Repetentie: harde wiskunde en filosofie

[Confusion]

Verwijderd schreef op donderdag 30 november 2006 @ 22:41:
Stel dat iemand met een andere set regels zou komen die ook de wereld zoals je die kunt bevatten in een gelijke nauwkeurigheid beschrijven als dat de huidige set regels doet.

Dat is bijvoorbeeld het geval met de kromming van de ruimte in de algemene relativiteitstheorie. We zeggen dat de ruimte gekromd (niet-Euclidisch) is, omdat de wiskunde gelijkenis vertoont met de niet-Euclidische meetkunde. Maar uiteindelijk is dat alleen zo, omdat de definitie is dat licht rechtdoor gaat: de baan van licht definieert wat 'recht' is. Iemand zou echter stug vol kunnen houden dat de ruimte Euclidisch is en dat licht kromme banen aflegt. In dat laatste geval worden de vergelijkingen om het universum te beschrijven echter complexer en onbruikbaar (althans, dat is mij uitgelegd; ik heb daar geen eerstehands kennis van ) en daarom heeft men ervoor 'gekozen' (hoewel dat waarschijnlijk nooit bewust is gedaan) de set vergelijkingen te hanteren waarin het licht rechtdoor gaat.

Hoe kun je nu nog zeker zijn van een waarheid binnen een van de spelletjes [..]

Dat kan niet, maar je weet wel wat binnen het spelletje consistent met elkaar is.

Jij zit goed met je redenatie, maar het vervelende is dat je vaak een vrijwel analogie redenatie ziet, waarmee men vervolgens beweert dat binnen 'de' (gebruikelijke) wiskunde 0.999... niet gelijk aan 1 is of 'hoeft te zijn' ofzo. Hier is de discussie ge-evolueerd van die discussie naar de discussie of het mogelijk is dat er een systeem is waarin die twee inderdaad niet aan elkaar gelijk zijn. Dat kan, maar dat neemt niet weg dat mensen in het begin van dit topic gelijk hebben: 0.999... is gelijk aan 1, omdat we er zonder bijzondere opmerkingen vanuit mogen gaan dat iemand dezelfde wiskunde aanneemt die iedereen, op een enkeling na, aanneemt.

[Verwijderd]

Maar we hadden al vastgesteld (althans dat is eigenkennis) dat ik graag dwars lig

[EnnaN]

dus dan zijn we er uit dat met de pre conditie
"zonder de wiskunde zoals die geaccepteerd en gedefinieerd is te veranderen",

0.9999.... gelijk is aan 1.

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op vrijdag 01 december 2006 @ 15:37:
Maar we hadden al vastgesteld (althans dat is eigenkennis) dat ik graag dwars lig

Zo kun je elke discussie wel relativeren door een metadiscussie te beginnen.

Wiskunde is gebouwd rond (menselijke) logica, dan maakt het weinig uit of de mens uiteindelijk juist is, zolang het voor ons mensen maar logisch en consistent is.

[EnnaN]

het hele concept van logica is nou juist dat het niet fout kan zijn.

wat je doet is dat je vanuit een bepaald aantal regels verder gaat redeneren over "wat kan ik nog meer doen, met dit als basis". en een van de gevolgen van de basis die wij met z'n allen over de wiskunde en de nummers 1,2,3 etc hebben afgesproken, is oa de gelijkheid die basis is van deze (non)discussie.

[Verwijderd]

Angeloonie schreef op donderdag 30 november 2006 @ 20:15:
[...]


simpel: waarom zou je dan 0,999 opschrijven als het toch 1 is?

Nee, het scheeld volgens de geschrevene precies 1/1000ste

Een getal moet je exact definiëren.

9,9 (met een streepje boven de laatste 9) betekend een oneindige lus van negens achter de komma. Dit is vooralsnog geen 10, maar wordt als 10 genomen omdat huidige computers nog een beperking hebben. Ik kan zo jouw Windows calculator in een lus zetten waar je systeem de komende 12 maanden niet uitkomt.

Ga maar eens "Pi" 'exact' uitrekenen tot 1000 decimalen achter de komma (alleen de formule voor de berekening van Pi is exact en niet de uitkomst!) en zie je systeem krippel lopen. Voor het gemak wordt er een bepaalde tijd genomen voor één floating en daarom rekenen processoren niet wiskundig exact. Dat is bijna niet te doen. Dit is vooralsnog een taak voor supercomputers en die hebben zelf een hele tijd nodig (weermodellen, échte 3D rendering, stromingsleer=fractalberekeningen).

Met wiskunde valt niet te sollen. Exact is ook exact en daarom kennen we formules en wetten

[ Voor 4% gewijzigd door Verwijderd op 01-12-2006 21:34 ]

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op vrijdag 01 december 2006 @ 21:29:
[...]


Nee, het scheeld volgens de geschrevene precies 1/1000ste

Een getal moet je exact definiëren.

Daarom liep de discussie ook scheef, men gebruikt niet de juiste notatie.
In dit geval bedoelde hij, denk ik, 0,999... repetent.

[EnnaN]

dan wordt het antwoord nog makkelijker natuurlijk, en is al eerder gegeven in dit topic.

"waarom zou je dan 0,999 opschrijven als het toch 1 is?"

tjah. waarom zou je 2-1 opschrijven als het toch 1 is? ik weet het niet, maar als er ergens "2-1" staat dan ga ik er niet van uit dat het iets anders dan "1" enkel omdat ze anders wel 1 haddne geschreven

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op vrijdag 01 december 2006 @ 21:29:
[...]

9,9 (met een streepje boven de laatste 9) betekend een oneindige lus van negens achter de komma. Dit is vooralsnog geen 10, maar wordt als 10 genomen omdat huidige computers nog een beperking hebben. Ik kan zo jouw Windows calculator in een lus zetten waar je systeem de komende 12 maanden niet uitkomt.'

Kij leuk, maar 9.9<met streep> of 9.999.... of 10, allemaal PRECIES het zelfde, daar gaat heel dit topic over. Het heeft namelijk niets met computers te maken, en alles met wiskunde.

Verwijderd schreef op vrijdag 01 december 2006 @ 21:29:
[...]
Ga maar eens "Pi" 'exact' uitrekenen tot 1000 decimalen achter de komma (alleen de formule voor de berekening van Pi is exact en niet de uitkomst!) en zie je systeem krippel lopen.

En de eerste 1000 decimalen naar de komma van Pi? Daar draait niemand zijn hand voor over, en die 1000 decimalen zijn dan ook exact de uitkomst. (voor je vraag: eerste 1000 decimalen achter de komma van Pi), Overigens is er niet een 'DE' formule van Pi, maar veel benaderingswijzen om Pi numeriek te benaderen.

[ Voor 36% gewijzigd door Verwijderd op 01-12-2006 22:59 ]

[Andamanen]

Verwijderd schreef op vrijdag 01 december 2006 @ 21:29:
[...]
Een getal moet je exact definiëren.

9,9 (met een streepje boven de laatste 9) betekend een oneindige lus van negens achter de komma. Dit is vooralsnog geen 10, maar wordt als 10 genomen omdat huidige computers nog een beperking hebben.

Volgens jou is het dus niet hetzelfde, maar wordt het "voor het gemak" wel zo aangenomen? Wat is volgens jou dan het verschil tussen 1 en 0.999... (met die oneindige lus van negens dus)?

[Universal Creations]

Kan ik dit topic voor mijzelf als volgt samenvatten (slechts ter bevestiging):

0,9999... = 1 - (1/oneindig) en aangezien 1/oneindig = 0 mag je stellen dat 0,99999... = 1

Waar ik overigens geen vrede mee heb zijn de argumenten over de schrijfwijze.
Want in mijn ogen is 0,9999.... anders dan 1 vanwege de schrijfwijze. Er wordt door een aantal users gezegd dat je 1 ook kunt schrijven als 3/3, 2-1, 1², enz. maar dat zijn in mijn ogen alleen maar berekeningen die als resultaat exact 1 hebben, net zoals bovenstaande en gaat het niet om een schrijfwijze. Voor mij dus toch een beetje een dilemma.

Nu we toch bezig zijn: hoe formuleer je op wiskundige wijze oneindigheid zonder een oneindige reeks te gebruiken?

[Verwijderd]

Ik heb dit voorbij zien komen elders: 0,[9], waarmee het getal tussen de brackets de repetent is.

[Technicality]

Verwijderd schreef op donderdag 30 november 2006 @ 21:27:
[...]
maar goed...
i² = -1 maar i is niet de wortel van -1

offtopic:
Vreemd, ik heb juist wel geleerd dat i de wortel van -1 is... maar voor het rekenwerk maakt dat niks uit.

Ontopic: 0,999... is 1

[Verwijderd]

0.999r is wiskundig gezien 1. Praktisch gezien ook. Er zijn vast andere 'kundes' te bedenken waarin 0.999r niet 1 is, maar volgens mij hebben we het meestal over wiskunde.

[Gomez12]

Gewoon even een vraag tussendoor, als je kan zeggen dat 0,999... 1 is ( het is alleen een andere notatie ), waarom kan je wiskundig dan niet zeggen ( even aangenomen dat 0,999... geen 1 is ) dat het getal tussen 0,999... en 1 het getal : (1-0,999....)/2 is.
Oftewel gewoon een getal wat wel bekend is, maar niet binnen het normale tientallige stelsel genoteerd kan worden, net zoiets als pi.

Want ik zie niet in waarom je het niet op zo'n manier zou kunnen noteren waardoor er opeens wel een getal tussen 0,999.... en 1 komt waardoor het niet meer gelijk is.

[Verwijderd]

Gomez12 schreef op zaterdag 02 december 2006 @ 02:11:
Gewoon even een vraag tussendoor, als je kan zeggen dat 0,999... 1 is ( het is alleen een andere notatie ), waarom kan je wiskundig dan niet zeggen ( even aangenomen dat 0,999... geen 1 is ) dat het getal tussen 0,999... en 1 het getal : (1-0,999....)/2 is.

Geen juiste aanname dan he.
1 - 0,999... is gewoon 0 (of 0,000...).

Oftewel gewoon een getal wat wel bekend is, maar niet binnen het normale tientallige stelsel genoteerd kan worden, net zoiets als pi.

Want ik zie niet in waarom je het niet op zo'n manier zou kunnen noteren waardoor er opeens wel een getal tussen 0,999.... en 1 komt waardoor het niet meer gelijk is.

Pi is heel goed te noteren, uiteraard niet uit te schrijven (net als 0,999...), maar het Pi symbool is de korste en makkelijkste notatie (volgens afspraak).

Je kunt wel een getalsysteem verzinnen waar 0,999... en 1 niet gelijk zijn, maar dan moet je hele gekke constructies maken (zou bij god niet weten hoe) en de standaard rekenkundige bewerkingen (optellen , aftrekken) verlaten.

[Soultaker]

De essentie van het probleem is dat het voor veel mensen moeilijk is om getallen los te zien van de notatie waarmee ze gerepresenteerd worden. "1010 in basis 2" is gelijk aan "10 in basis 10", ook al is de schrijfwijze anders. Is het nu zo moeilijk om te geloven dat sommige getallen ook in een enkele getalsbasis op meerdere manieren uitgedrukt kunnen worden?

Twee reële getallen verschillen (let op het woord!) als het verschil niet 0 is. Het verschil tussen 0,9 en 1 is nul, dus de getallen zijn gelijk. Verder is de som van de oneindige reeks 10^-n*9 gewoon 1 (en niet 'bijna 1' ofzoiets).

Het is typisch W&L (ook al begon de thread in de HK) om dan eindeloos door te fantaseren tot elk verband met common sense en de realiteit verbroken is. Accepteer alsjeblieft dat er maar één getal 1 is!

[Verwijderd]

Toch jammer dat je nu iedereen die wil discussieren volgens jou geen common sense heeft en maar moet accepteren wat jij wil. Zo werkt dat dus niet in een discussie.

[Ivo]

In wiskunde valt er niet te discussieren over iets dat bewezen is. Het enige wat je kan doen is een tegenspraak afleiden en zodoende verklaren dat de wiskunde is gestoeld op verkeerde aannames. De bal ligt dus bij de mensen die vinden dat 0.9... niet gelijk is aan 1 om dit aan te tonen, want het bewijs voor het tegenovergestelde is al geleverd.

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op donderdag 30 november 2006 @ 08:16:
[...]
Nee, 0,9999 repetent is per definitie gelijk aan 1.
Er is geen enkel bewijs dat het andere getallen zijn.
Zie deze uitgebreide wikipedia pagina.

Het lijkt niet logisch, maar het is toch echt zo.
Volgens jou is:
0,9999... < 1,

dus dan moet er een positief getal P bestaan zo dat:
0,9999... + P = 1,

maar voor elk positief nummer B krijgen we:
0,9999... + P > 1.

Hier is ook veel aandacht besteed aan dit onderwerp (veel mensen weigeren het gewoon te geloven).

Met deze theorie heb ik een tijdje kunnen leven, maar ben ik een eikel als ik voor P=0,1111... neem?

Volgens de theorie:
0.9999... = 1

0.9999... + 0 = 1

0.9999... + 0.1111... = 1 ?

0.1111... = 0 ???

[Nvidiot]

Uhmm

0.999.... + 0.111... = 1.111... en niet 1

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op zaterdag 02 december 2006 @ 01:01:
0.999r is wiskundig gezien 1. Praktisch gezien ook. Er zijn vast andere 'kundes' te bedenken waarin 0.999r niet 1 is, maar volgens mij hebben we het meestal over wiskunde.

Oh, dat is binnen de wiskunde ook niet zo heel erg moeilijk. Je hebt het dan niet meer over de reeele getallen. (De definite die me als eerste in het hoofd schiet heeft bijvoorbeeld de interessant eigenschap dat 0.999... != 1 maar er is geen a zodat 0.999... < a < 1. Maar ik ben wel weer bang dat het in die ruimt wel eens moeilijk zou kunnen zijn om een metriek te defineren, of in iedergeval een niet triviale metriek die lijdt tot een discrete topologie.)

Maar het punt is dus. We hebben het hier wel over reeele getallen. En in dat geval kan je simpel weg bewijzen dat 0,999... = 1.

[Hertog]

Even een ander 'bewijs' voor de mensen die op basis van intuïtie vinden dat 0.999... en 1 niet hetzelfde (kunnen) zijn:

1/9 = 0,111...
2/9 = 0,222...
3/9 = 0,333...
...
8/9 = 0,888...
9/9 = 0,999...

Een vrij logisch rijtje, lijkt me. En dat 9/9 = 1 lijkt me geen discussie over mogelijk. Natuurlijk, het is geen echt 'bewijs', maar zo lijkt het misschien wat logischer

Oh, en @ hierboven, hoe wil je een 0,999... krijgen buiten de reële getallen?

[Verwijderd]

Nvidiot schreef op zaterdag 02 december 2006 @ 07:41:
Uhmm

0.999.... + 0.111... = 1.111... en niet 1

AUW blunder!
Niet meer na het stappen posten in wl...
0,9999... is voor mij weer gelijk aan 1.

[Sendy]

Verwijderd schreef op zaterdag 02 december 2006 @ 00:13:
Ik heb dit voorbij zien komen elders: 0,[9], waarmee het getal tussen de brackets de repetent is.

De schrijfwijze (als het daar toch om gaat) is wel belangrijk. Hoe schrijf je bijvoorbeeld de breuk 0,1515... waarin de 15 blijft herhalen? De puntjes voldoen niet meer. Jouw schrijfwijze kan nu wel (al vind ik het niet echt leesbaar). De schrijfwijze iets eerder genoemd (een streepje boven de herhalende getallen) lijkt nog iets beter. Echter, dit heeft allemaal zijn beperkingen: getallen waarin een herhaling voorkomt kan je altijd als breuk schrijven, dus doe dat dan ook

[Verwijderd]

Hertog schreef op zaterdag 02 december 2006 @ 09:50:
Oh, en @ hierboven, hoe wil je een 0,999... krijgen buiten de reële getallen?

Nou de eenvoudigste manier is om de verzameling van alle decimale ontwikkelingen te bekijken. Een ordening is makelijk aan te brengen door twee "getallen"/decimale ontwikkelingen decimaal voor decimaal te vergelijken. (Echter is niet per se iets gegarandeert over de algebraische of topologische structuur van het geheel. Zo is het mij niet meteen duidelijk dat op dit geheel een wel gedefineerde optelling of vermenigvulldiging bestaat, het is zelfs waarschijnlij dat deze niet bestaat immers: wat is dan 1-0.999... ?)

Je kan een boel defineren in de wiskunde. Sommige dingen zijn alleen nuttiger dan anderen.

Je zou bijvoorbeeld ook de verzameling van alle cauchy rijen in de rationele getallen (Q) kunnen bekijken. (Hieruit verkrijg je R door rijen "met dezelfde limiet" met elkaar te identificeren) Dit heeft als voordeel dat optelling en vermenigvuldiging er gratis bij komen (terms gewijs), maar een voor de hand liggende ordening is ver te zoeken. (ik kom zo snel niet voorbij een partiele ordening.) Een topologie is wel makelijk te defineren door te stelllen dat de quotient afbeelding naar de reeele getallen continu is. (Deze topologie is echt niet Hausdorff en daarom topologisch gezien "naar")
Maar evident geldt in deze ruimte 1 != 0.999... .

En dit is nog maar wat ik in 10 minuten bij mekaar kan defineren, met wat meer moeite is er misschien zelfs nog wel iets te defineren met niet al te slechte eigenschappen.

[KaMiKaZe]

windows calc test

6/9 = 0,66666666666666666666666666666666
7/9 = 0,77777777777777777777777777777777
8/9 = 0,88888888888888888888888888888888

(tel op) = 2,333333333333333333333333333331 (?)

maar

6+7+8 = 21

21/9 = 2,3333333333333333333333333333333

probleem zit hem erin dat we repentente getallen eigenlijk niet kunnen noteren. 0,999999 repentent is bij benadering het dichste getal bij 1 maar zal in de oneindigheid nooit 1 worden. Dat een programma als calc van windows uiteindelijk besluit naar boven af te ronden, komen bij een hertelling deze afrondingsfouten pijnlijk naar boven. er kan geen rekenmachine in onze wereld 0,999999 repentent weergeven, alleen oneindig benaderen. dus uit gemak noemen we het dan maar 1

[kenneth]

KaMiKaZe schreef op zaterdag 02 december 2006 @ 10:36:
0,999999 repentent is bij benadering het dichste getal bij 1 maar zal in de oneindigheid nooit 1 worden.

Ben jij wel eens bij de oneindigheid geweest dan?

[KaMiKaZe]

ik zit er nog steeds in

[Soultaker]

Verwijderd schreef op zaterdag 02 december 2006 @ 04:08:
Toch jammer dat je nu iedereen die wil discussieren volgens jou geen common sense heeft en maar moet accepteren wat jij wil. Zo werkt dat dus niet in een discussie.

Er valt weinig te discussiëren; de standaardwiskunde is heel duidelijk op dit punt. Er zijn ook genoeg mensen die het op allerlei manieren hebben uitgelegd, dus dat hoef ik ook niet te herhalen.

Als jij een alternatieve wiskunde voorstaat waarin 0,9 niet gelijk is aan 1, dan kan dat best interessant zijn, maar vertel dan welke axioma's je aanhangt, welke concepten uit de standaardwiskunde nog werken en welke niet (zoals het sommeren van oneindige rijen blijkbaar), en wat de voordelen zijn van jouw wiskunde. Tot nu toe heb je geen alternatieve theorie gegeven, maar verschil je alleen op dit punt van 'mening'; ik kan er dan niets anders in zien dan dat het enige nut van je standpunt is dat je je ongelijk kunt blijven ontkennen.

edit:
Het is trouwens niet mijn bedoeling om 'op de man' te spelen. Het gaat me er alleen om dat een discussie óók nogal zinloos is als elk mogelijk standpunt als gelijkwaardige theorie wordt bestempelt, onder het mom van 'elke theorie is maar een mening, en daardoor gelijkwaardig aan elke andere theorie'.

Als je je van de standaardwiskunde wil distantiëren, zeg dat dan duidelijk; je mag er vanuit gaan dat als het in een topic over wiskunde gaat, de standaardwiskunde die al decennia- zoniet eeuwenlang wereldwijd gebruikt wordt bedoeld wordt.

[ Voor 21% gewijzigd door Soultaker op 02-12-2006 12:29 ]

[Verwijderd]

KaMiKaZe schreef op zaterdag 02 december 2006 @ 10:36:
windows calc test

6/9 = 0,66666666666666666666666666666666
7/9 = 0,77777777777777777777777777777777
8/9 = 0,88888888888888888888888888888888

(tel op) = 2,333333333333333333333333333331 (?)

maar

6+7+8 = 21

21/9 = 2,3333333333333333333333333333333

probleem zit hem erin dat we repentente getallen eigenlijk niet kunnen noteren. 0,999999 repentent is bij benadering het dichste getal bij 1 maar zal in de oneindigheid nooit 1 worden. Dat een programma als calc van windows uiteindelijk besluit naar boven af te ronden, komen bij een hertelling deze afrondingsfouten pijnlijk naar boven. er kan geen rekenmachine in onze wereld 0,999999 repentent weergeven, alleen oneindig benaderen. dus uit gemak noemen we het dan maar 1

Gelukkig hebben we het ook nergens over rekenprogramma's en over schrijfwijze in programma's. Wij hebben het hier over wiskunde, en daar zijn gewoon afspraken over nnotaties (0,9 met streep boven 9 bijvoorbeeld). En dat getal hoef je niet af te ronden, want dat getal is 1. Zie rest topic voor voldoende bewijs.

[Verwijderd]

KaMiKaZe schreef op zaterdag 02 december 2006 @ 10:36:
windows calc test

6/9 = 0,66666666666666666666666666666666
7/9 = 0,77777777777777777777777777777777
8/9 = 0,88888888888888888888888888888888

(tel op) = 2,333333333333333333333333333331 (?)

maar

6+7+8 = 21

21/9 = 2,3333333333333333333333333333333

probleem zit hem erin dat we repentente getallen eigenlijk niet kunnen noteren. 0,999999 repentent is bij benadering het dichste getal bij 1 maar zal in de oneindigheid nooit 1 worden. Dat een programma als calc van windows uiteindelijk besluit naar boven af te ronden, komen bij een hertelling deze afrondingsfouten pijnlijk naar boven. er kan geen rekenmachine in onze wereld 0,999999 repentent weergeven, alleen oneindig benaderen. dus uit gemak noemen we het dan maar 1

Nee, het probleem is dat windows calc afrond, ik doe dat niet.
6/9 is niet 0,66666666666666666666666666666666 maar 0,666... repetent.
Als we 0,999... repetent blijven schrijven tijdens het rekenen, ronden we niet af.
Het is dus ook geen benadering als we repetent schrijven.

Dat repetent is er juist voor om breuken als 6/9 te kunnen noteren als 0,666... ; het zijn dezelfde getallen, alleen ander opgeschreven, maar dat maakt niet uit.

0,999... is eigenlijk 9*(1/10) + 9*(1/100) + 9*(1/1000) + ...
Volgens mij probeer jij je 0,999... te visualiseren als een hele groot rij negens.
Als je dat doet zegt je intuïtie dat er uiteindelijk nog een negen achter kan, maar dat gaat dus niet omdat het oneindig is.
Er is per definitie geen verschil tussen die twee.

Getallen kunnen niets benaderen, iets is het of iets is het niet.
Als mensen dat zeggen dat denk ik dat ze zich een rij negens achter de dicmaal zien die steeds groter wordt.
In dit geval zegt je gevoel dat het getal steeds groter wordt en dichter bij de 1 kruipt.
In de wiskunde doen we dat niet (daar is geen tijd voor ), oneindigheden moet je niet proberen intuïtief te begrijpen.

Als je de vorige pagina's van dit topic leest zul je zien dat dit al een paar keer voorbij gekomen.

[ Voor 10% gewijzigd door Verwijderd op 02-12-2006 13:18 ]

[Verwijderd]

EnnaN schreef op vrijdag 01 december 2006 @ 22:35:
dan wordt het antwoord nog makkelijker natuurlijk, en is al eerder gegeven in dit topic.

"waarom zou je dan 0,999 opschrijven als het toch 1 is?"

tjah. waarom zou je 2-1 opschrijven als het toch 1 is? ik weet het niet, maar als er ergens "2-1" staat dan ga ik er niet van uit dat het iets anders dan "1" enkel omdat ze anders wel 1 haddne geschreven

Omdat we het hadden over wiskunde en wiskunde is exacte theorie en wiskunde bestaat niet uit getallen zelf, maar uit de formule die het getal als uitkomst heeft omdat men zo exact kan rekenen. Ik mag hopen voor je dat je bank iets netter omgaat met renteberekeningen dan jullie hier doen want sommige van jullie blijken geen kennis te hebben van wiskunde. Op het VWO vond ik wiskunde samen met natuurkunde en scheikunde een waar feest!

0,999+0,111 is geen 1, maar 0,999 + 0,001 is wél 1. Wat mis je? Exact 1/1000ste.

0,9+0,1=1
0,99+0,01=1
0,999+0,001=1
0,99999999999+0,00000000001=1
0,9³⁸⁶ is geen 1, maar 0,0³⁸⁶1 erbij optellend is wél 1.
...

Macht 386 is de hoogste macht waarmee de mens kan rekenen (supercomputers)

[ Voor 4% gewijzigd door Verwijderd op 02-12-2006 17:50 ]

[Andamanen]

Verwijderd schreef op zaterdag 02 december 2006 @ 17:47:
[...]
0,999+0,111 is geen 1, maar 0,999 + 0,001 is wél 1. Wat mis je? Exact 1/1000ste.

0,9+0,1=1
0,99+0,01=1
0,999+0,001=1
0,99999999999+0,00000000001=1
0,9³⁸⁶ is geen 1, maar 0,0³⁸⁶1 erbij optellend is wél 1.
...

Macht 386 is de hoogste macht waarmee de mens kan rekenen (supercomputers)

Bij die machten gaat er bij jouw toch wat fout (of je bedoelt iets anders dan er lijkt te staan).
0,9³⁸⁶ is bijna 0, niet bijna 1. En 0,0³⁸⁶1 is ook een beetje een vage notatie.

[Hertog]

KaMiKaZe schreef op zaterdag 02 december 2006 @ 10:36:
probleem zit hem erin dat we repentente getallen eigenlijk niet kunnen noteren. 0,999999 repentent is bij benadering het dichste getal bij 1 maar zal in de oneindigheid nooit 1 worden.

Nee. Nogmaals, een getal is een statisch iets. Een plaats op de getallenlijn, een hoeveelheid knikkers, of wat je dan ook gebruikt om een getal te representeren. Een getal kan dus niet '1 worden'. Een getal ís 1, of het is iets anders. En 0,999... is 1. Net zoals 0,333... precies 1/3 is. Dat is niet omdat 0,333... een getal is dat dicht bij 1/3 ligt, maar omdat het precies 1/3e is.

Dat een programma als calc van windows uiteindelijk besluit naar boven af te ronden, komen bij een hertelling deze afrondingsfouten pijnlijk naar boven. er kan geen rekenmachine in onze wereld 0,999999 repentent weergeven, alleen oneindig benaderen. dus uit gemak noemen we het dan maar 1

Het is niet uit gemak 'omdat rekenmachines zo afronden'. Kijk eens iets hoger naar mijn rijtje met breuken van negen. Als het zo logisch is dat 1/9 = 0,111..., en 2/9 = 0,222..., enzovoorts, waarom is 9/9 dan ineens niet meer 0,999.... maar precies 1? Nou, omdat het hetzelfde is, natuurlijk. Maar in jouw situatie komt er 'ergens' een getal 'aan het einde' bij waardoor een reeks repeterende breuken ineens een geheel getal is. Of bedoel je te zeggen dat 9/9 eigenlijk 0,999... is, maar we het voor het gemak maar even afronden tot 1?

[Hertog]

Verwijderd schreef op zaterdag 02 december 2006 @ 10:21:
[...]


Nou de eenvoudigste manier is om de verzameling van alle decimale ontwikkelingen te bekijken. Een ordening is makelijk aan te brengen door twee "getallen"/decimale ontwikkelingen decimaal voor decimaal te vergelijken. (Echter is niet per se iets gegarandeert over de algebraische of topologische structuur van het geheel. Zo is het mij niet meteen duidelijk dat op dit geheel een wel gedefineerde optelling of vermenigvulldiging bestaat, het is zelfs waarschijnlij dat deze niet bestaat immers: wat is dan 1-0.999... ?)

Het is altijd lastig in te schatten op welk 'niveau' iemand denkt. Ik dacht dat je het over andere 'meer standaard' getallenverzamelingen had, en moet eerlijk zeggen dat deze wiskunde me te boven gaat. Toch probeer ik een reactie

Hoe dan ook, ik begrijp uit je tekst hierboven dat je getallen decimaal voor decimaal gaat vergelijken. Dan gaat het inderdaad bij de eerste decimaal al mis. Maar wat is de waarde van dit getallensysteem in de 'echte', of beter, algemene wiskunde? En is in dit geval 1/3e ook een ander getal dan 0,333...?

Je kan een boel defineren in de wiskunde. Sommige dingen zijn alleen nuttiger dan anderen.

Dat klopt. Eerder, na een meta-discussie over 'wat is echte waarheid' hadden we al het voorbehoud ingebouwd dat we keken naar de 'algemeen geaccepteerde' huidige stand van wiskunde. Vandaaar ook dat ik in eerste instantie dacht dat je met andere getallenverzamelingen wilde werken.

Je zou bijvoorbeeld ook de verzameling van alle cauchy rijen in de rationele getallen (Q) kunnen bekijken. (Hieruit verkrijg je R door rijen "met dezelfde limiet" met elkaar te identificeren) Dit heeft als voordeel dat optelling en vermenigvuldiging er gratis bij komen (terms gewijs), maar een voor de hand liggende ordening is ver te zoeken. (ik kom zo snel niet voorbij een partiele ordening.) Een topologie is wel makelijk te defineren door te stelllen dat de quotient afbeelding naar de reeele getallen continu is. (Deze topologie is echt niet Hausdorff en daarom topologisch gezien "naar")
Maar evident geldt in deze ruimte 1 != 0.999... .

Cauchy rijen gaat me weer te ver, maar zou 0,999... in dit geval niet als 'limiet' 1 hebben, waardoor het hetzelfde is als (te identificeren is met) 1? Sowieso, is binnen Q 0,999.. niet gewoon 9/9, hetgeen ook weer 1 is?

En dit is nog maar wat ik in 10 minuten bij mekaar kan defineren, met wat meer moeite is er misschien zelfs nog wel iets te defineren met niet al te slechte eigenschappen.

Nogmaals, we hadden het aan het begin over iets binnen de algemene wiskunde. Ik kan ook wel stellen dat 1 = 2, en vervolgens bewijzen dat 1 = 3. Nu is dat wat bot gezegd, en zijn je voorbeelden van hierboven vast veel ingewikkelder en serieuzer, maar doe je niet in feite precies hetzelfde?

[Verwijderd]

Hertog schreef op zaterdag 02 december 2006 @ 19:39:
[...]

Hoe dan ook, ik begrijp uit je tekst hierboven dat je getallen decimaal voor decimaal gaat vergelijken. Dan gaat het inderdaad bij de eerste decimaal al mis. Maar wat is de waarde van dit getallensysteem in de 'echte', of beter, algemene wiskunde? En is in dit geval 1/3e ook een ander getal dan 0,333...?

Zoals ik zei, optelling en vermenigvuldiging zijn problematisch. In het bijzonder is 1/3 dus geen welgedefineerd element. (Q is geen "natuurlijke" deelverzameling van deze "getallen" (voor zover je dit uberhaupt getallen zou kunnen/willen noemen.

[...]
Dat klopt. Eerder, na een meta-discussie over 'wat is echte waarheid' hadden we al het voorbehoud ingebouwd dat we keken naar de 'algemeen geaccepteerde' huidige stand van wiskunde. Vandaaar ook dat ik in eerste instantie dacht dat je met andere getallenverzamelingen wilde werken.

Ik moet zeggen dat ik niet zo goed weet wat je daarmee zou kunnen bedoelen. In de moderne wiskunde zijn er boel constructies die aan de orde komen en waarbij een boel standaard niet standaard constructies horen. (R met spijkertopologie of R met een dubbelpunt zijn bijvooorbeeld geliefde tegenvoorbeelden in de topologie)

Cauchy rijen gaat me weer te ver, maar zou 0,999... in dit geval niet als 'limiet' 1 hebben, waardoor het hetzelfde is als (te identificeren is met) 1? Sowieso, is binnen Q 0,999.. niet gewoon 9/9, hetgeen ook weer 1 is?

Let op de voorgestelde objecten zijn de rijen zelf, niet hun limieten. (om precies te zijn niet elke cauchy rij in Q heeft een limiet in Q, dat is precies waarom je op deze manier R kan produceren.) Binnen Q is 0.999... inderdaad 1 maar in de voor gestelde verzameling (waar met 0.999... uiteraard de rij 0.9 0.99 0.999 etc. bedoelt wordt) niet.

Nogmaals, we hadden het aan het begin over iets binnen de algemene wiskunde. Ik kan ook wel stellen dat 1 = 2, en vervolgens bewijzen dat 1 = 3. Nu is dat wat bot gezegd, en zijn je voorbeelden van hierboven vast veel ingewikkelder en serieuzer, maar doe je niet in feite precies hetzelfde?

Nogmaals: "algemene wiskunde" is een slecht gedefineerd begrip. Overigens is de constructie die jij hierboven aanroerd een (triviaal) voorbeeld van een standaard constructie in de wiskunde. Namelijk de gehele getallen modulo veelvouden van 1. Het wordt al intereesanter als je zou beginnen met de aanname 0=2.

[elnino]

Ehm, reageer ik eens op een HK-topic, wordt hij afgesplitst naar W&L.

elnino schreef op donderdag 30 november 2006 @ 00:49:
Ehm, het enige wat je aantoont is dat de limiet van 0,9999... gelijk is aan 1. Dat zegt nog niets over het getal 0,9999... zelf. 0,9999... < 1 (lijkt me evident) en kan dus nooit gelijk zijn aan 1.

Maar ik herroep mezelf. Aangezien we te maken met een getal met oneindige decimalen is een limiet geoorloofd. Ook m'n tweede argument 0,9999... < 1 gaat dus niet op.

Wiskunde, altijd verrassend!

[Soultaker]

Een limiet zonder variabele

Als je nu zegt: de rij 0,9; 0,99; 0,99; ... ; 0,999999 ; etc. nadert naar 1 (of: de limiet van die rij is 1), dan heb je gelijk. Maar het punt is nu juist dat het getal 0,9 (met dus de 9 repeterend) helemaal geen element van die rij is (in die rij heeft elk element namelijk een eindig aantal negens, ookal is de rij zelf oneindig lang!).

Je hebt jezelf dus wel verbeterd, maar het klopt nog steeds niet: 0,9 nadert niet naar 1; het is 1!

[elnino]

Jaja, ik behoor inmiddels tot de groep gelovenden hoor.

Ik gaf in m'n reactie alleen aan waarom m'n argumentatie niet klopte. Mijn stelling was dat het bewijs van Joost niet klopte omdat hij gebruik maakte van limieten en dat dat niet zou mogen. Maar dat mag in dit geval dus wel. Zie ook de reactie van Joost met daarin zijn wiskundige argumentatie (op die limieten doelde ik dus).

[Verwijderd]

elnino schreef op zondag 03 december 2006 @ 20:55:
Jaja, ik behoor inmiddels tot de groep gelovenden hoor.

Ik gaf in m'n reactie alleen aan waarom m'n argumentatie niet klopte. Mijn stelling was dat het bewijs van Joost niet klopte omdat hij gebruik maakte van limieten en dat dat niet zou mogen. Maar dat mag in dit geval dus wel. Zie ook de reactie van Joost met daarin zijn wiskundige argumentatie (op die limieten doelde ik dus).

Dat mag inderdaad.
Als je gelooft dat er oneindige reeksen kunnen bestaan, dan moet je aannemen (om verder binnen de wiskunde consistent te zijn) dat er geen verschil is tussen het limiet van 0,999... en wat het 'eigenlijk' is.

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op donderdag 30 november 2006 @ 17:01:
[...]

We nemen: x = 0,9999...

Vermenigvuldigen met 10:
10x = 9,9999...

X er vanaf halen:
10x - x = 9,9999... - 0,9999...
9x = 9,0000...

Delen door 9:
x = 1,0000...

Ta da!

Mooi zo!
Het verbaasde me zeer dat deze eenvoudige verklaring niet eerder op kwam! Maar een
"ongelovige" kan hardnekkig blijven geloven(( hahahaha) dat het niets bewijst. Hij zou kunnen argumenteren dat de 0,9999... in het getal 9,999... groter is dan de 0,999... in het getal 0,999...

Om het bewijs hard te maken moet je dus weer terug naar de formele verklaring dat in het getal 0,9999. . .=9/10+9/100+...9/N

Lim 9/N met N----->∞ = 0. . .(zoals hierboven door anderen al eerder is bewezen)

en dat is wat de "ongelovegen" niet begrijpen omdat ze hoogst waarschijnlijk een wiskunde leraar hebben gehad die een hekel aan wiskunde had. . .gebeurd maar al te vaak
Een andere verklaring is dat ze nog niet de theorie van limieten hebben geleerd.

PS:

Interessant in het voorbeeld van Joost is dat een "ongelovige" met het getal 9,999. . . ook kan argumenteren dat er minder 9'ns achter de komma zitten omdat met de vermenigvuldiging met 10 de komma 1 plaats naar rechts is gegaan! Dit onjuiste argument zou opleren dat

9,999...-0,999... = 9,000000. . . . - een overblijvende "9" . . .aan aan het oneindige einde( ) van de reeks. Op deze manier zou het onzuivere bewijs er weer op terug komen dat

(9-P)/9 < 1

zou zijn en daarmee kan de ongelovige zijn (onjuiste) stelling aanhouden dat

0,99999... < 1

Hiermede is wederom aan te tonen dat als je onzuivere argumenten opvoert je onzuivere resultaten krijgt.

[ Voor 25% gewijzigd door Verwijderd op 04-12-2006 19:29 ]

[Verwijderd]

Ik heb niet alle berichten gelezen die hier gepost zijn in dit topic, maar voor zover mij logische lijkt komt
0,3333 repetend * 3 op 0,9999 repetend uit omdat wij in het decimale stelsel werken en dat er dus simpelweg nooit een uitkomst aan zal komen.
10 is dan ook slechts deelbaar door 3 getallen: 2, 5 en 10.
In bijvoorbeeld een twaalftallig stelsel zal je dit probleem niet tegenkomen omdat dat al deelbaar is door 5 getallen: 2, 3, 4, 6 en B (in het twaalftallig stelsel wordt de 11 & 12 als A & B geschreven).

[Verwijderd]

Heeft niet met ons aantal-tallig stelsel te maken hoor. 0.999... hoeft namelijk absoluut geen resultaat van deling te zijn. Verder hebben we voor die delingen-die-niet-kunnen een enorm handige notatatie bedacht, namelijk de breuk. En dat zijn harstijke handige notaties, en daar heeft de deling van 1 door 3 een enorm vaste uitkomst. Namelijk 1/3, of 0.3... . Dat getal is de uitkomst, het wil niet zeggen dat je pas de uitkomst hebt als je alle drietjes hebt uitgeschreven (dat kan namelijk niet eens), nee de 0.3... (eigenlijk 0.3, met streep boven 3) is een compleet valide en duidelijke schrijfwijze voor 1/3. Ierts wat gewoon een uitkomst is.

Dus waarom er geen uitkomst aan zal komen? Wat bedoel je er mee??? Want dan kan ik ook zeggen dat er nooit een uitkomst komt aan 0.5 (want: dat is 0.5[0...]) of aan 1.0 (want dat is 1.[0...]), beide met [herhalend getal...].

Overigens, zie je zelf wel dat zo'n repeterende notatie van 1/3de altijd 0.9... geeft bij vermenigvuldiging met 3. En dat is weer heel gelijk aan 3.

Maar goed, volgens jou redenatie zou Pi bijvoorbeeld ook nooit een uitkomst hebben, omdat we het decimaal niet kunnen uitschrijven? Voor zover ik weet is Pi toch gewoon een constant getal (met uitkomst), die licht tussen 3 en 4 (heel ruwweg). Zelfde geld voor Wortel(2), of voor e. Geen van alle uit te schrijven getallen, maar toch kan je er gewoon mee rekenen.

[Verwijderd]

Hertog schreef op zaterdag 02 december 2006 @ 09:50:
Even een ander 'bewijs' voor de mensen die op basis van intuïtie vinden dat 0.999... en 1 niet hetzelfde (kunnen) zijn:

1/9 = 0,111...
2/9 = 0,222...
3/9 = 0,333...
...
8/9 = 0,888...
9/9 = 0,999...

Een vrij logisch rijtje, lijkt me. En dat 9/9 = 1 lijkt me geen discussie over mogelijk. Natuurlijk, het is geen echt 'bewijs', maar zo lijkt het misschien wat logischer

Prachtig voorbeeld.
Deze ben ik niet eerder tegengekomen. Het lijkt mij echter wel een goed bewijs als je 1/9+ 8/9 =9/9=1 neemt (of dat je 1-1/9 =8/9 neemt):

0,111...+ 0,888. . .= 1

Hier lijkt het een sluitend argument te vormen omdat beide vormen van 1/9 en 8/9 met een staartberekening te bewijzen zijn en elke ongelovige zal dan geloven dat 1/9+8/9=9/9 =0,999...=1 waar is.

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op maandag 04 december 2006 @ 19:47:
Heeft niet met ons aantal-tallig stelsel te maken hoor. 0.999... hoeft namelijk absoluut geen resultaat van deling te zijn. Verder hebben we voor die delingen-die-niet-kunnen een enorm handige notatatie bedacht, namelijk de breuk. En dat zijn harstijke handige notaties, en daar heeft de deling van 1 door 3 een enorm vaste uitkomst. Namelijk 1/3, of 0.3... . Dat getal is de uitkomst, het wil niet zeggen dat je pas de uitkomst hebt als je alle drietjes hebt uitgeschreven (dat kan namelijk niet eens), nee de 0.3... (eigenlijk 0.3, met streep boven 3) is een compleet valide en duidelijke schrijfwijze voor 1/3. Ierts wat gewoon een uitkomst is.

Dus waarom er geen uitkomst aan zal komen? Wat bedoel je er mee??? Want dan kan ik ook zeggen dat er nooit een uitkomst komt aan 0.5 (want: dat is 0.5[0...]) of aan 1.0 (want dat is 1.[0...]), beide met [herhalend getal...].

Overigens, zie je zelf wel dat zo'n repeterende notatie van 1/3de altijd 0.9... geeft bij vermenigvuldiging met 3. En dat is weer heel gelijk aan 3.

Maar goed, volgens jou redenatie zou Pi bijvoorbeeld ook nooit een uitkomst hebben, omdat we het decimaal niet kunnen uitschrijven? Voor zover ik weet is Pi toch gewoon een constant getal (met uitkomst), die licht tussen 3 en 4 (heel ruwweg). Zelfde geld voor Wortel(2), of voor e. Geen van alle uit te schrijven getallen, maar toch kan je er gewoon mee rekenen.

Je hebt gelijk, ik was te snel met conclusies trekken.

[Verwijderd]

deepbass909 schreef op donderdag 30 november 2006 @ 12:53:
Ik heb altijd geleerd dat de limiet 0,99999... 1 benadert, maar het nooit wordt.

Je leraar heeft je waarschijnlijk iets over "asymptoten" geleerd. Een asymptoot is een lijn waar een grafiek steeds dichter tegenaan komt, maar die door de grafiek nooit geraakt wordt. De lijn y=0 (oftewel de x-as) is bijvoorbeeld een asymptoot van de functie f(x)=1/x. Wat de leraar echter bedoelt is: de grafiek komt voor geen enkel eindig getal x tegen de x-as aan!

Echter als we de limiet van de functie f(x)=1/x in het oneindige bekijken, dan is de functiewaarde wel degelijk precies nul. Je hebt "foutieve" (of beter gezegd, wiskundig niet zo precieze) manieren om dit op te schrijven, zoals 1/oo = 0 (oo gebruik ik voor een liggende 8 oftewel, het teken voor oneindig), maar je hebt ook juiste manieren om dit op te schrijven, zoals lim,x->oo 1/x = 0 (waar het stukje "x->oo" even onder het woordje "lim" geschreven moet worden). De eerste manier is foutief, omdat oo geen getal is (hij zit niet in de verzameling |R van reële getallen), dus is ook de uitkomst van de deling ook niet goed gedefinieerd. Delen is alleen goed gedefinieerd voor p/q, met p en q getallen uit |R en q niet 0. De tweede manier is wel juist.

De relatie met asymptoten is een heel directe en ik vermoed dat hier veel van de verwarring door wordt veroorzaakt. De lijn y=1 is namelijk precies de asymptoot van de functie f(x)=1-10^(-x). Leraren benadrukken hierbij altijd dat een asymptoot een lijn is waar de grafiek naar toe loopt, maar waar de grafiek NOOOOOOIT komt. Dat is ook zo, maar alleen voor eindige x. Als x echt "oneindig" is, oftewel als 0,999... echt oneindig veel negens heeft, dan komt de grafiek precies op de 0 en is 0,999... = 1.

[ Voor 6% gewijzigd door Verwijderd op 08-12-2006 13:41 ]

[Hertog]

Verwijderd schreef op maandag 04 december 2006 @ 19:57:
[...]


Prachtig voorbeeld.
Deze ben ik niet eerder tegengekomen. Het lijkt mij echter wel een goed bewijs als je 1/9+ 8/9 =9/9=1 neemt (of dat je 1-1/9 =8/9 neemt):

0,111...+ 0,888. . .= 1

Hier lijkt het een sluitend argument te vormen omdat beide vormen van 1/9 en 8/9 met een staartberekening te bewijzen zijn en elke ongelovige zal dan geloven dat 1/9+8/9=9/9 =0,999...=1 waar is.

Het is niet zo zeer bedoeld als wiskundig onderbouwd bewijs, maar inderdaad als voorbeeld. Zodra je begint met optellingen loop je het risico dat mensen gaan geloven dat er 1 uit komt 'door een afronding bij de optelling' of iets dergelijks. Maar als je gewoon het hele rijtje onder elkaar zíet is het misschien 'intuïtief' makkelijker te geloven, dat was meer het idee

[soulrider]

Verwijderd schreef op donderdag 30 november 2006 @ 19:59:
[...]
Bewijs het eens.

bewijs jij jouw stelling eens...

spijtig genoeg is wiskundig een exacte wetenschappen, terwijl filosofie dit niet is.
ik weet het vrij domme kick maar vond het bij herlezen vreemd dat er geroepen wordt voor een bewijs, terwijl ik omgekeerd ook geen bewijs zie

dat van hier boven geloof ik dus niet

Verwijderd schreef op maandag 04 december 2006 @ 19:57:
[...]

Hier lijkt het een sluitend argument te vormen omdat beide vormen van 1/9 en 8/9 met een staartberekening te bewijzen zijn en elke ongelovige zal dan geloven dat 1/9+8/9=9/9 =0,999...=1 waar is.

want 9/9 is geen 0,9999.... maar da's 1 dus die laatste vergelijking klopt gewoon niet.

ben een beetje koppig, maar zoals ik al zei:
exacte wetenschappen gaan mengen met niet-exacte wetenschappen is.

Het is misschien een goed argument, maar geen _sluitend_ bewijs...

1/9 of 8/9 is fout zodra je het (decimaal) gaat uitschreven, hoe je ook noemt.
9/9 kan je alleen maar schrijven als 1 niet anders

het verschil tss "de som van de repentetieve (decimale) voorstellingen van 1/9 en 8/9" en 1 wordt op oneindige afstand, mss oneindig klein maar nooit 0.

oneindig klein is niet hetzelfde als niets.
(we kunnen het dan misschien niet meten, of ons dat inbeelden maar het is er wel)

terwijl je enkel met de breuk-vorm wel correct _en_ exact kunt tellen namelijk 1/9 + 8/9 = 9/9 = 1.

[Soultaker]

Leuk dat je ook mee wil discussiëren, maar kun je wel even normaal Nederlands typen?

soulrider schreef op woensdag 13 december 2006 @ 22:55:
bewijs jij jouw stelling eens...

Joost heeft al minstens drie verschillende bewijzen gegeven. Waarom voldoen die niet?

dat van hier boven geloof ik dus niet want 9/9 is geen 0,9999....

Wáárom niet dan? Waarom is 0,1 wel 1/9, 0,2 wel 2/9, 0,3 wel 3/9, 0,4 wel 4/9, 0,5 wel 5/9, 0,6 wel 6/9, 0,7 wel 7/9, 0,8 wel 8/9, maar 0,9 níét 9/9?
"Dat klopt gewoon niet" is leuk, maar het volgt nergens uit.

ben een beetje koppig, maar zoals ik al zei:
exacte wetenschappen gaan mengen met niet-exacte wetenschappen is.

Nou? Wat is dat dan? Voor iemand die zich als voorstander van exacte wetenschappen profileert ben je behoorlijk slordig.

1/9 of 8/9 is fout zodra je het (decimaal) gaat uitschreven, hoe je ook noemt.

Wat is er fout aan 1/9 noteren als 0,1 (waarbij de 1 dus repeteert)?

9/9 kan je alleen maar schrijven als 1 niet anders

Dat is nu juist onderwerp van discussie. Door alleen maar je conclusie te herhalen ga je niemand overtuigen. (En waarom kan ik 9/9 niet schrijven als 2/2 of 100/100?)

het verschil tss "de som van de repentetieve (decimale) voorstellingen van 1/9 en 8/9" en 1 wordt op oneindige afstand, mss oneindig klein maar nooit 0.

Waarom niet? Wat is het verschil dan? Als beide reële getallen zijn, maar niet gelijk, dan moet er toch minstens één getal (feitelijk een oneindig aantal getallen) tussen liggen. Noem er eens één?

[ Voor 1% gewijzigd door Soultaker op 14-12-2006 01:01 . Reden: tnx, HlpDsK ]

[Verwijderd]

Niet gelijk bedoel je denk ik

En zonder me verder opnieuw in de discussie te willen mengen: hoe wil je het getal schrijven dat per de wiskundig geldende regels het getal is dat 1 het dichtste benaderd maar niet gelijk aan, en kleiner dan, 1 is?

Als dat niet 0,9 is, wat is het dan wel?

Ik vind het namelijk raar dat je van hem verwacht dat hij een getal noemt dat tussen 2 andere getallen in ligt. Terwijl hij iets probeert te noemen dat 1 oneindig dicht nadert maar het nooit zal zijn. Dan zul je een wiskundige formule moeten noemen en niet een getal.

[ Voor 113% gewijzigd door Verwijderd op 14-12-2006 00:54 ]

[Soultaker]

Ik vind het raar dat je van hem verwacht dat hij een getal noemt dat tussen 2 andere getallen in ligt. Terwijl hij iets probeert te noemen dat 1 oneindig dicht nadert maar het nooit zal zijn. Dan zul je een wiskundige formule moeten noemen en niet een getal.

Ik ging er vanuit dat we het er over eens zijn dat 0,9 en 1 reële getallen zijn, en bovendien dat als twee reële getallen verschillen, er oneindig veel getallen tussen liggen. (Eén zo'n getal is bijvoorbeeld (a + b)/2.) Die eigenschap volgt uit het feit dat de reële getallen een volledige ruimte vormen (zie bijvoorbeeld ook Wikipedia over Gauchy-rijen). Dit zijn allemaal definities uit de standaardwiskunde, natuurlijk, maar ik heb al eerder gezegd dat als iemand een alternatieve wiskunde voorstaat hij moet beginnen met zijn axioma's voorleggen, en niet beginnen met het poneren van een conclusie die in de standaardwiskunde ongeldig is.

En zonder me verder opnieuw in de discussie te willen mengen: hoe wil je het getal schrijven dat per de wiskundig geldende regels het getal is dat 1 het dichtste benaderd maar niet gelijk aan, en kleiner dan, 1 is? Als dat niet 0,9 is, wat is het dan wel?

Zo'n getal bestaat niet. Voor elk getal x kleiner dan 1 geldt dat er oneindig veel getallen bestaan die groter dan x, maar kleiner dan 1 zijn. (Waarom zou dat getal moeten bestaan? Je kunt me ook vragen: geef een reëel getal x zodat x² = -1 en dan zeg ik ook: dat bestaat niet.)

Vinden jullie trouwens dat 0,9 in basis 10 en 0.7 (in basis 7) hetzelfde getal zijn, of zijn die weer verschillend? Welke is dan groter/kleiner? En waarom?

[ Voor 7% gewijzigd door Soultaker op 14-12-2006 01:15 ]

[Verwijderd]

Wie is jullie? Want ik heb niet gezegd dat ik het eens of oneens ben met de hierboven genoemde vraag/stelling. Beetje kort door de bocht dus

En jij zegt dat het getal niet bestaat dat 1 het dichtste nadert maar het niet is. Ik vraag je ook niet het te benoemen maar te zeggen hoe je het moet schrijven. Een repetent kun je net zo min benoemen. Maar wel schrijven in de wiskunde. In dit geval door er een _ onder te zetten.

[Soultaker]

Verwijderd schreef op donderdag 14 december 2006 @ 01:19:
Wie is jullie? Want ik heb niet gezegd dat ik het eens of oneens ben met de hierboven genoemde vraag/stelling. Beetje kort door de bocht dus

Ik bedoel iemand die vindt dat 0,9 ongelijk is aan 1; hoef jij niet te zijn als je de discussie wil vermijden, maar ik vraag me af hoe mensen er over denken. Het punt lijkt me namelijk dat sommigen niet inzien dat getallen en notaties verschillende dingen zijn, en daarom vinden dat twee verschillende notaties niet hetzelfde getal kunnen beschrijven; gevoelsmatig wordt 2/6 = 1/3 en 1 + 2 = 3 wel geaccepteerd, maar 1 = 0,9 niet, zonder een goede onderbouwing.

En jij zegt dat het getal niet bestaat dat 1 het dichtste nadert maar het niet is. Ik vraag je ook niet het te benoemen maar te zeggen hoe je het moet schrijven.

Niemand kan het opschrijven, want het bestaat niet. Je kunt wel een formele beschrijving geven van "x is het grootste getal kleiner dan 1", maar het is een theorie zonder model (om het in logica-termen te formuleren) oftewel: je kunt geen waarde aan x toekennen zo dat de stelling waar is. (Vergelijk het met een stelling als: "x is een getal groter dan 2 en kleiner dan 1".)

Een repetent kun je net zo min benoemen. Maar wel schrijven in de wiskunde. In dit geval door er een _ onder te zetten.

Wat is 'benoemen'? Ik vind de wiskundige notatie wel benoemen; je geeft daarmee exact aan welk reële getal je bedoelt.

[Verwijderd]

Soultaker schreef op donderdag 14 december 2006 @ 01:34:
Ik bedoel iemand die vindt dat 0,9 ongelijk is aan 1; hoef jij niet te zijn als je de discussie wil vermijden,

Ik kan het ook zijn als ik dat wel vind. Of zou vinden, voordat mensen weer aannames gaan doen. Ik laat dat mooi even in het midden.

Even een vraag dan.

0,9, daar is de 9 de repetent. Kan een getal als 0,1546 ook bestaan? (even los van waar dat überhaupt dan een resultaat van zou moeten zijn)

Zo ja, waarom kan er wel een getal voor de repetent komen en niet er achter? De repetent is oneindig, maar het noteren van een getal waar de repetent een onderdeel van is lijkt me niet onmogelijk (zelfs als het een waarde vertegenwoordigd die dat wel zou zijn). Want dan denk ik: als het aan het begin kan, kan het ook aan het eind*. En dan is een getal als 0,01 ook mogelijk om te noteren. En dan is 1 - 0,01 dat ook.

En 1 - 0,01 op zijn beurt lijkt me dan wel een goede notatie van het grootste getal dat kleiner is dan 1. Of het grootste getal kleiner dan 0,9 zo je wilt.

*: Of je nou iets voor of achter een oneindig repeterende waarde plakt maakt an sich niks uit, repeteren is repeteren, en welke kant op, of weerszijden op, is allemaal hetzelfde. Uitschrijven kun je het niet, er zit een repetent in, maar noteren?

[ Voor 9% gewijzigd door Verwijderd op 14-12-2006 01:56 ]

[Hertog]

Verwijderd schreef op donderdag 14 december 2006 @ 00:51:
Niet gelijk bedoel je denk ik

En zonder me verder opnieuw in de discussie te willen mengen: hoe wil je het getal schrijven dat per de wiskundig geldende regels het getal is dat 1 het dichtste benaderd maar niet gelijk aan, en kleiner dan, 1 is?

Als dat niet 0,9 is, wat is het dan wel?

Binnen de wiskunde is er geen getal dat 1 het dichtst benaderd maar niet gelijk is aan. Voor ieder getal n dat dit zou kunnen zijn is er een getal te maken dat er dichter bij zit: (n + 1) / 2.

Verder, aangezien de kick over mijn voorbeeld ging: je hebt gelijk dat dit geen hard bewijs is, het is zelfs geen bewijs, maar bedoeld is voorbeeld. Veel van de bewijzen hier stuiten namelijk op intuïtieve bezwaren, zonder onwaar te zijn, dus wilde ik iets laten zien dat weliswaar geen bewijs maar waarvan je zou kunnen 'zien' dat het klopt.

[LtMarx]

en alleen maar de eerste pagina van het topic lezen

[ Voor 87% gewijzigd door LtMarx op 14-12-2006 02:05 ]

[Hertog]

Verwijderd schreef op donderdag 14 december 2006 @ 01:51:
[...]
0,9, daar is de 9 de repetent. Kan een getal als 0,1546 ook bestaan? (even los van waar dat überhaupt dan een resultaat van zou moeten zijn)

Ja, dit kan, en bestaat ook, zie bijvoorbeeld 1/6 = 0,16

Zo ja, waarom kan er wel een getal voor de repetent komen en niet er achter? De repetent is oneindig, maar het noteren van een getal waar de repetent een onderdeel van is lijkt me niet onmogelijk (zelfs als het een waarde vertegenwoordigd die dat wel zou zijn). Want dan denk ik: als het aan het begin kan, kan het ook aan het eind*. En dan is een getal als 0,01 ook mogelijk om te noteren. En dan is 1 - 0,01 dat ook.

Op het moment dat je een getal achter de repetent onderbreek je de rij voor dit volgende getal. Daarmee is de rij niet meer repetent. Een getal voor die repetent heeft dit probleem niet, omdat de rij daar nog niet begonnen is.

En 1 - 0,01 op zijn beurt lijkt me dan wel een goede notatie van het grootste getal dat kleiner is dan 1. Of het grootste getal kleiner dan 0,9 zo je wilt.

Dat gaat dus niet: iets als '0,01 heeft geen betekenis. Dat zou je moeten vertalen als 'een oneindig lange rij nullen, en op het eind een 1' en dat gaat niet. Verder is er geen 'grootste getal kleiner dan', zoals ik hierboven aangaf.

Kort samengevat: je kunt geen getallen op het einde van oneindige rijen plaatsen.

[Verwijderd]

Ja maar als de rij werkelijk oneindig is dan kun je ook geen begin definiëren. Oneindig heeft geen start en geen eind. Een getal er voor zetten is dan net zo'n onmogelijkheid als een getal er achter zetten.

[ Voor 27% gewijzigd door Verwijderd op 14-12-2006 02:27 ]

[Verwijderd]

soulrider schreef op woensdag 13 december 2006 @ 22:55:

. . .

1/9 of 8/9 is fout zodra je het (decimaal) gaat uitschreven, hoe je ook noemt.
9/9 kan je alleen maar schrijven als 1 niet anders

.
Je bewijst je eigen ongelijk. Je hebt net gezegd dat 9/9 als 1 geschreven kan worden en niet anders. Hieronder gebruik je zelf 1/9+8/9=9/9=1. Dus je geeft toe dat je 1 dus wel anders dan 1 kan schrijven en ook als 1/9+8/9=1 en 2/9+7/9=1 en 1/3+1/3+1/3=1 . . . . .et infinitum

terwijl je enkel met de breuk-vorm wel correct _en_ exact kunt tellen namelijk 1/9 + 8/9 = 9/9 = 1.

Maar 1/9=0,1. . . en 8/9=0,8. . . beide zijn geen benaderingen netzo min als 1/3=0,3. . . geen benadering is. Achter de decimaal comma is elke 1+8=9 bewijsbaar en dat moet zelf voor soulrider een overtuigend bewijs zijn dan zijn argumenten op drijfzand gebouwd zijn.

Trouwens (0,9. . .)/3=0,3. . .= 1/3 omdat elke 9/3=3 duidelijk bewijsbaar waar is.

[ Voor 10% gewijzigd door Verwijderd op 14-12-2006 04:45 ]

[Soultaker]

Verwijderd schreef op donderdag 14 december 2006 @ 01:51:
0,9, daar is de 9 de repetent. Kan een getal als 0,1546 ook bestaan? (even los van waar dat überhaupt dan een resultaat van zou moeten zijn)

Natuurlijk; dat is 58/375.

Zo ja, waarom kan er wel een getal voor de repetent komen en niet er achter?

Daarvoor zou je de notatie wel kunnen uitbreiden, maar het resultaat is geen getal, omdat de limiet van een reeks als 1, 11, 111, etc. naar oneindig gaat (en oneindig is in de standaardwiskunde geen getal). Tenzij het cijfer dat je herhaalt 0 is natuurlijk: 0.9 is gewoon weer 1 (maar we laten nullen vooraan daarom gewoon weg).

(Merk op hoe ik limiet gebruik: het getal is gelijk aan de limiet van de reeks, maar het getal is geen limiet. Zoals Joost al zei: getallen zijn niet eindig of oneindig.)

In effect kun je er dus niet meer of andere getallen mee uitdrukken dan je al kon, dus heeft het geen zin om dat toe te staan. Die decimale notatie is sowieso gebrekkig omdat je er irrationele getallen helemaal niet mee kunt uitdrukken.

De repetent is oneindig, maar het noteren van een getal waar de repetent een onderdeel van is lijkt me niet onmogelijk (zelfs als het een waarde vertegenwoordigd die dat wel zou zijn). Want dan denk ik: als het aan het begin kan, kan het ook aan het eind*. En dan is een getal als 0,01 ook mogelijk om te noteren. En dan is 1 - 0,01 dat ook.

Hoe definieer je dat dan precies? Het punt is dat een getal als 0.x gedefinieerd is als som van de rij x^-n voor n is 1, 2, 3, ... oneindig. Er is dus precies gespecificeerd hoe je het getal kunt uitrekenen, wat voor jouw notatie niet geldt.

Ja maar als de rij werkelijk oneindig is dan kun je ook geen begin definiëren. Oneindig heeft geen start en geen eind. Een getal er voor zetten is dan net zo'n onmogelijkheid als een getal er achter zetten.

Je kunt toch ook een straal tekenen? (Een straal is een 'halve' lijn die begint op een bepaald punt, en daarna oneindig doorgaat in een bepaalde richting.) En als je onsterfelijk zou zijn, dan heb je wel een geboortedatum (=begin) maar geen einde. De verzamelingen getallen groter dan 10 is ook aan één kant begrensd. De Fibonacci-getallen beginnen met 1, 1, 2, 3, 5, 8, maar gaan wel oneindig door. Enzovoorts.

En 1 - 0,01 op zijn beurt lijkt me dan wel een goede notatie van het grootste getal dat kleiner is dan 1. Of het grootste getal kleiner dan 0,9 zo je wilt.

Ik wil nog steeds wel weten wat de waarde is die bij die notatie hoort, zodat ik 'm zou kunnen uitrekenen. Ik denk dat je er niet aan ontkomt dat je dan een oneindig aantal nullen neerzet, en er dus feitelijk nooit een 1 bij komt kijken.

[ Voor 7% gewijzigd door Soultaker op 14-12-2006 04:49 ]

[Verwijderd]

Dat een getal oneindig is hoeft imo geen bezwaar te zijn om er een getal achter te kunnen zetten*. En nee daar heb ik geen definitie voor. Ik ben geen wiskundige, en claim dat ook niet te zijn. Neem je straal, met een beginpunt en vervolgens ad infinitum doorlopend. Neem nu een lijn waarvan je geen begin definieert (want oneindig) maar die wel ophoudt in het midden van die oneindig grote cirkel. Een einde en toch oneindig, want geen begin. Gewoon een andere interpretatie van wat je begin of eind wil noemen. Het is hetzelfde. De lijn is nog steeds oneindig maar heeft wel een punt waar hij stopt. En dan kun je daar vanalles mee doen. Zoals iets er achter zetten.

Als je een waarde wilt omdat je 'm anders niet uit kunt rekenen, vraag ik me af waarom je wel durft te rekenen met bv. 0,9, aangezien je daar ook geen waarde van kunt geven. Die is ook oneindig. Schrijf 'm anders maar uit.

*: ik vind (ja mening, zal wel weer niet mogen in de wiskunde) dat een oneindig getal niet persé alleen aan het eind hoeft uit te breiden. Zeker niet bij een repetent, die per definitie steeds met een herhalend karakter uitbreidt. Als je na een willekeurig aantal repetities het repeterende deel invoegt en dát herhaalt, is de reeks in zijn totaliteit nog steeds een repetent, tot in een oneindigheid. Echter kun je de reeks zelfs aan 2 kanten voorzien van een 'begin/eind'. En daar uiteraard getallen voor danwel achter zetten.

En ik vind het een beetje jammer dat me dan gevraagd wordt hoe ik dat in een notatie wil zetten. Ik zou het niet weten. Het is maar theorie. Dat is het sowieso want 'oneindig' bestaat irl niet. Waarmee je weer in de filosofiehoek zit.

[ Voor 31% gewijzigd door Verwijderd op 14-12-2006 05:21 ]

[dusty]

Ik zal ook eens gemeen doen

0.9 * 0.9 = 0.81
0.99 * 0.99 = 0.9801
0.999 * 0.999 = 0.998001

bij 0.999(...) met n het aantal 9's krijg je dus een oplossing van 0.9[..n/2 keer] 8 0[..n/2 keer]1
Bij repetent is de n dus oneindig en krijg je alsnog een waarde wat verschilt van de originele waarde en aangezien alleen de 1 zichzelf is bij het kwadreren is 0.999... dus niet gelijk aan 1



En voor de mensen die willen weten wat nou het verschil tussen de 0.999... en 1 exact is... 1/oneindig

[ Voor 1% gewijzigd door dusty op 14-12-2006 06:53 . Reden: Tikfoutje.. ]

[Verwijderd]

Soultaker schreef op donderdag 14 december 2006 @ 01:14:
[...]

Ik ging er vanuit dat we het er over eens zijn dat 0,9 en 1 reële getallen zijn, en bovendien dat als twee reële getallen verschillen, er oneindig veel getallen tussen liggen. (Eén zo'n getal is bijvoorbeeld (a + b)/2.) Die eigenschap volgt uit het feit dat de reële getallen een volledige ruimte vormen (zie bijvoorbeeld ook Wikipedia over Gauchy-rijen).

1) Deze eigenschap heeft niks met volledigheid te maken. (Tegenvoorbeeld, de rationele getallen bezitten dezelfde eigenschap maar zijn niet volledig.

2) Het zijn Cauchy rijen...

Zo'n getal bestaat niet. Voor elk getal x kleiner dan 1 geldt dat er oneindig veel getallen bestaan die groter dan x, maar kleiner dan 1 zijn. (Waarom zou dat getal moeten bestaan? Je kunt me ook vragen: geef een reëel getal x zodat x² = -1 en dan zeg ik ook: dat bestaat niet.)

Het is zelfs een tamelijk essentiele eigenschap van de reeele getallen dat dergelijk getal niet bestaat. (Zo zou bijvoorbeeld de standaard metriek op R de discrete topologoie op R induceren (ipv de standaard topologie) als dergelijk getal bestond.)

Vinden jullie trouwens dat 0,9 in basis 10 en 0.7 (in basis 7) hetzelfde getal zijn, of zijn die weer verschillend? Welke is dan groter/kleiner? En waarom?

0.7 (in basis 7) > 1 (in basis 10) = 0,9 (in basis 10)

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op donderdag 14 december 2006 @ 05:04:
Dat een getal oneindig is hoeft imo geen bezwaar te zijn om er een getal achter te kunnen zetten*. En nee daar heb ik geen definitie voor. Ik ben geen wiskundige, en claim dat ook niet te zijn. Neem je straal, met een beginpunt en vervolgens ad infinitum doorlopend. Neem nu een lijn waarvan je geen begin definieert (want oneindig) maar die wel ophoudt in het midden van die oneindig grote cirkel. Een einde en toch oneindig, want geen begin. Gewoon een andere interpretatie van wat je begin of eind wil noemen. Het is hetzelfde. De lijn is nog steeds oneindig maar heeft wel een punt waar hij stopt. En dan kun je daar vanalles mee doen. Zoals iets er achter zetten.

Als je een waarde wilt omdat je 'm anders niet uit kunt rekenen, vraag ik me af waarom je wel durft te rekenen met bv. 0,9, aangezien je daar ook geen waarde van kunt geven. Die is ook oneindig. Schrijf 'm anders maar uit.

*: ik vind (ja mening, zal wel weer niet mogen in de wiskunde) dat een oneindig getal niet persé alleen aan het eind hoeft uit te breiden. Zeker niet bij een repetent, die per definitie steeds met een herhalend karakter uitbreidt. Als je na een willekeurig aantal repetities het repeterende deel invoegt en dát herhaalt, is de reeks in zijn totaliteit nog steeds een repetent, tot in een oneindigheid. Echter kun je de reeks zelfs aan 2 kanten voorzien van een 'begin/eind'. En daar uiteraard getallen voor danwel achter zetten.

En ik vind het een beetje jammer dat me dan gevraagd wordt hoe ik dat in een notatie wil zetten. Ik zou het niet weten. Het is maar theorie. Dat is het sowieso want 'oneindig' bestaat irl niet. Waarmee je weer in de filosofiehoek zit.

Zoals je zelf aangeeft heb je geen definitie voor het gene wat je wilt doen. Nu zeg ik je: die bestaat ook niet.

0.9 is een compacte manier om de limiet van de reeks 9 10^-1 + 9 10^-2 + ...
aan te duiden. (Dit is precies wat de decimale representatie van getallen betekend.) Dit laat ook gelijk zien wat het probleem is met het schrijven van getallen achter een repetente "staart", namelijk op welke decimale posisitie vindt deze invoeging plaats. Uiteraard kan je getallen op schrijven die een oneindige staart hebben maar niet repertent zijn. Bijvoorbeeld pi of 0.101001000100001... (etc)

[ Voor 0% gewijzigd door Verwijderd op 14-12-2006 11:03 . Reden: typo ]

[Verwijderd]

Ehh, ik neem aan dat je een 'g' bent vergeten? Anders volg ik je niet

Getallen die eindig zijn zijn per definitie niet repetent.

[soulrider]

Soultaker schreef op donderdag 14 december 2006 @ 00:40:
Leuk dat je ook mee wil discussiëren, maar kun je wel even normaal Nederlands typen?

is vlaams

[...]
Joost heeft al minstens drie verschillende bewijzen gegeven. Waarom voldoen die niet?

redeneringen, geen bewijzen
of laten we zeggen: filosofische bewijzen, geen wiskundige, omdat er in die laatste er geen voorstelling van oneindig is.

[...]

Wáárom niet dan? Waarom is 0,1 wel 1/9, 0,2 wel 2/9, 0,3 wel 3/9, 0,4 wel 4/9, 0,5 wel 5/9, 0,6 wel 6/9, 0,7 wel 7/9, 0,8 wel 8/9, maar 0,9 níét 9/9?
"Dat klopt gewoon niet" is leuk, maar het volgt nergens uit.

zoals ik al zei: zodra je een oneindige breuk gaat uitschrijven zit je fout.
voelt goed, en ik begrijp de symboliek,
het verschil is: 1,0 - 0,9 = 0,01
ik geef ook toe dat 0,9 1 het dichts benaderd maar er niet gelijk aan is.

wederom de vraag:
wat versta je onder oneindig, wat is oneindig - de filosofische vraag van in 't begin.
het is slecht begrijpbaar, omdat we zelf kunnen slechts denken in het eindige en hoe groot dat ook is, dat is wederom niet oneindig.

't voelt wel aan als gelijk (0,9 en 1), maar 't is niet zo.

en spijtig genoeg is het voor beide kanten niet echt bewijsbaar want zodra je kan bewijzen dat er zel of gene verschil tussen zit het je in ons eindig helaal het oneindige voorgesteld,
wat dan weer indruist tegen de definitie van het oneindige

Nou? Wat is dat dan? Voor iemand die zich als voorstander van exacte wetenschappen profileert ben je behoorlijk slordig.

ik ben voorstander van beiden - exacte en niet-exacte wetenschappen, enkel niet van de combinatie van beiden - alhoewel ik graag effe filosofeer over een wiskundig probleem, maar ik ga die filosofie niet gebruiken als een bewijs, ook al klopt die filosofie.

ps: ik ken zo nog iemand die vrij slordig was in zijn exacte wetenschappen, maar toch schoon enkele (gevoelsmatige)stellingen heeft uitgegeven, die door iedereen aanvaard worden maar die tot op heden nog steeds niet echt bewezen zijn of weerlegt kunnen worden.

Wat is er fout aan 1/9 noteren als 0,1 (waarbij de 1 dus repeteert)?


Dat is nu juist onderwerp van discussie. Door alleen maar je conclusie te herhalen ga je niemand overtuigen. (En waarom kan ik 9/9 niet schrijven als 2/2 of 100/100?)


[...]

Waarom niet? Wat is het verschil dan? Als beide reële getallen zijn, maar niet gelijk, dan moet er toch minstens één getal (feitelijk een oneindig aantal getallen) tussen liggen. Noem er eens één?

het verschil is: 1,0 - 0,9 = 0,01
wat ons weer brengt tot de discussie over het oneindige...
( en ook of 0,01 gelijk is aan niets 0,0 )

't is niet omdat je het niet kunt weer geven of inbeelden in onze eindige wereld dat het er niet is.

en dit is het gevaar met filosofie, iedereen heeft soms wel net een iets andere redenering
ik begrijp jouw redenering, en zeg op't gevoel:
ja klopt, maar druist in tegen mijn gewoontes, kennis, en eigen redering.
maw: op filosofisch/redeneringsvlak zeg ik: ja juist, maar wiskundig zeg ik: sorry, maar oneindig kan je niet neerschrijven, met welke symboliek ook - buiten de liggende 8...

[ Voor 8% gewijzigd door soulrider op 14-12-2006 10:56 ]

[Marcj]

Verwijderd schreef op donderdag 14 december 2006 @ 10:02:
[...]
0.7 (in basis 7) > 1 (in basis 10) = 0,9 (in basis 10)

0.7 (in basis 7) bestaat niet, want in basis 7 bestaan alleen de getallen 0..6 (althans bij een normale notatie )

In basis 8 zou gelden: 0.7 (B8)= 0.9 (B10) = 1

[Verwijderd]

soulrider schreef op donderdag 14 december 2006 @ 10:47:
[een hele boel onzin]

Sorry gast, maar je hebt echt niks van wiskunde begrepen. Wiskundig gezien is oneindig geen enkel probleem en vrij goed begrepen. We hebben zelfs verschillende typen van oneindig.

Verder tot dat je uitlegt wat je precies (wiskundig) bedoelt met 0.01 is het volledig betekennis loos.

Verder wat is precies wiskundig mis met de bewijzen dat 0.9 want ik heb er minimaal een gezien die wiskundig volledig juist is.

[Confusion]

Verwijderd schreef op donderdag 14 december 2006 @ 10:37:
Getallen die eindig zijn zijn per definitie niet repetent.

0.9... is repetent en eindig, want gelijk aan 1 en 1 is eindig .

[Verwijderd]

Dan moet je die maar niet als repetent schrijven als 1 volstaat

[ Voor 3% gewijzigd door Verwijderd op 14-12-2006 11:41 ]

[enomiss]

Angeloonie schreef op donderdag 30 november 2006 @ 19:48:
Maar dan nog is 0,999... niet hetzelfde als 1,000...

Verwijderd schreef op donderdag 30 november 2006 @ 19:59:
[...]
Bewijs het eens.

Als je oneindig doorgaat hou je altijd 0,00oneindig-aantal-nullen001 over.. wat is daar aan te bewijzen?

Je kan het niet bewijzen omdat je dan oneindig lang bezig bent. Dat gaat niet. Maar je kan ook nog logisch nadenken..

[ Voor 97% gewijzigd door enomiss op 14-12-2006 11:55 ]

[TheZeroorez]

enomiss schreef op donderdag 14 december 2006 @ 11:52:
Als je oneindig doorgaat hou je altijd 0,00oneindig-aantal-nullen001 over.. wat is daar aan te bewijzen?

Zoals je zelf al zegt, een oneindig aantal nullen. Die laatste 1 zal dus nooit komen

Je kan het niet bewijzen omdat je dan oneindig lang bezig bent. Dat gaat niet. Maar je kan ook nog logisch nadenken..

Ja, daar zou jij eens een voorbeeld aan moeten nemen

[enomiss]

Dat hangt er maar van of of je oneindig+1 kan doen..

Je kan het ook omdraaien..

Mocht die laatste 1 nooit komen, dan klopt het nog steeds, want die 1 is en blijft nodig om het gelijk te krijgen aan 1,00oneindig-aantal-nullen.

0,99oneindig-aantal-negens blijft dus ongelijk aan 1,00oneindig-aantal-nullen.

Verschil is altijd 0,00oneindig-aantal-nullen001.

Of wil je me nu echt vertellen dat 0,00oneindig-aantal-nullen001 niet bestaat?

[ Voor 37% gewijzigd door enomiss op 14-12-2006 13:20 ]

[TheZeroorez]

enomiss schreef op donderdag 14 december 2006 @ 13:17:
Dat hangt er maar van of of je oneindig+1 kan doen..

Je kan het ook omdraaien..

Mocht die laatste 1 nooit komen, dan klopt het nog steeds, want die 1 is en blijft nodig om het gelijk te krijgen aan 1,00oneindig-aantal-nullen.

0,99oneindig-aantal-negens blijft dus ongelijk aan 1,00oneindig-aantal-nullen.

...Maar dat eind is er dus niet.

Check ook nog even de rest van dit topic, staan al genoeg onderbouwingen

[Confusion]

enomiss schreef op donderdag 14 december 2006 @ 11:52:
Als je oneindig doorgaat [..]

Dan heb je oneindig veel nullen en nooit een 1. Tenzij je het begrip oneindig wilt gaan herdefinieren. Wat jij intuitief over wiskunde kan bedenken is totaal irrelevant voor hoe de wiskunde daadwerkelijk in elkaar zit. De menselijke intuitie is niet ontstaan om wiskunde te begrijpen en de wiskunde onttrekt zich daar deels aan. Dat jij het intuitief niet snapt betekent niet dat het niet klopt; dat jij intuitief kloppende dingen kan bedenken die onzinnig lijken, betekent niet dat die dingen daadwerkelijk kloppen.

[enomiss]

Dus 0,00oneindig-aantal-nullen001 bestaat niet?

Als ik dan het volgende zeg:

0,000opvullende-nullen000met-een-1-oneindig-ver-weg

Hoe maak je me wijs dat dat niet kan?

[ Voor 63% gewijzigd door enomiss op 14-12-2006 13:26 ]

[Janoz]

En waar denk je dan dat die 1 staat? Er is niet een punt dat je aan kunt wijzen en dan zeggen "Kijk, hier is oneindig dus hier hoort die 1". Als je oneindig veel nullen hebt zal het volgende getal altijd een 0 zijn en nooit de 1.

Met oneindig kun je best bewijzen. Een leuk gedachte expirimentje: Je gaat het getal bouwen. Je hebt een bak met oneindig veel nullen en een bakje met daarin één 1. Nu ga je achter de komma net zo lang 0-en zetten tot de bak leeg is en dan mag je een 1 zetten. Wanneer ga je de 1 zetten? Inderdaad, nooit. De bak met 0-en raakt immers nooit leeg.

Als je wilt blijven beweren dat 0,99... ongelijk is aan 1 zeg je eigenlijk ook het volgende: "Als ik een taart in precies drie stukken snijd en vervolgens de drie punten weer bij elkaar zet dan heb ik soms een hele taart en soms een net niet hele taart. Geheel afhankelijk van hoe ik het opgeschreven heb."

[ Voor 21% gewijzigd door Janoz op 14-12-2006 13:53 ]

[Hertog]

Verwijderd schreef op donderdag 14 december 2006 @ 02:18:
Ja maar als de rij werkelijk oneindig is dan kun je ook geen begin definiëren. Oneindig heeft geen start en geen eind. Een getal er voor zetten is dan net zo'n onmogelijkheid als een getal er achter zetten.

Wie zegt dat oneindig geen start heeft? 'Onbeginnig' zou geen begin hebben, maar een oneindige rij kan prima een begin hebben. Anders zou iets als 1,3 voor 1 1/3 ook niet kunnen, bijvoorbeeld. Of, zoals ik al aangaf, 0,16 voor 1/6. En ja, dan heb ik het over wiskunde, en niet over filosofie, maar daar vroeg je ook naar. Je kunt in de wiskunde geen decimaal achter een oneindig repeterende rij plaatsen, maar wel van alles ervoor.

[enomiss]

Oke, dan ga ik mee met dat gedachten experiment..

Jij hebt een 1, en een bak met oneindig veel nullen.
Ik heb een 0, en een bak met oneindig veel negens.

We spreken af dat wanneer ons getal gelijk is geworden klaar zijn. Wanneer zijn we dus klaar? Nooit.

[Janoz]

Ík snap niet wat je daarmee aan wilt tonen. 0,999... is hetzelfde als 1 als je een oneindig aantal 9's hebt. Op elk moment dat je bezig bent zijn de getallen nog niet gelijk aan elkaar en je zult dus ook nooit klaar zijn.

[Hertog]

enomiss schreef op donderdag 14 december 2006 @ 13:17:
Dat hangt er maar van of of je oneindig+1 kan doen..

Je kan het ook omdraaien..

Mocht die laatste 1 nooit komen, dan klopt het nog steeds, want die 1 is en blijft nodig om het gelijk te krijgen aan 1,00oneindig-aantal-nullen.

0,99oneindig-aantal-negens blijft dus ongelijk aan 1,00oneindig-aantal-nullen.

Verschil is altijd 0,00oneindig-aantal-nullen001.

Of wil je me nu echt vertellen dat 0,00oneindig-aantal-nullen001 niet bestaat?

Behalve dat hierboven is uitgelegd dat dat inderdaad niet bestaat: er is een verschil tussen een rij getallen van een oneindige lengte, en het begrip oneindig (dat liggende achtje). 'Oneindig plus 1' heeft er weinig mee te maken, dus.

Verder is het verschil altijd 0,000oneindig-aantal-nullen, en dat is 0. Als we jouw voorbeeld zouden volgen en getallen aan het eind van een oneindige rij kunnen plaatsen, waarom is het verschil dan zoals je zegt 0,00oneindig-aantal-nullen001 en niet 0,00oneindig-aantal-nullen0001, bijvoorbeeld?

[Soultaker]

Verwijderd schreef op donderdag 14 december 2006 @ 10:02:
1) Deze eigenschap heeft niks met volledigheid te maken. (Tegenvoorbeeld, de rationele getallen bezitten dezelfde eigenschap maar zijn niet volledig.

Het volgt wel uit volledigheid. (Dat is geen noodzakelijke eigenschap, maar wel een voldoende.)

0.7 (in basis 7) > 1 (in basis 10) = 0,9 (in basis 10)

Mja, ik bedoelde natuurlijk 0,6 in basis 7 (of 0,7 in basis 8); een beetje constructief meedenken mag ook hoor.

Verwijderd schreef op donderdag 14 december 2006 @ 05:04:
Dat een getal oneindig is hoeft imo geen bezwaar te zijn om er een getal achter te kunnen zetten*.En nee daar heb ik geen definitie voor. Ik ben geen wiskundige, en claim dat ook niet te zijn.

Dat is een beetje het probleem denk ik. De wiskundige notatie met repetentie is alleen maar verzonnen om rationele getallen exact weer te kunnen geven in een positiestelsel (waarbij de 'waarde' van een cijfer dus afhangt van zijn positie). De notatie is zinnig omdat er een exacte definitie is naar welk getal (een punt op de getallenlijn dus) een specifieke notatie verwijst.

Ik heb het idee dat jij een idee van een 'getal' hebt als notatie alleen, maar zonder te vertellen naar wélk punt op de getallenlijn je verwijst met een bepaalde notatie (als 0,01) noteer je daarmee geen (reëel) getal.

Als je een waarde wilt omdat je 'm anders niet uit kunt rekenen, vraag ik me af waarom je wel durft te rekenen met bv. 0,9, aangezien je daar ook geen waarde van kunt geven. Die is ook oneindig. Schrijf 'm anders maar uit.

Ik kan 'm niet uitschrijven, maar ik kan bewijzen dat hij gelijk is aan 1, want het verschil met 1 is 0. Het getal 1,0 bevat oneindig veel nullen maar daarvan weet ik ook dat het gelijk is aan 1. Heb je op dezelfde manier bezwaar tegen 1/3 = 0,3? Want dan kunnen we het beter dáár over hebben (is minder verwarrend).

*: ik vind (ja mening, zal wel weer niet mogen in de wiskunde) dat een oneindig getal niet persé alleen aan het eind hoeft uit te breiden.

In de standaardwiskunde is er niet zoiets als een oneindig getal.

[enomiss]

1 - 0,9 = 0,1

1 - 0,99 = 0,01

1 - 0,999 = 0,001

Je kunt toch zeggen dat voor iedere 9 die je toevoegd je er een nul bij de ander moet toevoegen. Zo kun je oneindig doorgaan, de waarde van die 1 wordt steeds kleiner, maar hij blijft er.. je kan hier wel allerlei wiskundige weetjes over oneindigheid erbij gaan halen, maar naar mijn mening lost dat niks op. Er is gewoon een oneindig kleiner wordend gat dat overblijft. Altijd.

[ Voor 8% gewijzigd door enomiss op 14-12-2006 14:41 ]

[kenneth]

Als je het probleem niet wiskundig maar gevoelsmatig beschouwt, ja.

[Verwijderd]

Soultaker schreef op donderdag 14 december 2006 @ 14:19:
[...]

Het volgt wel uit volledigheid. (Dat is geen noodzakelijke eigenschap, maar wel een voldoende.)

Het volgt niet uit volledigheid. Tegenvoorbeeld: de gehele getallen zijn volledig, maar hebben niet de genoemde eigenschap. Zoals gezegd de eigenschap heeft niks met volledigheid te maken.

[TheZeroorez]

kenneth schreef op donderdag 14 december 2006 @ 14:51:
Als je het probleem niet wiskundig maar gevoelsmatig beschouwt, ja.

Mja, maar dan is het weer persoonlijk, want ik zie het anders dan hij..

offtopic:
Je hoofd en haar komt door je kerstmuts heen Maak die muts iets groter, en zet hem iets hoger..

[Verwijderd]

enomiss schreef op donderdag 14 december 2006 @ 14:02:
Oke, dan ga ik mee met dat gedachten experiment..

Jij hebt een 1, en een bak met oneindig veel nullen.
Ik heb een 0, en een bak met oneindig veel negens.

We spreken af dat wanneer ons getal gelijk is geworden klaar zijn. Wanneer zijn we dus klaar? Nooit.

Fout. Je bent klaar als je oneindig lang bezig geweest bent. Want zoveel getallen heb je namelijk.

[TheZeroorez]

Verwijderd schreef op donderdag 14 december 2006 @ 18:39:
[...]

Fout. Je bent klaar als je oneindig lang bezig geweest bent. Want zoveel getallen heb je namelijk.

Je kunt niet oneindig lang bezig zijn geweest. Da's namelijk verleden tijd, en iets dat oneindig is gaat altijd door, en is niet in verleden tijd.

Je bent dus nooit klaar.

[Janoz]

enomiss schreef op donderdag 14 december 2006 @ 14:39:
1 - 0,9 = 0,1

1 - 0,99 = 0,01

1 - 0,999 = 0,001

Je kunt toch zeggen dat voor iedere 9 die je toevoegd je er een nul bij de ander moet toevoegen. Zo kun je oneindig doorgaan, de waarde van die 1 wordt steeds kleiner, maar hij blijft er.. je kan hier wel allerlei wiskundige weetjes over oneindigheid erbij gaan halen, maar naar mijn mening lost dat niks op. Er is gewoon een oneindig kleiner wordend gat dat overblijft. Altijd.

Dat gat is er alleen als het een eindig aantal negens betreft. Dat is hier niet het geval. Als je gewoon eens het hele topic doorleest en de vele rekenvoorbeelden die niet op gevoel gebaseerd zijn naleest? Laat eens zien waar die niet kloppen?

TheZeroorez schreef op donderdag 14 december 2006 @ 18:57:
[...]

Je kunt niet oneindig lang bezig zijn geweest. Da's namelijk verleden tijd, en iets dat oneindig is gaat altijd door, en is niet in verleden tijd.

Je bent dus nooit klaar.

Daarom is het ook een gedachte expiriment.

[ Voor 17% gewijzigd door Janoz op 14-12-2006 19:08 ]

[Hertog]

Janoz schreef op donderdag 14 december 2006 @ 19:06:
[...]

Dat gat is er alleen als het een eindig aantal negens betreft. Dat is hier niet het geval. Als je gewoon eens het hele topic doorleest en de vele rekenvoorbeelden die niet op gevoel gebaseerd zijn naleest? Laat eens zien waar die niet kloppen?

En als je wel graag op gevoel bezig bent (even genoteerd zoals HlpDsk deed, waarbij een streepje staat voor 'oneindig herhalend', dus 0,9 = 0,999....):

1/9 = 0,1
2/9 = 0,2
3/9 = 0,3
4/9 = 0,4
5/9 = 0,5
6/9 = 0,6
7/9 = 0,7
8/9 = 0,8
9/9 = 0,9

Maar 9/9 is natuurlijk ook 1.

Of anders:
1/3 = 0,3
3 x 1/3 = 3 x 0,3
1 = 0,9

[Verwijderd]

Hertog schreef op donderdag 14 december 2006 @ 19:56:
[...]


En als je wel graag op gevoel bezig bent (even genoteerd zoals HlpDsk deed, waarbij een streepje staat voor 'oneindig herhalend', dus 0,9 = 0,999....):

1/9 = 0,1
2/9 = 0,2
3/9 = 0,3
4/9 = 0,4
5/9 = 0,5
6/9 = 0,6
7/9 = 0,7
8/9 = 0,8
9/9 = 0,9

Maar 9/9 is natuurlijk ook 1.

Of anders:
1/3 = 0,3
3 x 1/3 = 3 x 0,3
1 = 0,9

Het streepje hoort bovenop het getal.


Is alleen lastig zonder LaTeX of MathML.

[dusty]

Janoz schreef op donderdag 14 december 2006 @ 19:06:
[...]
Laat eens zien waar die niet kloppen?
[...]

Aangezien mijn eerste post eerder in het topic is genegeerd, laat ik eens een andere blok omhoog gooien...

1/3 is NIET 0.333... het is echter een decimale nabijheid van het correcte antwoord dus 1/3 ~= 0.333...

Waardoor het "bewijs" van 1/3 * 3 dus niet 0.999... oplevert.

[OMX2000]

Er is eigenlijk helemaal geen discussie toch. Wiskundig is 0.999... gelijk aan 1, PUNT. Dat we als mensen moeite hebben met het voorstellen van oneindig is wel duidelijk. Dat we het decimale stelsel soms hard gecodeerd in onze hersen pannen hebben dus ook.

1/3 = 0.333...

@dusty
Om decimaal 1/3 uit te drukken heb je oneindig veel 3-tjes nodig. Jij zegt dat 0.333... het benadert, in dat geval zou ik graag weten hoe dichtbij benadert het dat. En als ik dat verschil optel bij 0.333... en dan vermenigvuldig met 3 kom ik dan op 1 uit?

[Janoz]

Niet om in een welles nietes verhaaltje te vervallen, maar als het aantal drie-en tot oneindig wordt herhaald is 0,333... wel degelijk gelijk aan 1/3.

Je eerdere 'gemene' post heeft als antwoord ook 0.999... met oneindig veel negens. Dat daarachter nogmaals oneindig veel nullen zouden moeten is niet relevant omdat de 9-ens niet ophouden.

[Hertog]

dusty schreef op donderdag 14 december 2006 @ 06:33:
Ik zal ook eens gemeen doen

0.9 * 0.9 = 0.81
0.99 * 0.99 = 0.9801
0.999 * 0.999 = 0.998001

bij 0.999(...) met n het aantal 9's krijg je dus een oplossing van 0.9[..n/2 keer] 8 0[..n/2 keer]1
Bij repetent is de n dus oneindig en krijg je alsnog een waarde wat verschilt van de originele waarde en aangezien alleen de 1 zichzelf is bij het kwadreren is 0.999... dus niet gelijk aan 1



En voor de mensen die willen weten wat nou het verschil tussen de 0.999... en 1 exact is... 1/oneindig

[html]<!-- Ja 0.999... = 1, maar zoek de fout maar in deze redenering -->[/html]

Ik wilde iets anders reageren toen ik je laatste post en deze las, maar nu heb ik je html code ook gelezen

De fout in je eerste redenering is dat je niet kunt zeggen dat 0,999... op decimaal n van 1 verschilt, waarbij n = oo. Oneindig is namelijk geen positie. Eigenlijk een beetje wat ik al eerder in het topic zei: je kunt geen getal constureren bestaande uit 0,9-oneindig-veel-negens-1

Op dezelfde manier is 1/oneindig geen 'bestaand getal', maar iets waarvan de limiet 0 is. Waarmee het verschil 0 is, en beide getallen inderdaad gelijk zijn.

dusty schreef op donderdag 14 december 2006 @ 20:55:
[...]

Aangezien mijn eerste post eerder in het topic is genegeerd, laat ik eens een andere blok omhoog gooien...

1/3 is NIET 0.333... het is echter een decimale nabijheid van het correcte antwoord dus 1/3 ~= 0.333...

Waardoor het "bewijs" van 1/3 * 3 dus niet 0.999... oplevert.

Dat was ook niet bedoeld als bewijs, maar als redenatie voor de mensen die op gevoel niet wilden geloven dat het zo was. Het is wel vreemd dat je nu stelt dat 1/3 niet exact 0,333... is terwijl je het er blijkbaar wel mee eens bent dat 0,999.. exact 1 is. Binnen de wiskunde is 0,333... exact 1/3, voor zover ik weet..

[Verwijderd]

dusty schreef op donderdag 14 december 2006 @ 20:55:
[...]

Aangezien mijn eerste post eerder in het topic is genegeerd, laat ik eens een andere blok omhoog gooien...

1/3 is NIET 0.333... het is echter een decimale nabijheid van het correcte antwoord dus 1/3 ~= 0.333...

Waardoor het "bewijs" van 1/3 * 3 dus niet 0.999... oplevert.

1/3 is exact 0.3 (waarbij a staat voor repetentie). Dat is wel heel erg basic.

[dusty]

Hertog schreef op donderdag 14 december 2006 @ 21:19:
[...]
Op dezelfde manier is 1/oneindig geen 'bestaand getal', maar iets waarvan de limiet 0 is. Waarmee het verschil 0 is, en beide getallen inderdaad gelijk zijn.

Juist, maar het verschil tussen 0.999... en 1 is wiskundig dus WEL 1/oneindig.

[...]
Dat was ook niet bedoeld als bewijs, maar als redenatie voor de mensen die op gevoel niet wilden geloven dat het zo was. Het is wel vreemd dat je nu stelt dat 1/3 niet exact 0,333... is terwijl je het er blijkbaar wel mee eens bent dat 0,999.. exact 1 is. Binnen de wiskunde is 0,333... exact 1/3, voor zover ik weet..

Dat is dus niet het geval. In exacte wiskunde is het namelijk onmogelijk om 1/3 in een nummer te schrijven dat op een base-10 is gebasseerd.

Dat ik het met een bepaalde stelling eens ben, betekent dus niet dat ik niet oneens kan zijn met bepaalde "redeneringen".

Verwijderd schreef op donderdag 14 december 2006 @ 21:20:
[...]
1/3 is exact 0.3 (waarbij a staat voor repetentie). Dat is wel heel erg basic.

Mooi, omdat het dus zo "heel erg basic is", moet het een peuleschil zijn voor jou om aan mij het exact wiskundig aan te tonen waarom het volgens jou wel correct is.

[Verwijderd]

dusty schreef op donderdag 14 december 2006 @ 21:34:
Mooi, omdat het dus zo "heel erg basic is", moet het een peuleschil zijn voor jou om aan mij het exact wiskundig aan te tonen waarom het volgens jou wel correct is.

He bah, wat doe jij vies uit de hoogte zeg.

[Andamanen]

dusty schreef op donderdag 14 december 2006 @ 21:34:
[...]

Mooi, omdat het dus zo "heel erg basic is", moet het een peuleschil zijn voor jou om aan mij het exact wiskundig aan te tonen waarom het volgens jou wel correct is.

Is de discussie verschoven naar de vraag of dit soort getallen wel getallen zijn omdat het begrip oneindig erin gebrikt wordt? Een staartdeling waarin je 1 deelt door 3 geeft duidelijk 0,333... als oplossing.