Repetentie: harde wiskunde en filosofie

[Cyphax]

Modbreak:

LET OP: Dit topic is afgesplitst!

Dit topic is afgesplitst van [math] 111,111,111 x 111,111,111 = ..... (Huiskamer). De discussie over repetentie was dermate uitgebreid dat het beter tot zijn recht kan komen in een eigen topic. Gezien het niveau / de materie van de zaak is die beter op zijn plek in W&L.

Alle relevante posts zijn naar dit topic verplaatst en het geheel is in W&L gedeponeert.

---

---

Zoijar schreef op dinsdag 28 november 2006 @ 11:49:
[...]

Dat is per definitie zo... (je kan op zo'n manier 1=0 aantonen, dus je moet een beetje uitkijken met aannames over oneindige reeksen)

Heb ik pas nog over zitten bakkeleien met iemand
1/3 == 0,333...
1/3*3 = 1 dus 0,333... = 1 en op diezelfde manier zou 0,999... ook 1 zijn.
Ik hou het er maar op dat het eigenlijk gewoon afspraak is omdat "oneindig" niet echt mogelijk is.

[ Voor 32% gewijzigd door Anoniem: 4629 op 01-12-2006 02:43 ]

[DataGhost]

Cyphax schreef op dinsdag 28 november 2006 @ 15:36:
[...]

Heb ik pas nog over zitten bakkeleien met iemand
1/3 == 0,333...
1/3*3 = 1 dus 0,333... = 1 en op diezelfde manier zou 0,999... ook 1 zijn.
Ik hou het er maar op dat het eigenlijk gewoon afspraak is omdat "oneindig" niet echt mogelijk is.

Dat is wel mogelijk, je kan een breuk alleen niet opschrijven (juist omdat ie oneindig is... en in sommige gevallen dan 1/2 kan wel ). Op het moment dat je dat doet verlies je precisie.

[Zoijar]

Cyphax schreef op dinsdag 28 november 2006 @ 15:36:
[...]

Heb ik pas nog over zitten bakkeleien met iemand
1/3 == 0,333...
1/3*3 = 1 dus 0,333... = 1 en op diezelfde manier zou 0,999... ook 1 zijn.
Ik hou het er maar op dat het eigenlijk gewoon afspraak is omdat "oneindig" niet echt mogelijk is.

Het gaat om de afstand tussen twee getallen, als die 0 is zijn de getallen gelijk. En de afstand tussen 0.999... en 1.000... is gelijk 0. Je kan namelijk niet na een oneindige reeks nullen nog een 1 plaatsen. Dus de afstand is 0.000... met een oneindigheid aan nullen, dwz. 0.

Jawel hoor, oneindig is wiskundig heel goed gedefineerd. Het gaat alleen vaak tegen je intuitie in. Er zijn zelfs verschillende groottes van oneindigheid.

[ Voor 10% gewijzigd door Zoijar op 28-11-2006 15:58 ]

[Anoniem: 88245]

Cyphax schreef op dinsdag 28 november 2006 @ 15:36:
[...]

Heb ik pas nog over zitten bakkeleien met iemand
1/3 == 0,333...
1/3*3 = 1 dus 0,333... = 1 en op diezelfde manier zou 0,999... ook 1 zijn.
Ik hou het er maar op dat het eigenlijk gewoon afspraak is omdat "oneindig" niet echt mogelijk is.

0,9999... is ook gewoon gelijk aan 1.
Maar 0,9999.. repetent is niet oneindig, enkel het aantal decimalen is oneindig.
Je moet kijken naar wat 0,9999 eigenlijk is, dan is het duidelijk:

0,9999... = 0,9 + 0,09 + 0,009 + 0,0009 + ...

= 9·0,1 + 9·0,01 + 9·0,001 + 9·0,0001 + ...

= 9·10^-1 + 9·10^-2 + 9·10^-3 + 9·10^-4 + ...

   n=∞
= Σ 9·10^-n
   n=1

          n=N
:= lim   Σ   9·10^-n
  N→∞ n=1

= lim  ( 9·10^-1 + 9·10^-2 + ... + 9·10^-N )
   N→∞

= lim  ( 9·0,1 + 9·0,01 + ... + 9·0,000...0001 )
   N→∞                                     \_______/
                                              N-1 nullen

= lim  ( 0,9 + 0,09 + ... + 0,000...0009 )
   N→∞                               \_______/
                                     N-1 nullen

= lim  ( 0,999...999 )
   N→∞   \_______/
              N negens

= lim  ( 1 - 0,000...0001 )
   N→∞         \_______/
                   N-1 nullen

= lim  ( 1 - 10^-N )
  N→∞

= lim  1 - lim  10^-N
   N→∞   N→∞

= 1 - 0
= 1

Jezus wat een brei, tijd voor een [code=LaTeX] tag

[elnino]

Anoniem: 88245 schreef op dinsdag 28 november 2006 @ 16:39:
0,9999... is ook gewoon gelijk aan 1.

Ehm, het enige wat je aantoont is dat de limiet van 0,9999... gelijk is aan 1. Dat zegt nog niets over het getal 0,9999... zelf. 0,9999... < 1 (lijkt me evident) en kan dus nooit gelijk zijn aan 1.

Vergelijk maar eens de functie x²/x, geëvalueerd in het punt 0. Deze functie is daar niet bepaald, immers 0/0 bestaat niet. De limiet bestaat wel, en we zien dat de limiet van x²/x geëvalueerd in het punt 0 gelijk is aan 0. Dus je bewijs is hoe dan ook niet sluitend.

[Anoniem: 88245]

elnino schreef op donderdag 30 november 2006 @ 00:49:
[...]
Ehm, het enige wat je aantoont is dat de limiet van 0,9999... gelijk is aan 1. Dat zegt nog niets over het getal 0,9999... zelf. 0,9999... < 1 (lijkt me evident) en kan dus nooit gelijk zijn aan 1.

Nee, 0,9999 repetent is per definitie gelijk aan 1.
Er is geen enkel bewijs dat het andere getallen zijn.
Zie deze uitgebreide wikipedia pagina.

Het lijkt niet logisch, maar het is toch echt zo.
Volgens jou is:
0,9999... < 1,

dus dan moet er een positief getal P bestaan zo dat:
0,9999... + P = 1,

maar voor elk positief nummer B krijgen we:
0,9999... + P > 1.

Hier is ook veel aandacht besteed aan dit onderwerp (veel mensen weigeren het gewoon te geloven).

[Anoniem: 43565]

Anoniem: 88245 schreef op donderdag 30 november 2006 @ 08:16:
[...]
Nee, 0,9999 repetent is per definitie gelijk aan 1.
Er is geen enkel bewijs dat het andere getallen zijn.
Zie deze uitgebreide wikipedia pagina.

Het lijkt niet logisch, maar het is toch echt zo.
Volgens jou is:
0.9999... < 1,

dus dan moet er een positief getal P bestaan zo dat:
0.9999... + P = 1.

maar voor elk positief nummer B krijgen we:
0.9999... + P > 1.

Hier is ook veel aandacht besteed aan dit onderwerp (veel mensen weigeren het gewoon te geloven).

Ik geloof je

[deepbass909]

Ik heb altijd geleerd dat de limiet 0,99999... 1 benadert, maar het nooit wordt.
Als ik de wikipedia pagina lees, zie ik 1 enorme wiskundige fout. 0,99999 = 1, maar wat niet klopt is 0,99999=1,00000 . Het verschil is afronding.
Je kan mij niet wijsmaken dat 0,99999... (met oneindig aantal 9's) gelijk is 1,00000... (met een gelijk aantal 0-en).

[Anoniem: 88245]

deepbass909 schreef op donderdag 30 november 2006 @ 12:53:
Ik heb altijd geleerd dat de limiet 0,99999... 1 benadert, maar het nooit wordt.
Als ik de wikipedia pagina lees, zie ik 1 enorme wiskundige fout. 0,99999 = 1, maar wat niet klopt is 0,99999=1,00000 . Het verschil is afronding.
Je kan mij niet wijsmaken dat 0,99999... (met oneindig aantal 9's) gelijk is 1,00000... (met een gelijk aantal 0-en).

Dat is jammer.
Ik kan net zo goed 1/1, 3-2, of 1,00000000 schrijven; het blijft hetzelfde getal: "een".
Als het een ander getal is, dan moet er een getal bestaan dat tussen 0,999.. repetent en 1 in zit.
Welke is dat, wat is het verschil?

En waar rond ik af?
Je rond alleen af als je stopt met decimalen tellen.
Nergens rond ik 0,999.. repetent af.

0,999... repetent is gewoon een getal, het gaat nergens heen (het komt niet dichter en dichter bij 1; het is gelijk aan 1, of niet, een andere mogelijkheid is er niet).

Ik dacht dat een reeks maar één limiet kon hebben.
Het limiet van:

0,9
0,99
0,999
0,9999
0,99999
...

is

0,9999...

Dus deze reeks komt oneindig dicht bij 0,9999... repetent.
Maar het komt ook oneindig dicht bij 1,0000, dus dat is ook het limiet van die reeks.
Daarom zijn ze exact hetzelfde!

Mensen begrijpen het begrip "oneindig" volgens mij niet echt.

There is no distinction between saying the sum of the series equals one on the one hand, but merely converges to one on the other. When talking about infinite sums, convergence is the only game in town. Saying the sum equals one and saying the series converges to one are two different ways of saying the same thing (with the second formulation a bit more precise).

The commenter asks if n actually reaches infinity or if it merely approaches infinity. The answer is that infinity is not a final destination for wandering variables. The entire phrase “as n approaches infinity” has a precise definition. You should not think of this phrase as indicating that n is the sort of thing that goes places, infinity is a place for it to go, and the word “approaches” means the same thing here as it means in every day speech.

Going back to the problem that started it all, I would express things as follows: The expression .9999... repeating is a short-hand way of writing the number obtained when the infinite series

(9/10) + (9/100) + (9/1000) + ...

is evaluated. It is a consequence of the way the sum of an infinite series is defined that the series above converges to one. Therefore, it is meaningful to say that the expression .99999... repeating is another way of writing the number one.

The final point is that there is no philosophical question here. That .9999... repeating is a logical consequence of the way various terms are defined, and that is all.

Denk er eens over na, wat is 1 - 0,999.. ?

1 - 0,9 = 0,1
1 - 0,99 = 0,01
1 - 0,999 = 0,001
1 - 0,999... = ????

Dus volgens jou logica moet dat zijn: 1 - 0,999... = 0,0000 ... 1?
Oneindig veel nullen, dat nooit stopt, met een 1 er achter.

Als je aanneemt dat het getal (gewoon een getal, niets meer niets minder) 0,999... bestaat, dan moet je ook aannemen dat het gelijk is aan 1.
Veel mensen geloven niet dat 0,999... gelijk is aan 1, maar geloven wel gewoon dat 0,999... een getal is.


Meer valse tegenargumenten:

"0.9999... and 1 are obviously different numbers."

Not good enough. Intuition counts for nothing. In mathematics, proof is everything, and "obvious" means "a proof springs immediately to mind". Please PROVE that 0.9999... and 1 are not equal. Without proof, no hunch, feeling, or intuition is worth anything.

"1 and 0.9999... are written differently, therefore they are different numbers."

There are many ways of writing ANY number. You could write 1/1, or 2/2, or 9/9, or 2-1, or 1.0, or 1.00, or 1.0000... or any number of other expressions, and all of them ultimately have the same meaning, "one".

"0.9999... is a concept, not a number."

All numbers are concepts. Some numbers, like 1, have stronger links to reality than others, but we are looking at mathematics here, not the real world. If you're going to throw away numbers which can't concretely exist, then you're throwing away pi, e, i, zero, and, frankly, almost all of mathematics.

"There is a rounding error. 0.9999... and 1 are approximately equal."

Do you see any rounding or approximation going on around here? That only happens when you stop counting after a certain number of decimal digits. But I have kept and counted every single one of the infinitely many decimal digits in my proofs. No rounding, no error.

"0.9999... gets closer and closer to 1, but never reaches it."

Closer and closer? How can it be getting closer and closer? It's one number!

"0.9999... is a decimal representation of infinity, not a number."

Well, how come it's DEFINITELY bigger than 0.5 and smaller than 2? FACT: Just because something has infinitely many pieces doesn't mean it's infinite. Zeno figured this out 2500 years ago.

"My mate/my dad/my mathematics teacher/Professor Stephen Hawking told me that 0.9999... and 1 were different numbers."

They were wrong. In science, credentials are as worthless as intuition (above). Proof is everything.

"I still don't believe it, and I'm entitled to my own opinion."

Mathematics is unlike regular science in that we can actually prove things, permanently, for real, instead of just finding increasing amounts of evidence supporting our hypotheses. That's why we have what we call "theorems" instead of theories. That point nine recurring equals one is just such a theorem (although it's so easy that it's barely worth the name). You aren't in a position to argue or debate about it. It's a fact. Your opinion is wrong.

You are entitled to be wrong, I suppose, but if you do intend to refuse to listen to clear, patient, accurate reasoning then I must request that you please distance yourself from any future discussions that you may encounter on this topic, for the benefit of everybody who is actually interested in the subject.

Jij komt wel overeen met wat er in de wikipedia link hierboven staat:

• Students are often "mentally committed to the notion that a number can be represented in one and only one way by a decimal." Seeing two manifestly different decimals representing the same number appears to be a paradox, which is amplified by the appearance of the seemingly well-understood number 1.
• Some students interpret "0.999…" (or similar notation) as a large but finite string of 9s, possibly with a variable, unspecified length. If they accept an infinite string of nines, they may still expect a last 9 "at infinity".
• Intuition and ambiguous teaching lead students to think of the limit of a sequence as a kind of infinite process rather than a fixed value, since a sequence need not reach its limit. Where students accept the difference between a sequence of numbers and its limit, they might read "0.999…" as meaning the sequence rather than its limit.
• Some students regard 0.999... as having a fixed value which is less than 1 but by an infinitely small amount.
• Some students believe that the value of a convergent series is an approximation, not the actual value.

[TheZeroorez]

Joost:

Het is gewoon de regel dat oneindig veel decimalen afgerond worden. Als je bij natuurkunde 4 suikerklontjes hebt liggen schrijf je toch ook niet 4,0000 omdat anders je berekeningen met significantie eraan gaan?

Als het oneindig ver door gaat is het gewoon een telwaarde, een meetwaarde kan niet zo nouwkeurig.. (Meten in oneindig veel decimalen )

[kenneth]

Afronden heeft alleen te maken met (zoals je zegt) metingen en noteren. Het gaat hier om het getal 0.999... en niet een toepassing daarvan in de natuurkunde oid.

[TheZeroorez]

Mja, dan nog.. Oneindig is zoveel, dat je wel kunt stellen dat het 1 is.

[kenneth]

Het is ook 1

[Anoniem: 43565]

TheZeroorez schreef op donderdag 30 november 2006 @ 16:04:
Joost:

Het is gewoon de regel dat oneindig veel decimalen afgerond worden. Als je bij natuurkunde 4 suikerklontjes hebt liggen schrijf je toch ook niet 4,0000 omdat anders je berekeningen met significantie eraan gaan?

Als het oneindig ver door gaat is het gewoon een telwaarde, een meetwaarde kan niet zo nouwkeurig.. (Meten in oneindig veel decimalen )

niet te praktisch doen bij Wiskunde. Als Wiskundige zeggen dat oneindigheid bestaat dan is dat zo.
En als je oneindig veel negens achter de komma geeft kun je geen enkel getal geven dat tussen dat getal en één zit, dus zijn ze gelijk. Dat je er verder niets aan hebt doet er niet toe

[Anoniem: 88245]

TheZeroorez schreef op donderdag 30 november 2006 @ 16:04:
Joost:

Het is gewoon de regel dat oneindig veel decimalen afgerond worden. Als je bij natuurkunde 4 suikerklontjes hebt liggen schrijf je toch ook niet 4,0000 omdat anders je berekeningen met significantie eraan gaan?

Als het oneindig ver door gaat is het gewoon een telwaarde, een meetwaarde kan niet zo nouwkeurig.. (Meten in oneindig veel decimalen )

Wat voor regel is dat dan.
We hebben het over pure wiskunde.
De schrijfwijze maakt niet uit, 1, 1/1, 3/3, 1,00000, 2-1, 6-5 zijn een paar manieren om dezelfde waarden te noteren, ze zijn allemaal exact hetzelfde.

Oneindig veel decimalen hoor je niet af te ronden, want dan word het ineens eindig en dan is het een compleet ander getal.
0,999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
is iets heel anders dan 0,999 repetent.

Zoals wikipedia zegt:

Students are often "mentally committed to the notion that a number can be represented in one and only one way by a decimal." Seeing two manifestly different decimals representing the same number appears to be a paradox, which is amplified by the appearance of the seemingly well-understood number 1.

Zo denk jij dus.

Heb je die linkjes gelezen, wiskundigen leggen het daar haarfijn uit.

[ Voor 14% gewijzigd door Anoniem: 88245 op 30-11-2006 16:22 ]

[TheZeroorez]

Anoniem: 88245 schreef op donderdag 30 november 2006 @ 16:21:
[...]
Wat voor regel is dat dan.

Gewoon, significantie.. 12,5 gram delen door 6,7 gram != 1,86567164...

We hebben het over pure wiskunde.

Mja, daar heb je een punt, niet op gelet

...
Zoals wikipedia zegt:
[...]


Zo denk jij dus.

Mwah, zo denk ik niet.. Daarover wilde ik het het hebben

Heb je die linkjes gelezen, wiskundigen leggen het daar haarfijn uit.

Nu wel, daarnet half

[kenneth]

TheZeroorez schreef op donderdag 30 november 2006 @ 16:34:
Nu wel, daarnet half

Half? Of 0,5? Of 0,50? Of ...

[Anoniem: 88245]

TheZeroorez schreef op donderdag 30 november 2006 @ 16:34:
[...]
Gewoon, significantie.. 12,5 gram delen door 6,7 gram != 1,86567164...

Ja, maar je kunt net zo goed 12,5000000 of 12 1/2 schrijven, getallen met dezelfde waarden kun je op veel manieren schrijven.

Elk getal is te schrijven met oneindig veel decimalen.
1,00 is een verkorte notatie voor 1,000000000000000...
16096 is een verkorte notatie voor 16096,00000000000000000...
1/3 is een verkorte notatie voor 0,333...
pi is een verkorte notatie voor 3,14159265...
0,999... is een verkorte notatie voor (9/10)+(9/100)+(9/1000)+...

Dat is een fundamentele eigenschap van wiskunde.

Snelste bewijs.
Als het verschil tussen twee getallen nul is, zijn ze gelijk:
1,0000... - 0,9999... = 0,0000...
                              = 0

Als je aannames correct zijn, je redenering correct is, dan is de conclusie (hoe gek die ook is) ook correct.

We nemen: x = 0,9999...

Vermenigvuldigen met 10:
10x = 9,9999...

X er vanaf halen:
10x - x = 9,9999... - 0,9999...
9x = 9,0000...

Delen door 9:
x = 1,0000...

Ta da!

[KneoK]

Anoniem: 88245 schreef op donderdag 30 november 2006 @ 13:37:

[..flink verhaal..]

Mede door je uitleg kan ik begrijpen dat 0,9999rep gelijk is aan 1. Maar op deze manier is elk repetent getal (ben geen wiskundige dus zou niet weten hoe je zo'n getal noemt) dus gelijk te stellen aan het daarop volgende getal ? 0,2222rep is gelijk aan 0,23 want daartussen is geen getal te verzinnen ? 0,6666rep == 0,67, niet alleen afgerond, maar per definitie ?

Verder vind ik de rekensom met 9 altijd wel charmant
9x9=81, 8+1=9
9x81=729, 7+2+9=18, 1+8=9
enz.

[Anoniem: 43565]

Wiskunde kent geen significantie. Dat is het vakgebied van Natuurkunde.

@hierboven.
De negenproef.

grote optelling:
53
56
75
35
=
219
Is dat juist of is er een rekenfoutje gemaakt? Doe de negenproef
5+3 = 8
5+6 = 11 -> 1+1 = 2 || 8 + 2 = 10 -> 1+0 = 1
7+5= 12 -> 1+2 = 3 || 1 + 3 = 4
3+5 = 8 || 4 + 8 = 12 || 1 + 2 = 3
Drie dus

nu het antwoord
219 -> 2 + 1 + 9 = 12 -> 1 + 2 = 3.

ook drie. Dan is de kans klein dat er een optelfout is (de afwijking zou dan een veelvoud van 10 moeten zijn)

[ Voor 75% gewijzigd door Anoniem: 43565 op 30-11-2006 18:26 ]

[Anoniem: 146043]

sjirafje schreef op dinsdag 28 november 2006 @ 11:35:
9,99999999999(oneindig veel negens) = exact 10
want 9,9999999999... * 10 = 99,9999999999...
99,9999999999... - 9,9999999999... = 90 (= 9 * 9,9999999999...)
90 / 9 = ?

Je bedoelt 9,9ˉ

[Andamanen]

KneoK schreef op donderdag 30 november 2006 @ 18:19:
[...]
Maar op deze manier is elk repetent getal (ben geen wiskundige dus zou niet weten hoe je zo'n getal noemt) dus gelijk te stellen aan het daarop volgende getal ? 0,2222rep is gelijk aan 0,23 want daartussen is geen getal te verzinnen ? 0,6666rep == 0,67, niet alleen afgerond, maar per definitie ?

In ons tientallig stelsel werkt het alleen met ,9999rep. Tussen 0,2222rep en 0,23 zit nog wel "ruimte" (waar bijvoorbeeld het getal 0,223 nog zit)

[Anoniem: 88245]

KneoK schreef op donderdag 30 november 2006 @ 18:19:
[...]


Mede door je uitleg kan ik begrijpen dat 0,9999rep gelijk is aan 1. Maar op deze manier is elk repetent getal (ben geen wiskundige dus zou niet weten hoe je zo'n getal noemt) dus gelijk te stellen aan het daarop volgende getal ? 0,2222rep is gelijk aan 0,23 want daartussen is geen getal te verzinnen ? 0,6666rep == 0,67, niet alleen afgerond, maar per definitie ?

Dat klopt niet.
Vul dat eens in in het sommetje hierboven.
x = 0,222...
10x = 2,222...
10x - x = 2,222... - 0,222...
9x = 2
x = 0,222...

0,222... is niet gelijk aan 0,23, je rond nu af en je plakt er nu gewoon een cijfer achter.

Veel mensen denken bij 0,999... aan een gigantisch grote (maar eindige) rij negens met variabele lengte en een negen aan het einde.
Er is geen einde, dus je kunt het ook niet het laatste getal in die rij ophogen

[Angeloonie]

Maar dan nog is 0,999... niet hetzelfde als 1,000...

[Anoniem: 88245]

Angeloonie schreef op donderdag 30 november 2006 @ 19:48:
Maar dan nog is 0,999... niet hetzelfde als 1,000...

Bewijs het eens.

[Angeloonie]

Anoniem: 88245 schreef op donderdag 30 november 2006 @ 19:59:
[...]
Bewijs het eens.

simpel: waarom zou je dan 0,999 opschrijven als het toch 1 is?

[Anoniem: 88245]

Angeloonie schreef op donderdag 30 november 2006 @ 20:15:
[...]


simpel: waarom zou je dan 0,999 opschrijven als het toch 1 is?

Ik dacht dat je bedoelde dat 0,999... repetent niet gelijk was aan 1,000... repetent maar wel aan 1.

[Angeloonie]

en hoe schrijf je 1 op? Juist, 1,0000

[Anoniem: 88245]

Angeloonie schreef op donderdag 30 november 2006 @ 20:18:
en hoe schrijf je 1 op? Juist, 1,0000

Nu ben ik je kwijt.
Zeg je nou dat 0,999... repetent wel of niet hetzelfde is als 1,000... repetent?

[Angeloonie]

niet

0,99999... is niet hetzelfde als 1,00000..., en 0,9999... is niet hetzelfde als 1, behalve afgerond dan.

De geweldige rekentruc om wel op 1 uit te komen klopt niet, want ik ken geen rekenmachine die met 0,999.. (repetent) kan werken

[ Voor 36% gewijzigd door Angeloonie op 30-11-2006 20:32 ]

[Anoniem: 88245]

Angeloonie schreef op donderdag 30 november 2006 @ 20:32:
niet

0,99999... is niet hetzelfde als 1,00000..., en 0,9999... is niet hetzelfde als 1, behalve afgerond dan.

De geweldige rekentruc om wel op 1 uit te komen klopt niet, want ik ken geen rekenmachine die met 0,999.. (repetent) kan werken

En hoe weerleg je dan die uitgebreide bewijzen die hierboven genoemd zijn (en nog eens door wiskundigen worden bewezen in de links hierboven)?
Sterker nog, waar is het bewijs dat 0,999... niet gelijk is aan 1 of 1,000... ?

We leren op school dat 1/3 gelijk is aan 0,333... repetent, dat ben je met me eens hoop ik.
Dan is 2/3 2 * 0,333... = 0,666...
3/3 is dan 3 * 0,333... = 0,999...
En 3/3 is gewoon 1.

Zo kunnen we alle getallen schrijven.
Het getal 2 is hetzelfde als 2,0 of 2,000; het maakt niet uit hoeveel nullen er achter de komma staan nul blijft nul.
Getal 2 kunnen we ook schrijven als 4-2, 4/2 of 6/3, ook al is de notatie anders, het is exact hetzelfde getal.
Zo is ook 1/1, 3/3, 1,00 of 1,00000000000000000 en 1,000... repetent gewoon hetzelfde als 1.

Wiskunde is vaak niet echt intuïtief, helemaal met een begrip als "oneindig".
0,999... is een andere manier om 9*(1/10) + 9*(1/100) + 9*(1/1000) + ... te schrijven.
Begrijp wel, 0,999... repetent heeft geen einde.
Je kunt dus niet zoiets doen als: 0,99999999999999999999 + 0,0000000000000000000001 = 1,000000000000000000000.
We ronden niet af, het benaderd ook niets, de decimalen gaan oneindig door.
Als je eenmaal begrijpt dat er oneindige reeksen bestaan, moet je ook aannemen dat er geen verschil is tussen het limiet en wat de waarde eigenlijk is.

Het optellen van oneindige reeksen is fundamenteel anders dan het optellen van eindige reeksen, zoals hier uitgebreid wordt uitgelegd.

Ik daag je uit om dit voor te dragen aan een wiskunde professor/leraar.
Het is geen foefje als het keer op keer bewezen is, zonder enig tegenbewijs.

En je rekenmachine kan er goed mee overweg, zoiets noemen we breuken.
Pi, bijvoorbeeld, heeft ook oneindig veel decimalen, je rekenmachine kan daar ook gewoon mee rekenen.

[ Voor 6% gewijzigd door Anoniem: 88245 op 30-11-2006 20:56 ]

[anandus]

Op zich klopt het allemaal wel, maar waar blijft de 0,0000...(repetent)..001 dan? Of staat dan dan gelijk aan 0?

[Anoniem: 43565]

0,00000...(repetent)....001 kan niet. Als je een oneindig aantal nullen hebt kom je nooit aan het eind om een 1 te zetten.

[Angeloonie]

1/3 is niet gelijk aan 0,333, maar wordt aan de hand van die breuk zo omschreven, want 0,33*3 is nog steeds 0,99 en niet 1,00. 1/3*3 is wel exact 1,00, omdat je niet met repetente getallen zit.

Omdat een getal oneindig is, en daarom niet mee te rekenen is maken we er maar de regel van dat een repetent getal gelijk is aan een heel getal.

Hoe je het wend of keert, 0,999... is nooit hetzelfde als 1,000...

Je kunt dus niet zoiets doen als: 0,99999999999999999999 + 0,0000000000000000000001 = 1,000000000000000000000.

En daarom is 0,999... dus niet exact 1,000, omdat je zoals je aangeeft er iets bij moet doen om er exact 1,000.. van te maken.

0,999.... + 0,000...1 zou wel kunnen, maar ook weer niet, omdat het oneindig is. En juist om die reden is het weer zo dat 0,999 wel beschouwd wordt als 1, omdat er gewoonweg niet omgegaan kan worden met oneindige getallen. 0,333*3 zal nooit 1,000 zijn, puur omdat je oneindige getallen hebt, en die getallen niet kloppen, omdat 0,333*3=0,999 en niet 1,000

[Snake]

Angeloonie schreef op donderdag 30 november 2006 @ 21:04:
1/3 is niet gelijk aan 0,333, maar wordt aan de hand van die breuk zo omschreven, want 0,33*3 is nog steeds 0,99 en niet 1,00. 1/3*3 is wel exact 1,00, omdat je niet met repetente getallen zit.

Omdat een getal oneindig is, en daarom niet mee te rekenen is maken we er maar de regel van dat een repetent getal gelijk is aan een heel getal.

Hoe je het wend of keert, 0,999... is nooit hetzelfde als 1,000...


[...]

0,99999999999999999999999999999999999999999999999999999999...
BLIJFT doorgaan, stopt nooit

+ hoeveel moet ik dit getal dan doen om 1 uit te komen?

[ Voor 64% gewijzigd door Snake op 30-11-2006 21:15 ]

[Hertog]

Angeloonie schreef op donderdag 30 november 2006 @ 20:32:
niet

0,99999... is niet hetzelfde als 1,00000..., en 0,9999... is niet hetzelfde als 1, behalve afgerond dan.

Simpele vraag dan: welk getal zit er volgens jou tussen 0,9999... en 1? Tussen twee verschillende getallen zit altijd een ander getal, dus zou je dit getal even willen noemen?

spoiler:

Dat getal is er niet, dus ze zijn wel degelijk gelijk

[Anoniem: 43565]

0.3333 is niet gelijk aan ¹/₃
0.33333..... (voor eeuwig door blijven gaan) is dat wel

[marko77]

CodeCaster schreef op dinsdag 28 november 2006 @ 11:37:
HAPHAP

oliebol

tis weer bijna vrijdag

[Anoniem: 4629]

Waarom zou er in godsnaam een getal tussen 2 andere getallen moeten zitten? Dat hoeft helemaal niet. Stel gewoon dat 0.999999.. het getal is dat kleiner is dan 1 en wat het dichtst bij 1 zit en je bent van al het gezeik af. Geen getal er tussen want het nadert oneindig, maar ook niet gelijk.


Theorems zijn ook maar meningen.

[ Voor 10% gewijzigd door Anoniem: 4629 op 30-11-2006 21:21 ]

[Snake]

Anoniem: 4629 schreef op donderdag 30 november 2006 @ 21:19:
Waarom zou er in godsnaam een getal tussen 2 andere getallen moeten zitten? Dat hoeft helemaal niet. Stel gewoon dat 0.999999.. het getal is dat kleiner is dan 1 en wat het dichtst bij 1 zit en je bent van al het gezeik af. Geen getal er tussen want het nadert oneindig, maar ook niet gelijk.


Theorems zijn ook maar meningen.

Theorems = theorie, daarom hoeft het zo in de praktijk net te zijn.
2 evenwijdige rechten op oneindig kruisen ook ( kijk maar naar de horizon )

[Anoniem: 4629]

Snakiej schreef op donderdag 30 november 2006 @ 21:22:
Theorems = theorie, daarom hoeft het zo in de praktijk net te zijn.

In ditzelfde topic wordt gesteld dat een theorem niet hetzelfde is als een theorie omdat een theorem bewezen kan worden. Ga eerst dat maar uitvechten dan


Edit: en rechten kruisen op de horizon ook niet, dat lijkt enkel zo vanuit je punt van observatie, en dan nog enkel omdat je zicht beperkt is. In de praktijk kruisen ze dan nog steeds niet.

[ Voor 22% gewijzigd door Anoniem: 4629 op 30-11-2006 21:27 ]

[Anoniem: 88245]

anandus schreef op donderdag 30 november 2006 @ 20:57:
Op zich klopt het allemaal wel, maar waar blijft de 0,0000...(repetent)..001 dan? Of staat dan dan gelijk aan 0?

Zoals The_Tzar al zegt, geen geldige notatie, wat is 0,000 ... 001?
Oneindig veel nullen met daarachter een 1, dat gaat niet.

Angeloonie schreef op donderdag 30 november 2006 @ 21:04:
1/3 is niet gelijk aan 0,333, maar wordt aan de hand van die breuk zo omschreven, want 0,33*3 is nog steeds 0,99 en niet 1,00.

Klopt, jij praat nu over eindige decimalen.
Als ik ... achter een getal zet bedoel ik repetent en dat is een oneindig herhaalbare decimaal.

1/3*3 is wel exact 1,00, omdat je niet met repetente getallen zit.

Dit simpele bewijs staat in ontzettend veel wiskunde boeken.
Oneindige decimalen bestaan juist om breuken mogelijk te maken.

Omdat een getal oneindig is, en daarom niet mee te rekenen is maken we er maar de regel van dat een repetent getal gelijk is aan een heel getal.

Nee, sorry, zo werkt het niet.
0,999... repetent is niet oneindig, het heeft oneindig veel decimalen.
Er valt uitstekend mee te rekenen, maar rekenen met oneindig veel decimalen werkt fundamenteel anders.

Hoe je het wend of keert, 0,999... is nooit hetzelfde als 1,000...

Vreemd, wat jij ook doet of zegt, alle professionele wiskundigen zijn het er over eens dat 0,999... repetent exact 1 is.
Je houding is in dat opzicht vrij arrogant.

[...]


En daarom is 0,999... dus niet exact 1,000, omdat je zoals je aangeeft er iets bij moet doen om er exact 1,000.. van te maken.

Daar staat niet 0,999... repetent, daar staat 0,99999999999999999999 Stop!.
Ik zeg dat het niet zo is als het daar staat, die negens gaan oneindig door, je kunt er niets achter plakken en niets bij doen want het is oneindig.

0,999.... + 0,000...1 zou wel kunnen, maar ook weer niet, omdat het oneindig is.

Luister, wiskunde is streng, iets kan wel of niet.
Je kunt niet zeggen dat iets eigenlijk wel gaat, maar omdat het niet logisch lijkt is het eigenlijk niet zo.
Ik denk niet jij begrijpt wat men met het begrip oneindig bedoeld.

En juist om die reden is het weer zo dat 0,999 wel beschouwd wordt als 1, omdat er gewoonweg niet omgegaan kan worden met oneindige getallen. 0,333*3 zal nooit 1,000 zijn, puur omdat je oneindige getallen hebt, en die getallen niet kloppen, omdat 0,333*3=0,999 en niet 1,000

0,999... repetent, vergeet die puntjes niet, daar draait alles om.
Natuurlijk is 0,999 niet gelijk aan 1.
Als je niet de correcte notatie gebruikt kunnen we ook niet echt fatsoenlijk hierover praten.

Nofi, maar ik vraag mij echt of wat voor niveau wiskunde je hebt gedaan.

[Anoniem: 43565]

Anoniem: 4629 schreef op donderdag 30 november 2006 @ 21:19:
Waarom zou er in godsnaam een getal tussen 2 andere getallen moeten zitten? Dat hoeft helemaal niet. Stel gewoon dat 0.999999.. het getal is dat kleiner is dan 1 en wat het dichtst bij 1 zit en je bent van al het gezeik af. Geen getal er tussen want het nadert oneindig, maar ook niet gelijk.


Theorems zijn ook maar meningen.

Dan blijf je met het opmerkelijke verschijnsel dat zowel 1 als 0,999999.....(enz) gedeeld door 3 0,333333.....(enz) is.


Verder: als 0,999999..... niet gelijk aan 1 zouden stellen staan we 200 jaar terug in de tijd met wat we kunnen of was het 199,99999........ Duizenden dingen kloppen dan niet meer in de Wiskunde.

maar goed...
i² = -1 maar i is niet de wortel van -1

[ Voor 19% gewijzigd door Anoniem: 43565 op 30-11-2006 21:33 ]

[Anoniem: 4629]

Nofi en ondertussen iemand kleineren. Ook dat is geen manier van discussiëren

Trouwens als iemand iets van mening is dat afwijkt van de 'professionals' maakt dat die mening niet minder waard. Stellen van wel, dát is pas arrogant.

De professionals beweerden vroeger ook dat de planeet plat was. [/inkoppertje]

[ Voor 66% gewijzigd door Anoniem: 4629 op 30-11-2006 21:32 ]

[Anoniem: 88245]

Anoniem: 4629 schreef op donderdag 30 november 2006 @ 21:19:
Waarom zou er in godsnaam een getal tussen 2 andere getallen moeten zitten? Dat hoeft helemaal niet. Stel gewoon dat 0.999999.. het getal is dat kleiner is dan 1 en wat het dichtst bij 1 zit en je bent van al het gezeik af. Geen getal er tussen want het nadert oneindig, maar ook niet gelijk.


Theorems zijn ook maar meningen.

Dat zijn de regels waarop wiskunde is gebouwd, alles voldoet daar aan.
Voor elke twee verschillende reële getallen kun je een derde getal vinden dat er tussen zit.
Aangezien 0,999... oneindig lang doorgaat, is het onmogelijk om decimalen uit te schrijven tussen 0,999... en 1,000...
Daarom kunnen het geen verschillende getallen zijn, daarom zijn het dezelfde getallen

Anoniem: 4629 schreef op donderdag 30 november 2006 @ 21:31:
Nofi en ondertussen iemand kleineren. Ook dat is geen manier van discussiëren

Trouwens als iemand iets van mening is dat afwijkt van de 'professionals' maakt dat die mening niet minder waard. Stellen van wel, dát is pas arrogant.

De professionals beweerden vroeger ook dat de planeet plat was. [/inkoppertje]

Het kwam misschien wat bot over, maar ik vraag me het echt af.
Ik bedoelde enkel te zeggen dat alle wiskundigen het hier over eens zijn.

Angeloonie mag zijn eigen mening hebben, maar het is niet de juiste.
Wiskunde is een mooie wetenschap dat exact dingen kan bewijzen (in tegenstelling tot natuurkunde dat steeds meer bewijs vind voor een hypothese; daarom heet het ook een theorema).
Hier valt niet over te debateren, maar je mag best je eigen (incorrecte) mening hebben.

[ Voor 35% gewijzigd door Anoniem: 88245 op 30-11-2006 21:37 ]

[Anoniem: 43565]

Tijd voor alternatieve wiskunde misschien kom je wel tot compleet nieuwe inzichten

Anoniem: 4629 schreef op donderdag 30 november 2006 @ 21:31:
De professionals beweerden vroeger ook dat de planeet plat was. [/inkoppertje]

Ehm... nee, dat was de katholieke kerk
trouwens, als een professional iets bewijst dan klopt dat. Anders hebben we het over een theorie. Zoals de evolutietheorie. er kunnen natuurlijk wel aannames in een bewijsvoering zitten, maar bij dergelijke dingen kun je er zeker van zijn dat zich al vele eigenwijze studenten op het fenomeen hebben gestort
1+1=2, daar valt niet over te discusseren. Hooguit in de filosofie, maar dat is weer een andere tak van de wetenschap.

[ Voor 87% gewijzigd door Anoniem: 43565 op 30-11-2006 21:37 ]

[Hertog]

Anoniem: 4629 schreef op donderdag 30 november 2006 @ 21:19:
Waarom zou er in godsnaam een getal tussen 2 andere getallen moeten zitten?

Volgens mij was dat zelfs een belangrijke stelling in de wiskunde, maar ik kan het nu niet vinden. Mijn 6e klas wiskunde leraar heeft het bewijs ooit laten zien. Samen met het bewijs dat op de getallenlijn tussen 0 en 1 evenveel getallen liggen als vanaf 1 tot oneindig. Leuke truckjes zijn dat

Dat hoeft helemaal niet. Stel gewoon dat 0.999999.. het getal is dat kleiner is dan 1 en wat het dichtst bij 1 zit en je bent van al het gezeik af. Geen getal er tussen want het nadert oneindig, maar ook niet gelijk.

Het zit niet het dichtst bij 1, het ís 1. Neem dat nu maar gewoon aan, dan zijn we van het gezeik af

Oh, en getallen naderen oneindig niet. Getallen blijven gewoon waar ze zijn

[Anoniem: 4629]

Anoniem: 43565 schreef op donderdag 30 november 2006 @ 21:27:
Dan blijf je met het opmerkelijke verschijnsel dat zowel 1 als 0,999999.....(enz) gedeeld door 3 0,333333.....(enz) is.

Omdat ze oneindig naderen kun je het onderscheid niet vaststellen. Dat is niet hetzelfde als ze gelijk stellen.

[Anoniem: 43565]

Anoniem: 4629 schreef op donderdag 30 november 2006 @ 21:38:
[...]


Omdat ze oneindig naderen kun je het onderscheid niet vaststellen. Dat is niet hetzelfde als ze gelijk stellen.

Als je het onderscheid niet vast kunt stellen, kun je nooit meer bewijsvoeren met wiskunde. Dan is wiskunde gedegradeerd tot een benaderingsmethode die je nooit zekerheid geeft. Dat is simpelweg niet practisch.
Waarschijnlijk is dat één van de redenen om er voor te kiezen dat er tussen twee getallen altijd een ander getal te plaatsen moet zijn.

Overigens, als je 1/3^{^100000.....} doet krijg je een oneindig grote afwijking

[ Voor 6% gewijzigd door Anoniem: 43565 op 30-11-2006 21:45 ]

[Anoniem: 88245]

Anoniem: 4629 schreef op donderdag 30 november 2006 @ 21:31:De professionals beweerden vroeger ook dat de planeet plat was. [/inkoppertje]

De kerk ja, Eratosthenes wist een paar honderd jaar voor Chr. al beter.

Anoniem: 4629 schreef op donderdag 30 november 2006 @ 21:38:
[...]

Omdat ze oneindig naderen kun je het onderscheid niet vaststellen. Dat is niet hetzelfde als ze gelijk stellen.

Zie mijn post over de limiet: Anoniem: 88245 in "[math] 111,111,111 x 111,111,111 = ....."
Per definitie is er geen verschil tusseen de limiet en de eigenlijke waarde.

[Anoniem: 43565]

Anoniem: 88245 schreef op donderdag 30 november 2006 @ 21:45:
[...]
De kerk ja, Eratosthenes wist een paar honderd jaar voor Chr. al beter.


[...]
Zie mijn post over de limiet: Anoniem: 88245 in "[math] 111,111,111 x 111,111,111 = ....."
Per definitie is er geen verschil tusseen de limiet en de eigenlijke waarde.

wat dacht jij? Ik stem mijn uitleg een beetje af op het publiek wat ik aan wil spreken?

Kan iemand topictitel veranderen in:
111.111.110,999999.....*111.111.110,9999.....

[ Voor 8% gewijzigd door Anoniem: 43565 op 30-11-2006 21:51 ]

[Anoniem: 4629]

Anoniem: 88245 schreef op donderdag 30 november 2006 @ 21:32:
Dat zijn de regels waarop wiskunde is gebouwd, alles voldoet daar aan.

Angeloonie mag zijn eigen mening hebben, maar het is niet de juiste.
[...]
Hier valt niet over te debateren, maar je mag best je eigen (incorrecte) mening hebben.

[advocaat van de duivel mode on]

Imo is dit de arrogantie die je een ander toedicht zelve. Vergeet niet dat wiskunde in zijn totaliteit enkel aannames zijn. Werkbare aannames, en daarom erg prettig om absolute uitspraken over te doen, maar in weze onterecht.

Een mening waarmee je het niet eens bent onjuist noemen is not done imo. Omdat het niet in je straatje past van wat wiskunde voor jou betekent. Zijn wiskunde en de jouwe, of de mijne, of die van persoon [x] hoeven niet overeen te komen. Er is niet zoiets als 1 waarheid. Ook al is dat moeilijk voor je om te verkroppen, zeker als je vastgeroest bent in je idee van 1 set regels met maar 1 mogelijke uitkomst. Dat is dezelfde houding die fundamentalisten innemen. "Enkel mijn waarheid is dé waarheid, een andere bestaat niet". Ik vind dat te kort door de bocht. Accepteer dat zijn waarheid ook bestaat, en dat het er een is waar jij het niet mee eens bent, soit. Dat in zijn waarheid de regels van wat voor hem wiskunde is niet gelijk is aan wat het voor jou betekent. Dat hele idee van absoluten, daar moet je eens vanaf stappen.

Sure, in de praktijk praat ik ook over wetten en regels en waarheden. In de wiskunde, in de natuurkunde, enz. Dat is puur om de praktijk leefbaar en werkbaar te houden. Dat doet imo echter niet af van het feit dat er geen absolute waarheid is, op geen enkel vlak. Enkel tot desnoods (voor zover je als mens kunt bevatten) tot oneindig naderende aannemelijkheden. En da's prima, maar het is nog steeds geen absolute waarheid. Net zoals iemand kan en mag stellen dat 0.9999.. niet gelijk is aan 1. Voor jou nadert de aannemelijkheid dat die stelling incorrect is het oneindige. Prima. Niemand die jou dat zal ontzeggen. Maar je kunt nimmer met zekerheid zeggen dat het onwaar is. Of waar for that matter. Want daarmee beperk je je visie tot 1 versie van de waarheid. Namelijk die van jou of zo je wilt die van de professionals in wat jij wiskunde placht te noemen.


Zo .. en dat was wmb genoeg filosofie. Ik noem in de praktijk 0,9999.. ook 1. Maar dus niet omdat ik wiskunde als voldongen feiten beschouw. Maar omdat het onpraktisch is in het dagelijks leven op een andere manier met repetenten om te gaan.

[Anoniem: 88245]

Anoniem: 43565 schreef op donderdag 30 november 2006 @ 21:47:
[...]

wat dacht jij? Ik stem mijn uitleg een beetje af op het publiek wat ik aan wil spreken?

Ik voelde de bui al hangen, ik dacht laat ik het gezeur maar voor zijn; helaas.
Deze discussie heb ik al eens 'live' gevoerd, dat werkt al helemaal niet.

Informatie (verplicht leesvoer ):
Driedelige weblog post van een wiskunde leraar hierover.
Uitleg over wat oneindig is (in dit verband) van iemand met een graad in wiskunde.
En natuurlijk: Wikipedia: 0.999....

[Anoniem: 4629]

Anoniem: 43565 schreef op donderdag 30 november 2006 @ 21:42:
Als je het onderscheid niet vast kunt stellen, kun je nooit meer bewijsvoeren met wiskunde. Dan is wiskunde gedegradeerd tot een benaderingsmethode die je nooit zekerheid geeft. Dat is simpelweg niet practisch.
Waarschijnlijk is dat één van de redenen om er voor te kiezen dat er tussen twee getallen altijd een ander getal te plaatsen moet zijn.

Nou zeg je tenminste iets waar ik me in kan vinden. Het is onpraktisch. Daarom doe je consessies. En hier is de consessie dat je aannames doet.

Anoniem: 88245 schreef op donderdag 30 november 2006 @ 21:45:
De kerk ja, Eratosthenes wist een paar honderd jaar voor Chr. al beter.

En toch was de mening van de kerk de geldende waarheid. Precies mijn punt over absoluten en waarheden, en de inherente onmogelijkheid daarvan.


verder lig ik graag dwars waar de gevestigde orde zijn zaakjes op orde waant te hebben

[ Voor 26% gewijzigd door Anoniem: 4629 op 30-11-2006 22:00 ]

[Anoniem: 43565]

Anoniem: 4629 schreef op donderdag 30 november 2006 @ 21:53:
[...]


Nou zeg je tenminste iets waar ik me in kan vinden. Het is onpraktisch. Daarom doe je consessies. En hier is de consessie dat je aannames doet.


[...]


En toch was de mening van de kerk de geldende waarheid. Precies mijn punt over absoluten en waarheden, en de inherente onmogelijkheid daarvan.

Wetenschap is natuurlijk een consessie. Daar tegenover staan filosofieën en religies. Wie zegt ons namelijk dat we kunnen vertrouwen op onze zintuigen en waarneming? Wie zegt dat alles wat jij denkt te weten waar is? Wie zegt dat jij niet pas 0,11111...... seconde bestaat en de rest slechts zojuist geplaatste data is.

Soms denk ik dat Wiskunde niet de waarheid benadert, maar laat zien hoe de waarheid uitkristaliseert in het menselijk brein.

Hoe dan ook, binnen de grenzen van het vakgebied Wiskunde is 0,99999.... gelijk aan 1.

[Anoniem: 4629]

Daar kan ik mee leven

Zijn er trouwens nog meer gegadigden die de 0.99999.. discussie graag afgesplitst zien naar een apart topic? Dan moet het zaakje wel heel ff dicht.

[Zoijar]

ik heb wiskunde gestudeerd, en 0.999... is 1.0000
en zoals ik aan het begin al zei komt dat omdat de afstand tussen die getallen 0 is. Je kan namelijk niet een oneindige rij nullen hebben met daarachter een 1. Want er is geen "achter".

[ Voor 63% gewijzigd door Zoijar op 30-11-2006 22:07 ]

[Anoniem: 4629]

Zoijar schreef op donderdag 30 november 2006 @ 22:04:
ik heb wiskunde gestudeerd, en 0.999... is 1.0000

Jij vindt dat dat zo is. Of je nou gestudeerd hebt of niet.

Want wat je zegt is dat iemand die niet wiskunde heeft gestudeerd en die er een mening op nahoudt die niet de jouwe is, het niet juist heeft. Of dat aannemelijk is of niet, bewijzen kun je het niet.

[ Voor 29% gewijzigd door Anoniem: 4629 op 30-11-2006 22:07 ]

[Anoniem: 88245]

Anoniem: 4629 schreef op donderdag 30 november 2006 @ 21:51:
[...]


Imo is dit de arrogantie die je een ander toedicht zelve. Vergeet niet dat wiskunde in zijn totaliteit enkel aannames zijn. Werkbare aannames, en daarom erg prettig om absolute uitspraken over te doen, maar in weze onterecht.

Als ik dat lees lijkt het alsof je het over natuurkunde of een andere wetenschap hebt.
Wiskunde is zo exact als het maar kan zijn.
De aannames die we hier maken kun je op zichzelf weer bewijzen (met ellenlange posts).
Het hele systeem waar we mee werken hangt van regels aan elkaar, en alles werkt volgens deze regels.

Een mening waarmee je het niet eens bent onjuist noemen is not done imo. Omdat het niet in je straatje past van wat wiskunde voor jou betekent. Zijn wiskunde en de jouwe, of de mijne, of die van persoon [x] hoeven niet overeen te komen. Er is niet zoiets als 1 waarheid. Ook al is dat moeilijk voor je om te verkroppen, zeker als je vastgreoest bent in je idee van 1 set regels met maar 1 mogelijke uitkomst. Dat is dezelfde houding die fundamentalisten innemen. "Enkel mijn waarheid is dé waarheid, een andere bestaat niet". Ik vind dat te kort door de bocht. Accepteer dat zijn waarheid ook bestaat, en dat het er een is waar jij het niet mee eens bent, soit. Dat in zijn waarheid de regels van wat voor hem wiskunde is niet gelijk is aan wat het voor jou betekent. Dat hele idee van absoluten, daar moet je eens vanaf stappen.

Pas dit toe op elk ander onderwerp in ik zou het volmondig met je eens zijn.
Wiskunde is een uitzondering in dit geval; er is gewoonweg geen plaats voor eigen meningen.
Overigens wil ik dit niet 'mijn' mening noemen, sla een boek open en je ziet dat dit de geaccepteerde, keer op keer bewezen, definitie is.
Het is net als praten met iemand die denk dat hij de

Sure, in de praktijk praat ik ook over wetten en regels en waarheden. In de wiskunde, in de natuurkunde, enz. Dat is puur om de praktijk leefbaar en werkbaar te houden. Dat doet imo echter niet af van het feit dat er geen absolute waarheid is, op geen enkel vlak. Enkel tot desnoods (voor zover je als mens kunt bevatten) tot oneindig naderende aannemelijkheden. En da's prima, maar het is nog steeds geen absolute waarheid. Net zoals iemand kan en mag stellen dat 0.9999.. niet gelijk is aan 1. Voor jou nadert de aannemelijkheid dat die stelling incorrect is het oneindige. Prima. Niemand die jou dat zal ontzeggen. Maar je kunt nimmer met zekerheid zeggen dat het onwaar is. Of waar for that matter. Want daarmee beperk je je visie tot 1 versie van de waarheid. Namelijk die van jou of zo je wilt die van de professionals in wat jij wiskunde placht te noemen.

Ik gebruik ook niet de term absolute waarheid, maar dat zou ik net zo goed wel kunnen doen.
In de wiskunde mag je rustig van waarheden spreken, want ons wiskundig systeem is ook door ons opgebouwd.

[Hertog]

Anoniem: 4629 schreef op donderdag 30 november 2006 @ 22:03:
Daar kan ik mee leven

Zijn er trouwens nog meer gegadigden die de 0.99999.. discussie graag afgesplitst zien naar een apart topic? Dan moet het zaakje wel heel ff dicht.

Als iedereen, net zoals jij, kan leven met het laatste voorbehoud lijkt me de discussie wel voorbij

Zo te zien is een apart topic wel een goed idee Volgens mij kan het dan ook beter in WFL, trouwens.

[ Voor 12% gewijzigd door Hertog op 30-11-2006 22:07 ]

[Anoniem: 43565]

Zoijar schreef op donderdag 30 november 2006 @ 22:04:
ik heb wiskunde gestudeerd, en 0.999... is 1.0000

In werkelijkheid heb je niet gestudeerd. In werkelijkheid besta je pas enkele seconde. Zojuist hebben we al je herinneringen in je hersenen gezet waardoor je denkt al een heel leven geleid te hebben inclusief het kennen van allerlei verworven kennis. Wat je nog niet weet is dat die verworven kennis niet overeen komt met de dagelijkse wereld die je vanaf vandaag gaat leren kennen en ik blow niet

[Zoijar]

Anoniem: 4629 schreef op donderdag 30 november 2006 @ 22:05:
Jij vindt dat dat zo is. Of je nou gestudeerd hebt of niet.

Want wat je zegt is dat iemand die niet wiskunde heeft gestudeerd en die er een mening op nahoudt die niet de jouwe is, het niet juist heeft. Of dat aannemelijk is of niet, bewijzen kun je het niet.

Je gebruikt dingen uit de wiskunde, getallen uit R. Dan heb je je ook aan de wiskunde te houden bij verdere uitspraken.

Want in realiteit bestaat er geen getal. Een getal is een idee. Stellen dat 0.99... niet 1 is, is hetzelfde als stellen dat 1=0.

[ Voor 11% gewijzigd door Zoijar op 30-11-2006 22:09 ]

[Anoniem: 88245]

Anoniem: 4629 schreef op donderdag 30 november 2006 @ 22:03:
Daar kan ik mee leven

We moeten wel praktisch blijven.
Wie weet zit de natuur compleet ander in elkaar, maar de exacte wetenschappen die we nu hebben nemen sowieso aan dat de wereld is, zoals wij het waarnemen en voor zover het binnen ons bereik is.

Willen we over wiskunde praten (en niet over filosofie gaan beginnen), dan moet we ook logica volgen.
Zo kunnen we alles wel relativeren door de vraag te stellen wat de waarheid nu werkelijk is.

Zijn er trouwens nog meer gegadigden die de 0.99999.. discussie graag afgesplitst zien naar een apart topic? Dan moet het zaakje wel heel ff dicht.

Voor!

[ Voor 15% gewijzigd door Anoniem: 88245 op 30-11-2006 22:11 ]

[Anoniem: 43565]

Zoijar schreef op donderdag 30 november 2006 @ 22:08:
[...]

Je gebruikt dingen uit de wiskunde, getallen uit R. Dan heb je je ook aan de wiskunde te houden bij verdere uitspraken.

Waarom? jij gebruikt ook woorden die filosofen en theologen als minstens net zo lang gebruiken

Binnen het vakgebied wiskunde valt er weinig discussie te voeren. De enige discussie die valt te voeren is of je wiskunde an sich waarheid mag noemen

Anoniem: 88245 schreef op donderdag 30 november 2006 @ 22:09:
[...]
We moeten wel praktisch blijven.
Wie weet zit de natuur compleet ander in elkaar, maar de exacte wetenschappen die we nu hebben nemen sowieso aan dat de wereld is, zoals wij het waarnemen en voor zover het binnen ons bereik is.


[...]
Voor!

Inderdaad, en voor elke wetenschapper is het goed dat te beseffen.

[ Voor 30% gewijzigd door Anoniem: 43565 op 30-11-2006 22:11 ]

[Zoijar]

Wat is dan de afstand tussen 0.999... en 1.000... ?

[Anoniem: 43565]

Zoijar schreef op donderdag 30 november 2006 @ 22:11:
Wat is dan de afstand tussen 0.999... en 1.000... ?

een fractie van een getal

[Zoijar]

Welk getal dan?

(overigens zou het nogal vervelend zijn als ze niet gelijk waren, want dan gaan de meeste metrieken en relaties op R ineens niet meer op... dan zou ook de volledige integraal rekening etc herzien moeten worden)

[ Voor 87% gewijzigd door Zoijar op 30-11-2006 22:16 ]

[Anoniem: 43565]

Zoijar schreef op donderdag 30 november 2006 @ 22:12:
Welk getal dan?

Simpel, het allerkleinste getal, en daar een fractie van.

[Hertog]

Zoijar schreef op donderdag 30 november 2006 @ 22:12:
Welk getal dan?

En welke fractie? Ik gok zelf D'66, die zijn wel heel klein geworden. Of haal ik nu dingen door elkaar?

[Anoniem: 88245]

Anoniem: 43565 schreef op donderdag 30 november 2006 @ 22:14:
[...]

Simpel, het allerkleinste getal, en daar een fractie van.

Oneindig kleine fractie, en daardoor 0.

_{Ben je nu van mening aan het veranderen Tzar?}

[Zoijar]

Maak dan eens een theoretische machine die dat getal opschrijft. Hij heeft oneindig lang de tijd

[Anoniem: 43565]

Hertog schreef op donderdag 30 november 2006 @ 22:14:
[...]


En welke fractie? Ik gok zelf D'66, die zijn wel heel klein geworden. Of haal ik nu dingen door elkaar?

Ik denk dat je zelfs een fractie moet nemen van D'66

alleen totale nonsens kan wetenschap verslaan

Zoijar schreef op donderdag 30 november 2006 @ 22:16:
Maak dan eens een theoretische machine die dat getal opschrijft. Hij heeft oneindig lang de tijd

ok, momentje, hij is momenteel bezig....

HEAP STACK FULL

/me is RAM-geheugen aan het bijprikken

[ Voor 31% gewijzigd door Anoniem: 43565 op 30-11-2006 22:19 ]

[steveman]

Anoniem: 88245 schreef op donderdag 30 november 2006 @ 22:15:
[...]
Oneindig kleine fractie, en daardoor 0.

_{Ben je nu van mening aan het veranderen Tzar?}

Limiet naar 0 of naar -0, afhankelijk van de volgorde.

Zoijar schreef op donderdag 30 november 2006 @ 22:16:
Maak dan eens een theoretische machine die dat getal opschrijft. Hij heeft oneindig lang de tijd

Een Turingmachine anyone

[ Voor 30% gewijzigd door steveman op 30-11-2006 22:19 ]

[Zoijar]

Anoniem: 43565 schreef op donderdag 30 november 2006 @ 22:17:
ok, momentje, hij is momenteel bezig....

Ja, precies. En dan NOG lukt het je niet (maar laten we niet de hele turing theorie erbij halen met wat berekenbaar(heid) is...)

Nee, een turing machine lukt het dus niet!

[ Voor 24% gewijzigd door Zoijar op 30-11-2006 22:21 ]

[Anoniem: 43565]

Zoijar schreef op donderdag 30 november 2006 @ 22:19:
[...]

Ja, precies. En dan NOG lukt het je niet (maar laten we niet de hele turing theorie erbij halen met wat berekenbaar(heid) is...)

ik heb hem, hij is simpel. Het getal is (1 - 0,999999......)/9999....

[Anoniem: 4629]

Anoniem: 88245 schreef op donderdag 30 november 2006 @ 22:06:
De aannames die we hier maken kun je op zichzelf weer bewijzen (met ellenlange posts).
Het hele systeem waar we mee werken hangt van regels aan elkaar, en alles werkt volgens deze regels.

Wat je zegt is dat wiskunde een spelletje is. Met een set regels die zijn opgesteld om het spelletje werkbaar te houden. Regels die niet per definitie overeenkomen met hoe dingen zich werkelijk verhouden in de wereld. Maar die, omwille van praktikaliteit, zo gekozen zijn dat ze, wanneer toegepast, een uitkomst produceren die goed past op wat observatie van de echte wereld ook lijkt te suggereren.

Binnen de wiskunde kun je dus spreken over waarheden en onwaarheden. Maar dat is een andere definitie van het woord dan de term in zijn algemeenheid behelst. Of tenminste, je beperkt de definitie tot de vooraf bepaalde spelregels.

In die zin is het dus imo perfect mogelijk om over een absolute waarheid te spreken, of om over wetten en regels te spreken en die de absolute waarheid toe te dichten, én toch de mogelijkheid te behouden dat de waarheden in kwestie onjuist zijn. Omdat het mogelijk is de restricties van het spelletje 'wiskunde' naast je neer te leggen en van 'buiten de box' naar een stelling te kijken.

Zolang je je stellingen dus nuanceert naar 'Binnen de wiskunde is x waar / onwaar', kan er niemand over vallen. Dat is imo namelijk niet meer of minder dan stellen dat buitenspel waar of niet waar is bij een potje voetbal. Ook een spelletje waar heftige discussies over gevoerd worden. Maar ook een zonder absoluten voor wat een buitenstaander betreft

[Zoijar]

Behalve als je stellingen aanvoert die binnen de wiskunde niet aantoonbaar waar of onwaar zijn (godel, turing en het oneindige in een HK thread. I'm impressed )

[ Voor 26% gewijzigd door Zoijar op 30-11-2006 22:24 ]

[Anoniem: 4629]

Zoijar schreef op donderdag 30 november 2006 @ 22:23:
Behalve als je stellingen aanvoert die binnen de wiskunde niet aantoonbaar waar of onwaar zijn (godel, turing en het oneindige in een HK thread. I'm impressed )

Waarmee je impliceert dat je per definitie binnen de nu geldende restricties van 'de wiskunde' moet blijven. Ik vraag mij dan af hoe wiskunde ooit kan evolueren. Wiskunde zoals het nu bestaat is gegroeid uit simpelere concepten van hoe de wereld functioneert. En wie ben jij, of ik, om te stellen dat we nu een eindpunt in die groei hebben bereikt? Is de wiskunde volmaakt? Is hij compleet? Dat zou pas jammer zijn, nooit meer wat nieuws mogelijk. Alles al in kannen en kruiken.

[Anoniem: 43565]

Anoniem: 4629 schreef op donderdag 30 november 2006 @ 22:20:
[...]


Wat je zegt is dat wiskunde een spelletje is. Met een set regels die zijn opgesteld om het spelletje werkbaar te houden. Regels die niet per definitie overeenkomen met hoe dingen zich werkelijk verhouden in de wereld. Maar die, omwille van praktikaliteit, zo gekozen zijn dat ze, wanneer toegepast, een uitkomst produceren die goed past op wat observatie van de echte wereld ook lijkt te suggereren.

Binnen de wiskunde kun je dus spreken over waarheden en onwaarheden. Maar dat is een andere definitie van het woord dan de term in zijn algemeenheid behelst. Of tenminste, je beperkt de definitie tot de vooraf bepaalde spelregels.

In die zin is het dus imo perfect mogelijk om over een absolute waarheid te spreken, of om over wetten en regels te spreken en die de absolute waarheid toe te dichten, én toch de mogelijkheid te behouden dat de waarheden in kwestie onjuist zijn. Omdat het mogelijk is de restricties van het spelletje 'wiskunde' naast je neer te leggen en van 'buiten de box' naar een stelling te kijken.

Zolang je je stellingen dus nuanceert naar 'Binnen de wiskunde is x waar / onwaar', kan er niemand over vallen. Dat is imo namelijk niet meer of minder dan stellen dat buitenspel waar of niet waar is bij een potje voetbal. Ook een spelletje waar heftige discussies over gevoerd worden. Maar ook een zonder absoluten voor wat een buitenstaander betreft

Bijna, elke regel is wel degelijk een keer emperisch bewezen. Nieuwe regels worden dan weer bewezen met oude regels. De regel dat in R net zoveel getallen tussen 0 en 1 zitten als tussen 1 en oneindig zal heus ergens op gebasseerd zijn. Mede daardoor is te verklaren dat al duizenden jaren geen regels aangepast hoefde te worden. Zelfs afwijkingen in het heelal zijn er mee aangetoont.

Maar het blijft waar dat je nooit met zekerheid kunt vaststellen of je het over de werkelijkheid hebt. Niemand kent de ware werkelijkheid met zekerheid. De enige manier om de ware werkelijkheid te kennen is om de werkelijkheid te zijn. In dat punt zit er ook wel iets in de uitspraak dat God in alles zit en dat je na je dood terugdaalt in de eenheid van alles.

[Anoniem: 88245]

Anoniem: 4629 schreef op donderdag 30 november 2006 @ 22:20:
[...]


Wat je zegt is dat wiskunde een spelletje is. Met een set regels die zijn opgesteld om het spelletje werkbaar te houden. Regels die niet per definitie overeenkomen met hoe dingen zich werkelijk verhouden in de wereld. Maar die, omwille van praktikaliteit, zo gekozen zijn dat ze, wanneer toegepast, een uitkomst produceren die goed past op wat observatie van de echte wereld ook lijkt te suggereren.

Wiskunde zegt niets over de werkelijkheid of de natuur waarin wij leven.

Binnen de wiskunde kun je dus spreken over waarheden en onwaarheden. Maar dat is een andere definitie van het woord dan de term in zijn algemeenheid behelst. Of tenminste, je beperkt de definitie tot de vooraf bepaalde spelregels.

In die zin is het dus imo perfect mogelijk om over een absolute waarheid te spreken, of om over wetten en regels te spreken en die de absolute waarheid toe te dichten, én toch de mogelijkheid te behouden dat de waarheden in kwestie onjuist zijn. Omdat het mogelijk is de restricties van het spelletje 'wiskunde' naast je neer te leggen en van 'buiten de box' naar een stelling te kijken.

Zolang je je stellingen dus nuanceert naar 'Binnen de wiskunde is x waar / onwaar', kan er niemand over vallen. Dat is imo namelijk niet meer of minder dan stellen dat buitenspel waar of niet waar is bij een potje voetbal. Ook een spelletje waar heftige discussies over gevoerd worden. Maar ook een zonder absoluten voor wat een buitenstaander betreft

En zo betreden we filosofie.
Wat is 'thinking outside the box' in wiskunde?
Logica verlaten, dan kom je nergens.

Alle regels binnen wiskunde zijn ook bewezen.

Maar om terug te gaan naar waar we vandaan komen.
Ik geloof niet dat Angeloonie het over absolute waarheden had, maar dat dit volgens wiskunde ook niet de waarheid is.

[Zoijar]

Anoniem: 4629 schreef op donderdag 30 november 2006 @ 22:27:
Waarmee je impliceert dat je per definitie binnen de nu geldende restricties van 'de wiskunde' moet blijven. Ik vraag mij dan af hoe wiskunde ooit kan evolueren. Wiskunde zoals het nu bestaat is gegroeid uit simpelere concepten van hoe de wereld functioneert. En wie ben jij, of ik, om te stellen dat we nu een eindpunt in die groei hebben bereikt? Is de wiskunde volmaakt? Is hij compleet? Dat zou pas jammer zijn, nooit meer wat nieuws mogelijk. Alles al in kannen en kruiken.

Maar die restirctie is er niet alleen in de wiskunde. Die is overal. Volmaakt en compleetheid zijn ook wiskundige concepten. En er is al bewezen dat "de wiskunde" geen van beide kan zijn.

[Anoniem: 43565]

Anoniem: 4629 schreef op donderdag 30 november 2006 @ 22:27:
[...]


Waarmee je impliceert dat je per definitie binnen de nu geldende restricties van 'de wiskunde' moet blijven. Ik vraag mij dan af hoe wiskunde ooit kan evolueren. Wiskunde zoals het nu bestaat is gegroeid uit simpelere concepten van hoe de wereld functioneert. En wie ben jij, of ik, om te stellen dat we nu een eindpunt in die groei hebben bereikt? Is de wiskunde volmaakt? Is hij compleet? Dat zou pas jammer zijn, nooit meer wat nieuws mogelijk. Alles al in kannen en kruiken.

Wiskunde wordt nog wel uitgebreid hoor. Er is 200 jaar geleden nog aardig wat toegevoegd. De stelling van Laplace bijvoorbeeld.

[Anoniem: 4629]

Mede daardoor is te verklaren dat al duizenden jaren geen regels aangepast hoefde te worden.

Kijk, in de praktijk is daar natuurlijk veel voor te zeggen. Maar in weze is het een heel slecht argument. Want was je 10.000 jaar later geboren dan had je hier wellicht heel andere ideeën over.

En sowieso, zolang je een set regels als waar hebt bestempeld zal er geen verandering meer plaatsvinden. Want zolang je een stelling enkel als waar accepteert zolang die terug te herleiden is naar die eerder gestelde regels, zal ook enkel iets wat niet tot opschudding zal leiden voldoen aan die regels. Zo zal er dus nimmer getornd hoeven worden aan de spelregels. Ze houden zichzelf in stand.

Anoniem: 88245 schreef op donderdag 30 november 2006 @ 22:28:
Logica verlaten, dan kom je nergens.

Dat is een mening en geen absolute waarheid!

notabene een mening die ik deel

[ Voor 15% gewijzigd door Anoniem: 4629 op 30-11-2006 22:33 ]

[Anoniem: 43565]

Anoniem: 4629 schreef op donderdag 30 november 2006 @ 22:31:
[...]


Kijk, in de praktijk is daar natuurlijk veel voor te zeggen. Maar in weze is het een heel slecht argument. Want was je 10.000 jaar later geboren dan had je hier wellicht heel andere ideeën over.

En sowieso, zolang je een set regels als waar hebt bestempeld zal er geen verandering meer plaatsvinden. Want zolang je een stelling enkel als waar accepteert zolang die terug te herleiden is naar die eerder gestelde regels, zal ook enkel iets wat niet tot opschudding zal leiden voldoen aan die regels. Zo zal er dus nimmer getornd hoeven worden aan de spelregels. Ze houden zichzelf in stand.

Wiskunde wordt natuurlijk wel continu aan de werkelijkheid getoetst. Als jouw bankrekeningsaldo opeens oneindig groot wordt omdat iemand bedacht dat 0,99.... ongelijk aan 1 was gaat er vast wel iemand achter z'n oor krabben.

Als je berekend dat Pluto over drie dagen tegen de aarde aan knalt en hij blijft gewoon de baan volgen die hij al eeuwen lang volgt ga je ook wel even achter je oor krabben.

---

Logica verlaten kan verhelderent werken. Zolang je het maar niet de hele dag door doet Logica is ook maar een uitkristalisering van onze waarneming van de werkelijkheid.

[ Voor 7% gewijzigd door Anoniem: 43565 op 30-11-2006 22:35 ]

[Anoniem: 88245]

Anoniem: 4629 schreef op donderdag 30 november 2006 @ 22:31:
[...]


Kijk, in de praktijk is daar natuurlijk veel voor te zeggen. Maar in weze is het een heel slecht argument. Want was je 10.000 jaar later geboren dan had je hier wellicht heel andere ideeën over.

En sowieso, zolang je een set regels als waar hebt bestempeld zal er geen verandering meer plaatsvinden. Want zolang je een stelling enkel als waar accepteert zolang die terug te herleiden is naar die eerder gestelde regels, zal ook enkel iets wat niet tot opschudding zal leiden voldoen aan die regels. Zo zal er dus nimmer getornd hoeven worden aan de spelregels. Ze houden zichzelf in stand.

Wiskunde wordt ook constant aangepast.
Niet-euclidische meetkunde bijvoorbeeld, nu hebben we ook hyperbolische meetkunde en elliptische meetkunde.

[Anoniem: 43565]

Anoniem: 88245 schreef op donderdag 30 november 2006 @ 22:35:
[...]
Wiskunde wordt ook constant aangepast.
Niet-euclidische meetkunde bijvoorbeeld, nu hebben we ook hyperbolische meetkunde en elliptische meetkunde.

nou ben ik toevallig epileptisch geweest, maar ik heb geen idee wat dit inhoudt
/me leest wiki
owww, postulaten, natuurlijk

ok, die niet-euclidische meetkunde snap ik

[ Voor 12% gewijzigd door Anoniem: 43565 op 30-11-2006 22:40 ]

[steveman]

Anoniem: 88245 schreef op donderdag 30 november 2006 @ 22:28:
[...]
Wiskunde zegt niets over de werkelijkheid of de natuur waarin wij leven.


[...]
En zo betreden we filosofie.
Wat is 'thinking outside the box' in wiskunde?
Logica verlaten, dan kom je nergens.

Alle regels binnen wiskunde zijn ook bewezen.

Maar om terug te gaan naar waar we vandaan komen.
Ik geloof niet dat Angeloonie het over absolute waarheden had, maar dat dit volgens wiskunde ook niet de waarheid is.

Was het niet een stelling van Gödel die zegt dat binnen elk formeel systeem een stelling bestaat die niet binnen dat systeem bewezen kan worden. (Ik had maar een zesje op wetenschapsfilosofie... maar dít weet ik nog wel )

[Zoijar]

Het is trouwens een misverstand dat de wiskunde "klopt". Het kan niet kloppen. Bepaalde waarheden kunnen alleen aangetoond worden buiten de wiskunde. Je mag op bepaalde momenten zelfs kiezen welke regels je als waar beschouwd, omdat je met de ene in de ene situatie bizarre resultaten krijgt en met de andere regel in een andere. En vaak zijn die twee regels elkaars tegengestelde... maar dat terzijde, je zou kunnen stellen dat 0.999 niet 1.000 is. Defineer dat als vast axioma. Dan moet je de hele wiskunde omgooien en kom je waarschijnlijk op hele vreemde gevolgen. Dat kan soms verhelderend zijn, zoals joost bv al aangaf met de niet euclidische meetkunde.

steveman schreef op donderdag 30 november 2006 @ 22:37:
[...]


Was het niet een stelling van Gödel die zegt dat binnen elk formeel systeem een stelling bestaat die niet binnen dat systeem bewezen kan worden. (Ik had maar een zesje op wetenschapsfilosofie... maar dít weet ik nog wel )

Yep. dat is precies waar ik op doel.

[ Voor 22% gewijzigd door Zoijar op 30-11-2006 22:40 ]

[Anoniem: 4629]

Alle aanpassingen worden ook enkel geaccepteerd binnen het spelletje zolang ze niet eerdere regels met voeten treden. Het zijn dus uitbreidingen, toevoegingen. Geen aanpassingen. Stel dat iemand met een andere set regels zou komen die ook de wereld zoals je die kunt bevatten in een gelijke nauwkeurigheid beschrijven als dat de huidige set regels doet. Hoe weet je dan welke set regels de ware is? Of dat eender welke de ware is? Regelsets die elkaar tegenspreken maar die binnen hun eigen set absoluut te herleiden zijn. In weze heb je dan een 2e spelletje gecreeërd. Eentje die echter ook te toetsen is aan de praktijk van alledag. Maar het is niet hetzelfde spelletje. Hoe kun je nu nog zeker zijn van een waarheid binnen een van de spelletjes, als ze de ander falikant tegenspreken? Natuurlijk is dit slechts theorie, maar mijn hele punt is dat wiskunde an sich dat ook is.

[Zoijar]

Tot op zekere hoogte heb je helemaal gelijk HlpDsk. Je kan eens wat lezen over Godel's onvolledigheids theorie en ook bv over het keuze axioma (axiom of choice) als je echt interesse hebt in deze dingen.

Er is ook zo'n prachtiuge uitspraak, iets van "stelling (a) is duidelijk waar, (b) is duidelijk onwaar, en (c) dat weet niemand" waar de grap is dat die 3 stellingen equivalent zijn.

[ Voor 31% gewijzigd door Zoijar op 30-11-2006 22:44 ]

[Anoniem: 4629]

Zoijar schreef op donderdag 30 november 2006 @ 22:43:
Tot op zekere hoogte heb je helemaal gelijk HlpDsk. Je kan eens wat lezen over Godel's onvolledigheids theorie en ook bv over het keuze axioma (axiom of choice) als je echt interesse hebt in deze dingen.

Ga ik zeker doen!

[Anoniem: 43565]

Anoniem: 4629 schreef op donderdag 30 november 2006 @ 22:44:
[...]


Ga ik zeker doen!

ik ook, maar eerst ga ik me verdiepen in het raadseltje van Angeloonie

Ik heb hem al door. Er is niet 1 euro kwijt, maar 5 en dat klopt

[ Voor 62% gewijzigd door Anoniem: 43565 op 30-11-2006 22:55 ]

[Zoijar]

Anoniem: 4629 schreef op donderdag 30 november 2006 @ 22:44:
Ga ik zeker doen!

Mooi Het is lastig uit te leggen zo op een forum, en bovendien weet ik het zelf ook niet allemaal precies. Ik vond dit in ieder geval altijd een van de meest facinerende onderwerpen.

[Anoniem: 88245]

steveman schreef op donderdag 30 november 2006 @ 22:37:
[...]


Was het niet een stelling van Gödel die zegt dat binnen elk formeel systeem een stelling bestaat die niet binnen dat systeem bewezen kan worden. (Ik had maar een zesje op wetenschapsfilosofie... maar dít weet ik nog wel )

Ok als je het op die boeg wilt gooien, dat klopt.
Maar ook de onvolledigheidsstellingen van Gödel hebben hun limiet.
Die gelden alleen op systemen die gebruikt worden als hun eigen bewijssysteem.
Niet alle axiomatische systemen voldoen aan Gödel's hypothesen.

Dit boek is interessant in dit verband.

Gaan we nog de discussie splitsen HlpDsK?

Angeloonie schreef op donderdag 30 november 2006 @ 22:43:
3 vrouwen huren een hotelkamer, ze betalen allemaal €10, €30 totaal.

Later komt de gastvrouw, en die geeft 1 van de vrouwen €5 terug als korting. Dit bedrag is niet te delen door 3, dus die vrouw houd zelf €3, en geeft de anderen allemaal €1 terug. Ze hebben dus allemaal €9 betaald, maar die ene vrouw heeft nog €2 meer.

Vrouw 1 houd 3 euro zelf, dus betaald ze uiteindelijk maar 7 euro.
De rest betaald beide 10 - 1 = 9 euro.
Dus 2*9=18 euro + 7 euro = 25 euro.

[ Voor 27% gewijzigd door Anoniem: 88245 op 30-11-2006 23:03 ]

[Anoniem: 4629]

Posts afgesplitst en verplaatst naar W&L

[RobIII]

Anoniem: 43565 schreef op donderdag 30 november 2006 @ 22:34:
Wiskunde wordt natuurlijk wel continu aan de werkelijkheid getoetst. Als jouw bankrekeningsaldo opeens oneindig groot wordt omdat iemand bedacht dat 0,99.... ongelijk aan 1 was gaat er vast wel iemand achter z'n oor krabben.

Daar lijkt mij het probleem te zitten.
0,999... (<<let op, 3 puntjes = repetent) is niet oneindig groot en zal in de praktijk betekenen dat ik (afhankelijk van welke prutser het systeem gedevved heeft ) at best 1 euro op mijn saldo heb.

0,555... (repetent dus) is nog altijd kleiner dan 0,6 en groter dan 0,4. Waarom zou 0,999... dan oneindig groot zijn? Het enige dat oneindig is is het aantal negens achter de komma. En nee, er kan niet "nog een negen" bij of af, of een 1 of een 7 for that matter. De reeks is namelijk oneindig; er is geen "eind" om je cijfer aan te plakken.

Om het even over een andere boeg te gooien: Ik wil van punt A naar punt B. Punt B ligt op 1 meter afstand van A. Nu loop ik de helft van die afstand. Zit ik dus op 0,5m van B. Nu loop ik daar de helft weer van. Zit ik dus op 0,75m. Daar de helft weer van (0,875m), daar de helft weer van, ...
Verrek. Ik kom nooit aan En toch loop ik makkelijk een honderd meter naar mijn werk. En ik leg toch altijd maar de helft + daar de helft weer van + daar ... af.

Je moet wiskunde dus niet direct proberen in te passen in "the real world". Hoewel het raakvlakken heeft en wel eens praktisch is (idd als ik mijn loon krijg en moet berekenen hoeveel de fiscus weer eens inhoudt is het handig ) heeft wiskunde in principe niks met realiteit te maken

[ Voor 41% gewijzigd door RobIII op 01-12-2006 05:38 ]

[Anoniem: 8386]

Zoijar schreef op donderdag 30 november 2006 @ 22:43:
Tot op zekere hoogte heb je helemaal gelijk HlpDsk. Je kan eens wat lezen over Godel's onvolledigheids theorie en ook bv over het keuze axioma (axiom of choice) als je echt interesse hebt in deze dingen.

Er is ook zo'n prachtiuge uitspraak, iets van "stelling (a) is duidelijk waar, (b) is duidelijk onwaar, en (c) dat weet niemand" waar de grap is dat die 3 stellingen equivalent zijn.

Als ik me niet vergis:

(a) Lemma van Zorn.

(b) Het well ordenings principe. (Voor overaftelbare verzamelingen.)

(c) Stelling van Tychonoff

(Ik ben niet helemaal zeker over (a) deze kan ook onder (c) opgevoerd worden. En dan is het (a) het keuze axioma zelf.)

[Anoniem: 88245]

RobIII schreef op vrijdag 01 december 2006 @ 05:29:
[...]

Daar lijkt mij het probleem te zitten.
0,999... (<<let op, 3 puntjes = repetent) is niet oneindig groot en zal in de praktijk betekenen dat ik (afhankelijk van welke prutser het systeem gedevved heeft ) at best 1 euro op mijn saldo heb.

Als je bank met breuken werkt kan ik goed 3 maal 1/3 euro overmaken op je rekening, dan heb je dus 0,999... euro.

Om het even over een andere boeg te gooien: Ik wil van punt A naar punt B. Punt B ligt op 1 meter afstand van A. Nu loop ik de helft van die afstand. Zit ik dus op 0,5m van B. Nu loop ik daar de helft weer van. Zit ik dus op 0,75m. Daar de helft weer van (0,875m), daar de helft weer van, ...
Verrek. Ik kom nooit aan En toch loop ik makkelijk een honderd meter naar mijn werk. En ik leg toch altijd maar de helft + daar de helft weer van + daar ... af.

Je moet wiskunde dus niet direct proberen in te passen in "the real world". Hoewel het raakvlakken heeft en wel eens praktisch is (idd als ik mijn loon krijg en moet berekenen hoeveel de fiscus weer eens inhoudt is het handig ) heeft wiskunde in principe niks met realiteit te maken

Dat is een paradox omdat Zeno oneindigheden verkeerd begreep.
Hij nam aan dat als je een afstand groter dan nul in oneindig veel stappen aflegt, dat je een oneindige afstand aflegt.
Eigenlijk is het dus geen paradox.

[Ivo]

Het bewijs dat er tussen twee reeele getallen altijd een getal zit is niet zo moeilijk. Neem eerst aan dat het niet zo is, dus dat we twee getallen hebben a en b, waarvoor geldt dat a < b en er is geen getal c, zodat a < c < b. Van de getallen a en b bestaat echter het gemiddelde (a+b)/2 en a < (a+b)/2 < b en dus bestaat er wel een getal c, zodat a < c < b. Onze aanname dat er geen getal c met a < c < b bestaat is dus incorrect. Voor elke willekeurige twee (verschillende) getallen bestaat er dus een getal dat tussen die twee in ligt.

[Hertog]

RobIII schreef op vrijdag 01 december 2006 @ 05:29:
[...]

Daar lijkt mij het probleem te zitten.
0,999... (<<let op, 3 puntjes = repetent) is niet oneindig groot en zal in de praktijk betekenen dat ik (afhankelijk van welke prutser het systeem gedevved heeft ) at best 1 euro op mijn saldo heb.

Volgens mij bedoelt The_Tzar, als ik de rest van zijn posts zo zie, niet dat 0,999... oneindig groot is, maar dat een hoop wiskunde ongeldig wordt als 0,999... niet gelijk zou zijn aan 1. Hij had het er eerder over dat je dan kunt bewijzen dat 0 = 1, en dan kan een bankrekeningsaldo vast ook wel heel hoog worden.

Dat terzijde zijn er inderdaad wel mensen die 0,999... als 'oneindig' of 'nadert tot oneindig' schrijven, daarvoor is je uitleg wel van toepassing. Het enige dat aan 0,999... oneindig is, is het aantal nullen. En dat nadert niet tot oneindig, dat ís gewoon oneindig.

Om het even over een andere boeg te gooien: Ik wil van punt A naar punt B. Punt B ligt op 1 meter afstand van A. Nu loop ik de helft van die afstand. Zit ik dus op 0,5m van B. Nu loop ik daar de helft weer van. Zit ik dus op 0,75m. Daar de helft weer van (0,875m), daar de helft weer van, ...
Verrek. Ik kom nooit aan En toch loop ik makkelijk een honderd meter naar mijn werk. En ik leg toch altijd maar de helft + daar de helft weer van + daar ... af.

Dat is een andere versie van Zeno's paradox, toch? Hoe dan ook, in dit geval heb je het wel over een reeks van een oneindig aantal halveringen. Je halveert de afstand, maar ook de tijd waarin je deze aflegt. Als je al bijna op je werk bent heb je een oneindig kleine afstand over, die je in oneindig weinig tijd aflegt. In de praktijk ben je er dan al Niet dat dit afdoet aan je voorbeeld over wiskunde en 'de echte wereld', maar dat was de uitleg zoals ik hem ken