Min maal min is plus, waarom

[Jaguar_e]

Als al langs is geweest sry. Ik heb wel gezocht maar ik kon niet het antwoord vinden.

Zoals de titel al zegt: We leren allemaal op de middelbare school, min maal min is plus. En ik heb me altijd afgevraagt waarom is dat zo. Je krijgt als je 2 negative temperaturen met elkaar vermenigdvuldigt toch geen postieve??
Om maar ff een voorbeeld te noemen, niet het beste

Of is dit zo'n regel om een vergelijking maar kloppend te krijgen, dan den vraag of hij ook echt waar is.

Kan iemand mij het antwoord geven op deze(misschien wel hele simpele ) vraag

BVD

[ Voor 7% gewijzigd door Jaguar_e op 01-07-2003 13:56 ]

[Gulli]

min plus min is plus, niet maal

[DUX]

Gulli schreef op 01 July 2003 @ 14:00:
min plus min is plus, niet maal

Hm...Ik maar wat vaker naar de wiskundeklas gaan als ik jou was

[HaaZ]

bekijk het maar eens taalkundig:

ik wil wel wel taart = ik wil wel taart ( +*+ = + )
ik wil niet wel taart = ik wil niet taart ( -*+ = - )
ik wil wel niet taart = ik wil niet taart ( +*- = - )
ik wil niet niet taart = ik wil wel taart (-*- = + )

snap je t een beetje?

[Xander]

Gulli schreef op 01 July 2003 @ 14:00:
min plus min is plus, niet maal

min maal min is ook plus, ik hoop dat je weet hoeveel -2x-8 is? (en nee, dus geen -16).

[DUX]

[laat maar]

[Thijsch]

wij kregen in 1 VWO een hoofdstuk over "de heks" waar dit duidelijk in uitgelegd wordt.

een heks heeft een ketel met water van 0 graden. en rode en blauwe blokjes. De rode maken het water een graad warmer, en de blauwe een graad kouder. Op een gegeven moment is het water -5 graden, ze haalt er 1 blauw blokje uit (min min dus) en het water is -4 graden.

[Lord Daemon]

Je zal met me eens zijn dat de operatie 'vermenigvuldigen met a' een inverse heeft, namelijk 'delen door a'. Daarmee bedoel ik dat wanneer je b met a vermenigvuldigd, en het vervolgens weer door a deelt, je b terug krijgt. (Behalve voor a=0, maar dat laten we even buiten beschouwing.)

Je zal ook met me eens zijn dat 1 / -1 = -1.

Hoeveel is nu -1 * -1? Nu, we weten, uit het voorgaande, dat -1 * -1 / -1 = -1, want als we -1 eerst vermenigvuldigen met -1 en het dan weer door -1 delen, krijgen we -1 terug. Maar 1/ -1 = -1, dus hebben we:

-1 * -1 * -1 = -1.

Delen we aan beide kanten door -1, dan krijgen we:

-1 * -1 = 1.

Bekijken we nu het algemene geval -a * -b, dan zien we:

-a * -b = -1 * a * -1 * b = -1 * -1 * a * b = 1 * a * b = a * b.

Dus 'min maal min is plus'. Als ik me niet vergis heb ik dat afgeleid zonder het als aanname te gebruiken.

(Ik wil graag benadrukken dat dit niet bedoeld is als axiomatisch bewijs!)

(En dat dit een beetje een onzinpost is, want uit 1/-1 = -1 volgt natuurlijk direct dat -1 * -1 = 1; nu ja.)

[ Voor 15% gewijzigd door Lord Daemon op 01-07-2003 14:14 ]

[bobsnl]

Jaguar_e schreef op 01 July 2003 @ 13:55:
Zoals de titel al zegt: We leren allemaal op de middelbare school, min maal min is plus. En ik heb me altijd afgevraagt waarom is dat zo. Je krijgt als je 2 negative temperaturen met elkaar vermenigdvuldigt toch geen postieve??
Om maar ff een voorbeeld te noemen, niet het beste

Als je twee temperaturen met elkaar vermenigvuldigt, heb je ook een temperatuur het in het kwadraat met als eenheid K^2. Dat is ook niets logisch, maar kijk eens naar dit voorbeeld:

voorwerp A beweegt zich met snelheid - v in richting - x. In feite beweegt hij dus achteruit in de negatieve as-richting en dat is dus gewoon voorruit in positieve as-richting.

edit: ik heb nog zitten slapen ook: temperatuur in kelvin kan niet eens negatief zijn.

[ Voor 6% gewijzigd door bobsnl op 01-07-2003 19:09 . Reden: toevoeging ]

[Anoniem: 7517]

Je kan ook eens kijken naar x*-y. Ik neem aan dat je daarvan wel inziet dat dat -xy is. Verder moet -1(x*-y) wel het tegenovergestelde zijn van x*-y, dus dan is -x*-y wel xy.

[Terror]

Stel we hebben hebben een heuvel van 2 meter hoog. We maken deze 2 keer zo hoog. Dan wordt ie 4 meter (2*2 en positieve groei). Stel we maken hem -2 zo hoog (negatieve groei). Dan wordt het een kuil van -4 meter hoog.

Nu hebben we een kuil van -2 meter hoog en deze wordt -2 keer zo hoog, dan wordt ie dus 4 meter (negatieve keer negetieve groei). ZO heb ik het geleerd gekregen in de brugklas. Als je iets negatief vermenigvulgt dan groeit het de andere kant uit.

Opzich vanuit een ander oogpunt geredeneert.
-4*4= -16 (het gat wordt 4 keer zo diep)
Vermenigvuldigen kan je in elke volgorde doen. Dus
4*-4= -16 (teken wisselling)
-4*-4= 16(tekenwisselling toepassen)

[ Voor 21% gewijzigd door Terror op 01-07-2003 14:24 ]

[Gulli]

euh, ik ben een beetje in de war geloof ik ik was nooit goed in wiskunde maar dit wist ik wel

[heintjeput]

ParaDot schreef op 01 July 2003 @ 14:08:
wij kregen in 1 VWO een hoofdstuk over "de heks" waar dit duidelijk in uitgelegd wordt.

een heks heeft een ketel met water van 0 graden. en rode en blauwe blokjes. De rode maken het water een graad warmer, en de blauwe een graad kouder. Op een gegeven moment is het water -5 graden, ze haalt er 1 blauw blokje uit (min min dus) en het water is -4 graden.

Ja en zo werkt het ook ongeveer met keer

Waar woon jij trouwens en waar heb je op school gezeten? Want ik heb de heks ook gehad in de 1e

[job]

die heks is het standaard verhaal van het boek moderne wiskunde.
veel scholen gebruiken dat boek

[Jaguar_e]

Nou niet bij mij school, maar ja ze moesten zo nodig de wageningse methode gebruiken.
Ik lees hier wel verklaringen voor het probleem, maar waarom is dit zo. Wnat wat ik hier lees is allemaal uitleg hoe je deze regel zou kunnen toepassen. Dit vraag is echter Waarom bestaat het dat min maal min plus is. Of lees ik nu verkeerd??

[Xander]

Jaguar_e schreef op 01 July 2003 @ 19:39:
Nou niet bij mij school, maar ja ze moesten zo nodig de wageningse methode gebruiken.
Ik lees hier wel verklaringen voor het probleem, maar waarom is dit zo. Wnat wat ik hier lees is allemaal uitleg hoe je deze regel zou kunnen toepassen. Dit vraag is echter Waarom bestaat het dat min maal min plus is. Of lees ik nu verkeerd??

Sja, ik denk dat ook niemand kan beantwoorden waarom 3+2 5 is.....
Ik denk dat die uitleg van HaaZ nog de simpelste is als het er echt omgaat waarom het zo is.

[Anoniem: 87752]

3+2 = 5 is toch niet niet (=wel) uit te leggen?
Als je 3 koeien hebt en je doet er 2 bij heb je er toch 5, of ben ik nou gek?

[Anoniem: 29349]

XanderH schreef op 01 July 2003 @ 19:44:
[...]


Sja, ik denk dat ook niemand kan beantwoorden waarom 3+2 5 is.....
Ik denk dat die uitleg van HaaZ nog de simpelste is als het er echt omgaat waarom het zo is.

Jawel hoor.
Afspraak(!) is dat ons getalstelsel 1 2 3 4 5 is.
Indien je 2 (1 2) en 3 (1 2 3) krijg je dus 1 2 1 2 3 wat dus 1 2 3 4 5 is.
2+3=5

Lijkt me de meest logische uitleg. Dit is dus gebaseerd op afspraken en als die afspraak anders was geweest had het ook 101 kunnen zijn

[Ferdo]

Zoals wij het geleerd hebben op school (MAVO):

3×-3=-9
2×-3=-6
1×-3=-3
0×-3=0
dus -1×-3 is???

[Anoniem: 87752]

3

[Ferdo]

Anoniem: 87752 schreef op 01 July 2003 @ 19:56:
3

Kortom, positief dus. Maar ik geef toe dat het zo wel èrg simpel is uitgelegd.

[Anoniem: 26306]

Ah, de ijsblokjes en de heksenketel

Bij een vermenigvuldiging heb je twee getallen, laten we even voor het gemak nemen dat het linker getal het aantal handelingen is, en het rechter is het aantal ijsblokjes.

Als er links een positief getal staat voeg je blokjes toe, staat er een negatief getal dan haal je blokjes uit de ketel. Rechts staat altijd een negatief getal, aangezien het om ijsblokjes gaat, en die zijn koud. Zou er aan de rechterkant een positief getal staan, dan voer je handelingen uit met warme blokjes. Maar dat doen we in dit geval niet.\

Stel je doet -4 * -3, dat betekent dus dat we 4 keer 3 ijsblokjes uit de ketel vissen. De temperatuur in de ketel zal stijgen. Het resultaat is dus positief.

[ Voor 4% gewijzigd door Anoniem: 26306 op 01-07-2003 20:08 . Reden: typo ]

[Anoniem: 43565]

Ferdo schreef op 01 July 2003 @ 19:58:
[...]

Kortom, positief dus. Maar ik geef toe dat het zo wel èrg simpel is uitgelegd.

Dus, ik heb bij de bank een schuld van 100 gulden. Dat vermenigvuldig ik met 100 schulden en dan kom ik vanzelf 10000 gulden in de plus te staan
* Anoniem: 43565 gaat even langs een paar banken

[Anoniem: 87752]

Hoe kan je geld nou met geld vermedigvuldigen?
Je kan toch ook niet 2 briefjes van honderd vermedigvuldigen en er dan 10000 van maken

[Anoniem: 29349]

Jaguar_e schreef op 01 July 2003 @ 19:39:
Nou niet bij mij school, maar ja ze moesten zo nodig de wageningse methode gebruiken.
Ik lees hier wel verklaringen voor het probleem, maar waarom is dit zo. Wnat wat ik hier lees is allemaal uitleg hoe je deze regel zou kunnen toepassen. Dit vraag is echter Waarom bestaat het dat min maal min plus is. Of lees ik nu verkeerd??

http://www.wisfaq.nl/fram...cht.asp?categorie=Rekenen

[Anoniem: 43565]

Anoniem: 87752 schreef op 01 July 2003 @ 20:03:
Hoe kan je geld nou met geld vermedigvuldigen?
Je kan toch ook niet 2 briefjes van honderd vermedigvuldigen en er dan 10000 van maken

Als ik 100 stapeltjes van 100 gulden heb (ja, gulden ja ), dan heb ik toch 100 * 100 gulden?
Dus als ik bij 100 banken een schuld van 100 gulden heb staan, dus bij 100 banken een saldo van -100 gulden, dan heb ik toch, ow, verek, het aantal banken kan niet negatief
Lamaar

[Anoniem: 87752]

hehehe
En je moet wel lezen wat ik zeg want ik zei 2 briefjes, maar lama

[Anoniem: 70162]

HaaZ schreef op 01 July 2003 @ 14:01:
bekijk het maar eens taalkundig:

ik wil wel wel taart = ik wil wel taart ( +*+ = + )
ik wil niet wel taart = ik wil niet taart ( -*+ = - )
ik wil wel niet taart = ik wil niet taart ( +*- = - )
ik wil niet niet taart = ik wil wel taart (-*- = + )

snap je t een beetje?

hulde
10 x zo duidelijk als de rest van het topic bij elkaar

[Anoniem: 48145]

Anoniem: 87752 schreef op 01 July 2003 @ 20:03:
Hoe kan je geld nou met geld vermedigvuldigen?
Je kan toch ook niet 2 briefjes van honderd vermedigvuldigen en er dan 10000 van maken

Jawel, maar dan moet je meten in vierkante guldens. (Of in vierkante Euro's, dat is bijna 5 keer zoveel)

Waarom is - (- a) = a ?

Omdat voor elke x per definitie - x het getal is zo dat x + (- x) = 0

Als we kiezen x = - a en invullen, moet gelden: - a + (- x) = 0

Hieruit lossen we op - x = a (want per definitie is - a + a = 0)

Vullen we nu x in dan volgt - (- a) = a

edit:
omdat - a = (- 1) * a volgt natuurlijk ook (- a) * (- b) = a * b

[ Voor 7% gewijzigd door Anoniem: 48145 op 01-07-2003 20:28 ]

[Anoniem: 87752]

Maar het gaat erom dat je geen briefjes met elkaar kan vermedigvuldigen

[Anoniem: 48145]

In abstracte zin kan dat best, natuurlijk. Of je er een handeling bij kunt bedenken is dan verder jouw probleem.

edit:
al is het natuurlijk ook waar dat wie met vierkante Euro's probeert te betalen lelijk op zijn neus kijkt

[ Voor 35% gewijzigd door Anoniem: 48145 op 01-07-2003 20:41 ]

[PhysicsRules]

HaaZ schreef op 01 July 2003 @ 14:01:
bekijk het maar eens taalkundig:

ik wil wel wel taart = ik wil wel taart ( +*+ = + )
ik wil niet wel taart = ik wil niet taart ( -*+ = - )
ik wil wel niet taart = ik wil niet taart ( +*- = - )
ik wil niet niet taart = ik wil wel taart (-*- = + )

snap je t een beetje?

Dit is zeer helder.

Het is echter interessant dat dit niet zo werkt in alle talen. In sommige talen ´vermenigvuldig´ je ontkenningen, in andere ´tel je ze op´.

In het frans heb je
je ne suis pas = ik ben niet ( - en - = 2- )

Ander voorbeeld: in het nederlands:
ik wil niet niets: ik wil wel wat: (-*-=+)
MAAR: in het hebreeuws:

code:

ani lo   rotse kloem  : betekent letterlijk
ik  niet wil   niets

maar betekent: ik wil helemaal niets ( - en -=2-)

MAAR, dat let niet dat de NL versie een mooi voorbeeld is voor het wiskundige probleem.

[Anoniem: 70162]

ik spreek geen hebreeuws, maar dat 'ne' in het frans staat daar alleen maar als 'onderdeel' van 'ne pas'.

ik ben niet niet = je ne ne suis pas pas

'ne' betekent los helemaal niets (als in: heeft totaal geen functie, is een waardeloos woord) en wordt ook wel eens weggelaten, maar dan vooral door belgen en zwitsers

[ Voor 19% gewijzigd door Anoniem: 70162 op 01-07-2003 22:55 ]

[maroesjk]

Min kan je simpel gezegd definieren als het tegengestelde van plus (ofwel geven wordt krijgen, winnen wordt verliezen etc.)

Ik zeg: "Ik krijg één appel": 1 x 1 appel = 1 appel

Ik zeg: "Ik geef één appel": -1 x 1 appel = -1 appel
Ik zeg: "Ik krijg min één appel": 1 x -1 appel = -1 appel
Immers, "Ik geef ..." is hetzelfde als "Ik krijg min ..."

Ik zeg: "Ik geef min één appel": -1 x -1 appel = 1 appel
Immers, als ik min één appel geef (dubbele ontkenning) kan ik ook zeggen dat ik één appel krijg

[Paters]

Als je een negatieve schuld hebt, heb je nog iets te goed.

[Anoniem: 61994]

En zo kunnen we wel door blijven gaan...
Dus nog maar een bijdrage van mijn kant.

Rechter: "Is het niet zo dat je die moord niet gepleegd hebt?"

Stel ik heb de moord niet gepleegd:
Het antwoord op de stelling "dat je die moord niet gepleegt hebt" is de "waarheid"

de vraag wordt dan : "is het niet zo dat je de waarheid spreekt?"

Was de vraag: "Is het zo dat je de waarheid spreekt?" wordt dan "Ja"
Maar vanwege de ontkenning wordt het antwoord op
"Is het niet zo dat je die moord niet gepleegd hebt?", een "Nee"

Ja = Ja,
Nee = Nee,
Wel Ja = Ja
Niet Nee = Ja.... Want wat is "Niet Nee" dan?


Met schuld mag het ook:

Tegoed = Tegoed
Schuld = Schuld
Wel schuld = Schuld
Geen Schuld = Tegoed

enzovoort....

[Anoniem: 70162]

mja, zit je met het probleem dat de dubbele ontkenning in het nederlands niet goed geregeld is:

-ben je vandaag niet naar school geweest?

of je nou 'ja' of 'nee' antwoordt, het blijft onduidelijk.

[brokenp]

om even het bankvoorbeeld er bij te gebruiken
Stel ik heb 0 op mijn bankrekeningn
stel ik heb neem € 100 op (-100)
Stel ik leen nog eens 9 keer deze schuld, dan heb ik 1000 schuld (-100*10)

Storten is het tegenovergestelde van opnemen, als ik -1 opneem leen is dit 1x storten.
stel ik neem -10 keer geld op, dan stort ik dus 10 x, dus is mijn saldo +1000

Je kan het natuurlijk ook wiskundig benaderen
-1 * -2 = - ( 1*-2) = - ( -2)
nu moet je je alleen afvragen of --2 gelijk is aan 2...

[Glock]

whoops, foutje, klopte niet

[ Voor 93% gewijzigd door Glock op 02-07-2003 11:23 ]

[Woy]

Anoniem: 29349 schreef op 01 July 2003 @ 19:53:
[...]

Jawel hoor.
Afspraak(!) is dat ons getalstelsel 1 2 3 4 5 is.
Indien je 2 (1 2) en 3 (1 2 3) krijg je dus 1 2 1 2 3 wat dus 1 2 3 4 5 is.
2+3=5

Lijkt me de meest logische uitleg. Dit is dus gebaseerd op afspraken en als die afspraak anders was geweest had het ook 101 kunnen zijn

Ja dat slaat dus nergens op he dat is precies hetzelfde als zeggen dat 2+4 = 110

[Blizard]

Hmm, hoe je een gans topic vol verwarrende verklaringen over een bewerking die je zit in de lagere school kan krijgen Normaal is het begrijpen van ingewikkelde meetkundige bewerkingen met sin en cos veel moeilijker dan een simpele min maal min is plus, maar inderdaad, als je er dieper over gaat denken is het "waarom" niet echt eenvoudig te vinden.

Wat : HaaZ schreef

op 01 July 2003 @ 14:01:
bekijk het maar eens taalkundig:
ik wil wel wel taart = ik wil wel taart ( +*+ = + )
ik wil niet wel taart = ik wil niet taart ( -*+ = - )
ik wil wel niet taart = ik wil niet taart ( +*- = - )
ik wil niet niet taart = ik wil wel taart (-*- = + )
snap je t een beetje?

klopt volledig, maar is volgens mij geen gevolg van onze taal maar steunt zijn taalgebruik hier op wiskunde .. Als iemand aan mij zegt dat hij wel niet taart wil ?! Dan weet ik nog steeds niet of hij het nou wel .. of niet wil. Maar dan haalt hij er de wiskunde bij en zegt dat niet (-) maal (and) wel (+) gelijk is aan niet (-) .. Dus je gaat eigenlijk je wiskunde omzetten in taal. Wat volgens mij geen verklaring geeft voor de topicstarter zijn probleem ?!

[GeeBee]

Als je een getal ziet als een pijl langs een getallenlijn, betekent een min dat de pijl de andere kant op wijst.
Als je begint met een pijl die de negatieve kant op wijst, betekent dat dat de pijl vervolgens de andere kant, dus de positieve kant, opwijst.

Alleen is dit geen bewijs, maar een model... hmmm...

[RickN]

code:

-1 * -1 = 1

   ={links en recht delen door -1}

-1 * -1   1
------- = --
-1        -1

   ={-1 = -1 * 1}

-1 * -1   1
------- = --
-1 * 1    -1

   ={ab/cd = a/c * b/d}

-1   -1   1
-- * -- = --
-1   1    -1

   ={a/a = 1}

    -1   1
1 * -- = --
    1    -1

   ={a/b = a * 1/b}

    -1       -1
1 * -- = 1 * --
    1        1

   ={(a = a) = true}

true

Q.E.D

[Zoijar]

RickN schreef op 02 July 2003 @ 14:35:
Q.E.D

Als je zo iets wilt bewijzen moet je toch echt met algebra axiomas gaan werken. Dan kan je ook meteen bewijzen dat het bv geldt in elke CUR oid.

[RickN]

Zoijar schreef op 02 juli 2003 @ 14:37:
[...]


Als je zo iets wilt bewijzen moet je toch echt met algebra axiomas gaan werken. Dan kan je ook meteen bewijzen dat het bv geldt in elke CUR oid.

Ja, maar het gaat er mij alleen om een "bewijsje" te geven waarin ik alleen transformaties gebruik die de TS niet in twijfel trekt. En dat valt niet mee, want als ie aan -1*-1=1 twijfelt, waarom zou ie -1/-1=1 dan wel geloven....

[GeeBee]

Stap 4 -> 5:
Mag je gebruik maken van -1 : -1 = 1 als je wilt bewijzen dat -1 × -1 = 1?

Net te langzaam gereageerd

[ Voor 18% gewijzigd door GeeBee op 02-07-2003 14:48 ]

[Xander]

Anoniem: 29349 schreef op 01 July 2003 @ 19:53:
[...]

Jawel hoor.
Afspraak(!) is dat ons getalstelsel 1 2 3 4 5 is.
Indien je 2 (1 2) en 3 (1 2 3) krijg je dus 1 2 1 2 3 wat dus 1 2 3 4 5 is.
2+3=5

Lijkt me de meest logische uitleg. Dit is dus gebaseerd op afspraken en als die afspraak anders was geweest had het ook 101 kunnen zijn

Hier kijk, daar heb je het dus. dat min maal min plus is is ook gewoon een afspraak...

[Anoniem: 34906]

Toch wel een leuk topic dit.

stelling : Ik heb DRIE taarten tekort en ik vermenigvuldig dat met nog eens DRIE taarten tekort lol heb ik ineens 9 taarten over

das mooi goedkoop

[ Voor 5% gewijzigd door Anoniem: 34906 op 02-07-2003 16:27 ]

[Anoniem: 66885]

Jonges.....tijd om trug naar school te gaan.....:-)

[Gnoom]

Anoniem: 34906 schreef op 02 juli 2003 @ 16:27:
Toch wel een leuk topic dit.

stelling : Ik heb DRIE taarten tekort en ik vermenigvuldig dat met nog eens DRIE taarten tekort lol heb ik ineens 9 taarten over

das mooi goedkoop

Het lijkt me toch duidelijk dat dit niet klopt Dit vanwege hetzelfde probleem als bij de bankbriefjes. 3x * 3x = 9 x^2 en niet 9x. En wat je je bij taartkwadraat moet voorstellen Ik vraag me ook af wat ik me moet voorstellen bij een vermenigvuldiging van taartekorten.

[Zoijar]

Komt er dus op neer dat je een bewijs moet geven voor (-a)*(-b) = a*b, waarbij je alleen gebruik maakt van de volgende 6 regeltjes:

a1: a+(b+c) = (a+b)+c {associatieve optelling}
a2: a+0=0+a=0 {neutraal element optelling}
a3: voor alle a: er is een element -a zodat: a+(-a) = (-a)+a = 0 {inverse element voor de optelling}
a4: a+b=b+a {commutatieve optelling}
a5: a*(b*c)=(a*b)*c {associatieve vermenigvuldiging}
a6: a*(b+c)=a*b + a*c; (a+b)*c = a*c + b*c {distributief}

Kom er zelf nu even niet op, heb het ooit wel gedaan...was geloof ik niet helemaal simpel. Merk op dat er dus geen commutatieve vermenigvuldiging hoeft te zijn, ie. a*b=b*a hoeft niet te gelden.

[ Voor 10% gewijzigd door Zoijar op 02-07-2003 19:42 ]

[Anoniem: 42998]

het vriest 10 graden (-10). Nu gaat het 5 graden minder vriezen (-5).
Dan wordt het dus 5 graden warmer (+5).

[Anoniem: 26306]

Anoniem: 42998 schreef op 02 July 2003 @ 20:05:
het vriest 10 graden (-10). Nu gaat het 5 graden minder vriezen (-5).
Dan wordt het dus 5 graden warmer (+5).

En waar vermenigvuldig je nu precies twee negatieve getallen? Wat jij doet is optellen/aftrekken.

[GeeBee]

Zoijar schreef op 02 July 2003 @ 19:40:
Komt er dus op neer dat je een bewijs moet geven voor (-a)*(-b) = a*b, waarbij je alleen gebruik maakt van de volgende 6 regeltjes:

a1: a+(b+c) = (a+b)+c {associatieve optelling}
a2: a+0=0+a=0 {neutraal element optelling}
a3: voor alle a: er is een element -a zodat: a+(-a) = (-a)+a = 0 {inverse element voor de optelling}
a4: a+b=b+a {commutatieve optelling}
a5: a*(b*c)=(a*b)*c {associatieve vermenigvuldiging}
a6: a*(b+c)=a*b + a*c; (a+b)*c = a*c + b*c {distributief}

Kom er zelf nu even niet op, heb het ooit wel gedaan...was geloof ik niet helemaal simpel. Merk op dat er dus geen commutatieve vermenigvuldiging hoeft te zijn, ie. a*b=b*a hoeft niet te gelden.

Oh shit. Groepen/Ringen/Lichamen. Dat is (te) lang geleden.
Maar hoe zat het ook alweer. Bewees je zo niet dat de bewerking × een groep/ring/lichaam is? Maar dat hoef je hier toch niet te bewijzen?
* GeeBee zal zijn dictaten eens opdiepen...

[Anoniem: 48145]

Ik heb eerder al bewezen dat - (- a) = a

Verder is het voor alle x zo dat - x = (- 1) * x = x * (- 1)
want x + (- 1) * x = (1 - 1) * x = 0 * x = 0 = x * 0 = x * (- 1 + 1) = x * (- 1) + x

Dus (- a) * (- b) = a * (- 1) * (- 1) * b = a * - (- 1) * b = a * 1 * b = a * b

(in iedere ring)

Niet heel diepzinnig allemaal, wel veel tikwerk

[ Voor 13% gewijzigd door Anoniem: 48145 op 02-07-2003 21:07 ]

[Zoijar]

Anoniem: 48145 schreef op 02 July 2003 @ 21:03:
Ik heb eerder al bewezen dat - (- a) = a

Verder is het voor alle x zo dat - x = (- 1) * x = x * (- 1)
want x + (- 1) * x = (1 - 1) * x = 0 * x = 0 = x * 0 = x * (- 1 + 1) = x * (- 1) + x

Dus (- a) * (- b) = a * (- 1) * (- 1) * b = a * - (- 1) * b = a * 1 * b = a * b

(in iedere ring)

Niet heel diepzinnig allemaal, wel veel tikwerk

Maar het symbool "1" komt niet voor in die 6 axiomas Er is niets gezegd over een neutraal element voor de vermenigvuldiging.

[Anoniem: 48145]

Dat bedacht ik me net ook
Oorspronkelijk ging het over getallen, dus toen mocht het nog wel.

Het kan ook handig en zonder van 1 gebruik te maken

0 = (- a) * (b - b) = (- a) * b + (- a) * (- b) = - (a * b) + (- a) * (- b)

Aan beide kanten a * b optellen geeft a * b = (- a) * (- b)

Dan moet ik nog bewijzen dat (- a) * b = - (a * b) (gebruikt bij derde gelijk-teken)
Dat is zo want (- a) * b + (a * b) = (- a + a) * b = 0 * b = 0

edit:
OK, ik moet ook nog bewijzen dat 0 * x = 0, en dan ben ik echt klaar

0 * x = (0 + 0) * x = 0 * x + 0 * x

Trek aan beide kanten 0 * x af

zelfde manier voor x * 0 = 0 natuurlijk

[ Voor 34% gewijzigd door Anoniem: 48145 op 02-07-2003 21:33 ]

[Zoijar]

Anoniem: 48145 schreef op 02 July 2003 @ 21:21:
Dat bedacht ik me net ook
Oorspronkelijk ging het over getallen, dus toen mocht het nog wel.

Het kan ook handig en zonder van 1 gebruik te maken

0 = (- a) * (b - b) = (- a) * b + (- a) * (- b) = - (a * b) + (- a) * (- b)

Aan beide kanten a * b optellen geeft a * b = (- a) * (- b)

Dan moet ik nog bewijzen dat (- a) * b = - (a * b) (gebruikt bij derde gelijk-teken)
Dat is zo want (- a) * b + (a * b) = (- a + a) * b = 0 * b = 0

edit:
OK, ik moet ook nog bewijzen dat 0 * x = 0, en dan ben ik echt klaar

0 * x = (0 + 0) * x = 0 * x + 0 * x

Trek aan beide kanten 0 * x af

zelfde manier voor x * 0 = 0 natuurlijk

Ok Ik wilde idd al meteen posten "wie zegt dat x*0=0?" hehe Dan heet de Ts nu eindelijk zijn antwoord. Daarom dus

[Anoniem: 26306]

Zoijar schreef op 02 July 2003 @ 21:45:

Ok Ik wilde idd al meteen posten "wie zegt dat x*0=0?" hehe Dan heet de Ts nu eindelijk zijn antwoord. Daarom dus

TS vroeg om een antwoord, niet specifiek om een wiskundig bewijs. Ik denk dat je beter ervoor kunt zorgen dat de topicstarter er een voorstelling van kan maken.

Nog een paar voorbeelden:

Stel je hebt een weegschaal met daarop een mand met blokjes (positief gewicht) daarin. Aan de mand zijn ook heliumballonnen (negatief gewicht) vastgemaakt.

Bij een vermenigvuldiging heb je links en rechts van het maal-teken een getal.
Laten we ons even voorstellen dat als er links er een positief getal staat, dat we iets toevoegen. Staat er links een negatief getal, dan halen we iets weg. Het rechter getal geeft aan wat we weghalen of toevoegen. Rechts een positief getal betekent dat we iets met blokjes doen, rechts een negatief getal betekent dat we iets met de ballonnen doen.

+ 3 * + 4 = toevoegen: drie keer 4 vier blokjes
+ 3 * - 4 = toevoegen: drie keer 4 vier ballonnen
- 3 * + 4 = weghalen: drie keer 4 vier blokjes
- 3 * - 4 = weghalen: drie keer 4 vier ballonnen

Geef van elk van de vier mogelijkheden aan of de weegschaal meer of minder gewicht aangeeft.

[Anoniem: 34906]

Het is toch zo simpel dit

Iedereen weet dat 2 x 2 = 4
maar als ik 2 maal een tekort (zeg een schuld) van bv -2 heb dan wordt het -4
Maar als ik 2 maal een schuld uitdeel (bv -2) x -2 dan ben ik er vanaf en ik zit ik op 4

Peanuts.

[Anoniem: 87920]

bobsnl schreef op 01 July 2003 @ 14:11:
[...]

Als je twee temperaturen met elkaar vermenigvuldigt, heb je ook een temperatuur het in het kwadraat met als eenheid K^2. Dat is ook niets logisch, maar kijk eens naar dit voorbeeld:

voorwerp A beweegt zich met snelheid - v in richting - x. In feite beweegt hij dus achteruit in de negatieve as-richting en dat is dus gewoon voorruit in positieve as-richting.

edit: ik heb nog zitten slapen ook: temperatuur in kelvin kan niet eens negatief zijn.

Het bewijs van de stelling kom ik later wel mee, kan ik ff opzoeken in een schrift van me, maar ik will hier toch ff iets rechtzetten... We hebben over negatieve temperaturen en de Kelvinschaal => dit strookt niet. Op de Kelvin temperatuurschaal is een negatieve temp onmogelijk, dit is het absolute nulpunt, zonder molecuulbewegingen

[Lord Daemon]

Anoniem: 87920 schreef op 03 July 2003 @ 18:17:
Het bewijs van de stelling kom ik later wel mee, kan ik ff opzoeken in een schrift van me, maar ik will hier toch ff iets rechtzetten... We hebben over negatieve temperaturen en de Kelvinschaal => dit strookt niet. Op de Kelvin temperatuurschaal is een negatieve temp onmogelijk, dit is het absolute nulpunt, zonder molecuulbewegingen

Nee hoor, in bepaalde systemen komen wel degelijk negatieve temperaturen voor. Temperatuur is in de thermodynamica namelijk standaard gedefinieerd als 1/T = dS/dU (bij gelijkblijvend volume), met T de temperatuur, U de energie en S de entropie van het systeem. Beschouwen wij nu een systeem van N spin-1/2 deeltjes in een magneetveld, dan blijkt dat wanneer de energie van het systeem toeneemt, de entropie soms afneemt. Dan is natuurlijk de afgeleide van de entropie naar de energie negatief, en is T negatief. Paradoxaal genoeg is een negatieve temperatuur 'warmer' dan een positieve, in die zin dat het systeem warmte zal afgeven aan alle systemen met een positieve temperatuur.

[RickN]

Anoniem: 87920 schreef op 03 July 2003 @ 18:17:
[...]


Het bewijs van de stelling kom ik later wel mee, kan ik ff opzoeken in een schrift van me, maar ik will hier toch ff iets rechtzetten... We hebben over negatieve temperaturen en de Kelvinschaal => dit strookt niet. Op de Kelvin temperatuurschaal is een negatieve temp onmogelijk, dit is het absolute nulpunt, zonder molecuulbewegingen

Het kromme in dit hele topic is niet zozeer het negatief zijn van temperatuur (in willekeurige welke eenheid), als wel het vermenigvuldigen van temperaturen. Het vermenigvuldigen van temperaturen betekent gewoon niks, dus het is logisch dat de TS met temperaturen als voorbeeld niet intuïtief kan aanvoelen dat negatief * negatief = positief....

[windancer]

Okay, laat ik het eens proberen. Eerst bewijs ik dat -1 * a = -a

code:

            -1 * a = -a
      (-1 * a) + a = -a + a
(-1 * a) + (1 * a) = 0
      (-1 + 1) * a = 0
             0 * a = 0

okay nu het eigenlijke bewijs :

code:

                 -a * -b = a * b
     (-a * -b) - (a * b) = (a * b )- (a * b)  (gebruikt nu dat -(a * b) = -1 * (a * b) )
(-a * -b) + -1 * (a * b) = 0
(-a * -b) + (-1 * a) * b = 0   (gebruikt nu dat -1 * a = -a)
    (-a * -b) + (-a * b) = 0
           -a * (-b + b) = 0
                  -a * 0 = 0
                       0 = 0 QED

[Anoniem: 34906]

Waarom eindigen dit soort topics altijd in van die ondoordachtzame overbodige en vooral patserig geblaat met krioel formules...

[GeeBee]

omdat iets bewijzen nu eenmaal een kwestie van veel schrijfwerk in en vooral geen stappen overslaan...

[Lord Daemon]

windancer schreef op 03 juli 2003 @ 22:59:
Okay, laat ik het eens proberen.

Ik snap jouw bewijstrant niet helemaal? Als uit een stelling S volgt dat 0=0, is dat nog geen bewijs voor S; immers, uit elke stelling volgt 0=0.

[GeeBee]

Als je tijdens je bewijs gebruik maakt van de aanname van -1×a = -a (wat je wilt bewijzen) en er komt 0=0 (wat klopt) uit, mag je dan zeggen dat je aanname klopt?

[blobber]

Je hebt een tekort van 400 euro op je rekening --> -400 Euro

Je kunt dit tekort missen als kiespijn, je trekt daarom het tekort (-400) van je rekening af om op nul te komen --> -400 - - 400 euro = 0 oftewel - - 400 = 400

tja...

[Jaguar_e]

Goed ik iets vaker langs moeten wippen, was alleen bezig creatief te zijn

Kijk de verklaring + uitleg dat de regel klopt aan de hand van taal formules is leuk. Maar daar vroeg ik niet om, Want nog steeds geld dat als het -10 graden vriest en het daarna -5 graden vriest. Het niet -10 * -5 = 50!! graden is maar nog steeds -5 graden vriest. Dus dan geld dat -10 --5 = -5. Als je zou zeggen dat geld -10 * --5 = -50!! dan zie je dat -*- dus eigenlijk niet logisch is, maar het een regel is zodat men formules "waar/kloppend" kan maken. En het weer een verklaring is voor een door ons niet verklaarbaar verschijnsel.
Waar je dus uit kan afleiden dat het een regel is, maar (nog) niemand heeft het bewijs gelevert waarom het zo is. En deze regel is er bij iedereen(ik dus ook) gewoon in gegoten omdat het zo is punt. Wel een intressante discussie
Of loop ik te raaskallen??

[ Voor 3% gewijzigd door Jaguar_e op 04-07-2003 01:21 ]

[Sendy]

Maar dan ga je voorbij aan het feit dat negative aantallen (er is geen -1 stuk taart, dat _kan_ niet), en ook temperaturen (gedefineerd in Kelvin, altijd > 0) niet bestaan in de gewone wereld. Negatieve _ge_tallen bestaan wel. Echter, deze hebben geen directe relatie met iets fysisch.

Ons getallenstelsel is heel mooi gedefinieerd met het stelsel hierboven genoemd. (Ook al is dat onstaan uit de fysieke wereld en later geformaliseerd). Uit de formalisatie (het kan namelijk niet met de fysieke wereld) volgt dat het vermenigvuldigen van twee negatieve getallen en positief getal opleveren. Het lijkt dus een afspraak te zijn, maar het is een gevolg van de formalisatie.

De grap is wel dat je een andere formalisatie kan bedenken, en daar dan andere regels voor bedenkt. Dan hoeft natuurlijk niet te gelden dat -1 * -1 = 1. Alles kan met negatieve getallen, want je kan dat toch niet met taarten, biertjes of 'aantallen' doen.

[windancer]

Lord Daemon schreef op 03 juli 2003 @ 23:56:
[...]
Ik snap jouw bewijstrant niet helemaal? Als uit een stelling S volgt dat 0=0, is dat nog geen bewijs voor S; immers, uit elke stelling volgt 0=0.

Uit mijn stelling komt, in een aantal reversibele stappen, 0=0, dus is de oorspronkelijke stelling is equivalent met 0=0 en is de stelling dus altijd waar.

Je kunt het ook zo lezen dat je vanuit de aanname 0=0 (wat altijd waar is) kunt komen naar de uitspraak -a * -b = a * b door de stappen in omgekeerde richting uit te voeren.

[PhysicsRules]

jaguar_e, ik volg niet helemaal wat je bedoeld, met -10 graden en -5 graden en dan weer vermenigvuldigen en optellen.

Kun je het iets duidelijker maken?

Het vermenigvuldigen van temperaturen heeft geen toegevoegde waarde denk ik. Het heeft namelijk geen practische betekenis, en dat is nu juist waar je naar vraagt. (Denk ik.)

[Anoniem: 8386]

windancer schreef op 04 July 2003 @ 07:14:
[...]

Uit mijn stelling komt, in een aantal reversibele stappen, 0=0, dus is de oorspronkelijke stelling is equivalent met 0=0 en is de stelling dus altijd waar.

Je kunt het ook zo lezen dat je vanuit de aanname 0=0 (wat altijd waar is) kunt komen naar de uitspraak -a * -b = a * b door de stappen in omgekeerde richting uit te voeren.

Om die reden kan je het bewijs beter in omgekeerde volgorde op schrijven. (dan hoeft nog schrijver, nog lezer bij elke stap na te denken of de stap ook in de andere richting geoorloofd is. (of anders expliciet aangeven dat op een volgende regels equivalent zijn.

[Lord Daemon]

GeeBee schreef op 04 July 2003 @ 00:00:
Als je tijdens je bewijs gebruik maakt van de aanname van -1×a = -a (wat je wilt bewijzen) en er komt 0=0 (wat klopt) uit, mag je dan zeggen dat je aanname klopt?

Nee, want 0=0 is een tautologie, en volgt dus uit alles. Het volgende is een correct bewijs:

De maan is van groene kaas
->
0 = 0

Maar laten we daaruit niet concluderen dat de maan van groene kaas is.

windancer schreef op 04 July 2003 @ 07:14:
Uit mijn stelling komt, in een aantal reversibele stappen, 0=0, dus is de oorspronkelijke stelling is equivalent met 0=0 en is de stelling dus altijd waar.

Wat is de definitie van een reversibele stap precies? Maar even afgezien daarvan, is het niet duidelijker en meer verantwoord om gewoon de standaard manier van bewijzen te volgen, waarbij je je conclusie bewijst uit je aannames? (Ik betwist overigens niet dat jouw twee bewijzen 'correct' zijn in die zin dat ze gemakkelijk in zo'n vorm te gieten zijn.)

[Dido]

Jaguar_e schreef op 04 juli 2003 @ 01:20:
Goed ik iets vaker langs moeten wippen, was alleen bezig creatief te zijn

Kijk de verklaring + uitleg dat de regel klopt aan de hand van taal formules is leuk. Maar daar vroeg ik niet om, Want nog steeds geld dat als het -10 graden vriest en het daarna -5 graden vriest. Het niet -10 * -5 = 50!! graden is maar nog steeds -5 graden vriest. Dus dan geld dat -10 --5 = -5.

Voor alle duidelijkheid, je hebt het hier over optellen en aftrekken, dus dan kom je met 5 en 10 nooit op vijftig, nog los van je tekens

Als je zou zeggen dat geld -10 * --5 = -50!! dan zie je dat -*- dus eigenlijk niet logisch is, maar het een regel is zodat men formules "waar/kloppend" kan maken. En het weer een verklaring is voor een door ons niet verklaarbaar verschijnsel.

Ik weet echt niet wat je nu aan het vermenigvuldigen bent -10 * - - 5 = -50, klopt als een bus hoor.

Waar je dus uit kan afleiden dat het een regel is, maar (nog) niemand heeft het bewijs gelevert waarom het zo is. En deze regel is er bij iedereen(ik dus ook) gewoon in gegoten omdat het zo is punt. Wel een intressante discussie
Of loop ik te raaskallen??

Het grote probleem zit hem er duidleijk in dat we negatieve getallen in het dagelijks leven alleen maar tegen lijken te komen als grootheden die we optellen en aftrekken maar nooit vermenigvuldigen. Immers, een temperatuur met een temperatuur vermenigvuldigen levert een grootheid op met als eenheid viekrante graden oid. Idem met geld, zoals al opgemerkt zijn vierkante euro's geen goed idee.

Maar is eem grootheid waarmee we kunnen vermenigvuldigen en die we ons ook wel negatief kunnen voorstellen: tijd! Die is goed te vermenigvuldigen met geld, of liever met geld/tijd, dan komt er geld uit. (Denk aan een abbonement: 20 euro per maand * 12 maanden = 240 euro)

Welnu, mijn bankrekening ondergaat iedere maand als gevolg van een abbonnement een mutatie van -20 euro, en dus per jaar een mutatie van 12 maanden * -20 euro per maand = -240 euro.

Ik heb echter al ene jaar mijn maandblad niet ontvangen en na veel vijfen en zessen krijg ik de belofte dat ik mijn geld terug krijg. Ik kan dat nog steeds zien als dezelfde abbonnementsgeldmutatie, echter nu over de afgelopen twaalf manden, dus -12 maanden vanaf nu. Mijn rekening wordt als volgt gemuteerd:
-12 maanden * -20 euro = +240 euro, immers ik krijg mijn geld teruggestort.

Je kunt in dit geval ook zeggen dat ik het geld krijg (+20 euro per maand) keer het (absoluut) aantal maanden (12) en dat komt op hetzelfde neer

Een ander voorbeeld, naar aanleiding van de actie van de KPN, waarbij je een korting krijgt die gelijk is aan de temperatuur in graden Celsius.

Stel dat een artikel een prijs heeft van 200 euro, dan betaal je bij 23 graden dus 154 euro.

Dat is te berekenen met de volgende formule: Prijs - Prijs * Temp/100, in dit geval 200 - 200 * 23 / 100.

Dat kun je schrijven als Prijs + ( (- Prijs * (Temperatuur / 100), waarbij het tweede deel de korting is, die bij de prijs wordt opgeteld. (Staat vaak ook als negatief bedrag op de bon, zodat alle bedragen gewoon opgeteld kunnen worden.)

Wat gebeurt er nu als een (ik geef toe, onwaarschijnlijke) koudegolf ons land treft en de temperatuur daalt tot -5 graden celsius?

De korting bereken ik nu als - 200 * ( - 5 / 100), oftewel - 200 * - 0.05.

Is dit nu + 10 of - 10 ? We zeiden dat de korting bij een positieve temperatuur een negatief getal werd, en het lijkt me intuitief heel makkelijk te begrijpen dat bij een negatieve temperatuur je korting van teken wisselt. Je krijgt als korting dus een positief bedrag dat bij de prijs wordt opgeteld!

Dus wordt de volledige prijs 200 + ( -200 * -.05) = 200 + (+10) = 200 + 10 = 210

[windancer]

Lord Daemon schreef op 04 July 2003 @ 12:39:
[...]
Nee, want 0=0 is een tautologie, en volgt dus uit alles. Het volgende is een correct bewijs:

De maan is van groene kaas
->
0 = 0

Maar laten we daaruit niet concluderen dat de maan van groene kaas is.

Maar als ik zeg "De maan is van groene kaas" <=> "0=0" moet ik wel concluderen dat de maan van groene kaas is, juist omdat 0=0 een tautologie is.

Om preciezer te zijn : mijn reversibele stappen zijn allemaal noodzakelijk en voldoende voorwaarden.

Over de manier van bewijs voeren zal ik maar zeggen dat het een kwestie van smaak is.

Wat ik trouwens wel durf te beweren is dat er een fout zit in mijn bewijs, maar wie kan hem vinden ?

[Dido]

windancer schreef op 04 July 2003 @ 13:25:
Wat ik trouwens wel durf te beweren is dat er een fout zit in mijn bewijs, maar wie kan hem vinden ?

Volgens mij deel je door -b in een van je laatste stappen, hetgeen alleen mag als b!=0

[Jaguar_e]

Aah eindelijk wat duidelijkheid. Hulde aan Dido
We kunnen dus concluderen dat het niks anders dan een regel is die is voorgekomen uit een stel van berekeningen/mutaties. En als je 2 dezelfde negatiefe fysische eenheiden vermengdigt vuldigt je uit komt dat -*- niet plus is maar min, want je krijgt dan bijvoorbeeld(in celsuis)
- 5 x -10 = 50 maar het is eigenlijk -5 graden buiten
(in kelvin)
0 graden Kelvin = -273,16 graden celsuis
273,16 graden kelvin = 0 graden celsuis
toch??

je hebt -5 graden
omrekenen naar kelvin
-5 + 273.16 = 268.16
-10 + 273.16 = 263.16
dus
268.16 x 263.16 = 70568.9856 !! graden kelvin
weer terug naar celuis betekend dat
Wortel(70568.9856) - 273.16 = -7.511763416 graden celsuis
Is dit raar of ben ik raar

[Dido]

Jaguar_e schreef op 04 July 2003 @ 14:10:
je hebt -5 graden
omrekenen naar kelvin
-5 + 273.16 = 268.16
-10 + 273.16 = 263.16
dus
268.16 x 263.16 = 70568.9856 !! graden kelvin
weer terug naar celuis betekend dat
Wortel(70568.9856) - 273.16 = -7.511763416 graden celsuis
Is dit raar of ben ik raar

Al sla je me dood, ik zie niet wat je doet

Je rekent 2 temperaturen van C naar K, vervolgens vermenigvuldig je die met elkaar, zodat je vierkante Kelvin krijgt

En dan neem je de wortel, rekent weer terug en krijgt iets in C dat tussen de oorspronkelijke waarden ligt. Dat lijkt me logisch. Je neemt namelijk Wortel(A*B) en bent vebaast dat het antwoord tussen A en B ligt?

Daarnaast snap ik nog steeds niet wat je zo aantrekkelijk vind aan het vermenigvuldigen van temperaturen. Wat betekent 1 graad celsius * 1 graad celsius? 1 Vierkante graad celsius

[Jaguar_e]

Ja hmm
ik was ff vaag bezig
Ik wou eigenlijk zeggen, dat deze "regel" niet te bewijzen valt vanuit een natuurkundig perspectief. Aangezien zou als je zei er in de natuur geen vierkante graden zijn.
Daarnaast is celuis dus een krom systeem om met te rekenen wat hier in geldt dus wel de regel van -*- = +
Terwijl je in kelvin met wortels moet gaan werken wil je dezelfde rekensom gaan uit werken waardoor je dus niet op de waarde van celsuis komt, maar op een tussen liggende waarde.
Het geen wil zeggen dat - *- = + niet geld in de natuurkunde, denk ik.
Het is dus een pure wiskundige regel, waar van er geen waarom bestaat maar het wel zo is. Oftewel hij is bedacht om een formule kloppend te maken in de wiskunden ne niet in de natuurkunde

[GeeBee]

Dit is echt flauwekul wat je nu aan het doen bent

Hou even rekening met:
(a+T)×(b+T) = ab + (a + b)T + T²

Dus gebruik voor terugrekenen dan tenminste de abc-formule.

[RickN]

Lord Daemon schreef op 04 July 2003 @ 12:39:
[...]
Nee, want 0=0 is een tautologie, en volgt dus uit alles. Het volgende is een correct bewijs:

De maan is van groene kaas
->
0 = 0

Maar laten we daaruit niet concluderen dat de maan van groene kaas is.


[...]
Wat is de definitie van een reversibele stap precies? Maar even afgezien daarvan, is het niet duidelijker en meer verantwoord om gewoon de standaard manier van bewijzen te volgen, waarbij je je conclusie bewijst uit je aannames? (Ik betwist overigens niet dat jouw twee bewijzen 'correct' zijn in die zin dat ze gemakkelijk in zo'n vorm te gieten zijn.)

Afgezien van de fout in het bewijs is winddancers bewijstechniek volledig correct hoor. Het is zelfs een zeer veel gebruikte techniek in de predicaten calculus. Het principe is simpel: Je schrijft een gelijkheid in een aantal stappen om naar true, waarbij elke volgende regel in het bewijs equivalent moet zijn met de vorige ( <=> ) of de vorige moet impliceren ( <= ). De hele opleiding technische informatica op de TU/e hangt van dit soort bewijsjes aan elkaar. Doorgaans wordt zo'n bewijsje echter iets verboser opgeschreven dan hoe winddancer het deed. Mijn poging tot een bewijs eerder in dit topic is daar een goed voorbeeld van, al had ik beter een bi-implicatie ipv = kunnen gebruiken tussen de stappen door. Soms lukt het niet om het bewijs rond te krijgen met alleen equivalenties, maar dan kun je vaak overstappen op een sterkere bewering mbv een <= en vervolgens van daaruit weer true proberen af te leiden....

[Zoijar]

windancer schreef op 03 juli 2003 @ 22:59:
Okay, laat ik het eens proberen. Eerst bewijs ik dat -1 * a = -a

Ook jij maakt weer gebruik van het symbool 1 dat staat voor het neutraal element van de vermenigvuldiging, iets dat je niet nodig hebt.

Dit:

Anoniem: 48145 schreef op 02 July 2003 @ 21:21:

is gewoon het meest elegante bewijs, dat van zo min mogelijk axiomas gebruik maakt.

[RickN]

Zoijar schreef op 04 July 2003 @ 16:27:
[...]


Ook jij maakt weer gebruik van het symbool 1 dat staat voor het neutraal element van de vermenigvuldiging, iets dat je niet nodig hebt.

Dit:
[...]


is gewoon het meest elegante bewijs, dat van zo min mogelijk axiomas gebruik maakt.

Mja, ik ben het eigenlijk niet zo eens met de zes regeltjes waarmee je de structuur waarbinnen we het bewijs moeten leveren probeert te beschrijven. We hebben met 2 operaties te maken, + en * . De meest eenvoudige structuur met 2 monoïdale operaties is de "ring". Een ring is een structuur (R, +, *, 0, 1) bestaande uit een verzameling R waarop (R, +, 0) een commutatieve groep en (R, *, 1) een monoïde is, zodanig dat aan de volgende regels wordt voldaan:

x*(y+z) = x*y + x*z
(y+z)*x = y*x + z*x

De * hoeft welliswaar niet commutatief te zijn, maar in een monoïde heeft de operatie weldegelijk een eenheidselement en daar mag je in de ring (R, +, *, 0, 1) dus ook gebruik van maken....

M'n punt is dus dat de structuur die je beschrijft een beetje kunstmatig is. Logischer lijkt me voor een bewijs een bekende structuur zoals een ring te nemen, en dan heb je dus wel de beschikking over het eenheidselement van de *.

[ Voor 16% gewijzigd door RickN op 04-07-2003 16:48 ]

[Zoijar]

RickN schreef op 04 July 2003 @ 16:42:
M'n punt is dus dat de structuur die je beschrijft een beetje kunstmatig is. Logischer lijkt me voor een bewijs een bekende structuur zoals een ring te nemen, en dan heb je dus wel de beschikking over het eenheidselement van de *.

Het gaat in principe helemaal niet om een structuur. Mijn punt was dat jij meer axiomas gebruikt dan noodzakelijk. Een bewijs dat berust op minder axiomas is natuurlijk altijd beter.

Overigens heb ik niet zo maar 6 axiomas gepakt, het zijn precies de 6 waaraan een ring voldoet. Een ring kent geen neutraal element voor de vermenigvuldiging. Jouw bewijs gaat dus niet op voor een ring.

Een unitaire ring voldoet aan die 6 plus "a*1=1*a=a". Een commutatief unitaire ring krijg je door "a*b=b*a" toe te voegen. Een integriteits gebied door nog "a*b=0 => a=0 of b=0" toe te voegen, en een lichaam voldoet nog aan "a!=0 => er is een a' zodat a*a'=a'*a=1".

Jij hebt de stelling dus bewezen voor een unitaire ring, het andere bewijs is sterker omdat het ook geldt voor een ring.

[RickN]

Tja, ik kan niet anders dan je gelijk geven. Mijn geheugen en, na verificatie, mijn algebra dictaat zijn het niet met je eens, maar verschillende sites op het net defineren een ring als een combinatie van een commutatieve groep en een halfgroep. En een halfgroep is precies een monoïde zonder eenheidselement .

Dat het andere bewijs sterker was heb ik overigens nooit bestreden, ik vond het gewoon logischer het bewijs te geven in een ring, waarbij mijn begrip van een ring dus duidelijk fout was.

[Anoniem: 8386]

Dido schreef op 04 juli 2003 @ 13:33:
[...]

Volgens mij deel je door -b in een van je laatste stappen, hetgeen alleen mag als b!=0

Maar ja, b = 0 is in dit geval volledig niet interessant. Het ging over het vermenigvuldigen van negatieven getallen. 0 is nog positief, nog negatief (of allebei, it is maar hoe je het wil zien, ik vermoed dat de meeste wiskundigen voor het laatste kiezen). Het bewijs zou daarom best mogen beginnen met a > 0 en b > 0. Dan is dit bezwaar er niet.

en nog iets:
Ik heb al een paar mensen horen beweren dat het fenomen dat -*- = +, niet fysisch zou zij of zo. Maar opzich heeft dido laten zien, dat er werkelijke systemen zijn, waarin het zinnig is om te vermenigvuldigen, waar deze regel heel logisch is.

Stel je voor in het algemeen. A en B zijn twee fysische grootheden, die samen hangen op een of andere manier. Stel nu dat als A toeneemt met een hoeveelheid dA, B afneemt met een gelijke hoeveelheid. (of tewel dB=-dA)
Wat gebeurt er nou als A afneemt? (dA is negatief) Natuurlijk B neemt toe. (kennelijk is -dA positief).
Dit is een typisch fysisch voorbeeld van een (abstract) geval, waarin -*- = +.

En omdat dit eigenlijk zo volkomen logisch is, is het tevens zo moeilijk te zeggen waarom het is. Maar als je het geheel uit de optiek van een wiskundige bekijkt, blijkt het wel op volkomen logisch wijze te volgen uit de aannamen dat de operaties + en * zich een beetje normaal gedragen. (distributiviteit, etc. zie bewijzen van Staphylococcus_Rex en windancer).

[ Voor 50% gewijzigd door Anoniem: 8386 op 04-07-2003 21:32 ]

[Lord Daemon]

RickN schreef op 04 juli 2003 @ 16:21:
Afgezien van de fout in het bewijs is winddancers bewijstechniek volledig correct hoor. Het is zelfs een zeer veel gebruikte techniek in de predicaten calculus.

Uhm - nee. Als de bi-implicaties inderdaad gelden, is het wel een correcte bewijstechniek (hoewel een, naar mijn mening, onduidelijke); het is echter geen veel gebruikte techniek binnen de predikatencalculus. Geen enkele stap in winddancer's bewijs is immers een stap binnen de predikatenlogica. Het zijn allemaal stappen binnen de rekenkunde. Predikaatlogische bewijzen zijn niet op te schrijven in schema's van de vorm:

A1 = B1
A2 = B2
.
.
0 = 0

(Het hele teken '=' is al geen symbool binnen de predikatenlogica.)

[Zoijar]

RickN schreef op 04 juli 2003 @ 20:51:
Tja, ik kan niet anders dan je gelijk geven. Mijn geheugen en, na verificatie, mijn algebra dictaat zijn het niet met je eens, maar verschillende sites op het net defineren een ring als een combinatie van een commutatieve groep en een halfgroep. En een halfgroep is precies een monoïde zonder eenheidselement .

Dat het andere bewijs sterker was heb ik overigens nooit bestreden, ik vond het gewoon logischer het bewijs te geven in een ring, waarbij mijn begrip van een ring dus duidelijk fout was.

Ja ach het is maar hoe je het beestje noemt Ik zeg/type ook alleen maar wat ik in m'n propedeuse jaar wiskunde bij algebra heb geleerd. Misschien dat het vanzelfsprekender is om met "ring" een unitaire ring the bedoelen. Niet unitaire ringen komen volgens mij ook amper voor. Maar kan het mis hebben...

[Anoniem: 8386]

Zoijar schreef op 04 July 2003 @ 21:22:
[...]


Ja ach het is maar hoe je het beestje noemt Ik zeg/type ook alleen maar wat ik in m'n propedeuse jaar wiskunde bij algebra heb geleerd. Misschien dat het vanzelfsprekender is om met "ring" een unitaire ring the bedoelen. Niet unitaire ringen komen volgens mij ook amper voor. Maar kan het mis hebben...

Mijn syllabus Algebra IIA maakt ook het onderscheid tussen een ring en een ring met 1. Dus het lijkt vrij gebruikelijk omdat onderscheid te maken.

[RickN]

Lord Daemon schreef op 04 July 2003 @ 21:18:
[...]
Uhm - nee. Als de bi-implicaties inderdaad gelden, is het wel een correcte bewijstechniek (hoewel een, naar mijn mening, onduidelijke); het is echter geen veel gebruikte techniek binnen de predikatencalculus. Geen enkele stap in winddancer's bewijs is immers een stap binnen de predikatenlogica. Het zijn allemaal stappen binnen de rekenkunde. Predikaatlogische bewijzen zijn niet op te schrijven in schema's van de vorm:

A1 = B1
A2 = B2
.
.
0 = 0

(Het hele teken '=' is al geen symbool binnen de predikatenlogica.)

Zoals ik dus al zei is winddancer's bewijs te beknopt opgeschreven. Zo beknopt zelfs dat je het geheel als onzinnig zou kunnen bestempelen, maar persoonlijk begreep ik meteen dat we de verschillende regels in zijn bewijs als equivalent moeten beschouwen, als had hij dat met een bi-implicatie aan moeten geven. Ik heb ook naar mijn eerder gegeven bewijs gelinkt, als zijnde een netter voorbeeld van zo'n bewijs, met de kanttekening dat ik in plaats van het = teken beter bi-implicaties had kunnen gebruiken, maar ik was eigenlijk op zoek naar het gebruikelijke "= teken met 3 ipv 2 streepjes". Wellicht was het je dan niet duidelijk dat ik dus bedoelde dat ik de = tekens voor elke regel met commentaar tussen {} door bi-implicaties had moeten vervangen. Voor alle duidelijkheid zal ik een klein deel van mijn bewijs hier herhalen, met de genoemde aanpassing.

code:

-1 * -1 = 1

   <=> {links en recht delen door -1}

-1 * -1   1
------- = --
-1        -1

   <=> {nog een hoop stappen}

true

En dit is dus een volledig correct bewijs binnen de predicaten calculus. Overigens was het bewijs ook correct geweest als ik alle <=>'s door <='s had vervangen, ik kon niet uit je reactie opmaken of je het hier nog mee oneens was.
Wat betreft je opmerking dat dit geeneens predicatencalculus is (en dat het = teken binnen de predicaten calculus niet bestaat)........ tja, wat moet ik daar nu over zeggen. Je zult binnen je opleiding vast wel ooit iets van de predicatencalculus gezien hebben, maar mijn hele opleiding hing ermee aan elkaar. Voor zover ik hier nog post pas ik bij bepaalde personen altijd goed op iets stellig te beweren of te ontkennen, zeker als ik zie dat ik me in hun expertise gebied begeef. Jij bent één van die personen. Maar het zou je sieren als jij dezelfde voorzichtigheid betrachtte als jij je in zo'n situatie begaf.

De predicatencalculus gebruikt bepaalde logische operatoren om de relatie tussen predicaten aan te geven. Voorbeelden van deze operatoren zijn - (not), /\ (and), \/ (or), => (implicatie), <=> (equivalentie) en de existentiële quantor en inderdaad niet het = teken.
Een predicaat is een expressie die tot true of false evalueert. En die expressie kan vanalles zijn, rekenkundige expressies, maar ook "de maan is van kaas". En in rekenkundige expressies komen = tekens voor, sterker nog, zo'n = teken is zowat nodig om in de rekenkunde tot een predikaat te komen.
En om nu dan terug te gaan naar mijn bewijs. Elke rekenkundige regel in mijn bewijs is in z'n geheel een predikaat. Die predikaten zijn met in dit geval equivalentie relaties (voor de duidelijkheid voorzien van commentaar) aan elkaar gekoppelt, met het ultieme doel aan te tonen dat de eerste regel een predikaat is dat equivalent is met true, waarmee de geldigheid van die eerste gelijkheid is aangetoond.

Wellicht berust dit alles op een misverstand en heb je niet naar mijn alternatieve voorbeeld van zo'n bewijs gekeken, of de kanttekening die ik erbij plaatste niet begrepen. In dat geval, mijn excuses....

[ Voor 3% gewijzigd door RickN op 04-07-2003 23:24 ]

[Jaguar_e]

Is het niet zo dat we deze regel maar zo achteloos gebruiken, omdat we niet anders weten en het maar zo is???
Want wat ik van de reactie's begrijp is dat de een de andere uitleg niet is, maar uit eindelijk alleen maar verklaard dat de regel geldt in die formule. Toch(als ik lomp beizg ben zeg het aub)
Wat nog niet verklaard waarom het zo is. Want in principe is het geen makkelijke regel om het waarom van uit te leggen, maar een makkelijke regel in de toepassing.

Ik ben verre weg van een wiskunde expert. Ben ik ook nooit geweest maar het idee van -*- = + heeft me eigenlijk altijd tegen gestaan.
Waarom zou je al je zo maar negatieve getallen vermenigvuldigt een positief getal krijgen. Toepassen doen we het allemaal. Maar waarom het toegepast moet worden. Is dat wat we weten of is dat wat doen??. De waarom van deze stelling is vergeten??. De abstractie van het probleem maakt het moeilijk om het geheel uit te leggen. Waarom is het zo ??
Is taal verbonden aan wis/natuurkunde of visa versa?
Is de waarom het zo is niet dezelfde vraag als Het leven hoe en wat??
Kan men de stelling een waarom geven aan de hand van en/of wiskunde, natuurkunde, scheikunde en taal.

[blobber]

Jaguar_e schreef op 04 July 2003 @ 01:20:
Goed ik iets vaker langs moeten wippen, was alleen bezig creatief te zijn

Kijk de verklaring + uitleg dat de regel klopt aan de hand van taal formules is leuk. Maar daar vroeg ik niet om, Want nog steeds geld dat als het -10 graden vriest en het daarna -5 graden vriest. Het niet -10 * -5 = 50!! graden is maar nog steeds -5 graden vriest. Dus dan geld dat -10 --5 = -5. Als je zou zeggen dat geld -10 * --5 = -50!! dan zie je dat -*- dus eigenlijk niet logisch is, maar het een regel is zodat men formules "waar/kloppend" kan maken.

Als je een tekort hebt van 400 euro (-400) en je trekt dit tekort van je
rekening af , dan kom je uit op nul.

Dus tekort - tekort = 0, in getallen:
-400 - (-400) = 0.
Vervolgens tel je aan beide kanten +400 op:
+400 -400 --400 = + 400, uitwerken:
0--400=+400, dus
--400=+400
ik heb dus niets gedaan om het "kloppend te krijgen" alleen wat basis optellen en aftrekken
En wat die anderen allemaal dioen met die wiskundige heisa, moet je je maar niets van aantrekken hoor

[Dido]

Jaguar_e schreef op 05 juli 2003 @ 01:02:
Is het niet zo dat we deze regel maar zo achteloos gebruiken, omdat we niet anders weten en het maar zo is???
Want wat ik van de reactie's begrijp is dat de een de andere uitleg niet is, maar uit eindelijk alleen maar verklaard dat de regel geldt in die formule. Toch(als ik lomp beizg ben zeg het aub)
Wat nog niet verklaard waarom het zo is. Want in principe is het geen makkelijke regel om het waarom van uit te leggen, maar een makkelijke regel in de toepassing.

De meest eenvoudige verklaring van het waarom is eenvoudigweg dat als het niet zo was, we bepaalde zaken in deze wereld niet konden beschrijven.

- maal - is plus om dezelfde reden dat boem = ho, voor niets gaat de zon op en de wet van behoud van energie.

Ik heb laten zien wat er gebeurt als je van - maal - geen + maakt, dan zou je bij de KPN nog steeds korting krijgen bij temperaturen onder nul. Dat druist in tegen alle logica en intuitie, dus zal - en - wel + zijn. Alle verdere logische en wiskundige bewijzen zijn verder alleen interessant voor de theoretici onder ons, maar voor de meesten onder ons volstaat het om op een bepaald moment te accepteren dat iets zo is omdat we met het tegendeel logischerwijs in de problemen komen.

Als je ver genoeg doorvraagt kom je natuurlijk altijd wel op een onmogelijk te beantwoorden vraag terecht.

Waarom valt iets naar beneden? Zwaartekracht.
Waarom is er zwaartekracht?

Of in dit geval:

Waarom is - maal - plus? Omdat je anders korting krijgt bij KPN als het vriest.
Waarom is er KPN?

[Anoniem: 8386]

Jaguar_e schreef op 05 July 2003 @ 01:02:
Ik ben verre weg van een wiskunde expert. Ben ik ook nooit geweest maar het idee van -*- = + heeft me eigenlijk altijd tegen gestaan.

Heb je dan ook dezelfde natuurlijke weerstand bij 1/(1/x) = x? (dus bijvoorbeeld één gedeeld door een half is twee)
Wiskundig gezien, is dit namelijk vrijwel dezelfde bewering als -(-x) = x. Het enige wat in wezen is veranderd is de notatie. (en de manier waarop die notatie in de werkelijkheid wordt uitgelegd). Het komt allemaal neer op de stelling, dat als je in een groep (een verzameling met daarop een bewerking, die zich een beetje behoorlijk gedraagd) van een element de inverse neemt en daarvan weer de inverse, je altijd terug komt bij het oorspronkelijke element. Iets wat direct volgt uit de definitie van een inverse.

Voor de rest is voor mij het concept altijd vrij natuurlijk geweest.
Een negatieve afname = een toename.
Een dubbele ontkenning = een bevestiging.
Als ik van een heuvel af loop ga ik naar beneden. Als ik terug loop (in de negatieve richting) ga ik weer naar boven.
Als ik mee twee keer omdraai kijk ik weer naar voren.
Allemaal heel natuurlijke voorbeelden van waarom -*- = +.

Of was je opzoek naar een nog diepere waarom? In dat geval good luck. Ik denk dat die nergens voor bestaat.

[Anoniem: 8386]

Dido schreef op 05 July 2003 @ 12:56:
Omdat je anders korting krijgt bij KPN als het vriest.

Wedden dat de KPN bij de eerst volgende elfsteden tocht met een dergelijke actie komt? )

[Jaguar_e]

LOL

Nou ja het zou leuk zijn als je het diepere waarom zou kunnen ontdekken.

Maar het bestaan van dingen en redenen is ook een vraag op zich. Laten we er van uit gaan dat deze regel in de huidge samenleving is ingeburgerd. En je niet meer zonder kan.
want als je het tegendeel bewijst van het kloppen je een rel veroorzaakt aangezien dan de samenleving op zijn kop gaat staan.

[Zoijar]

Jaguar_e schreef op 05 juli 2003 @ 17:25:
LOL

Nou ja het zou leuk zijn als je het diepere waarom zou kunnen ontdekken.

Maar het bestaan van dingen en redenen is ook een vraag op zich. Laten we er van uit gaan dat deze regel in de huidge samenleving is ingeburgerd. En je niet meer zonder kan.
want als je het tegendeel bewijst van het kloppen je een rel veroorzaakt aangezien dan de samenleving op zijn kop gaat staan.

Nee, dat is dus niet zo. Het is geen aangenomen regel, het is een logisch gevolg van andere aangenomen regeltjes. Een aangenomen regel, of "iets dat gewoon zo is" wordt ook wel een axioma genoemd. En -a*-b=a*b is geen axioma binnen de geaccepteerde algebra

[Anoniem: 8386]

Jaguar_e schreef op 05 July 2003 @ 17:25:
LOL

Nou ja het zou leuk zijn als je het diepere waarom zou kunnen ontdekken.

Maar het bestaan van dingen en redenen is ook een vraag op zich. Laten we er van uit gaan dat deze regel in de huidge samenleving is ingeburgerd. En je niet meer zonder kan.
want als je het tegendeel bewijst van het kloppen je een rel veroorzaakt aangezien dan de samenleving op zijn kop gaat staan.

Sorry, maar als ik mij omkeer en ik doe dat een tweede keer, dan kijk ik in dezelfde richting als ik oorspronkelijk keek. Dit is gewoon een logisch feit, niet een of andere conventie. (OK, je kan nu de diepere vraag gaan stellen: Hoe weet je dat dat dezelfde richting is. Maar persoonlijk vind ik dat soort redeneringen niet bepaald productief, of nuttig)
Je zou kunnen zeggen dat om die reden geldt -1*-1=1 (immers je omdraaien is je richting met -1 vermenigvuldigen).