Manier om Pi uitterekenen

[Lord Daemon]

Op zondag 20 januari 2002 23:38 schreef BlueAngelGoT het volgende:
Wat is e?

Dat is het getal waarvoor geldt dat:

d/dx (e^x) = e^x

Heel, heel erg belangrijk in de natuurkunde en de wiskunde, zeker net zo belangrijk als pi. De waarde is ongeveer 2.718281828 (maar het loopt niet mooi repeterend verder).

[blobber]

nog een:

>>Try this

>>PI/4 = 4*ATAN (1/5) - ATAN(1/239)

Before the latest approximations to Pi using modular equations were
developed, Taylor series expansions of arctans were the state of the
art. There are a huge number of these, all designed to make the
denominators of the series terms grow as rapidly as possible.

Besides the one above, the following are also popular...

Pi = 20*arctan(1/7) + 8*arctan (3/79)
Pi/4 = arctan(1/2) + arctan(1/5) + arctan(1/8)
Pi/4 = 3*arctan(1/4) + arctan(1/20) + arctan(1/1985)
Pi = 24*arctan(1/8) + 8*arctan(1/57) + 4*arctan(1/239)
pi = 48*arctan(1/18) + 32*arctan(1/57) - 20*arctan(1/239)

Pi has so far been computed to over a billion places and no pattern in
the digits has been discovered, other than the obvious one.

[Diadem]

Als je uit je hoofd snel Pi moet uitrekenen zou ik het met een taylorpolynoom doen denk ik. Maar voor een computer is dat natuurlijk niet handig.

Maar goed, voor alle praktische wetenschap is 200 miljard decimalen van Pi totaal onzinnig. Ga maar eens uitrekenen wat je afwijking is in de baan van de aarde om de zon bij een fout in de 10e decimaal van Pi.. Weinig, erg weinig...

[Varienaja]

Pi is natuurlijk enorm stoer, want ALLES zit erin. Als ik even aanneem dat er een manier is om een 8 bits getal op te slaan in 2 decimalen (en die is er), dan betekent dat dat alle DivXjes gewoon al in Pi zitten.

Ik hoef alleen maar twee getallen te weten, namelijk de decimaal waarop de DivX begint, en een getal dat aangeeft hoe lang de DivX is.

^{Jammer alleen dat die twee getallen waarschijnlijk ook 700MB zijn...}

[AxzZzeL]

Pi van Windows

code:

pi =(ongeveer tekentje)  3,1415926535897932364626433832795

[Verwijderd]

Op maandag 21 januari 2002 11:47 schreef AxzZzel het volgende:
Pi van Windows

code:

pi =(ongeveer tekentje)  3,1415926535897932364626433832795

Dat 'ongeveer tekentje' heet een tilde, en is gewoon op je toetsenbord te vinden (links naast de 1, gebruik tevens de shift): ~

[Verwijderd]

Maar nu even over de manier op Pi uit te rekenen: De topicstarter heeft inderdaad gelijk. Dit is de manier waarop Pi uitgerekend wordt. Je maakt in een halve cirkel een paar driehoeken en dan met behulp van cosinus en sinus reken je uit hoe lang die buitenrand is, aan de hand van het aantal driehoekjes met bijbehorende hoek in het midden van de cirkel.

Je moet een formule opstellen waarmee je de basis van ieder driehoekje optelt, aan de hand van de hoek in het midden van de cirkel, de hoek van iedere top van de driehoekjes. Dan maak je een limietberekening waarbij die hoek nadert naar 0 en heb je Pi.

Sinus en cosinus zijn reeksen van machten delen door faculteiten.

[raptorix]

Pi is gewoon berekenbaar, 1 ieder die het hier niet mee eens wet ik om 100 euro dat ik hem binnen een dag EXACT presenteer.

_{visueel natuurlijk}

[AxzZzeL]

Op maandag 21 januari 2002 12:37 schreef TwwT_Unexplained het volgende:

[..]

Dat 'ongeveer tekentje' heet een tilde, en is gewoon op je toetsenbord te vinden (links naast de 1, gebruik tevens de shift): ~

Weet ik maar ik moet die van twee hebben en die kan je wel in word opzoeken en hiernaartoe kopieeren maar dan zie ik vage tekens.

[Lord Daemon]

Pi is gewoon berekenbaar, 1 ieder die het hier niet mee eens wet ik om 100 euro dat ik hem binnen een dag EXACT presenteer.

Als jij zegt dat je mij binnen een dag pi in het decimale stelsel tot op oneindige precisie kan presenteren, dan heb ik daar wel 100 euro voor over. Vervolgens win ik dan namelijk de Fields medal, of hoe die belangrijke wiskundeprijs ook mag heten.

[flat]

mja 't lijkt me inderdaad sterk dat jij Pi uitgerekend kan krijgen hoor

[Confusion]

raptorix schreef:
Pi is gewoon berekenbaar, 1 ieder die het hier niet mee eens wet ik om 100 euro dat ik hem binnen een dag EXACT presenteer.

Geen woordspelletjes met herdefinities van 'berekenbaar' spelen. Dat is suf.

[flat]

oh hehe, nu snap ik wat 'ie bedoelt ja

[FCA]

Trouwens, er is ook een methode om een willekeurige decimaal van Pi in het zestientallig stelsel (en dus ook in het binaire stelsel) te berekenen, zonder de voorgaande decimalen te kennen.

Alleen is de kantlijn hier te kort om die methode op te schrijven.

Iets met een 1/16^k (functie van k), meer weet ik niet meer.

[Lord Daemon]

Op maandag 21 januari 2002 15:35 schreef FCA het volgende:

Alleen is de kantlijn hier te kort om die methode op te schrijven.

Jaja, en dan moeten wij het 'de Laatste Stelling van FCA' gaan noemen zeker.

[FCA]

was dat maar zo.
Trouwens, dan zou het nog altijd mijn eerste grote stelling zijn hopelijk. Niet m'n laatste.

Meer over die methode is hier te vinden.

[Sage]

Ik heb pas geleden eem film gezien die dus Pi heette. In dei film was er dus iemnad die Pi dus uiterekende en daarmee dus allemaal dingen mee kon voorspellen zolas de beurs berichten voor de vogende dag. Ook komt hij een jood tegen die Pi probeert uit te rekenen omdat hij denkt dat Pi de on uitspreek bare naam van God is.

Nu vraag ik mij af wat hier waar van is
Niks zeker?

[RickN]

Op maandag 21 januari 2002 21:57 schreef furean het volgende:
Ik heb pas geleden eem film gezien die dus Pi heette. In dei film was er dus iemnad die Pi dus uiterekende en daarmee dus allemaal dingen mee kon voorspellen zolas de beurs berichten voor de vogende dag. Ook komt hij een jood tegen die Pi probeert uit te rekenen omdat hij denkt dat Pi de on uitspreek bare naam van God is.

Nu vraag ik mij af wat hier waar van is
Niks zeker?

Ik heb die film ook gezien. Best vermakelijk, maar eigenlijk bullshit natuurlijk. Pi is een getal, een getal dat je op veel plaatsen in de wiskunde tegenkomt, maar nog steeds een getal. Het is echt geen codering van het antwoord op alle vragen ofzo...

[Verwijderd]

Op maandag 21 januari 2002 10:50 schreef Varienaja het volgende:
Pi is natuurlijk enorm stoer, want ALLES zit erin. Als ik even aanneem dat er een manier is om een 8 bits getal op te slaan in 2 decimalen (en die is er), dan betekent dat dat alle DivXjes gewoon al in Pi zitten.

Ik hoef alleen maar twee getallen te weten, namelijk de decimaal waarop de DivX begint, en een getal dat aangeeft hoe lang de DivX is.

^{Jammer alleen dat die twee getallen waarschijnlijk ook 700MB zijn...}

Dat moet nog bewezen worden, als dit bewezen kan worden is tegelijk ook bewezen dat Pi normaal is.

[RickN]

Op maandag 21 januari 2002 22:26 schreef Nem0 het volgende:

[..]

Dat moet nog bewezen worden, als dit bewezen kan worden is tegelijk ook bewezen dat Pi normaal is.

Idd, alleen het feit dat Pi een oneindige nonrepeterende reeks cijfers is zegt nog niet dat dan ook elke eindige reeks cijfers ook in Pi voor moet komen. Intuïtief zou je misschien zeggen van wel, en misschien is het ook wel zo, maar je kunt het niet bewijzen (Iig niet met de argumenten die ik hierboven gaf).

[vacuumcleaner]

Op zondag 20 januari 2002 23:27 schreef XLerator het volgende:
PI = 3.141592654 ( echt waar, uit mijn hoofd )

Pi is naar mijn weten oneindig

[blobber]

Op maandag 21 januari 2002 21:57 schreef furean het volgende:
Ik heb pas geleden eem film gezien die dus Pi heette. In dei film was er dus iemnad die Pi dus uiterekende en daarmee dus allemaal dingen mee kon voorspellen zolas de beurs berichten voor de vogende dag. Ook komt hij een jood tegen die Pi probeert uit te rekenen omdat hij denkt dat Pi de on uitspreek bare naam van God is.

Nu vraag ik mij af wat hier waar van is
Niks zeker?

Dat is een soort Kabbalistische uitleg van pi

[Lord Daemon]

Op maandag 21 januari 2002 23:38 schreef vacuumcleaner het volgende:

[..]

Pi is naar mijn weten oneindig

Pi is hartstikke eindig, het sit tussen de 3 en de 4. Pi is wel irrationeel, dwz: het heeft oneindig veel decimalen. Dat is niet hetzelfde als dat het oneindig is!

[RickN]

[mierenneukerij]
Sterker nog, Pi is transcendental. D.w.z. het is geen geen nulpunt van enig polynoom in 1 variable met allemaal integer coëfficienten.
[/mierenneukerij]

[Verwijderd]

Pi is wel degelijk goed te berekenen alleen je hebt wel oneindig veel geduld nodig:

1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 enz enz enz enz enz enz enz enz enz enz enz enz enz enz enz enz enz enz enz enz enz enz ...

[Verwijderd]

Op maandag 21 januari 2002 10:50 schreef Varienaja het volgende:
... Als ik even aanneem dat er een manier is om een 8 bits getal op te slaan in 2 decimalen (en die is er)...

Hoe wou je dat doen dan?

[FCA]

Pi != 1/1 + 1/2 + 1/3 + ...

Die reeks gaat namelijk naar oneindig
Er zijn andere reeksen die wel naar Pi (of Pi^2 ofzo) convergeren.

Verder is het mogelijk om een 8-bits getal in 2 decimalen te coderen.
0 = 0
1 = 1
10 = 2
11 = 3
100 = 4
101 = 5
110 = 6
111 = 7
1000 = 8
1001 = 9
1010 = A
1011 = B
1100 = C
1101 = D
1110 = E
1111 = F
10000 = 10

etc. Gewoon het hexadecimale stelsel.

[RickN]

Op dinsdag 22 januari 2002 13:11 schreef FCA het volgende:
Pi != 1/1 + 1/2 + 1/3 + ...

Die reeks gaat namelijk naar oneindig

Yep.

Er zijn andere reeksen die wel naar Pi (of Pi^2 ofzo) convergeren.
[..]

Idd. Zoals:

1/1 + 1/4 + 1/9 + .. + 1/k^2 convergeert naar Pi^2/6 als k->oo

[Verwijderd]

Op dinsdag 22 januari 2002 13:11 schreef FCA het volgende:
etc. Gewoon het hexadecimale stelsel.

ah
ik schrok al.
Ik dacht even dat je het over 2 decimalen had.

[Verwijderd]

Op dinsdag 22 januari 2002 13:11 schreef FCA het volgende:
Pi != 1/1 + 1/2 + 1/3 + ...

Die reeks gaat namelijk naar oneindig

Isniewaar. Pi kent wel een oneindig aantal decimalen, dat wel.

'Oneindig' denken is moelijk. Maar stel dat 'oneindig' een punt is, dan zijn we op dat moment 1/<oneindig> (=nix) bij het resultaat op aan het tellen. Dat betekent dat er op dat moment nix meer bij komt. Niet oneindig dus!

Kraak kraak kraak

[FCA]

Jij probeert een wiskundige in opleiding iets te leren over oneindig?

Goed, ik had kunnen zeggen dat de reeks divergeert, of dat Pi transcedent was, of dat Zeta(s) = Pi² / 6 ofzo, maar dan had ik dat weer moeten uitleggen.

Pi is niet gelijk aan die reeks, die reeks wordt namelijk willekeurig groot, en Pi ligt tussen de 3 en de 4.

Oneindig is geen getal, knoop dat goed in je hoofd.

Pi is gewoon een getal, net zo als 2, e, log(2), of welk ander reeel getal wat je kunt bedenken. Elk getal heeft oneindig veel decimalen in principe, alleen zijn veel ontwikkelingen niet zo interessant, of wel erg saai zelfs.

[RickN]

Op woensdag 23 januari 2002 22:23 schreef FCA het volgende:
Jij probeert een wiskundige in opleiding iets te leren over oneindig?

Goed, ik had kunnen zeggen dat de reeks divergeert, of dat Pi transcedent was, of dat Zeta(s) = Pi² / 6 ofzo, maar dan had ik dat weer moeten uitleggen.

Mag ik jou dan nog wel iets over wiskunde leren?

Zeta(s) = (Sum k: 1<=k: k^-s)

Zeta(2) = pi²/6

[Verwijderd]

Op woensdag 23 januari 2002 22:23 schreef FCA het volgende:
Jij probeert een wiskundige in opleiding iets te leren over oneindig?

Goed, ik had kunnen zeggen dat de reeks divergeert, of dat Pi transcedent was, of dat Zeta(s) = Pi² / 6 ofzo, maar dan had ik dat weer moeten uitleggen.

Pi is niet gelijk aan die reeks, die reeks wordt namelijk willekeurig groot, en Pi ligt tussen de 3 en de 4.

Oneindig is geen getal, knoop dat goed in je hoofd.

Pi is gewoon een getal, net zo als 2, e, log(2), of welk ander reeel getal wat je kunt bedenken. Elk getal heeft oneindig veel decimalen in principe, alleen zijn veel ontwikkelingen niet zo interessant, of wel erg saai zelfs.

Jazeker dat oneindig geen getal is. Daarom zei ik ook: 'Stel dat'. Maar mijn bewering klopt idd niet. Ik had het een keer gehoord of gelezen, maar nu heb ik het getest dmv een proggie en het resultaat kwam al snel boven de 12..

[Verwijderd]

Op woensdag 23 januari 2002 23:46 schreef RickN het volgende:

[..]

Mag ik jou dan nog wel iets over wiskunde leren?

Zeta(s) = (Sum k: 1<=k: k^-s)

Zeta(2) = pi²/6

Ja, precies. Zo is het.

[Lord Daemon]

Jij probeert een wiskundige in opleiding iets te leren over oneindig?

[...]

Oneindig is geen getal, knoop dat goed in je hoofd.

Mag ik je wel iets proberen te leren? Er bestaan wel degelijk oneindige getallen. Omega, als kleine letter geschreven, is de limiet van deze reeks: 1, 2, 3, 4, ...

Met omega kan je rekenen, Cantor heeft er een calculus voor opgesteld. Die is wat anders dan de normale calculus, zo geldt 1 + omega = omega + 1 niet. 1 + omega = omega daarentegen wel.

Vanaf omega kan je verder tellen, je krijgt dan omega + 1, omega + 2, omega + 3, ... wat de limiet heeft omega * 2. (Of 2 * omega, dat weet ik even niet meer.) Dan krijg je omega * 2 + 1, etcetera - een proces dat je uiteindelijk brengt bij omega^omega. Maar dan zijn we er natuurlijk nog niet, want dit proces wordt doorgevoerd tot we omega tot de macht omega tot de macht omega ... tot de macht omega hebben, waar omega omega's boven elkaar staan. Dit getal noemen we Epsilon-nul. (Niet dezelfde als die uit de electrodynamica.)

En eigenlijk liggen alle oneindige getallen voorbij epsilon-nul.

[raptorix]

Pi is helemaal geen oneindig getal, probleem is dat door het hexadecimale stelsel het getal niet goed uit te schrijven is. Iedereen doet ook altijd zo mysterieus over PI maar IMO is het probleem niet lastiger als bijvoorbeeld 1/3

[RickN]

Op donderdag 24 januari 2002 13:52 schreef raptorix het volgende:
Pi is helemaal geen oneindig getal, probleem is dat door het hexadecimale stelsel het getal niet goed uit te schrijven is. Iedereen doet ook altijd zo mysterieus over PI maar IMO is het probleem niet lastiger als bijvoorbeeld 1/3

Dat heeft niks met het hexadecimale stelsel te maken, Pi is in geen enkel stelsel volledig uit te schrijven. En we doen niet mysterieus over Pi, het feit blijft gewoon dat het berekenen van Pi toch wel ff iets anders is dan het berekenen van 1/3. Daarnaast is er nog een heel groot en cruciaal verschil tussen Pi en 1/3 en dat is dat 1/3 een algebraïsch getal is en Pi niet. Verder is Pi ook nog eens trancedent en dat is bijzonder omdat het maar van een paar getallen is bewezen dat ze trancedent zijn. Dus hoe je het ook wend of keert, Pi is niet zomaar het eerste het beste getal.

[Verwijderd]

Ik heb wel eens een geinige en erg makkelijke manier gezien om pi uit te rekenen:

- neem voor X een willekeurig getal tussen 0 en 1
- neem voor Y een willekeurig getal tussen 0 en 1
- als X*X plus Y*Y kleiner is dan 1, verhoog dan S
- verhoog N
- pi is dan 4 keer S gedeeld door N

Als je dit blijft herhalen zul je steeds dichter in de buurt van pi komen.

[Sjab-X]

Op maandag 21 januari 2002 10:50 schreef Varienaja het volgende:
Pi is natuurlijk enorm stoer, want ALLES zit erin. Als ik even aanneem dat er een manier is om een 8 bits getal op te slaan in 2 decimalen (en die is er), dan betekent dat dat alle DivXjes gewoon al in Pi zitten.

Ik hoef alleen maar twee getallen te weten, namelijk de decimaal waarop de DivX begint, en een getal dat aangeeft hoe lang de DivX is.

^{Jammer alleen dat die twee getallen waarschijnlijk ook 700MB zijn...}

Wat ook wel stoer, en iets meer realistisch/uitvoerbaar is, is een soort van compressie techniek aan de hand van PI. Het idee is dat je een stuk data onderverdeeld in blokken en dan per blok gaat kijken waar het zich in de decimalen van PI bevindt. Dan is het een kwestie van de beginpositie van het blok (en eventueel eindpositie of blokgrootte) vast te leggen.
Het comprimeren neemt dan waarschijnlijk heel veel tijd in beslag, maar op die manier heb je in theorie wel lossless supercompressie.

[Chemist]

Op maandag 21 januari 2002 09:27 schreef Diadem het volgende:
Maar goed, voor alle praktische wetenschap is 200 miljard decimalen van Pi totaal onzinnig. Ga maar eens uitrekenen wat je afwijking is in de baan van de aarde om de zon bij een fout in de 10e decimaal van Pi.. Weinig, erg weinig...

Ik vraag me af of NASA jouw mening deelt ...

[FCA]

Op donderdag 24 januari 2002 19:45 schreef Sjab-X het volgende:

[..]

Wat ook wel stoer, en iets meer realistisch/uitvoerbaar is, is een soort van compressie techniek aan de hand van PI. Het idee is dat je een stuk data onderverdeeld in blokken en dan per blok gaat kijken waar het zich in de decimalen van PI bevindt. Dan is het een kwestie van de beginpositie van het blok (en eventueel eindpositie of blokgrootte) vast te leggen.
Het comprimeren neemt dan waarschijnlijk heel veel tijd in beslag, maar op die manier heb je in theorie wel lossless supercompressie.

Nee.Volgens mij valt te bewijzen dat je totale compressie voor willekeurige data ongeveer gelijk aan 0 zal zijn. Niet erg nuttig dus

Verder: Stom dat ik zeta(s) in plaats van zeta(2) schreef

Ook: Oneindig wordt daardoor nog geen getal waarmee je in samenhang met bijv de reeele getallen kunt werken. Wat Cantor deed was een naampje geven aan iets wat nog niet benoemd was, namelijk de grootte van een bepaalde oneindige verzameling. Het aantal operaties is erg beperkt, je kunt er natuurlijke getallen bij optellen, je kunt machtsverheffen, vermenigvuldigen (een soort van dan iig), maar meer ook niet. Je kunt er geen quotientlichaam over definieren, het is zo anders als de getallen die wij kennen dat de naamgeving getal alleen maar verwarrend werkt.

[Lord Daemon]

Ook: Oneindig wordt daardoor nog geen getal waarmee je in samenhang met bijv de reeele getallen kunt werken. Wat Cantor deed was een naampje geven aan iets wat nog niet benoemd was, namelijk de grootte van een bepaalde oneindige verzameling. Het aantal operaties is erg beperkt, je kunt er natuurlijke getallen bij optellen, je kunt machtsverheffen, vermenigvuldigen (een soort van dan iig), maar meer ook niet. Je kunt er geen quotientlichaam over definieren, het is zo anders als de getallen die wij kennen dat de naamgeving getal alleen maar verwarrend werkt.

Er is anders een hele tak van de wiskunde die zich bezig houdt met oneindige kardinaal en ordinaal getallen. Waarom zou je het woord getal daar niet mogen gebruiken?

[Burat]

Op donderdag 24 januari 2002 13:23 schreef Lord Daemon het volgende:

[..]

Mag ik je wel iets proberen te leren? Er bestaan wel degelijk oneindige getallen. Omega, als kleine letter geschreven, is de limiet van deze reeks: 1, 2, 3, 4, ...

Met omega kan je rekenen, Cantor heeft er een calculus voor opgesteld. Die is wat anders dan de normale calculus, zo geldt 1 + omega = omega + 1 niet. 1 + omega = omega daarentegen wel.

Vanaf omega kan je verder tellen, je krijgt dan omega + 1, omega + 2, omega + 3, ... wat de limiet heeft omega * 2. (Of 2 * omega, dat weet ik even niet meer.) Dan krijg je omega * 2 + 1, etcetera - een proces dat je uiteindelijk brengt bij omega^omega. Maar dan zijn we er natuurlijk nog niet, want dit proces wordt doorgevoerd tot we omega tot de macht omega tot de macht omega ... tot de macht omega hebben, waar omega omega's boven elkaar staan. Dit getal noemen we Epsilon-nul. (Niet dezelfde als die uit de electrodynamica.)

En eigenlijk liggen alle oneindige getallen voorbij epsilon-nul.

Heette dat geen ordinaalgetal? En dan het eerste kardinaalgetal (Aleph) toch (omega)^(omega)?

Maar dmv een tailorreeks krijg je geloof ik het meeste decimalen per iteratie..

[Verwijderd]

De grieken deden he al zo... jammer niet nieuw...

[Verwijderd]

PI kon je toch ook benaderen met 21.9911 / 7 ...

[Burat]

Op vrijdag 25 januari 2002 15:14 schreef drSinister het volgende:
PI kon je toch ook benaderen met 21.9911 / 7 ...

Kweenie..

Maar er zijn zat manieren om het te berekenen. Volgens de Chudnovsky's ook zo:

k1 = 545140134
k2 = 13591409
k3 = 640320
k4 = 100100025
k5 = 327843840
k6 = 53360

pi = (k6 * SQRT (k3)) / (S)

S = (Sum n=0 tot inf) (-1)^n * ((6n)!*k2 + n*k1) / ((n!)^3 * (3n)! * (8*k4*k5)^n)

Convergeert lineair en levert 14 decimalen per term..

[Verwijderd]

Hier heb ik nog een heel leuke Duitse tekst over, interesse?

[Lord Daemon]

Heette dat geen ordinaalgetal? En dan het eerste kardinaalgetal (Aleph) toch (omega)^(omega)?

Voor de fijnere details over het verschil tussen kardinaalgetallen en ordinaalgetallen kan je beter bij Sandalf zijn denk ik Kardinaalgetallen geven de grootte van een verzameling, ordinaal getallen de grootte van een welgeordende verzameling. Volgens mij is omega inderdaad een ordinaalgetal, en is Aleph₀ (bijvoorbeeld) een kardinaalgetal. Het is alleen niet zinnig (dacht ik) om te zeggen dat een bepaald oneindig kardinaalgetal hetzelfde is als een bepaald oneindig ordinaalgetal - dat geldt alleen bij eindige getallen. Aleph₀ is ook niet het eerste kardinaalgetal, 1 is er bijvoorbeeld ook een.

[Verwijderd]

Op dinsdag 22 januari 2002 13:11 schreef FCA het volgende:
Pi != 1/1 + 1/2 + 1/3 + ...

Die reeks gaat namelijk naar oneindig
......

hmm volgens mij is lim n --> oo sigma 1 + 1/n toch echt 2

[Vleermuis]

Bewijs dat 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 naar oo gaat:

1/1 = 1
1/2 = 1/2
1/3 + 1/4 > 1/2
1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 > 1/2
1/9 + ... + 1/16 > 1/2

Je krijgt dan dus een oneindig aantal maal 1/2 (+1 van de eerste term) Je hebt hier dus geen limiet

[FCA]

Ehm... nuttige post?

Het posten van "leuke" wiskundige raadseltjes op een forum waar toch een aantal slimme wiskunde/natuurkunde studenten rondlopen is niet echt nuttig. Als je probeert slim over te komen is dit niet de manier. Verder voegt het echt niks toe aan de topic, zeker niet voor een kick van 2 maanden ofzo

[Verwijderd]

Ik heb wel eens een geinige en erg makkelijke manier gezien om pi uit te rekenen:

- neem voor X een willekeurig getal tussen 0 en 1
- neem voor Y een willekeurig getal tussen 0 en 1
- als X*X plus Y*Y kleiner is dan 1, verhoog dan S
- verhoog N
- pi is dan 4 keer S gedeeld door N

Als je dit blijft herhalen zul je steeds dichter in de buurt van pi komen.

Wat natuurlijk logisch is.

1. de lijn X^2 + Y^2 = 1 geeft een cirkelboog met straal=1 in het 1e kwadrant. Elk getal waarvoor geldt X^2 + Y^2 < 1 ligt dus binnen deze boog. S/N is dus de kans dat het getal in het eerste kwadrant binnen de cirkelboog ligt.

2. De kans dat een punt binnen de cirkelboog ligt, is de oppervlakte van het gebied binnen die boog, gedeeld door de totale oppervlakte waar het getal terecht kan komen. De totale oppervlakte is gelijk aan 1. Daarmee is dus de oppervlakte van het gebied binnen de cirkelboog gelijk aan de kans dat een punt daar terecht komt.

3. als we 1 en 2 combineren geeft dit: de oppervlakte van het gebied binnen de cirkelboog is S/N. Vanuit de meetkunde weten we dat per definitie voor de euclidische ruimte geldt dat de oppervlakte van het gebied binnen de cirkelboog gelijk is aan 1/4*pi*r^2. Met r=1 is dat dus 1/4*pi. In andere woorden, S/N is 1/4*pi. Ofwel, pi=4*S/N.

Doordat je steeds meer metingen neemt, wordt de statistische afwijking, veroorzaakt doordat je random getallen trekt, steeds kleiner. In andere woorden, dit algoritme convergeert naar het juiste antwoord.

Er zijn wel veel sneller convergerende algoritmes btw... In dit geval heb je miljoenen getallen nodig om een beetje nauwkeurigheid te halen, maar er zijn ook algoritmes die dat veel sneller kunnen.

[RickN]

Op woensdag 27 maart 2002 23:38 schreef FCA het volgende:
Ehm... nuttige post?

Het posten van "leuke" wiskundige raadseltjes op een forum waar toch een aantal slimme wiskunde/natuurkunde studenten rondlopen is niet echt nuttig. Als je probeert slim over te komen is dit niet de manier. Verder voegt het echt niks toe aan de topic, zeker niet voor een kick van 2 maanden ofzo

Amen.

Daarnaast vind ik het ook nog een zwak bewijs... dussuh

[inquestos]

Ik ben er een keer op een heel makkelijke manier uitgekomen. Waren maar enkele berekeningen en was per ongeluk. Heb geen id meer hoe ik het heb gedaan Klopte iig precies. (nee geen 22/7)

[Verwijderd]

Op maandag 18 februari 2002 21:52 schreef nexT het volgende:
hmm volgens mij is lim n --> oo sigma 1 + 1/n toch echt 2

De reeks die wel naar 2 gaat is:
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 +...

[Verwijderd]

inquestos: Het is heel makkelijk om op pi uit te komen met de rekenmachine. 2*sin^-1(1) moet het bijvoorbeeld doen, als je je rekenmachine op radialen zet natuurlijk (dus: 2 maal de inverse van de sinus van 1). Maar dan bereken je pi niet, je vraagt hem in feite gewoon op uit het geheugen van je rekenmachine. Om pi te benaderen moet je een convergerend algoritme gebruiken dat naar pi nadert.

[Verwijderd]

Am I in pi?

Er is ook een site, waar ze voor je uitrekenen wanneer JIJ in pi voorkomt. Je geboortedatum, of de letters van je naam omgezet in cijfers...
check it!

http://www.facade.com/legacy/amiinpi/

[Verwijderd]

Op maandag 21 januari 2002 12:37 schreef Unexplained het volgende:

[..]

Dat 'ongeveer tekentje' heet een tilde, en is gewoon op je toetsenbord te vinden (links naast de 1, gebruik tevens de shift): ~

...is dat zo? Volgensmij betekent een ~ "is recht evenredig aan", en is een dubbele tilde "is ongeveer"...?

[Sjeik]

Pi is irrationeel en dus volgens mijn wiskundeboek niet al p/q te schrijven met p en q als gehele getallen en q != 0.

Ik scan nu ff een stukje want zelf snap ik het niet, misschien kunnen jullie het me uitleggen, maar tis zeker wel grappig om te zien



Wat ik hiervan begrijp is dat ze het tegenovergestelde willen bewijzen, dus dat pi als een breuk te schrijven is. Eerst gaan ze definieren wat pi is, mja, dan begrijp ik het niet meer

Maar dit zou het bewijs moeten zijn dat pi een oneindig lang, niet repeterende breuk is!

[Verwijderd]

Even ter aanvulling:

Pi is irrationeel en dus volgens mijn wiskundeboek niet al p/q te schrijven met p en q als gehele getallen en q != 0.

Sterker nog, pi is transcedent, dat is het tegenovergestelde van algebraïsch. Algebraïsch will zeggen dat het getal een nulpunt is van een veelterm (waarvan de coëfficienten rationele getallen zijn). Dit omvat meer getallen dan de rationele getallen.

De wortel van 2 is bijvoorbeeld een algebraïsch getal, want het is een nulpunt van X²-2. Wortel 2 is echter niet te schrijven als p/q. Elk rationeel getal (dus v/d vorm p/q) is trouwens sowieso algebraïsch (want het is een nulpunt van de veelterm X - p/q).

Transcedente getallen zijn dus getallen waarvoor er geen enkele veelterm bestaat waarvan ze het nulpunt zijn. Pi is zo'n getal.

Nou ehmm, nu ga ik even dat vage bewijs proberen te ontcijferen van je

[Verwijderd]

Dat heeft niks met het hexadecimale stelsel te maken, Pi is in geen enkel stelsel volledig uit te schrijven.

Wel in het pi-tallige stelsel, dan wordt het: 1

Daarnaast is er nog een heel groot en cruciaal verschil tussen Pi en 1/3 en dat is dat 1/3 een algebraïsch getal is en Pi niet. Verder is Pi ook nog eens trancedent

(zie ook mijn post hierboven) transcedent is per definitie niet-algebraisch.

Pi is natuurlijk enorm stoer, want ALLES zit erin.

Hoe weet je dat?? Het feit dat pi geen herhalende breuk is, is geen reden om aan te nemen dat alles er in zit. Neem bijvoorbeeld maar dit getal: 0,101001000100001.. enz (dus steeds een nul meer tussen de enen). Dit getal is ook niet rationeel, maar bevat zeker niet alles.

Maar dan nog, stel dat de decimaalontwikkeling van pi wel alles bevat, dan nog zou je er niet goed mee kunnen compressen:

Ik hoef alleen maar twee getallen te weten, namelijk de decimaal waarop de DivX begint, en een getal dat aangeeft hoe lang de DivX is.

Precies, en hoe groot denk je dat dat getal is, wat aangeeft op welke decimaal het begint? Ik gok minstens zo groot als de gemiddelde DivX

[Verwijderd]

Hoe weet je dat?? Het feit dat pi geen herhalende breuk is, is geen reden om aan te nemen dat alles er in zit. Neem bijvoorbeeld maar dit getal: 0,101001000100001.. enz (dus steeds een nul meer tussen de enen). Dit getal is ook niet rationeel, maar bevat zeker niet alles.

zie [url="http://pi random?"]http://www.subject.nl/artikel.php?id=338[/url]

[Gnoom]

Op donderdag 28 maart 2002 14:06 schreef Juggalin_Juggalo het volgende:
Wel in het pi-tallige stelsel, dan wordt het: 1

In ieder stelsel geld dat 1=1

In het pi-tallige stelsel is 10 natuurlijk pi Want:
In het 10 tallige stelsel is 10 natuurlijk 10
in het 2 tallige stelsel is 10 natuurlijk 2

Tadahhhhh

[inquestos]

Op woensdag 27 maart 2002 23:52 schreef Captain Proton het volgende:
inquestos: Het is heel makkelijk om op pi uit te komen met de rekenmachine. 2*sin^-1(1) moet het bijvoorbeeld doen, als je je rekenmachine op radialen zet natuurlijk (dus: 2 maal de inverse van de sinus van 1). Maar dan bereken je pi niet, je vraagt hem in feite gewoon op uit het geheugen van je rekenmachine. Om pi te benaderen moet je een convergerend algoritme gebruiken dat naar pi nadert.

Ja, zou best kunnen dat ik het zo heb gedaan... Niet dat het nuttig is om zo pi te berekenen, of je pi-toets op je rekenmachine moet eraf zijn gevallen

[Raku]

probeer eens je rekenmachine op radialen te zetten en dan 4x 2nd TAN (1).... Je krijgt dan: Pi

[Diadem]

Op woensdag 27 maart 2002 23:52 schreef Captain Proton het volgende:
inquestos: Het is heel makkelijk om op pi uit te komen met de rekenmachine. 2*sin^-1(1) moet het bijvoorbeeld doen, als je je rekenmachine op radialen zet natuurlijk (dus: 2 maal de inverse van de sinus van 1).

Even mierenneuken misschien, maar sin^-1(x) = 1/sin(x) != arcsin(x)

[Verwijderd]

Op donderdag 28 maart 2002 20:04 schreef Gnoom het volgende:
In ieder stelsel geld dat 1=1

In het pi-tallige stelsel is 10 natuurlijk pi Want:

Oh ja, fuck

[Verwijderd]

Even mierenneuken misschien, maar sin^-1(x) = 1/sin(x) != arcsin(x)

Gemierenneuk idd, aangezien de notatie f(x)^-1 bij functies regelmatig gebruikt wordt voor de inverse ervan en niet alleen in de meest letterlijke betekenis, "een gedeeld door"

[RickN]

Op donderdag 28 maart 2002 22:53 schreef Diadem het volgende:

[..]

Even mierenneuken misschien, maar sin^-1(x) = 1/sin(x) != arcsin(x)

Even mierenneuken misschien , maar sin^-1(x)!=1/sin(x)=sin(x)^-1!=sin(1/x)=sin(x^-1)

[Diadem]

Op vrijdag 29 maart 2002 00:04 schreef Captain Proton het volgende:

[..]

Gemierenneuk idd, aangezien de notatie f(x)^-1 bij functies regelmatig gebruikt wordt voor de inverse ervan en niet alleen in de meest letterlijke betekenis, "een gedeeld door"

Maar niet bij sinus. Tenminste ik heb er nog nooit van gehoord. Het zou nogal verwarrend zijn aangezien afgesproken is dat sinⁿ(x) = [sin(x)]ⁿ.

Overigens hebben we het over f^-1(x) en niet f(x)^-1

<small>Dit is trouwens echt ultieme insectenliefde</small>

[LauPro]

Het is dus in principe efficiënter om pi als formule in een programma te stoppen dan er een benadering van te gebruiken. Ik denk dat dit nu nog niet erg handig is omdat de computer dan eerst een hele tijd bezig is om pi uit te rekenen en dan pas de 'echte' berekening.

Maar aangezien de proccessoren steeds kwadratisch sneller worden denk ik dat we over 50 jaar al een 'redelijke' benadering van pi hebben.

In de nationale wetensschapsquiz van dit jaar hadden ze trouwens pi voor een gedeelte laten doen (ze hadden al 2 miljard decimalen...).

[Diadem]

Op donderdag 24 januari 2002 23:12 schreef Chemist het volgende:

[..]

Ik vraag me af of NASA jouw mening deelt ...

Ja hoor, dat doet zij wel. Maak je geen zorgen
Stel we weten Pi op 10 decimalen achter de komma. dus Pi = 3,1415926536, waarbij die laatste 6 eentje kan afwijken. Je komt dan, op bv. de aardbaan er van uitgaande dat we de afstand tot de zon weten, op een afwijking van 30 meter maximaal. Lijkt me niet wereldschokkend. Waarschijnlijk is de afwijking in praktijk groter omdat we de afstand niet precies weten.

En 10 decimalen is natuurlijk vrij weinig. Met 20 decimalen is je afwijking al 10 miljard keer zo klein, en wordt je meting zeker niet begrensd door een onnauwkeurige kennis van Pi, elke willekeurige grootheid veel minder nauwkeurig meetbaar is.

200 miljard decimalen is totaal onzinnig.

[Verwijderd]

Ik heb die formule even voor je versimpelt, hier issie.
Voor de waarde Y neem je een zo hoog mogelijk getal, want dan wordt het antwoord preciezer.

X = 180Y * Sin(1/Y)

Stukje korter, of niet?

[Looki]

Op zondag 20 januari 2002 23:30 schreef FutureCow het volgende:
ik heb nog ff vraagje ik moet namelijk heel verslag over Pi maken en dan is er ook een vraag bij:
Wat is het nut van 200 miljard decimalen? zijn er wetenschappers of technici doe zoveel decimalen kunnen gebruiken?

weet iemand antwoord op deze vraag, lijkt mij niet lijkt mij gewoon leuk dat je zoveel deciamlen hebt...

is wel makkelijk voor een ruitevaarder dan blijf hij precies in de goede baan! kost veel brandstof om bij te sturen vandaar denk ik da het wel nodig kan zijn. en als iemand nu een stukje software schrijft die het getal pi met 1,000,000,000,000,000 cijfers achter de komma berekent en dan een tijd mee laat tikken en wie dan de snelste tijd heeft! das leuk, ik kan wel proggen maar dit met tijd erbij word moeilijk en ik kan alleen pascal/ assembl(er)/(y)

als iemand dat wil doen leuk

[Yoozer]

nou, niet precies. ten eerste trekken die planeetjes sowieso al een nette baan om de zon, en astronauten die rond de aarde gaan hoeven ook geen extra werk te doen (satellieten wel, maar die hangen er ook veel langer). als laatste moet je natuurlijk niet de invloed van de maan vergeten, je zit er namelijk wat dichterbij dan anders (niet veel, maar toch).

astronauten hebben er meestal ook niets aan om rondjes te draaien. naar planeten of asteroiden gaan is veel interessanter, laat dat draaien maar over aan onbemande voertuigen

zelfs dan nog zou pi geen oplossing bieden. een zelf-corrigerend regelsysteem wel.

[Dido]

Om te beginnen: De methode van de topicstarter is absoluut genieaal, en een kleine 2500 jaar oud. Volgens de overlevering was Archimedes hier mee bezig toen hij door een Romeins soldaat gedood werd in Syracuse.

Wat betreft de noodzaak van nauwkeurigheid: Als ik de lengte van een baan om de zon/aarde wil berekenen gebruik ik de formule 2*PI*r. Zonder verder in te gaan op hoe fouten doorwerken in het eindreultaat, s wel duidelijk dat een fout in Pi en een fout in r beiden even "zwaar" wegen.
In hoeveel significante cijfers wordt een baan om de aarde uitgedrukt? r ligt rond de 7000 kilometer, 7.000.000 meter, oftewel 7.000.000.000 millimeter. Meer dan tien significante cijfers lijkt me dus niet echt relevant omdat de meetfout in je straal dan al groter is dan je "meetfout" in Pi. Voor grotere afstanden wordt je aantal significante cijfers echt niet groter, eerder kleiner!

[Yoozer]

<insectenliefde>
de meeste planetenbanen zijn lichtelijk elliptisch, dus daar helpt die formule ook niet veel. kun je beter pi*a*b/4 gebruiken, met a als apogeum en b als perigeum (of andersom)
</insectenliefde>

[Dido]

Op vrijdag 31 mei 2002 13:06 schreef Yoozer het volgende:
<insectenliefde>
de meeste planetenbanen zijn lichtelijk elliptisch, dus daar helpt die formule ook niet veel. kun je beter pi*a*b/4 gebruiken, met a als apogeum en b als perigeum (of andersom)
</insectenliefde>

Prima, en wat veranderd dat aan m'n argument?
(Geeft niet hoor, die beestjes kunnen wel een verzetje gebruiken)

[Verwijderd]

Nog een benadering voor pi tot 7 decimalen nauwkeurig:

9801 / (3301 * wortel()

Met de volgende wordtie zelfs heel nauwkeurig (duizenden cijfers achter de komma:

1/pi = wortel(8)/9801 * (sigma(n=0 -> oneindig) ((4n)!(1103 + 26390n))/(n!)^4)

Als je n0 nul invoert krijg je pi = 9801 / (3301 * wortel(), en voor volgend getal van n krijg je er weer een aantal decimalen bij. Zie ook:

http://www.science.uva.nl/misc/pythagoras/jaargang/9899/aug99/reeksen.php3

[Verwijderd]

Leuk !!!

Ik heb er helemaal geen verstand van hoor, maar ....
Ik las zonet dat er "verschillende" manieren waren om Pi te berekenen. Maar dat kan natuurlijk niet!
Hoe weet je of al die manieren leiden tot exact hetzelfde antwoord en dus Pi? Dan zou de exacte waarde van Pi dus bekend zijn

Er zijn dus wel verschillende manieren om Pi te "benaderen" denk ik.

Is er dan geen manier om die verschillende manieren naast elkaar te leggen of te combineren en te kijken vanaf welk punt er afwijkingen gaan optreden. De manier met de grootste afwijking zou dan afvallen wellicht en zo kan dan in een iteratief proces de "juiste" manier worden gevonden ...
Tsja het is laat

[Verwijderd]

Ik las zonet dat er "verschillende" manieren waren om Pi te berekenen. Maar dat kan natuurlijk niet!
Hoe weet je of al die manieren leiden tot exact hetzelfde antwoord en dus Pi? Dan zou de exacte waarde van Pi dus bekend zijn

Nee, dat hoeft niet. Echt PI "berekenen" doen we natuurlijk niet, maar we kunnen wel een hoop rijen verzinnen waarvan de limiet PI is. De limiet van een rij is uuh.. zeg maar, een getal waar de rij naar nadert. Naja, het getal, als het bestaat. Het kunnen er niet meer zijn.

Officieel is het dit, uitgaande van een rij x₁, x₂, x₃, enz: lim_n->oox_n = L wil zeggen, dat voor élk positief getal d, er een getal N bestaat waarvoor geldt dat |x_n-L|<d als n>N.

In normaal Nederlands: als je maar lang genoeg doorrekent, kom je vanzelf net zo dicht bij dat getal als je wilt. Dus binnen afstand 1/1000ste, of tot op 6 ziljoen decimalen, je kunt er zo dichtbij komen als je wilt.

Nou, als we twee rijen hebben, kunnen we best aantonen dat ze dezelfde limiet hebben, zonder die limiet zelf te kennen. Dus verschillende manieren om PI te berekenen (wat dus in feite verschillende rijen zijn met allebei PI als limiet) kan prima. De een gaat alleen 'sneller' richting PI dan de ander.

Weet iemand eigenlijk wat de officiele definitie van PI is? Op de uni werden eerst de sinus en cosinus geïntroduceerd door functies te vinden waarvoor f' = g en g' = -f (als inleiding op differentiaalvergelijkingen), door Taylor ontwikkeling kom je dan op de analytische definitie van sin en cos (namelijk sin x = x - x³/3! + x⁵/5! - ... en cos x = 1 - x²/2! + ... enz). En vervolgens wordt PI dan gedefinieerd als het eerste positieve nulpunt van de sinus.

Is dat gangbaar? Ja, op middelbare school niveau is het de verhouding tussen de straal en de omtrek van een cirkel. Nog andere invalshoeken?

[GeeBee]

Op zondag 20 januari 2002 19:29 schreef FutureCow het volgende:
[knip]
Om het eerst wat makkelijker te maken maak je in plaats van oneindig veel punten 1 punt
[afbeelding]
We gebruiken nu even een kwart cirkel want dat is iets makkelijker dan doe je het antwoord dus x2 en dan heb je PI
De hoek is nu dus 45 graden dan neem je Sin 22,5 = ?/1
? = 0,383 * 2 = 0,765 en dat * 4 (4*48=180) = 3,06 zit al redelijk dicht bij PI

Volgens mij begin je fout. De Sinus van een hoek is namelijk de overstaande rechthoekszijde gedeeld door de schijne zijde van een rechthoekige driehoek. De driehoeken waar je mee begint zijn niet rechthoekig.

Als je nu 2 punten neemt
[afbeelding]
als we nu die driehoek eruit halen
[afbeelding]
je kunt nu dus met sinus uitrekenen hoe groot ? is
Sin 15 = ?/1
? = 0,25 * 2 = 0,518

Volgens mij gaat het hier weer mis. Je hebt nu wel 2 rechthoekige driehoeken, maar die zijn niet gelijkvormig. Dus mag je niet zeggen dat je gewoon ×2 doet.
En als je een driehoek met 30° verdeelt is 3 driehoeken, krijg je weer driehoeken die niet rechthoekig zijn.

Ik weet ook wel dat bij kleine hoeken en een steeds fijnere verdeling van de cirkel dat allemaal minder belangrijk wordt, maar het rammelt wel...

[Verwijderd]

weet iemand misschien de wiskundige omschrijvingen van de periodieke functies, sin(X)=...... en dan bedoel ik dus niet een flinke taylorreeks maar de exacte formule.
Als je weet hoe de periodieke functies zijn opgebouwd dan weet je de basis van Pi, Pi is immers direkt uit deze functies af te leiden.

[Verwijderd]

weet iemand misschien de wiskundige omschrijvingen van de periodieke functies, sin(X)=...... en dan bedoel ik dus niet een flinke taylorreeks maar de exacte formule.

Die Taylorreeks is de exacte definitie van sin en cos. Wel als oneindige som dan.

Dus: sin(x) is per definitie E_k=0..oo -1^k * x^2k+1/(2k+1)!

(edit: dat somteken doet het niet ofzo? Naja, die E moet dus een grote sigma voorstellen)

[Essence]

Leuk dat dit topic weer boven komt borrelen. Ik heb toen ik mijn promotieonderzoek ff niet meer zag zitten, me een tijdje verdiept in hoe/wat van de praktische berekening van PI. Alles wat ik toen heb uitgezocht, heb ik in LaTeX vorm gegoten bij wijze van "oefen" publicatie.

Ik geef het hierbij aan GoT met de hoop dat iemand dit nog even door LaTeX kan halen en in een wat gemakkelijker formaat ergens beschikbaar kan stellen voor alle pi-tweakers (in Word, HTML?).

Thanx,

Martin

\documentstyle[11pt]{article}
\title{ {\huge De Berekening van $\pi$ in de Praktijk} }
\author{ \\ \\
{Dr. Martin E. Los} \\ \\ \\ \\
}
%\begin{document}
\maketitle
\begin{abstract}
{\noindent
In dit artikel laat ik zien, hoe je in de praktijk een
groot aantal decimalen van $\pi$ kan berekenen.


Allereerst geef ik een uitgebreid historisch overzicht
van de jacht op decimalen van $\pi$ door de eeuwen heen.
Vervolgens worden de snelle Borwein algorithmes
besproken, die gebruikt worden in alle moderne berekeningen.
Tenslotte geef ik praktische aanwijzingen voor het oplossen
van de problemen die je tegen komt wanneer je deze Borwein
algorithmes wilt implementeren.


Hopelijk is dit artikel een compact naslagwerk over $\pi$.
Wie nog meer details wil weten, verwijs ik naar de omvangrijke
literatuurlijst aan het eind van dit artikel.
}
\end{abstract}
\begin{document}

\newpage
\section{Een Historisch Overzicht}


De eerste~\cite{BECKMANN} die $\pi$ interessant~\cite{SAGAN}
genoeg vond was Archimedes. Hij probeerde $\pi$ te benaderen door
de oppervlaktes te berekenen van gelijkzijdige polygons met een
groeiend aantal zijden. Triest genoeg kwam hij niet verder dan
$\frac{6336}{2017.25} < \pi < \frac{14688}{4673.5}$
( $3.1405 < \pi < 3.1428$ ).
Dit krijg je met 96 gelijkzijdige polygons (probeer dit niet thuis!).
Archimedes gooide er het bijltje bij neer en vond dat $\frac{22}{7}$
in de praktijk voldeed.


In begin 1600 berekende een 'idiot savant' genaamd Ludolph von Ceulen
35 decimalen van $\pi$ met behulp van Archimedes' methode.
Gelukkig vond Gregory in 1671 de arctangens serie (of Taylor expansie): \\

$\arctan x = x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{7}}{7} + \cdots $ ,
zodat $\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7}
+ \cdots $ \\


\noindent
Deze reeks en variaties die ietwat sneller convergeren, leidden in de
komende 300 jaar tot een paar vermeldenswaardige berekeningen.


In 1706 deed John Machin met $\pi = 16 \arctan (\frac{1}{5}) - 4 \arctan (
\frac{1}{239})$ een succesvolle gooi naar de honderd decimalen. Johann Dase
berekende in 1844 met
$\pi = 4 \arctan (\frac{1}{2}) + 4 \arctan (\frac{1}{5}) +
4 \arctan (\frac{1}{8})$ tweehonderd decimalen en tenslotte produceerde
William Shanks met dezelfde reeks in 1873 zelfs 707 goede decimalen.


Metius, een Nederlands wiskundige rond 1700, kwam met de eerste
praktische bijdrage. Hij vond de (4-de orde kettingbreuk~\cite{CIJSOUW})
benadering voor $\pi$ die ook nog gemakkelijk te onthouden is.
Schrijf de oneven numbers 1, 3 en 5 elk tweemaal achter elkaar : 113355.
Snijd vervolgens dit getal in de twee delen 113 en 355, deel 355 door 113
en voil\`{a} het antwoord $3.14159292$ is bijna $3,141592654 \dots$


In 1949 werd de eerste computerpoging gewaagd door
Rietweisner~\cite{RIETWEISNER} op de beroemde kamervullende ENIAC en hij
vond 2037 decimalen gebruik makend van Machin's reeks.
Daniel Shanks (misschien wel familie van William, geen idee ...)
berekende in 1962~\cite{SHANKS} samen met John Wrench en hun beider vriend
de IBM 7090 (die het meeste werk deed), ruim $100.000$ decimalen gebruik
makend van
$\pi = 24 \arctan (\frac{1}{8}) + 8 \arctan (\frac{1}{57}) +
4 \arctan (\frac{1}{239})$.


De echte doorbraak kwam in 1976 toen Brent~\cite{BRENT} en
Salamin~\cite{SALAMIN} onafhankelijk van elkaar een algorithme vonden
om $\pi$ te berekenen dat een kwadratische convergentie heeft.
Het is vreemd dat het zolang duurde voordat dit algorithme gevonden werd,
want de noodzakelijke relaties waren allang bekend bij Gauss~\cite{GAUSS}
en Legendre. Tevens had in het begin van deze eeuw de Indiase wiskundige
Ramanujan~\cite{RAMANUJAN} in zijn beroemde maar onleesbare 'notebooks'
ook al een kwadratisch convergerende formule neergekalkt, te weten :
\\[
\frac{1}{\pi} = \frac{1}{4} \left( \frac{1123}{882} -
\frac{22583}{882^{3}} \frac{1}{2} \frac{1 \cdot 3}{4^{2}} +
\frac{44043}{882^{5}}
\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}{4^{2} \cdot 8^{2}} - \cdots
\right)
\]
De eerste factor in de teller gaat als $1123+21460 k$, met
$k=0,1,2,3,\ldots$


In de begin jaren tachtig hebben de Borwein's~\cite{BORAGM,BORPI,NEWMAN}
(2 broertjes neem ik aan)
de methode van Brent en Salamin gegeneraliseerd, hetgeen leidde tot een
een klasse van algorithmes voor het berekenen van $\pi$. Deze algorithmes
hebben de eigenschap dat ze bij elke iteratie $n$ keer meer decimalen
van $\pi$ op te leveren. Hoewel $n$ heel groot kan zijn, worden in de
praktijk alleen de algorithmes met lage $n$'s gebruikt omdat de hogere
niet effectiever zijn in een computer implementatie wegens hun hogere
complexiteit.


Gebruik makend van deze algorithmes berekenden Kanada en Tamura in
1983~\cite{KANADA} al 16 miljoen decimalen en David Bailey~\cite{BAILEYPI}
in 1986 $29.360.000$ decimalen.
In 1987 rapporteerde Kanada dat hij meer dan 134 miljoen decimalen
had berekend en zover ik weet gaat men nog altijd door ... \\


\noindent
Nu vraag je je misschien af waarom 'serieuse' mensen dit enorme aantal
decimalen van $\pi$ nodig hebben?


Allereerst is het nog niet bewezen dat de decimalen van $\pi$ willekeurig
zijn, hoewel wel bewezen is dat $\pi$ irrationeel is (Lambert, 1766).
Gegenereerde decimalen kunnen dus, omdat ze tot nu toe alle willekeurigheids testen doorstaan hebben, gebruikt worden om grote en niet repeterende
willekeurige getallenrijen te genereren.


Verder vormt dit soort berekeningen een prima test voor de
betrouwbaarheid van een computer. Het gaat immers om triljoenen
arithmetische operaties die tot een specifieke rij getallen moet leiden.
In alle latere computerpogingen is $\pi$ ter controle dan ook twee
keer berekenend met verschillende algorithmes, omdat de kans op fouten niet
meer verwaarloosbaar meer is bij berekeningen van deze omvang.


\section{De Borwein Algorithmes}


Ik zal hieronder de Borwein algorithmes met $n=2$ en $n=4$ introduceren.
Merk op dat je multi-precisie tools nodig hebt om ze te kunnen gebruiken,
vanaf het begin moet namelijk gerekend worden met het gewenste aantal
eind decimalen.\\


\noindent
Voor het kwadratisch ($n=2$) convergerende algorithme voor $\pi$, zet
$a_{0} = \sqrt{2}$, $b_{0} = 0$, $p_{0} = 2 + \sqrt{2}$ en itereer :
\\[ a_{k+1} = \frac{ \sqrt{a_{k}} + 1/ \sqrt{a_{k}} }{2} \]
\\[ b_{k+1} = \frac{ \sqrt{a_{k}} (1 + b_{k}) }{ a_{k} + b_{k} } \]
\\[ p_{k+1} = \frac{ p_{k} b_{k+1} (1 + a_{k+1}) }{ 1 + b_{k+1} } \]
\noindent
Dan convergeert $p_{k}$ kwadratisch naar $\pi$. De iteraties geven
vervolgens respectivelijk $3, 8, 19, 40, 83, 170, 345, 694, 1392,
2788 \ldots$ correcte decimalen.\\


\noindent
Voor het Borwein algorithme dat viermaal het aantal decimalen oplevert
per iteratie, start met $a_{0} = 6 - 4 \sqrt{2}$, $y_{0} = \sqrt{2} - 1$
en itereer dan :
\\[ y_{k+1} = \frac{ 1 - (1 - y_{k}^{4})^{1/4} } { 1 + (1 - y_{k}^{4})^{1/4} } \]
\\[ a_{k+1} = a_{k} (1 + y_{k+1})^{4} - 2^{2k+3} y_{k+1} (1 + y_{k+1} + y_{k+1}^{2}) \]
\noindent
Hiermee convergeert $a_{k}$ naar $\frac{1}{\pi}$.

\section{Andere Formules met $\pi$}


De twee natuurconstanten $e$ en $\pi$ zijn trouwens direct aan elkaar
gerelateerd. Een interessante relatie is :
\\[ e^{i \pi} + 1 = 0 \]
\noindent
Deze elegante formule met $0, 1, i$ en $\pi$ hebben we aan Euler te danken.


\noindent
Er zijn nog twee andere verassende formules die $e$ en $\pi$ met elkaar verbinden. Allereerst
\\[ e^{\pi} = 32 \prod_{j=0}^{\infty} \frac{a_{j+1}}{a_{j}} \]
\noindent
waarbij $a_{0}=\sqrt{2}$, $b_{0}=1$ en
\\[ a_{j}=\frac{a_{j-1} + b_{j-1}}{2} \]
\\[ b_{j}=\sqrt{a_{j-1} b_{j-1}} \]
\noindent
$a_{j}$ en $b_{j}$ worden respectievelijk arithmetisch en geometrisch
gemiddelde (AGM, Arithmatic Geometric Mean) genoemd. \\


\noindent
De volgende relatie is ook heel fraai :
\\[
\frac{e}{\pi} = \frac{ \sum_{j=0}^{\infty} \frac{1}{j!} }{ \sqrt{6\sum_{j=1}^{\infty}\frac{1}{j^{2}}} }
\]
\noindent
en volgt direct uit de Taylor expansie van $e$ in combinatie met
$\sum_{j=1}^{\infty} \frac{1}{j^{2}} = \frac{\pi^{2}}{6}$.
\section{Elementaire Arithmetische Operaties}


Zoals gezegd volgt uit de bovenstaande algorithmes dat je een aantal
elementaire arithmetische operaties zelf moet implementeren voor
{\bf arbitraire} precisie. De implementatie voor optellen en aftrekken
is slechts het zelf bij houden van een carry. Ik zal hier efficiente
algorithmes geven voor vermenigvuldigen, delen en tenslotte worteltrekken.


Een schat aan informatie over elementaire operaties is te vinden
in de eenmans encyclopedie 'The Art of Computer Programming' van
Donald Knuth~\cite{KNUTH} : een meesterwerk dat eigenlijk in geen
enkele boekenkast meer mag ontbreken.

\subsection{Vermenigvuldiging}


Jammer genoeg is de gewone 'lagere school methode' erg inefficient bij
een groot aantal decimalen, nl. orde $n^2$ voor het vermenigvuldigen van
twee getallen van $n$ decimalen.


De snelste~\cite{SCHOENHAGE,BAILEYFFT} vermenigvuldigingsmethoden maken
gebruik van F(ast) F(ourier) T(ransforms)~\cite{SWARZTRAUBER,SEDGEWICK}
maar ik zal simpelere alternatieven noemen. Ze zijn niet zo snel als FFTs,
maar wel redelijk eenvoudig te implementeren.


Als je maar een $n$-decimale nauwkeurigheid hebt en je moet de getallen
$A$ en $B$ vermenigvuldigen die beide $n$ decimalen groot kunnen zijn,
past het resultaat $C = A B$ niet altijd in $n$ decimalen, want dat kan
$2n$ decimalen groot zijn. In plaats van vermenigvuldigen van
afzonderlijke decimalen, kun je $A$ en $B$ opsplitsen in een $h$oog en
een $l$aag deel, zodat :
\begin{eqnarray}
C = & A B \nonumber \\
= & (10^{n/2} A_{h} + A_{l}) (10^{n/2} B_{h} + B_{l}) \nonumber \\
= & A_{h} B_{h} 10^{n} + ( A_{h} B_{h} + A_{l} B_{l} - (A_{h}-A{l})(B_{h}-B_{l}) ) 10^{n/2} + A_{l} B_{l} \nonumber
\end{eqnarray}
\noindent
Nu hoef je slechts de vermenigvuldigingen $A_{h} B_{h}$, $A_{l} B_{l}$ en
$(A_{h}-A{l})(B_{h}-B_{l})$ uit te voeren waarvan de uitkomsten allen
in $n$ decimalen passen. Vervolgens moet je schuiven en optellen.


Het bovenstaande algorithme kan recursief uitgevoerd worden door $A$
en $B$ herhaald in tweekn te splitsen totdat de stukken klein genoeg
zijn om met normale precisie de 3 vermenigvuldigingen uit te voeren.
Dit leidt tot een algorithme dat van de orde $n^{1.52}$ is.


Een andere mogelijkheid tot vermenigvuldigen wordt duidelijk wanneer
je beseft dat $A B = \frac{1}{2}(A+B)^{2} - A^{2} - B^{2})$.
Hiermee is ook een redelijke multi-precisie vermenigvuldiging te
implementeren omdat kwadrateren met reciproke operaties gedaan kan
worden wegens : $x^{2} = 1/(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}) - x$

\subsection{Delen : de Reciproke}


Delen is een combinatie van een vermenigvuldiging met een reciproke
operatie. In plaats van $C = \frac{A}{B}$ bereken je dus eerst
$\frac{1}{B}$ en vermenigvuldigt vervolgens met $A$.
Vermenigvuldigen is hierboven al behandeld, dus hoe berekent men
$\frac{1}{B}$ ?


Aangezien $\frac{1}{B}$ het nulpunt is van de functie $f(x) = B -
\frac{1}{x}$, kun je het effectief met Newton iteratie berekenen :
het nulpunt van een functie $f(x)$ is de limiet $k \rightarrow \infty$
van $x_{k+1} = x_{k} - f(x_{k})/f'(x_{k})$.


Voor onze $f(x)$ moet je dus $x_{k+1} = x_{k} (2 - B x_{k})$ itereren.
Newton iteratie heeft het voordeel dat het aantal goede decimalen
verdubbelt bij iedere iteratie. Je hoeft dus niet gelijk vanaf het
begin van de berekening van $\frac{1}{B}$ met de volle nauwkeurigheid
te werken, maar verdubbelt deze bij iedere opvolgende iteratie.

\subsection{Worteltrekken}

Ook worteltrekken~\cite{ALT} laat zich het best door Newton iteratie temmen.
Het handigste is om niet $\sqrt{A}$ rechtstreeks met iteratie te berekenen,
maar $\frac{1}{\sqrt{A}}$ en vervolgens het geheel te completeren met
een laatste volle precisie vermenigvuldiging met $A$.
De Newton iteratie $x_{k+1} = \frac{x_{k} (3 - A x_{k}^{2})}{2}$ voor
$\frac{1}{\sqrt{A}}$ heeft namelijk het voordeel dat die geen deling meer
bevat (behalve delen door 2, maar dat is triviaal) en dat scheelt een stuk.


Natuurlijk laat dit alles zich generaliseren voor een $n$-de machts wortel
van $A$, zoek dan met Newton iteratie naar het nulpunt van
$f(x) = A - x^{n}$.

\section{Slot Opmerkingen}


In de praktijk kan er veel gewonnen worden door vanaf het begin decimaal
te rekenen met een eigen BCD-implementie omdat je uiteindelijk toch de
decimale representatie van $\pi$ wilt zien. Conversie van binair of
hexadecimaal naar decimaal is een zeer tijdrovende laatste operatie!


Wie niet zo geinteresseerd is in een zeer groot aantal decimalen of wie
gewoon een bloedsnelle computer heeft kan het onderstaande
C-programmaatje (voor 200 decimalen, maakt gebruik van de arctangens
reeks en getallenbases transformaties) gebruiken en/of aanpassen.

\begin{verbatim}
#include<stdio.h>
int b,c=2800,d,e=0,f[2801],g;
main()
{
while (b!=c) f[b++]=2000;
while (c!=0)
{
d=0 ; g=c*2-1; b=c;
while (b!=0)
{
d*=b; d+=f[b]*10000; f[b]=d%g; d/=g; g-=2; b--;
}
c-=14; printf("%.4d",e+d/10000); e=d%10000;
}
}
\end{verbatim}
\noindent
Voor de Borwein algorithmes is het natuurlijk handig als je van
tevoren beslag kunt leggen op de expansie van $\sqrt{2}$ met hetzelfde
aantal decimalen waarin je $\pi$ wilt berekenen, omdat $\sqrt{2}$ expliciet
verschijnt in de startwaardes van de iteraties~\cite{DUTKA}.\\


\noindent
Ter controle tenslotte, de eerste 100 decimalen van $\pi$ zijn :
\begin{verbatim}
3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510
58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679
\end{verbatim}

\noindent
De decimalen 990 t/m 1000 zijn {\tt 92164201989}
en de decimalen 4999990 t/m 5000000 zijn {\tt 20764619715}.


\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{ALT}
H. Alt, ``Square Rooting Is as Difficult as Multiplication'', \\
Computing 21, pp. 221-232 (1979). \\
\bibitem{BAILEYFFT}
D.H. Bailey, ``A high performance fast Fourier transform algorithm for \\
the CRAY-2'', Journal of Supercomputing, v. 1, pp. 43-60 (1987). \\
\bibitem{BAILEYPI}
D.H. Bailey, ``The Computation of pi to 29,360,000 Decimal \\
Digits Using Borweins' Quartically Convergent Algorithm'', \\
Math. of Comp., v. 50, pp. 283-296 (1988). \\
\bibitem{BECKMANN}
P. Beckmann, ``A History of Pi'', Golem Press, Boulder, CO, 1971. \\
\bibitem{BORAGM}
J. M. Borwein, P.B. Borwein, ``The arithmatic-geometric mean and fast \\
computation of elementary functions'', SIAM Rev., v. 26, pp. 351-366 (1984). \\
\bibitem{BORPI}
J.M. Borwein, J.P. Borwein, ``More quadratically converging \\
algorithms for pi'',Math. Comp., v. 46, pp. 247-253 (1986). \\
\bibitem{BRENT}
R.P. Brent, ``Fast multiple-precision evaluation of elementary \\
functions'', J. Assoc. Comput. Mach., v. 23, pp. 242-251 (1976). \\
\bibitem{CIJSOUW}
P.L. Cijsouw, ``Commensurabiliteit en kettingbreuken'', Zenit, \\
Juni 1986, in Sterrenkunde op de huiscomputer, p. 213. \\
\bibitem{DUTKA}
J. Dutka, ``The Square Root of 2 to 1,000,000 Decimals'', \\
Math. of Comp., v. 25, pp. 927-930 (1971). \\
\bibitem{GAUSS}
C.F. Gauss, ``Werke'', Goettingen, 1863; 2nd ed., 1876, v. 2, p. 499-502. \\
\bibitem{KANADA}
Y. Kanada, Y. Tamura, ``Calculation of pi to 10,013,395 \\
Decimal Places Based on the Gauss-Legendre Algorithm and Gauss \\
Arctangent Relation'', Computer Centre, University of Tokyo, 1983. \\
\bibitem{KNUTH}
D. Knuth, ``The Art of Computer Programming'', Vol. 2: Semi- \\
numerical Algorithms, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1981. \\
\bibitem{NEWMAN}
D. J. Newman, ``A Simplified Version of the Fast Algorithms of \\
Brent and Salamin'', Math. of Comp., v. 44, pp. 207-210 (1985). \\
\bibitem{RAMANUJAN}
S. Ramanujan, ``Modular equations and approximations to pi'', \\
Quart. J. Pure Appl. Math., v. 45, 1914, p.350-372; Collected papers \\
of Srinivasa Ramanujan, Cambridge 1927, p. 29-39. \\
\bibitem{RIETWEISNER}
G. Rietweisner, ``An ENIAC determination of pi and e to more \\
than 2000 decimal places", MTAC, v. 4, 1950, p. 11-15. \\
\bibitem{SAGAN}
Carl Sagan, ``Contact'', Arrow Books, 1986, ISBN 0-09-046950-2. \\
\bibitem{SALAMIN}
E. Salamin, ``Computation of pi using arithmetic-geometric mean'', \\
Math. of Comp., v. 30, pp. 565-570 (1976). \\
\bibitem{SCHOENHAGE}
A. Schoenhage, V. Strassen, ``Schnelle Multiplikation grosser \\
Zahlen'', Computing 7, pp. 281-292 (1971). \\
\bibitem{SEDGEWICK}
R. Sedgewick, ``Algorithms'', ISBN 0-201-06673-4, Chapter 41 : \\
The Fast Fourier Transform, pp. 583-593. \\
\bibitem{SHANKS}
D. Shanks, J.W. Wrench, Jr., ``Calculation of pi to 100,000 \\
decimals'', Math. of Comp., v. 16, pp. 76-99 (1962). \\
\bibitem{SWARZTRAUBER}
P. Swarztrauber, ``FFT algorithms for vector computers'', Parallel \\
Comput., v. 1, pp. 45-64 (1984).
\end{thebibliography}
\end{document}

[Essence]

Op zondag 20 januari 2002 20:08 schreef FutureCow het volgende:
nope nix gekopieert.. heb hier nog wel aantekeningen liggen kom maar langs

Geloof ik. Je hebt hetzelfde uitgevonden als Archimedes (zie mijn eerder post in dit forum)

[Essence]

Op zondag 02 juni 2002 15:22 schreef Essence het volgende:
Ik geef het hierbij aan GoT met de hoop dat iemand dit nog even door LaTeX kan halen en in een wat gemakkelijker formaat ergens beschikbaar kan stellen voor alle pi-tweakers (in Word, HTML?).

Aanvulling: ik heb zelf voorlopig even geen toegang tot een linux bak met latex, vandaar .... en kon alleen nog maar mijn originele .tex file vinden. HELP.

[Essence]

Op maandag 21 januari 2002 11:47 schreef AxzZzel het volgende:
Pi van Windows

code:

pi =(ongeveer tekentje)  3,1415926535897932364626433832795

Mmmm da's "al" fout op 18-de decimaal want:
pi ~ 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 ....

Ik houd het gewoon op 355/113

[Zip McOccup]

Op vrijdag 29 maart 2002 15:29 schreef Diadem het volgende:

[..]

Maar niet bij sinus. Tenminste ik heb er nog nooit van gehoord. Het zou nogal verwarrend zijn aangezien afgesproken is dat sinⁿ(x) = [sin(x)]ⁿ.

Overigens hebben we het over f^-1(x) en niet f(x)^-1

<small>Dit is trouwens echt ultieme insectenliefde</small>

sinⁿ(x) = [sin(x)]ⁿ <-- Dit geldt dus wel!!!

[pirke]

Op zondag 02 juni 2002 15:22 schreef Essence het volgende:
Ik geef het hierbij aan GoT met de hoop dat iemand dit nog even door LaTeX kan halen en in een wat gemakkelijker formaat ergens beschikbaar kan stellen voor alle pi-tweakers (in Word, HTML?).

LaTeX roelt btw

en ik denk dat pdf een betere oplossing is ipv word bestandje, anders is het hele idee van LaTeX weer weg he?

[Boudi]

Op zondag 02 juni 2002 15:22 schreef Essence het volgende:

Ik geef het hierbij aan GoT met de hoop dat iemand dit nog even door LaTeX kan halen en in een wat gemakkelijker formaat ergens beschikbaar kan stellen voor alle pi-tweakers (in Word, HTML?).

Bij deze, de PS versie en een PDF versie... PDF ziet er niet echt super uit, kon zo snel geen goede converter vinden, maar t is iig leesbaar

PostScript
PDF

[Verwijderd]

Op zondag 20 januari 2002 23:20 schreef blobber het volgende:

This technique is based on the work of the eccentric Indian
mathematician Srinivasa Ramanujan.

Even het trieste verhaal van Ramanujan vertellen.

Ramanujan wordt door sommigen (zoals mijn docent getaltheorie) gezien als de meest geniale wiskunde ooit. Hij heeft jaren lang in één of ander bos gewoond in India, waar hij alleen maar wiskunde deed (in z'n eentje). Toen hij wat van zijn resultaten naar een Engelse wiskundige stuurde, heeft die ze meteen doorgestuurd naar de authoriteit op dat gebied omdat hij er zelf vrij weinig van begreep, maar wel genoeg om in te zien dat die Ramanujan ofwel gek, ofwel geniaal moest zijn.

Ze hebben toen besloten om hem naar Engeland te halen, waar hij een paar jaar gewerkt heeft, maar al op veel te jonge leeftijd is overleden. Gezegd werd dat dat kwam doordat hij zich nooit echt thuis gevoeld heeft in Engeland...

Een waargebeurd verhaal van een legende binnen de wiskundige.

[Essence]

Op woensdag 05 juni 2002 14:47 schreef Boudi het volgende:

[..]

Bij deze, de PS versie en een PDF versie... PDF ziet er niet echt super uit, kon zo snel geen goede converter vinden, maar t is iig leesbaar

PostScript
PDF

Boudi, bedankt!

[Larry4]

Op woensdag 05 juni 2002 14:47 schreef Boudi het volgende:

[..]

Bij deze, de PS versie en een PDF versie... PDF ziet er niet echt super uit, kon zo snel geen goede converter vinden, maar t is iig leesbaar

PostScript
PDF

Heyyy Boudi

ff betere pdf gemaakt voor de mense die geen ghostview hebbe.
betere PDF

[Verwijderd]

als je het 1000e decimaal van PI wilt berekenen moet je eerst het 999e weten, tenminste op je rekent steeds verder.
Nu hoorde ik ooit dat er een alghoritme is waar je als input de zoveelste decimaal geeft en alghoritme geeft dan de waarde terug, zoiets:

0 >> alghoritme >> 3
1 >> alghoritme >> 1
2 >> alghoritme >> 4

Op die manier, zonder alle tussenliggende decimalen te berekenen, heel vaag. Maar het leuke is dat het enkel en alleen werkte in hexadecimaal.

[BitByter]

Op maandag 21 januari 2002 23:10 schreef RickN het volgende:

[..]

Idd, alleen het feit dat Pi een oneindige nonrepeterende reeks cijfers is zegt nog niet dat dan ook elke eindige reeks cijfers ook in Pi voor moet komen. Intuïtief zou je misschien zeggen van wel, en misschien is het ook wel zo, maar je kunt het niet bewijzen (Iig niet met de argumenten die ik hierboven gaf).

o nee?

stel nou dat pi oneindig is
dat zou betekenen dat elke reeks oneindig vaak voorkomt in pi, waarom zou het [b]niet[b] in pi voorkomen, pi is oneindig dus alles komt er oneindig veel in voor. probeer je 's in te denken hoe lang oneindig duurt

pi is naar mijn mening allesomvattend, oneidnig, het stopt niet, nooit niet,

alleen 1 ding begrijp ik niet, de definitie van oneindig was dacht ik, (net zoals tijd) het is nooit begonnen, en het eindigt nooit, maar pi begint wel ergens...

[Verwijderd]

o nee?
stel nou dat pi oneindig is
dat zou betekenen dat elke reeks oneindig vaak voorkomt in pi, waarom zou het niet in pi voorkomen, pi is oneindig dus alles komt er oneindig veel in voor.

Nee hoor. Kijk maar naar dit getal bijvoorbeeld:

0,101001000100001.. enz (dus steeds een nul meer tussen de enen). Dat getal gaat ook oneindig door en is niet repeterend. Maar de zeer simpele reeks "2" komt er niet in voor.

alleen 1 ding begrijp ik niet, de definitie van oneindig was dacht ik

De definitie van pi is uiteraard niet "dat het oneindig" is. De officiele definitie van pi staat hier bovenaan deze pagina. Dit legt eenduidig het getal vast wat we pi noemen, en van dit getal is bewezen dat het transcedent is. Dat willen zeggen: het is geen rationaal getal (dus is niet te schrijven als breuk, ofwel is niet reperterend), en het is zelfs niet algebraïsch (= geen nulpunt van een veelterm, zoals de wortel van 2 bijvoorbeeld wel is).

Maar dit zegt niets over het wel of niet voorkomen van bepaalde cijferreeksen.

[FCA]

Op donderdag 06 juni 2002 21:39 schreef unteraarsch het volgende:
als je het 1000e decimaal van PI wilt berekenen moet je eerst het 999e weten, tenminste op je rekent steeds verder.
Nu hoorde ik ooit dat er een alghoritme is waar je als input de zoveelste decimaal geeft en alghoritme geeft dan de waarde terug, zoiets:

0 >> alghoritme >> 3
1 >> alghoritme >> 1
2 >> alghoritme >> 4

Op die manier, zonder alle tussenliggende decimalen te berekenen, heel vaag. Maar het leuke is dat het enkel en alleen werkte in hexadecimaal.

Dat is de volgende fomule (van MathWorld


Verder is Pi niet oneindig, oneindig betekent namelijk groter als elk getal. Het aantal niet repeterende decimalen van Pi is oneindig, aangezien Pi irrationaal is.

[Koekje]

sina=B/1
oxB=pi
o=oneindig
180/o=a

onder voorbehoud van fouten..

[Confusion]

Tjah, deze kick was niet nodig; het voegt niets nuttigs toe.

[ Voor 32% gewijzigd door Confusion op 30-12-2003 21:06 ]