Binair rekenen is het ei van Columbus

[Twynn]

timow schreef op 10 oktober 2003 @ 22:28:
Nog ff kort samengevat...
Als je als eerste stelsel het binaire stelsel aanneemt, zal het 10-tallig stelsel dus minder logisch zijn
-Men ziet staan "1010"... men denkt dit is tien.
-men ziet staan "10" ... en denkt.... hmmm. volgens mij is dit tien.
Voor ons is dit NU logisch, maar niet voor iemand die als eerste het binaire stelsel heeft aangeleerd.

Ik denk dat je het anders moet samenvatten:

-Men ziet staan "1010"... Men denkt dit is 1010
-Men ziet staan "10" .. en denkt.... hmmm. Volgens mij is dit 1010

Gewoon een kwestie van afspraken die ooit gemaakt zijn en die wij gewoon gewend zijn geraakt

[timovd]

Burning_acid schreef op 17 October 2003 @ 20:00:
[...]


Jah dat heb ik ook gezien
En de "verklaring" was idd dat de hersenen als je langs een gebouw loopt wel zien hoeveel ramen het zijn maar ze filteren het exacte aantal weg omdat dat niet interessant is.

Bij deze jonge was het zelfs zó extreem dat ze een helicopter vlucht over londen maakte en eenmaal geland moest hij het van bovenaf tekenen. Hij deed dit precies en nog alles op schaal ook. Hij miste dus zegmaar de Delete knop in z'n hersens die de grove informatie filterd naar een herinnering in grote lijnen.

hmmm.. dit is wel interessant. kan er wat mee te maken hebben.
Waar heb je die info vandaan? Heb je een link?

[pyro_1979]

Als iemand 5 ramen kan tellen, waarom dan geen pentaal getalsysteem? dat zou dan het meeste aansluiten. Laat mij de ramen tellen:

1 raam
2 ramen
3 ramen
4 ramen
10 ramen
11 ramen
12 ramen
13 ramen
14 ramen
20 ramen
....

[GeeBee]

Helaas gaat het niet om de grens om tot een bepaalde waarde te kunnen tellen, het gaat überhaupt om te kunnen tellen en hoeveelheden te kunnen zien/inschatten.
En of dat dan tot 5 of 4 of 6 is, is triviaal.

[pyro_1979]

GeeBee schreef op 18 oktober 2003 @ 13:32:
Helaas gaat het niet om de grens om tot een bepaalde waarde te kunnen tellen

Nee maar zou het niet een idee zijn om het maximale aantal dat in een oogopslag te zien is als basis te nemen voor een getalstelsel?

Het zou het telgemak in ieder geval kunnen vergroten.

Stel er zitten 10 ramen in een gebouw van twee verdiepingen. Je kan in één oogopslag zien (dus zonder te tellen) dat er vijf ramen zijn per verdieping. Zou het dan niet mooi zijn als je kan zeggen dat er 20 ramen zijn in een pentaal stelsel (die 2 staat in dit geval dus voor het aantal verdiepingen)?

[Nicap]

Burning_acid schreef op 17 October 2003 @ 20:00:
[...]


Jah dat heb ik ook gezien
En de "verklaring" was idd dat de hersenen als je langs een gebouw loopt wel zien hoeveel ramen het zijn maar ze filteren het exacte aantal weg omdat dat niet interessant is.

Bij deze jonge was het zelfs zó extreem dat ze een helicopter vlucht over londen maakte en eenmaal geland moest hij het van bovenaf tekenen. Hij deed dit precies en nog alles op schaal ook. Hij miste dus zegmaar de Delete knop in z'n hersens die de grove informatie filterd naar een herinnering in grote lijnen.

Iets soortgelijks als die rus die echt alles onhield. Hij had daardoor geen prettig leven. Misschien was die ook wel autistisch. Je vertelde hem wat(lang nummer ofzo) en jaren later kon hij dat nummer nog vertellen.

[Confusion]

Nicap schreef op 19 oktober 2003 @ 00:41:
Iets soortgelijks als die rus die echt alles onhield. Hij had daardoor geen prettig leven. Misschien was die ook wel autistisch. Je vertelde hem wat(lang nummer ofzo) en jaren later kon hij dat nummer nog vertellen.

Dat ken ik alleen als fictief verhaal van J.L. Borges... weet je zeker dat zo'n persoon echt bestaan zou hebben?

[woutur]

Lees de werken van Lurija.

Edit:
Na een pushmessage van een modje:
Lurija was een russich onderzoeker die een aantal gevallen heeft beschreven over hersenschade en bijzondere gevallen op neurologisch gebied. Zo ook het geval hierboven beschreven over een man die alles onthield. Deze man onthield allerlei dingen door ze diverse eigenschappen mee te geven, men kan hierbij denken een vorm, kleur en geur (op deze manier classificeren van dingen heeft een naam die ik helaas vergeten ben). Bovendien onthield hij dingen via een mentale projectie van een huis. Als hij iets moest onthouden dan 'stopte' hij het in een kamer van dat huis. Waneer hij iets moest herinneren dan 'liep' hij simpelweg naar die kamer toe.

Ik heb even op het net gezocht naar de naam van het boek, helaas kan ik het nog niet vinden. Het valt onder zijn romantische werken, niet onder zijn wetenschappelijke. Waneer ik het vind post ik de titel hier.

Gevonden (de RuG bibliotheek bood meer soelaas dan google):
The mind of a mnemonist : a little book about a vast memory / A.R. Luria ; transl. from the Russian by Lynn Solotaroff

[ Voor 106% gewijzigd door woutur op 19-10-2003 16:28 ]

[GeeBee]

pyro_1979 schreef op 18 October 2003 @ 14:53:
[...]


Nee maar zou het niet een idee zijn om het maximale aantal dat in een oogopslag te zien is als basis te nemen voor een getalstelsel?

Het zou het telgemak in ieder geval kunnen vergroten.

Stel er zitten 10 ramen in een gebouw van twee verdiepingen. Je kan in één oogopslag zien (dus zonder te tellen) dat er vijf ramen zijn per verdieping. Zou het dan niet mooi zijn als je kan zeggen dat er 20 ramen zijn in een pentaal stelsel (die 2 staat in dit geval dus voor het aantal verdiepingen)?

Daar heb ik het volgende op tegen:
- En vervolgens schrijft die persoon op dat er 20 ramen in het gebouw zitten (20₅)en zegt iedereen dat het niet goed is.
- Op die manier krijg je voor iedereen een eigen tel- en rekenwijze, zelfs voor mensen zonder dyscalculie, want iedereen heeft een maximaal aantal dattie in één oogopslag kan herkennen.
- Hoe gaat het dan op het moment dat er meer dan 5 ramen in een verdieping zitten?
- Het overstappen van herhaald optellen (5+5) naar vermenigvuldigen (2×5) blijft hiermee een probleem.

[RMYuma]

Lord Daemon schreef op 10 October 2003 @ 02:09:
[...]
Je bedoelt cijfers, niet getallen. (11111101010111010 is bijvoorbeeld een binair getal.) Maar waarom wordt het nu gemakkelijker tellen? Als ik jouw redenatie doorvoer is het gemakkelijkste tellen namelijk simpelweg het 1-talig stelsel:

1(10) = 1(2) = 1(1)
2(10) = 10(2) = 11(1)
3(10) = 11(2) = 111(1)
4(10) = 100(2) = 1111(1)
...
23(10) = 10111(2) = 11111111111111111111111(1)

Maar ja, op den duur wordt je daar niet gelukkig van, en is het ook niet handig, Dus waarom is 2-talig nu het handigst, als bewezen is dat minder getallen niet per se handiger maakt?

Is dit niet een simpele vorm van turven? Dus i.p.v. nummer 5 als een schuine streep, gewoon door blijven strepen... Zo moet het toch ooit zijn begonnen? Een herder die 's avonds zijn schapen moest tellen, had toch gewoon voor ieder schaap een stokje of een steentje. Dan was het gewoon voor ieder schaap een stokje neerleggen, en dan kijken of alle stokjes op waren bij het laatste schaap. Indien er stokjes over bleven, dan misten er net zoveel schapen als hij stokjes over had.

[Verwijderd]

Nou zag ik laatst een rekenwonder op tv (opera) die had geleerd van 0 tot 9 tellen ipv 1 tot 10, en dat schijnt dus veel beter te zijn om dingen uit te rekenen (hoofdrekenen)

[timovd]

Ik wil t eigenlijk alleen tot het binaire beperken. Deze voorbeelden van die autistische jongen is wel erg interessant, maar daar kan ik niet veel mee verder.
Mijn stelling, "Binair rekenen is het ei van Columbus", is een reken/wiskundig probleem.
Ik wil dus alleen een wiskundig/reken probleem oplossen. Psygologische problemen kunnen alleen handig zijn.

[Dido]

Je spreekt daarmee je openingspost tegen
Immers, jij stelde dat binair rekenen makkelijker zou zijn voor mensen met rekenproblemen, dat heeft niets met wiskunde te maken.

Puur wiskundig maakt het geen donder uit wat vor basis je neemt voor je talstelsel, zolang je maar 1 basis neemt, positionair werkt en de nul gebruikt. Dat is bijvoorbeeld de zwakte van Romeinse cijfers: ze werken met basis 1, 5 en 10, III is drie dus iedere I betekent 1 en er is geen nul.

Echter, hoe lager je basis, hoe vaker je zit met de overgang naar het de volgende positie (langere getallen dus, en je loopt vaker tegen "X onthouden" aan).

Voor het begrip van getallen is het van belang dat ze in 1 oogopslag herkenbaar zijn, het aantal symbolen dat je gebruikt is minder belangrijk. We werken immers ook zonder problemen met minstens 52 symbolen voor tekst.
Hoe langer getallen worden, hoe moeilijker ze te interpreteren zijn: 12 is makkelijker te interpreteren dan 1238946283. Sterker nog, van het tweede zal bijna niemand in een oogopslag weten of het 1,2 miljard of 12,3 miljard voorstelt. Dus is een hogere basis een voordeel voor verwerking door mensen.

Als je al een meer intuitieve basis zoekt voor ons talstelsel zou je dus moeten zoeken naar een hogre basis, en dan is 16 een leuke vanwege de deelbaarheid door 1, 2, 4 en 8. Dat helpt enorm met breuken: hoe meer delers je basis heeft, hoe makkelijker breuken zijn.
In dat opzicht is 12 nog een leukere basis: delers 1, 2, 3, 4 en 6.

2, 8, 12 en 16 zijn ook als basis gebruikt (denk aan de inch die in 16den wordt verdeeld), maar door het gebruik van arabische cijfers - en het onderliggende decimale stelsel - komt het niet meer direct als "handig" over.

10 als basis komt waarschijnlijk trouwens voort uit het feit dat we inderdaad 10 vingers hebben, evenals het Romeinse 1-5-10 stelsel. Basis twaalf is bij sommige volkeren ook gelinkt aan de vingers: tel met je duim de kootjes van de naastgelegen vingers af, iedere keer dat je rond bent tel je 1 door op je andere hand. Doe je dat met vingers (op je andere hand) dan kom je tot zestig (denk aan onze klok e.d.), doe je dat weer met kootjes, dan kun je op twee handen tot 144 tellen!

[Verwijderd]

Eens met Dido. Zou het niet goddelijk zijn als we allemaal intuitief hexadecimaal zouden tellen?

[pyro_1979]

GeeBee schreef op 19 October 2003 @ 09:20:
[...]

Daar heb ik het volgende op tegen:
- En vervolgens schrijft die persoon op dat er 20 ramen in het gebouw zitten (20₅)en zegt iedereen dat het niet goed is.

Het is maar wat men gewend is... als iedereen een pentaal getalstelsel gewend is zal dat dus niet het geval zijn... Als iedereen met een pentaal getalstelsel werkt, zou het metrieke stelsel daar natuurlijk op moeten worden aangepast

- Op die manier krijg je voor iedereen een eigen tel- en rekenwijze, zelfs voor mensen zonder dyscalculie, want iedereen heeft een maximaal aantal dattie in één oogopslag kan herkennen.

Maar je zou als basis het aantal dat de meeste mensen in een oogopslag kunnen tellen toch kunnen gebruiken, hierboven ben ik er vanuit gegaan dat het 5 is.

- Hoe gaat het dan op het moment dat er meer dan 5 ramen in een verdieping zitten?

Tja.. dat hou je altijd, bij ieder getalstelsel, of dit nu binair, pentaal, octaal of decimaal is...

- Het overstappen van herhaald optellen (5+5) naar vermenigvuldigen (2×5) blijft hiermee een probleem.

10₅ + 10₅ = 20₅ = 10₁₀
2 x 10₅ = 10₅ + 10₅ = 20₅ = 10₁₀
3 x 10₅ = 10₅ + 10₅ + 10₅ = 30₅ = 15₁₀
Het werkt nog steeds het zelfde als bij een decimaal stelsel...

[ Voor 11% gewijzigd door pyro_1979 op 23-10-2003 21:29 . Reden: uitbreiding... ]

[pyro_1979]

Verwijderd schreef op 21 October 2003 @ 00:12:
Nou zag ik laatst een rekenwonder op tv (opera) die had geleerd van 0 tot 9 tellen ipv 1 tot 10, en dat schijnt dus veel beter te zijn om dingen uit te rekenen (hoofdrekenen)

Is ook logisch, want na 9 komt 10
en...

10 = 0 + 1 * 10 ^ 1

op die manier geldt dan ook:

11 = 1 + 1 * 10 ^ 1
20 = 0 + 2 * 10 ^ 1
21 = 1 + 2 * 10 ^ 1
128 = 8 + 2 * 10 ^ 1 + 1 * 10 ^ 2

[ edit ]
Nog correcter:

A_x = A * x⁰
BA_x = A * x⁰ + B * x¹
CBA_x = A * x⁰ + B * x¹ + C * x²

(De hoofdletters stellen getallen voor in een x-based getalstelsel...)
[ /edit ]

[ Voor 28% gewijzigd door pyro_1979 op 25-10-2003 12:03 . Reden: kan geen sub- en superscript tussen edit-tags gebruiken ]

[Confusion]

pyro_1979 schreef op 23 October 2003 @ 19:30:
[..]
3 x 10₅ = 10₅ + 10₅ + 10₅ = 30₅ = 15₁₀
Het werkt nog steeds het zelfde als bij een decimaal stelsel...

En zelfs
30₅ x 30₅ = "900"₅ = 1400₅ (kortom, gewoon 5 eraf trekken en 1 onthouden ).

[ Voor 5% gewijzigd door Confusion op 23-10-2003 22:29 ]

[pyro_1979]

Confusion schreef op 23 October 2003 @ 22:07:

[...]

En zelfs
30₅ x 30₅ = "900"₅ = 1400₅ (kortom, gewoon 5 eraf trekken en 1 onthouden ).

Ofwel, (30₅)² = 30₅ x 30₅ = ....

En op die manier zijn alle bekende getaloperaties mogelijk.

[ Voor 17% gewijzigd door pyro_1979 op 25-10-2003 12:08 ]

[pyro_1979]

Dido schreef op 21 October 2003 @ 17:18:
10 als basis komt waarschijnlijk trouwens voort uit het feit dat we inderdaad 10 vingers hebben, evenals het Romeinse 1-5-10 stelsel. Basis twaalf is bij sommige volkeren ook gelinkt aan de vingers: tel met je duim de kootjes van de naastgelegen vingers af, iedere keer dat je rond bent tel je 1 door op je andere hand. Doe je dat met vingers (op je andere hand) dan kom je tot zestig (denk aan onze klok e.d.), doe je dat weer met kootjes, dan kun je op twee handen tot 144 tellen!

144 is deelbaar door 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 14, 16, 18, 24, 36, 48 en 72.
144 is afleidbaar aan het menselijk lichaam. (zie quote)

Dus dan zou voor het rekenen met breuken e.d. best ideaal zijn, als het onthouden van 144 karakters dan geen probleem is, dan wordt het tijd om nog wat karakters te bedenken.

[Dido]

pyro_1979 schreef op 25 October 2003 @ 12:17:
144 is deelbaar door 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 14, 16, 18, 24, 36, 48 en 72.
144 is afleidbaar aan het menselijk lichaam. (zie quote)

Dus dan zou voor het rekenen met breuken e.d. best ideaal zijn, als het onthouden van 144 karakters dan geen probleem is, dan wordt het tijd om nog wat karakters te bedenken.

Er zou zeker wat voor te zeggen zijn, zeker als 144 inderdaad, zoals je stelt, deelbaar zou zijn door 14 (7 Zou dan ook een deler zijn, namelijk.)

Zoveel voordeel levert 144 echter niet op t.o.v. 12, alle "nieuwe" delers zijn veelvouden van al bestaande delers, terwijl je pas echt voordeel haalt met nieuwe priemfactoren.

Op zich is het idee van een zoveel-cijferige basis helemaal zo gek nog niet, ware het niet dat we er hier mee in de problemen zouden komen vanwege het feit dat we zelfs in ons alfabet geen 100 karakters hebben. Toch is het zo nodig wel aan te leren, hoor

[Verwijderd]

Zit opzich wel een klein deel van waarheid in.

Echt snappen doe ik het nog niet, maar met alleen 0 en 1 heb je het wel weer makkelijker.

Daarentegen, als je een groot getal hebt, moet je wel weten waar iedere o/1 voor staat. En om dat ik 1 oog opslag te zien!?!? Volgens mij zie je dan eerder 5 ramen!

[RMYuma]

Tja, in principe hebben we hier dus twee vraagstukken:

1) Hoeveel cijfers kun je in 1 oogopslag waarnemen als zijnde 1 geheel getal? (En dan uiteraard ook de grootte orde van het getal begrijpen)

2) Welk telstelsel is het handigst om te gebruiken?

[DeadKennedy]

The_Prince_of_Mu schreef op 27 oktober 2003 @ 02:53:
Tja, in principe hebben we hier dus twee vraagstukken:

1) Hoeveel cijfers kun je in 1 oogopslag waarnemen als zijnde 1 geheel getal? (En dan uiteraard ook de grootte orde van het getal begrijpen)

2) Welk telstelsel is het handigst om te gebruiken?

Een mens kan 7 (+-2) cijfers in z'n korte termijns/werk geheugen houden.
De manier om deze bottleneck te omzeilen is:
- Chunking. Deze units (cijfers, letters, woorden) in overzichtelijke groepen neerzetten. (van een getal van 10 cijfers, twee groepen van 5 maken bijvoorbeeld)
- Recoding. Het omzetten van "rauwe" units in "rijkere" (betekenisvollere) units. Beetje moeilijk hier een voorbeeld van te geven, maar mijn boek (Cognition 3rd ed., Ashcraft) doet dit door middel van ongeveer het volgende:
HOIIKBENPIETJEPUK
een Amerikaan zou deze "string" niet in zijn werkgeheugen houden. Nederlanders kunnen dit makkelijk, omdat we er betekenis aan kunnen geven, de letters worden "gerecodeerd" naar betekenisvolle woorden.
Het boek geeft hier zelfs een binair-systeem voorbeeld van:

"A string of 40 digits, obviously longer than the capacity of short-term memory, can still be recalled accurately if your recoding scheme is powerful enough and if you can apply it flexibly and quickly. In fact, Miller described a person who could recall 40 binary digits (1s and 0s) without error by means of such a recoding scheme."

[G1itch]

Verwijderd schreef op 10 October 2003 @ 01:34:
Ik ben eigenlijk wel benieuwd naar welke stelsels oude beschavingen gebruikten. De Romeinen hadden bijvoorbeeld niet eens een bepaald stelsel, maar een compleet andere methode.
Als ik het mij goed herinner zijn de huidige cijfers en het tientallig stelsel Arabisch. Hoe zit dat met andere beschavingen zoals de egyptenaren of verschillende indianenstammen?

De egyptenaren hadden een soort abacus systeem, een symbool voor 1, een symbool voor 10 etc.. 27 zou dan b.v. ^^||||||| zijn. Ik weet alleen niet tot hoeveel nullen ze dat doorgevoerd hebben, om alle getallen te kunnen representeren heb je met dit systeem natuurlijk oneindig veel symbolen nodig...

offtopic:

---

d4rkn3ss schreef op 21 October 2003 @ 00:12:
Nou zag ik laatst een rekenwonder op tv (opera) die had geleerd van 0 tot 9 tellen ipv 1 tot 10, en dat schijnt dus veel beter te zijn om dingen uit te rekenen (hoofdrekenen)

---

Mooie opera was dat ja!
De uitvoering in het oprah house in sydney was adembenemend!

[Gerwin]

GeeBee schreef op 09 oktober 2003 @ 22:22:
Dyscalculie is, kort gezegd, een rekenstoornis. Geen rekenprobleem dus. Een probleem is op te lossen, een stoornis niet.

Waarom zou je een stoornis niet kunnen oplossen? Problemen kun je oplossen, maar een storing kun je toch ook oplossen... als je een storing hebt ergens dan herstel je die toch en los je het probleem en dus de storing op.

[Soultaker]

Ik denk dat het fundamentele criterium bij het bepalen van een geschikte basis de mate waarin je overzicht kunt behouden is. In het decimale stelsel is er maar een klein aantal cijfers (10) en als je daarmee een relatief nauwkeurig getal op wilt schrijven, dan moet je dus al snel punten gebruiken (of komma's op z'n Engels); van een getal als 1.234.567.890 is de grootte nu eenmaal veel sneller in te schatten dan 123456780 (is dat nu ongeveer 100 miljoen of ongeveer 1 miljard?).

In de informatica wordt vaak met zowel binaire als hexadecimale getallen gerekend, maar dan loop je tegen het probleem aan dat het heel lastig is om de positie van cijfers (0 en 1) in te schatten: hoe groot is 10000011010₂ ongeveer? Door de lengte van het getal is het lastig in te zien op welke positie het voorste getal staat (waarmee je de grootte inziet). Ook nu kun je weer punten gaan zetten, zodat je 10.000.011.010 kunt lezen (en als je het gewend zou zijn zou je dan ongeveer 1000₁₀ kunnen zien). Helaas heb je nu al vier 'groepjes' cijfers en zit je pas in de orde van een getal waarvoor je in het decimale stelsel net 1 groepje nodig zou hebben! Het is duidelijk dat de groepjes ook niet meer volstaan op het moment dat je er te veel van hebt; en wat ga je dan doen?

Aan het hexadecimale stelsel heb je wiskundig gezien niets, maar het is wel heel prettig dat je alle groepjes (van vier cijfers, dan) uit bovengenoemde binaire getallen weg kunt halen en vervangen door enkele cijfers; het getal van hierboven wordt dan 41A₁₆ en daarvan zie zelfs ik direct dat het ongeveer 1000 is!

Ik denk dus dat er een zeker optimum is voor het aantal te gebruiken symbolen en dat hangt af van de moeite die het kost om een X aantal symbolen te leren en de lengte van de getallen die je doorgaans gaat verwerken. Voor getallen onder de 100 is het binaire stelsel uitstekend geschikt en als je wetenschappelijke notaties zou gebruiken (5.23x10⁶) zou je er ook wel genoeg aan hebben, maar in het dagelijks leven werken we vaak met een breder bereik. Dan is twee cijfers (het absolute minimum als je een nul erbij wilt hebben) gewoon te weinig.

Zelf vind ik trouwens hexadecimaal (vooral vanwege de makkelijke conversie van en naar binaire getallen) erg prettig rekenen. Ook optellen vind ik er niet echt moeilijk mee, al is vermenigvuldingen lastig. Ik denk dat voor rekenkundige operaties binaire getallen feitelijk het makkelijkst zijn, al denk ik dat je met meer cijfers sneller kunt rekenen als je er routine mee krijgt (wat ik op de basisschool misschien wel had, maar tegenwoordig niet meer, omdat ik nooit meer handmatig reken).

[Soultaker]

DeadKennedy schreef op 27 October 2003 @ 03:21:
Het boek geeft hier zelfs een binair-systeem voorbeeld van:
"A string of 40 digits, obviously longer than the capacity of short-term memory, can still be recalled accurately if your recoding scheme is powerful enough and if you can apply it flexibly and quickly. In fact, Miller described a person who could recall 40 binary digits (1s and 0s) without error by means of such a recoding scheme."

Ik heb op de Duitse TV ook wel eens iemand gezien die dat in een of andere show kwam doen. Het ging toen om nog veel meer cijfers, dacht ik. Het waren trouwens een paar rijen met foto's van (at random) Steuber en Schroeder; daar mocht 'ie een paar keer langs lopen (gedurende een paar minuten, geloof ik) en daarna moest 'ie de hele reeks reproduceren.

Jammergenoeg bespraken ze niet hoe 'ie dat nou onthield (of dat heb ik toen gemist; mijn Duits is ook weer niet zo goed). Soms moest 'ie wel heel lang nadenken voordat 'ie uiteindelijk toch de draad weer op kon pakken. Uiteindelijk maakte 'ie helaas teveel fouten (ik geloof dat 'ie er een stuk of 3 mocht maken).

[Verwijderd]

dat ventje dat zo goed precies al die ramen kon tekenen
dat was in een BBC documentaire over "idiots savants" tegenwoordig alleen "savants" genoemd.
zoek maar op google.

[timovd]

The_Prince_of_Mu schreef op 27 October 2003 @ 02:53:
Tja, in principe hebben we hier dus twee vraagstukken:

1) Hoeveel cijfers kun je in 1 oogopslag waarnemen als zijnde 1 geheel getal? (En dan uiteraard ook de grootte orde van het getal begrijpen)

2) Welk telstelsel is het handigst om te gebruiken?

Mijn standpund is eigenlijk dat het binaire stelsel zou ingevoerd moeten worden als primaire stelsel... Waarom (niet)?

thanx Soultaker voor je fantastische uitleg

[Dido]

Soultaker schreef op 27 October 2003 @ 20:36:
Ik denk dat het fundamentele criterium bij het bepalen van een geschikte basis de mate waarin je overzicht kunt behouden is.

Helemaal mee eens

Aan het hexadecimale stelsel heb je wiskundig gezien niets, maar het is wel heel prettig dat je alle groepjes (van vier cijfers, dan) uit bovengenoemde binaire getallen weg kunt halen en vervangen door enkele cijfers; het getal van hierboven wordt dan 41A₁₆ en daarvan zie zelfs ik direct dat het ongeveer 1000 is!

Waarom heb je rekenkundig niets aan base-16
Je kunt er perfect mee rekenen, hoor. Gaat exact op dezelfde manier als base-10 of base-n.

maar:

Voor getallen onder de 100 is het binaire stelsel uitstekend geschikt en als je wetenschappelijke notaties zou gebruiken (5.23x10⁶) zou je er ook wel genoeg aan hebben, maar in het dagelijks leven werken we vaak met een breder bereik.

Wetenschappelijke notatie kost je nauwkeurigheid en is dus niet echt makkelijk
Overigens is jouw voorbeeld niet binair, welk getal bedoel je eigenlijk?

Ik zie het overzicht niet erg groot worden met 1.011x10¹¹⁰₂

timow schreef op 27 oktober 2003 @ 21:38:
Mijn standpund is eigenlijk dat het binaire stelsel zou ingevoerd moeten worden als primaire stelsel... Waarom (niet)?

Omdat je dus het overzicht kwijt raakt zodra je boven de 6 cijfers komt, en dat is binair al bij 1000000, dus 128.
Dat is het enige nadeel dat ik kan verzinnen, het is ook al een aantal keer genoemd, maar het weegt m.i. wel erg zwaar.

[Soultaker]

Dido schreef op 28 October 2003 @ 09:59:
Waarom heb je rekenkundig niets aan base-16
Je kunt er perfect mee rekenen, hoor. Gaat exact op dezelfde manier als base-10 of base-n.

Ik bedoelde ook juist dat basis 16 niet beter of slechter is dan een andere basis, in tegenstelling tot basis 2, die extra nuttig is omdat je daarvoor praktisch electronische circuits kunt bouwen. Die basis 16 wordt uitsluitend gebruikt omdat informatici wel binair willen denken, maar ook het overizcht niet kunnen houden bij die lange binaire strings. Het gebruik van basis 10 kun je nog als historisch gegroeid verklaren, maar basis 16 wordt uitsluitend gebruikt om de 'psychologische' reden.

Wetenschappelijke notatie kost je nauwkeurigheid en is dus niet echt makkelijk Overigens is jouw voorbeeld niet binair, welk getal bedoel je eigenlijk?

Ik ging uit van decimalen. Inderdaad, je verliest nauwkeurigheid op die manier, dus dat was een slecht voorbeeld. Eigenlijk helpt het natuurlijk niets, want je verliest op die manier ook weer sneller het overzicht (ook al heeft je bereik er niet onder te leiden).

Omdat je dus het overzicht kwijt raakt zodra je boven de 6 cijfers komt, en dat is binair al bij 1000000, dus 128. Dat is het enige nadeel dat ik kan verzinnen, het is ook al een aantal keer genoemd, maar het weegt m.i. wel erg zwaar.

Mee eens; binair is niet praktisch. Ik ben er echter ook niet direct van overtuigd dat basis 10 ideaal is. Wat zou dan de optimale basis zijn? Is dat een beetje objectief te bepalen (vergelijkbaar met het 7+/-2 items in het korte termijn-geheugen verhaal) of wordt dat té veel bepaald door de mate waarin en manier waarop je er gebruik van maakt?

[Confusion]

Soultaker schreef op 29 October 2003 @ 01:56:
Ik bedoelde ook juist dat basis 16 niet beter of slechter is dan een andere basis, in tegenstelling tot basis 2, die extra nuttig is omdat je daarvoor praktisch electronische circuits kunt bouwen. Die basis 16 wordt uitsluitend gebruikt omdat informatici wel binair willen denken, maar ook het overizcht niet kunnen houden bij die lange binaire strings. Het gebruik van basis 10 kun je nog als historisch gegroeid verklaren, maar basis 16 wordt uitsluitend gebruikt om de 'psychologische' reden.

Er bestaat een algoritme waarmee je een willekeurige hexadecimale 'decimaal' van Pi kunt berekenen. Met het hexadecimale stelsel kan je wel meer rekenkundige truuks uithalen, die in andere stelsels niet kunnen.

[RMYuma]

Confusion schreef op 29 oktober 2003 @ 09:18:
[...]
Met het hexadecimale stelsel kan je wel meer rekenkundige truuks uithalen, die in andere stelsels niet kunnen.

Alle getallenstelsels zijn om te zetten naar elkaar, dus zou je die "truuks" ook in andere stelsels moeten kunnen gebruiken, lijkt mij. Wiskundig gezien moet het niet uitmaken welk telstelsel je gebruikt.

Kun je anders een voorbeeld geven van een van die "truuks"?

[eamelink]

Confusion schreef op 09 oktober 2003 @ 22:25:
[...]

In welke zin hebben decimale getallen volgens jou wel een relatie met de werkelijkheid? Kijk, je hebt tien vingers en tenen, maar je hebt ook 2 oren, 2 ogen, handen, etc., dus een binair stelsel ligt net zo voor de hand als een decimaal stelsel.

Tja, voor de hand ligt het wel, maar dat zei hij niet, hij zei 'de werkelijkheid' om je heen. En aangezien verder álles decimaal is, is binair rekenen niet echt handig

[Gulli]

Ik vind niet dat je in het dagelijks leven makkelijker kan tellen met binaire getallen.

Stel je hebt een groepje van 9 peren. Dan is 9 toch veel makkelijker te verbinden aan het aantal peren dan het getal 1001 (spreek uit een nul nul een) 9 kan je makkelijker opdelen in eenheden die met zijn negenen het aantal peren vormen. Je kan moeilijk aan een kind wijsmaken dat 1 1 1 1 1 1 1 1 1 hetzelfde is als 1001. Verder kan je wel zeggen dat je getallen boven de 1 dan wel kunt vergeten maar volgens mij geldt voor binair nog steeds dat je moet vermenigvuldigen met machten van 10⁰, 10¹, 10², 10³, 10⁴, 10⁵, 10⁶ en 10⁷

[Confusion]

The_Prince_of_Mu schreef op 29 oktober 2003 @ 13:40:
Alle getallenstelsels zijn om te zetten naar elkaar, dus zou je die "truuks" ook in andere stelsels moeten kunnen gebruiken, lijkt mij. Wiskundig gezien moet het niet uitmaken welk telstelsel je gebruikt.

Dat leek mij ook, maar dat blijkt toch niet zo te zijn, tenzij ik het betreffende artikel (niet wetenschappelijk overigens), ernstig verkeerd begrepen heb. Volgens mij is het zo dat je die 'decimaal' in het hexadecimale stelsel kan berekenen, maar als je hem om zou willen zetten, zou je alle eerdere 'decimalen' ook om moeten zetten. Het algortitme werkt alleen hexadecimaal (overigens is het natuurlijk wel direct in het 2, 4 en 8 tallig stelsel te schrijven) en algoritmes kunnen blijkbaar niet-omzetbaar naar een ander talstselsel zijn.

Kun je anders een voorbeeld geven van een van die "truuks"?

Dan zou ik moeten zoeken; dit is een toevallig feitje dat ik weet, geen structurele kennis.

[ Voor 4% gewijzigd door Confusion op 30-10-2003 08:19 ]

[RMYuma]

Confusion schreef op 30 oktober 2003 @ 08:18:
[...]

Dat leek mij ook, maar dat blijkt toch niet zo te zijn, tenzij ik het betreffende artikel (niet wetenschappelijk overigens), ernstig verkeerd begrepen heb. Volgens mij is het zo dat je die 'decimaal' in het hexadecimale stelsel kan berekenen, maar als je hem om zou willen zetten, zou je alle eerdere 'decimalen' ook om moeten zetten. Het algortitme werkt alleen hexadecimaal (overigens is het natuurlijk wel direct in het 2, 4 en 8 tallig stelsel te schrijven) en algoritmes kunnen blijkbaar niet-omzetbaar naar een ander talstselsel zijn.

Mmm, raar. Wiskunde is gebaseerd op het rekenwerk met getallen. In welke groepjes de cijfers in deze getallen zijn opgebouwd moet eigenlijk niet uitmaken voor het rekenwerk, lijkt mij. Of je nu Y=X^Z op het binaire telstelsel toepast, of op het decimale of hexadecimale moet niet uitmaken. De waarde van het getal blijft namelijk hetzelfde, dus de uitkomst ook!

[ Voor 14% gewijzigd door RMYuma op 30-10-2003 17:50 . Reden: kleine correctie... ]

[chris]

The_Prince_of_Mu schreef op 30 oktober 2003 @ 17:48:
[...]


Mmm, raar. Wiskunde is gebaseerd op het rekenwerk met getallen. In welke groepjes de cijfers in deze getallen zijn opgebouwd moet eigenlijk niet uitmaken voor het rekenwerk, lijkt mij. Of je nu Y=X^Z op het binaire telstelsel toepast, of op het decimale of hexadecimale moet niet uitmaken. De waarde van het getal blijft namelijk hetzelfde, dus de uitkomst ook!

Het gaat ook niet over het rekenwerk, het gaat over decimalen. En als er een de decimalen in PI volgens een repeterende functie te berekenen zijn, dan kan het zo zijn dat iets zich om de 10 decimalen (of een veelvoud daarvan) herhaalt, maar ook b.v. om de 16 decimalen (of een veelvoud daarvan) herhaalt. Lees deze pagina maar eens, dan piep je wel anders

[timovd]

Gulli schreef op 30 oktober 2003 @ 01:03:
Ik vind niet dat je in het dagelijks leven makkelijker kan tellen met binaire getallen.

Stel je hebt een groepje van 9 peren. Dan is 9 toch veel makkelijker te verbinden aan het aantal peren dan het getal 1001 (spreek uit een nul nul een) 9 kan je makkelijker opdelen in eenheden die met zijn negenen het aantal peren vormen. Je kan moeilijk aan een kind wijsmaken dat 1 1 1 1 1 1 1 1 1 hetzelfde is als 1001. Verder kan je wel zeggen dat je getallen boven de 1 dan wel kunt vergeten maar volgens mij geldt voor binair nog steeds dat je moet vermenigvuldigen met machten van 10⁰, 10¹, 10², 10³, 10⁴, 10⁵, 10⁶ en 10⁷

Als je een kind als eerste stelsel het binaire stelsel aanleert, dan is het niet moelijk. lees anders nog ff een beetje het topic door.

[RMYuma]

/dev/null schreef op 30 oktober 2003 @ 19:44:
[...]


Het gaat ook niet over het rekenwerk, het gaat over decimalen. En als er een de decimalen in PI volgens een repeterende functie te berekenen zijn, dan kan het zo zijn dat iets zich om de 10 decimalen (of een veelvoud daarvan) herhaalt, maar ook b.v. om de 16 decimalen (of een veelvoud daarvan) herhaalt. Lees deze pagina maar eens, dan piep je wel anders

Heb de pagina gelezen en ben onder de indruk. Mijn interesse werd al gewekt bij deze zin:

Unlike previously known methods, this one allows you to calculate isolated digits—without computing and keeping track of all the preceding numbers.

Ik heb in mijn jeugd een programma geschreven, dat pi berekende, maar moest inderdaad alle voorgaande cijfers bijhouden.

[chris]

timow schreef op 30 oktober 2003 @ 22:49:
[...]

Als je een kind als eerste stelsel het binaire stelsel aanleert, dan is het niet moelijk. lees anders nog ff een beetje het topic door.

Dat is inderdaad wel zo, maar het grootste en erg belangrijke argument om hier niet aan te beginnen is dat ons oog (hersenen) dit niet aan kan. Het is onmogelijk om een zo'n groot getal in een keer te interpreteren. Nou zegt iedereen: maar waarom dan niet hexadecimaal? Daar is wat mij betreft ook niets op tegen, behalve dan dat het een enorme (ondoenbare?) klus zou zijn om van ons tientallig stelsel over te schakelen op een zestientallig stelsel.

[Verwijderd]

Misschien een late reaactie maar wil dit toch even kwijt:
Geloof niet dat jullie weten waar je over praat als je het over dislectie spreekt.
Ik haal getallen door elkaar, voornamelijk door ze om te draaien of (en dat is bij binar rekenen helemaal leuk) zie ik nullen over het hoofd! 1000 of 10000 is voor mij hetzelfde!
Zou binair rekenen een oplossing zijn denken jullie?

[GeeBee]

* GeeBee is Remedial Teacher dus heeft enige kennis van zaken...

[Deem]

hmm. komt een beetje het Gulden -> Euro gevoel bij. Je ziet een binair getal en dat converteer je naar het 10-tallig stelsel.
het probleem is dus dat als je iemand van jongs af aan het binaire stelsel aanleert je dus ook het 10-tallig stelsel moet bijbrengen om de waarde van dat binaire getal te weten....

[Makkelijk]

Binair is lastiger in 1 opslag te zien omdat je sneller "dyslectische" verschijnselen krijgt, ook als je geen dyslectie hebt. Want waar ligt de grens? Sommige mensen zullen het nog wel kunnen volgen. Maar als een getal te groot wordt wordt het gewoon onduidelijk. probeer 52382195920 maar eens in 1 opslag uit te spreken..

lukt-niet

[Dido]

naimed schreef op 31 oktober 2003 @ 23:52:
hmm. komt een beetje het Gulden -> Euro gevoel bij. Je ziet een binair getal en dat converteer je naar het 10-tallig stelsel.
het probleem is dus dat als je iemand van jongs af aan het binaire stelsel aanleert je dus ook het 10-tallig stelsel moet bijbrengen om de waarde van dat binaire getal te weten....

Waarom zou dat nodig zijn
De waarde van een getal hoef je echt niet noodzakelijkerwijs in base-10 te weten om ermee te kunnen rekenen. Computers doen het ook prima zonder

Juist als je iemand van kinds af aan alleen binair (of hexadecimaal of base-12) aanleert hoeft ie geen kennis te hebben van een decimaal stelsel om te kunnen tellen en rekenen.

[Verwijderd]

Ik geloof helemaal niet dat het makkelijker tellen is als je een binair stelsel gebruikt, dit is zelfs veel moeilijker. Mensen hebben meer moeite om een voorstelling bij getallen te maken naar mate getallen uit grotere reeksen gaan bestaan, het is dus eerder logisch om een meertallig stelsel te gebruiken als een mindertallig stelsel.
Om ook het rekenen met getallen eenvoudiger te maken zou je er zelfs voor kunnen pleiten om voor bepaalde getallenstelsels te kiezen, getallen als 12 of 16 zijn veel mooier deelbaar als 10, waardoor je bij het delen van een 'mooi rond getal' (10 in een tientallig stelsel, in een 16 tallig stelsel ook weergegeven als 10 maar dan met de tientallige waarde van 16) waar mensen om psychologische redenen vaak voor kiezen meer kans hebt om op een heel getal uit te komen ipv een breuk, dus eigenlijk een niet netjes weer te geven getal

[GeeBee]

Dido schreef op 01 november 2003 @ 13:31:
[...]

Waarom zou dat nodig zijn
De waarde van een getal hoef je echt niet noodzakelijkerwijs in base-10 te weten om ermee te kunnen rekenen. Computers doen het ook prima zonder

Computers hebben ook geen dyscalculie...

[eamelink]

Dido schreef op 01 november 2003 @ 13:31:
kinds af aan alleen binair (of hexadecimaal of base-12) aanleert hoeft ie geen kennis te hebben van een decimaal stelsel om te kunnen tellen en rekenen.

Nee, maar dan moet je wel een schijnwereld voor hem opzetten waar álles binair is

[Makkelijk]

eamelink schreef op 01 november 2003 @ 22:59:
[...]


Nee, maar dan moet je wel een schijnwereld voor hem opzetten waar álles binair is

Hoezo schijnwereld? denk je dat de wereld decimaal is, dat is geen wetenschappelijk gegeven. Je spreekt dan ook geen 8 meer uit natuurlijk.. maar gewoon de binaire waarde van 1-en en 0-en.. welk stelsel ook er is nooit sprake van een schijnwereld...

[Dido]

eamelink schreef op 01 november 2003 @ 22:59:
Nee, maar dan moet je wel een schijnwereld voor hem opzetten waar álles binair is

Zoals hierboven gezegd, die schijnwereld is niet anders dan het waanidee dat alles decimaal is...
Een wiskundig talstelsel is per definitie een niet-natuurlijk systeem, omdat het gebruikt wordt om het natuurlijke van buitenaf te beschrijven. Het decimaal, binair, dodecimaal en sexagesimaal stelsel hebben allemaal wel een gedeeltelijke link naar de natuur (je vingers, dag/nacht, je vingerkootjes resp. de kalender) maar je kunt onmogelijk volhouden dat 1 talstelsel de natuur of de wereld beschrijft. Al is het maar omdat de meest eenvoudig waar te nemen reeksen zo verdomd moeilijk te verenigen zijn (dag en nacht volgen elkaar op in 4 seizoenen, een jaar is 365,25 dagen, de maan is iedere 28,xx dagen vol en dat gebeurt iets meer dan 12 keer per jaar. Welke basis gebruikt de natuur ).

[timovd]

Met wortel trekken is het handiger om binaire getallen te gebruiken als je in stappen van 4 rekent. Zo is de wortel van 0100 = 0010. De wortel van 0001.0000 = 0100. Het aantal nullen dat voor de 1 staat wordt dus gehalveerd. De wortel van 0001 en 0000 blijven gewoon hetzelfde net zoals het tientallige stelsel.
Vb.
V(0100) = 0010
Er staan 2 nullen achter de 1. Dit wordt gehalveerd en wordt er dus één

Logaritmes zijn in het binaire stelsel ook eenvoudig uit te rekenen. Sterker nog; het is zelfs eenvoudiger dan het tientallige stelsel met een grondtal van 2.

Vb.
2log 8 = 3
Het getal 8 is in het binaire stelsel 1000(3 nullen dus)
2log 16 = 4
Het getal 16 is in het binaire stelsel 1.0000(4 nullen dus)

Als het grondtal 4 is, is het eenvoudig rekenen met logaritmes.

tsja.. dus eigenlijk is het wel gemakkelijker in de wiskunde, maar is het niet mogelijk toe te passen in de maatschappij, omdat allee getallen dan omgegooid moeten worden en de getallen worden dan toch onoverzichtelijk.

[Verwijderd]

timow schreef op 19 januari 2004 @ 21:52:
Met wortel trekken is het handiger om binaire getallen te gebruiken als je in stappen van 4 rekent. Zo is de wortel van 0100 = 0010. De wortel van 0001.0000 = 0100. Het aantal nullen dat voor de 1 staat wordt dus gehalveerd. De wortel van 0001 en 0000 blijven gewoon hetzelfde net zoals het tientallige stelsel.
Vb.
V(0100) = 0010
Er staan 2 nullen achter de 1. Dit wordt gehalveerd en wordt er dus één

Als je weet van welk getal a het getal b een macht is, dan is worteltrekken inderdaad nogam makkelijk als je a als grondtal neemt. Dat is niet specifiek iets voor binair. Dat geldt net zo goed voor het decimale stelsel.

sqrt(100) = 10
er staan 2 nullen achter de 1. Dit wordt gehalveerd en wordt er dus één

Logaritmes zijn in het binaire stelsel ook eenvoudig uit te rekenen. Sterker nog; het is zelfs eenvoudiger dan het tientallige stelsel met een grondtal van 2.

Vb.
2log 8 = 3
Het getal 8 is in het binaire stelsel 1000(3 nullen dus)
2log 16 = 4
Het getal 16 is in het binaire stelsel 1.0000(4 nullen dus)

Hetzelfde verhaal als ik net vertelde kun je hier ook toepassen.

¹⁰log 1000 = 3
Het getal 1000 is in het decimale stelsen 1000 (3 nullen dus)

Als het grondtal 4 is, is het eenvoudig rekenen met logaritmes.

tsja.. dus eigenlijk is het wel gemakkelijker in de wiskunde, maar is het niet mogelijk toe te passen in de maatschappij, omdat allee getallen dan omgegooid moeten worden en de getallen worden dan toch onoverzichtelijk.

Ik vind dat je het verkeerd ziet. Je gaat niet eerst het grondtal aanpassen omdat je dan in feite toch al een groot deel van exact dezelfde berekening doet.

[Dido]

timow schreef op 19 januari 2004 @ 21:52:
Een bewijs dat met mooie getallen ieder grondtal handig wordt.

Zoals hierboven ook gezegd: neem nu eens de wortel van 100₁₀

En werk eens iets uit met pH, Beaufort of Richter? Allemaal gebaseerd op een log₁₀ schaal. Lastig rekenen als windkracht 100 precies 1010 keer zo sterk is als windkracht 11

[MisterE]

Lord Daemon schreef op 10 oktober 2003 @ 02:09:
[...]
Je bedoelt cijfers, niet getallen. (11111101010111010 is bijvoorbeeld een binair getal.) Maar waarom wordt het nu gemakkelijker tellen? Als ik jouw redenatie doorvoer is het gemakkelijkste tellen namelijk simpelweg het 1-talig stelsel:

1(10) = 1(2) = 1(1)
2(10) = 10(2) = 11(1)
3(10) = 11(2) = 111(1)
4(10) = 100(2) = 1111(1)
...
23(10) = 10111(2) = 11111111111111111111111(1)

Maar ja, op den duur wordt je daar niet gelukkig van, en is het ook niet handig, Dus waarom is 2-talig nu het handigst, als bewezen is dat minder getallen niet per se handiger maakt?

kleine correctie: Het hoogste getal in het 1-tallig stelsel is natuurlijk de '0'
Bij het 8-tallig stelsel bijv. gebruik je ook geen '8' maar "0..7"

[Verwijderd]

MisterE schreef op 20 januari 2004 @ 00:32:
[...]


kleine correctie: Het hoogste getal in het 1-tallig stelsel is natuurlijk de '0'
Bij het 8-tallig stelsel bijv. gebruik je ook geen '8' maar "0..7"

Maar het doet er natuurlijk helemaal niet toe welk symbool je aan je 'token' toekent in het 1-tallige stelsel. Al waren het verdorie koeien

[CmdrKeen]

"Dyscalculie" - grappig. Ik ben nu 26 en wat hier beschreven wordt en wat ik zo 1-2-3 op 't net erover kan vinden is wel op mij van toepassing. Ik wist niet eens dat er een naam voor was. Ik heb problemen met het in één oogopslag tellen van een reeks gelijke objecten en grote problemen met werken met abstractere hoeveelheden (laten we zeggen > 30). Je kan met mij ook elke wisseltruc uithalen die je wilt.
Aan de andere kant heb ik een zeer sterk taalgevoel (semantiek, spelling, grammatica) en kan ik zeer goed aantallen schatten.

Een andere vreemde afwijking is dat ik bv. de binnenkant van een tennisnet niet kan zien (als je aan een kant van het veld staat en naar het net kijkt, zie ik alleen de witte rand). Hetzelfde geldt voor een volleybalnet. Geen idee of het er iets mee te maken heeft.

De lichte dyscalculie beïnvloedt mijn dagelijks leven nauwelijks, maar ik ben wel blij dat het een bekend fenomeen is

On-topic: wat als we nu allemaal heel goed leren converteren? Dan delen we in het systeem waarin delen makkelijk is en trekken we wortel in het systeem waar je gemakkelijk wortel in kan trekken. Wat denken we daarvan?

[ Voor 4% gewijzigd door CmdrKeen op 20-01-2004 17:24 . Reden: wisseltrucs ]

[Dido]

Vilenin schreef op 20 januari 2004 @ 17:22:
On-topic: wat als we nu allemaal heel goed leren converteren? Dan delen we in het systeem waarin delen makkelijk is en trekken we wortel in het systeem waar je gemakkelijk wortel in kan trekken. Wat denken we daarvan?

Maar in welk systeem is dat?
Delen door het grondtal of zijn delers en veelvouden is eenvoudig, maar delen door, zeg dertien, is in base-10 net zo "moeilijk" als in base-2.
Gebaseerd op delers is base-16 het makkelijkste, maar delen door priemgetallen blijft een bitch.
Worteltrekken geldt een vergelijkbaar verhaal voor

[Verwijderd]

Vergeten we niet de taal, waarin al onze mooie ideen worden uitgedrukt? Onze telwoorden zijn duidelijk gebaseerd op het 10-tallig stelsel, wat vast restricties stelt aan het getalstelsel waarmee je een kind voor het eerst leert omgaan met getallen.

[Dido]

Verwijderd schreef op 20 januari 2004 @ 18:18:
Vergeten we niet de taal, waarin al onze mooie ideen worden uitgedrukt? Onze telwoorden zijn duidelijk gebaseerd op het 10-tallig stelsel, wat vast restricties stelt aan het getalstelsel waarmee je een kind voor het eerst leert omgaan met getallen.

eh, elf, twaalf? toch eerder twaalftallig dan. Denk ook aan dozijn en gros.

In andere talen gaat dat soms nog verder: het Frans telt door tot zestien

[CmdrKeen]

Beetje lachwekkend eigenlijk dat in de VS "a dozen" "10" betekent...

[Verwijderd]

Dido schreef op 20 januari 2004 @ 18:25:
[...]

eh, elf, twaalf? toch eerder twaalftallig dan. Denk ook aan dozijn en gros.

In andere talen gaat dat soms nog verder: het Frans telt door tot zestien

Ja, elf en twaalf zijn de uitzonderingen (samen met, in veel mindere mate, dertien, veertien, twintig, dertig, veertig en tachtig), maar verder is het toch keurig 10-tallig? (zoals in 'x-en-y-tig', met x en y een cijfer ongelijk aan nul (<zucht> en y ongelijk aan 1)
Ik neem aan dat de onregelmatigheden van dertien en veertien en 'twintig, dertig, veertig en tachtig' er zijn omdat het 'beter bekt'. Ik ben helaas niet op de hoogte van de etymologie van elf en twaalf (alhoewel ik bij deze voorstel dat we een even belangrijk getal, "dertien", vervangen door "drielf" (klinkt ook gelijk boosaardiger)).

[Dido]

Verwijderd schreef op 20 januari 2004 @ 20:04:
Ja, elf en twaalf zijn de uitzonderingen (samen met, in veel mindere mate, dertien, veertien, twintig, dertig, veertig en tachtig), maar verder is het toch keurig 10-tallig? (zoals in 'x-en-y-tig', met x en y een cijfer ongelijk aan nul ( en y ongelijk aan 1)

UItzonderingen op het tientallif zijn van de taal, en daarmee een aanwijzing dta de taal niet tientallig is.
Het feit dat hogere telwoorden netjes aan regels voldoen zou eerder een gevolg zijn van geforceerde tientalligheid dan andersom
elf en twaalf zijn wel iets ouder dan de algemene invoering van een tientallig stelsel voor alle doeleinden. (Zo lang geleden is het niet dat we met ellen, ponden en voeten werkten. Wiskunde was aan de gewone man niet besteedt, en zijn geld werkt eook al niet tientallig: een gulden bestond uit 20 stuivers, niet uit honderd centen ).

Wat betrfet dertien en veertien heb je gelijk, dat bekt beter. Maar dat doet niets af aan het feit dat onze telwoorden elf en twaalf een taalkundige neiging naar een twaalftallig stelsel laten zien.

[Dido]

Vilenin schreef op 20 januari 2004 @ 18:46:
Beetje lachwekkend eigenlijk dat in de VS "a dozen" "10" betekent...

Heb je daar een bron voor?
http://dictionary.reference.com/search?q=dozen&r=67

Ik ken het namelijk, ook vanuit de states, als 12.

[Verwijderd]

Dido schreef op 20 januari 2004 @ 20:29:
[...]

UItzonderingen op het tientallif zijn van de taal, en daarmee een aanwijzing dta de taal niet tientallig is.
Het feit dat hogere telwoorden netjes aan regels voldoen zou eerder een gevolg zijn van geforceerde tientalligheid dan andersom
elf en twaalf zijn wel iets ouder dan de algemene invoering van een tientallig stelsel voor alle doeleinden. (Zo lang geleden is het niet dat we met ellen, ponden en voeten werkten. Wiskunde was aan de gewone man niet besteedt, en zijn geld werkt eook al niet tientallig: een gulden bestond uit 20 stuivers, niet uit honderd centen ).

Wat betrfet dertien en veertien heb je gelijk, dat bekt beter. Maar dat doet niets af aan het feit dat onze telwoorden elf en twaalf een taalkundige neiging naar een twaalftallig stelsel laten zien.

Historisch gezien geef ik je groot gelijk. (misschien wel interessant om uit te zoeken hoe het precies zit met elf en twaalf (indien mogelijk))
Maar, als we het binnen dit topic hebben over "het handigste getalstelsel", wilde ik met mijn observatie dat ons huidig gebruik van de telwoorden 10-tallig is dat getalstelsel een steuntje in de rug geven. (persoonlijk vind ik het 10-tallig systeem erg handig in huis-tuin-en-keuken gebruik )

(Maar ergens blijft het gevoel knagen dat ik je niet gelijk kan geven dat onze telwoorden eerder 12 dan 10-tallig zijn. Ik heb een sterk vermoeden dat de gemiddelde middeleeuwer (of nog veel eerder) heel anders met het getal 134 omging dan een gemiddeld iemand nu, en een nog sterker vermoeden dat een gemiddeld iemand nu veel meer (en verschillende) telwoorden gebruikt dan de gemiddelde middeleeuwer. Het bestaan van de telwoorden elf en twaalf (ik meen daar de een en de twee te bespeuren) en dozijn en gros, zijn voor mij geen reden om aan te nemen dat 'onze' telwoorden 12-tallig zijn (los van een historische achtergrond))

[CmdrKeen]

Dido schreef op 20 januari 2004 @ 20:30:
[...]

Heb je daar een bron voor?
http://dictionary.reference.com/search?q=dozen&r=67

Ik ken het namelijk, ook vanuit de states, als 12.

Leek me algemeen bekend. De juiste vertaling vanuit het Engels is ook (natuurlijk) 12, maar veel Amerikanen gebruiken het als 10.

[Dido]

Vilenin schreef op 21 januari 2004 @ 09:41:
Leek me algemeen bekend. De juiste vertaling vanuit het Engels is ook (natuurlijk) 12, maar veel Amerikanen gebruiken het als 10.

Ik heb er nog maar weinig Amerikanen op kunnen betrappen

Ook in films en -titels betekent het twaalf:
http://www.imdb.com/title/tt0349205/

de ftc gebruikt het als 12:
http://www.ftc.gov/bcp/conline/pubs/alerts/doznalrt.htm

Algemeen is het zeker niet

[Dido]

Verwijderd schreef op 20 januari 2004 @ 22:52:
Historisch gezien geef ik je groot gelijk.
[..]
Het bestaan van de telwoorden elf en twaalf (ik meen daar de een en de twee te bespeuren) en dozijn en gros, zijn voor mij geen reden om aan te nemen dat 'onze' telwoorden 12-tallig zijn (los van een historische achtergrond))

De telwoorden die wij nu gebruiken zijn uiteraard toegespitst op het tientallig stelsel, om de simpele reden dat we niet vast gaan houden aan dozijnen, stuivers, ellen en voeten als we verplicht met veelvouden van tien moeten werken.
De taal past zich dus aan het stelsel aan.

Daarmee is de taal natuurlijk geen argument voor dat talstelsel, het is een gevolg ervan!

Het enige dat er over blijft van je argument is dus dat het "lastig" zou zijn om om te schakelen naar een binair, of hexadecimaal taalgebruik, maar dat argument is al erg vaak voorbij gekomen.
Het is ons gelukt om over te schakelen op decimaal, dus zal hexadecimaal vast ook wel lukken als het nodig zou zijn.

[MikeyMan]

Met betrekking tot het handigste telsysteem, wil ik toch toevoegen dat wat mij betreft zeker wel de taal een groot probleem is... een getal als 175000 (honderdvijfenzeventigduizend) bekt toch een stuk beter dan 101010101110011000 (een-nul-een-nul-een-nul-een-nul-een-een-een-nul-nul-een-een-nul-nul-nul) Alleen daar zou ik al praatstoornissen van krijgen... En we kunnen dat dus geen 175000 gaan noemen, want dan moeten we alsnog een decimaal telsysteem erbij leren, en is het hele voordeel weg... Op papier is binair (of hex, of weet ik veel wat) misschien wel handig (afgezien van de hoeveelheid inkt en papier die het extra kost) maar in het dagelijks leven, waarbij je het toch nog weleens hebt over getallen (noem bijvoorbeeld eens een telefoonnummer op...) lijkt het me niet handig...

edit: bedenk me net ook dat het niet handig is voor het intikken van een telefoonnummer... Zit je een minuut of tien een telefoonnummer in te tikken voordat je iemand aan de lijn hebt Handig

[ Voor 14% gewijzigd door MikeyMan op 21-01-2004 12:53 ]

[Dido]

MikeyMan schreef op 21 januari 2004 @ 12:49:
Met betrekking tot het handigste telsysteem, wil ik toch toevoegen dat wat mij betreft zeker wel de taal een groot probleem is... een getal als 175000 (honderdvijfenzeventigduizend) bekt toch een stuk beter dan 101010101110011000 (een-nul-een-nul-een-nul-een-nul-een-een-een-nul-nul-een-een-nul-nul-nul)

Nee, hoor: dat spreek je anders uit.

1 is een
10 is twee
100 is vier

dus 111 is vier-en-twee-en-een.

Je komt wel sneller in de problemen dan decimaal, maar je spreekt 17500 niet uit als een-zeven-vijf-nul-nul.

[MikeyMan]

jah, en als je zo gaat beginnen, met één, twee en vier, heb je dus alsnog een decimaal getallenstelsel nodig... Dat was mijn punt al...

[Dido]

MikeyMan schreef op 21 januari 2004 @ 14:13:
jah, en als je zo gaat beginnen, met één, twee en vier, heb je dus alsnog een decimaal getallenstelsel nodig... Dat was mijn punt al...

Waarom heb je dan een decimaal stelsel nodig?

Binair zou je de tweetalen een, twee, vier, acht, koe, hond, paard, ezel kunnen noemen. Waarom je dan een decimaal stelsel nmodig hebt (linguistisch) is me een raadsel

Je krijgt, dara heb je gelijk in, wel langere namen voor grotere getallen, maar dat gaat voor het decimale stelsel ook op, hoewel het daar langzamer gaat (en het dus handiger is!).

[ Voor 17% gewijzigd door Dido op 21-01-2004 15:11 ]

[MikeyMan]

Nouja, mijn punt is vooral dat je in het geval van een binair stelsel toch altijd nog iets "ernaast" nodig hebt om bij te houden hoever je nou wel helemaal niet bent met je binaire getal... Een (nu) tien cijferig telefoonnummer zou dan misschien wel vier,vier,koe,acht,paard,hond,een,twee,ezel worden... (en waarschijnlijk langer...)
Dan lijkt me het huidige stelsel toch handiger...

[Dido]

MikeyMan schreef op 21 januari 2004 @ 17:41:
Nouja, mijn punt is vooral dat je in het geval van een binair stelsel toch altijd nog iets "ernaast" nodig hebt om bij te houden hoever je nou wel helemaal niet bent met je binaire getal... Een (nu) tien cijferig telefoonnummer zou dan misschien wel vier,vier,koe,acht,paard,hond,een,twee,ezel worden... (en waarschijnlijk langer...)
Dan lijkt me het huidige stelsel toch handiger...

Nee, waarom?
In het geval van het telefoonnummer heb je gelijk, maar dat speken we ook decimaal met losse cijfers uit, dat wordt dus wel een-nul-een-een, etc.

Maar voor een normaal getal geldt dat niet:

decimaal 83 is drie-en-tachtig
binair 11 is een-en-twee

decimaal 123 is honderd-(en)-drie-en-twintig
binair 111 is vier-(en)-een-en-twee

Volledig analoog aan elkaar. Het decimaal taalgebruik dat we bezigen is gewoon posiutie-gerelateerd, dat kun je met binair ook doen.

Telefoonnummers zijn een absurd voorbeeld, je spreekt je telefoonnummer nu ook niet uit als honderdeneenmiljoentweehonderdvierendertigduizendvijfhonderdzevenenzestig

Het enige nadeel, maar dat is al zo vaak gezegd, is dat je getallen erg snel belachelijk lang worden, en dat geldt ook voor de uitspraak. Maar het is wel mogelijk een zelfde sorrt logica te blijven toepassen als we nu met het decimale stelsel doen.

[ Voor 10% gewijzigd door Dido op 21-01-2004 17:59 ]

[benoni]

Als mensen een lange tijd (een aantal generaties lang) binair zouden rekenen denk ik dat het talstelsel toch een beetje 'vermenselijkt' wordt, bijvoorbeeld de getallen weergeven met de cijfers in groepjes van 4, dus 0101 1001 1000 en vervolgens namen voor deze combinaties bedenken, en ze schrijven als ligaturen (samengestelde tekentjes). Krijg je dus toch een verkapt hexadecimaal stelsel.

Addit: ik heb er ook wel aan zitten denken om computers juist menselijker te laten rekenen door per kbit maar 1000 waarden te adresseren en de overige 24 te gebruiken voor handige flags waarmee je bijv. aangeeft of het een letter of getal betreft, en waar je de bij een float getal de point moet plaatsen (zodat je een getal als 2340000000000.0 in 1 kbit kunt opslaan).

Edit: kbit moet zijn 10bit anders heeft 't weinig zin

[ Voor 40% gewijzigd door benoni op 22-01-2004 14:13 ]

[MikeyMan]

dat lijkt me een probleem aangezien computers alleen maar nullen en enen kan gebruiken (hoog/laag signaal in de electronica) Ze zijn naar mijn weten momenteel wel bezig aan circuits met 3 'states'... Maar ik weet niet hoever ze daarmee zijn... Dat zou dan 0, 1 en 2 (of iets in die richting) kunnen gaan gebruiken...

[Dido]

benoni schreef op 21 januari 2004 @ 22:01:
Addit: ik heb er ook wel aan zitten denken om computers juist menselijker te laten rekenen door per kbit maar 1000 waarden te adresseren en de overige 24 te gebruiken voor handige flags waarmee je bijv. aangeeft of het een letter of getal betreft, en waar je de bij een float getal de point moet plaatsen (zodat je een getal als 2340000000000.0 in 1 kbit kunt opslaan).

Waarom zou je? dat getal wordt nu al in een paar bytes opgeslagen

Bekijk maar eens hoe data wordt opgeslagen, en probeer dan het wiel nog maar eens uit te vinden

[benoni]

Dido: Met 'een paar bytes' kun je toch maximaal tot 65536? Of heb ik 't nou mis?

Edit: 2340000000000.0 zou een double float moeten worden, dus 36 64 bits. Met de bovenstaande methode kun je het getal 234 opslaan (met daarbij de juiste plaatsing van de komma) in een ruimte van 10 bits. Alleen zou je wel een radicaal andere processor instructieset moeten schrijven als je alles in groepjes van 10 bits wilt verwerken. Waarschijnlijk zou ook het geheugen en de bus anders werken als vanaf het begin het decimaal tellen op zo'n manier was geintregeerd.

[ Voor 84% gewijzigd door benoni op 22-01-2004 01:31 ]

[Dido]

benoni schreef op 22 januari 2004 @ 01:02:
Dido: Met 'een paar bytes' kun je toch maximaal tot 65536? Of heb ik 't nou mis?

Ik bedoelde met paar niet letterlijk twee, maar eerder een beperkt aantal (acht dus) in plaats van de genoemde 1000 bits

Met de bovenstaande methode kun je het getal 234 opslaan (met daarbij de juiste plaatsing van de komma) in een ruimte van 10 bits.

Die moet ik zien

Althans, dit specifieke getal lukt nog wel, maar doen nu eens 239? Of 999?

Het zoeken van getallen die je toevallig handiger op kunt slaan is natuurlijk triviaal.

Alleen zou je wel een radicaal andere processor instructieset moeten schrijven als je alles in groepjes van 10 bits wilt verwerken. Waarschijnlijk zou ook het geheugen en de bus anders werken als vanaf het begin het decimaal tellen op zo'n manier was geintregeerd.

Ga er maar vanuit dat het opslaan in groepjes van 10bits totaal geen zin heeft, behalve als je met specifieke voorbeelden gaat googelen (getallen waarin alleen cijfers <5 voorkomen )

Waarom denk je dat in computers het binair stelsel is ingevoerd? Omdat degenen die dat ding bouwden daar al hun hele leven mee werkten? Of omdat ze - ondanks dat ze zelf decimaal rekenden - het handiger vonden om computergeheugen, dat toch alleen maar 1 en 0 kent helemaal binair te laten rekenen?

[benoni]

De mensen die de eerste computers bouwden waren waarschijnlijk al blij als het ding binair kon rekenen en hadden waarschijnlijk helemaal niet de mogelijkheid om met 10-bits groepjes te werken. De instructieset zat niet in 1 processor ingebouwd zoals nu, daarentegen was er een soort van modulair systeem, waardoor vanaf het begin met een strikte scheiding tussen instructies en werkgegevens is geweest. Als de computer met 1000-tallen zou rekenen zou voor berekeningen een tweetraps methode toegepast moeten worden (1e trap=management voor het decimale getalgegoogel, 2e trap binair rekenen met 10bits getallen). OK je hebt dan geen losse floating point unit meer nodig, je kunt met supergrote getallen werken en je bent van de afrondingsfout bij grote getallen af, maar de processor groeit waarschijnlijk uit tot een F2CISC (far too complicated instruction set).

[Dido]

Maar goed, feit blijft dat in een binaire computer rekenen met 8, 10, 16, 48 of 64 bits groepen arbitrair is, en niets verandert aan je talstelsel (dat blijft binair).
En daar ging de topic over.

[benoni]

Dido, teruglezend zie ik dat ik je onbedoeld een beetje op een dwaalspoor gebracht met een misplaatste kbit -> ik bedoelde 10 bits maar dat kwam er niet goed uit.

Om even weer op het spoor van de discussie te geraken (goeie tip van je ) zet ik 't even op een rijtje:

-Status: mensen voeren waarden decimaal in, computer converteert ascii naar binair getal, voert berekeningen uit, rekent binair weer naar decimaal, toont resultaat.

-Topic alternatief: mensen gaan ook binair rekenen. Voordeel: kun je zonder vertaalslag communiceren met je computer. Nadeel: het is lastig om binaire getallen uit te drukken in spreektaal, en voor het berekenen moet je een andere set ezelsbruggen aanleren (dus geen rijtjes met tafels meer leren op de basisschool maar ander soort patroonherkenning op de binaire brij bits).

Maar zou het moeilijk zijn in de praktijk? Ik dacht: ik draai het probleem om, hoeveel moeite zou een computer moeten doen om echt decimaal te rekenen ondanks de binaire gegevensverwerking. Mijn gedachtenexpirement was een soort hybride oplossing; de computer op een directer niveau met decimale getallen laten werken door een decimaal getal uit te drukken in een 1000tallig stelsel dat je kunt opslaan in eenheden van 10 bits binair.

Andersom zouden mensen ook zo'n hybride oplossing maken; dat zie je nu al met octale en hexadecimale weergave.

[Dido]

benoni schreef op 22 januari 2004 @ 14:56:
Maar zou het moeilijk zijn in de praktijk? Ik dacht: ik draai het probleem om, hoeveel moeite zou een computer moeten doen om echt decimaal te rekenen ondanks de binaire gegevensverwerking.

Heel veel dus, want je stelt dat je het vertalen van de een naar de ander al te veel werk vindt. Dat moet toch plaatsvinden, op welk niveau dan ook.

Mijn gedachtenexpirement was een soort hybride oplossing; de computer op een directer niveau met decimale getallen laten werken door een decimaal getal uit te drukken in een 1000tallig stelsel dat je kunt opslaan in eenheden van 10 bits binair.

Wat je dus wilt bestaat al tientallen jaren: zoned decimal. Je getal wordt opgeslagen als volgt:

code:

byte 1 2 3 4 5 6 7 8
====================
high F F F F F F F C 
low  5 4 6 9 4 5 4 7

Hier zijn nogal wat variaties op mogelijk. In dit geval staat het laatste high halfbyte voor het teken. (C=+, D=-, F=unsigned)

Het voordeel is leesbaarheid, het grote nadeel is dat het meer geheugenruimte kost. Het feit dat geheugen steeds goedkoper wordt is geen argument: hoe groter de getallen zijn die in 1 slag verwerkt kunnen worden, hoie sneller je applicatie. Bij een vaststaande registergrootte is dus de vraag hoe je zo groot mogelijke getallen kunt opslaan in een x aantal bits. Guess what: binair is the ticket!
Ik kan in 8 bits binair 256 verschillende getallen opslaan. Als jij er meer kwijt kunt, mag je een Nobelprijs op gaan halen
Idem kan ik in 10 bits 1024 getallen opslaan, hoeveel kun jij er kwijt?

Andersom zouden mensen ook zo'n hybride oplossing maken; dat zie je nu al met octale en hexadecimale weergave.

Precies, of de omzetting van de uitkomsten door de computer naar een decimale notatie. Bij berekeningen is de uiteindelijke weergave niet hetgeen dat tijd kost, dus waarom zou je het willen veranderen?

[benoni]

Dido: Idem kan ik in 10 bits 1024 getallen opslaan, hoeveel kun jij er kwijt?

In mijn gedachtenexperiment ging ik uit van 1000. Met de in overige 24 waarden flags voor bv. floating point, de maximale fout of de breedte van het getal. Met dat laatste bedoel ik dat je die breedte van een getal variabel zou kunnen maken, dus 5203892.583 opslaan als 005*10^6 + 203*10^3 + 892*10^0, + 583*10^-3 (kost je dus 4x10bits) en 3 opslaan als 003*10^0 (1x10 bits). Dat is in ieder geval al efficienter dan zoned decimal (als ik je schema goed begrijp).

Dido: Bij berekeningen is de uiteindelijke weergave niet hetgeen dat tijd kost, dus waarom zou je het willen veranderen?

Een goede reden zou kunnen zijn de afrondingsfouten die de computer maakt bij het verwerken van grote getallen (die op zich wel verklaarbaar zijn, maar voor mensen zo vreemd kunnen overkomen omdat je als je hetzelfde in een tientallig stelsel narekent helemaal niet tegen zo'n fout aanloopt). Zie hier op tweakersnet voor een discussie hierover.

Maar even voor de goede orde: 't is gewoon een gedachtenspinsel hoor, ook al is de opslag van getallen nog redelijk efficient, ik verwacht zeker niet dat berekeningen snel worden uitgevoerd. Het lijkt me vreselijk moeilijk om code voor een processor te moeten bedenken die het uberhaupt mogelijk maakt om op zo'n manier met getallen te rekenen. Maar misschien is het voor wiskundigen en boekhouders wel praktisch. Voor gewoon computergebruik is het onlogisch; de gemiddelde processor-intensieve taak die een computer tegenwoordig voor zijn kiezen krijgt is iets op grafisch gebied, bv. GUI, Photoshop, spelletjes. Dan zit je alleen met waarden te werken die, zoals je al zegt, binnen een vaststaande registergrootte vallen, dus het zou inderdaad gek zijn om niet binair te werken.

[Dido]

benoni schreef op 23 januari 2004 @ 02:24:
In mijn gedachtenexperiment ging ik uit van 1000. Met de in overige 24 waarden flags voor bv. floating point, de maximale fout of de breedte van het getal.

je kunt bits gebruiken als flags, als je 10-bit waarden gebruikt, kost het je tien bits, en heb je geen ruimte meer voor een getal:

Met dat laatste bedoel ik dat je die breedte van een getal variabel zou kunnen maken, dus 5203892.583 opslaan als 005*10^6 + 203*10^3 + 892*10^0, + 583*10^-3 (kost je dus 4x10bits) en 3 opslaan als 003*10^0 (1x10 bits). Dat is in ieder geval al efficienter dan zoned decimal (als ik je schema goed begrijp).

Hoe wil jij 892*10^0 opslaan in tien bits?
Goed, dat kan, maar je kiest weer mooie waardes. Hoe sla je 892*10^-3 op in tien bits?

Het feit dat je ervan uitgaat maar 1000 waarden op te slaan in 10 bits, betekent niet dat je 24 "flags"hebt. Als je 1 flag gebruikt heb je nog maar 9 bits over! (512 waarden).

Uiteraard zijn er veel efficientere methoden dan zoned decimal: die wordt ook alleen maar gebruikt als representatie, niet om mee te rekenen. Een voordeel is wel dat F0-F9 in EBDIC ook de karakters 0 tot 9 vertegenwoordigen, zodat omzetten naar karakters niet meer nodig is.

Jou getal kan in minder dan 40 bits worden weergegeven:

33 bits voor 5203892583: 100110110001011010001100101100111
1 bit voor sign : 0
2 bits voor 3 (10^-3) : 11
1 bit voor het sign van de -1: 1

37 bits, dezelfde functionaliteit als die jij hebt, want je slaat even hard enen en nullen op als ik. 892 in 10 bits ziet er natuurlijk niet uit als 892.

Hoe zou jij het opslaan? (Als ik verkeerd interpreteer hoor ik het graag)

groep 1: 005*10^6, 10 bits

005: 000101
6: 110
+: 0

groep 2: 203*10^3 (lukt niet in 10 bits!)

203: 11001011 (8 bits!)
3: 011
+: 0

groep 3: 892*10^0 (lukt ook niet in 10 bits!)

892: 1101111100 (10 bits!)
0: 000
+: 0

groep 4:583*10^-3 (lukt ook niet in 10 bits!)

583: 1001000111 (10 bits!)
3: 011
-: 1

Of laat je de coefficenten weg, en werk je alleen met de getallen, en voeg nog eens tien bits toe voor cijfer en coefficent?

Dan wordt het dus

0000000101
0011001011
1101111100
1001000111
Met, laten we zeggen:

+: 0 (teken grondtal)
3: 11
-: 1

dus 0000000111

Waarom is
00000001010011001011110111110010010001110000000111
duidelijker dan
1001101100010110100011001011001110111

Een goede reden zou kunnen zijn de afrondingsfouten die de computer maakt bij het verwerken van grote getallen (die op zich wel verklaarbaar zijn, maar voor mensen zo vreemd kunnen overkomen omdat je als je hetzelfde in een tientallig stelsel narekent helemaal niet tegen zo'n fout aanloopt). Zie hier op tweakersnet voor een discussie hierover.

En hoe raak je dat nu kwijt?

[ Voor 13% gewijzigd door Dido op 23-01-2004 11:43 ]

[benoni]

Je hebt gelijk! Ik zat me helemaal rijk te rekenen met de 24 overgebleven waarden... het enige nuttige waarvoor je die zou kunnen gebruiken zijn de waarden die in plaats van het getal komen, zoals oneindig, pi, e, idle, none, error enzo.

Dus zit er niets anders op dan zoals je zegt een groot getal simpelweg als een reeks van 10-bits getallen achter neer te zetten, al of niet voorafgegaan door een instructie voor komma en negatieve waarde. Per 10 bits wordt wel een decimale (of 'kilomale'?) waarde uitgedrukt, waardoor het getal voor mensen wel sneller te ontleden is --> als de hele computer op zo'n 10-bits systeem gebaseerd is zou je een lettertype kunnen maken die geheugenwaarden zonder conversie als decimaal getal laat zien (kwestie van 3 cijfers in 1 letterteken combineren). Het is dus wel een stukje menselijker, maar de efficiency van de computer zelf kun je er zeker niet mee verbeteren...

Voor wat betreft de afrondingsfouten: normaal is het voor de mens het delen door 10 een kwestie van komma verschuiven, en moet de computer een berekening gaan maken. Als de computer getallen volgens bovenstaande methode gebruikt, dus getallen uitsplitst per macht van 1000, en daarmee pas binair gaat rekenen (over effeciency gesproken - 10 bits getallen op je 64-bits processor ) dan moet je er volgens mij wel rekenmethodes eroverheen leggen die lijken op menselijk rekenen, en ook dezelfde afrondingsfouten produceren (het F2CISC idee).

[Dido]

Dan krijg je inderdaad F2CISC, aangezien je natuurlijk je voordeel van eenvoudige delen door 2 (en machten van 2!) niet op wilt geven, moet je dan eerste een afweging gaan maken welke instructieset je voor welke berekening gaat gebruiken, ik ben bang dat je netto geen winst gaat behalen

[Confusion]

benoni schreef op 22 januari 2004 @ 13:13:
De mensen die de eerste computers bouwden waren waarschijnlijk al blij als het ding binair kon rekenen en hadden waarschijnlijk helemaal niet de mogelijkheid om met 10-bits groepjes te werken.

Een groepje van 10 binaire bits bedoel je?

We rekenen binair omdat de fundamentele elementen die een getal representeren slechts 2 waarden aan kunnen nemen. Elke computer waarin dat zo is rekent inherent binair, ongeacht de franje waarmee je het ding optuigt. Volgens mij is er nog nooit een machine gebouwd waarvan de fundamentele elementen bijvoorbeeld drie verschillende waarden konden hebben.

[benoni]

Als Einstein alleen maar uitging van waar men op dat moment mee werkte, had ie dan zo'n eind vooruit kunnen denken? Dit draadje is toch vooral een uitnodiging om de boel (talstelselmatig) eens helemaal op zijn kop te zetten en daarmee verder te filosoferen?

Edit: 3-tallig is nog in de maak (zoals MikeyMan al schreef)

Ze zijn naar mijn weten momenteel wel bezig aan circuits met 3 'states'... Maar ik weet niet hoever ze daarmee zijn... Dat zou dan 0, 1 en 2 (of iets in die richting) kunnen gaan gebruiken...

Voor een 10-tallige machine moeten we juist een stukje terug in de geschiedenis:
Pascal's calculateur.

[ Voor 58% gewijzigd door benoni op 24-01-2004 15:08 ]

[Confusion]

benoni schreef op 24 januari 2004 @ 14:24:
Als Einstein alleen maar uitging van waar men op dat moment mee werkte, had ie dan zo'n eind vooruit kunnen denken? Dit draadje is toch vooral een uitnodiging om de boel (talstelselmatig) eens helemaal op zijn kop te zetten en daarmee verder te filosoferen?

Natuurlijk, maar dan moet je het wel heel fundamenteel aanpakken. Je kan het absoluut niet proberen uit te leggen op basis van bestaande computers: die zijn inherent tweewaardig. Als je iets anders wilt, moet je eerst een goed alternatief voor de tweewaardige logica ontwikkelen. Dat is al een formidabele taak. Dan moet je die nog technisch implementeren, zonder stiekem tweewaardig logische systemen te gebruiken. Dat is zo mogelijk nog lastiger.

Pascal's machine is mechanisch en zou als computer nooit de rekencapaciteit van huidige computers kunnen bereiken. Voor elk rekensysteem is heel vaak van belang: is het antwoord op een bepaalde vraag True of False? In Pascal's geval zou een 'bit' (een wiel met 10 mogelijke standen) dan 8 waarden ongebruikt laten. Zou je op 1 wiel drie true/false tegelijk willen weergeven, dan ben je stiekem toch met tweewaardige logica bezig. Hopeloos inefficient, zolang je niet daadwerkelijk getallen aan het optellen bent. En zelfs dan is het maar de vraag hoeveel true/false assertions er eigenlijk in allerlei algoritmes optreden.

[benoni]

Mmm ja, als computers van het binaire zwart/wit denken afstappen, komt dat waarschijnlijk aan bod bij biologische processors, en dan in de vorm van het werken met analoge gegevens die een relatieve waarde aangeven maar niet absoluut hoeven te zijn.

Uit het gedachtenexpiriment (dank jullie hartelijk voor medewerking) kunnen we de conclusie trekken dat voor exacte berekeningen de binaire rekenwijze de juiste basis geeft, en dat het dieper implementeren van het tientallig stelsel in de processor niet handig is.

Dat brengt ons weer helemaal op het spoor van deze topic: kunnen de mensen niet beter binair gaan rekenen? Ik weet zeker dat onze hersenen niet zitten te wachten op het werken met een brij enen en nullen; ons herkenningsvermogen is meer gericht op het uit elkaar houden van verschillende objecten (liefst gegroepeerd) dan op het tellen van een lange rij gelijksoortige objecten. We zouden wel op basis van een binaire structuur kunnen rekenen, maar de notatie moet toch octaal of hexadecimaal.

Om het een beetje tastbaar te maken, een voorstel voor de notatie en uitspraak (met wat aanpassingen en toevoegingen om verwarring met tientallig te voorkomen). De tekentjes uit de eerste kolom moeten natuurlijk samen een goed schrijf- en tikbaar cijferteken gaan vormen.

code:

hexis  binair  zegswijze   +16          *16

oo     0000    nul         tween        nul
o-     0001    een         eentween     tween
o=     0010    twee        twentween    twentig
o*     0011    drie        drittween    drittig
-o     0100    vier        viertween    viertig
--     0101    vif         viftween     viftig
-=     0110    zis         zistween     zistig
-*     0111    zef         zeftween     zeftig
=o     1000    acht        achttween    achtig
=-     1001    neen        neentween   neentig
==     1010    tien        tientween    tientig
=*     1011    elf         elftween     elftig
*o     1100    twaalf      twaalftween  twaalftig
*-     1101    derf        derftween    derftig
*=     1110    varf        varftween    varftig
**     1111    veef        veeftween    veeftig

Edit: dat je al een hexadecimale notatie hebt weet ik, maar deze vind ik veel te verwarrend voor gebruik in combinatie met tekst en tientallig.

[ Voor 4% gewijzigd door benoni op 24-01-2004 17:36 ]

[EnsconcE]

benoni schreef op 24 januari 2004 @ 17:21:
Mmm ja, als computers van het binaire zwart/wit denken afstappen, komt dat waarschijnlijk aan bod bij biologische processors, en dan in de vorm van het werken met analoge gegevens die een relatieve waarde aangeven maar niet absoluut hoeven te zijn.

Uit het gedachtenexpiriment (dank jullie hartelijk voor medewerking) kunnen we de conclusie trekken dat voor exacte berekeningen de binaire rekenwijze de juiste basis geeft, en dat het dieper implementeren van het tientallig stelsel in de processor niet handig is.

zelfs neit eens mogelijk, ik heb niet het hele topic doorgelezen, wat ik wel weet is dat een computer aan of uit kan, meer niet. vanuit daaruit hebben wij idd een zeer vernuftig telstysteem ontwikkeld waarvan de computer echt geen snars snapt(doen wij dat wel van onze hersenen?).

Dat brengt ons weer helemaal op het spoor van deze topic: kunnen de mensen niet beter binair gaan rekenen? Ik weet zeker dat onze hersenen niet zitten te wachten op het werken met een brij enen en nullen; ons herkenningsvermogen is meer gericht op het uit elkaar houden van verschillende objecten (liefst gegroepeerd) dan op het tellen van een lange rij gelijksoortige objecten. We zouden wel op basis van een binaire structuur kunnen rekenen, maar de notatie moet toch octaal of hexadecimaal.

zeer mooi om anders te gaan tellen, maar eerlijk gezegd kan ik mezelf niet ombatterijen tot het biniair tellen, ik werk altijd terug naar (mn basis) het tientallig stelsel. maar is mijn basis wel school? kijk es voor de gein naar je handen. als we (omstreden?) evolutietheoretisch bezig gaan lijkt het mij ook dat de hersenen zich hebben aangepast aan z'n mogelijkheden. mocht dat neit zo zijn en willen wij naar het binair stelsel dan betekent dat meer aanpassingen in het dagelijks leven dan je voor mogelijk houd.

[benoni]

EnsconcE, als je wel eventjes snel door de pagina's was heengerold, dan had je kunnen lezen dat het tientallig tellen aangeleerd is; in het middeleeuwse Europa was 12-tallig tellen veel populairder (waar we de 24-uurs klok en woorden als dozijn en mud gros aan over hebben gehouden).

Addit: Maar de Engelse bevolking zal je zeker gelijk geven: die zijn net met veel moeite van hun antieke half-12-tallige gewichtenstelsel overgegaan naar 10-tallig metrisch, en staan vast niet in de rij voor onze hexacombinair overgehaalde verzinsels Maar goed 't ging voor ons vooral om het idee, om je eens voor te stellen hoe het had kunnen wezen.

[ Voor 43% gewijzigd door benoni op 24-01-2004 20:51 ]

[Verwijderd]

benoni schreef op 24 januari 2004 @ 20:40:
EnsconcE, als je wel eventjes snel door de pagina's was heengerold, dan had je kunnen lezen dat het tientallig tellen aangeleerd is; in het middeleeuwse Europa was 12-tallig tellen veel populairder (waar we de 24-uurs klok en woorden als dozijn en mud gros aan over hebben gehouden).

Hier wil ik toch nog op reageren.

Dido stelt dat het tientallig tellen aangeleerd is omdat er uitzonderingen zijn in de tientalligheid van onze telwoorden, zoals 'elf' en 'twaalf'.

Maar dat doet niets af aan het feit dat onze telwoorden elf en twaalf een taalkundige neiging naar een twaalftallig stelsel laten zien.
Het feit dat hogere telwoorden netjes aan regels voldoen zou eerder een gevolg zijn van geforceerde tientalligheid dan andersom

Nu beaam ik direct dat onze telwoorden vanaf 20 (zeker vanaf 100, met uitzondering van 'honderd' en 'duizend') keurig in het 10-tallig stramien passen en in die zin "geforceerd" zijn (ook als je naar noviteiten als 'miljoen(/miljard)', 'biljoen', 'triljoen', 'quadriljoen' etc. kijkt), maar ik vind ook dat dat voortvloeit uit de opbouw/historie van de eerste telwoorden van een (qua taal) 10-tallige cultuur.

The decimal system of counting is well established in the English names for numbers. Both the suffix –teen (as in fourteen) and the suffix –ty (as in forty) are related to the word ten. But what about the anomalous eleven and twelve? Why do we not say oneteen, twoteen along the same pattern as thirteen, fourteen, fifteen? Eleven in Old English is endleofan, and related forms in the various Germanic languages point back to an original Germanic *ainlif, “eleven.” *Ainlif is composed of *ain–, “one,” the same as our one, and the suffix *–lif from the Germanic root *lib–, “to adhere, remain, remain left over.” Thus, eleven is literally “one-left” (over, that is, past ten), and twelve is “two-left” (over past ten).
The American Heritage® Dictionary of the English Language: Fourth Edition. 2000.

Dus, je hebt je tien vingers volgeteld en er staat nog een schaap voor het hek, ainlif/één blijft over. Zoals eerder opgemerkt, het Frans telt zo door tot 16, het Litouws helemaal tot 19. Waarom zou het bestaan van het woord 'twaalf' dan eerder wijzen op een 12-tallig zijn van onze telwoorden, en waarom is mij dan geen ander woord voor 'vierentwintig' bekend (of 32 voor de Fransen)?
(Ironisch genoeg vermeldt een Nederlands etymologisch <a href="http://www.etymologie.nl/">woordenboek</a> naast bovenstaande uitleg van 'eleven' een klaarblijkelijk bestaan van een 12-tallig stelsel naast een 10-tallig stelsel (in mijn ogen onterecht, ha!)).
Ik kan mij moeilijk voorstellen dat er een tijd is geweest dat men wel een woord had voor 12 (en 12-tallig was), maar nog niet voor 13, of 21 (het eerste echte "geforceerde" telwoord imo), al is dat moment er zeker geweest.
En ja, natuurlijk waren er ook 12-tallige stelsels (bij meten en wegen oa, ik weet zo geen voorbeelden overigens [dom van mij]), maar ik vind daar geen sporen van terug in onze telwoorden. Het woord 'dozijn' komt overigens weer van 'twaalf' (simpel gezegd), en 'gros' komt neer op 'gezwollen dozijn' (net zoals 'duizend' 'gezwollen honderd' betekent).

Als ik zoek naar het ontstaan van talstelsels, kom ik steeds dezelfde indeling tegen, (bijna) alle gerelateerd aan het menselijk lichaam (van eenvoudig naar complex): 2-tallig (1, 2, veel), 5-tallig (vingers aan een hand), 10-tallig (vingers), 20-tallig (vingers en tenen, in warme klimaten) en 60-tallig (knokkeltellen, 12 knokkels/kootjes aan de ene hand (duim doet niet mee) maal 5 vingers aan de andere hand). Uiteraard zijn er ook andere systemen, zoals het 30-tallige vingertellen van Confusion [hoe dan precies?].
De Babyloniërs deden 60-tallig (@ benoni, hier komt onze uur/minuut/seconde verdeling vandaan), Egyptenaren deden 10-tallig, net zoals de Chinezen en de Indiërs, en de Mayanen (die in Midden-Amerika) deden 20-tallig (opmerkelijk is dat bij de notatie van hun getallen Mayanen eenheden en vijftallen gebruikten en de Babyloniërs eenheden en tientallen) en de Romeinen en Grieken rommelden wat aan (5 en 10-tallig, met niet te versmaden resultaten overigens). Er zullen ongetwijfeld ook voorbeelden zijn van 12-tallige en andere culturen, ik ben 2 (niet nader geduide) bevestigingen daarvan tegen gekomen.


@Dido

Ik ben het helemaal met je eens als je stelt dat er "a priori" geen beste talstelsel is (octaal, iemand?) omdat talstelsels relatief en kunstmatig zijn en omdat "een" beste talstelsel, indien mogelijk, helemaal afhangt van de situatie waar je het wilt toepassen.
Echter, in de context [volgens mij doe ik niet aan het nieuwe Groene Boekje] van dit topic (het beste talstelsel om aan kinderen te leren), wilde ik wijzen op het belang van taal (imo in ons geval 10-tallig) en op mijn mening dat in huis-tuin-en-keuken gebruik het 10-tallig stelsel vooralsnog handig/toereikend is (en voordelen van een ander stelsel vooralsnog niet opwegen tegen de nadelen van een switch).
Ik ben er zeker voor om in het onderwijs in een vroeg stadium andere talstelsels te introduceren (ook in de hoop dat het inzicht verdiept wordt). Verder vind ik het niet onwaarschijnlijk dat we in de toekomst overstappen naar een ander talstelsel, met andere telwoorden.

Maar waarom zouden onze huidige telwoorden taalkundig niet 10-tallig zijn? Het enige wat ik kan doen met jouw argumentatie dat ze 12-tallig zijn, is aannemen dat er een tijd is geweest dat men niet verder telde dan 'twaalf' (een 'dozijn') en men geen grotere aantallen kon behappen dan 144, een 'gros' (of je moet gaan voor:"Zeg Jaerl, volgens mij liggen er meer dan zeven-dozijn-gros-gros-en-3-dozijn-en-negen zandkorrels op tafel"). Op het moment dat het telwoord 'dertien' werd gebruikt werden onze telwoorden 10-tallig.


[Hoelang zou het geduurt hebben, van 'elf'-'twaalf' naar 'dertien'?]

[Dido]

Verwijderd schreef op 28 januari 2004 @ 00:10:
Nu beaam ik direct dat onze telwoorden vanaf 20 (zeker vanaf 100, met uitzondering van 'honderd' en 'duizend') keurig in het 10-tallig stramien passen en in die zin "geforceerd" zijn (ook als je naar noviteiten als 'miljoen(/miljard)', 'biljoen', 'triljoen', 'quadriljoen' etc. kijkt), maar ik vind ook dat dat voortvloeit uit de opbouw/historie van de eerste telwoorden van een (qua taal) 10-tallige cultuur.

Je realiseert je dat in veel oude talen dat wat nu vertaalt wordt al 1000 oorspronkelijk eigenlijk "erg veel" betekende?

(Ironisch genoeg vermeldt een Nederlands etymologisch woordenboek naast bovenstaande uitleg van 'eleven' een klaarblijkelijk bestaan van een 12-tallig stelsel naast een 10-tallig stelsel (in mijn ogen onterecht, ha!)).

Als (ha!) je dat onterecht vindt, wat zijn je argumenten?

Ik kan mij moeilijk voorstellen dat er een tijd is geweest dat men wel een woord had voor 12 (en 12-tallig was), maar nog niet voor 13, of 21 (het eerste echte "geforceerde" telwoord imo), al is dat moment er zeker geweest.

Moeilijk voorstelbaar... wat is het verschil (behalve 44 schapen) tussen "ik heb 12 keer 12 schapen" en "ik heb "10 keer 10 schapen" ?

En ja, natuurlijk waren er ook 12-tallige stelsels (bij meten en wegen oa, ik weet zo geen voorbeelden overigens [dom van mij]), maar ik vind daar geen sporen van terug in onze telwoorden.

Moet je eens opletten: je noemt er zo zelf een goede

Als ik zoek naar het ontstaan van talstelsels, kom ik steeds dezelfde indeling tegen, (bijna) alle gerelateerd aan het menselijk lichaam (van eenvoudig naar complex): 2-tallig (1, 2, veel), 5-tallig (vingers aan een hand), 10-tallig (vingers), 20-tallig (vingers en tenen, in warme klimaten) en 60-tallig (knokkeltellen, 12 knokkels/kootjes aan de ene hand (duim doet niet mee) maal 5 vingers aan de andere hand). Uiteraard zijn er ook andere systemen, zoals het 30-tallige vingertellen van Confusion [hoe dan precies?].

60=5 (vingers) x 12 knokkels[/b]
Sorry, maar het lijkt me vrij duidelijk dat het 12-tallig stelsel zeer zeker vrij oorspronkelijk is.

Ik ben het helemaal met je eens als je stelt dat er "a priori" geen beste talstelsel is (octaal, iemand?)

Nope, 12 heeft meer delers. Delen door drie is makkelijekr in het 12-tallig stelsel

Maar waarom zouden onze huidige telwoorden taalkundig niet 10-tallig zijn? Het enige wat ik kan doen met jouw argumentatie dat ze 12-tallig zijn, is aannemen dat er een tijd is geweest dat men niet verder telde dan 'twaalf' (een 'dozijn') en men geen grotere aantallen kon behappen dan 144, een 'gros' (of je moet gaan voor:"Zeg Jaerl, volgens mij liggen er meer dan zeven-dozijn-gros-gros-en-3-dozijn-en-negen zandkorrels op tafel"). Op het moment dat het telwoord 'dertien' werd gebruikt werden onze telwoorden 10-tallig.

Da's natuurlijk net zo'n onzin als stellen dat we niet tientallig tellen omdat we telwoorden boven de tien gebruiken.

We gebruiken het telwoord dertien. Oh dan tel je niet decimaal.

Precies

[Soultaker]

Dido schreef op 28 januari 2004 @ 01:23:
Nope, 12 heeft meer delers. Delen door drie is makkelijekr in het 12-tallig stelsel

Maar delen door 5 is makkelijker in het tientallig stelsel! 12 heeft 2, 2 en 3 als priemfactoren. 10 heeft 2 en 5 als priemfactoren. Het aantal verschillende priemfactoren is gelijk en de belangrijke factor 2 zit er in beide gevallen in. Of het dubbel voorkomen van 2 in het geval van 12 een voordeel heeft, vind ik niet zo duidelijk. Ik zou er zelf geen kunnen noemen.

Da's natuurlijk net zo'n onzin als stellen dat we niet tientallig tellen omdat we telwoorden boven de tien gebruiken.

We gebruiken het telwoord dertien. Oh dan tel je niet decimaal.

Het punt was juist dat met het gebruik van het telwoord 'dertien' wél decimaal geteld wordt. Ik vind daar ook wel wat in zitten. Het decimale talstelsel brengt een hiërarchie aan in de getallen: eenheden, tientallen, hondertallen, enzovoort. Op het moment dat je alle getallen afzonderlijk een naam geeft (een, twee, drie, ..., tien, elf, twaalf, foo, bar, baz) heb je nog helemaal geen hiërarchie; je hebt simpelweg een directe aanduiding voor elk getal.

Wanneer je de opsplitsing maakt in tientallen en eenheden (zoals bij dertien min of meer het geval is: drie-en-tien, maar nog meer bij getallen als een-en-twintig) heb je juist wel een hiërarchische naamgeving gecreëerd, met basis 10. Het ligt dan voor de hand om ook met hondertallen, duizendtallen, en ga zo maar door te gaan werken.

[ Voor 25% gewijzigd door Soultaker op 28-01-2004 02:43 ]

[Dido]

Soultaker schreef op 28 januari 2004 @ 02:40:
Maar delen door 5 is makkelijker in het tientallig stelsel! 12 heeft 2, 2 en 3 als priemfactoren. 10 heeft 2 en 5 als priemfactoren. Het aantal verschillende priemfactoren is gelijk en de belangrijke factor 2 zit er in beide gevallen in. Of het dubbel voorkomen van 2 in het geval van 12 een voordeel heeft, vind ik niet zo duidelijk. Ik zou er zelf geen kunnen noemen.

Delen door drie komt vaker voor dan delen door twee.
Het aantal verschillende priemfactoren is een interessante factor, maar het aantal echte delers lijkt me eigenlijk belangrijker (10: 2, 5) (12: 2, 3, 4, 6).

Het punt was juist dat met het gebruik van het telwoord 'dertien' wél decimaal geteld wordt. Ik vind daar ook wel wat in zitten.

Maar tellen we decimaal wegens het woord dertien, of hebben we het woord dertien wegens decimaal tellen?

Het decimale talstelsel brengt een hiërarchie aan in de getallen: eenheden, tientallen, hondertallen, enzovoort. Op het moment dat je alle getallen afzonderlijk een naam geeft (een, twee, drie, ..., tien, elf, twaalf, foo, bar, baz) heb je nog helemaal geen hiërarchie; je hebt simpelweg een directe aanduiding voor elk getal.

Waarom wordt er altijd vanuit gegaan dat positionele hiërarchie typisch decimaal is
Dat we er geen woorden voor hebben betekent niet dat je in een dodecimaal stelsel geen eenheden, twaalftallen, 144-tallen, etc. hebt. Die zou je dan overigens aan kunen duiden als tientallen en honderttallen, als je maar weet dat tien₁₂=12₁₀.

Ook binair geldt datzelfde systeem: in het getal 111₂ staat de eerste 1 voor een 4-tal.

Wanneer je de opsplitsing maakt in tientallen en eenheden (zoals bij dertien min of meer het geval is: drie-en-tien, maar nog meer bij getallen als een-en-twintig) heb je juist wel een hiërarchische naamgeving gecreëerd, met basis 10. Het ligt dan voor de hand om ook met hondertallen, duizendtallen, en ga zo maar door te gaan werken.

Of je creeert eerst die hierarchie, en verzint vervolgens het getal dertien, drieentwintig, etc. Niets ligt voor de hand, je kunt wat jij beschrijft zelfs met grondtal 13 doen.

[Lustucru]

Het lijkt mij dat die hele discussie over delers er hier weinig toe doet. We praten over de representatie van getallen en niet over de getallen zelf. 12 is deelbaar door 6 en of je nu 12 noteert als 10^1+2*10^0 ('12'), als 12*16^0 ('C'), of als 1*12^1+ 0 * 12^0 ('10') maakt mi niet zoveel uit. Waarom zou 12/2=6 moeilijker zijn dan C/2=6, of zelfs 10/2=6? Wel verwarrend hoor...

tellen is een kwestie van groeperen. Historisch zie je dat dat groeperen in eerste instantie aansloot bij de dagelijkse praktijk of biologische/natuurkundige fenomenen. (oxshoofd, vat,magnum, pK,morgen, dag, maand, stone, uur (als afstandsmaat), en I,V,X). Uit samenhangende grootheden ontstaat dan iets wat je met enige goede wil een getallenstelsel zou kunnen noemen, maar liever noem ik dat een eenhedenstelsel. Rekenkundig meestal en rampenplan, en het voordeel van de aansluiting bij de praktijk verdwijnt volledig bij abstracte rekenkundige problemen.

De enige fatsoenlijke getallenstelsels die die naam verdienen zijn dan alleen de stelsels die gebaseerd zijn op de machten van een grondtal. (decimaal, hexadecimaal etc etc). Als binair het ei van columbus zou zijn, dan is unair natuurlijk een complete legbatterij: Wat is er mooier, eenvoudiger en handiger dan gewoon streepjes zetten? En waarom werkt dat niet?

Simpel: een mens heeft moeite met lange tekenreeksen. Het grondtal moet dus groot genoeg zijn om een relevante grootheid in een beperkt aantal tekens uit de drukken. Anderzijds mag het grondtal niet te groot zijn: we kunnen maar een beperkt aantal 'objecten' in een keer overzien en we hebben net zoveel symbolen nodig als ons grondtal. Het verschil tussen 7 en 8 vingers is voor de meeste onder ons direct te zien; het verschil tussen 33 en 34 vingers zal bijna iedereeen tot tellen nopen. Bovendien is een supergroot grondtal overkill. Met zeven posities kan ik decimaal 10 miljoen verschillende getallen weergegeven; met grondtal 20 zit ik dan op 1,28 miljard, terwijl ik voor dezelfde 10 miljoen toch nog 6 posities nodig heb.

Uit onderzoek naar interfaces en menustructuren blijkt een menulengte tussen 7 en 12 posities optimaal te zijn. Dat wordt in een keer overzien. Het tientallig stelsel is zo gek nog niet. Historisch heeft het dan nooit enige serieuze concurentie gehad en ik geloof er geen nsars van dat wij het nog meemaken dat daar verandering in komt.

Dozijn en gros is geen volwaardig getalstelsel te noemen omdat het voor tussenliggende waarde terugvalt op het decimale systeem. Het enige actueel gebruikte getalstelsel met een historische achtergrond is het octale/hexadecimale stelsel: de byte is afkomstig uit de 7 bits + controlebit die nodig waren om voor de telex ons alfabet te coderen. chr(9?)=Bell.

[ Voor 11% gewijzigd door Lustucru op 28-01-2004 20:46 ]

[Verwijderd]

Dido schreef op 28 januari 2004 @ 01:23:
Je realiseert je dat in veel oude talen dat wat nu vertaalt wordt al 1000 oorspronkelijk eigenlijk "erg veel" betekende?

Jazeker, zo gebruikten de Grieken hiervoor 'myriad', later werd dit vervangen door het symbool 'M' (10.000). Mij lijkt het logisch dat, als je kijkt naar de ontstaansgeschiedenis van tellen/talstelsels, je in het begin snel een onbepaald telwoord of begrip krijgt voor "erg veel" (bomen in het bos, grassprieten in de wei etc.). Later, als de praktijk je dwingt om te gaan met grote hoeveelheden dingen die telbaar moeten zijn, wordt "erg veel" als een bepaald telwoord gebruikt, bv voor 1000. (Misschien wordt een talstelsel "volwassen" als men er eindeloos mee door kan tellen en "erg veel" in het stelsel een plaats krijgt.)
Maar goed, volgens mij komt ons 'duizend' van:

teu-. To swell. Oldest form *teu2-.
Derivatives include thigh, thousand, thimble, tumor, butter, and tomb.
1. Extended form *teuk-. thigh, from Old English thoh, thigh, from Germanic *theuham, “the swollen or fat part of the leg,” thigh. 2. Extended form *ts-. thousand, from Old English thsend, thousand, from Germanic compound *ths-hundi-, “swollen hundred,” thousand (*hundi-, hundred; see dek).
The American Heritage® Dictionary of the English Language: Fourth Edition. 2000.

(helaas zijn hierboven enige fonetische tekens niet meegeplakt)

Dido schreef op 28 januari 2004 @ 01:23:
Als (ha!) je dat onterecht vindt, wat zijn je argumenten?

Het Etymologisch Woordenboek zegt het volgende:

elf 1 telw. ‘11’
categorie: geleed woord, erfwoord
Mnl. in elften ‘elfde’ [1220–1240; CG I, Aiol], ellef ‘elf’ [1263–70; CG II, Lut.K], elf [1286; CG I, 1161].
Os. ellevan, ohd. einlif, ofr. andlova, alleva, elleva; oe. en(d)lefan, endlifan; on. ellefo; got. ainlibim; < pgm. *ainlif ‘elf’.
Meestal opgevat als samenstelling van de elementen pgm. *ain- (zie een) en pgm. *lib(i)- < pie. *leikw- ‘overlaten’ (zie lenen), met pie. *kw > pgm. *hw > *b /b/ zoals ook bij pie. *ulkwo- > pgm. *wulfa- (zie wolf). Deze etymologie is gebaseerd op een soortgelijke vorming in het Litouws waar de telwoorden elf tot en met negentien met een tweede element -lika gevormd worden; vergelijk Oudlitouws liẽkas ‘de elfde’ en añtras liekas ‘de twaalfde’, waarbij de betekenis geïnterpreteerd wordt als ‘de overgeblevene’ (na tien) en de ‘andere (of tweede) overgeblevene’. Een alternatieve verklaring is dat het bij het Germaans om een parallelle ontwikkeling gaat uit de wortel pie. *lip- (nultrap van *leip-) zoals in blijven.
De telwoorden elf en twaalf zijn blijkbaar overblijfselen van een telsysteem waarbij er sprake was van een twaalftallig stelsel in contrast met of naast een tientallig stelsel.
Literatuur: W.J.J. Pijnenburg (1988) ‘De etymologie van elf en van duizend’, in: Mededelingenblad van vereniging van Oudgermanisten 1988/2, 20–21
Fries cognaat: alf, alve.

Het stelt dus eerst dat 'elf' komt van "één overlaten" of van "één blijft", allebei in de zin van "tien en nog één". Vervolgens wordt gesteld dat dit blijkbaar komt door de invloed van een ouder 12-tallig stelsel. "Blijkbaar" waren de Litouwers dus 19-tallig (en de Fransen 16-tallig).
Hoe kun je stellen dat 'twaalf' eigenlijk "tien plus twee" betekent en daar een invloed van een 12-tallig telsysteem in bespeuren?
(Let wel, ik ontken niet het bestaan van 12-tallige stelsels in die tijd, of hun invloed; ik beweer alleen dat onze huidige telwoorden 10-tallig zijn, 'elf' en 'twaalf' incluis.)

Dido schreef op 28 januari 2004 @ 01:23:Moeilijk voorstelbaar... wat is het verschil (behalve 44 schapen) tussen "ik heb 12 keer 12 schapen" en "ik heb "10 keer 10 schapen" ?

Geen; ik bedoel dat ik het moeilijk voorstelbaar vind dat er een tijd geweest is waarin men wel een telwoord had voor het getal '12', maar nog niet voor het getal '13'. Als men in die tijd 12-tallig was, zou ik het logisch vinden als het telwoord voor het getal '13' "twaalf-en-één" zou zijn (of "dozijn-en-één", of "één-en-twaalf" in ons huidige stramien).

Dido schreef op 28 januari 2004 @ 01:23:Da's natuurlijk net zo'n onzin als stellen dat we niet tientallig tellen omdat we telwoorden boven de tien gebruiken.

We gebruiken het telwoord dertien. Oh dan tel je niet decimaal.

Volgens mij begrijp ik je niet (en praten we langs elkaar heen), ik kan toch stellen dat we niet 12-tallig tellen omdat we onze telwoorden na 'twaalf' gebruiken? 'Dertien' is toch "drie-(en)-tien". Ik zie juist helemaal geen blijk van enige 12-talligheid in onze telwoorden, de voorbeelden 'elf', 'twaalf', 'dozijn' en 'gros' zijn wat mij betreft afgevallen, omdat ze te herleiden zijn tot 'tien' (je kunt het natuurlijk niet eens zijn met "mijn" etymologische verklaring, maar dan graag onderbouwd).

Dido schreef op 28 januari 2004 @ 12:04:Maar tellen we decimaal wegens het woord dertien, of hebben we het woord dertien wegens decimaal tellen?

We tellen decimaal wegens het woord 'elf' [eigenlijk wegens onze 10-vingerigheid], en we hebben het woord 'dertien' wegens decimaal tellen (dit geldt voor alle telwoorden na 'tien', het zijn allemaal samenstellingen van de 9 eenheden en varianten (machten van) op 'tien' [ons cijfer 0 deed nog niet mee als eenheid]).

Dido schreef op 28 januari 2004 @ 12:04:Waarom wordt er altijd vanuit gegaan dat positionele hiërarchie typisch decimaal is? Dat we er geen woorden voor hebben betekent niet dat je in een dodecimaal stelsel geen eenheden, twaalftallen, 144-tallen, etc. hebt.

(Dat doe ik niet, de Babyloniërs hadden dat ook maar dan 60-tallig, en de Maya's 20-tallig.) Dat we geen woorden hebben voor dodecimale "units" betekent mi dat we met onze telwoorden niet actief 12-tallig zijn geweest (dan hadden we zeker andere telwoorden voor 24 en 36 gehad).

Dido schreef op 28 januari 2004 @ 12:04:Of je creeert eerst die hierarchie, en verzint vervolgens het getal dertien, drieentwintig, etc. Niets ligt voor de hand, je kunt wat jij beschrijft zelfs met grondtal 13 doen.

Dat klopt, maar denk je nu werkelijk dat toen we net een telwoord voor elke vingertop hadden (maar meer kippen), we ons bezighielden met welk talstelsel we het beste voor de basis van de rest van onze telwoorden konden gebruiken? Onze 10-vingerigheid leidde eerst tot een aarzelend 'elf' en 'twaalf' ("één over" en "twee over"), gevolgd door 'dertien' etc. ("drie-en-tien") en 'twintig' ("tweemaal-tien"), gevolgd door het steeds zelfverzekerder (geforceerder) 'éénentwintig' etc., met een eventuele hik bij een factor 10^3 (googolplex, iemand?).


Dido, zou jij mij voor de duidelijkheid (nogmaals) willen verblijden met jouw mening over onze telwoorden, met betrekking tot een (eventueel) eraan ten grondslag liggend talstelsel/(s)?

[Verwijderd]

nou ja . . .

Dan zal ik dit topic maar afsluiten met de opmerking richting TS dat problemen met rekenen (door discalculie) niet verminderen door een ander talstelsel te hanteren en dat we in het basis-onderwijs het beste door kunnen gaan met 10-tallig rekenen.


Binair rekenen is het ei van Columbus (als je een computer bent).