Repetentie: harde wiskunde en filosofie

[Ivo]

9... of hoe je het wil schrijven is geen getal. De som van i is 0 tot oneindig van 9*10^i is namelijk oneindig.

[Verwijderd]

Drakin-Korin schreef op maandag 18 december 2006 @ 18:38:
Nu blijft de vraag na al deze uitleg hoeveel 1/9999999(met oneindig veel 9s) is. Als 0.999.... 1 is 1/99999.... dan ook 1? Hoe liggen de rekenregels nu ?

1 delen door oneindig groot getal (als in: 999999... <dus oneindig veel negens, dus oneindig groot>) kan niet, want je kan niet delen door oneindig. Wel kan je het limiet nemen van dat geval:

lim_x->oo (1/x) = 0

Maar wat jij waarschijnlijk bedoelde: voor 1/0.9... geld inderdaad: 1/0.9... = 1, gewoonweg omdat 0.9... = 1.

[ Voor 15% gewijzigd door Verwijderd op 18-12-2006 19:03 ]

[Verwijderd]

Drakin-Korin schreef op maandag 18 december 2006 @ 18:38:
Nu blijft de vraag na al deze uitleg hoeveel 1/9999999(met oneindig veel 9s) is. Als 0.999.... 1 is 1/99999.... dan ook 1? Hoe liggen de rekenregels nu ?

Dat is weer iets heel anders, nu heb je het over oneindigheden.
0,999... is geen oneindig getal (het is immers gewoon 1), het heeft alleen oneindig veel decimalen.
Oneindigheid is een concept en geen getal, rekenkundige operaties als delen en vermenigvuldigen zijn hierop niet normaal toepasbaar.

Als x oneindigheid nadert, dan komt 1/x dichter bij 0.
Informeel kun je ook zeggen 1 / oneindig = 0
Daar is niets mis mee, zolang je maar in je achterhoofd houdt dat:
lim 1/x = 0
x→∞

[Drakin-Korin]

Volgende vraag als je nu 0.99.... in het kwadraat neemt moet dit dus simpel 1 moeten zijn en niet iets kleiner dan het oorspronkelijke getal zoals bij de meeste kommagetallen die kleiner zijn dan 1(0.999 is wel 1 maar toch)

[Verwijderd]

Drakin-Korin schreef op maandag 18 december 2006 @ 19:35:
Volgende vraag als je nu 0.99.... in het kwadraat neemt moet dit dus simpel 1 moeten zijn en niet iets kleiner dan het oorspronkelijke getal zoals bij de meeste kommagetallen die kleiner zijn dan 1(0.999 is wel 1 maar toch)

Naar aanleiding van deze vraag nog een bewijsje gedaan.
(Wel zelfde stijl als een bovenstaand bewijs)

Aanname: x = 0.9...
   x[sup]2[/] = x[sup]2[/]
= { Vermenigvuldig met 100. }
   100x[sup]2[/] = 100x[sup]2[/]
= { 100 = 10[sup]2[/]. }
   (10x)[sup]2[/] = 100x[sup]2[/]
= { 10x = 9.9... = 9 + x. }
   (9 + x)[sup]2[/] = 100x[sup]2[/]
= { Uitwerken linkerdeel. }
   81 + 18x + x[sup]2[/] = 100x[sup]2[/]
= { Schuiven. }
   -99x[sup]2[/] + 18x + 81 = 0
= { abc-formule: x = (-b +- (b[sup]2[/] - 4ac)[sup]1/2[/]) / 2a. }
   x = (-18 + (18[sup]2[/] + 32076)[sup]1/2[/]) / -198
     = (162/-198)
     = -(9/11)
OF x = (-18 - (18[sup]2[/] + 32076)[sup]1/2[/]) / -198
     = (-198/-198)
     = 1

Het probleem van kwadraten is altijd dat er met oplossen twee antwoorden ontstaan. In dit geval is x = -(9/11) duidelijk onzin.

Uit bovenstaande volgt dan weer:

Aanname x = 0.9...
   (x[sup]2[/])[sup]1/2[/] = x[sup]2 * (1/2)[/] = x[sup]1[/] = x = 1 = 1[sup]2[/] = x[sup]2[/] 

[ Voor 7% gewijzigd door Verwijderd op 18-12-2006 21:21 ]

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op maandag 18 december 2006 @ 20:03:
[...]


Naar aanleiding van deze vraag nog een bewijsje gedaan.
(Wel zelfde stijl als een bovenstaand bewijs)
[pre]
Aanname: x = 0.9... = 1
x² = x²
...
...

Haartjes splijten?

Omdat het uitgangspunt al onbubbelzinnig vast staat dat x=0,9...=1
dan is het expliciet bewezen dat

(0,9...)² = 1

en als je begint met deze uitkomst (0,9...)² = x² =1(zonder de bronwaarde x te weten) kan je zonder meer stellen dat x= +1 of -1 moet zijn en impliciet dat het x= -0,9... of +0,9... is.

(Het is duidelijk dat dit twee oplossingen zijn en niet vier stuks!!!)

Je lange uitwerking is naar mijn mening overbodig zo lang je al weet dat 0,9...=1 juist is.

Kan je toelichten waarom je uitwerking enige toegevoegde waarde heeft?

[Verwijderd]

Zeg ik ergens dat ik die lange uitwerking gebruik om te bewijzen dat (0.9...)² = 1? Nee niet echt, die laatste regel is namelijk alles wat jij zegt. Verder vier stuks oplossingen? Dan mis ik er toch twee in mijn hele bak tekst.

Zat trouwens teveel aannames in bewijs x = 1, namelijk de aanname x = 1. Deze er even uitgehaald. Mijn foutje.

Maar uitwerking heeft als toegevoegde waarde: 0,0 voor antwoord op zijn vraag. Staat ook nergens dat het een antwoord is, er staat: Naar aanleiding van deze vraag... . De uitwerking is een variantie om te bewijzen dat 0.9... = 1, zodat men kan zien dat dat niet zomaar volgt uit een bewijs, maar uit enorm veel verschillende bewijzen.

[ Voor 18% gewijzigd door Verwijderd op 18-12-2006 21:23 ]

[Dido]

Dan neem je toch nog iets te veel aan in de stap:
(10x)^2 = 100x^2
naar
(9 + x)^2 = 100x^2

10x=9+x geldt namelijk alleen als x=1, terwijl je aannam dat x=0.999...

offtopic:
Niet dat je me hoeft t eovertuigen dat 1=.999... maar je bewijs rammelt

[ Voor 19% gewijzigd door Dido op 18-12-2006 21:36 ]

[DataGhost]

Dido schreef op maandag 18 december 2006 @ 21:34:
Dan neem je toch nog iets te veel aan in de stap:
(10x)^2 = 100x^2
naar
(9 + x)^2 = 100x^2

10x=9+x geldt namelijk alleen als x=1, terwijl je aannam dat x=0.999...

offtopic:
Niet dat je me hoeft t eovertuigen dat 1=.999... maar je bewijs rammelt

Dat valt volgens mij nog best mee. Hij geeft namelijk de volgende hint:

= { 10x = 9.9... = 9 + x. }

Onder de aanname dat x = 0,99... substitueert hij x voor de werkelijke waarde en dan krijg je 10x = 9,9...
Aangezien het aantal decimalen na de komma nog steeds oneindig is, is 10x - 9 (9,9... - 9 = 0,9...) gelijk aan x (of fPart(9,9...) = 0,9... = x, zelfde verhaal). Je krijgt dan gewoon 9 + x
Dit is in eerdere bewijzen al aangehaald en bewijst juist dat x = 1. Dan klopt het inderdaad ook dat je met 0,9... (immers hetzelfde getal) dezelfde uitkomst krijgt.

Semi-disclaimer: Ik had nog gekeken en gezien dat je post ongeveer 13 minuten na de laatste edit gemaakt was. Ik weet niet of je dit topic langer open hebt gehad voordat je je reactie plaatste, of wat de originele inhoud was van de post. Wellicht stond die hele hint er niet bij. Dat weet ik niet dus

[ Voor 16% gewijzigd door DataGhost op 18-12-2006 23:42 ]

[Dido]

Ik was inderdaad iets te snel, ik raakte verward door het hele stuk dat volgde. Dat is namelijk inderdaad overbodig, omdat de conclusie dat 10x=9+x geldt voor .999... al bewijst dat .999... = 1.

Het gegoochel met machten is alleen maar mogelijk nadat dus al is aangetoond dat 1 = .999..., en daarmee geen deel van het bewijs.

Immers:
Als geldt voor x=.999... dat 10x=9+x, dan volgt daaruit dat 10x-x=9 oftewel 9x=9, oftewel x=1.
Komt geen macht aan te pas

Ik neem terug dat het bewijs rammelt, maar merk dus op dat na het bewijs te veel overbodige zaken stonden

[Verwijderd]

Dido schreef op dinsdag 19 december 2006 @ 00:22:
Ik was inderdaad iets te snel, ik raakte verward door het hele stuk dat volgde. Dat is namelijk inderdaad overbodig, omdat de conclusie dat 10x=9+x geldt voor .999... al bewijst dat .999... = 1.

Het gegoochel met machten is alleen maar mogelijk nadat dus al is aangetoond dat 1 = .999..., en daarmee geen deel van het bewijs.

Immers:
Als geldt voor x=.999... dat 10x=9+x, dan volgt daaruit dat 10x-x=9 oftewel 9x=9, oftewel x=1.
Komt geen macht aan te pas

Ik neem terug dat het bewijs rammelt, maar merk dus op dat na het bewijs te veel overbodige zaken stonden

0,999... = (9/10)+(9/100)+(9/1000)+...
((9/10)+(9/100)+(9/1000)+...)² is lastig ja.

[Mx. Alba]

Oké, er zijn dus mensen die zeggen dat:

1 - 0,9... = 0,0...1

Er is een heel simpele manier om de foutheid hiervan uit te leggen.

0... is een oneindige rij nullen. Oneindig betekent dat er geen eind aan komt. Als er geen eind komt aan de rij nullen, kan er dus ook niet een 1 achter staan!

Oftewel, 0,0...1 = 0

Dus, 1 - 0,9... = 0

En dus, 0,9... = 1

QED

[Verwijderd]

dusty schreef op maandag 18 december 2006 @ 16:35:
In wiskunde schrijf je een nul met oneindig veel negens inderdaad als 0.999... maar jij blijft afspraken binnen de wiskunde verwarren met het decimaal stelsel. Afspraken maken binnen de wiskunde is leuk, maar dat maakt het nog steeds geen onderdeel van het stelsel wat je gebruikt binnen de wiskunde. (op welke base dat dan ook is gebasseerd. )


We blijven hier in mijn mening vrolijk in rondjes lopen, ik verlaat hierbij dit topic dan ook definitief.

Sorry maar wat is volgens jou het 'decimaal stelsel' als het niet eenvoudigweg een manier is om getallen te representeren in de wiskunde?

[Dido]

Mx. Alba schreef op dinsdag 19 december 2006 @ 14:20:
Oké, er zijn dus mensen die zeggen dat:

1 - 0,9... = 0,0...1

Er is een heel simpele manier om de foutheid hiervan uit te leggen.

Of met een simpel limietje:

0,000...1 is te schrijven als lim_(x->oo) (1/10^x)

Dat lijkt me vrij eenvoudig in te zien.

Die limiet op zichzelf is echter ook heel simpel te berekenen:

10^x gaat naar oo als x->oo, de limiet is dus naar 1/oo, oftewel 0.

[Mx. Alba]

Tuurlijk, maar ik legde het uit voor de mensen die limieten niet zo goed snappen

Het is namelijk heel simpel en logisch te bevatten dat bij "een 1 na een oneindige rij nullen" die 1 nooit komt omdat de rij nullen nooit eindigt

[Verwijderd]

En toch is 0.9... niet gelijk aan 1
Er zit namelijk een oneindig klein verschil tussen, en oneindig klein is volgens mij nog steeds niet gelijk aan 0, tenzij we dat aannemen.

Ik betwist dan ook niet dat we aannemen dat 0.9... = 1

[JackBol]

Verwijderd schreef op woensdag 20 december 2006 @ 18:43:
En toch is 0.9... niet gelijk aan 1
Er zit namelijk een oneindig klein verschil tussen, en oneindig klein is volgens mij nog steeds niet gelijk aan 0, tenzij we dat aannemen.

Ik betwist dan ook niet dat we aannemen dat 0.9... = 1

Daar gaat jusit het hele topic over, en ik heb heel wat goede wiskundige en filosofische onderbouwing voorbij zien komen. Dus met En toch... ga je het niet redden...

[DataGhost]

Verwijderd schreef op woensdag 20 december 2006 @ 18:43:
En toch is 0.9... niet gelijk aan 1
Er zit namelijk een oneindig klein verschil tussen, en oneindig klein is volgens mij nog steeds niet gelijk aan 0, tenzij we dat aannemen.

Ik betwist dan ook niet dat we aannemen dat 0.9... = 1

DataGhost in "Repetentie: harde wiskunde en filosofie"

edit:
ik quote mezelf verkeerd

Ik had het daar wat simplistischer uitgelegd, namelijk dat er geen verschil KAN zijn, dus ook geen oneindig klein verschil. Het verschil is er niet, en als 2 dingen niet verschillend zijn zijn ze gelijk dus 0,9... = 1

Misschien NOG duidelijker...
Als jij een verschil probeert te vinden tussen 0,9... en 1 betekent dat dat je een extra decimaal achteraan plakt, aangezien er niks groter dan 9 is, en je dus de laatste decimaal niet kan verhogen (om een tussenwaarde te krijgen). Op het moment dat jij een decimaal achter 0,9... plakt, zegmaar een 5 of een 8 of net welke, zelfs 9, krijg je bijvoorbeeld 0,9...8. Dat is volgens jou dan een 'kleiner verschil', dwz. het ligt tussen 0,9... en 1 in. Als jij dat doet doe ik iets heel simpels, ik maak er 0,9...9 van (ik vervang de laatste . 0,9...9 is groter dan 0,9...8 en 0,9...9 is gelijk aan 0,9... (immers oneindig veel negens met nog een negen erachter zijn nog steeds oneindig veel negens). Daarom KAN jouw verschil niet eens tussen 0,9... en 1 in liggen
Tegenspraak -> Geen verschil tussen 0,9... en 1 -> 0,9... = 1 -> q.e.d.

edit:
Omdat er kennelijk nogal wat mierencopuleerders rondlopen, niet zozeer hier in dit topic, maar vooral op IRC even een 'disclaimer': al mijn posts gaan uit van de verzameling R, inclusief de bijbehorende rekenregels en 'rariteiten'. Dus niet N of Z of net welke andere verzameling, tenzij anders aangegeven.

[ Voor 52% gewijzigd door DataGhost op 20-12-2006 20:31 ]

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op woensdag 20 december 2006 @ 18:43:
En toch is 0.9... niet gelijk aan 1
Er zit namelijk een oneindig klein verschil tussen, en oneindig klein is volgens mij nog steeds niet gelijk aan 0, tenzij we dat aannemen.

Ik betwist dan ook niet dat we aannemen dat 0.9... = 1

Heb je de volgende links al eens doorgelezen?

http://en.wikipedia.org/wiki/.999
http://polymathematics.ty...6/06/no_im_sorry_it_.html

Oneindigheid is een lastig begrip binnen de wiskunde.
Met menselijke intuïtie alleen kom je er niet.

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op maandag 18 december 2006 @ 19:18:
. . .
. . .

Als x oneindigheid nadert, dan komt 1/x dichter bij 0.
Informeel kun je ook zeggen 1 / oneindig = 0
Daar is niets mis mee, zolang je maar . . .

Ik begrijp dat jij het vraagstuk wel begrijpt, maat toch ga ik even akelig doen om het leuk te houden. Ik vind dat er op dit topic veel te weinig wordt gereageerd, dus steek ik nog een keer van wal om de discussie een beetje op gang te helpen:

1) oneindigheid kan je niet benaderen. De waarde van x in de opsomming waar je naar refereert groeit zonder begrenzing. Oneindigheid (∞) is een begrip en niet een getal en je kunt het niet benaderen. Dit is dan ook het misverstand van diegenen die niet willen begrijpen dat daar de essentie van het vraagstuk ligt. Het is niet een "proces van opsomming" maar een volledigheid van elementen in een som!!!!.

Als ik 1+ 3+ 4+15= 23 als som aan iemand doorgeef is het niet een proces dat de ontvanger(lezer) moet uitvoeren om uiteindelijk tot 23 te komen maar het is een sluitende vergelijking.

Links en rechts van = zijn identiek.

Het is niet zo dat het antwoord pas 23 wordt als je klaar bent met het aflezen van de cijfers en ze dan op te tellen. De expressie is reeds een som. Voor een som met een onbegrensd aantal elementen is het principe niet anders. Je hoeft niets op te tellen omdat de som al volledig bepaald is. . .dus om te stellen dat je er nooit komt in het getal 0,9… is een onzinnigheid omdat je nergens heen gaat Het getal 0,9…is reeds volledig bepaald.

2) het is niet geldig om 1/x=0 te gebruiken omdat er geen getal bestaat die de vergelijking waar maakt. Je dient alleen duidelijk te maken dat x alsmaar groter wordt en dat de som van alle elementen in de opsomming van de betreffende functie y= f(1/x) voor y=0,9... een getal is.

Ik weet wat je bedoelde maar wat je zegt is onjuist en dat geeft aanleiding om er op te springen, en elke keer iemand iets zegt dat onjuist is blijven we springen:+

Zo, NU is er genoeg gezegd :-)

[ Voor 10% gewijzigd door Verwijderd op 21-12-2006 00:05 ]

[Mx. Alba]

Verwijderd schreef op woensdag 20 december 2006 @ 18:43:
En toch is 0.9... niet gelijk aan 1
Er zit namelijk een oneindig klein verschil tussen, en oneindig klein is volgens mij nog steeds niet gelijk aan 0, tenzij we dat aannemen.

Ik betwist dan ook niet dat we aannemen dat 0.9... = 1

En toch is 0,9... dus WEL gelijk aan 1.

Laat ik het nog eens proberen simpel uit te leggen.

Volgens jou is er een verschil tussen 0,9... en 1. Dat zou betekenen dat er dus een getal A > 0, is zodat 0,9... + A = 1.

Kan jij me vertellen welk getal dat is?

0,0...1, zou je kunnen zeggen.

Wat houdt 0,0...1 in?

Een oneindige rij nullen gevolgd door een 1.

Ik herhaal: een oneindige rij nullen gevolgd door een 1.

Hoe ver je ook gaat, er zijn altijd nog meer nullen. Zelfs als je elke seconde 10¹⁰⁰ nullen zou aflopen, dan zou je in het hele leven van het heelal nog niet die ene 1 tegenkomen. De rij nullen is immers ONEINDIG. Die 1 die daarachter staat, die bestaat dus niet!

En dus is 0,0...1 gelijk aan 0

En dus is de enig juiste conclusie dat 0,9... precies gelijk is aan 1.

Q

E

D

punt.

[enomiss]

Ons 'gevecht' is eigenlijk als volgt:

De een zet er telkens een 9 bij, de ander vult het gat steeds op met het restje dat overblijft. Zo blijven we oneindig bezig.

Nu zeggen jullie weer, je begrijpt oneindigheid niet. Ik zie het echter heel anders. Namelijk als volgt:

Wanneer je 3 appels hebt kun je niet zeggen:

"ik ga een oneindige hoeveelheid appels eten"

Je hebt immers maar 3 appels.

Wil je echter kunnen zeggen:

"ik ga een oneindige hoeveelheid appels eten"

Dan heb je ook een oneindige hoeveelheid appels nodig.

Wanneer je dan oneindig veel appels gaat eten van deze oneindige hoeveelheid, zul je ook altijd oneindig veel appels over houden.

Dit zien jullie naar mijn mening verkeerd. Oneindigheid heeft naar mijn mening ook een tegengesteld effect. Jullie zien het maar in slechts in één enkele richting.


Ik heb nog iets waar ik jullie mening graag over hoor. Namelijk het volgende:

Ik heb het idee dat er twee soorten oneindigheid zijn waar we over spreken. Maar ze zijn nog niet duidelijk naar voren gebracht.

De ene soort heeft een begin, de andere is oneindig in beide richtingen.

Wanneer je spreekt van oneindig met een begin, dan neem je ook aan dat 0 bestaat (het begin).

Je zou dan kunnen zeggen dat wanneer je bij 0 begint, je ook de waarde 3 kan hebben. Hier kun je dus rekenen in slechts één richting.

Spreek je echter van oneindigheid in twee richtingen, dan bestaat 0 niet en kun je dus nooit een waarde vinden en/of bepalen. Hier kun je dus niet mee rekenen in beide richtingen.

[Mx. Alba]

En toch bestaat er maar één soort oneindigheid. Iets kan niet oneindiger zijn dan oneindig!

Het probleem dat veel mensen kennelijk hebben met het interpreteren van de notatie 0,9... is dat ze het zien als de volgende reeks:

9x10^-1 + 9x10^-2 + 9x10^-3 + 9x10^-4 + ...

Als je dit opschrijft als een functie, bv:

       _a=x
y = SUM ( 9x10^-a )
       ^a=1

en als je die dan in een x,y assenstelsel uitzet, zie je een curve die begint bij (0 , 0,9), en met een limiet voor x -> oo gelijk aan 1.

Deze som nadert dus tot 1, voor x -> oo.

Maar 0,9... is geen som. Het is de notatie van een getal. En dat getal is PER DEFINITIE gelijk aan de LIMIET van de hierboven genoemde som. 0,9... is dus PER DEFINITIE gelijk aan 1, en in de praktijk is het ook te bewijzen dat dat zo is.

SLOTJE!

[ Voor 5% gewijzigd door Mx. Alba op 21-12-2006 10:43 ]

[enomiss]

Dat is een definitie ja.

Ik had jouw antwoord al verwacht. Je hebt trouwens alleen op mijn laatste deel van het topic gereageerd. Ontkracht mijn eerste deel eens.

--- = oneindigheid

Jij zegt:

--- 0.9 & 1.0 ---

Ik zeg:

--- 0.9 --- 1.0 ---

Wat zeg je nu?

[ Voor 26% gewijzigd door enomiss op 21-12-2006 10:59 ]

[Mx. Alba]

Wat zeg ik nu?

Dat ik er geen hol van snap wat je wilt zeggen

[enomiss]

Jij zegt dat er geen oneindigheid zit tussen 0.9 & 1.0.

[ Voor 11% gewijzigd door enomiss op 21-12-2006 11:04 ]

[Mx. Alba]

Er zit een oneindig aantal getallen tussen 0,9 en 1,0, maar er zit geen oneindigheid tussen. Er zit namelijk maar 0,1 tussen.

Tussen 0,9... en 1,0... zit echter niets. Want 0,9... = 1,0...

[kenneth]

enomiss schreef op donderdag 21 december 2006 @ 11:03:
Jij zegt dat er geen oneindigheid zit tussen 0.9 & 1.0.

Hij en miljoenen wiskundigen. Laat het lekker rusten joh

[ Voor 61% gewijzigd door kenneth op 21-12-2006 11:06 ]

[Confusion]

enomiss schreef op donderdag 21 december 2006 @ 11:03:
Jij zegt dat er geen oneindigheid zit tussen 0.9 & 1.0.

Dat is geen betekenisvolle zin. Wat is 'een oneindigheid'? Definieer eens wat je daar mee bedoeld.

[enomiss]

Mx. Alba schreef op donderdag 21 december 2006 @ 11:05:
Tussen 0,9... en 1,0... zit echter niets. Want 0,9... = 1,0...

Nu redeneer je verkeerd om.

Ga nu eens in op mijn appel voorbeeld en ontkracht het eens.

Confusion schreef op donderdag 21 december 2006 @ 11:09:
[...]

Dat is geen betekenisvolle zin. Wat is 'een oneindigheid'? Definieer eens wat je daar mee bedoeld.

Een oneindig aantal negens. Het brengt je werkelijk nergens. Alleen bij benadering.

[ Voor 35% gewijzigd door enomiss op 21-12-2006 11:12 ]

[Verwijderd]

Mx. Alba schreef op donderdag 21 december 2006 @ 10:39:
En toch bestaat er maar één soort oneindigheid. Iets kan niet oneindiger zijn dan oneindig!

Het probleem dat veel mensen kennelijk hebben met het interpreteren van de notatie 0,9... is dat ze het zien als de volgende reeks:

9x10^-1 + 9x10^-2 + 9x10^-3 + 9x10^-4 + ...

Als je dit opschrijft als een functie, bv:

       _a=x
y = SUM ( 9x10^-a )
       ^a=1

en als je die dan in een x,y assenstelsel uitzet, zie je een curve die begint bij (0 , 0,9), en met een limiet voor x -> oo gelijk aan 1.

Deze som nadert dus tot 1, voor x -> oo.

Maar 0,9... is geen som. Het is de notatie van een getal. En dat getal is PER DEFINITIE gelijk aan de LIMIET van de hierboven genoemde som. 0,9... is dus PER DEFINITIE gelijk aan 1, en in de praktijk is het ook te bewijzen dat dat zo is.

SLOTJE!

Ik ben het met je eens hoor, dat roep ik ook al een tijdje in dit topic.

Maar 0,999... is toch juist hetzelfde als (9/10) + (9/100) + (9/1000) + ...
En er bestaan meerdere soorten 'oneindig'; sommige oneindigheden zijn groter dan anderen (Diagonaalbewijs van Cantor).

[enomiss]

Om zelf maar terug te komen op mijn appel voorbeeld..

Hoe leg je oneindigheid uit als je niet aanneemt dat oneindigheid plaats vind in een welke-naam-je-dit-ook-geeft (oneindig universum?) waarin oneindigheid kan plaatsvinden? Dat beteken dat oneindigheid altijd een deel is van welke-naam-je-dit-ook-geeft.

Dus heb je:

welke-naam-je-dit-ook-geeft (eigenlijk ook gewoon oneindigheid) - oneindigheid = oneindigheid

Dit betekend dat je niet kunt zeggen dat het niet onmogelijk is iets achter oneindigheid toe te voegen. Dat kan namelijk wel, namelijk oneindigheid zelf of slechts een kleine waarde.

[ Voor 5% gewijzigd door enomiss op 21-12-2006 11:27 ]

[Mx. Alba]

Nee, oneindig is oneindig.

Het is echter wel zo dat bepaalde limieten sneller naar oneindig lopen dan andere limieten. 1/x² loopt sneller naar oneindig voor x -> 0 dan 1/x. Maar die oneindig is in beide gevallen wel het zelfde.

Nog eens wat proberen dan

Neem een willekeurig getal A < 1. Er zal altijd een getal B te vinden zijn waarvoor geldt A < B < 1.

Neem nu A = 0,9...

Het is onmogelijk om een getal B te vinden zodat 0,9... < B < 1.

De enige conclusie die je hieruit kan trekken is dat 0,9... = 1.

Er zijn een oneindig aantal bewijzen dat 0,9... = 1, en geen enkel (steekhoudend) bewijs dat 0,9... < 1. Waar gaat de discussie dan nog over???

Wat je vooral niet moet vergeten is dat oneindigheid ook daadwerkelijk ONEINDIG is. Er komt geen einde aan. Niet hier, niet over 3km, zelfs niet als je 10¹⁰⁰⁰⁰ keer het heelal zou rondgaan zou je nog niet aan het einde zijn - sterker nog, er zal nog steeds een oneindigheid voor je liggen omdat dat wat achter je ligt eindig is.

[ Voor 20% gewijzigd door Mx. Alba op 21-12-2006 11:28 ]

[enomiss]

Over het feit dat jij een getal zoekt om het gat op te vullen. Dat getal bestaat inderdaad niet. Maar daar toon je nog niet mee aan dat het gelijk is.

Er zit gewoon een oneindig niet te benaderen getal tussen. Dit getal vind je dus ook niet. Misschien is het gewoon niet op te lossen met jouw wiskunde? Waarom probeer je dan iets te beweren waarvan je zelf weet dat het niet gelijk kan zijn in de werkelijkheid.

Je bent nog altijd een mens. Een computer zo als hij nu is, kan dat getal wat jij zoekt nooit vinden, nee. Maar jij als mens kan zich dat blijvend gat wel voorstellen. Ook al is nu er geen wiskunde voor die dat kan bewijzen.

[ Voor 69% gewijzigd door enomiss op 21-12-2006 11:33 ]

[Sendy]

Mx. Alba schreef op donderdag 21 december 2006 @ 10:39:
En toch bestaat er maar één soort oneindigheid. Iets kan niet oneindiger zijn dan oneindig!

Bzzt. Er bestaat nog zoiets als aftelbaar oneindig ("net zo groot als N") en overaftelbaar oneindig ("net zo groot als R"). Je kan beargumenteren dat overaftelbaar oneindig groter is dan aftelbaar oneindig.

[ Voor 10% gewijzigd door Sendy op 21-12-2006 11:35 ]

[JackBol]

enomiss schreef op donderdag 21 december 2006 @ 11:29:
Over het feit dat jij een getal zoekt om het gat op te vullen. Dat getal bestaat inderdaad niet. Maar daar toon je nog niet mee aan dat het gelijk is.

toch wel. Een manier om aan te tonen dat twee getallen niet gelijk zijn, is door een getal te geven dat tussen deze twee getallen zit. Als je dat getal niet kan aangeven, blijkt dus dat de getallen WEL gelijk zijn. Daarom 0.9 = 1.

De afgelopen 40 posts gaan alleen nog maar over je koppigheid dat je wiskundig bewijs niet wil accepteren. Dat is jou keuze, maar dan moet je niet zeggen dat het anders is.

[Verwijderd]

enomiss schreef op donderdag 21 december 2006 @ 11:29:
Over het feit dat jij een getal zoekt om het gat op te vullen. Dat getal bestaat inderdaad niet. Maar daar toon je nog niet mee aan dat het gelijk is.

Het is inderdaad een eenvoudig bewijs.

Er zit gewoon een oneindig niet te benaderen getal tussen. Dit getal vind je dus ook niet. Misschien is het gewoon niet op te lossen met jouw wiskunde? Waarom probeer je dan iets te beweren waarvan je zelf weet dat het niet gelijk kan zijn in de werkelijkheid.

Er is geen verschil tussen wat jij de 'werkelijke waarde' noemt en de limiet van de reeks.
Als je je eigen wiskunde regels wilt verzinnen zodat 0,999... en 1 twee verschillende getallen zijn, dan kan dat.
Je komt dan al vrij snel in de problemen als je het systeem consistent wilt houden

Je bent nog altijd een mens. Een computer zo als hij nu is, kan dat getal wat jij zoekt nooit vinden, nee. Maar jij als mens kan zich dat blijvend gat wel voorstellen. Ook al is nu er geen wiskunde voor die dat kan bewijzen.

De mens is het probleem juist.
De computer volgt gewoon netjes alle regeltjes die wiskunde maakt tot wat het is, maar zodra mensen er zich mee bezig houden speelt de intuïtie op.
Zo op het eerste gezicht lijken het twee verschillende getallen, maar zodra je je intuïtie aan de kant gooit en er mee gaat rekenen, kom je tot de conclusie dat het twee verschillende manieren van schrijven zijn, van hetzelfde getal.

Als dit topic je niet weet te overtuigen, kun je ook de vele andere bewijzen lezen.

[Mx. Alba]

enomiss schreef op donderdag 21 december 2006 @ 11:29:
Over het feit dat jij een getal zoekt om het gat op te vullen. Dat getal bestaat inderdaad niet. Maar daar toon je nog niet mee aan dat het gelijk is.

Neem een willekeurig getal A < 1.

Je zult ALTIJD een getal B kunnen vinden waarvoor geldt dat A < B < 1.

Als je GEEN getal B kunt vinden waarvoor geldt dat A < B < 1, dan kan dat alleen maar betekenen dat A = 1.

En aangezien er geen getal B te vinden is waarvoor 0,9... < B < 1, kan dat dus alleen maar betekenen dat 0,9... = 1.

Goed, dan zou je nog kunnen beredeneren dat 0,9... vlak naast 1 ligt. Maar dan kom je weer in die zelfde wiskundige definitie dat als het er vlak naast ligt, dat er dan een ander getal te vinden MOET zijn dat tussen 0,9... en 1 ligt!

Dus ofwel je gooit de hele huidige wiskunde overboord, ofwel je neemt gewoon aan dat 0,9... gelijk is aan 1, wat overigens ook uit alle berekeningen en bewijzen blijkt.

Occams Scheermes. Waarom moeilijk doen als het ook makkelijk kan?

Er zit gewoon een oneindig niet te benaderen getal tussen. Dit getal vind je dus ook niet.

Kijk, dit snap ik dus niet.

Wiskundigen zeggen: 0,9... = 1.

Jij zegt: nee, 0,9... < 1.

Wiskundigen zeggen: maar als 0,9... < 1, dan moet er een getal B zijn waarvoor geldt 0,9... < B < 1, en dat getal bestaat niet.

En jij zegt dan: Jawel, dat getal bestaat wel, maar dat is onvindbaar.

Zo kan je alles wel bewijzen!

Ik zal het nog eens een keertje proberen uit te leggen op een andere manier.

Als 0,9... kleiner zou zijn dan 1, dan zou dat betekenen dat er een afstand is tussen 0,9... en 1.

Hoe groot is die afstand?

0,0...1, zou jij zeggen.

Wat houdt die notatie in? Een oneindige rij nullen gevolgd door een 1.

Die notatie is dus totaal onzinnig, want de rij nullen is oneindig. Er is dus niets na. Die 1 komt dus nooit. De notatie 0,0...1 is dus het zelfde als 0,0... De afstand tussen 0,9... en 1 is dus 0, en dus 0,9... = 1.

[Verwijderd]

Als 0,9... kleiner zou zijn dan 1, dan zou dat betekenen dat er een afstand is tussen 0,9... en 1.

Hoe groot is die afstand?

0,0...1, zou jij zeggen.

Nee, die afstand is oneindig klein.
Net zoals er oneindig veel negens achter de komma komen.

[Confusion]

enomiss schreef op donderdag 21 december 2006 @ 11:09:
Een oneindig aantal negens. Het brengt je werkelijk nergens. Alleen bij benadering.

Tussen '0 met een oneindig aantal negens' en '1' zit niet '0 met een oneindig aantal negens en dan nog eens een oneindig aantal negens' of '0 met een oneindig aantal negens en dan nog oneindig keer een oneindig aantal negens'. Als je dat denkt, dan deugt je voorstelling van 'oneindig' niet. De eerste, derde en vierde term tussen aanhalingstekens zijn precies gelijk, als de je reguliere wiskundige betekenis van 'oneindig' aanhoudt.

[enomiss]

Confusion schreef op donderdag 21 december 2006 @ 13:12:
[...]

Tussen '0 met een oneindig aantal negens' en '1' zit niet '0 met een oneindig aantal negens en dan nog eens een oneindig aantal negens' of '0 met een oneindig aantal negens en dan nog oneindig keer een oneindig aantal negens'. Als je dat denkt, dan deugt je voorstelling van 'oneindig' niet. De eerste, derde en vierde term tussen aanhalingstekens zijn precies gelijk, als de je reguliere wiskundige betekenis van 'oneindig' aanhoudt.

Dat zeg ik ook helemaal niet.

[Mx. Alba]

Verwijderd schreef op donderdag 21 december 2006 @ 13:08:
Nee, die afstand is oneindig klein.
Net zoals er oneindig veel negens achter de komma komen.

Als de afstand oneindig klein is, houdt dat in dat 0,9... en 1 tegenelkaar aan liggen. Er zit immers niets tussen, toch?

Nu stel ik je een volgende vraag: hoe dik is een getal?

Het enig juiste antwoord is: 0. Een getal heeft geen dikte op de getallenrij.

Als je twee dingen met een dikte van 0 tegenelkaar legt, liggen ze precies op dezelfde plek.

Als je dus 0,9... direct tegen 1 aan legt, liggen ze precies op dezelfde plek, en zijn ze precies aanelkaar gelijk.

"Ja maar er is wel een tussen-afstand, die oneindig klein is", zeg je nu.

Nou, als er een afstand is tussen 0,9... en 1, dan moet daartussen ook een ander getal passen. Zelfs een oneindig aantal getallen, omdat een getal een dikte van 0 heeft. Noem mij eens zo'n getal tussen 0,9... en 1 dan?

[Verwijderd]

Als de afstand oneindig klein is, houdt dat in dat 0,9... en 1 tegenelkaar aan liggen. Er zit immers niets tussen, toch?

Dat nemen we aan ja, dat er niets tussen zit. Maar dat getal is dus oneindig klein en dus ook niet te definieren.
die 'reepjes' van die limieten zijn ook oneindig klein, maar geen 0.
Oneindig veel stukjes x 0 = 0
Oneindig veel stukjes x oneindig kleine stukjes = ... uhm...

De aanname 0.9...= 1 is juist. maar daar was ik het al een tijdje mee eens trouwens.

[Mx. Alba]

Wat is het probleem dan?

Je zou inderdaad 0,9... kunnen zien als het allergrootst mogelijke getal in R dat kleiner dan 1 is.

Maar in de huidige wiskundige wereld is dat gelijk aan zeggen dat het gelijk is aan 1...

[Verwijderd]

Mx. Alba schreef op donderdag 21 december 2006 @ 14:27:
Wat is het probleem dan?

Je zou inderdaad 0,9... kunnen zien als het allergrootst mogelijke getal in R dat kleiner dan 1 is.

Maar in de huidige wiskundige wereld is dat gelijk aan zeggen dat het gelijk is aan 1...

Tja, niets eigenlijk

[JeromeB]

Mx. Alba schreef op donderdag 21 december 2006 @ 14:27:
Wat is het probleem dan?

Je zou inderdaad 0,9... kunnen zien als het allergrootst mogelijke getal in R dat kleiner dan 1 is.

Maar in de huidige wiskundige wereld is dat gelijk aan zeggen dat het gelijk is aan 1...

Dat snap ik niet. Volgensmij spreek je jezelf nu tegen. 0.9 = 1 dus 0.9<1 klopt niet.

Verwijderd schreef op donderdag 21 december 2006 @ 13:08:
[...]

Nee, die afstand is oneindig klein.
Net zoals er oneindig veel negens achter de komma komen.

Ik weet niet wat jij bedoelt met oneindig klein, maar die afstand is gewoon 0.

enomiss schreef op donderdag 21 december 2006 @ 11:29:
Over het feit dat jij een getal zoekt om het gat op te vullen. Dat getal bestaat inderdaad niet. Maar daar toon je nog niet mee aan dat het gelijk is.

Er zit gewoon een oneindig niet te benaderen getal tussen. Dit getal vind je dus ook niet. Misschien is het gewoon niet op te lossen met jouw wiskunde? Waarom probeer je dan iets te beweren waarvan je zelf weet dat het niet gelijk kan zijn in de werkelijkheid.

Je bent nog altijd een mens. Een computer zo als hij nu is, kan dat getal wat jij zoekt nooit vinden, nee. Maar jij als mens kan zich dat blijvend gat wel voorstellen. Ook al is nu er geen wiskunde voor die dat kan bewijzen.

Dat is wel een bewijs, maar misschien wil je dit bericht ook nog eens doorlezen: http://gathering.tweakers...message/27136764#27136764. Er zit geen getal tussen dat jij een "oneinidig niet te benaderen getal" noemt. Hoe je er ook bij komt is mij een raadsel?

[Dido]

Melkor82, enomiss:

Wat is er fout aan de volgende redenatie:

Gegeven x=0,9...

Dan volgt daaruit dat 10x=9,9...

Triviaal geldt dan dat 10x - 9 = x

Daaruit volgt dat 10x - x = 9
Dus 9x = 9
Dus x=1

Wat doe ik hier, in jullie ogen fout?

[Verwijderd]

Ik heb er net nog even over nagedacht tijdens de dagelijkse 5minuten...

1/3 = 0,333....
3 x 1/3 = 1
3 x 0,333... = 0,999...
dus dat lijkt er inderdaad wel op dat... toch?

[Mx. Alba]

Dido schreef op donderdag 21 december 2006 @ 15:24:
Melkor82, enomiss:

Wat is er fout aan de volgende redenatie:

Gegeven x=0,9...

Dan volgt daaruit dat 10x=9,9...

Triviaal geldt dan dat 10x - 9 = x

Daaruit volgt dat 10x - x = 9
Dus 9x = 9
Dus x=1

Wat doe ik hier, in jullie ogen fout?

Niets, want 0,9... = 1

Verwijderd schreef op donderdag 21 december 2006 @ 15:34:
Ik heb er net nog even over nagedacht tijdens de dagelijkse 5minuten...

1/3 = 0,333....
3 x 1/3 = 1
3 x 0,333... = 0,999...
dus dat lijkt er inderdaad wel op dat... toch?

Dat truukje kan je ook met andere cijfers uithalen.

1/7 = 0,142857......
7 x 1/7 = 1
7 x 0,142857...... = 0,999...

1/9 = 0,111...
9 x 1/9 = 1
9 x 0,111... = 0,999...

etc.

[ Voor 3% gewijzigd door Mx. Alba op 21-12-2006 15:42 ]

[Dido]

Mx. Alba schreef op donderdag 21 december 2006 @ 15:40:
Niets, want 0,9... = 1

Daarom vroeg ik het specifiek aan degenen die vonden dat 0,9...=/=1

Als je ervan overtuigd bent dat ze niet gelijk zijn, dan moet er dus een fout in dat ongeloofelijk simpele bewijsje zitten. Ik ben benieuwd wat er gevonden wordt

[Mx. Alba]

[advocaat-van-de-duivel-modus]

Je zegt dat 10x - 9 = x maar dat geldt alleen als x = 1, en kan dus niet gebruikt worden om te bewijzen dat 0,9... = 1

[Dido]

Mx. Alba schreef op donderdag 21 december 2006 @ 15:52:
[advocaat-van-de-duivel-modus]

Je zegt dat 10x - 9 = x maar dat geldt alleen als x = 1, en kan dus niet gebruikt worden om te bewijzen dat 0,9... = 1

Daar was ik ook al ingetrapt, maar lees nog eens wat ervoor staat?

x=0,9... dus 10x=9,9... (of niet )

Hoeveel is 9,9... - 9 ? 0,9... of iets anders

[Mx. Alba]

Laten we nog eens duivelsadvocaatje spelen...

10 x 0,9999999 = 9,9999990

10 x 0,99... = 9,9...0

dus één 9 minder dan oneindig

Maarja, dat blijft allemaal compleet onhoudbaar. Occams scheermes eroverheen!

[JeromeB]

Dido, je maakt volgensmij toch écht een fout:

10x - 9 = x geldt alleen voor x = 1

Het lijkt mij beter om te zeggen:

10x-9x = x

daaruit volgt:

10x-x = 9x

als we dan 0.9 invullen krijg je inderdaad het volgende bewijs:
x = 0.9
10x = 9.9
9x = 10x-x = 9.9-0.9 = 9
x = 9/9 = 1

[Dido]

Mx. Alba schreef op donderdag 21 december 2006 @ 16:09:
Laten we nog eens duivelsadvocaatje spelen...

10 x 0,9999999 = 9,9999990

Klopt, maar ik stelde x=0,9... en niet x= 0,9999999

JeromeB schreef op donderdag 21 december 2006 @ 16:15:
Dido, je maakt volgensmij toch écht een fout:

10x - 9 = x geldt alleen voor x = 1

Inderdaad, dat klopt. En dat is net het hele bewijs dat 0,9...=1

(1) Ik stel x=0,9...
(2) Dus 10x=9,9...
(3) 9,9... - 9 = 0,9...
(4) Gewoon (1) en (2) invullen in (3) geeft 10x - 9 = x

Welke stap is er fout?

10x-9x = x

daaruit volgt:

10x-x = 9x

als we dan 0.9 invullen krijg je inderdaad het volgende bewijs:
x = 0.9
10x = 9.9
9x = 10x-x = 9.9-0.9 = 9
x = 9/9 = 1

Dat is een beetje onzinnig

9x=10x-x geldt namelijk voor iedere x:

9x = 10x - x => 10x - x - 9x = 0 => 10x-10x = 0 => 0=0

Als jij door invullen dat x=0,9... krijgt dat 9x=9 doe je exact hetzelfde als wat ik doe

[ Voor 28% gewijzigd door Dido op 21-12-2006 16:33 ]

[JeromeB]

Geen enkele stap is fout.

In je vorige bericht zei je echter dat de stap 10x-9=x triviaal was. Die stap is juist niet triviaal.

[Dido]

JeromeB schreef op donderdag 21 december 2006 @ 16:30:
Geen enkele stap is fout.

In je vorige bericht zei je echter dat de stap 10x-9=x triviaal was. Die stap is juist niet triviaal.

Ik doelde dat de gevolgtrekking triviaal was omdat het doodeenvoudig invullen betreft. Als dat geen triviale wiskunde is weet ik het ook niet meer.
We stellen dat x=0,9... , berekenen dat 10x = 9,9... dan is het triviaal dat het sommetje 9,9... - 9 = 0,9... te schrijven is als 10x - 9 = x

[RedHat]

0,9... != 1

want 1/3 bestaat wiskundig niet. 1/3 van 1 kan niet. Wiskundig bestaat er geen getal dat 1/3e van 1 is. Daarom bestaan breuken omdat oneindige meuk te omzeilen.

1/3 = ongeveer 0,33...

maar 1/3 e is fictief, omdat het wiskundig niet kan.

In alle berekeningen krijg je, 1/3 = 0,33.. 2/3 = 0,66.. 3/3 =1. Dit kan al niet omdat 1/3 en 2/3 niet bestaat.

dus in mijn ogen gebruikt men breuken omdat iets "wiskundig" niet bestaat. Dus nee, 0,99..!=1, maar is ongeveer 1 = ~= 1

Breuken is een hele vieze workaround. De breuken is de IE onder de browsers

Move on

[ Voor 6% gewijzigd door RedHat op 21-12-2006 16:44 ]

[JeromeB]

Dido schreef op donderdag 21 december 2006 @ 16:35:
[...]

Ik doelde dat de gevolgtrekking triviaal was omdat het doodeenvoudig invullen betreft. Als dat geen triviale wiskunde is weet ik het ook niet meer.
We stellen dat x=0,9... , berekenen dat 10x = 9,9... dan is het triviaal dat het sommetje 9,9... - 9 = 0,9... te schrijven is als 10x - 9 = x

Dan kun je net zo goed direct zeggen 1=0.9, het invulwerk is verder natuurlijk triviaal. Juist de stap die jij doet is niet zo triviaal als hij doet lijken.

[Mx. Alba]

Als je zegt dat het invullen is, dan is het idd wel triviaal

Ik zou het eerder zo schrijven dan:

x = 0,9...
10x = 9,9...
9,9... - 0,9... = 9
10x - x = 9
9x = 9
x = 1

[kenneth]

RedHat schreef op donderdag 21 december 2006 @ 16:39:
0,9... != 1

want 1/3 bestaat wiskundig niet. 1/3 van 1 kan niet. Wiskundig bestaat er geen getal dat 1/3e van 1 is.

Pardon? In |N misschien, maar in |R bestaat dat toch gewoon

[Dido]

RedHat schreef op donderdag 21 december 2006 @ 16:39:
0,9... != 1

want 1/3 bestaat wiskundig niet. 1/3 van 1 kan niet. Wiskundig bestaat er geen getal dat 1/3e van 1 is. Daarom bestaan breuken omdat oneindige meuk te omzeilen.

Goeiemiddag!

Misschien eens googlen op 12-tallig stelsel? Dan is 10/3 gelijk aan 4. Niet bijna, maar exact. Zonder afronding.

Als ik (bijvoorbeeld!) 12cm gelijk stel aan 1 (een eenheid dus) dan is 1/3 exact 4 cm.

1/3 van 1 uur is exact 20 minuten - of "bestaat" dat wiskunig niet?

1/3 van 1 kan dus prima, en bestaat wiskundig uitstekend. Dat sommige mensen zo gebrainwashed zijn dat ze denken dat de wereld tientallig is doet daar helemaal niets aan af

JeromeB schreef op donderdag 21 december 2006 @ 16:40:
Dan kun je net zo goed direct zeggen 1=0.9, het invulwerk is verder natuurlijk triviaal. Juist de stap die jij doet is niet zo triviaal als hij doet lijken.

In feite is inderdaad het hele bewijs triviaal.

Natuurlijk is die stap essentieel in de bewijsvoering, maar dat is iedere stap die ik opschreef. De clou is inderdaad dat 10x-9=x alleen opgaat voor x=1, maar dat de vergelijking logisch volgt uit x=0,9...

Ik ben dus nog steeds benieuwd naar een reactie van iemand die niet aanneemt dat 0,9...=1, want zo iemand zou dan toch in staat moeten zijn een inhoudelijk gat in mijn redenatie te schieten (in plaats van het aanvallen van een wellicht wat voorbarig geplaatste term als triviaal )

Mx. Alba schreef op donderdag 21 december 2006 @ 16:41:
Als je zegt dat het invullen is, dan is het idd wel triviaal

Zoals gezegd: het hele bewijs is triviaal, je kunt er kennelijk een heel topic mee vullen, maar dat doet niets af aan het feit dat 0,9...=1 simpelweg niet ter discussie staat, tenzij door inbreng van volslagen makke pseudo-logica als "1/3 bestaat niet", "er bestaat een getal tussen 0,9... en 1 maar dat kun je 'niet zien'" of "ja, maar, varkens vliegen ook!"

Ik zou het eerder zo schrijven dan:

x = 0,9...
10x = 9,9...
9,9... - 0,9... = 9
10x - x = 9
9x = 9
x = 1

Da's lood om oud ijzer, en ik zie voordeel in de ene noch de ander eschrijwijze. Immers:

10x - x = 9 <=> 10x - 9 = x

[ Voor 21% gewijzigd door Dido op 21-12-2006 16:51 ]

[RedHat]

kenneth schreef op donderdag 21 december 2006 @ 16:45:
[...]
Pardon? In |N misschien, maar in |R bestaat dat toch gewoon

Zie het als een taart. Je kunt een taart nooit in 3 gelijke stukken snijden. D'r is altijd 1 stuk die iets groter is.

Decimaal kun jij nooit 1/3 opschrijven, omdat het oneindig doorgaat. Waarom gaat het oneindig door? Omdat er wiskundig geen "getal" of whatever tussenzit om hem te "equallen".

1/3e is niet opschrijfbaar. 1/3e van 1 bestaat dan ook niet. Omdat het niet door 3 deelbaar is.

^^^^ 1/3e van 60 kan wel. 60 minuten. 1/3 van 1 kan niet, want het is niet deelbaar.

Zo lust ik er ook nog wel een hoop.

en dat van dat 4/12e verhaal klopt. Maar één is dan toch weer net iets anders.

[ Voor 14% gewijzigd door RedHat op 21-12-2006 16:51 ]

[Janoz]

RedHat schreef op donderdag 21 december 2006 @ 16:48:
[...]

Zie het als een taart. Je kunt een taart nooit in 3 gelijke stukken snijden. D'r is altijd 1 stuk die iets groter is.

Decimaal kun jij nooit 1/3 opschrijven, omdat het oneindig doorgaat. Waarom gaat het oneindig door? Omdat er wiskundig geen "getal" of whatever tussenzit om hem te "equallen".

1/3e is niet opschrijfbaar. 1/3e van 1 bestaat dan ook niet. Omdat het niet door 3 deelbaar is.

^^^^ 1/3e van 60 kan wel. 60 minuten. 1/3 van 1 kan niet, want het is niet deelbaar.

Zo lust ik er ook nog wel een hoop.

Goed, ik neem een taart. Hier bind ik een lint omheen. Dit lint blijkt exact 24 centimeter lang te zijn. Vervolgens snij ik de taart in 3 exact gelijke stukken. Nu wil jij beweren dat het lint nu niet is verdeeld in 3 stukken van 8 cm en dat 1 ervan dus ietsje langer is??

1/3 van 60 minuten is 20 minuten, maar 1/3 van een uur is onmogelijk???

Pi is ook niet 'opschrijfbaar', bestaat dat ook niet?

[ Voor 6% gewijzigd door Janoz op 21-12-2006 16:53 ]

[RedHat]

Janoz schreef op donderdag 21 december 2006 @ 16:52:
[...]

Goed, ik neem een taart. Hier bind ik een lint omheen. Dit lint blijkt exact 24 centimeter lang te zijn. Vervolgens snij ik de taart in 3 exact gelijke stukken. Nu wil jij beweren dat het lint nu niet is verdeeld in 3 stukken van 8 cm en dat 1 ervan dus ietsje langer is??

Dan ga je dus "verlengen". 24/3 = 8. 16/2 = 8 8/1 =8

Maar er bestaat geen wiskundig getal dat 1/3e van 1 aangeeft. Daarom valt er ook niet mee te rekenen.
Stel: Breuken zouden niet bestaan. En ik wil van jouw exact weten hoeveel 1/3 van 1 is, 2/3e van 1, en 3/3e van 1 is.

Je zult zien dat de factor verschillend is bij 1. Waarom? Omdat er geen wiskundig getal is om 1 door 3én te delen.

[Dido]

RedHat schreef op donderdag 21 december 2006 @ 16:48:
Decimaal kun jij nooit 1/3 opschrijven,

En dus bestaat het niet
Maarre, binair kan ik 1/10 niet opschrijven. Dus dat bestaat dan ook niet meer?

dodecimaal, trinair en sexagesimaal schrijf je 1/3 van 1 gewoon zonder repetentie (resp als 0,4; 0,1 en 0,[20]). Dat het toevallig decimaal niet kan zegt helemaal niets (behalve dat jij kennelijk in een wereld zit waar alles decimaal is... dat zegt weinig over de werkelijkheid).

Zo lust ik er ook nog wel een hoop.

Ik ook, het wordt steeds grappiger

[RedHat]

Ik had deze discussie al een beetje aan zien komen.

Het feit dat een getal "oneindig" doorloopt moet toch al wat zeggen. Als het oneindig doorloopt krijg je hem dus "nooit" kloppend. Anders had hij niet oneindig doorgelopen. Op het moment dat een cijfer oneindig doorloopt klopt er al iets niet. Wat klopt er niet? Nou, het klopt niet dat je een getal probeert te delen wat niet door dat getal deelbaar is. 3+3+3 = 9. En niet 10. En het zal noit 10 worden. Daarom loopt die reeks oneindig door, want het word geen 10 en dus een kloppend getal.

Over die taart: Het feit dat de omtrek deelbaar door 3 is wil nog niet zeggen dat de oppervlakte van de taart door 3 deelbaar is

[ Voor 11% gewijzigd door RedHat op 21-12-2006 17:02 ]

[Verwijderd]

kenneth schreef op donderdag 21 december 2006 @ 16:45:
[...]
Pardon? In |N misschien, maar in |R bestaat dat toch gewoon

Nou, er zijn wiskundige die daar naar juist wel aan twijfelen.

Maar, redhat... ehhh... weet jij uberhaupt wat wiskunde is...

[enomiss]

Hehe, ik begin eindelijk aanhang te krijgen van de anti 0,9 = 1 mensen!

[RedHat]

Verwijderd schreef op donderdag 21 december 2006 @ 17:02:
[...]


Nou, er zijn wiskundige die daar naar juist wel aan twijfelen.

Maar, redhat... ehhh... weet jij uberhaupt wat wiskunde is...

mja toch wel. Misschien is m'n banedering + uitleg misschien niet goed.
Ik was eerst van mening dat 0,99... = 1. Maar na heel veel googlen heb ik er m'n eigen mening over nagehouden. En dat heeft puur met breuken te maken. Ik geloof dus dat 1/3e van 1 niet bestaat. En om die reden geloof ik ook niet dat 0.99... =1.

[ Voor 4% gewijzigd door RedHat op 21-12-2006 17:06 ]

[Mx. Alba]

RedHat schreef op donderdag 21 december 2006 @ 16:48:
Zie het als een taart. Je kunt een taart nooit in 3 gelijke stukken snijden. D'r is altijd 1 stuk die iets groter is.

Toen ik dat las dacht ik eerst dat het als grap bedoeld was.

Maar toen zag ik dat het serieus was...

Weet je, er bestaat niet alleen het tientallig stelsel, maar bijvoorbeeld ook het twaalftallig stelsel. Daarin tel je 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, X, H, 10, 11, ... 19, 1X, 1H, 20, 21, etc

In het twaalftallige stelsel is éénderde exact 0,4. Inderdaad, ik lieg niet, 3 x 0,4 = 1.

Of neem een drietallig stelsel, daarmee heb je vast op de basisschool wel eens mee geëxperimenteerd, waar je 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 30, .... telt.

In het drietallige stelsel is éénderde exact 0,1, want, logischerwijs, 10 x 0,1 = 1 (let wel, 10 is de notatie voor 3 in het drietallige stelsel...)

Of wat dacht je van het zestallige stelsel? 1, 2, 3, 4, 5, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 20, ...

éénderde is daarin precies gelijk aan 0,2

Het feit of je in een bepaalde notatie een getal wel of niet kunt opschrijven doet totaal niet terzake. Dat is net zoiets als zeggen dat sneeuw niet bestaat omdat er in Swahili geen woord voor is.

[ Voor 23% gewijzigd door Mx. Alba op 21-12-2006 17:17 ]

[Dido]

RedHat schreef op donderdag 21 december 2006 @ 16:59:
Ik had deze discussie al een beetje aan zien komen.

Het feit dat een getal "oneindig" doorloopt moet toch al wat zeggen.

Nog 1 keertje dan: waarom hang je aan het decimale stelsel als een ouderling aan zijn bijbel?
De wereld is niet decimaal, en wiskunde al helemaal niet (noodzakelijkerwijs).

enomiss schreef op donderdag 21 december 2006 @ 17:05:
Hehe, ik begin eindelijk aanhang te krijgen van de anti 0,9 = 1 mensen!

Maar of je daar blij mee moet zijn

Heb je toevallig een antwoord op m'n vraag? Mag toch niet moeilijk zijn de fout in mijn bewijs aan te tonen? (Die moet erin zitten als 0,9... != 1)

[RedHat]

Ik snap ook niet waarom ik als gek oid bestempeld word. We hebben het hier over een situatie. Ik noem iedereen die zegt 0,99...=1 toch ook geen idioten oid?

Er zijn 2 meningen over. Dat wil nog niet zeggen dat de een gekker is als de andere.

Ik geef puur mijn mening, zoals jullie ook doen. Want dit kan nooit 100% opgelost worden denk ik.

[ Voor 17% gewijzigd door RedHat op 21-12-2006 17:23 ]

[Mx. Alba]

RedHat schreef op donderdag 21 december 2006 @ 17:19:
Ik snap ook niet waarom ik als gek oid bestempeld word. We hebben het hier over een situatie. Ik noem iedereen die zegt 0,99...=1 toch ook geen idioten oid?

Er zijn 2 meningen over. Dat wil nog niet zeggen dat de een gekker is als de andere.

Goed, er zijn twee meningen over.

Die ene mening wordt gestoeld door ellenlang wiskundig bewijs.

De andere mening daar is geen enkel wiskundig bewijs voor te vinden.

Welke mening is waar, denk je?

[ Voor 3% gewijzigd door Mx. Alba op 21-12-2006 17:22 ]

[kenneth]

Nee je bent niet gek. Hoewel ik ook zit te gniffelen, zeggen dat 1/3 van 1 niet bestaat omdat het in één van alle talstelsels niet is te noteren, vind ik raar.

Ga daar eens op in. Waarom bestaat 1/3 van 1 niet? En dan een bewijs dat in alle talstelsels overhoudt.
Of: bestaat 1/2 van 1 wel?

[RedHat]

Mx. Alba schreef op donderdag 21 december 2006 @ 17:22:
[...]


Goed, er zijn twee meningen over.

Die ene mening wordt gestoeld door ellenlang wiskundig bewijs.

De andere mening daar is geen enkel wiskundig bewijs voor te vinden.

Welke mening is waar, denk je?

De jouwe ongetwijfeld.
Dit topic is dan ook totaal nutteloos want jij hebt bij voorbaat gelijk omdat het goed onderbouwt kan worden. Snap de discussie dan ook niet.

Ik vind het gewoon gek dat 1/3e van 1 wel bestaat. Als het echt had "bestaan" waarom lopen de getallen achter de komma oneindig door. Voor mij een teken dat het bijna bestaat maar net niet helemaal

[ Voor 32% gewijzigd door RedHat op 21-12-2006 17:26 ]

[Mx. Alba]

kenneth schreef op donderdag 21 december 2006 @ 17:23:
Of: bestaat 1/2 van 1 wel?

Nee, want in het vijftallig stelsel kan je dat niet opschrijven, dat is dan namelijk 0,222...

[kenneth]

RedHat schreef op donderdag 21 december 2006 @ 17:23:
Ik vind het gewoon gek dat 1/3e van 1 wel bestaat. Als het echt had "bestaan" waarom lopen de getallen achter de komma oneindig door. Voor mij een teken dat het bijna bestaat maar net niet helemaal

Oneindig? 1/3 van 1 is gewoon 0,4 hoor.

[Mx. Alba]

kenneth schreef op donderdag 21 december 2006 @ 17:31:
Oneindig? 1/3 van 1 is gewoon 0,4 hoor.

Dodecimaal is idd het ultieme talstelsel

[Dido]

RedHat schreef op donderdag 21 december 2006 @ 17:19:
Ik snap ook niet waarom ik als gek oid bestempeld word. We hebben het hier over een situatie. Ik noem iedereen die zegt 0,99...=1 toch ook geen idioten oid?

Er zijn 2 meningen over. Dat wil nog niet zeggen dat de een gekker is als de andere.

Dus als iemand zegt dat 1+1=2, en een ander zegt dat 1+1=3 dan zijn dat ook twee equivalente meningen, en we mogen de tweede persoon niet voor gek verklaren?

Ik geef puur mijn mening, zoals jullie ook doen. Want dit kan nooit 100% opgelost worden denk ik.

Ik gaf een simpel, elegant en sluitend bewijs. Tenzij je aan kunt tonen waarom mijn bewijs niet klopt, is het onzinnig om te stellen dat het niet 100% opgelost kan worden. Het is namelijk opgelost.

RedHat schreef op donderdag 21 december 2006 @ 17:23:
Ik vind het gewoon gek dat 1/3e van 1 wel bestaat. Als het echt had "bestaan" waarom lopen de getallen achter de komma oneindig door. Voor mij een teken dat het bijna bestaat maar net niet helemaal

De getallen lopen alleen maar oneindig door in het decimale stelsel. Het is onderhand tien keer gezegd, en hoewel ik niet wil zeggen dat je gek bent, wil ik wel kwijt dat het vervelend wordt dat je dat gewoon negeert.
In genoeg andere talstelsel loopt 1/3 helemaal niet oneindig door. En zo absurd zijn die talstelsels niet. base-12 en base-60 zijn dagelijkse kost, als je er maar even over nadenkt.

[Verwijderd]

Sendy schreef op donderdag 21 december 2006 @ 11:33:
[...]

Bzzt. Er bestaat nog zoiets als aftelbaar oneindig ("net zo groot als N") en overaftelbaar oneindig ("net zo groot als R"). Je kan beargumenteren dat overaftelbaar oneindig groter is dan aftelbaar oneindig.

Nuance:

Je hebt eindig: bijvoorbeeld gehele getallen tussen 1 en 10
Dan heb je aklasse van de aftelbaar: "Dat is net zo groot aan N", denk aan breuken, gehele getallen, positieve gehele getallen, en dergelijke.

De volgende klasses zijn allen overaftelbaar ("groter dan de verzameling van natuurlijke getallen"), maar ook hier zijn telkens grotere klassen te vinden. Een makkelijke manier om naar een grotere klasse te gaan is om de machtsverzameling te nemen van een verzameling uit de huidige klasse.

Maar inderdaad, een zeer bekende overatelbare klasse is R, een klasse groter is de machstverzameling van R dan weer.


Voor alle mensen die vreemde dingen over breuken zeggen: Lees eens inderdaad wat verder voordat je meediscusieert. En geef eens een correctie voor onze wiskunde die uitlegt waarom al onze bewijzen COMPLEET werken <zonder vreemde kunstgrepen>?

[Verwijderd]

RedHat schreef op donderdag 21 december 2006 @ 17:06:
[...]

mja toch wel. Misschien is m'n banedering + uitleg misschien niet goed.
Ik was eerst van mening dat 0,99... = 1. Maar na heel veel googlen heb ik er m'n eigen mening over nagehouden. En dat heeft puur met breuken te maken. Ik geloof dus dat 1/3e van 1 niet bestaat. En om die reden geloof ik ook niet dat 0.99... =1.

OK, wat bedoel je met 0.9... =! 1 ? Want in de reeele getallen is dit aantoonbaar onjuist. Dus als je een ander getallen stelsel in wilt voeren waar dit wel juist is. Ga je gang. Ik kan je alleen wel verzekeren dat dat steslel niet dezelfde mooie eigenschappen zal bezitten en dus slecht bruikbaar zal zijn.

Ik denk overigens, dat het probleem waar je tegen aanloopt is, dat je getallen verwart met een hun representaties. Het decimale stelsel is een manier om getallen te representeren. Als je oneindige decimale ontwikkelingen toestaat, is dit systeem in staat elk reeel getal te representeren. (hoewel je van bepaalde reeele getalen zoals pi nog steeds niet de decimale representatie op kan schrijven, omdat deze een oneindig lange decimale ontwikkeling heeft die zich nooit herhaalt.) Het wel of niet bestaan van een eindige decimale representatie zegt niks over het bestaan van het getal zelf.

Het feit 0.9... = 1 (want dat is het, aangezien het wiskundig bewezen kan worden) laat zien dat de decimale represntatie van van een getal niet uniek hoeft te zijn. Net zo als de representatie van een getal als breuk niet uniek is; 1/1=2/2=3/3 etc.

De rationele getallen bestaan, ze zijn tamelijk eenvoudig te defineren. (bijvoorbeeld als het delingslischaam van de ring van gehele getalen). In het bijzonder bestaat ook het rationele getal dat gerepresnteerd wordt door de breuk 1/3 (rationele getallen laten zich nu eenmaal het makelijkst representeren als breuk.)

Volgens de meeste wiskundige bestaan de reeele getallen ook. Een van de meest gangbare manieren om ze te defineren is, als de completering van de rationele getallen. Dus het rationele getal dat gerepresenteerd wordt door de breuk 1/3 is ook een reeel getal. Zoals gezegd kunnen alle reeele getalen gerepresenteerd worden door een oneindige decimale ontwikkeling. In dit geval

1/3 = 0.3...

Het is evident dat al deze dingen (behalve mischien de reeele getallen) bestaan in de wiskunde, de vraag zou hoog uit kunnen zijn of ze enige betreking hebben op real life.

[Drakin-Korin]

Als breuken niet zouden bestaan hebben we ook een probleem met vierkantwortels. Een vierkantwortel is per definitie x^1/y. Tangensen geven ook een probleem dit worden allemaal voorgesteld als breuken en er zijn er weinig die exact natuurlijke getallen zijn. Dan kloppen integralen en driehoeksmeetkunde ook al niet meer. De hele meetkunde valt als ik jou redenering doortrek.

In feite heb je een zeer groot probleem geschapen door te zeggen dat er 1/3 niet kan in het tiendelig stelsel, gezien we dan breuken hebben die wel kunnen en niet kunnen. In de wiskunde klopt iets of klopt het niet uitzonderingen bestaan niet. Wiskunde beslaat een groter vlak dan wat alleen met menselijke zintuigen voorstelbaar is.

[Verwijderd]

a/b*b = a

a = 1 andwoord a=1 = 0,|9|

[DataGhost]

Verwijderd schreef op zondag 24 december 2006 @ 14:54:
a/b*b = a

a = 1 andwoord a=1 = 0,|9|

Dik bewijs, leg eens uit? Ik weet dan wel dat 0,9... = 1, maar met invullen krijg ik alsnog
0,9... / 5 * 5 = 0,9...
Je neemt hier immers aan dat 0,9... = 1 om het daarna te gaan bewijzen tenminste, dat is wat ik uit je post opmaak.


vermenigvuldigen gelijkwaardig aan delen en links-associatief Ik had ook haakjes gezet, maar die post rammelt sowieso al aan alle kanten. Dan doe ik mijn best om het nog enigzins 'kloppend' te interpreteren. Neemt niet weg dat het in deze vorm niet te bewijzen is.

[ Voor 25% gewijzigd door DataGhost op 24-12-2006 17:46 ]

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op zondag 24 december 2006 @ 14:54:
a/b*b = a

a = 1 andwoord a=1 = 0,|9|

Now en?

Dit kan ook:

x=a/b

x=100000000000000000/81000000737100000

x=1,234567890000000000000

[ Voor 11% gewijzigd door Verwijderd op 24-12-2006 17:51 ]

[eamelink]

Het probleem is te analyseren vanuit meerdere uitgangspunten. Wiskunde wordt vrijwel uitsluitend gebruikt als hulpmiddel. Het is een gereedschap. Het is bijvoorbeeld erg handig bij het beschrijven van gebeurtenissen in de wereld; de kunst van dat beschrijven noemen we natuurkunde.

In elk praktisch opzicht; dus bij elke toepassing van de wiskunde, is de aanname dat 0.9... = 1 gewoon werkt. Dido heeft het bewezen, maar in zijn bewijs is aangenomen dat 9.9... / 10 = 0.9... In elke praktijk werken deze aannames perfect, zoals al eerder genoemd.

Er staat ons dus niets in de weg om deze equivalenties te gebruiken, behalve dan mogelijk de wetenschap der wiskunde zelf, waar wiskunde niet meer wordt gebruikt als hulpmiddel, maar waar het ontwikkelen van de wiskunde een doel op zich is.

In dat geval is het waarschijnlijk beargumenteerbaar dat 9.9... / 10 != 0.9, waarmee het eerder genoemde bewijs op losse schroeven is komen te staan. Je kan jezelf echter de vraag stellen wat de relevantie van een dergelijke exercitie is. Zodra je de wiskunde geheel loskoppelt van enige toepassing; is er dus ook geen 'juiste' wiskunde meer te vinden. Momenteel kunnen we stellen dat 1 + 1 = 2; omdat dat zo blijkt in het experiment, als we tweemaal een knikker naast elkaar leggen, dan hebben we er samen twee. We kunnen definiëren dat 1 + 1 = 3; en van daaruit de wiskunde opbouwen. Dat geeft ongetwijfeld leuke effecten en een hilarische tijd; maar het nút ervan is vrij laag. De wiskunde waarin 1 + 1 = 3 gedifinieerd wordt is net zo 'juist' als de wiskunde waarin we als axioma nemen dat 1 + 1 = 4, of 1 + 1 = 5. Op die manier kunnen we een oneindige verzameling aan wiskundes ontwikkelen, waar we éigenlijk niets aan hebben.

Vanuit de natuur, of vanuit andere praktische toepassingen kunnen we stellen dat 0.9... = 1. Die wiskunde werkt. Omdat hij bruikbaar is; is hij waardevol. Een wiskunde ontwikkelen waarin 0.9... != 1, maar dermate dichtbij zit dat hij óók werkt in de natuur zou leuk zijn. Echter; die wiskunde zou buitengewoon veel complexer worden dan de wiskunde die we nu gebruiken. Daar heb je dus vrij weinig aan. Je kunt hem ontwikkelen, maar hij zal altijd coëxisteren naast de gebruikelijke, en bij gebrek aan toegevoegde functionaliteit en wegens toegenomen complexiteit door niemand gebruikt worden.

[PaveloW]

Even voor mijn goede begrip, betekent dit dan ook dat :

3 = 3 * 0.999.. = 2.999..

?

[Andamanen]

Ja

3 * 0.999... =

0.999... + 0.999... + 0.999... = (optellen per decimaal)

2.7
0.27
0.027
0.0027
...
------------- +
2.999...

= 2 + 0.999...
= 2 + 1
= 3

[ Voor 97% gewijzigd door Andamanen op 28-12-2006 17:10 ]

[Verwijderd]

eamelink schreef op zondag 24 december 2006 @ 18:27:

. . .

Er staat ons dus niets in de weg om deze equivalenties te gebruiken, behalve dan mogelijk de wetenschap der wiskunde zelf, waar wiskunde niet meer wordt gebruikt als hulpmiddel, maar waar het ontwikkelen van de wiskunde een doel op zich is. . . .

Zodra je de wiskunde geheel loskoppelt van enige toepassing; is er dus ook geen 'juiste' wiskunde meer te vinden. Momenteel kunnen we stellen dat 1 + 1 = 2; omdat dat zo blijkt in het experiment, als we tweemaal een knikker naast elkaar leggen, dan hebben we er samen twee. We kunnen definiëren dat 1 + 1 = 3; en van daaruit de wiskunde opbouwen. Dat geeft ongetwijfeld leuke effecten en een hilarische tijd; maar het nút ervan is vrij laag. De wiskunde waarin 1 + 1 = 3 gedefinieerd wordt is net zo 'juist' als de wiskunde waarin we als axioma nemen dat 1 + 1 = 4, of 1 + 1 = 5. Op die manier kunnen we een oneindige verzameling aan wiskundes ontwikkelen, waar we éigenlijk niets aan hebben.

. . .

Hier ga toch even tegenin. Wiskunde. . .met een beetje losse definitie. . .is de leer van verhoudingen tussen getallen c.q. hoeveelheden. De regels die we er voor opzetten zijn in elk geval gericht op een keiharde betekenis dat bijvoorbeeld y=x ook waar is ongeacht hoe y tot stand komt en ongeacht in welk getallenstelsel de vergelijking uitgedrukt is.

We kunnen met de wiskunde waar we het over eens zijn stellen dat 3+5 = 12 juist is als je met het hexa-systeem rekent (3+3=10). De vergelijking blijft in tact.

Waar je hierboven op doelt met 1+1=3 kan in elk geval niet op deze manier gedefinieerd zijn. Het zou misschien kunnen betekenen dat je voor het optellen van twee eenheden de hoeveelheid twee het symbool 3 geeft. OK, maar dan nog heb je in feite niet de wiskunderegels veranderd maar alleen de getallen-symbolen. Als je aanhoud dat je het symbool niet veranderd heb dan betekend dat "=" de betekenis "<" heeft gekregen. Op deze manier kan je wel een "eigen" wiskunde opzetten maar je bent toch gebonden om je wiskunde inhoud te geven die vergelijkbaar is met de wiskunde die we kennen( expressies moeten “waar” zijn).

Je kan niet een ongelijkheid vereenzelven met een ongelijkheid. In een eigen/persoonlijke wiskunde kan je er niet omheen dat: [♣ plus ♣ = ♣ ♣ ] (zolang je de betekenis van "=" interpreteert zoals je kennelijk hierboven gedaan hebt. Als je met 1+1=3 bedoeld dat het identiek is aan [♣ + ♣ = ♣♣♣ ] dan kan je het niet waarmaken dat het gelijk is omdat twee eenheden niet gelijk is aan drie eenheden. Uiteraard snap je dat met ♣ ik een object bedoel en niet een cijfer van een getallen-systeem.

Hiermede stel ik dat je bewering dat je op eigen houtje een "eigen wiskunde" kan opzetten niet waargemaakt kan worden.

Om duidelijk te maken wat je eigenlijk bedoeld zou je niet zomaal een zogenaamde gelijkheid neer mogen zetten maar zou je het moeten onderbouwen met voorbeelden hoe deze "eigen wiskunde" consequent is via de diverse regels die van toepassing zijn en via operations die je er mee kan doen.

Toen men bijvoorbeeld met matrixen ging werken en een voorbeeld M1xM2 = M3 gaf was het niet voldoende het alleen bij dat voorbeeld te laten. De regels van hoe je de elementen van die matrixen met elkaar moet vermenigvuldigen zijn onontbeerlijk. Doe dat niet dan kan je allerlei nonsens neerschrijven en het je "eigen wiskunde" noemen.

Uiteraard is het voor anderen totaal niet te bevatten wat je er mee zou willen bedoelen maar zolang het geen regels bevat heb je er zelf ook niets aan en zou het onterecht zijn het wiskunde te noemen.

Om een beetje geloofwaardig over te komen zou je je voorbeeld moeten onderbouwen en toelichten. Doe je dat niet dan is je bewering verwerpbaar en voor je zelf ook niet te accepteren.

[ Voor 0% gewijzigd door Verwijderd op 28-12-2006 18:27 . Reden: kleine foutjes corrigeren ]

[eamelink]

In mijn voorbeeld zou de bruikbaarheid van die gedefinieerde wiskunde dus inderdaad al niet meer bruikbaar zijn bij het optellen van tweemaal een één. Wellicht is de term wiskunde dan inderdaad teveel eer voor zoiets onbruikbaars. Het was echter maar een voorbeeld; in de werkelijke wiskunde zijn er genoeg keuzes die je anders zou kunnen maken dan normaliter, omdat er niet automatisch een fysica aan vast zit.

De operatie optellen is inderdaad zinloos als je het niet kan toepassen op objecten in de wereld om je heen. Maar neem bijvoorbeeld complexe getallen. Complexe getallen hebben geen enkele fysische relevantie. Er is niets complex in de fysica. Elke meting die je op wat voor manier dan ook doet aan een grootheid is gewoon een reëel getal. Je zou dus best een andere definitie kunnen gebruiken voor complexe getallen. Echter; je kiest ervoor om de huidige regels te gebruiken, bijvoorbeeld omdat de operatie complex vermenigvuldigen of complex delen ook gewoon werken op reëele getallen, en omdat complexe getallen zo verrekte handig zijn bij het beschrijven van talloze fysische systemen.

Maar je hebt gelijk; mijn voorbeeld van het optellen was een beetje kort door de bocht.

[RayNbow]

Verwijderd schreef op donderdag 28 december 2006 @ 18:21:
[...]
Waar je hierboven op doelt met 1+1=3 kan in elk geval niet op deze manier gedefinieerd zijn. Het zou misschien kunnen betekenen dat je voor het optellen van twee eenheden de hoeveelheid twee het symbool 3 geeft. OK, maar dan nog heb je in feite niet de wiskunderegels veranderd maar alleen de getallen-symbolen. Als je aanhoud dat je het symbool niet veranderd heb dan betekend dat "=" de betekenis "<" heeft gekregen. Op deze manier kan je wel een "eigen" wiskunde opzetten maar je bent toch gebonden om je wiskunde inhoud te geven die vergelijkbaar is met de wiskunde die we kennen( expressies moeten “waar” zijn).

Een ander alternatief is dat de betekenis van het symbool + is veranderd.

[eamelink]

Ach, als je écht wil kan je natuurlijk best stellen dat je door twee objecten bij elkaar te stoppen je niet alleen twee objecten maar ook nog een binding hebt, en totaal heb je dan drie dingen

[JackBol]

eamelink schreef op donderdag 28 december 2006 @ 18:36:
Ach, als je écht wil kan je natuurlijk best stellen dat je door twee objecten bij elkaar te stoppen je niet alleen twee objecten maar ook nog een binding hebt, en totaal heb je dan drie dingen

hoeveel zijn twee losse bindingen dan?

[eamelink]

Losse bindingen kunnen niet bestaan

[Verwijderd]

eamelink schreef op donderdag 28 december 2006 @ 18:36:
Ach, als je écht wil kan je natuurlijk best stellen dat je door twee objecten bij elkaar te stoppen je niet alleen twee objecten maar ook nog een binding hebt, en totaal heb je dan drie dingen

Maar deze aanpak heeft al een naam maar het is geen wiskunde. Het heet synergy.

Als ik een appel en een sinaasnappel bij elkaar doe krijg ik twee x een apple, 1 x een sinas en twee x een fruit

Als jij het doet kan je er wel nog iets bij bedenken!

Zou je dat wiskunde noemen?

[ Voor 5% gewijzigd door Verwijderd op 29-12-2006 10:03 ]

[sdomburg]

Dit topic heeft toch een onbedoeld grappige wending gekregen

[DataGhost]

sdomburg schreef op vrijdag 29 december 2006 @ 11:32:
Dit topic heeft toch een onbedoeld grappige wending gekregen

Ja, en nu beginnen ze in de HK weer serieus te doen

[Verwijderd]

eamelink schreef op donderdag 28 december 2006 @ 18:33:
... Maar neem bijvoorbeeld complexe getallen. Complexe getallen hebben geen enkele fysische relevantie. Er is niets complex in de fysica. Elke meting die je op wat voor manier dan ook doet aan een grootheid is gewoon een reëel getal. ...

Hoewel je gelijk hebt dat fysisch waarneembare grootheden reeel zijn. Gaat het mij weer te ver om te zeggen dat er helemaal niks complex is in de fysica. (golf-functies zijn complex. U(1), SU(2) en SU(3) symmetrieen zijn inherent complex en beargumenteerbaar de meest wezenlijke fysische eigenschappen in onze wereld.

En voordat men gaat roepen dat dit slechts natuurkundige constucties zijn om de natuur te beschrijven. Denk dan eerst even na over het Aharanov-Bohm effect (is vast wel op wikipedia te vinden)

(In zekere zin is het beargumenteerbaar dat al deze dingen slecht dienen om de natuur te beschrijven, maar in die zin hebben reeele of natuurlijke getalen even weinig (of veel) betrekking op de natuur als complexe getallen.

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op dinsdag 02 januari 2007 @ 11:03:
[...]


Hoewel je gelijk hebt dat fysisch waarneembare grootheden reeel zijn. Gaat het mij weer te ver om te zeggen dat er helemaal niks complex is in de fysica. (golf-functies zijn complex. U(1), SU(2) en SU(3) symmetrieen zijn inherent complex en beargumenteerbaar de meest wezenlijke fysische eigenschappen in onze wereld.

En voordat men gaat roepen dat dit slechts natuurkundige constucties zijn om de natuur te beschrijven. Denk dan eerst even na over het Aharanov-Bohm effect (is vast wel op wikipedia te vinden)

(In zekere zin is het beargumenteerbaar dat al deze dingen slecht dienen om de natuur te beschrijven, maar in die zin hebben reeele of natuurlijke getalen even weinig (of veel) betrekking op de natuur als complexe getallen.

Dat is klare taal!

Sta me toe er iets aan toe te voegen:

Ik heb al eerder het argument opgevoerd dat complexe getallen en complexe functies helemaal niet "bijzonder" zijn maar slechts toevoegingen aan de wiskunde zijn om bepaalde vormen van getallen relaties hanteerbaar te maken. Het argument dat een complexe functie c.q. complex getal in de natuur zich niet zou kunnen voorkomen is natuurlijk volstrekte onzin. In diverse takken van de techniek wordt standaard met complexe functies gewerkt om fysische processen te beschrijven. Om maar een gemakkelijk voorbeeld te geven is een faseverschil tussen stroom en spanning direct meetbaar en wordt weergegeven met de imaginaire component van een complex getal. Punt uit: complexe getallen zijn zonder meer manifestaties van de werkelijkheid. . .niet omdat de werkelijkheid "imaginaire" componenten bevat maar omdat WIJ een bepaalde manier gekozen hebben om multi-dimensionale aspecten van de werkelijkheid met complexe getallen te beschrijven.

In de zelfde zin is een positief en een negatief getal geïdentificeerd door een "+" respectievelijk een "-" teken.

Je kan op dat eenvoudige niveau ook een argument opwerpen dat als je een stroom meet dat je niet het positieve of negatieve karakter van die stroom direct kan meten. . .in andere woorden, als je een bewegende massa ziet(bijvoorbeeld een "stroom" gillende wijven die op een uitverkoop ergens op af rennen) is dat niet gekenmerkt door een plus of min teken. . . .de richting ( + of -+) kan je slechts kenmerken door een "+/-" referentiekader op te zetten waarmee je de richting kan meten. . .ja, je kan richting meten! Maar dat geeft slecht een beperkt beeld van de werkelijkheid. As je een radiaal referentiekader opzet kan je naast de snelheid van de "stroom" gillende wijven ook een hoek van de beweging meten en definiëren in welke richting die wijven bewegen. . . .en hiervoor gebruik je een complex getal A + iB waardoor je in een tweedimensionale ruimte precies kan aangeven hoe die gillende wijven zich "kinematisch” gedragen. Je kan deze methode uitbreiden naar een drie-dimensionale ruimte.

Het is natuurlijk iets moeilijker om een methode te bedenken dat beschrijft waarom de gillende wijven zich zo gedragen. . .daar heb je iets anders dan wiskunde voor nodig maar zoiets is niet bedacht