Binair rekenen is het ei van Columbus

heforshe

Verwijderd schreef op 20 januari 2004 @ 20:04:
Ja, elf en twaalf zijn de uitzonderingen (samen met, in veel mindere mate, dertien, veertien, twintig, dertig, veertig en tachtig), maar verder is het toch keurig 10-tallig? (zoals in 'x-en-y-tig', met x en y een cijfer ongelijk aan nul ( en y ongelijk aan 1)

UItzonderingen op het tientallif zijn van de taal, en daarmee een aanwijzing dta de taal niet tientallig is.
Het feit dat hogere telwoorden netjes aan regels voldoen zou eerder een gevolg zijn van geforceerde tientalligheid dan andersom

elf en twaalf zijn wel iets ouder dan de algemene invoering van een tientallig stelsel voor alle doeleinden. (Zo lang geleden is het niet dat we met ellen, ponden en voeten werkten. Wiskunde was aan de gewone man niet besteedt, en zijn geld werkt eook al niet tientallig: een gulden bestond uit 20 stuivers, niet uit honderd centen

).

Wat betrfet dertien en veertien heb je gelijk, dat bekt beter. Maar dat doet niets af aan het feit dat onze telwoorden elf en twaalf een taalkundige neiging naar een twaalftallig stelsel laten zien.

dinsdag 20 januari 2004 20:30

Acties:

heforshe

Vilenin schreef op 20 januari 2004 @ 18:46:
Beetje lachwekkend eigenlijk dat in de VS "a dozen" "10" betekent...

Heb je daar een bron voor?
http://dictionary.reference.com/search?q=dozen&r=67

Ik ken het namelijk, ook vanuit de states, als 12.

dinsdag 20 januari 2004 22:52

Acties:

Verwijderd

Dido schreef op 20 januari 2004 @ 20:29:
[...]

UItzonderingen op het tientallif zijn van de taal, en daarmee een aanwijzing dta de taal niet tientallig is.
Het feit dat hogere telwoorden netjes aan regels voldoen zou eerder een gevolg zijn van geforceerde tientalligheid dan andersom
elf en twaalf zijn wel iets ouder dan de algemene invoering van een tientallig stelsel voor alle doeleinden. (Zo lang geleden is het niet dat we met ellen, ponden en voeten werkten. Wiskunde was aan de gewone man niet besteedt, en zijn geld werkt eook al niet tientallig: een gulden bestond uit 20 stuivers, niet uit honderd centen ).

Wat betrfet dertien en veertien heb je gelijk, dat bekt beter. Maar dat doet niets af aan het feit dat onze telwoorden elf en twaalf een taalkundige neiging naar een twaalftallig stelsel laten zien.

Historisch gezien geef ik je groot gelijk. (misschien wel interessant om uit te zoeken hoe het precies zit met elf en twaalf (indien mogelijk))
Maar, als we het binnen dit topic hebben over "het handigste getalstelsel", wilde ik met mijn observatie dat ons huidig gebruik van de telwoorden 10-tallig is dat getalstelsel een steuntje in de rug geven. (persoonlijk vind ik het 10-tallig systeem erg handig in huis-tuin-en-keuken gebruik

)

(Maar ergens blijft het gevoel knagen dat ik je niet gelijk kan geven dat onze telwoorden eerder 12 dan 10-tallig zijn. Ik heb een sterk vermoeden dat de gemiddelde middeleeuwer (of nog veel eerder) heel anders met het getal 134 omging dan een gemiddeld iemand nu, en een nog sterker vermoeden dat een gemiddeld iemand nu veel meer (en verschillende) telwoorden gebruikt dan de gemiddelde middeleeuwer. Het bestaan van de telwoorden elf en twaalf (ik meen daar de een en de twee te bespeuren) en dozijn en gros, zijn voor mij geen reden om aan te nemen dat 'onze' telwoorden 12-tallig zijn (los van een historische achtergrond))

woensdag 21 januari 2004 09:41

Acties:

CmdrKeen

Krentenboltosti

Dido schreef op 20 januari 2004 @ 20:30:
[...]

Heb je daar een bron voor?
http://dictionary.reference.com/search?q=dozen&r=67

Ik ken het namelijk, ook vanuit de states, als 12.

Leek me algemeen bekend. De juiste vertaling vanuit het Engels is ook (natuurlijk) 12, maar veel Amerikanen gebruiken het als 10.

Bloed, zweet & koffie

woensdag 21 januari 2004 12:01

Acties:

heforshe

Vilenin schreef op 21 januari 2004 @ 09:41:
Leek me algemeen bekend. De juiste vertaling vanuit het Engels is ook (natuurlijk) 12, maar veel Amerikanen gebruiken het als 10.

Ik heb er nog maar weinig Amerikanen op kunnen betrappen

Ook in films en -titels betekent het twaalf:
http://www.imdb.com/title/tt0349205/

de ftc gebruikt het als 12:
http://www.ftc.gov/bcp/conline/pubs/alerts/doznalrt.htm

Algemeen is het zeker niet

woensdag 21 januari 2004 12:04

Acties:

heforshe

Verwijderd schreef op 20 januari 2004 @ 22:52:
Historisch gezien geef ik je groot gelijk.
[..]
Het bestaan van de telwoorden elf en twaalf (ik meen daar de een en de twee te bespeuren) en dozijn en gros, zijn voor mij geen reden om aan te nemen dat 'onze' telwoorden 12-tallig zijn (los van een historische achtergrond))

De telwoorden die wij nu gebruiken zijn uiteraard toegespitst op het tientallig stelsel, om de simpele reden dat we niet vast gaan houden aan dozijnen, stuivers, ellen en voeten als we verplicht met veelvouden van tien moeten werken.
De taal past zich dus aan het stelsel aan.

Daarmee is de taal natuurlijk geen argument voor dat talstelsel, het is een gevolg ervan!

Het enige dat er over blijft van je argument is dus dat het "lastig" zou zijn om om te schakelen naar een binair, of hexadecimaal taalgebruik, maar dat argument is al erg vaak voorbij gekomen.
Het is ons gelukt om over te schakelen op decimaal, dus zal hexadecimaal vast ook wel lukken als het nodig zou zijn.

woensdag 21 januari 2004 12:49

Acties:

woensdag 21 januari 2004 14:06

Vidi, Vici, Veni

Met betrekking tot het handigste telsysteem, wil ik toch toevoegen dat wat mij betreft zeker wel de taal een groot probleem is... een getal als 175000 (honderdvijfenzeventigduizend) bekt toch een stuk beter dan 101010101110011000 (een-nul-een-nul-een-nul-een-nul-een-een-een-nul-nul-een-een-nul-nul-nul) Alleen daar zou ik al praatstoornissen van krijgen... En we kunnen dat dus geen 175000 gaan noemen, want dan moeten we alsnog een decimaal telsysteem erbij leren, en is het hele voordeel weg... Op papier is binair (of hex, of weet ik veel wat) misschien wel handig (afgezien van de hoeveelheid inkt en papier die het extra kost) maar in het dagelijks leven, waarbij je het toch nog weleens hebt over getallen (noem bijvoorbeeld eens een telefoonnummer op...) lijkt het me niet handig...

edit: bedenk me net ook dat het niet handig is voor het intikken van een telefoonnummer... Zit je een minuut of tien een telefoonnummer in te tikken voordat je iemand aan de lijn hebt

Handig

[ Voor 14% gewijzigd door MikeyMan op 21-01-2004 12:53 ]

Acties:

heforshe

MikeyMan schreef op 21 januari 2004 @ 12:49:
Met betrekking tot het handigste telsysteem, wil ik toch toevoegen dat wat mij betreft zeker wel de taal een groot probleem is... een getal als 175000 (honderdvijfenzeventigduizend) bekt toch een stuk beter dan 101010101110011000 (een-nul-een-nul-een-nul-een-nul-een-een-een-nul-nul-een-een-nul-nul-nul)

Nee, hoor: dat spreek je anders uit.

1 is een
10 is twee
100 is vier

dus 111 is vier-en-twee-en-een.

Je komt wel sneller in de problemen dan decimaal, maar je spreekt 17500 niet uit als een-zeven-vijf-nul-nul.

woensdag 21 januari 2004 14:13

Acties:

woensdag 21 januari 2004 15:10

Vidi, Vici, Veni

jah, en als je zo gaat beginnen, met één, twee en vier, heb je dus alsnog een decimaal getallenstelsel nodig... Dat was mijn punt al...

Acties:

heforshe

MikeyMan schreef op 21 januari 2004 @ 14:13:
jah, en als je zo gaat beginnen, met één, twee en vier, heb je dus alsnog een decimaal getallenstelsel nodig... Dat was mijn punt al...

Waarom heb je dan een decimaal stelsel nodig?

Binair zou je de tweetalen een, twee, vier, acht, koe, hond, paard, ezel kunnen noemen. Waarom je dan een decimaal stelsel nmodig hebt (linguistisch) is me een raadsel

Je krijgt, dara heb je gelijk in, wel langere namen voor grotere getallen, maar dat gaat voor het decimale stelsel ook op, hoewel het daar langzamer gaat (en het dus handiger is!).

[ Voor 17% gewijzigd door Dido op 21-01-2004 15:11 ]

woensdag 21 januari 2004 17:41

Acties:

woensdag 21 januari 2004 17:58

Vidi, Vici, Veni

Nouja, mijn punt is vooral dat je in het geval van een binair stelsel toch altijd nog iets "ernaast" nodig hebt om bij te houden hoever je nou wel helemaal niet bent met je binaire getal... Een (nu) tien cijferig telefoonnummer zou dan misschien wel vier,vier,koe,acht,paard,hond,een,twee,ezel worden... (en waarschijnlijk langer...)
Dan lijkt me het huidige stelsel toch handiger...

Acties:

heforshe

MikeyMan schreef op 21 januari 2004 @ 17:41:
Nouja, mijn punt is vooral dat je in het geval van een binair stelsel toch altijd nog iets "ernaast" nodig hebt om bij te houden hoever je nou wel helemaal niet bent met je binaire getal... Een (nu) tien cijferig telefoonnummer zou dan misschien wel vier,vier,koe,acht,paard,hond,een,twee,ezel worden... (en waarschijnlijk langer...)
Dan lijkt me het huidige stelsel toch handiger...

Nee, waarom?
In het geval van het telefoonnummer heb je gelijk, maar dat speken we ook decimaal met losse cijfers uit, dat wordt dus wel een-nul-een-een, etc.

Maar voor een normaal getal geldt dat niet:

decimaal 83 is drie-en-tachtig
binair 11 is een-en-twee

decimaal 123 is honderd-(en)-drie-en-twintig
binair 111 is vier-(en)-een-en-twee

Volledig analoog aan elkaar. Het decimaal taalgebruik dat we bezigen is gewoon posiutie-gerelateerd, dat kun je met binair ook doen.

Telefoonnummers zijn een absurd voorbeeld, je spreekt je telefoonnummer nu ook niet uit als honderdeneenmiljoentweehonderdvierendertigduizendvijfhonderdzevenenzestig

Het enige nadeel, maar dat is al zo vaak gezegd, is dat je getallen erg snel belachelijk lang worden, en dat geldt ook voor de uitspraak. Maar het is wel mogelijk een zelfde sorrt logica te blijven toepassen als we nu met het decimale stelsel doen.

[ Voor 10% gewijzigd door Dido op 21-01-2004 17:59 ]

woensdag 21 januari 2004 22:01

Acties:

woensdag 21 januari 2004 22:26

Als mensen een lange tijd (een aantal generaties lang) binair zouden rekenen denk ik dat het talstelsel toch een beetje 'vermenselijkt' wordt, bijvoorbeeld de getallen weergeven met de cijfers in groepjes van 4, dus 0101 1001 1000 en vervolgens namen voor deze combinaties bedenken, en ze schrijven als ligaturen (samengestelde tekentjes). Krijg je dus toch een verkapt hexadecimaal stelsel.

Addit: ik heb er ook wel aan zitten denken om computers juist menselijker te laten rekenen door per kbit maar 1000 waarden te adresseren en de overige 24 te gebruiken voor handige flags waarmee je bijv. aangeeft of het een letter of getal betreft, en waar je de bij een float getal de point moet plaatsen (zodat je een getal als 2340000000000.0 in 1 kbit kunt opslaan).

Edit: kbit moet zijn 10bit

anders heeft 't weinig zin

[ Voor 40% gewijzigd door benoni op 22-01-2004 14:13 ]

Acties:

donderdag 22 januari 2004 00:15

Vidi, Vici, Veni

dat lijkt me een probleem aangezien computers alleen maar nullen en enen kan gebruiken (hoog/laag signaal in de electronica) Ze zijn naar mijn weten momenteel wel bezig aan circuits met 3 'states'... Maar ik weet niet hoever ze daarmee zijn... Dat zou dan 0, 1 en 2 (of iets in die richting) kunnen gaan gebruiken...

Acties:

heforshe

benoni schreef op 21 januari 2004 @ 22:01:
Addit: ik heb er ook wel aan zitten denken om computers juist menselijker te laten rekenen door per kbit maar 1000 waarden te adresseren en de overige 24 te gebruiken voor handige flags waarmee je bijv. aangeeft of het een letter of getal betreft, en waar je de bij een float getal de point moet plaatsen (zodat je een getal als 2340000000000.0 in 1 kbit kunt opslaan).

Waarom zou je? dat getal wordt nu al in een paar bytes opgeslagen

Bekijk maar eens hoe data wordt opgeslagen, en probeer dan het wiel nog maar eens uit te vinden

donderdag 22 januari 2004 01:02

Acties:

donderdag 22 januari 2004 10:25

Dido: Met 'een paar bytes' kun je toch maximaal tot 65536? Of heb ik 't nou mis?

Edit: 2340000000000.0 zou een double float moeten worden, dus 36 64 bits. Met de bovenstaande methode kun je het getal 234 opslaan (met daarbij de juiste plaatsing van de komma) in een ruimte van 10 bits. Alleen zou je wel een radicaal andere processor instructieset moeten schrijven als je alles in groepjes van 10 bits wilt verwerken. Waarschijnlijk zou ook het geheugen en de bus anders werken als vanaf het begin het decimaal tellen op zo'n manier was geintregeerd.

[ Voor 84% gewijzigd door benoni op 22-01-2004 01:31 ]

Acties:

heforshe

benoni schreef op 22 januari 2004 @ 01:02:
Dido: Met 'een paar bytes' kun je toch maximaal tot 65536? Of heb ik 't nou mis?

Ik bedoelde met paar niet letterlijk twee, maar eerder een beperkt aantal (acht dus) in plaats van de genoemde 1000 bits

Met de bovenstaande methode kun je het getal 234 opslaan (met daarbij de juiste plaatsing van de komma) in een ruimte van 10 bits.

Die moet ik zien

Althans, dit specifieke getal lukt nog wel, maar doen nu eens 239? Of 999?

Het zoeken van getallen die je toevallig handiger op kunt slaan is natuurlijk triviaal.

Alleen zou je wel een radicaal andere processor instructieset moeten schrijven als je alles in groepjes van 10 bits wilt verwerken. Waarschijnlijk zou ook het geheugen en de bus anders werken als vanaf het begin het decimaal tellen op zo'n manier was geintregeerd.

Ga er maar vanuit dat het opslaan in groepjes van 10bits totaal geen zin heeft, behalve als je met specifieke voorbeelden gaat googelen (getallen waarin alleen cijfers <5 voorkomen

)

Waarom denk je dat in computers het binair stelsel is ingevoerd? Omdat degenen die dat ding bouwden daar al hun hele leven mee werkten? Of omdat ze - ondanks dat ze zelf decimaal rekenden - het handiger vonden om computergeheugen, dat toch alleen maar 1 en 0 kent helemaal binair te laten rekenen?

donderdag 22 januari 2004 13:13

Acties:

donderdag 22 januari 2004 13:56

De mensen die de eerste computers bouwden waren waarschijnlijk al blij als het ding binair kon rekenen en hadden waarschijnlijk helemaal niet de mogelijkheid om met 10-bits groepjes te werken. De instructieset zat niet in 1 processor ingebouwd zoals nu, daarentegen was er een soort van modulair systeem, waardoor vanaf het begin met een strikte scheiding tussen instructies en werkgegevens is geweest. Als de computer met 1000-tallen zou rekenen zou voor berekeningen een tweetraps methode toegepast moeten worden (1e trap=management voor het decimale getalgegoogel, 2e trap binair rekenen met 10bits getallen). OK je hebt dan geen losse floating point unit meer nodig, je kunt met supergrote getallen werken en je bent van de afrondingsfout bij grote getallen af, maar de processor groeit waarschijnlijk uit tot een F2CISC (far too complicated instruction set).

Acties:

heforshe

Maar goed, feit blijft dat in een binaire computer rekenen met 8, 10, 16, 48 of 64 bits groepen arbitrair is, en niets verandert aan je talstelsel (dat blijft binair).
En daar ging de topic over.

donderdag 22 januari 2004 14:56

Acties:

donderdag 22 januari 2004 16:25

Dido, teruglezend zie ik dat ik je onbedoeld een beetje op een dwaalspoor gebracht met een misplaatste kbit -> ik bedoelde 10 bits maar dat kwam er niet goed uit.

Om even weer op het spoor van de discussie te geraken (goeie tip van je

) zet ik 't even op een rijtje:

-Status: mensen voeren waarden decimaal in, computer converteert ascii naar binair getal, voert berekeningen uit, rekent binair weer naar decimaal, toont resultaat.

-Topic alternatief: mensen gaan ook binair rekenen. Voordeel: kun je zonder vertaalslag communiceren met je computer. Nadeel: het is lastig om binaire getallen uit te drukken in spreektaal, en voor het berekenen moet je een andere set ezelsbruggen aanleren (dus geen rijtjes met tafels meer leren op de basisschool maar ander soort patroonherkenning op de binaire brij bits).

Maar zou het moeilijk zijn in de praktijk? Ik dacht: ik draai het probleem om, hoeveel moeite zou een computer moeten doen om echt decimaal te rekenen ondanks de binaire gegevensverwerking. Mijn gedachtenexpirement was een soort hybride oplossing; de computer op een directer niveau met decimale getallen laten werken door een decimaal getal uit te drukken in een 1000tallig stelsel dat je kunt opslaan in eenheden van 10 bits binair.

Andersom zouden mensen ook zo'n hybride oplossing maken; dat zie je nu al met octale en hexadecimale weergave.

Acties:

heforshe

benoni schreef op 22 januari 2004 @ 14:56:
Maar zou het moeilijk zijn in de praktijk? Ik dacht: ik draai het probleem om, hoeveel moeite zou een computer moeten doen om echt decimaal te rekenen ondanks de binaire gegevensverwerking.

Heel veel dus, want je stelt dat je het vertalen van de een naar de ander al te veel werk vindt. Dat moet toch plaatsvinden, op welk niveau dan ook.

Mijn gedachtenexpirement was een soort hybride oplossing; de computer op een directer niveau met decimale getallen laten werken door een decimaal getal uit te drukken in een 1000tallig stelsel dat je kunt opslaan in eenheden van 10 bits binair.

Wat je dus wilt bestaat al tientallen jaren: zoned decimal. Je getal wordt opgeslagen als volgt:

code:

byte 1 2 3 4 5 6 7 8
====================
high F F F F F F F C 
low  5 4 6 9 4 5 4 7

Hier zijn nogal wat variaties op mogelijk. In dit geval staat het laatste high halfbyte voor het teken. (C=+, D=-, F=unsigned)

Het voordeel is leesbaarheid, het grote nadeel is dat het meer geheugenruimte kost. Het feit dat geheugen steeds goedkoper wordt is geen argument: hoe groter de getallen zijn die in 1 slag verwerkt kunnen worden, hoie sneller je applicatie. Bij een vaststaande registergrootte is dus de vraag hoe je zo groot mogelijke getallen kunt opslaan in een x aantal bits. Guess what: binair is the ticket!

Ik kan in 8 bits binair 256 verschillende getallen opslaan. Als jij er meer kwijt kunt, mag je een Nobelprijs op gaan halen

Idem kan ik in 10 bits 1024 getallen opslaan, hoeveel kun jij er kwijt?

Andersom zouden mensen ook zo'n hybride oplossing maken; dat zie je nu al met octale en hexadecimale weergave.

Precies, of de omzetting van de uitkomsten door de computer naar een decimale notatie. Bij berekeningen is de uiteindelijke weergave niet hetgeen dat tijd kost, dus waarom zou je het willen veranderen?

vrijdag 23 januari 2004 02:24

Acties:

vrijdag 23 januari 2004 11:42

Dido: Idem kan ik in 10 bits 1024 getallen opslaan, hoeveel kun jij er kwijt?

In mijn gedachtenexperiment ging ik uit van 1000. Met de in overige 24 waarden flags voor bv. floating point, de maximale fout of de breedte van het getal. Met dat laatste bedoel ik dat je die breedte van een getal variabel zou kunnen maken, dus 5203892.583 opslaan als 005*10^6 + 203*10^3 + 892*10^0, + 583*10^-3 (kost je dus 4x10bits) en 3 opslaan als 003*10^0 (1x10 bits). Dat is in ieder geval al efficienter dan zoned decimal (als ik je schema goed begrijp).

Dido: Bij berekeningen is de uiteindelijke weergave niet hetgeen dat tijd kost, dus waarom zou je het willen veranderen?

Een goede reden zou kunnen zijn de afrondingsfouten die de computer maakt bij het verwerken van grote getallen (die op zich wel verklaarbaar zijn, maar voor mensen zo vreemd kunnen overkomen omdat je als je hetzelfde in een tientallig stelsel narekent helemaal niet tegen zo'n fout aanloopt). Zie hier op tweakersnet voor een discussie hierover.

Maar even voor de goede orde: 't is gewoon een gedachtenspinsel hoor, ook al is de opslag van getallen nog redelijk efficient, ik verwacht zeker niet dat berekeningen snel worden uitgevoerd. Het lijkt me vreselijk moeilijk om code voor een processor te moeten bedenken die het uberhaupt mogelijk maakt om op zo'n manier met getallen te rekenen. Maar misschien is het voor wiskundigen en boekhouders wel praktisch. Voor gewoon computergebruik is het onlogisch; de gemiddelde processor-intensieve taak die een computer tegenwoordig voor zijn kiezen krijgt is iets op grafisch gebied, bv. GUI, Photoshop, spelletjes. Dan zit je alleen met waarden te werken die, zoals je al zegt, binnen een vaststaande registergrootte vallen, dus het zou inderdaad gek zijn om niet binair te werken.

Acties:

heforshe

benoni schreef op 23 januari 2004 @ 02:24:
In mijn gedachtenexperiment ging ik uit van 1000. Met de in overige 24 waarden flags voor bv. floating point, de maximale fout of de breedte van het getal.

je kunt bits gebruiken als flags, als je 10-bit waarden gebruikt, kost het je tien bits, en heb je geen ruimte meer voor een getal:

Met dat laatste bedoel ik dat je die breedte van een getal variabel zou kunnen maken, dus 5203892.583 opslaan als 005*10^6 + 203*10^3 + 892*10^0, + 583*10^-3 (kost je dus 4x10bits) en 3 opslaan als 003*10^0 (1x10 bits). Dat is in ieder geval al efficienter dan zoned decimal (als ik je schema goed begrijp).

Hoe wil jij 892*10^0 opslaan in tien bits?
Goed, dat kan, maar je kiest weer mooie waardes. Hoe sla je 892*10^-3 op in tien bits?

Het feit dat je ervan uitgaat maar 1000 waarden op te slaan in 10 bits, betekent niet dat je 24 "flags"hebt. Als je 1 flag gebruikt heb je nog maar 9 bits over! (512 waarden).

Uiteraard zijn er veel efficientere methoden dan zoned decimal: die wordt ook alleen maar gebruikt als representatie, niet om mee te rekenen. Een voordeel is wel dat F0-F9 in EBDIC ook de karakters 0 tot 9 vertegenwoordigen, zodat omzetten naar karakters niet meer nodig is.

Jou getal kan in minder dan 40 bits worden weergegeven:

33 bits voor 5203892583: 100110110001011010001100101100111
1 bit voor sign : 0
2 bits voor 3 (10^-3) : 11
1 bit voor het sign van de -1: 1

37 bits, dezelfde functionaliteit als die jij hebt, want je slaat even hard enen en nullen op als ik. 892 in 10 bits ziet er natuurlijk niet uit als 892.

Hoe zou jij het opslaan? (Als ik verkeerd interpreteer hoor ik het graag)

groep 1: 005*10^6, 10 bits

005: 000101
6: 110
+: 0

groep 2: 203*10^3 (lukt niet in 10 bits!)

203: 11001011 (8 bits!)
3: 011
+: 0

groep 3: 892*10^0 (lukt ook niet in 10 bits!)

892: 1101111100 (10 bits!)
0: 000
+: 0

groep 4:583*10^-3 (lukt ook niet in 10 bits!)

583: 1001000111 (10 bits!)
3: 011
-: 1

Of laat je de coefficenten weg, en werk je alleen met de getallen, en voeg nog eens tien bits toe voor cijfer en coefficent?

Dan wordt het dus

0000000101
0011001011
1101111100
1001000111
Met, laten we zeggen:

+: 0 (teken grondtal)
3: 11
-: 1

dus 0000000111

Waarom is
00000001010011001011110111110010010001110000000111
duidelijker dan
1001101100010110100011001011001110111

Een goede reden zou kunnen zijn de afrondingsfouten die de computer maakt bij het verwerken van grote getallen (die op zich wel verklaarbaar zijn, maar voor mensen zo vreemd kunnen overkomen omdat je als je hetzelfde in een tientallig stelsel narekent helemaal niet tegen zo'n fout aanloopt). Zie hier op tweakersnet voor een discussie hierover.

En hoe raak je dat nu kwijt?

[ Voor 13% gewijzigd door Dido op 23-01-2004 11:43 ]

zaterdag 24 januari 2004 13:11

Acties:

zaterdag 24 januari 2004 13:18

Je hebt gelijk! Ik zat me helemaal rijk te rekenen met de 24 overgebleven waarden... het enige nuttige waarvoor je die zou kunnen gebruiken zijn de waarden die in plaats van het getal komen, zoals oneindig, pi, e, idle, none, error enzo.

Dus zit er niets anders op dan zoals je zegt een groot getal simpelweg als een reeks van 10-bits getallen achter neer te zetten, al of niet voorafgegaan door een instructie voor komma en negatieve waarde. Per 10 bits wordt wel een decimale (of 'kilomale'?) waarde uitgedrukt, waardoor het getal voor mensen wel sneller te ontleden is --> als de hele computer op zo'n 10-bits systeem gebaseerd is zou je een lettertype kunnen maken die geheugenwaarden zonder conversie als decimaal getal laat zien (kwestie van 3 cijfers in 1 letterteken combineren). Het is dus wel een stukje menselijker, maar de efficiency van de computer zelf kun je er zeker niet mee verbeteren...

Voor wat betreft de afrondingsfouten: normaal is het voor de mens het delen door 10 een kwestie van komma verschuiven, en moet de computer een berekening gaan maken. Als de computer getallen volgens bovenstaande methode gebruikt, dus getallen uitsplitst per macht van 1000, en daarmee pas binair gaat rekenen (over effeciency gesproken - 10 bits getallen op je 64-bits processor

) dan moet je er volgens mij wel rekenmethodes eroverheen leggen die lijken op menselijk rekenen, en ook dezelfde afrondingsfouten produceren (het F2CISC idee).

Acties:

heforshe

Dan krijg je inderdaad F2CISC, aangezien je natuurlijk je voordeel van eenvoudige delen door 2 (en machten van 2!) niet op wilt geven, moet je dan eerste een afweging gaan maken welke instructieset je voor welke berekening gaat gebruiken, ik ben bang dat je netto geen winst gaat behalen

zaterdag 24 januari 2004 13:38

Acties:

Confusion

Fallen from grace

benoni schreef op 22 januari 2004 @ 13:13:
De mensen die de eerste computers bouwden waren waarschijnlijk al blij als het ding binair kon rekenen en hadden waarschijnlijk helemaal niet de mogelijkheid om met 10-bits groepjes te werken.

Een groepje van 10 binaire bits bedoel je?

We rekenen binair omdat de fundamentele elementen die een getal representeren slechts 2 waarden aan kunnen nemen. Elke computer waarin dat zo is rekent inherent binair, ongeacht de franje waarmee je het ding optuigt. Volgens mij is er nog nooit een machine gebouwd waarvan de fundamentele elementen bijvoorbeeld drie verschillende waarden konden hebben.

Wie trösten wir uns, die Mörder aller Mörder?

zaterdag 24 januari 2004 14:24

Acties:

zaterdag 24 januari 2004 15:31

Als Einstein alleen maar uitging van waar men op dat moment mee werkte, had ie dan zo'n eind vooruit kunnen denken? Dit draadje is toch vooral een uitnodiging om de boel (talstelselmatig) eens helemaal op zijn kop te zetten en daarmee verder te filosoferen?

Edit: 3-tallig is nog in de maak (zoals MikeyMan al schreef)

Ze zijn naar mijn weten momenteel wel bezig aan circuits met 3 'states'... Maar ik weet niet hoever ze daarmee zijn... Dat zou dan 0, 1 en 2 (of iets in die richting) kunnen gaan gebruiken...

Voor een 10-tallige machine moeten we juist een stukje terug in de geschiedenis:
Pascal's calculateur.

[ Voor 58% gewijzigd door benoni op 24-01-2004 15:08 ]

Acties:

Confusion

Fallen from grace

benoni schreef op 24 januari 2004 @ 14:24:
Als Einstein alleen maar uitging van waar men op dat moment mee werkte, had ie dan zo'n eind vooruit kunnen denken? Dit draadje is toch vooral een uitnodiging om de boel (talstelselmatig) eens helemaal op zijn kop te zetten en daarmee verder te filosoferen?

Natuurlijk, maar dan moet je het wel heel fundamenteel aanpakken. Je kan het absoluut niet proberen uit te leggen op basis van bestaande computers: die zijn inherent tweewaardig. Als je iets anders wilt, moet je eerst een goed alternatief voor de tweewaardige logica ontwikkelen. Dat is al een formidabele taak. Dan moet je die nog technisch implementeren, zonder stiekem tweewaardig logische systemen te gebruiken. Dat is zo mogelijk nog lastiger.

Pascal's machine is mechanisch en zou als computer nooit de rekencapaciteit van huidige computers kunnen bereiken. Voor elk rekensysteem is heel vaak van belang: is het antwoord op een bepaalde vraag True of False? In Pascal's geval zou een 'bit' (een wiel met 10 mogelijke standen) dan 8 waarden ongebruikt laten. Zou je op 1 wiel drie true/false tegelijk willen weergeven, dan ben je stiekem toch met tweewaardige logica bezig. Hopeloos inefficient, zolang je niet daadwerkelijk getallen aan het optellen bent. En zelfs dan is het maar de vraag hoeveel true/false assertions er eigenlijk in allerlei algoritmes optreden.

Wie trösten wir uns, die Mörder aller Mörder?

zaterdag 24 januari 2004 17:21

Acties:

zaterdag 24 januari 2004 20:33

Mmm ja, als computers van het binaire zwart/wit denken afstappen, komt dat waarschijnlijk aan bod bij biologische processors, en dan in de vorm van het werken met analoge gegevens die een relatieve waarde aangeven maar niet absoluut hoeven te zijn.

Uit het gedachtenexpiriment (dank jullie hartelijk voor medewerking) kunnen we de conclusie trekken dat voor exacte berekeningen de binaire rekenwijze de juiste basis geeft, en dat het dieper implementeren van het tientallig stelsel in de processor niet handig is.

Dat brengt ons weer helemaal op het spoor van deze topic: kunnen de mensen niet beter binair gaan rekenen? Ik weet zeker dat onze hersenen niet zitten te wachten op het werken met een brij enen en nullen; ons herkenningsvermogen is meer gericht op het uit elkaar houden van verschillende objecten (liefst gegroepeerd) dan op het tellen van een lange rij gelijksoortige objecten. We zouden wel op basis van een binaire structuur kunnen rekenen, maar de notatie moet toch octaal of hexadecimaal.

Om het een beetje tastbaar te maken, een voorstel voor de notatie en uitspraak (met wat aanpassingen en toevoegingen om verwarring met tientallig te voorkomen). De tekentjes uit de eerste kolom moeten natuurlijk samen een goed schrijf- en tikbaar cijferteken gaan vormen.

code:

hexis  binair  zegswijze   +16          *16

oo     0000    nul         tween        nul
o-     0001    een         eentween     tween
o=     0010    twee        twentween    twentig
o*     0011    drie        drittween    drittig
-o     0100    vier        viertween    viertig
--     0101    vif         viftween     viftig
-=     0110    zis         zistween     zistig
-*     0111    zef         zeftween     zeftig
=o     1000    acht        achttween    achtig
=-     1001    neen        neentween   neentig
==     1010    tien        tientween    tientig
=*     1011    elf         elftween     elftig
*o     1100    twaalf      twaalftween  twaalftig
*-     1101    derf        derftween    derftig
*=     1110    varf        varftween    varftig
**     1111    veef        veeftween    veeftig

Edit: dat je al een hexadecimale notatie hebt weet ik, maar deze vind ik veel te verwarrend voor gebruik in combinatie met tekst en tientallig.

[ Voor 4% gewijzigd door benoni op 24-01-2004 17:36 ]

Acties:

EnsconcE

benoni schreef op 24 januari 2004 @ 17:21:
Mmm ja, als computers van het binaire zwart/wit denken afstappen, komt dat waarschijnlijk aan bod bij biologische processors, en dan in de vorm van het werken met analoge gegevens die een relatieve waarde aangeven maar niet absoluut hoeven te zijn.

Uit het gedachtenexpiriment (dank jullie hartelijk voor medewerking) kunnen we de conclusie trekken dat voor exacte berekeningen de binaire rekenwijze de juiste basis geeft, en dat het dieper implementeren van het tientallig stelsel in de processor niet handig is.

zelfs neit eens mogelijk, ik heb niet het hele topic doorgelezen, wat ik wel weet is dat een computer aan of uit kan, meer niet. vanuit daaruit hebben wij idd een zeer vernuftig telstysteem ontwikkeld waarvan de computer echt geen snars snapt(doen wij dat wel van onze hersenen?).

Dat brengt ons weer helemaal op het spoor van deze topic: kunnen de mensen niet beter binair gaan rekenen? Ik weet zeker dat onze hersenen niet zitten te wachten op het werken met een brij enen en nullen; ons herkenningsvermogen is meer gericht op het uit elkaar houden van verschillende objecten (liefst gegroepeerd) dan op het tellen van een lange rij gelijksoortige objecten. We zouden wel op basis van een binaire structuur kunnen rekenen, maar de notatie moet toch octaal of hexadecimaal.

zeer mooi om anders te gaan tellen, maar eerlijk gezegd kan ik mezelf niet ombatterijen tot het biniair tellen, ik werk altijd terug naar (mn basis) het tientallig stelsel. maar is mijn basis wel school? kijk es voor de gein naar je handen. als we (omstreden?) evolutietheoretisch bezig gaan lijkt het mij ook dat de hersenen zich hebben aangepast aan z'n mogelijkheden. mocht dat neit zo zijn en willen wij naar het binair stelsel dan betekent dat meer aanpassingen in het dagelijks leven dan je voor mogelijk houd.

zaterdag 24 januari 2004 20:40

Acties:

woensdag 28 januari 2004 00:10

EnsconcE, als je wel eventjes snel door de pagina's was heengerold, dan had je kunnen lezen dat het tientallig tellen aangeleerd is; in het middeleeuwse Europa was 12-tallig tellen veel populairder (waar we de 24-uurs klok en woorden als dozijn en mud gros aan over hebben gehouden).

Addit: Maar de Engelse bevolking zal je zeker gelijk geven: die zijn net met veel moeite van hun antieke half-12-tallige gewichtenstelsel overgegaan naar 10-tallig metrisch, en staan vast niet in de rij voor onze hexacombinair overgehaalde verzinsels

Maar goed 't ging voor ons vooral om het idee, om je eens voor te stellen hoe het had kunnen wezen.

[ Voor 43% gewijzigd door benoni op 24-01-2004 20:51 ]

Acties:

Verwijderd

benoni schreef op 24 januari 2004 @ 20:40:
EnsconcE, als je wel eventjes snel door de pagina's was heengerold, dan had je kunnen lezen dat het tientallig tellen aangeleerd is; in het middeleeuwse Europa was 12-tallig tellen veel populairder (waar we de 24-uurs klok en woorden als dozijn en mud gros aan over hebben gehouden).

Hier wil ik toch nog op reageren.

Dido stelt dat het tientallig tellen aangeleerd is omdat er uitzonderingen zijn in de tientalligheid van onze telwoorden, zoals 'elf' en 'twaalf'.

Maar dat doet niets af aan het feit dat onze telwoorden elf en twaalf een taalkundige neiging naar een twaalftallig stelsel laten zien.
Het feit dat hogere telwoorden netjes aan regels voldoen zou eerder een gevolg zijn van geforceerde tientalligheid dan andersom

Nu beaam ik direct dat onze telwoorden vanaf 20 (zeker vanaf 100, met uitzondering van 'honderd' en 'duizend') keurig in het 10-tallig stramien passen en in die zin "geforceerd" zijn (ook als je naar noviteiten als 'miljoen(/miljard)', 'biljoen', 'triljoen', 'quadriljoen' etc. kijkt), maar ik vind ook dat dat voortvloeit uit de opbouw/historie van de eerste telwoorden van een (qua taal) 10-tallige cultuur.

The decimal system of counting is well established in the English names for numbers. Both the suffix –teen (as in fourteen) and the suffix –ty (as in forty) are related to the word ten. But what about the anomalous eleven and twelve? Why do we not say oneteen, twoteen along the same pattern as thirteen, fourteen, fifteen? Eleven in Old English is endleofan, and related forms in the various Germanic languages point back to an original Germanic *ainlif, “eleven.” *Ainlif is composed of *ain–, “one,” the same as our one, and the suffix *–lif from the Germanic root *lib–, “to adhere, remain, remain left over.” Thus, eleven is literally “one-left” (over, that is, past ten), and twelve is “two-left” (over past ten).
The American Heritage® Dictionary of the English Language: Fourth Edition. 2000.

Dus, je hebt je tien vingers volgeteld en er staat nog een schaap voor het hek, ainlif/één blijft over. Zoals eerder opgemerkt, het Frans telt zo door tot 16, het Litouws helemaal tot 19. Waarom zou het bestaan van het woord 'twaalf' dan eerder wijzen op een 12-tallig zijn van onze telwoorden, en waarom is mij dan geen ander woord voor 'vierentwintig' bekend (of 32 voor de Fransen)?
(Ironisch genoeg vermeldt een Nederlands etymologisch <a href="http://www.etymologie.nl/">woordenboek</a> naast bovenstaande uitleg van 'eleven' een klaarblijkelijk bestaan van een 12-tallig stelsel naast een 10-tallig stelsel (in mijn ogen onterecht, ha!)).
Ik kan mij moeilijk voorstellen dat er een tijd is geweest dat men wel een woord had voor 12 (en 12-tallig was), maar nog niet voor 13, of 21 (het eerste echte "geforceerde" telwoord imo), al is dat moment er zeker geweest.
En ja, natuurlijk waren er ook 12-tallige stelsels (bij meten en wegen oa, ik weet zo geen voorbeelden overigens [dom van mij]), maar ik vind daar geen sporen van terug in onze telwoorden. Het woord 'dozijn' komt overigens weer van 'twaalf' (simpel gezegd), en 'gros' komt neer op 'gezwollen dozijn' (net zoals 'duizend' 'gezwollen honderd' betekent).

Als ik zoek naar het ontstaan van talstelsels, kom ik steeds dezelfde indeling tegen, (bijna) alle gerelateerd aan het menselijk lichaam (van eenvoudig naar complex): 2-tallig (1, 2, veel), 5-tallig (vingers aan een hand), 10-tallig (vingers), 20-tallig (vingers en tenen, in warme klimaten) en 60-tallig (knokkeltellen, 12 knokkels/kootjes aan de ene hand (duim doet niet mee) maal 5 vingers aan de andere hand). Uiteraard zijn er ook andere systemen, zoals het 30-tallige vingertellen van Confusion [hoe dan precies?].
De Babyloniërs deden 60-tallig (@ benoni, hier komt onze uur/minuut/seconde verdeling vandaan), Egyptenaren deden 10-tallig, net zoals de Chinezen en de Indiërs, en de Mayanen (die in Midden-Amerika) deden 20-tallig (opmerkelijk is dat bij de notatie van hun getallen Mayanen eenheden en vijftallen gebruikten en de Babyloniërs eenheden en tientallen) en de Romeinen en Grieken rommelden wat aan (5 en 10-tallig, met niet te versmaden resultaten overigens). Er zullen ongetwijfeld ook voorbeelden zijn van 12-tallige en andere culturen, ik ben 2 (niet nader geduide) bevestigingen daarvan tegen gekomen.

@Dido

Ik ben het helemaal met je eens als je stelt dat er "a priori" geen beste talstelsel is (octaal, iemand?) omdat talstelsels relatief en kunstmatig zijn en omdat "een" beste talstelsel, indien mogelijk, helemaal afhangt van de situatie waar je het wilt toepassen.
Echter, in de context [volgens mij doe ik niet aan het nieuwe Groene Boekje] van dit topic (het beste talstelsel om aan kinderen te leren), wilde ik wijzen op het belang van taal (imo in ons geval 10-tallig) en op mijn mening dat in huis-tuin-en-keuken gebruik het 10-tallig stelsel vooralsnog handig/toereikend is (en voordelen van een ander stelsel vooralsnog niet opwegen tegen de nadelen van een switch).
Ik ben er zeker voor om in het onderwijs in een vroeg stadium andere talstelsels te introduceren (ook in de hoop dat het inzicht verdiept wordt). Verder vind ik het niet onwaarschijnlijk dat we in de toekomst overstappen naar een ander talstelsel, met andere telwoorden.

Maar waarom zouden onze huidige telwoorden taalkundig niet 10-tallig zijn? Het enige wat ik kan doen met jouw argumentatie dat ze 12-tallig zijn, is aannemen dat er een tijd is geweest dat men niet verder telde dan 'twaalf' (een 'dozijn') en men geen grotere aantallen kon behappen dan 144, een 'gros' (of je moet gaan voor:"Zeg Jaerl, volgens mij liggen er meer dan zeven-dozijn-gros-gros-en-3-dozijn-en-negen zandkorrels op tafel"). Op het moment dat het telwoord 'dertien' werd gebruikt werden onze telwoorden 10-tallig.

[Hoelang zou het geduurt hebben, van 'elf'-'twaalf' naar 'dertien'?]

woensdag 28 januari 2004 01:23

Acties:

heforshe

Verwijderd schreef op 28 januari 2004 @ 00:10:
Nu beaam ik direct dat onze telwoorden vanaf 20 (zeker vanaf 100, met uitzondering van 'honderd' en 'duizend') keurig in het 10-tallig stramien passen en in die zin "geforceerd" zijn (ook als je naar noviteiten als 'miljoen(/miljard)', 'biljoen', 'triljoen', 'quadriljoen' etc. kijkt), maar ik vind ook dat dat voortvloeit uit de opbouw/historie van de eerste telwoorden van een (qua taal) 10-tallige cultuur.

Je realiseert je dat in veel oude talen dat wat nu vertaalt wordt al 1000 oorspronkelijk eigenlijk "erg veel" betekende?

(Ironisch genoeg vermeldt een Nederlands etymologisch woordenboek naast bovenstaande uitleg van 'eleven' een klaarblijkelijk bestaan van een 12-tallig stelsel naast een 10-tallig stelsel (in mijn ogen onterecht, ha!)).

Als (ha!) je dat onterecht vindt, wat zijn je argumenten?

Ik kan mij moeilijk voorstellen dat er een tijd is geweest dat men wel een woord had voor 12 (en 12-tallig was), maar nog niet voor 13, of 21 (het eerste echte "geforceerde" telwoord imo), al is dat moment er zeker geweest.

Moeilijk voorstelbaar... wat is het verschil (behalve 44 schapen) tussen "ik heb 12 keer 12 schapen" en "ik heb "10 keer 10 schapen" ?

En ja, natuurlijk waren er ook 12-tallige stelsels (bij meten en wegen oa, ik weet zo geen voorbeelden overigens [dom van mij]), maar ik vind daar geen sporen van terug in onze telwoorden.

Moet je eens opletten: je noemt er zo zelf een goede

Als ik zoek naar het ontstaan van talstelsels, kom ik steeds dezelfde indeling tegen, (bijna) alle gerelateerd aan het menselijk lichaam (van eenvoudig naar complex): 2-tallig (1, 2, veel), 5-tallig (vingers aan een hand), 10-tallig (vingers), 20-tallig (vingers en tenen, in warme klimaten) en 60-tallig (knokkeltellen, 12 knokkels/kootjes aan de ene hand (duim doet niet mee) maal 5 vingers aan de andere hand). Uiteraard zijn er ook andere systemen, zoals het 30-tallige vingertellen van Confusion [hoe dan precies?].

60=5 (vingers) x 12 knokkels[/b]
Sorry, maar het lijkt me vrij duidelijk dat het 12-tallig stelsel zeer zeker vrij oorspronkelijk is.

Ik ben het helemaal met je eens als je stelt dat er "a priori" geen beste talstelsel is (octaal, iemand?)

Nope, 12 heeft meer delers. Delen door drie is makkelijekr in het 12-tallig stelsel

Maar waarom zouden onze huidige telwoorden taalkundig niet 10-tallig zijn? Het enige wat ik kan doen met jouw argumentatie dat ze 12-tallig zijn, is aannemen dat er een tijd is geweest dat men niet verder telde dan 'twaalf' (een 'dozijn') en men geen grotere aantallen kon behappen dan 144, een 'gros' (of je moet gaan voor:"Zeg Jaerl, volgens mij liggen er meer dan zeven-dozijn-gros-gros-en-3-dozijn-en-negen zandkorrels op tafel"). Op het moment dat het telwoord 'dertien' werd gebruikt werden onze telwoorden 10-tallig.

Da's natuurlijk net zo'n onzin als stellen dat we niet tientallig tellen omdat we telwoorden boven de tien gebruiken.

We gebruiken het telwoord dertien. Oh dan tel je niet decimaal.

Precies

woensdag 28 januari 2004 02:40

Acties:

Soultaker

Dido schreef op 28 januari 2004 @ 01:23:
Nope, 12 heeft meer delers. Delen door drie is makkelijekr in het 12-tallig stelsel

Maar delen door 5 is makkelijker in het tientallig stelsel! 12 heeft 2, 2 en 3 als priemfactoren. 10 heeft 2 en 5 als priemfactoren. Het aantal verschillende priemfactoren is gelijk en de belangrijke factor 2 zit er in beide gevallen in. Of het dubbel voorkomen van 2 in het geval van 12 een voordeel heeft, vind ik niet zo duidelijk. Ik zou er zelf geen kunnen noemen.

Da's natuurlijk net zo'n onzin als stellen dat we niet tientallig tellen omdat we telwoorden boven de tien gebruiken.

We gebruiken het telwoord dertien. Oh dan tel je niet decimaal.

Het punt was juist dat met het gebruik van het telwoord 'dertien' wél decimaal geteld wordt. Ik vind daar ook wel wat in zitten. Het decimale talstelsel brengt een hiërarchie aan in de getallen: eenheden, tientallen, hondertallen, enzovoort. Op het moment dat je alle getallen afzonderlijk een naam geeft (een, twee, drie, ..., tien, elf, twaalf, foo, bar, baz) heb je nog helemaal geen hiërarchie; je hebt simpelweg een directe aanduiding voor elk getal.

Wanneer je de opsplitsing maakt in tientallen en eenheden (zoals bij dertien min of meer het geval is: drie-en-tien, maar nog meer bij getallen als een-en-twintig) heb je juist wel een hiërarchische naamgeving gecreëerd, met basis 10. Het ligt dan voor de hand om ook met hondertallen, duizendtallen, en ga zo maar door te gaan werken.

[ Voor 25% gewijzigd door Soultaker op 28-01-2004 02:43 ]

woensdag 28 januari 2004 12:04

Acties:

heforshe

Soultaker schreef op 28 januari 2004 @ 02:40:
Maar delen door 5 is makkelijker in het tientallig stelsel! 12 heeft 2, 2 en 3 als priemfactoren. 10 heeft 2 en 5 als priemfactoren. Het aantal verschillende priemfactoren is gelijk en de belangrijke factor 2 zit er in beide gevallen in. Of het dubbel voorkomen van 2 in het geval van 12 een voordeel heeft, vind ik niet zo duidelijk. Ik zou er zelf geen kunnen noemen.

Delen door drie komt vaker voor dan delen door twee.
Het aantal verschillende priemfactoren is een interessante factor, maar het aantal echte delers lijkt me eigenlijk belangrijker (10: 2, 5) (12: 2, 3, 4, 6).

Het punt was juist dat met het gebruik van het telwoord 'dertien' wél decimaal geteld wordt. Ik vind daar ook wel wat in zitten.

Maar tellen we decimaal wegens het woord dertien, of hebben we het woord dertien wegens decimaal tellen?

Het decimale talstelsel brengt een hiërarchie aan in de getallen: eenheden, tientallen, hondertallen, enzovoort. Op het moment dat je alle getallen afzonderlijk een naam geeft (een, twee, drie, ..., tien, elf, twaalf, foo, bar, baz) heb je nog helemaal geen hiërarchie; je hebt simpelweg een directe aanduiding voor elk getal.

Waarom wordt er altijd vanuit gegaan dat positionele hiërarchie typisch decimaal is

Dat we er geen woorden voor hebben betekent niet dat je in een dodecimaal stelsel geen eenheden, twaalftallen, 144-tallen, etc. hebt. Die zou je dan overigens aan kunen duiden als tientallen en honderttallen, als je maar weet dat tien₁₂=12₁₀.

Ook binair geldt datzelfde systeem: in het getal 111₂ staat de eerste 1 voor een 4-tal.

Wanneer je de opsplitsing maakt in tientallen en eenheden (zoals bij dertien min of meer het geval is: drie-en-tien, maar nog meer bij getallen als een-en-twintig) heb je juist wel een hiërarchische naamgeving gecreëerd, met basis 10. Het ligt dan voor de hand om ook met hondertallen, duizendtallen, en ga zo maar door te gaan werken.

Of je creeert eerst die hierarchie, en verzint vervolgens het getal dertien, drieentwintig, etc. Niets ligt voor de hand, je kunt wat jij beschrijft zelfs met grondtal 13 doen.