z = x^(y*z). Immers, je doet z keer [y keer x met zichzelf vermenigvuldigen]. Oftewel je hebt uiteindelijk daar y*z keer x met zichzelf vermenigvuldigt.
Verder is y = log
x p natuurlijk de oplossing voor x^y = p, oftewel, "hoeveel keer moet ik x met zichzelf vermenigvuldigen om p te krijgen"
Combineer je die laatste twee dingen, dan kun je dus exponenten met een ander grondtal schrijven. 5^y in machten van 2 wordt natuurlijk (2^x)^y waarbij 2^x gelijk is aan 5. Oftewel, x = log
2 5, en dat invullen levert (2^(log
2 5))^y = 2^((log
2 5) * y).
Het ligt verder voor de hand dat log
x (x^y) gelijk is aan y. Immers, de vraag die je daar stelt is: "hoeveel keer moet ik x met elkaar vermenigvuldigen om x^y te krijgen". y keer dus. Verder is ln y natuurlijk niets anders dan een andere schrijfwijze voor log
e y.
Combineer je de laatste twee weer, dan zie je dat je ln(x^y) op dezelfde manier op kunt lossen, door x^y om te zetten naar e^y: ln(x^y) = ln((e^ln(x))^y) = ln(e^(ln(x)*y)) = ln(x) * y;