1/9 * 9 is geen 1?

[Anoniem: 18091]

als je 1 deelt door 9, dan krijg je 0,111111111111111111111111111...

vermenigvuldig je dit weer met negen, krijg je dus:
0,999999999999999999999999999...

toch:?

da's geen 1....

[Ricochet]

0,1111111111111..... is de decimale uitdukking van 1/9. De breuk zelf 1/9 is precies een negende deel van 1, daarmee resulteert dit dus in het volgende: 9* 1/9=1

[monkel]

zeker leren rekenen met een rekenmachientje?

[Lord Daemon]

0.9999.... met oneindig veel negens is wel degelijk 1. Immers, voor iedere negen die je er bij zet maak je het verschil met 1 tien maal zo klein. En Lim(x->oneindig) : (0.1)^x = 0

Dus het verschil wordt nul, dus het getal wordt 1.

Lord Daemon

[Anoniem: 6927]

(1/9)*9 = 9/9 = 1
waar jij het over hebt is de afrondingsfout die een rekenmachine maakt.

[Pc123]

voer dan ns de breuken op je rekenmachine in

[Lord Daemon]

Het is geen afrondigsfout, want er is geen fout. 0.9999....... = 1. Exact.

Lord Daemon

[Anoniem: 3527]

Sorry hoor, maar dat gaat echt nergens over

[Defspace]

Hij moet gewoon een betere calculator kopen, zelfs de MS windows calculator doet het goed.

[Anoniem: 18020]

Soms is het beter om met je grijze massa te denken, dan met je rekenmachientje.

Als ik een taart pak, deze door negen deel...jij krijgt vervolgens alle delen, dan heb je toch een hele taart??

[Toiletman]

Als ik een taart pak, deze door negen deel...jij krijgt vervolgens alle delen, dan heb je toch een hele taart??

Nietes!!
je vergeet de kruimeltjes! dat is die 0,0000000000000000000000000000001
(sorry komt door de W&L meeting topic...)

[-=Confuzer=-]

We kunnen het forum beter hernoemen :

"Vraag hier uw kleuterschool vragen aan de W&L goeroes "

[Anoniem: 18161]

Is allemaal wel zo, maar als 0,999999999999999999999999999... gelijk is aan 1 is dat juist de afrondingsfout, maar als het verschil met 1 uiteindelijk oneindig klein is, is het weer 1, maar theoretisch gezien komt er toch 0,99999999999999999999999999999999..... uit.

edit:

op mijn rekenmachientje komt er 1 uit, maar dit schoot mij gewoon ff te binnen
oh ja, de webskipper die dit poste was ik (is een goeie vriend van mij en ik poste dit bij hem op z'n pc)

[Anoniem: 19725]

Tsss, trieste topic...

Slotje!

[Anoniem: 18020]

Op woensdag 07 februari 2001 00:03 schreef K-Mile het volgende:
Is allemaal wel zo, maar als 0,999999999999999999999999999... gelijk is aan 1 is dat juist de afrondingsfout, maar als het verschil met 1 uiteindelijk oneindig klein is, is het weer 1, maar theoretisch gezien komt er toch 0,99999999999999999999999999999999..... uit.

edit:

op mijn rekenmachientje komt er 1 uit, maar dit schoot mij gewoon ff te binnen
oh ja, de webskipper die dit poste was ik (is een goeie vriend van mij en ik poste dit bij hem op z'n pc)

Wat wil je nou zeggen, je naait je vrienden, leuk is dat.

Wat wil je nou eigenlijk met deze thread beweren??

[-=Confuzer=-]

K-mile : de ... staan voor oneindig door dus eigenlijk benadering tot 1

[Anoniem: 18161]

oke oke, laat maar...

[Anoniem: 958]

Goed ik zal het even wat verhelderen (of misschien wel juist onbegrijpelijker maken).

Elk element in R is de limiet van een Cauchy-rij. Wat een Cauchy-rij is boeit even niet. Het enige wat je moet weten is dat R de verzameling is van limietpunten van Cauchy-rijen in Q (het breukenlichaam). Getallen met oneindig veel decimalen kun je zien als Cauchy rijen in Q. R is zelfs eigenlijk de verzameling van alle getallen met oneindig veel decimalen (dan heb je meteen alle getallen dus). 0,999... is een andere Cauchy-rij dan 1,000... Maar ze hebben WEL dezelfde limiet. Het getal dat ze aan R toevoegen is dus hetzelfde en wordt meestal genoteerd met 1.

[Anoniem: 958]

Voor breuken op je rekenmachine heb je trouwens een speciaal knopje, a b/c staat er bij mij op. (Tenzij je zo'n goedkoop hema-ding hebt dat muziek maakt als je hem open doet, of zoiets dat je gratis bij een pak waspoeder krijgt.)
Bij grafische rekenmachines zul je het ook wel hebben, maar dan moet je waarschijnlijk eerst op 20 knopjes douwen om door de gigantische hoeveelheid menu's heen te komen

[Anoniem: 17798]

Jezus,
Ik snap niet waarom hier nog geen slotje op zit.

Het maakt geen kont uit welke wiskunde je gebruikt, hoeveel Cauchy rijen je er tegenaan gooit, (1/9)*9 is gewoon 1. PUNT.

Dat de leerlingen van tegenwoordig niet verder kunnen denken dan hun rekenmachien cijfers achter de komma/punt heeft is gewoon zeer triest.

[Anoniem: 3527]

Zullen we hem even snel naar de 256 post jagen (is dit een 8 bit forum ofzo? )en dan sluit het zichzelf.

[Anoniem: 17798]

Ok dan begin ik... op naar de 256...

Op dinsdag 06 februari 2001 23:04 schreef Lord Daemon het volgende:
Het is geen afrondigsfout, want er is geen fout. 0.9999....... = 1. Exact.

Dit is dus een bewijs van 0,0.

Dus 0,999.....8 = 0.9999...9
dus 0,999.....7 = 0,9999...8

Dus eigenlijk zijn alle getallen aan elkaar gelijk ?! EUREKA !


Dat Limiet gebeuren is een handigheidje dat de wiskunde heeft verzonnen om het allemaal wat makkelijker te maken, maar 'exact' is het zeker niet.

[-=Confuzer=-]

255/1 * 255 = 431 (1/2^5%)

zow... mijn 2 cent

[Anoniem: 18020]

Laat ik een serieuse gooi doen.

0,999999999999999999999999999999...... is inderdaad niet hetzelfde als :
1,000000000000000000000000000000......

Als het getal oneindig is, dan is het niet hetzelfde, als het getal wel eindigt, dan stopt de een met een 9 en de andere met een 0.
Dus om in beide gevallen op 1 uit te komen, zal je op een gegeven moment moeten afronden, wat natuurlijk niet "exact" is.

1/9 * 9 = volgens al mn rekenmachines 1, totdat je gaat afronden.

Resultaat : 1/9*9 = 1

Kunnen we nu stoppen?? Het is bijna speelkwartier....

[-=Confuzer=-]

Das nu leuk aan een benadering...
To think behond nature, to find logic where math lacks...

To preat stupid when time is late...

[zetje01]

Hij mag van mij allang dicht, maar nog even ten overvloede: het is simpel genoeg zoals Ricochet schrijft:

0,1111111111111..... is de decimale uitdukking van 1/9

De crux zit 'm erin dat we die breuk niet goed in het tientallig stelsel stelsel kunnen uitschrijven, behalve dan als 1/9.

Hadden wij toevallig met het negentallig stelsel gerekend (dan tel je van 0,1,2,3,4,5,6,7,8,10,11...) dan zou je in deze som krijgen:

1/10=0,1 en
10*0,1=1

[Anoniem: 3527]

Ik vind het onderwerp over of 0.99999999999999 etc = 1 toch wel leuk onderwerp.

Ik zelf vind van niet, maar ik ben niet zo'n groot wiskundige.

KanAn iemand hier een bewijsje neerzetten dat het wel zo is?

[-=Confuzer=-]

0.999999999999999...
10.00000000000000...

toch precies hetzelfde volgens mij...
(als de 10 dus een 9 is in een 9en tallig stelsel)

Maarja, kweet ook niet, ik rek hem naar 255 toe...

[PieterJ]

Op woensdag 07 februari 2001 01:30 schreef zetje01 het volgende:

Hadden wij toevallig met het negentallig stelsel gerekend (dan tel je van 0,1,2,3,4,5,6,7,8,10,11...) dan zou je in deze som krijgen:


1/10=0,1 en
10*0,1=1

Mag dit

edit:
quotje goed maken

[-=Confuzer=-]

Zie het net zoals zwaartekracht APoc...
Dat werkt ook niet door tot het hele universum.. uiteindelijk benaderd het een punt...
Benadering klinkt misschien gek, maar het is gaan tot je het kleinste puntje van de natuur tegenkomt... met wiskunde gaat het weer anders, hierbij heb je zo'n leuk = tekentje ervoor...

Maar als je weer uitgaat van significante getallen is het weer gewoon 1... want de onzekerheid bij 1000 decimalen achter de komma is dan erg groot

[Anoniem: 18020]

Op woensdag 07 februari 2001 01:34 schreef Apoc2 het volgende:
Ik vind het onderwerp over of 0.99999999999999 etc = 1 toch wel leuk onderwerp.

Ik zelf vind van niet, maar ik ben niet zo'n groot wiskundige.

KanAn iemand hier een bewijsje neerzetten dat het wel zo is?

0.99999999999999 etc wordt alleen 1 als je gaat afronden, anders kan het nooit een 1 worden.
de som 1/9*9 wordt alleen 1 als je niet tussentijds gaat afronden.

Zoals in de economische wereld gaat : pas aan het einde van de berekening ga je afronden en niet tussentijds.

[zetje01]

Nee, niet hetzelfde, anders zou je ze wel hetzelfde schrijven, tòch?

edit: Dit was een reactie op Confuzer, die ons op het verkeerde been wilde zetten...

[Anoniem: 3527]

Op woensdag 07 februari 2001 01:38 schreef PieterJ het volgende:

[..]

Mag dit

edit:
quotje goed maken

Jazeker!

Ik heb er wel over nagedacht of het toeval is dat wij een 10 tallig stelsel hebben of dat het echt niet anders had gekund.

Volgens mij kan het prima op een andere maniet. Bv zoals Zetje voorstelt.

Stel dat je bv
alleen 1,2,3,4,5,6,7,8,9 hebt.

Deze zal dan verder lopen naar

11,12,13,14,15,16,17,18,19

2 * 9 = 19
3 * 9 = 29
4 * 9 = 39
9 * 9 = 89

en als je er dan een bij optelt krijg je 91

Dit lijkt vreemd. Omdat 9 niet eens deelbaar is door 2. Maar wel weer door 3!

Het is dus helemaal niet ondenkbaar dat ander intelligent leven een heel ander telsysteem ontwikkelt heeft.

[zetje01]

Apoc2, dank je dat je even aan me refereert , maar als ik jou was zou ik die post van jou gelijk weg-editten, want er klopt volgens mij niets van...

[Anoniem: 18020]

Op woensdag 07 februari 2001 01:52 schreef Apoc2 het volgende:

[..]

Jazeker!

Ik heb er wel over nagedacht of het toeval is dat wij een 10 tallig stelsel hebben of dat het echt niet anders had gekund.

Volgens mij kan het prima op een andere maniet. Bv zoals Zetje voorstelt.

Stel dat je bv
alleen 1,2,3,4,5,6,7,8,9 hebt.

Deze zal dan verder lopen naar

11,12,13,14,15,16,17,18,19

2 * 9 = 19
3 * 9 = 29
4 * 9 = 39
9 * 9 = 89

en als je er dan een bij optelt krijg je 91

Dit lijkt vreemd. Omdat 9 niet eens deelbaar is door 2. Maar wel weer door 3!

Het is dus helemaal niet ondenkbaar dat ander intelligent leven een heel ander telsysteem ontwikkelt heeft.

Het binaire systeem of he hexadecimale systeem bedoel je dan??

Serieus : waarom tellen wij eigenlijk tot 10 ??

[zetje01]

Cultureel erfgoed...

[PieterJ]

Op woensdag 07 februari 2001 01:40 schreef zetje01 het volgende:
Nee, niet hetzelfde, anders zou je ze wel hetzelfde schrijven, tòch?

edit: Dit was een reactie op Confuzer, die ons op het verkeerde been wilde zetten...

Ik snapte al niet wat mijn naam in deze post deed.

[PieterJ]

Op woensdag 07 februari 2001 01:58 schreef VipTweak het volgende:
Serieus : waarom tellen wij eigenlijk tot 10 ??

Op woensdag 07 februari 2001 02:01 schreef zetje01 het volgende:
Cultureel erfgoed...

Volgens mij omdat we tien vingers hebben. Als we er negen hadden gehad, zou ik het verhaal van Apoc2 waarschijnlijk beter begrijpen.

[zetje01]

Sorry PieterJ, ik was even in de war maar heb Confuzer weer over jouw naam héén ge-edit...

Anyways, het maakt niet uit in welk stelsel je telt, je begint altijd met 0 (NUL) te tellen, daarom begrijp ik ook niks van Apoc2's post... (en raadde ik hem aan om 'm maar weg te halen).

[Anoniem: 17798]

Zo gek is dat 9 tallig stelsel toch niet,
we kunnen toch ook binair(2 tallig) en hexadecimaal(16 tallig) rekenen.

Waarom zou 9/5/15/77/55..-tallig dan niet kunnen....

[Anoniem: 3527]

Op woensdag 07 februari 2001 02:05 schreef PieterJ het volgende:

[..]


[..]

Volgens mij omdat we tien vingers hebben. Als we er negen hadden gehad, zou ik het verhaal van Apoc2 waarschijnlijk beter begrijpen.

Ik heb ooit met vuurwerk geëxperimenteerd. Vandaar dat ik nu met een 9 tallig stelsel werk

Maar ff serieus. Ik zie niet in wat er mis is met mijn methode. Ik heb er best veel over nagedacht en volgens mij moet het gewoon kunnen het zou ook met 11 cijfers kunnen of met 3 of met 21. Het maakt geen moet uit. Voor ons zijn sommige stelsel voor de hand liggender dan anderen, maar dat maakt die anderen niet ondenkbaar.

En als ik jou was Zetje zou ik mijn posts maar snel wegeditten voordat iedereen me hier begint te begrijpen (hoe langer het duurt voordat men mij begrijpt des te verder ik mijn tijd vooruit was).

[PieterJ]

Op woensdag 07 februari 2001 02:23 schreef Hustla het volgende:
Zo gek is dat 9 tallig stelsel toch niet,
we kunnen toch ook binair(2 tallig) en hexadecimaal(16 tallig) rekenen.

Waarom zou 9/5/15/77/55..-tallig dan niet kunnen....

Te lastig. Ik zou helemaal gek worden bij het omrekenen. 10 tallig is er in geslagen vanaf je geboorte.

Binair is een noodzakelijk kwaad. En octaal/hexadecimaal zijn veelvouden van binair, dus redelijk eenvoudig te volgen.

[Anoniem: 3527]

Op woensdag 07 februari 2001 02:26 schreef PieterJ het volgende:

[..]

Te lastig. Ik zou helemaal gek worden bij het omrekenen. 10 tallig is er in geslagen vanaf je geboorte.

Binair is een noodzakelijk kwaad. En octaal/hexadecimaal zijn veelvouden van binair, dus redelijk eenvoudig te volgen.

Lastig maakt niet onmogelijk. Onze hersenen zijn er nu gewoon op ingesteld om met 10 tallen te werken, maar als jou vanaf je geboorte met 9 tallen was geleerd te werken dan had je nu hetzelfde over een 10 tallig stelsel gezegd (dat dan overigens een 11 tallig stelsel zou heten)

[zetje01]

Ja maar Apoc2: ik ontken toch ook helemaal niet dat je niet met een negen- of elftallig stelsel kan rekenen? Sterker nog, ik leg zelfs uit dat die breuk een 'eitje' is in het negentallig-stelsel.
Ik meld alleen maar dat je altijd begint te tellen met 0 (NUL).
En dat zag ik in jouw post niet terug...

[PieterJ]

Op woensdag 07 februari 2001 01:52 schreef Apoc2 het volgende:

[..]

Jazeker!

Ik heb er wel over nagedacht of het toeval is dat wij een 10 tallig stelsel hebben of dat het echt niet anders had gekund.

Volgens mij kan het prima op een andere maniet. Bv zoals Zetje voorstelt.

Stel dat je bv
alleen 1,2,3,4,5,6,7,8,9 hebt.

Deze zal dan verder lopen naar

11,12,13,14,15,16,17,18,19

2 * 9 = 19
3 * 9 = 29
4 * 9 = 39
9 * 9 = 89

en als je er dan een bij optelt krijg je 91

Dit lijkt vreemd. Omdat 9 niet eens deelbaar is door 2. Maar wel weer door 3!

Het is dus helemaal niet ondenkbaar dat ander intelligent leven een heel ander telsysteem ontwikkelt heeft.

Ja maar je moet wel bij nul beginnen zoals Zetje zei.

dus:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 ,17, 18

etc.

Want hoe bepaal jij nul dan in jou stelsel

[EDIT]

Zetje01 was me weer voor.

[Anoniem: 3527]

Want hoe bepaal jij nul dan in jou stelsel

Gewoon als nul. Het is onzin om te denken dat in elk tel-systeem het nul cijfer weer terug moet komen in andere cijfers.

Dat hoeft helemaal niet. Het is gewoon een beetje ingebakken, meer niet. Het cijfer nul kun je rustig als een uniek getal zien. Vind ik helemaal geen slechte oplossing.

TIP: Vertel je ouders/huisgenoten er eens over dat je bij wijze van proef voortaan in een ander stelsel rekent en dat wanneer ze vragen om 11 pakken melk jij er maar met 10 terugkomt. En dat ze zelf maar moeten gaan leren omrekenen.

[PieterJ]

Op woensdag 07 februari 2001 02:35 schreef Apoc2 het volgende:

[..]

Gewoon als nul. Het is onzin om te denken dat in elk tel-systeem het nul cijfer weer terug moet komen in andere cijfers.

vragen om 11 pakken melk jij er maar met 10 terugkomt.

Ik snap waar je heen wilt, maar hoe langer ik hier naar kijk en probeer het door te rekenen hoe verdrietiger ik wordt

Als ik met 10 pakken thuis kom heb ik na een maand nog melk.

[zetje01]

Okay, hier dan wat Basis wiskunde:

In het tientallig stelsel betekent het getal 3024 hetvolgende:
3*10^3 + 0*10^2 + 2*10^1 + 4*10^0

In het hexadecimale stelsel betekent het getal 3024:
3*16^3 + 0*16^2 + 2*16^1 + 4*16^0

Zo kun je nog oneidig veel talstelsels bedenken, en er valt prima mee te rekenen (als je er aan gewend bent), maar het getal 0 komt in ieder talstelsel weer terug...
(alleen in Apoc2's stelsel(s) niet...)

Ontopic: ik blijf bij mijn eerste post in deze:

Hij mag van mij allang dicht, maar nog even ten overvloede: het is simpel genoeg zoals Ricochet schrijft:
quote:
--------------------------------------------------------------------------------
0,1111111111111..... is de decimale uitdukking van 1/9
--------------------------------------------------------------------------------

De crux zit 'm erin dat we die breuk niet goed in het tientallig stelsel stelsel kunnen uitschrijven, behalve dan als 1/9.
Hadden wij toevallig met het negentallig stelsel gerekend (dan tel je van 0,1,2,3,4,5,6,7,8,10,11...) dan zou je in deze som krijgen:

1/10=0,1 en
10*0,1=1

[schizofreen]

Op dinsdag 06 februari 2001 23:01 schreef Pc123 het volgende:
voer dan ns de breuken op je rekenmachine in

hahaha, dat ik ik lekker wel
ik heb een grafische casio GFX GB 50 Plus en die kan wel breuken aan, en garfieken en tabellen en diagrammen en solvations en recursies en intergraties enz...

[Goofyduck384]

Op woensdag 07 februari 2001 08:52 schreef schizofreen het volgende:

[..]

hahaha, dat ik ik lekker wel
ik heb een grafische casio GFX GB 50 Plus en die kan wel breuken aan, en garfieken en tabellen en diagrammen en solvations en recursies en intergraties enz...

cool for you!!

Hé is dit een soort van patser vorm? (geen aanval, klinkt lullig...;))

[-=Confuzer=-]

Apoc2:

Gewoon als nul. Het is onzin om te denken dat in elk tel-systeem het nul cijfer weer terug moet komen in andere cijfers.

123456789 -> 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Okay, no problem, maar hoe schrijf ik dan :

1 - 1 = ??????

Volgens mij kan je niet zonder een definitie van 0 in een getallenstelsel...

Eigenlijk is het dus 012345678 ...

[Anoniem: 3527]

Op woensdag 07 februari 2001 09:28 schreef -=Confuzer=- het volgende:
Apoc2:
[..]

123456789 -> 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Okay, no problem, maar hoe schrijf ik dan :

1 - 1 = ??????

Volgens mij kan je niet zonder een definitie van 0 in een getallenstelsel...

Eigenlijk is het dus 012345678 ...

Ik had ook al gezegd dat je bv het cijfer/getal nul gewoon kn handhaven. En dat het niet verplicht hoeft terug te komen in hogere getallen.

Dat is gewoon iets waar wij aan gewend zijn maar het heeft geen wiskundige reden ofzo.

[Lord Daemon]

Ok, 0,999999........ is dus echt exact gelijk aan 1. Dit slaat nergens op:

Dit is dus een bewijs van 0,0.
Dus 0,999.....8 = 0.9999...9
dus 0,999.....7 = 0,9999...8

Dus eigenlijk zijn alle getallen aan elkaar gelijk ?! EUREKA !

Nee natuurlijk niet! 0,999.....8 is een eindig getal. Dit is dus geen limiet. Het is dus niet gelijk aan 0,999....9 dat trouwens ook eindig is. Deze getallen zijn zelfs niet goed gedefinieerd omdat je niet hebt gezegd hoeveel puntjes er zijn. (En als het er oneindig zijn is het nog steeds niet goed gedefinieerd want je moet weten waar die acht nou eigenlijk staat.) Dit is dus absoluut geen tegenbewijs van mijn bewijs.

Laat ik het nog een keer laten zien. Je hebt 0,9. 1 - 0,9 = 0,1. Ok, het verschil is dus 0,1. Nu ga ik er een 9 bij zetten: 1 - 0,99 = 0,01. Het verschil is 10 maal zo klein geworden. Maar ik heb oneindig veel negens. Dus 1 - x = Lim(r->oneindig) 0,1^r = 0. Als 1 - x = 0, dan geldt natuurlijk x = 1. Dus 0,9999..... = 1.

Lord Daemon

[-=Confuzer=-]

ooh ik zie het al... het kwam alleen zo wazig over maar je hebt gelijk

[Anoniem: 17798]

We komen er wel(256)...

Laat ik het nog een keer laten zien. Je hebt 0,9. 1 - 0,9 = 0,1. Ok, het verschil is dus 0,1. Nu ga ik er een 9 bij zetten: 1 - 0,99 = 0,01. Het verschil is 10 maal zo klein geworden. Maar ik heb oneindig veel negens. Dus 1 - x = Lim(r->oneindig) 0,1^r = 0. Als 1 - x = 0, dan geldt natuurlijk x = 1. Dus 0,9999..... = 1.

Zoals ik al zei is Lim(x->oneindig) een handigheidje van de wiskunde. Zoals er zoveel zijn trouwens, maar dat terzijde.

Ik zal mijn 'tegenbewijs' in basisschooltermen geven dat 0.9999... =(*exact gelijk aan*) 1, niet waar is.

Ik heb een taart daar mag jij 1/9 deel van hebben, en van het deel dat ik over heb mag jij ook weer 1/9 hebben enz enz.
Ik zal altijd een stukje taart over hebben hoeveel delen je ook neemt van mijn deel.

Als je zegt dat 'Lim(r->oneindig) 0,1^r *benaderd* 0', en dus ook 0.9999.... *benaderd* 1, dan kan ik het alleen maar eens zijn met je.
Maar 'benaderen' is niet 'exact gelijk zijn aan'.

[Anoniem: 3527]

LD >

Ik heb ooit een voorbeeldje gehad van een leuke limiet van mijn wiskundeleraar.

Hij zij: Stel je neemt blokje van 1 bij 1.
Daarop zt je een blokje van 0,5 bij 1. (even voor duidelijkheid, de toren is nu 2 hoog)

Daarop zet je nog een blokje van 0.25 bij 1.
En daarop weer een van 0,125 bij 1.

Op deze manier wordt de toren oneindig hoog zonder dat de opp. ooit gelijk zal worden aan 2.

Overigens heb ik diezelfde docent wel een horen zeggen dat 0.9999... gelijk is aan 1

[Anoniem: 15354]

Het getal 0.999999.. (en dan oneindig veel 9) bestaast niet, een getal heeft een waarde met een einde (hoelang dan ook).

[Lord Daemon]

Ik zal altijd een stukje taart over hebben hoeveel delen je ook neemt van mijn deel.

Wel als ik een eindig aantal keer een stuk neem. Maar niet als ik oneindig vaak een stuk neem.

Als je zegt dat 'Lim(r->oneindig) 0,1^r *benaderd* 0', en dus ook 0.9999.... *benaderd* 1, dan kan ik het alleen maar eens zijn met je.
Maar 'benaderen' is niet 'exact gelijk zijn aan'.

Als je a oneindig goed benadert heb je a. Een limiet naar oneindig benadert oneindig goed en je krijgt er dus exact het goede antwoord uit. Je kan gewoon niet met die limieten in discussie gaan, een wiskundig bewijs is logisch dwingend. Het kan best tegen jouw intuitie in gaan, maar dat ligt aan je intuitie niet aan de wiskunde.

Het getal 0.999999.. (en dan oneindig veel 9) bestaast niet, een getal heeft een waarde met een einde (hoelang dan ook).

Hoeft niet, Pi is een getal en heeft oneindig veel decimalen. En ook in jouw optiek bestaat 0,9999.... wel degelijk want het is gelijk aan het rationele getal 1.

Lord Daemon

[Anoniem: 17798]

Wel als ik een eindig aantal keer een stuk neem. Maar niet als ik oneindig vaak een stuk neem.

Nee, ook niet als je een oneindig aantal stukken neemt..

We zijn aan het mierenneuken en alles voor het slotje(zie pag 1), dus gaan we er maar op door...

Houdt even het woord 'EXACT' in gedachte...

De DvD:

be·Žna·de·ren (ov.ww.)

1 dichter komen bij
2 zich wenden tot (iem.) => polsen, in contact treden met
3 (een probleem) op een bepaalde manier aanpakken
4 [wisk.] tot een bepaalde graad de precieze waarde berekenen van
5 beslag leggen op goederen

'tot een bepaalde graad de precieze waarde berekenen van'

Lees even het stukje voor 'precieze'...
I rest my case.

Het kan best tegen jouw intuitie in gaan..bladiebla

Ik ben geen koter van 12, die net zijn eerste les wiskunde B heeft gehad...
En sinds wanneer gebruik je intuitie bij wiskunde, wiskunde is weten.

Je kan gewoon niet met die limieten in discussie gaan, een wiskundig bewijs is logisch dwingend.

Geef mij één prof in de wiskunde die de vergelijking 'EXACT gelijk' bewijst and i'll remain in silence for the rest of this topic..

[-=Confuzer=-]

ja, als je niet WILT snappen dat 0.999...
gewoon 1 is dan is het maar 1.000... OKAY



Het is gewoon een andere definitie van een breuk...

Wel leuk trouwens dat een computer dit pas door heeft als ze parrallel geschakeld worden.. heb het ooit in een oude kijk gelezen dat de computer concludeerde dat het getal 1 benaderde...

Beste wel interessant...

[Anoniem: 3527]

Op woensdag 07 februari 2001 17:50 schreef Tweaker het volgende:
Het getal 0.999999.. (en dan oneindig veel 9) bestaast niet, een getal heeft een waarde met een einde (hoelang dan ook).

Deze bestaan wel, dit heet de verzameling van de irrationele getallen, R.

[Anoniem: 13700]

Jullie verwarren algebra met numerieke wiskunde. In de algebra werk je met exacte waardes, in de numerieke wiskunde werk je met benaderingen van waardes. We kunnen numeriek alleen met benaderingen werken omdat we maar een eindig aantal decimalen ter beschikking hebben voor het weergeven van een getal.

Als we numeriek rekenen kennen we twee soorten fouten:
1. Gegenereerde fouten, dwz. afrond- en afbreekfouten.
2. Gepropageerde fouten, simpel gezegd fouten die ontstaan bij het rekenen met (foute) uitkomsten uit vorige berekeningen.

Als we in onze rekenmachine 1 / 9 = ingeven zien we het resultaat van een gegenereerde (afbreek)fout: 0.111111111111.
Wanneer we nu * 9 = ingeven en we zouden 0.999999999999 te zien krijgen is dat ook nog een gepropageerde fout.

De interessante vraag is IMHO waarom de rekenmachine toch 1 als resultaat geeft, en niet die 0.999999999999.

Dit komt omdat de meeste moderne rekenmachines (zeker die met een breuk-toets) werken met zg. "extended precision numbers". Dwz. dat elk getal als twee aparte getallen wordt opgeslagen, de teller en de noemer van een breuk.

Zo lang als er alleen met rationele getallen (breuken) gewerkt wordt, of maar betrekkelijk weinig met irrationele getallen (pi, wortels, enz.), kun je met extended precision gepropageerde fouten onder controle houden.

Verder voeren alle rekenmachines intern afrondingen uit op de laatste decimaal, waardoor de onnauwkeurigheid ook beperkt blijft.

<edit>
Voor de duidelijkheid, die interne afrondingen worden alleen gedaan op de getallen die op de display te zien zijn, niet op de extended precision numbers waarmee gerekend wordt.
</edit>

[Anoniem: 15854]

Zeg x = 0.111111111111111111111 etc.

Dan

10 * x = 1.11111111111111111111111 etc.

en

10*x - x = 1

Nu is 10*x - x gelijk aan 9*x

[Anoniem: 12020]

Misschien dat dit wil helpen:

0,9999... * 10 = 9,9999...

9,9999... - 0,9999... = 9

9/9 = 1

dus 0,9999... = 1

[Anoniem: 3527]

Op woensdag 07 februari 2001 21:02 schreef el_marcianito het volgende:
Misschien dat dit wil helpen:

0,9999... * 10 = 9,9999...

9,9999... - 0,9999... = 9

9/9 = 1

dus 0,9999... = 1

Tja dat is niet helemaal waar El Macarinato.

Namelijk 9.999999.. heeft altijd een 9 minder op het eind dan 0.99999...

Hoewel beide oneindig zijn. Maar wanneer 9.9999 oneindig veel negens heeft achter de komma, dan heeft 0.9999... er oneindig + 1.

Je schiet zo dus niets op om het probleem tebewijzen.

[Anoniem: 12437]

Hehe, eindelijk een duidelijk antwoord, let er alleen wel ff op dat 0,99999... niet gelijk is aan 1 ,maar aan 1,00000...


Dat is echt een verschil!!

Waarom dat zo is hoop ik dat iemand anders nog voor de geest kan halen. Is voor mij te ver weg gezakt. Moet dan oude stoffige boeken opgraven enzo...

[Anoniem: 15854]

Op woensdag 07 februari 2001 21:06 schreef Apoc2 het volgende:

[..]

Tja dat is niet helemaal waar El Macarinato.

Namelijk 9.999999.. heeft altijd een 9 minder op het eind dan 0.99999...

Nee, dat is niet zo. Het zou zo zijn als x een eindig aantal 9's had.

Hoewel beide oneindig zijn. Maar wanneer 9.9999 oneindig veel negens heeft achter de komma, dan heeft 0.9999... er oneindig + 1.

Je schiet zo dus niets op om het probleem te bewijzen.

Zeg x = 0.99999...

Met de puntjes bedoel je dat er geen getal is dat dichter bij 1 staat dan x.

Nu zeg jij dat er een getal is dat dichter bij 10 staat dan 10*x, nl 9+x,

Delen we nu 9+x door 10, dan krijgen we het getal 9/10 + x/10, dat dan weer dichter bij 1 zou staat dan x. Tegenspraak.

Dus er is geen getal dat dichter bij 10 staat dan 10*x. (Dus x is 1)

[Anoniem: 13428]

En zeker wel dat 0,999999.... gelijk is aan 1.

Je kunt het raar vinden, je kunt hoog springen, je kunt laag springen maar het is gewoon zo en het is te bewijzen

Kijk hier bijvoorbeeld:
forum.swarthmore.edu/dr.math/faq/faq.0.9999.html

Hier een bewijs dat daar ook staat.
Stel x = 0.9999...
10x = 9.9999...
10x - x = 9.9999... - 0.9999...
9x = 9
x = 1.

En dit is gewoon geldig, geen nep bewijs, zoals sommige bewijzen die bewijzen dat 1=2 wel zijn. Dit is wiskundig geheel correct.

Dus 1/9 * 9 = 0.99999... = 1.

1/9 * 9 = 1.

Punt uit.

[Anoniem: 13700]

lim (10^d - 1)/10^d = 1, d = 1,2,3...

Klopt als een bus, maar in een rekenmachine is d (het aantal decimalen) niet oneindig maar 32 of zo! Laten we jullie voorbeeld nu eens doorrekenen als een oude 10 decimalen rekenmachine:

0.999999999 *
10.00000000 =
9.999999990 -
0.999999999 =
8.999999991

Als je het over numerieke wiskunde (rekenmachines) hebt, kun je niet eenvoudigweg het aantal decimalen oneindig groot maken!

[Lord Daemon]

Jippie! Nu zoveel mensen het gezegd hebben moet iedereen toch wel overstag gaan?

Lord Daemon

[Anoniem: 13700]

<offtopic>
Sorry hoor, ik zat ff over een limiet zonder sigma te denken, ik had die post van NemO niet gezien, anders had ik het wel gelaten
</offtopic>

[Anoniem: 12020]

LD>> Jouw dag ook weer goed?

[Anoniem: 958]

Goed ik ben dan geen prof, maar wel een 3e jaars student wiskunde.
(Dit is trouwens RUIM genoeg om een sluitend bewijs te geven voor de stelling 0,999... = 1)

Het bewijs dat L.D. gaf (en ik ook al een keer geloof ik) en dat ongeveer zo gaat: 1 - 0,999... = lim, n->oo 10^(-n) = 0 is ook goed, maar ik denk dat ik in het nuvolgende bewijs wat sluitender kan zijn, omdat ik dan precies aan kan geven wat ik overal gebruik om naar de volgende stap te gaan:


0,999... = Vanwege de definitie van decimale getallen (met een som) en de definitie van ... (met een limiet)

Lim, n->oo (Som, i=1 tot n (9*10^-i)) = Gebruik de definitie van een oneindige som en 10^(-i) = (1/10)^i

Som, i=1 tot oo (9*(1/10)^i) = Haal de 9 voor de som, en laat de som bij 0 beginnen i.p.v. bij 1 door term voor i=0 ervan af te trekken

9*((Som, i=0 tot oo (1/10)^i)-1) = Sommeer de som (dit is een machtreeks)

9*(1/(1-(1/10))-1) = Reken dit simpele sommetje uit en wat krijg je dan?

1

Precies 1 dus!!!

Nou als dit geen sluitend bewijs is weet ik het ook niet meer...

[Anoniem: 18020]

Ik heb vandaag trouwens een oudrekenmachine gevonden die van 1/9*9 0,99999999999... maakt, en geen 1 , moest wel lang zoeken voordat ik er eindelijk eentje had. het was een naamloze kantoorrekenmachine met zo'n rol .

Dus tja...

[Anoniem: 17798]

Om toch nog even van me te laten horen:

Ja inderdaad ik ben overstag


Deze deed het 'm:

Thus x = 0.9999...
10x = 9.9999...
10x - x = 9.9999... - 0.9999...
9x = 9
x = 1.

Die vond ik sluitender dan degene met de limieten.


Zonder meningsverschil geen mening.
Op naar de volgende...

[Anoniem: 13428]

<offtopic>
Mijn rekenmachine heeft ook de neiging om van 0.11111 * 9 0.9999 te maken, maar deze heeft de vreemde neiging om alles tussen 0 en 1 niet af te ronden. Erg slecht.
</offtopic>

[-=Confuzer=-]

Ja maar de basis voor die som is het aanvaarden dat 0.9999... oneindig negens hebt... dat was toch al willekeurige posts terug gezegd????

[schizofreen]

Op woensdag 07 februari 2001 08:54 schreef Goofyduck het volgende:

[..]

cool for you!!

Hé is dit een soort van patser vorm? (geen aanval, klinkt lullig...;))

heel goed begrepen, ik ben erg trots op dat ding en wil er dan ook best mee pronken...

[blobber]

x=0,999...etc.

10x=9,999...etc.
x=0.999...etc.
-
-------------------
9x=9,000...etc. ---> x=9,000...etc./9 =1,000...etc.

[Anoniem: 12437]

Hmmm,

ik ben niet tevreden.

Want volgens mij is er een essentieel verschil tussen 1 en 1,0000.... En het bewijs dat 0,9999... gelijk zou zijn aan 1 klopt volgens mij niet. Wel is 0,9999... gelijk aan 1,0000...

Tja wie helpt me ff. Heb dit ooit op me opleiding gehad, waarbij verschil werd uitgelegd. Maar ja wie onthoud dat nou weer...

[Anoniem: 13700]

Zinuz>> in de numerieke wiskunde geeft het aantal decimalen de absolute fout van een getal aan. Het getal 1. kan dus varieeren van 0.5 tot 1.4; 1.0 kan varieeren van 0.95 tot 1.04; 1.00 van 0.995 tot 1.004; enz.

<edit>typo nr. 1e99</edit>

[Anoniem: 18395]

Waarom voel ik me nou altijd zo dom als t over zulke topics gaat en waarom krijg ik dan altijd zulke hoofdpijn en waarom lijkt t wel alsof Lord Daemon een IQ van 200 heeft en waarom......... ZUCHT!!!!!!!!

Ik zal wel gewoon dom zijn

[Anoniem: 18020]

Op donderdag 08 februari 2001 19:33 schreef AirHead het volgende:
Waarom voel ik me nou altijd zo dom als t over zulke topics gaat en waarom krijg ik dan altijd zulke hoofdpijn en waarom lijkt t wel alsof Lord Daemon een IQ van 200 heeft en waarom......... ZUCHT!!!!!!!!

Ik zal wel gewoon dom zijn

Als jij alleen boeken ging lezen en voor het slapen gaan wat sommetjes maakt en in plaats van uitgaan hier zit te posten, dan wordt jij ook zo slim....als dat is wat je wilt.

[Anoniem: 18395]

Op donderdag 08 februari 2001 20:16 schreef VipTweak het volgende:

[..]

Als jij alleen boeken ging lezen en voor het slapen gaan wat sommetjes maakt en in plaats van uitgaan hier zit te posten, dan wordt jij ook zo slim....als dat is wat je wilt.

Dat is wat ik wil, maar kan t niet wat easier

Enne, ga er volgende keer niet zo heeel erg serieus op in
oh, dat deed je ook niet, zie ik nu

[Cableboy]

1 / 9 * 9 is gewoon 1. Niet omdat dit wiskundig/biologisch/natuurkundig aan te tonen is, maar omdat we dat lang geleden eens zo afgesproken hebben. Die andere talstelsels zijn pas gekomen toen we moeilijk moesten gaan doen over 1-tjes en 0-letjes. B.v. mijn opa heeft nooit gehoord van een binair/hexadecimaal/octaal/trinair:? talstelsel.

Zo is 1 * 9 / 9 ook 1, en 9/9 ook 1, en 1842,134 / 1842,134 ook 1

[Anoniem: 18395]

Op donderdag 08 februari 2001 20:42 schreef Cableboy het volgende:
1 / 9 * 9 is gewoon 1. Niet omdat dit wiskundig/biologisch/natuurkundig aan te tonen is, maar omdat we dat lang geleden eens zo afgesproken hebben. Die andere talstelsels zijn pas gekomen toen we moeilijk moesten gaan doen over 1-tjes en 0-letjes. B.v. mijn opa heeft nooit gehoord van een binair/hexadecimaal/octaal/trinair:? talstelsel.

Zo is 1 * 9 / 9 ook 1, en 9/9 ook 1, en 1842,134 / 1842,134 ook 1

t uitleggen door een droogkloot te zijn is ook een manier

[Anoniem: 17242]

Er wordt hier een denkfout gemaakt, want als je 1/9 intypt op je rekenmachine geeft de rekenmachine een benadering via een decimaal getal, terwijl een decimaal getal nooit gelijk is aan 1/9 daar het aantal 1'en na 0,1 altijd doorgaat en oneindig is.
Als je vervolgens dit decimale getal weer met 9 vermenigvuldigt krijg je logischerwijs geen 1, doordat het eerst verkregen getal inderdaad al een afronding is en dus al niet meer gelijk aan 1/9 is.

Typ je (1/9)*9 in je rekenmachine in dan krijg je echter wel 1 als het goed is, doordat 1/9 hier niet eerst als een decimaal getal opgeslagen wordt, maar de som er nu als 9^-1 * 9(^1) uitziet en dit levert volgens de machtregels 9^(1) op want nu mag je de exponenten bij elkaar optellen.

Het is dus via de regels voor machten wel degelijk aan te tonen.
Ik heb toevallig vandaag een wiskunde-pw gehad dat deels hier over ging, dus neem nou maar van mij aan dat dit de waarheid is.

Het pw ging trouwens beregoed, terwijl het wb2 was!:)

[Anoniem: 13700]

* Anoniem: 13700 dankt DjAvalance voor de support

Je rekenmachine verhaal klopt, alleen worden negatieve exponenten tegenwoordig meestal niet meer zo opgeslagen (zie m'n extended precision verhaal).

[Lord Daemon]

en waarom lijkt t wel alsof Lord Daemon een IQ van 200 heeft.

Hmm, zal ik 'm inkoppen of niet?

Lord Daemon

[blobber]

199,9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999

[Anoniem: 18395]

Op donderdag 08 februari 2001 22:51 schreef Lord Daemon het volgende:

[..]

Hmm, zal ik 'm inkoppen of niet?

Lord Daemon

Ja, doe maar, maar dan wel een beetje origineel he

[Anoniem: 21682]

Ik heb 1/9 * 9 vannacht laten uitrekenen tot op twee miljard decimalen.
Naar wie kan ik het resultaat mailen ?

[Anoniem: 4155]

1/9 * 9/1 = 9/9

en 9/9 is geen 0.99999999....

[Anoniem: 20879]

AARGH! 92 replies!

let op:

1/9 * 9 = 1 want:

2^2 = 4
SRT 4 = 2
dus
SRT 2^2 = 2 (je mag de wortel en de macht tegen elkaar 'wegstrepen')

dat mag met delen en vermenigvuldigen ook er staat dus eigenlijk gewoon 1.

(voor de dummies nog even:
1/9 * 9 = 1 (delen * vermenigvuldigen met hetzelfde getal).)

Zo, nu is het koffietijd.

[blobber]

Of anders:
1=0,9999999etc. + lim x->oneindig (10^-x)

oftewel

1=0,999999etc. + 0 = 0,99999999etc.

[raptorix]

sommige mensen kneisen het echt niet en denken ook nogdat ze slim zijn met hun moeilijke berekeningen, ongelovelijk, als ik een taart in 9 gelijk stukken verdeel en dan heb ik 9 keer 1/9 stuk als ik die stukken weer aan elkaar leg dan heb ik weer 1 taart, dat sommige mensen het nog wiskundig gaan weerleggen is eigelijk te triest voor woorden.

[Anoniem: 958]

Even mierenneuken:

Worteltrekken is idd de inverse van kwadrateren, maar dan ALLEEN voor x>0 of x=0.

[Anoniem: 15354]

Er is verschil tussen een exact getal en een afgerond getal.

1=1
0.999999...=0.999999...
1 is ongevver gelijk aan 0.999999...
1 is niet gelijk aan 0.999999...

[Anoniem: 15354]

Op dinsdag 06 februari 2001 22:36 schreef webskipper het volgende:
als je 1 deelt door 9, dan krijg je 0,111111111111111111111111111...

vermenigvuldig je dit weer met negen, krijg je dus:
0,999999999999999999999999999...

toch:?

da's geen 1....

1/9=1/9
1/9 is ongeveer gelijk aan 0.111111111111111.....
1/9 is niet gelijk aan 0.1111111111111....

1/9 is exact
0.11111111111...... is een afronding

[Jag]

Worteltrekken is idd de inverse van kwadrateren, maar dan ALLEEN voor x>0 of x=0.

Is dat zo? Sqrt(i^2)=i, toch?

Lord Daemon