Repetentie: harde wiskunde en filosofie

[RayNbow]

0.999... = 9/10 + 9/100 + 9/1000 + ...
Meetkundige reeks met a = 9/10 en r = 1/10.
Som van meetkundige reeks: S = a/(1 - r) = 0.9/(1 - 0.1) = 1

VWO stof

edit:
Ah damn... ik moet mensen niet geloven als ze zeggen dat dit nog niet is gepost ... Hier stond het namelijk al: Anoniem: 88245 in "Repetentie: harde wiskunde en filosofie"

[ Voor 39% gewijzigd door RayNbow op 14-12-2006 22:44 ]

[kenneth]

Anoniem: 76345 schreef op donderdag 14 december 2006 @ 21:58:
He bah, wat doe jij vies uit de hoogte zeg.

Stellen dat iets wel heel erg basic is, getuigt wel voor respect voor je discussiepartner

[Hertog]

dusty schreef op donderdag 14 december 2006 @ 21:34:
[...]

Juist, maar het verschil tussen 0.999... en 1 is wiskundig dus WEL 1/oneindig.

Het verschil tussen 0,999... en 1 is wiskundig 0.

Dat is dus niet het geval. In exacte wiskunde is het namelijk onmogelijk om 1/3 in een nummer te schrijven dat op een base-10 is gebasseerd.

[..]

Mooi, omdat het dus zo "heel erg basic is", moet het een peuleschil zijn voor jou om aan mij het exact wiskundig aan te tonen waarom het volgens jou wel correct is.

Heb jij bewijs, een bron, of wat dan ook dat 1/3 niet exact 0,3 is, wiskundig gezien?

[Anoniem: 88245]

dusty schreef op donderdag 14 december 2006 @ 21:34:
[...]

Mooi, omdat het dus zo "heel erg basic is", moet het een peuleschil zijn voor jou om aan mij het exact wiskundig aan te tonen waarom het volgens jou wel correct is.

Dat is toch juist waarom we breuken gebruiken, om met oneindige decimalen te rekenen.

  (1/3) = 0,333...
+(2/3) = 0,666...
--------------------------
  (3/3) = 0,999...

  (1/11) = 0,09090909...
+(10/11) = 0,90909090...
---------------------------------------
  (11/11) = 0,99999999...

  (2/7) = 0,285714285714...
+(5/7) = 0,714285714285...
-----------------------------------------
  (7/7) = 0,999999999999...

Dit werkt voor alle breuken met oneindige decimalen die samen 1 zijn.
Het zijn allemaal getallen; eindig of oneindige decimalen.
Ook 0,999... is een normaal getal op de getallenlijn.

Hertog schreef op donderdag 14 december 2006 @ 22:51:

[...]


Heb jij bewijs, een bron, of wat dan ook dat 1/3 niet exact 0,3 is, wiskundig gezien?

[mierenneuken] Repetent is met het streepje erboven: of de drie puntjes.

[ Voor 16% gewijzigd door Anoniem: 88245 op 14-12-2006 22:55 ]

[dusty]

Hertog schreef op donderdag 14 december 2006 @ 22:51:
[...]
Het verschil tussen 0,999... en 1 is wiskundig 0.
[...]

Mag jij raden als wat 1/oneindig wiskundig gezien word.

Anoniem: 88245 schreef op donderdag 14 december 2006 @ 22:52:
[...]
Dat is toch juist waarom we breuken gebruiken, om met oneindige decimalen te rekenen.
[..]

Dat is precies waarom er met breuken gerekend wordt, omdat er geen correcte decimale representate van te geven is. ( Tenzij je dus het repetent teken gebruikt. ) Dus wil je met een getal gaan rekenen wat een repetent teken heeft zal je deze eerst in een breuk moeten omzetten, dan met de breuk gaan rekenen, om daarna mogelijkerwijs weer te vereenvoudigen en om te zetten in een decimale representatie.

[Anoniem: 88245]

dusty schreef op donderdag 14 december 2006 @ 23:22:
[...]

Dat is precies waarom er met breuken gerekend wordt, omdat er geen correcte decimale representate van te geven is. ( Tenzij je dus het repetent teken gebruikt. )

Juist daarom is het de correcte notatie.

Dus wil je met een getal gaan rekenen wat een repetent teken heeft zal je deze eerst in een breuk moeten omzetten, dan met de breuk gaan rekenen, om daarna mogelijkerwijs weer te vereenvoudigen en om te zetten in een decimale representatie.

Dat hoeft niet, zoals al zo vaak in dit topic gezegd: er zijn ontzettend veel verschillende manieren om hetzelfde getal te schrijven.
6/3 en 2 zijn allebei dezelfde getallen, dat leer je al op de basischool is het goed is.

Zo ook met 0,999...
Ik kan 0,333... + 0,333... + 0,333... = 0,999... doen.
Niets magisch aan, ook niets afgerond.
Maar ik kan bijvoorbeeld ook 1/3 + 1/3 + 1/3 = 3/3 doen, exact hetzelfde.

Bij veel mensen zegt het 'gevoel' dat er ergens nog een 1 bij moet, maar aan je gevoel bedriegd bij zaken als oneindigheden.

[JeromeB]

1/3 is dus wel hetzelfde als 0.333... repeterend:

simpel bewijs:
x = 0.333...
10x = 3.333...
9x = 10x - x = 3.333... - 0.333... = 3
x = 3/9 = 1/3

1 is dus wel hetzelfde als 0.999... repeterend:
x = 0.999...
10x = 9.999...
9x = 10x - x = 9.999... - 0.999... = 9
x = 9/9 = 1

[ Voor 30% gewijzigd door JeromeB op 14-12-2006 23:56 ]

[Hertog]

Anoniem: 88245 schreef op donderdag 14 december 2006 @ 22:52:
[...]
[mierenneuken] Repetent is met het streepje erboven: [afbeelding] of de drie puntjes.

Dat schreef jij of iemand anders eerst keer ook al, maar ik gebruikte deze notatie even omdat het eerder voorgedaan was en ubb geen code heeft voor een lijntje erboven. Bovendien heb ik het altijd geleerd als een / door de herhalende getallen.

dusty schreef op donderdag 14 december 2006 @ 23:22:
[...]

Mag jij raden als wat 1/oneindig wiskundig gezien word.

Sorry, ik begreep je verkeerd en dacht dat je zei dat het niet 0 maar 1/oneindig was, terwijl je bedoelde dat wel 0 was, en dus ook 1/oneindig.

[ Voor 25% gewijzigd door Hertog op 15-12-2006 00:08 ]

[TheZeroorez]

Hertog schreef op vrijdag 15 december 2006 @ 00:06:
[...]


Dat schreef jij of iemand anders eerst keer ook al, maar ik gebruikte deze notatie even omdat het eerder voorgedaan was en ubb geen code heeft voor een lijntje erboven. Bovendien heb ik het altijd geleerd als een / door de herhalende getallen.

Is alle twee goed.

[Confusion]

dusty schreef op donderdag 14 december 2006 @ 23:22:
Mag jij raden als wat 1/oneindig wiskundig gezien word.

Zeker niet als 0. Oneindig is (in de gebruikelijke getallenlichamen) geen getal en je kan er niet zomaar mee rekenen. Ga je naar limieten kijken, dan geldt:
y = limiet voor x -> oo van 1/x = 0
maar,
y = limiet voor x -> oo van x/x = 1
en
y = limiet voor x -> oo van x²/x gaat naar oneindig

Oftewel: 'iets gedeeld door oneindig' (in een losse zin) kan 0, 1 of oneindig zijn.

[Anoniem: 124325]

Voor alle heidenen die niet geloven dat 0,9. . .=1 waar is het volgende: Het argument hiervoor is al vele malen gegeven als delimiet van een opsomming maar de heidenen geloven het niet omdat ze het begrip oneindig niet begrijpen. Ik zal even de formule van het oppervlak van een rechthoekige driehoek optoveren:

De driehoek wordt gemaakt door de lijn y=x op het xy-vlak. Onder de lijn y=x verdeel ik het oppervlak in stukjes met dikte delta x en hoogte y[delta x]. . .(omdat y=x)het oppervlak van het reepje dat delta x dik is is ongeveer (delta x*y[delta x]). Zo ver zo goed.

Het tweede reepje van delta x ---> 2*delta x is ook delta x dik.. . .geen speld tussen te krijgen. . .de hoogte van het tweede reepje is ongeveer (delta x)*(y[delta x]+y*delta x). Nu tel ik de twee reepjes op en het oppervlak van de twee reepjes is dus eenvoudigweg ongeveer

(delta x*y[delta x]) + (delta x)*(y[delta x]+y*delta x).

OK dat was kidstuff. Iedereen begrijpt dit en kan zien dat als ik er een derde en vierde reepje bij doet tot reepje n van delta x dik het totale oppervlak als maar groter wordt en de optelsom zoiets als hierboven wordt met meer elementen.

Als ik nu bij x=a ophoud is het voor een kind duidelijk dat op x=a de waarde van y=x ook a is omdat y=x de schuine lijn is. Weer geen speld tussen te krijgen.

Nu deel ik de afstand x=a door delta x en ik krijg dus n stukjes van delta x dik:

n=a/delta x

De vraag nu is” Hoe kan ik het oppervalk onder de lijn y=x precies uitrekenen?” Ik weet niks van driehoek oppervlakte formules dus moet ik het maar van beginsel uitrekenen:

Oppervlakte onder de lijn y=x
van x=0 tot x=a is ongeveer A1+A2+ A3 +. . .A_{a/delta x}

maar ik wil het niet ongeveer weten maar precies, zo ik denk even logisch na: stel dat ik de reepjes dunner maak zodat er meer zijn! Dan wordt de oppervlakte van elke A in de opsomming een steeds betere benadering van het juiste oppervlak van het reepje en dus de

SOM Reepjes A1+A2 +A3 +. . . An

komt steeds dichterbij het werkelijk oppervlak onder de lijn y=x tot x=a, maar als ik de reepjes steeds dunner maakt wordt het aantal n steeds groter.

OK, ik maak delta x oneindig dun en ik noem het dx. Voor elk reepje geldt nu

dA =dx*y(x) voor elke positie x die ik bedenken kan omdat als (delta x ---->0 )= dx is op elke positie de hoogte van het reepje precies y en is de dikte van het reepje dx.

Als ik al die reepjes optel met dx---->0 wordt het aantal reepjes n------->∞ en de opsomming wordt een integraal:

Oppervlakte A van driehoek met lijn x=x to x=a is het integraal van de functie y=x:

Integraal[ ydx ] van x=0 tot x=a is Integraal [x*dx] x=0 tot x=a en dit is, Ho Ho Ho, 1/2x²

maar y=z en dus

A(100% precies)= 1/2x*y en dit is 1/2*basis*hoogte voor elke willekeurige rechthoekige driehoek. . .de bekende formule die elk kind geleerd heeft.

Hier zie de de kracht van de wiskunde: het opsommen van een oneindig aantal getallen waarvan op zijn minst de termen van de opsomming naar x=0 toe de waarde nul benaderen als je dichter bij x=0 komt.

Een heiden zou zeggen: Ja, is allemaal wel leuke en aardige hocus pokus maar die opsomming is nooit gelijk aan een precies getal omdat er geen einde aan die opsomming komt.

FOUT natuurlijk!

Er is wel degelijk een einde gekomen aan de opsomming via de integratie! Ik heb het oneindige aantal reepjes opgeteld en een definitief uniek getal 1/2*x*y gevonden. . .het is niet ongeveer 1/2*x*y maar precies 100% 1/2*x*y.

Nog leuker is het argument dat als dx ------->0 genomen wordt dan wordt het oppervlak van elk reepje in de limiet ook een opsomming van getallen die in de limiet allemaal 0 worden maar toch wordt de som niet 0.

De eigenaardigheid hier is dat in de limiet wordt (n---->∞)*(A[dx]----->0 als dx---->0)=1/2*1/2*x*x

In een slordige manier van spreken kan je "bewijzen" dat (∞)*(0)= een willekeurig getal kan zijn. Wiskundig moet je dat als een limiet-funtie definiëren.

Nu dan: in mijn korte uiteenzetting is het duidelijk en zonder enige twijfel aangetoond dat het gezeik dat 0,9. . .niet 1 is en dat 0,3. . . niet 1/3 is moet ophouden. De lange uiteenzetting zal ik de heidenen besparen.

De discussie over 0,9. . . =1 is in een idioot stadium geraak waarin sommige lezers niet willen aannemen dat een getal een oneindig aantal opsommede elementen kan hebben. Die zelfde mensen gebruiken zonder blikken of blozen de driehoek oppervlakte formule die vanuit de opsomming van een oneindig aantal elementen gedefinieerd is. Ook de formule van de inhoud van een bol accepteren ze zonder enige bezwaar terwijl een dergelijke formule ook via integraal calculus is ontwikkeld.

Als de heidenen blijven beweren dat 0,9. . .niet gelijk is aan 1 zullen we een wet maken dat ze op de brandstapel verbrand moeten worden. We laten Balkenende en kornuiten deze wet opmaken:
wat eergisteren niet kon, kon gisteren opeens wel.

Met een beetje druk zal Balkenende en kornuiten gewoon doen wat we vragen!

[Anoniem: 4629]

'Grappig' dat je het nu over heidenen hebt. Het hele idee hier is dat in de wiskunde iets bewijsbaar is, terwijl in een geloof dat niet kan (theepot en zo). Mensen die in discussie willen gaan over wiskunde heidenen noemen maakt dat jij wiskunde dus als een geloof ziet. En dus niet bewijsbaar. Anders moet je niet over heidenen spreken want je schoffeert er mensen mee. En dat is sowieso geen goede manier om aan een discussie deel te nemen.

[kenneth]

Anoniem: 4629 schreef op vrijdag 15 december 2006 @ 11:16:
'Grappig' dat je het nu over heidenen hebt. Het hele idee hier is dat in de wiskunde iets bewijsbaar is, terwijl in een geloof dat niet kan (theepot en zo). Mensen die in discussie willen gaan over wiskunde heidenen noemen maakt dat jij wiskunde dus als een geloof ziet. En dus niet bewijsbaar. Anders moet je niet over heidenen spreken want je schoffeert er mensen mee. En dat is sowieso geen goede manier om aan een discussie deel te nemen.

You don't get the joke, do you?

[Anoniem: 4629]

Jawel, en ik ben not amused. Wat een achterlijke smilie trouwens.

[ Voor 43% gewijzigd door Anoniem: 4629 op 15-12-2006 11:24 ]

[Anoniem: 8386]

dusty schreef op donderdag 14 december 2006 @ 23:22:
[...]

Mag jij raden als wat 1/oneindig wiskundig gezien word.

Ongedefineerd?

[Anoniem: 88245]

dusty schreef op donderdag 14 december 2006 @ 23:22:
[...]

Mag jij raden als wat 1/oneindig wiskundig gezien word.

Ongedefinieerd, of Nullity.

[Anoniem: 83696]

Ok, interessant om dit alles zo te lezen. (ik heb ongeveer 4 pagina's doorgenomen, kan niet alles lezen). Durf bijna niet in tegen sommige wiskundegoeroe's hier, zo een ben ik zelf niet en vind de uiteenzetting 2 posten hierboven mij erg duidelijk.

Echter. Het volgende (misschien wel belachelijke) vraagstuk.

Men neme aan;

0,499... = 0,5 Dit mag ik aannemen toch ? Dat is toch hetzelfde als beweren 0,99... = 1.
En we tellen tweemaal 0,499... bij elkaar op. Ik snap dat het aantal 9's tot oneindig doorgaat. Maar als wij tweemaal deze getallen bij elkaar optellen, dan moeten we toch ook concluderen dat er ergens ! ergens, een keer een 8 moet komen. Ook al gaat het oneindig door, en is de positie van de 8 oneindig ver weg,zou je dus kunnen zeggen dat de 8 nooit zal komen. Ontkracht ik hiermee gelijk mijn eigen argument ? Geestelijk vind ik het toch lastig te verkroppen dat 0,499... + 0,499.. 1 is.

[Janoz]

Ja, daarmee heb je je eigen argument ontkracht. Het lijkt inderdaad wat vreemd, maar zodra je beseft dat 0,4999.... hetzelfde is als 0,5 dan is het helemaal niet zo vreemd meer dat er 1 uit komt.

[Anoniem: 4629]

Dat iets oneindig ver weg is wil niet zeggen dat het er niet is. Hoe je dat wilt interpreteren (het is er maar oneindig ver, of het is er niet want oneindig ver) is een filosofisch dilemma. In de wiskunde is dan maar voor het laatste gekozen maar dat is dan ook niet meer dan een spelregel imo.

[dusty]

Anoniem: 88245 schreef op vrijdag 15 december 2006 @ 12:59:
[...]
Ongedefinieerd, of Nullity.

Als je dat zegt dan zou oneindig dus 0 moeten zijn, aangezien alleen delen door 0 onmogelijk is. Als je het dus als nullity betitelt deel je door 0, wat dus betekent dat oneindig 0 zou zijn. Als je het als ongedefinieerd beschrijft zal dit de schuld moeten zijn van het oneindig, aangezien 1 zeer zeker gedefinieerd is. Daarmee zeg je in principe dan ook dat 0.999... ongedefinieerd is aangezien het ook een oneindig iets bevat.

Voor dezelfde reden dat 0.999... = 1 is ook 1/oneindig=0.

[Anoniem: 8386]

Anoniem: 4629 schreef op vrijdag 15 december 2006 @ 16:44:
Dat iets oneindig ver weg is wil niet zeggen dat het er niet is. Hoe je dat wilt interpreteren (het is er maar oneindig ver, of het is er niet want oneindig ver) is een filosofisch dilemma. In de wiskunde is dan maar voor het laatste gekozen maar dat is dan ook niet meer dan een spelregel imo.

Algemeen misschien niet, maar de crux van deze dicussie is juist dat het voor decimale ontwikkeling wel geld. Iets dat pas oneindig ver in de decimale ontwikkeling voorkomt, komt gewoon weg niet voor. Elke decimaal heeft een eindige positie in de decimale ontwikkeling. Er bestaan eenvoudig weg geen decimalen op een "oneindige positie". Dit is gelijk het probleem met veel van de redeneringen die hier aangevoerd worden, aangezien men daar vanuit een bepaald intuitief idee probeert decimalen op een oneindige positie te zetten. Er is echter manier om een concrete invullingen te geven aan dit idee.

[enomiss]

Iedereen kan rekenen tot ie erbij neervalt. Met onze huidige wiskunde kun je niet rekenen met oneindigheid, behalve als je aannamens doet. 0.9999999999... wordt nooit 1 en nooit wat anders. Zo oneindig ver als het bij 1 komt, zo oneindig lang kun je wachten tot het gebeurd. Ga maar lekker dromen.

[ Voor 3% gewijzigd door enomiss op 15-12-2006 18:04 ]

[Soultaker]

Anoniem: 8386 schreef op donderdag 14 december 2006 @ 16:01:
Het volgt niet uit volledigheid. Tegenvoorbeeld: de gehele getallen zijn volledig, maar hebben niet de genoemde eigenschap. Zoals gezegd de eigenschap heeft niks met volledigheid te maken.

Je hebt gelijk; ik vergiste me...

dusty schreef op vrijdag 15 december 2006 @ 16:58:
Voor dezelfde reden dat 0.999... = 1 is ook 1/oneindig=0.

Oneindig is geen reëel getal, dus is deling er ook niet op gedefinieerd. 1/oneindig=0 is onzin; stel dan liever: lim_n->oo 1/n = 0.

[ Voor 35% gewijzigd door Soultaker op 15-12-2006 18:05 ]

[Anoniem: 88245]

dusty schreef op vrijdag 15 december 2006 @ 16:58:
[...]

Als je dat zegt dan zou oneindig dus 0 moeten zijn, aangezien alleen delen door 0 onmogelijk is. Als je het dus als nullity betitelt deel je door 0, wat dus betekent dat oneindig 0 zou zijn. Als je het als ongedefinieerd beschrijft zal dit de schuld moeten zijn van het oneindig, aangezien 1 zeer zeker gedefinieerd is. Daarmee zeg je in principe dan ook dat 0.999... ongedefinieerd is aangezien het ook een oneindig iets bevat.

Voor dezelfde reden dat 0.999... = 1 is ook 1/oneindig=0.

Nee, nullity is een bedenksel van een (niet al te slimme) wiskunde leraar.
In de link kun je ook lezen dat het nonsens is.
Delen door 0 is ongedefinieerd; heeft niets te maken met of een getal nou oneindig, of eindig aantal deicmalen bevat.

[Andamanen]

enomiss schreef op vrijdag 15 december 2006 @ 18:03:
Iedereen kan rekenen tot ie erbij neervalt. Met onze huidige wiskunde kun je niet rekenen met oneindigheid, behalve als je aannamens doet. 0.9999999999... wordt nooit 1 en nooit wat anders. Zo oneindig ver als het bij 1 komt, zo oneindig lang kun je wachten tot het gebeurd. Ga maar lekker dromen.

Zoals ik eerder al zei in de draad, de discussie is inderdaad niet of 0.999... = 1, maar of dit principe van oneindigheid gebruikt mag worden om getallen te representeren. Zodra je dit aanneemt valt er naar mijn mening niet meer te discussieren over 0.999... = 1. (met het veel genoemde simpele argument van 3 x 1/3)

Voor de mensen die van mening zijn dat je dit systeem niet mag gebruiken: bestaat het getal pi?

Zoals bekend is om dit getal uit te drukken ook een oneindige rij decimalen nodig (niet herhalend, maar toch oneindig).

[Drakin-Korin]

Als we de pure wiskune volgen is volgens mij de limiet van 0.9999..... =1 en niet puur 0.9999.... =1. Een aantal jaartjes terug heb ik nog op school geleerd dat er methodes zijn om elk kommagetal om te zetten naar een breuk ook repetentie getallen, Dan zouden we 2 verschillende breuken krijgen met dezelfde noemer die aan elkaar gelijk zijn van verschillende getallen.

[Ivo]

Bedoel je 0.9.../1 en 1/1? Zo ja, dan zijn dit dus niet twee verschillende breuken en dus ook geen twee verschillende getallen.

[Anoniem: 88245]

Drakin-Korin schreef op zaterdag 16 december 2006 @ 05:50:
Als we de pure wiskune volgen is volgens mij de limiet van 0.9999..... =1 en niet puur 0.9999.... =1. Een aantal jaartjes terug heb ik nog op school geleerd dat er methodes zijn om elk kommagetal om te zetten naar een breuk ook repetentie getallen, Dan zouden we 2 verschillende breuken krijgen met dezelfde noemer die aan elkaar gelijk zijn van verschillende getallen.

Hoe schrijf jij 0,999... als breuk dan?
Wat bedoel je met 0,999... is niet puur 1?
En als we pure wiskunde volgen dan zijn de limiet en de echte waarde hetzelfde in het geval van oneindige decimalen; de limiet is de waarde.
Het zijn twee manieren om hetzelfde aan te duiden.

[Soultaker]

Drakin-Korin schreef op zaterdag 16 december 2006 @ 05:50:
Als we de pure wiskune volgen is volgens mij de limiet van 0.9999..... =1.

Als we technisch gaan doen: de limiet van 5 is 5 (voor welk argument dan ook), omdat 5 gelijk is aan 5. Ik heb dit al vaker gezegd, maar een limiet nemen is alleen zinnig als je een functie met een argument hebt (waarbij je het argument naar oneindig of naar een of ander getal laat gaan). De limiet van één getal is gewoon dat getal zelf, dus als je vindt dat de limiet van 0,9 = 1, dan is 0,9 gewoon 1.

En dit is gewoon een cirkelredenatie:

Een aantal jaartjes terug heb ik nog op school geleerd dat er methodes zijn om elk kommagetal om te zetten naar een breuk ook repetentie getallen, Dan zouden we 2 verschillende breuken krijgen met dezelfde noemer die aan elkaar gelijk zijn van verschillende getallen.

Oftewel: 0,9 is niet gelijk aan 1, want 0,9/1 is niet gelijk aan 1/1 want 0,9 is niet gelijk aan 1? Het punt is dat 0,9 en 1 wél gelijk zijn, dus je moet bewijzen waarom dat niet zo is; niet aannemen dat ze ongelijk zijn en dan stellen dat ze ongelijk zijn.

[ Voor 17% gewijzigd door Soultaker op 16-12-2006 13:28 ]

[Anoniem: 84120]

Drakin-Korin schreef op zaterdag 16 december 2006 @ 05:50:
Een aantal jaartjes terug heb ik nog op school geleerd dat er methodes zijn om elk kommagetal om te zetten naar een breuk ook repetentie getallen, Dan zouden we 2 verschillende breuken krijgen met dezelfde noemer die aan elkaar gelijk zijn van verschillende getallen.

Dat voorbeeld is al voorgekome: Methode om kommagetallen om te zetten in een breuk.
En NEE dat kan NIET met alle kommagetallen (Pi, e), maar wel met veel repeterende getallen inderdaad.

Voorbeeldjes:
Een kwart

code:

0,25 = x
x * 100 = 25
x = 25/100
dus: x = 1/4

Een derde

code:

0.3... = x
x * 10 = 3 + x
9x = 3
x = 3/9
x = 1/3

En een iets moeilijkere (langer deel dat repeteerd): 1/7de

code:

0,142857... = x
x * 10000000 = 142857 + x
999999x = 142857
x = 142857/999999 = 1/7

Een mogelijke notatie voor 1

code:

0.9... = x
x * 10 = 9 + x
9x = 9
x = 9/9 = 1

Drakin-Korin schreef op zaterdag 16 december 2006 @ 05:50:
Als we de pure wiskune volgen is volgens mij de limiet van 0.9999..... =1 en niet puur 0.9999.... =1.

Door de rest van deze post zal ik een andere manier geven om 0.9... te construeren.
We kunnen 0.9... schrijven als de som van 0.9 + 0.09 + 0.009 + ... oftewel de som van 9/10 + 9/100 + 9/1000 + ..., oftewel formeel (met opmaakbeperkingen):

   lim[sub]x->oo[/]( sum[sub]n=1[/][sup]x[/] 9/(10[sup]n[/]) ).
= {De som kunnen we herschrijven[sup]a[/sup]}
   lim[sub]x->oo[/] (((9*(1 - (1/10)[sup]n[/]))/(1 - 1/10)) - 9)
= {Limiet van een som}
   lim[sub]x->oo[/] (((9*(1 - (1/10)[sup]n[/]))/(1 - 1/10))) - lim[sub]x->oo[/](9)
= {Limiet van een getal, uitwerken haakjes}
   lim[sub]x->oo[/] ((9)/(1 - 1/10) - (9 * (1/10)[sup]n[/])/(1 - 1/10)) - 9
= {Limiet van een som}
   lim[sub]x->oo[/] ((9)/(9/10)) - lim[sub]x->oo[/]((9 * (1/10)[sup]n[/])/(9/10)) - 9
= {Limiet van een getal, delen door breuk (2x)}
   ((9 * 10) / 9) - lim[sub]x->oo[/](((9 * 10/9) * (1/10)[sup]n[/])) - 9
= {Limiet van een veelvoud}
   10 - 9 - 90/9 * lim[sub]x->oo[/]((1/10)[sup]n[/])
= {waarde van limiet}
   1 - 90/9 * 0
= 
   1

^a

   sum[sub]n=1[/][sup]x[/](9/(10[sup]n[/]))
= {Herschrijven}
   sum[sub]n=1[/][sup]x[/](9 * (1/10)[sup]n[/])
= {Grenzen aanpassen}
   sum[sub]n=1[/][sup]x[/](9 * (1/10)[sup](n - 1)[/]) - 9
= {Geometrische serie}
   ((9*(1 - (1/10)[sup]n[/]))/(1 - 1/10)) - 9

(Noot: standaard rekenen is NIET gecomentariseerd)

Dus, als we doorrekenen, dan komt het er op neer dat 0.9... precies gelijk is aan 1. Zo kunnen we met standaard wiskunderegels doorgaan en doorgaan met bewijzen geven waarom 0.9... = 1, en kunnen we geeneen correct bewijs geven waaruit blijkt dat 0.9... != 1.

Als je het allemaal niet geloofd, of kan volgen. Dan raad ik aan je kennis van limieten en sommen (en dergelijke basiswiskunde) op te waarderen. Dit kan bijvoorbeeld met behulp van het boek Calculus, A Complete Course. Dat boek is geschreven door Robert A. Adams. Elk ander calculusboek zal ook wel voldoen.

Als mensen nu nog beweren dat 0.9... NIET 1 is, dan wil ik zowel de axioma's als hun talstelsel hebben. Want in normale wiskunde, met standaard calculusregels, en in de set van de reële getallen is 0.9... gewoon hondert procent gelijk aan 1. Daarbij zijn met standaard calculusregels begrippen zoals oneindig, getal en limiet uiterst precies gedefinieerd. Met daarbij wel: een getal (waarde) is iets heel anders als de notatie van een getal.

[ Voor 16% gewijzigd door Anoniem: 84120 op 16-12-2006 16:29 ]

[dusty]

Men kan dus in de formules van Hel Gast zien dat het verschil bij n oneindig dus 1/(10ⁿ) is. ( wat je dus vrij kan vertalen naar 1/n. )

Het feit dat ik gaf dat 1/3 niet gelijk is aan 0.333... in het decimaal systeem (of zou het netter zijn om het de Hindu-Arabisch systeem te noemen? ) wat dus bestaat uit de getallen 0 t/m 9, een positief/negatief teken een een punt voor het decimaal punt aan te geven. In dat systeem komt geen "repetent" voor. De repetent ( of ellipses in het engels ) bestaat gewoon weg niet in het decimaal systeem, waar het wel bestaat is in Calculus.

[Anoniem: 88245]

dusty schreef op zaterdag 16 december 2006 @ 19:10:Het feit dat ik gaf dat 1/3 niet gelijk is aan 0.333... in het decimaal systeem (of zou het netter zijn om het de Hindu-Arabisch systeem te noemen? ) wat dus bestaat uit de getallen 0 t/m 9, een positief/negatief teken een een punt voor het decimaal punt aan te geven. In dat systeem komt geen "repetent" voor. De repetent ( of ellipses in het engels ) bestaat gewoon weg niet in het decimaal systeem, waar het wel bestaat is in Calculus.

Nee, het decimale systeem wil zeggen: alle getallen zijn samen te stellen uit cijfer 0 tot en met 9.
Dus 0,999... is net zo goed decimaal als 2503 of 3,5.
Een rationeel getal als 1/3 is het quotiënt van twee gehele (natuurlijke) getallen en kan in het decimale stelsel oneindig veel cijfers achter de komma hebben.
Maakt ook niet uit over welke tak van de wiskunde je spreekt, of het nou analyse (wat jij calculus noemt), statistiek of algebra is.

http://www.math.fau.edu/Richman/HTML/999.htm

[Anoniem: 84120]

dusty schreef op zaterdag 16 december 2006 @ 19:10:
Men kan dus in de formules van Hel Gast zien dat het verschil bij n oneindig dus 1/(10ⁿ) is. ( wat je dus vrij kan vertalen naar 1/n. )

Wat je dus vrij kan vertalen naar 0, want lim_n->oo1/n = 0, dus is het nog steeds 1.

Feit blijft dat je een verschil moet zien tussen de NOTATIE en de WAARDE van een getal. En dta in het decimaal stelsel sommige dingen onmogelijk te schrijven zijn, is onzin. Daarvoor hebben we nu juist begrippen als breuken en repetente tekenreeksen verzonnen, waarbij bijvoorbeeld:
1/3 = 0.3...

[ Voor 33% gewijzigd door Anoniem: 84120 op 16-12-2006 20:12 ]

[Drakin-Korin]

vraagje voor de rekenkundige onder ons
als je bij 0.999999999... 1/x neemt kom je 1,00000....001 uit. Het zijn beide repetitieve getallen. Wat kom ik nu uit als ik het eerste deel door het 2de? Windows calculator heeft er moeite mee en komt altijd iets in de buurt van 0.999...8 uit. De vraag is wat geeft dit als ik dit doe met repetitieve getallen?

[Anoniem: 84120]

Windows calculator rekent ook niet, die dingen zijn allemaal BENADER machines. Dus zoiets moet je niet met zo'n machine doen, maar gewoon met de regels.

Dan blijft dus: 0.9.../1 = 1/1 = 1/0.9... = 1.

1.0...01 kan niet, want 1.0... zegt dat er achter de komma alleen maar nullen zitten (en wel oneindig veel).

[Anoniem: 88245]

Drakin-Korin schreef op zaterdag 16 december 2006 @ 20:34:
vraagje voor de rekenkundige onder ons
als je bij 0.999999999... 1/x neemt kom je 1,00000....001 uit.

Nee, zoiets kan natuurlijk niet.
Oneindig veel nullen, en dan nog een 1 er achter?

[Drakin-Korin]

Anoniem: 88245 schreef op zaterdag 16 december 2006 @ 20:41:
[...]
Nee, zoiets kan natuurlijk niet.
Oneindig veel nullen, en dan nog een 1 er achter?

Beetje moeilijk ik weet het, maar als oneindig veel 9 na de comma mag en als wiskundig daar 1/x van genomen wordt komen we dat uit. Tenzij uw uitkomst voor 1/x is anders is.

[Drakin-Korin]

Oh ja nog een vraagje dan,
ALS 0.99999... gelijk is aan 1 is dan 0.89999... gelijk aan 0.999... waardoor alle repititieve getallen hetzelfde zijn? Of komt het erop neer da het een geheel getal wordt als 0.9?

[Anoniem: 4629]

0.9 is geen geheel getal. Zover kom ik zelfs nog wel

[RayNbow]

Drakin-Korin schreef op zaterdag 16 december 2006 @ 21:15:
Oh ja nog een vraagje dan,
ALS 0.99999... gelijk is aan 1 is dan 0.89999... gelijk aan 0.999... waardoor alle repititieve getallen hetzelfde zijn? Of komt het erop neer da het een geheel getal wordt als 0.9?

0.8999... = 0.8 + 0.0999... = 0.8 + 0.1 = 0.9

[Anoniem: 124325]

Anoniem: 84120 schreef op zaterdag 16 december 2006 @ 20:40:
Windows calculator rekent ook niet, die dingen zijn allemaal BENADER machines. Dus zoiets moet je niet met zo'n machine doen, maar gewoon met de regels.

Dan blijft dus: 0.9.../1 = 1/1 = 1/0.9... = 1.

1.0...01 kan niet, want 1.0... zegt dat er achter de komma alleen maar nullen zitten (en wel oneindig veel).

Je laatse antwoordt is naar mijn mening iets te voorbarig. Je hebt gelijk dat de notatie 1,0...01 niet standaard is maar wat Drakin-Korin bedoelde geeft een interessante andere kijk op het vraagstuk.

Als je 1/0,9999999999999 uitrekenst krijg je 1,0000000000001 als uitkomst en als je dit verlegt naar een groter aantal 9's krijg je dus meer nullen met een 1 er achter. Nu kan ik dit verleggen naar de vraag voor 1/0,9... en ik kan stellen dat ongeacht hoeveel 9's ik neem, er altijd in de deling 1/0,9999999 deze vorm 1,000000 met een 1 aan het einde er uit valt.

1/0,9...= 1 + 1*10^-n: n---->∞ en dat dit ondubbelzinnig betekend dat 1/0,9. . .= 1+0 waterdicht is omdat die 1 een nul-waarde vertegenwoordigd voor n----->∞.

Zo lang men n als een oneindig groot getal blijft zien stelt men dat er na oneindig veel nullen er toch nog een 1 komt opdagen als laatste cijfer. . .vandaar dat sommigen hardnekkig 0,9. . .als kleiner dan 1 blijven zien en 1/0,9. . .als groter dan 1. Hun fout is dat ze de werkelijke betekenis van "oneindig" zien als een grootheid in plaats van een toelichting.

Diegene die deze manier van denken aanhouden beseffen kennelijk niet dat ∞ geen getal is maar een notatie dat er geen einde aan een cijferreeks van een getal komt waar het betrekking op heeft(wat al zo vaak gezegd is maar kennelijk niet overal doordringt). In elk geval is het duidelijk dat als je n---->∞ wel bergijpt dat in het getal 1/0,9. . . het cijfer achter de komma. . . . 1*10^-n: n--->∞ precies 0 is en niet haast nul.

Ik denk dat hiermede de denkwijze dat 0,9. . . en 0,3. . . en 0,5. . . geen getal zou zijn maar slechts een schrijfwijze voor een wiskundige uitvoering geheel overboord gezet kan worden omdat we met deze schrijfwijze juist wel een getal definieren.

In toevoeging wil ik opmerken dat we in gewone taal vaak zeer slordig zijn. We worden vaak betrapt in het gebruik van een term zoals "precies getal" terwijl in feite elk getal een waarde heeft. Er bestaan namelijk geen getallen met "fuzzy-waarden".

Elk getal heeft precies een enkele waarde. Dus 1/0,5. . . is een getal met precies 1,8 als waarde.

[ Voor 3% gewijzigd door Anoniem: 124325 op 17-12-2006 04:22 ]

[Anoniem: 88245]

Drakin-Korin schreef op zaterdag 16 december 2006 @ 21:15:
Oh ja nog een vraagje dan,
ALS 0.99999... gelijk is aan 1 is dan 0.89999... gelijk aan 0.999... waardoor alle repititieve getallen hetzelfde zijn? Of komt het erop neer da het een geheel getal wordt als 0.9?

Nee, niet alle repeterende getallen zijn hetzelfde.
0,899... is gelijk aan 0,9 (met maar een cijfer achter de komma dus).

Vul maar in:
x = 0,899...
10x = 8,999...
9x = 8,100...
x= 0,9

Met deze bovenstaande vergelijking kun je een heleboel dingen controleren als je het niet zeker weet.

[Anoniem: 84120]

Anoniem: 124325 schreef op zondag 17 december 2006 @ 04:14:
[...]


Je laatse antwoordt is naar mijn mening iets te voorbarig. Je hebt gelijk dat de notatie 1,0...01 niet standaard is maar wat Drakin-Korin bedoelde geeft een interessante andere kijk op het vraagstuk.

Als Drakin-Korin wil gaan redeneren in een niet-standaard omgeving, dan vind ik dat helemaal prima. Maar dan blijf ik bij de volgende bewering van mij:

Anoniem: 84120 schreef op zaterdag 16 december 2006 @ 16:16:
[...] dan wil ik zowel de axioma's als hun talstelsel hebben. Want in normale wiskunde, met standaard calculusregels, en in de set van de reële getallen is 0.9... gewoon hondert procent gelijk aan 1. Daarbij zijn met standaard calculusregels begrippen zoals oneindig, getal en limiet uiterst precies gedefinieerd. Met daarbij wel: een getal (waarde) is iets heel anders als de notatie van een getal.

Dus dan wil ik weten wat de rekenregels zijn met zo iets als 1.0...01, want daar kan ik namelijk niets mee, aangezien zo'n constructie met de standaard set van regels niet bestaat. En ik werk standaard met de standaard regels, behalve als men mij expliciet andere aannames kan geven.

[ Voor 4% gewijzigd door Anoniem: 84120 op 17-12-2006 15:02 ]

[JeromeB]

Ik snap eigenlijk niet hoe mensen op het idee komen dat er nog een 0,01 verschil tussen kan zitten. Ik zal op mijn manier proberen uit te leggen waarom er geen verschil zit tussen 0.9 en 1.

Ik neem het volgende bewijs als voorbeeld:
x = 0.9
10x = 9.9
9x = 10x - x = 9.9 - 0.9 = 9
x = 9/9 = 1

Op regel 2 van het bewijs bereken ik 0.9*10. De uitkomst is 9.9. Intuïtief zou je daar nog een 0 achter kunnen denken. In de wiskunde heb je geen last van significantie: 0.3 = 0.30 = 0.300. Die 0 kun je dus ook gewoon weer wegdenken.


Nog iets over de notatie:

Ik lees dat sommige een streepje (boven of onder) gebruiken om een repeterende breuk te noteren.
Op school hebben wij geleerd om een schuine streep te zetten door het begin van de repeterende breuk en het eind van de repeterende breuk.

voorbeeldje:
x = 0.123
1000x = 123.123
999x = 1000x - x = 123.123 - 0.123 = 123
x = 123/999 = 41/333

[kenneth]

Dat streepje onder is gewoon makkelijker met UBB, ik snap niet waarom er zo'n punt van gemaakt wordt, gezien het geheel duidelijk is wat ermee bedoeld wordt ..

[TheZeroorez]

JeromeB schreef op zondag 17 december 2006 @ 15:58:
Nog iets over de notatie:

Ik lees dat sommige een streepje (boven of onder) gebruiken om een repeterende breuk te noteren.
Op school hebben wij geleerd om een schuine streep te zetten door het begin van de repeterende breuk en het eind van de repeterende breuk.

voorbeeldje:
x = 0.123
1000x = 123.123
999x = 1000x - x = 123.123 - 0.123 = 123
x = 123/999 = 41/333

Nogmaals: Een schuine streep er doorheen, én een streepje erboven zijn goed. Een streepje erboven kun je trouwens ook gebruiken als twee cijfers oneindig repeteren. 0,23232323... dus.

Mijn bron? Ik heb het zo op school geleerd. Is even sterk als jouw argument..

[ Voor 6% gewijzigd door TheZeroorez op 17-12-2006 16:08 ]

[JeromeB]

Ok, het is ook niet écht een punt ofzo, ik vroeg mij gewoon af wat gebruikelijker is.

[Hertog]

Anoniem: 124325 schreef op zondag 17 december 2006 @ 04:14:
[...]


Je laatse antwoordt is naar mijn mening iets te voorbarig. Je hebt gelijk dat de notatie 1,0...01 niet standaard is maar wat Drakin-Korin bedoelde geeft een interessante andere kijk op het vraagstuk.

Als je 1/0,9999999999999 uitrekenst krijg je 1,0000000000001 als uitkomst en als je dit verlegt naar een groter aantal 9's krijg je dus meer nullen met een 1 er achter. Nu kan ik dit verleggen naar de vraag voor 1/0,9... en ik kan stellen dat ongeacht hoeveel 9's ik neem, er altijd in de deling 1/0,9999999 deze vorm 1,000000 met een 1 aan het einde er uit valt.

Precies. Om het even wat korter/minder wiskundig uit te leggen: Die rij nullen is oneindig, dus die 1 'aan het einde van de oneindig lange rij nullen' komt er nooit. En een 1 met een oneindig lange rij nullen erachter is gewoon een 1.

[ Voor 3% gewijzigd door Hertog op 17-12-2006 16:42 ]

[Anoniem: 88245]

JeromeB schreef op zondag 17 december 2006 @ 16:11:
Ok, het is ook niet écht een punt ofzo, ik vroeg mij gewoon af wat gebruikelijker is.

Aangezien een streepje erboven (Vinculum in het Engels geloof ik) moeilijk is hier, kun je beter de drie puntjes ("...") gebruiken denk ik; makkelijk en juist.

[dusty]

Anoniem: 84120 schreef op zaterdag 16 december 2006 @ 20:09:
[...]
[..]
En dta in het decimaal stelsel sommige dingen onmogelijk te schrijven zijn, is onzin. Daarvoor hebben we nu juist begrippen als breuken en repetente tekenreeksen verzonnen,
[..]

Waarom iets verzinnen als het al te schrijven valt?.

De laatste keer dat ik het decimaal stelsel heb bekeken bestond er geen repetent teken binnen de decimaal stelsel, echter in calculus dat gebruik maakt van het decimaal systeem komt het repetent teken WEL voor.

Bekijk je het als verzamelingen, dan valt het "decimaal systeem" compleet binnen de calculus verzameling, echter moet je dan er niet vanuit gaan dat je zomaar alles uit de calculus in het decimaal systeem mag gebruiken.

Het repetent teken (en oneindig teken trouwens ook) zijn bijgevoegd (of verzonnen) in calculus, om juist de gebreken van het decimaal stelsel te overkomen.

[Anoniem: 88245]

dusty schreef op maandag 18 december 2006 @ 02:26:
[...]

Waarom iets verzinnen als het al te schrijven valt?.

De laatste keer dat ik het decimaal stelsel heb bekeken bestond er geen repetent teken binnen de decimaal stelsel, echter in calculus dat gebruik maakt van het decimaal systeem komt het repetent teken WEL voor.

Het decimaal stelsel heeft niet met calculus te maken.
Het is gewoon een getalstelsel waar alle getallen gevormd kunnen worden met de cijfers 0 t/m 9.
Net als het hexadecimale stelstel en het binaire stelsel zegt dat niets over rekenkundige operaties.
Je kunt net zo goed de breuken schrijven in het octale systeem als in het decimale systeem.

Ook de notatie van hiervan is niet onderdeel van een bepaals talstelsel, maar staat daar gewoon buiten.

Bekijk je het als verzamelingen, dan valt het "decimaal systeem" compleet binnen de calculus verzameling, echter moet je dan er niet vanuit gaan dat je zomaar alles uit de calculus in het decimaal systeem mag gebruiken.

Ik begrijp niet waar je het over hebt.
Calculus (analyse) is gewoon een tak van de wiskunde, ontwikkeld uit rekenkunde en de meetkunde.
Wat voor talstelsel je daarvoor gebruikt maakt absoluut niet; of je nou simpele algebra doet of verzamelingenleer.

Het repetent teken (en oneindig teken trouwens ook) zijn bijgevoegd (of verzonnen) in calculus, om juist de gebreken van het decimaal stelsel te overkomen.

Het is helemaal niet bijgevoegd in het decimale stelsel.
Nogmaals, het decimale talstelsel wil zeggen: alle getallen zijn te vormen uit de cijfers 0 t/m 9 (in octaal 0 t/m 7, in het hexadecimaal 0 t/m F enz.).

Zie ook: http://nl.wikipedia.org/wiki/Talstelsel

Het teken waarmee we oneindig herhalende decimalen weergeven is inderdaad verzonnen (niet omdat er een gebrek is; hoe moet je dit anders aangeven ).
Net zoals we afgesproken hebben dat "+" optellen is en "-" aftrekken, zo schrijven we een nul met ondeindig veel negens achter de komma als: (uiteraard een komma en geen punt )

Het oneindig teken is weer een ander verhaal, want er bestaan verschillende (voor de verschillende soorten oneindigheden; de ene oneindigheid kan groter zijn dan de andere, maar dat is weer iets anders).

[dusty]

In wiskunde schrijf je een nul met oneindig veel negens inderdaad als 0.999... maar jij blijft afspraken binnen de wiskunde verwarren met het decimaal stelsel. Afspraken maken binnen de wiskunde is leuk, maar dat maakt het nog steeds geen onderdeel van het stelsel wat je gebruikt binnen de wiskunde. (op welke base dat dan ook is gebasseerd. )


We blijven hier in mijn mening vrolijk in rondjes lopen, ik verlaat hierbij dit topic dan ook definitief.

[DataGhost]

dusty schreef op maandag 18 december 2006 @ 16:35:
In wiskunde schrijf je een nul met oneindig veel negens inderdaad als 0.999... maar jij blijft afspraken binnen de wiskunde verwarren met het decimaal stelsel. Afspraken maken binnen de wiskunde is leuk, maar dat maakt het nog steeds geen onderdeel van het stelsel wat je gebruikt binnen de wiskunde. (op welke base dat dan ook is gebasseerd. )


We blijven hier in mijn mening vrolijk in rondjes lopen, ik verlaat hierbij dit topic dan ook definitief.

Hoe schrijf je het buiten de wiskunde dan? Daar is een nul met oneindig veel negens achter de komma nog steeds mogelijk namelijk.
Nu na een korte babbel op IRC heb je inderdaad gelijk, in het decimale stelsel zit geen oneindigheid, alleen in de wiskunde. Wat je er misschien bij had kunnen vermelden (om het aannemelijker/duidelijker te maken) is dat er dus in het decimale stelsel ook geen 0,999.... bestaat, alleen in de wiskunde, gebruikmakend van het decimale stelsel, en dat er daarom dus ook geen probleem is. Het originele probleem ging echter over dat 0,999... in de wiskunde gelijk is aan 1, en dat een aantal mensen dat niet snappen. Het decimale stelsel werd er alleen bijgehaald om aan te geven dat het enkel voor (base-1 --> 10 - 1) 9 geldt, dat bijvoorbeeld 0,888... niet gelijk is aan 0,9 ofzo

Het gaat hier niet om de notatie, het gaat om het feit dat 0,999... (dus een nul met oneindig veel negens na de komma) hetzelfde is als 1. Daar zijn meerdere bewijzen voor gegeven, waaronder het bewijs dat er geen getal tussen 0,999... en 1 bestaat en dat het daarom hetzelfde is. Voor elk paar getallen uit R is er namelijk een die ertussenin ligt, iets wat bij 0,999... niet gaat.
Als ik het even min of meer terughaal naar een eindig iets (wat hopelijk WEL te begrijpen is), stel 0,9999 en 1, dan is er een getal te vinden 0,99995 dat tussen 0,9999 en 1 in ligt. Aangezien het om 0,999... gaat is er ook 0,99999, wat groter is dan 0,99995, derhalve kan 0,99995 niet tussen 0,9999 en 1 in liggen als de rij negens na de komma oneindig lang is. Als jij er een decimaal achter verzint, waarmee je probeert aan te geven dat er iets tussen ligt, kan ik oneindig lang doorgaan met het ontkrachten door een extra 9 erachter te zetten. Er bestaat dus geen decimaal (behalve 9, maar strikt genomen zelfs die niet) die je 'achter' een oneindige reeks kan zetten, zodat je een ander getal krijgt. Hierdoor bestaat er ook geen getal tussen 0,999... en 1, q.e.d.

hopelijk dat het nu wat duidelijker is

edit:
doorgestreepte, als het geldig zou zijn, alleen geldig voor een reeks negens, ik heb het over een reeks in het algemeen.
Verder heb ik overal 2 decimalen weggehaald om de leesbaarheid te vergroten

[ Voor 20% gewijzigd door DataGhost op 18-12-2006 17:47 ]

[Drakin-Korin]

Nu blijft de vraag na al deze uitleg hoeveel 1/9999999(met oneindig veel 9s) is. Als 0.999.... 1 is 1/99999.... dan ook 1? Hoe liggen de rekenregels nu ?

[Ivo]

9... of hoe je het wil schrijven is geen getal. De som van i is 0 tot oneindig van 9*10^i is namelijk oneindig.

[Anoniem: 84120]

Drakin-Korin schreef op maandag 18 december 2006 @ 18:38:
Nu blijft de vraag na al deze uitleg hoeveel 1/9999999(met oneindig veel 9s) is. Als 0.999.... 1 is 1/99999.... dan ook 1? Hoe liggen de rekenregels nu ?

1 delen door oneindig groot getal (als in: 999999... <dus oneindig veel negens, dus oneindig groot>) kan niet, want je kan niet delen door oneindig. Wel kan je het limiet nemen van dat geval:

lim_x->oo (1/x) = 0

Maar wat jij waarschijnlijk bedoelde: voor 1/0.9... geld inderdaad: 1/0.9... = 1, gewoonweg omdat 0.9... = 1.

[ Voor 15% gewijzigd door Anoniem: 84120 op 18-12-2006 19:03 ]

[Anoniem: 88245]

Drakin-Korin schreef op maandag 18 december 2006 @ 18:38:
Nu blijft de vraag na al deze uitleg hoeveel 1/9999999(met oneindig veel 9s) is. Als 0.999.... 1 is 1/99999.... dan ook 1? Hoe liggen de rekenregels nu ?

Dat is weer iets heel anders, nu heb je het over oneindigheden.
0,999... is geen oneindig getal (het is immers gewoon 1), het heeft alleen oneindig veel decimalen.
Oneindigheid is een concept en geen getal, rekenkundige operaties als delen en vermenigvuldigen zijn hierop niet normaal toepasbaar.

Als x oneindigheid nadert, dan komt 1/x dichter bij 0.
Informeel kun je ook zeggen 1 / oneindig = 0
Daar is niets mis mee, zolang je maar in je achterhoofd houdt dat:
lim 1/x = 0
x→∞

[Drakin-Korin]

Volgende vraag als je nu 0.99.... in het kwadraat neemt moet dit dus simpel 1 moeten zijn en niet iets kleiner dan het oorspronkelijke getal zoals bij de meeste kommagetallen die kleiner zijn dan 1(0.999 is wel 1 maar toch)

[Anoniem: 84120]

Drakin-Korin schreef op maandag 18 december 2006 @ 19:35:
Volgende vraag als je nu 0.99.... in het kwadraat neemt moet dit dus simpel 1 moeten zijn en niet iets kleiner dan het oorspronkelijke getal zoals bij de meeste kommagetallen die kleiner zijn dan 1(0.999 is wel 1 maar toch)

Naar aanleiding van deze vraag nog een bewijsje gedaan.
(Wel zelfde stijl als een bovenstaand bewijs)

Aanname: x = 0.9...
   x[sup]2[/] = x[sup]2[/]
= { Vermenigvuldig met 100. }
   100x[sup]2[/] = 100x[sup]2[/]
= { 100 = 10[sup]2[/]. }
   (10x)[sup]2[/] = 100x[sup]2[/]
= { 10x = 9.9... = 9 + x. }
   (9 + x)[sup]2[/] = 100x[sup]2[/]
= { Uitwerken linkerdeel. }
   81 + 18x + x[sup]2[/] = 100x[sup]2[/]
= { Schuiven. }
   -99x[sup]2[/] + 18x + 81 = 0
= { abc-formule: x = (-b +- (b[sup]2[/] - 4ac)[sup]1/2[/]) / 2a. }
   x = (-18 + (18[sup]2[/] + 32076)[sup]1/2[/]) / -198
     = (162/-198)
     = -(9/11)
OF x = (-18 - (18[sup]2[/] + 32076)[sup]1/2[/]) / -198
     = (-198/-198)
     = 1

Het probleem van kwadraten is altijd dat er met oplossen twee antwoorden ontstaan. In dit geval is x = -(9/11) duidelijk onzin.

Uit bovenstaande volgt dan weer:

Aanname x = 0.9...
   (x[sup]2[/])[sup]1/2[/] = x[sup]2 * (1/2)[/] = x[sup]1[/] = x = 1 = 1[sup]2[/] = x[sup]2[/] 

[ Voor 7% gewijzigd door Anoniem: 84120 op 18-12-2006 21:21 ]

[Anoniem: 124325]

Anoniem: 84120 schreef op maandag 18 december 2006 @ 20:03:
[...]


Naar aanleiding van deze vraag nog een bewijsje gedaan.
(Wel zelfde stijl als een bovenstaand bewijs)
[pre]
Aanname: x = 0.9... = 1
x² = x²
...
...

Haartjes splijten?

Omdat het uitgangspunt al onbubbelzinnig vast staat dat x=0,9...=1
dan is het expliciet bewezen dat

(0,9...)² = 1

en als je begint met deze uitkomst (0,9...)² = x² =1(zonder de bronwaarde x te weten) kan je zonder meer stellen dat x= +1 of -1 moet zijn en impliciet dat het x= -0,9... of +0,9... is.

(Het is duidelijk dat dit twee oplossingen zijn en niet vier stuks!!!)

Je lange uitwerking is naar mijn mening overbodig zo lang je al weet dat 0,9...=1 juist is.

Kan je toelichten waarom je uitwerking enige toegevoegde waarde heeft?

[Anoniem: 84120]

Zeg ik ergens dat ik die lange uitwerking gebruik om te bewijzen dat (0.9...)² = 1? Nee niet echt, die laatste regel is namelijk alles wat jij zegt. Verder vier stuks oplossingen? Dan mis ik er toch twee in mijn hele bak tekst.

Zat trouwens teveel aannames in bewijs x = 1, namelijk de aanname x = 1. Deze er even uitgehaald. Mijn foutje.

Maar uitwerking heeft als toegevoegde waarde: 0,0 voor antwoord op zijn vraag. Staat ook nergens dat het een antwoord is, er staat: Naar aanleiding van deze vraag... . De uitwerking is een variantie om te bewijzen dat 0.9... = 1, zodat men kan zien dat dat niet zomaar volgt uit een bewijs, maar uit enorm veel verschillende bewijzen.

[ Voor 18% gewijzigd door Anoniem: 84120 op 18-12-2006 21:23 ]

[Dido]

Dan neem je toch nog iets te veel aan in de stap:
(10x)^2 = 100x^2
naar
(9 + x)^2 = 100x^2

10x=9+x geldt namelijk alleen als x=1, terwijl je aannam dat x=0.999...

offtopic:
Niet dat je me hoeft t eovertuigen dat 1=.999... maar je bewijs rammelt

[ Voor 19% gewijzigd door Dido op 18-12-2006 21:36 ]

[DataGhost]

Dido schreef op maandag 18 december 2006 @ 21:34:
Dan neem je toch nog iets te veel aan in de stap:
(10x)^2 = 100x^2
naar
(9 + x)^2 = 100x^2

10x=9+x geldt namelijk alleen als x=1, terwijl je aannam dat x=0.999...

offtopic:
Niet dat je me hoeft t eovertuigen dat 1=.999... maar je bewijs rammelt

Dat valt volgens mij nog best mee. Hij geeft namelijk de volgende hint:

= { 10x = 9.9... = 9 + x. }

Onder de aanname dat x = 0,99... substitueert hij x voor de werkelijke waarde en dan krijg je 10x = 9,9...
Aangezien het aantal decimalen na de komma nog steeds oneindig is, is 10x - 9 (9,9... - 9 = 0,9...) gelijk aan x (of fPart(9,9...) = 0,9... = x, zelfde verhaal). Je krijgt dan gewoon 9 + x
Dit is in eerdere bewijzen al aangehaald en bewijst juist dat x = 1. Dan klopt het inderdaad ook dat je met 0,9... (immers hetzelfde getal) dezelfde uitkomst krijgt.

Semi-disclaimer: Ik had nog gekeken en gezien dat je post ongeveer 13 minuten na de laatste edit gemaakt was. Ik weet niet of je dit topic langer open hebt gehad voordat je je reactie plaatste, of wat de originele inhoud was van de post. Wellicht stond die hele hint er niet bij. Dat weet ik niet dus

[ Voor 16% gewijzigd door DataGhost op 18-12-2006 23:42 ]

[Dido]

Ik was inderdaad iets te snel, ik raakte verward door het hele stuk dat volgde. Dat is namelijk inderdaad overbodig, omdat de conclusie dat 10x=9+x geldt voor .999... al bewijst dat .999... = 1.

Het gegoochel met machten is alleen maar mogelijk nadat dus al is aangetoond dat 1 = .999..., en daarmee geen deel van het bewijs.

Immers:
Als geldt voor x=.999... dat 10x=9+x, dan volgt daaruit dat 10x-x=9 oftewel 9x=9, oftewel x=1.
Komt geen macht aan te pas

Ik neem terug dat het bewijs rammelt, maar merk dus op dat na het bewijs te veel overbodige zaken stonden

[Anoniem: 88245]

Dido schreef op dinsdag 19 december 2006 @ 00:22:
Ik was inderdaad iets te snel, ik raakte verward door het hele stuk dat volgde. Dat is namelijk inderdaad overbodig, omdat de conclusie dat 10x=9+x geldt voor .999... al bewijst dat .999... = 1.

Het gegoochel met machten is alleen maar mogelijk nadat dus al is aangetoond dat 1 = .999..., en daarmee geen deel van het bewijs.

Immers:
Als geldt voor x=.999... dat 10x=9+x, dan volgt daaruit dat 10x-x=9 oftewel 9x=9, oftewel x=1.
Komt geen macht aan te pas

Ik neem terug dat het bewijs rammelt, maar merk dus op dat na het bewijs te veel overbodige zaken stonden

0,999... = (9/10)+(9/100)+(9/1000)+...
((9/10)+(9/100)+(9/1000)+...)² is lastig ja.

[Mx. Alba]

Oké, er zijn dus mensen die zeggen dat:

1 - 0,9... = 0,0...1

Er is een heel simpele manier om de foutheid hiervan uit te leggen.

0... is een oneindige rij nullen. Oneindig betekent dat er geen eind aan komt. Als er geen eind komt aan de rij nullen, kan er dus ook niet een 1 achter staan!

Oftewel, 0,0...1 = 0

Dus, 1 - 0,9... = 0

En dus, 0,9... = 1

QED

[Anoniem: 8386]

dusty schreef op maandag 18 december 2006 @ 16:35:
In wiskunde schrijf je een nul met oneindig veel negens inderdaad als 0.999... maar jij blijft afspraken binnen de wiskunde verwarren met het decimaal stelsel. Afspraken maken binnen de wiskunde is leuk, maar dat maakt het nog steeds geen onderdeel van het stelsel wat je gebruikt binnen de wiskunde. (op welke base dat dan ook is gebasseerd. )


We blijven hier in mijn mening vrolijk in rondjes lopen, ik verlaat hierbij dit topic dan ook definitief.

Sorry maar wat is volgens jou het 'decimaal stelsel' als het niet eenvoudigweg een manier is om getallen te representeren in de wiskunde?

[Dido]

Mx. Alba schreef op dinsdag 19 december 2006 @ 14:20:
Oké, er zijn dus mensen die zeggen dat:

1 - 0,9... = 0,0...1

Er is een heel simpele manier om de foutheid hiervan uit te leggen.

Of met een simpel limietje:

0,000...1 is te schrijven als lim_(x->oo) (1/10^x)

Dat lijkt me vrij eenvoudig in te zien.

Die limiet op zichzelf is echter ook heel simpel te berekenen:

10^x gaat naar oo als x->oo, de limiet is dus naar 1/oo, oftewel 0.

[Mx. Alba]

Tuurlijk, maar ik legde het uit voor de mensen die limieten niet zo goed snappen

Het is namelijk heel simpel en logisch te bevatten dat bij "een 1 na een oneindige rij nullen" die 1 nooit komt omdat de rij nullen nooit eindigt

[Anoniem: 201582]

En toch is 0.9... niet gelijk aan 1
Er zit namelijk een oneindig klein verschil tussen, en oneindig klein is volgens mij nog steeds niet gelijk aan 0, tenzij we dat aannemen.

Ik betwist dan ook niet dat we aannemen dat 0.9... = 1

[JackBol]

Anoniem: 201582 schreef op woensdag 20 december 2006 @ 18:43:
En toch is 0.9... niet gelijk aan 1
Er zit namelijk een oneindig klein verschil tussen, en oneindig klein is volgens mij nog steeds niet gelijk aan 0, tenzij we dat aannemen.

Ik betwist dan ook niet dat we aannemen dat 0.9... = 1

Daar gaat jusit het hele topic over, en ik heb heel wat goede wiskundige en filosofische onderbouwing voorbij zien komen. Dus met En toch... ga je het niet redden...

[DataGhost]

Anoniem: 201582 schreef op woensdag 20 december 2006 @ 18:43:
En toch is 0.9... niet gelijk aan 1
Er zit namelijk een oneindig klein verschil tussen, en oneindig klein is volgens mij nog steeds niet gelijk aan 0, tenzij we dat aannemen.

Ik betwist dan ook niet dat we aannemen dat 0.9... = 1

DataGhost in "Repetentie: harde wiskunde en filosofie"

edit:
ik quote mezelf verkeerd

Ik had het daar wat simplistischer uitgelegd, namelijk dat er geen verschil KAN zijn, dus ook geen oneindig klein verschil. Het verschil is er niet, en als 2 dingen niet verschillend zijn zijn ze gelijk dus 0,9... = 1

Misschien NOG duidelijker...
Als jij een verschil probeert te vinden tussen 0,9... en 1 betekent dat dat je een extra decimaal achteraan plakt, aangezien er niks groter dan 9 is, en je dus de laatste decimaal niet kan verhogen (om een tussenwaarde te krijgen). Op het moment dat jij een decimaal achter 0,9... plakt, zegmaar een 5 of een 8 of net welke, zelfs 9, krijg je bijvoorbeeld 0,9...8. Dat is volgens jou dan een 'kleiner verschil', dwz. het ligt tussen 0,9... en 1 in. Als jij dat doet doe ik iets heel simpels, ik maak er 0,9...9 van (ik vervang de laatste . 0,9...9 is groter dan 0,9...8 en 0,9...9 is gelijk aan 0,9... (immers oneindig veel negens met nog een negen erachter zijn nog steeds oneindig veel negens). Daarom KAN jouw verschil niet eens tussen 0,9... en 1 in liggen
Tegenspraak -> Geen verschil tussen 0,9... en 1 -> 0,9... = 1 -> q.e.d.

edit:
Omdat er kennelijk nogal wat mierencopuleerders rondlopen, niet zozeer hier in dit topic, maar vooral op IRC even een 'disclaimer': al mijn posts gaan uit van de verzameling R, inclusief de bijbehorende rekenregels en 'rariteiten'. Dus niet N of Z of net welke andere verzameling, tenzij anders aangegeven.

[ Voor 52% gewijzigd door DataGhost op 20-12-2006 20:31 ]

[Anoniem: 88245]

Anoniem: 201582 schreef op woensdag 20 december 2006 @ 18:43:
En toch is 0.9... niet gelijk aan 1
Er zit namelijk een oneindig klein verschil tussen, en oneindig klein is volgens mij nog steeds niet gelijk aan 0, tenzij we dat aannemen.

Ik betwist dan ook niet dat we aannemen dat 0.9... = 1

Heb je de volgende links al eens doorgelezen?

http://en.wikipedia.org/wiki/.999
http://polymathematics.ty...6/06/no_im_sorry_it_.html

Oneindigheid is een lastig begrip binnen de wiskunde.
Met menselijke intuïtie alleen kom je er niet.

[Anoniem: 124325]

Anoniem: 88245 schreef op maandag 18 december 2006 @ 19:18:
. . .
. . .

Als x oneindigheid nadert, dan komt 1/x dichter bij 0.
Informeel kun je ook zeggen 1 / oneindig = 0
Daar is niets mis mee, zolang je maar . . .

Ik begrijp dat jij het vraagstuk wel begrijpt, maat toch ga ik even akelig doen om het leuk te houden. Ik vind dat er op dit topic veel te weinig wordt gereageerd, dus steek ik nog een keer van wal om de discussie een beetje op gang te helpen:

1) oneindigheid kan je niet benaderen. De waarde van x in de opsomming waar je naar refereert groeit zonder begrenzing. Oneindigheid (∞) is een begrip en niet een getal en je kunt het niet benaderen. Dit is dan ook het misverstand van diegenen die niet willen begrijpen dat daar de essentie van het vraagstuk ligt. Het is niet een "proces van opsomming" maar een volledigheid van elementen in een som!!!!.

Als ik 1+ 3+ 4+15= 23 als som aan iemand doorgeef is het niet een proces dat de ontvanger(lezer) moet uitvoeren om uiteindelijk tot 23 te komen maar het is een sluitende vergelijking.

Links en rechts van = zijn identiek.

Het is niet zo dat het antwoord pas 23 wordt als je klaar bent met het aflezen van de cijfers en ze dan op te tellen. De expressie is reeds een som. Voor een som met een onbegrensd aantal elementen is het principe niet anders. Je hoeft niets op te tellen omdat de som al volledig bepaald is. . .dus om te stellen dat je er nooit komt in het getal 0,9… is een onzinnigheid omdat je nergens heen gaat Het getal 0,9…is reeds volledig bepaald.

2) het is niet geldig om 1/x=0 te gebruiken omdat er geen getal bestaat die de vergelijking waar maakt. Je dient alleen duidelijk te maken dat x alsmaar groter wordt en dat de som van alle elementen in de opsomming van de betreffende functie y= f(1/x) voor y=0,9... een getal is.

Ik weet wat je bedoelde maar wat je zegt is onjuist en dat geeft aanleiding om er op te springen, en elke keer iemand iets zegt dat onjuist is blijven we springen:+

Zo, NU is er genoeg gezegd :-)

[ Voor 10% gewijzigd door Anoniem: 124325 op 21-12-2006 00:05 ]

[Mx. Alba]

Anoniem: 201582 schreef op woensdag 20 december 2006 @ 18:43:
En toch is 0.9... niet gelijk aan 1
Er zit namelijk een oneindig klein verschil tussen, en oneindig klein is volgens mij nog steeds niet gelijk aan 0, tenzij we dat aannemen.

Ik betwist dan ook niet dat we aannemen dat 0.9... = 1

En toch is 0,9... dus WEL gelijk aan 1.

Laat ik het nog eens proberen simpel uit te leggen.

Volgens jou is er een verschil tussen 0,9... en 1. Dat zou betekenen dat er dus een getal A > 0, is zodat 0,9... + A = 1.

Kan jij me vertellen welk getal dat is?

0,0...1, zou je kunnen zeggen.

Wat houdt 0,0...1 in?

Een oneindige rij nullen gevolgd door een 1.

Ik herhaal: een oneindige rij nullen gevolgd door een 1.

Hoe ver je ook gaat, er zijn altijd nog meer nullen. Zelfs als je elke seconde 10¹⁰⁰ nullen zou aflopen, dan zou je in het hele leven van het heelal nog niet die ene 1 tegenkomen. De rij nullen is immers ONEINDIG. Die 1 die daarachter staat, die bestaat dus niet!

En dus is 0,0...1 gelijk aan 0

En dus is de enig juiste conclusie dat 0,9... precies gelijk is aan 1.

Q

E

D

punt.

[enomiss]

Ons 'gevecht' is eigenlijk als volgt:

De een zet er telkens een 9 bij, de ander vult het gat steeds op met het restje dat overblijft. Zo blijven we oneindig bezig.

Nu zeggen jullie weer, je begrijpt oneindigheid niet. Ik zie het echter heel anders. Namelijk als volgt:

Wanneer je 3 appels hebt kun je niet zeggen:

"ik ga een oneindige hoeveelheid appels eten"

Je hebt immers maar 3 appels.

Wil je echter kunnen zeggen:

"ik ga een oneindige hoeveelheid appels eten"

Dan heb je ook een oneindige hoeveelheid appels nodig.

Wanneer je dan oneindig veel appels gaat eten van deze oneindige hoeveelheid, zul je ook altijd oneindig veel appels over houden.

Dit zien jullie naar mijn mening verkeerd. Oneindigheid heeft naar mijn mening ook een tegengesteld effect. Jullie zien het maar in slechts in één enkele richting.


Ik heb nog iets waar ik jullie mening graag over hoor. Namelijk het volgende:

Ik heb het idee dat er twee soorten oneindigheid zijn waar we over spreken. Maar ze zijn nog niet duidelijk naar voren gebracht.

De ene soort heeft een begin, de andere is oneindig in beide richtingen.

Wanneer je spreekt van oneindig met een begin, dan neem je ook aan dat 0 bestaat (het begin).

Je zou dan kunnen zeggen dat wanneer je bij 0 begint, je ook de waarde 3 kan hebben. Hier kun je dus rekenen in slechts één richting.

Spreek je echter van oneindigheid in twee richtingen, dan bestaat 0 niet en kun je dus nooit een waarde vinden en/of bepalen. Hier kun je dus niet mee rekenen in beide richtingen.

[Mx. Alba]

En toch bestaat er maar één soort oneindigheid. Iets kan niet oneindiger zijn dan oneindig!

Het probleem dat veel mensen kennelijk hebben met het interpreteren van de notatie 0,9... is dat ze het zien als de volgende reeks:

9x10^-1 + 9x10^-2 + 9x10^-3 + 9x10^-4 + ...

Als je dit opschrijft als een functie, bv:

       _a=x
y = SUM ( 9x10^-a )
       ^a=1

en als je die dan in een x,y assenstelsel uitzet, zie je een curve die begint bij (0 , 0,9), en met een limiet voor x -> oo gelijk aan 1.

Deze som nadert dus tot 1, voor x -> oo.

Maar 0,9... is geen som. Het is de notatie van een getal. En dat getal is PER DEFINITIE gelijk aan de LIMIET van de hierboven genoemde som. 0,9... is dus PER DEFINITIE gelijk aan 1, en in de praktijk is het ook te bewijzen dat dat zo is.

SLOTJE!

[ Voor 5% gewijzigd door Mx. Alba op 21-12-2006 10:43 ]

[enomiss]

Dat is een definitie ja.

Ik had jouw antwoord al verwacht. Je hebt trouwens alleen op mijn laatste deel van het topic gereageerd. Ontkracht mijn eerste deel eens.

--- = oneindigheid

Jij zegt:

--- 0.9 & 1.0 ---

Ik zeg:

--- 0.9 --- 1.0 ---

Wat zeg je nu?

[ Voor 26% gewijzigd door enomiss op 21-12-2006 10:59 ]

[Mx. Alba]

Wat zeg ik nu?

Dat ik er geen hol van snap wat je wilt zeggen

[enomiss]

Jij zegt dat er geen oneindigheid zit tussen 0.9 & 1.0.

[ Voor 11% gewijzigd door enomiss op 21-12-2006 11:04 ]

[Mx. Alba]

Er zit een oneindig aantal getallen tussen 0,9 en 1,0, maar er zit geen oneindigheid tussen. Er zit namelijk maar 0,1 tussen.

Tussen 0,9... en 1,0... zit echter niets. Want 0,9... = 1,0...

[kenneth]

enomiss schreef op donderdag 21 december 2006 @ 11:03:
Jij zegt dat er geen oneindigheid zit tussen 0.9 & 1.0.

Hij en miljoenen wiskundigen. Laat het lekker rusten joh

[ Voor 61% gewijzigd door kenneth op 21-12-2006 11:06 ]

[Confusion]

enomiss schreef op donderdag 21 december 2006 @ 11:03:
Jij zegt dat er geen oneindigheid zit tussen 0.9 & 1.0.

Dat is geen betekenisvolle zin. Wat is 'een oneindigheid'? Definieer eens wat je daar mee bedoeld.

[enomiss]

Mx. Alba schreef op donderdag 21 december 2006 @ 11:05:
Tussen 0,9... en 1,0... zit echter niets. Want 0,9... = 1,0...

Nu redeneer je verkeerd om.

Ga nu eens in op mijn appel voorbeeld en ontkracht het eens.

Confusion schreef op donderdag 21 december 2006 @ 11:09:
[...]

Dat is geen betekenisvolle zin. Wat is 'een oneindigheid'? Definieer eens wat je daar mee bedoeld.

Een oneindig aantal negens. Het brengt je werkelijk nergens. Alleen bij benadering.

[ Voor 35% gewijzigd door enomiss op 21-12-2006 11:12 ]

[Anoniem: 88245]

Mx. Alba schreef op donderdag 21 december 2006 @ 10:39:
En toch bestaat er maar één soort oneindigheid. Iets kan niet oneindiger zijn dan oneindig!

Het probleem dat veel mensen kennelijk hebben met het interpreteren van de notatie 0,9... is dat ze het zien als de volgende reeks:

9x10^-1 + 9x10^-2 + 9x10^-3 + 9x10^-4 + ...

Als je dit opschrijft als een functie, bv:

       _a=x
y = SUM ( 9x10^-a )
       ^a=1

en als je die dan in een x,y assenstelsel uitzet, zie je een curve die begint bij (0 , 0,9), en met een limiet voor x -> oo gelijk aan 1.

Deze som nadert dus tot 1, voor x -> oo.

Maar 0,9... is geen som. Het is de notatie van een getal. En dat getal is PER DEFINITIE gelijk aan de LIMIET van de hierboven genoemde som. 0,9... is dus PER DEFINITIE gelijk aan 1, en in de praktijk is het ook te bewijzen dat dat zo is.

SLOTJE!

Ik ben het met je eens hoor, dat roep ik ook al een tijdje in dit topic.

Maar 0,999... is toch juist hetzelfde als (9/10) + (9/100) + (9/1000) + ...
En er bestaan meerdere soorten 'oneindig'; sommige oneindigheden zijn groter dan anderen (Diagonaalbewijs van Cantor).

[enomiss]

Om zelf maar terug te komen op mijn appel voorbeeld..

Hoe leg je oneindigheid uit als je niet aanneemt dat oneindigheid plaats vind in een welke-naam-je-dit-ook-geeft (oneindig universum?) waarin oneindigheid kan plaatsvinden? Dat beteken dat oneindigheid altijd een deel is van welke-naam-je-dit-ook-geeft.

Dus heb je:

welke-naam-je-dit-ook-geeft (eigenlijk ook gewoon oneindigheid) - oneindigheid = oneindigheid

Dit betekend dat je niet kunt zeggen dat het niet onmogelijk is iets achter oneindigheid toe te voegen. Dat kan namelijk wel, namelijk oneindigheid zelf of slechts een kleine waarde.

[ Voor 5% gewijzigd door enomiss op 21-12-2006 11:27 ]

[Mx. Alba]

Nee, oneindig is oneindig.

Het is echter wel zo dat bepaalde limieten sneller naar oneindig lopen dan andere limieten. 1/x² loopt sneller naar oneindig voor x -> 0 dan 1/x. Maar die oneindig is in beide gevallen wel het zelfde.

Nog eens wat proberen dan

Neem een willekeurig getal A < 1. Er zal altijd een getal B te vinden zijn waarvoor geldt A < B < 1.

Neem nu A = 0,9...

Het is onmogelijk om een getal B te vinden zodat 0,9... < B < 1.

De enige conclusie die je hieruit kan trekken is dat 0,9... = 1.

Er zijn een oneindig aantal bewijzen dat 0,9... = 1, en geen enkel (steekhoudend) bewijs dat 0,9... < 1. Waar gaat de discussie dan nog over???

Wat je vooral niet moet vergeten is dat oneindigheid ook daadwerkelijk ONEINDIG is. Er komt geen einde aan. Niet hier, niet over 3km, zelfs niet als je 10¹⁰⁰⁰⁰ keer het heelal zou rondgaan zou je nog niet aan het einde zijn - sterker nog, er zal nog steeds een oneindigheid voor je liggen omdat dat wat achter je ligt eindig is.

[ Voor 20% gewijzigd door Mx. Alba op 21-12-2006 11:28 ]

[enomiss]

Over het feit dat jij een getal zoekt om het gat op te vullen. Dat getal bestaat inderdaad niet. Maar daar toon je nog niet mee aan dat het gelijk is.

Er zit gewoon een oneindig niet te benaderen getal tussen. Dit getal vind je dus ook niet. Misschien is het gewoon niet op te lossen met jouw wiskunde? Waarom probeer je dan iets te beweren waarvan je zelf weet dat het niet gelijk kan zijn in de werkelijkheid.

Je bent nog altijd een mens. Een computer zo als hij nu is, kan dat getal wat jij zoekt nooit vinden, nee. Maar jij als mens kan zich dat blijvend gat wel voorstellen. Ook al is nu er geen wiskunde voor die dat kan bewijzen.

[ Voor 69% gewijzigd door enomiss op 21-12-2006 11:33 ]

[Sendy]

Mx. Alba schreef op donderdag 21 december 2006 @ 10:39:
En toch bestaat er maar één soort oneindigheid. Iets kan niet oneindiger zijn dan oneindig!

Bzzt. Er bestaat nog zoiets als aftelbaar oneindig ("net zo groot als N") en overaftelbaar oneindig ("net zo groot als R"). Je kan beargumenteren dat overaftelbaar oneindig groter is dan aftelbaar oneindig.

[ Voor 10% gewijzigd door Sendy op 21-12-2006 11:35 ]

[JackBol]

enomiss schreef op donderdag 21 december 2006 @ 11:29:
Over het feit dat jij een getal zoekt om het gat op te vullen. Dat getal bestaat inderdaad niet. Maar daar toon je nog niet mee aan dat het gelijk is.

toch wel. Een manier om aan te tonen dat twee getallen niet gelijk zijn, is door een getal te geven dat tussen deze twee getallen zit. Als je dat getal niet kan aangeven, blijkt dus dat de getallen WEL gelijk zijn. Daarom 0.9 = 1.

De afgelopen 40 posts gaan alleen nog maar over je koppigheid dat je wiskundig bewijs niet wil accepteren. Dat is jou keuze, maar dan moet je niet zeggen dat het anders is.

[Anoniem: 88245]

enomiss schreef op donderdag 21 december 2006 @ 11:29:
Over het feit dat jij een getal zoekt om het gat op te vullen. Dat getal bestaat inderdaad niet. Maar daar toon je nog niet mee aan dat het gelijk is.

Het is inderdaad een eenvoudig bewijs.

Er zit gewoon een oneindig niet te benaderen getal tussen. Dit getal vind je dus ook niet. Misschien is het gewoon niet op te lossen met jouw wiskunde? Waarom probeer je dan iets te beweren waarvan je zelf weet dat het niet gelijk kan zijn in de werkelijkheid.

Er is geen verschil tussen wat jij de 'werkelijke waarde' noemt en de limiet van de reeks.
Als je je eigen wiskunde regels wilt verzinnen zodat 0,999... en 1 twee verschillende getallen zijn, dan kan dat.
Je komt dan al vrij snel in de problemen als je het systeem consistent wilt houden

Je bent nog altijd een mens. Een computer zo als hij nu is, kan dat getal wat jij zoekt nooit vinden, nee. Maar jij als mens kan zich dat blijvend gat wel voorstellen. Ook al is nu er geen wiskunde voor die dat kan bewijzen.

De mens is het probleem juist.
De computer volgt gewoon netjes alle regeltjes die wiskunde maakt tot wat het is, maar zodra mensen er zich mee bezig houden speelt de intuïtie op.
Zo op het eerste gezicht lijken het twee verschillende getallen, maar zodra je je intuïtie aan de kant gooit en er mee gaat rekenen, kom je tot de conclusie dat het twee verschillende manieren van schrijven zijn, van hetzelfde getal.

Als dit topic je niet weet te overtuigen, kun je ook de vele andere bewijzen lezen.

[Mx. Alba]

enomiss schreef op donderdag 21 december 2006 @ 11:29:
Over het feit dat jij een getal zoekt om het gat op te vullen. Dat getal bestaat inderdaad niet. Maar daar toon je nog niet mee aan dat het gelijk is.

Neem een willekeurig getal A < 1.

Je zult ALTIJD een getal B kunnen vinden waarvoor geldt dat A < B < 1.

Als je GEEN getal B kunt vinden waarvoor geldt dat A < B < 1, dan kan dat alleen maar betekenen dat A = 1.

En aangezien er geen getal B te vinden is waarvoor 0,9... < B < 1, kan dat dus alleen maar betekenen dat 0,9... = 1.

Goed, dan zou je nog kunnen beredeneren dat 0,9... vlak naast 1 ligt. Maar dan kom je weer in die zelfde wiskundige definitie dat als het er vlak naast ligt, dat er dan een ander getal te vinden MOET zijn dat tussen 0,9... en 1 ligt!

Dus ofwel je gooit de hele huidige wiskunde overboord, ofwel je neemt gewoon aan dat 0,9... gelijk is aan 1, wat overigens ook uit alle berekeningen en bewijzen blijkt.

Occams Scheermes. Waarom moeilijk doen als het ook makkelijk kan?

Er zit gewoon een oneindig niet te benaderen getal tussen. Dit getal vind je dus ook niet.

Kijk, dit snap ik dus niet.

Wiskundigen zeggen: 0,9... = 1.

Jij zegt: nee, 0,9... < 1.

Wiskundigen zeggen: maar als 0,9... < 1, dan moet er een getal B zijn waarvoor geldt 0,9... < B < 1, en dat getal bestaat niet.

En jij zegt dan: Jawel, dat getal bestaat wel, maar dat is onvindbaar.

Zo kan je alles wel bewijzen!

Ik zal het nog eens een keertje proberen uit te leggen op een andere manier.

Als 0,9... kleiner zou zijn dan 1, dan zou dat betekenen dat er een afstand is tussen 0,9... en 1.

Hoe groot is die afstand?

0,0...1, zou jij zeggen.

Wat houdt die notatie in? Een oneindige rij nullen gevolgd door een 1.

Die notatie is dus totaal onzinnig, want de rij nullen is oneindig. Er is dus niets na. Die 1 komt dus nooit. De notatie 0,0...1 is dus het zelfde als 0,0... De afstand tussen 0,9... en 1 is dus 0, en dus 0,9... = 1.

[Anoniem: 201582]

Als 0,9... kleiner zou zijn dan 1, dan zou dat betekenen dat er een afstand is tussen 0,9... en 1.

Hoe groot is die afstand?

0,0...1, zou jij zeggen.

Nee, die afstand is oneindig klein.
Net zoals er oneindig veel negens achter de komma komen.

[Confusion]

enomiss schreef op donderdag 21 december 2006 @ 11:09:
Een oneindig aantal negens. Het brengt je werkelijk nergens. Alleen bij benadering.

Tussen '0 met een oneindig aantal negens' en '1' zit niet '0 met een oneindig aantal negens en dan nog eens een oneindig aantal negens' of '0 met een oneindig aantal negens en dan nog oneindig keer een oneindig aantal negens'. Als je dat denkt, dan deugt je voorstelling van 'oneindig' niet. De eerste, derde en vierde term tussen aanhalingstekens zijn precies gelijk, als de je reguliere wiskundige betekenis van 'oneindig' aanhoudt.

[enomiss]

Confusion schreef op donderdag 21 december 2006 @ 13:12:
[...]

Tussen '0 met een oneindig aantal negens' en '1' zit niet '0 met een oneindig aantal negens en dan nog eens een oneindig aantal negens' of '0 met een oneindig aantal negens en dan nog oneindig keer een oneindig aantal negens'. Als je dat denkt, dan deugt je voorstelling van 'oneindig' niet. De eerste, derde en vierde term tussen aanhalingstekens zijn precies gelijk, als de je reguliere wiskundige betekenis van 'oneindig' aanhoudt.

Dat zeg ik ook helemaal niet.

[Mx. Alba]

Anoniem: 201582 schreef op donderdag 21 december 2006 @ 13:08:
Nee, die afstand is oneindig klein.
Net zoals er oneindig veel negens achter de komma komen.

Als de afstand oneindig klein is, houdt dat in dat 0,9... en 1 tegenelkaar aan liggen. Er zit immers niets tussen, toch?

Nu stel ik je een volgende vraag: hoe dik is een getal?

Het enig juiste antwoord is: 0. Een getal heeft geen dikte op de getallenrij.

Als je twee dingen met een dikte van 0 tegenelkaar legt, liggen ze precies op dezelfde plek.

Als je dus 0,9... direct tegen 1 aan legt, liggen ze precies op dezelfde plek, en zijn ze precies aanelkaar gelijk.

"Ja maar er is wel een tussen-afstand, die oneindig klein is", zeg je nu.

Nou, als er een afstand is tussen 0,9... en 1, dan moet daartussen ook een ander getal passen. Zelfs een oneindig aantal getallen, omdat een getal een dikte van 0 heeft. Noem mij eens zo'n getal tussen 0,9... en 1 dan?

[Anoniem: 201582]

Als de afstand oneindig klein is, houdt dat in dat 0,9... en 1 tegenelkaar aan liggen. Er zit immers niets tussen, toch?

Dat nemen we aan ja, dat er niets tussen zit. Maar dat getal is dus oneindig klein en dus ook niet te definieren.
die 'reepjes' van die limieten zijn ook oneindig klein, maar geen 0.
Oneindig veel stukjes x 0 = 0
Oneindig veel stukjes x oneindig kleine stukjes = ... uhm...

De aanname 0.9...= 1 is juist. maar daar was ik het al een tijdje mee eens trouwens.

[Mx. Alba]

Wat is het probleem dan?

Je zou inderdaad 0,9... kunnen zien als het allergrootst mogelijke getal in R dat kleiner dan 1 is.

Maar in de huidige wiskundige wereld is dat gelijk aan zeggen dat het gelijk is aan 1...

[Anoniem: 201582]

Mx. Alba schreef op donderdag 21 december 2006 @ 14:27:
Wat is het probleem dan?

Je zou inderdaad 0,9... kunnen zien als het allergrootst mogelijke getal in R dat kleiner dan 1 is.

Maar in de huidige wiskundige wereld is dat gelijk aan zeggen dat het gelijk is aan 1...

Tja, niets eigenlijk

[JeromeB]

Mx. Alba schreef op donderdag 21 december 2006 @ 14:27:
Wat is het probleem dan?

Je zou inderdaad 0,9... kunnen zien als het allergrootst mogelijke getal in R dat kleiner dan 1 is.

Maar in de huidige wiskundige wereld is dat gelijk aan zeggen dat het gelijk is aan 1...

Dat snap ik niet. Volgensmij spreek je jezelf nu tegen. 0.9 = 1 dus 0.9<1 klopt niet.

Anoniem: 201582 schreef op donderdag 21 december 2006 @ 13:08:
[...]

Nee, die afstand is oneindig klein.
Net zoals er oneindig veel negens achter de komma komen.

Ik weet niet wat jij bedoelt met oneindig klein, maar die afstand is gewoon 0.

enomiss schreef op donderdag 21 december 2006 @ 11:29:
Over het feit dat jij een getal zoekt om het gat op te vullen. Dat getal bestaat inderdaad niet. Maar daar toon je nog niet mee aan dat het gelijk is.

Er zit gewoon een oneindig niet te benaderen getal tussen. Dit getal vind je dus ook niet. Misschien is het gewoon niet op te lossen met jouw wiskunde? Waarom probeer je dan iets te beweren waarvan je zelf weet dat het niet gelijk kan zijn in de werkelijkheid.

Je bent nog altijd een mens. Een computer zo als hij nu is, kan dat getal wat jij zoekt nooit vinden, nee. Maar jij als mens kan zich dat blijvend gat wel voorstellen. Ook al is nu er geen wiskunde voor die dat kan bewijzen.

Dat is wel een bewijs, maar misschien wil je dit bericht ook nog eens doorlezen: http://gathering.tweakers...message/27136764#27136764. Er zit geen getal tussen dat jij een "oneinidig niet te benaderen getal" noemt. Hoe je er ook bij komt is mij een raadsel?