0,99~ = 1

[Flapmo]

Hij is al eens geweest maar toen was het een ander beginonderwerp (stelling). Als het niet mag mogen de modjes hem met slotjes afsluiten.

0,99~ (oneindig) is 1. waarom?

als je nu eens 0,99~ als a neemt:
a= 0,99~
10a = 9,99~
10a-a=9a
9a = 9,99~-0,99~= 9
9a=9
a=1

Klopt dit? Of is deze formule zo te ontkrachten? Ik kon geen enkel punt vinden waar hij op te ontkrachten was. Ja misschien 1 punt, ben je verplicht een 0 achter het getal te zetten als je met 10 vermeenvuldigd? dus 9,99~0? Of is dit gewoon een ijzersterk bewijs dat 0,99~ , 1 is?

[Anoniem: 10358]

Dat is een van de bewijzen die hiervoor gebruikt wordt. Je vindt hem naast een paar andere bewijzen ook terug op http://mathforum.com/dr.math/faq/faq.0.9999.html

[Flapmo]

Anoniem: 10358 schreef op 06 March 2003 @ 15:41:
Dat is een van de bewijzen die hiervoor gebruikt wordt. Je vindt hem naast een paar andere bewijzen ook terug op http://mathforum.com/dr.math/faq/faq.0.9999.html

hm die vond me google niet, ty.

[itsme]

Of ik snap t niet, of dit klopt niet:

10a = 9,99~
10a-a=9a

10a - a dan moet je ook 9,99~ -a doen
dan krijg je 10 = 9

(en dat kan al helemaal niet natuurlijk ... )

[ Voor 15% gewijzigd door itsme op 06-03-2003 15:48 ]

[Sick Nick]

nee, want a is gelijk aan 0.99~ dus klopt ie wel

[Anoniem: 65064]

marcusk schreef op 06 maart 2003 @ 15:41:
hmmz, lama

bijna moet zo
10a-a = 9,99~ - 0,99~ = 9

spuit 11 sorry

[ Voor 7% gewijzigd door Anoniem: 65064 op 06-03-2003 15:50 ]

[itsme]

Sick Nick schreef op 06 maart 2003 @ 15:47:
nee, want a is gelijk aan 0.99~ dus klopt ie wel

Ik snap t niet, leg uit.

[Jake]

Flapmo schreef op 06 March 2003 @ 15:34:
Hij is al eens geweest maar toen was het een ander beginonderwerp (stelling). Als het niet mag mogen de modjes hem met slotjes afsluiten.

0,99~ (oneindig) is 1. waarom?

als je nu eens 0,99~ als a neemt:
a= 0,99~
10a = 9,99~
10a-a=9a
9a = 9,99~-0,99~= 9
9a=9
a=1

Klopt dit? Of is deze formule zo te ontkrachten? Ik kon geen enkel punt vinden waar hij op te ontkrachten was. Ja misschien 1 punt, ben je verplicht een 0 achter het getal te zetten als je met 10 vermeenvuldigd? dus 9,99~0? Of is dit gewoon een ijzersterk bewijs dat 0,99~ , 1 is?

't Is gewoon fout.

Want:
9a = 9.99~ - 0.99~ = 8.99~ (of eigenlijk 9*0.99~)

Dat is wel bijna gelijk aan 9, maar dan kan je net zo goed meteen zeggen:
0.99~ = 1 (zonder uitleg).

[Flapmo]

Jake schreef op 06 March 2003 @ 15:53:
[...]

't Is gewoon fout.

Want:
9a = 9.99~ - 0.99~ = 8.99~ (of eigenlijk 9*0.99~)

Dat is wel bijna gelijk aan 9, maar dan kan je net zo goed meteen zeggen:
0.99~ = 1 (zonder uitleg).

Nu haal je er 1 af, en je haalde er dus 0,99~ af. Dus 0,99~ is 1?

En Als je voor die oneindige reeks nu is x neemt dan heb je dus 10a= 9,x en a=0,x. Dan is het dus 9,x-0,x = 9. Ja toch? Op de basisschool leer je al dat een getallenreeks min dezelfde getallenreeks 0 is. (1-1, 3-3, 23456-23456, 0,99~-0,99~) dus het enige wat ze daar doen is die getallenreeks achter de komma weghalen door diezelfde getallenreeks eraf te halen. Dat kan toch? dan heb je dus 9 precies.

[Jake]

Ok je hebt gelijk dat "9a = 8.99~" niet klopt, maar daarom had ik er ook achter gezet "of eigenlijk 9 * 0.99~"

Verder is het zo dat "9 * 0,999999 = 8,999991 en niet 8,999999", dit geldt net zo goed voor "0.99~"; de 'staart' (getallenreeks) is niet gelijk.

[Flapmo]

omgekeerd gedacht wel. Maar waarom is 9,99~ - 0,99~ dan wel 9? Dat kan alleen als 0,99~ 1 is. omdat 9*1 = 9.

[Anoniem: 8386]

De grootte vraag is hier: wat betekend 0.99~?

In weze is dit gewoon de reeks Sum[9*10^-n,{n,1,inf}]. (bij gebrek aan som symbol gebruik ik mathematica conventies). Deze reeks heeft twee interpretaties:
1) Het wiskundige object de reeks. Vrij duidelijk is dit per definitie niet gelijk aan het getal 1.
2) De limiet van de rij partieel sommen van de reeks. Dit is vrij duidelijk wel gelijk aan het getal 1.

[XiaZz]

Het gebruik van de formule is verkeerd. Normaal reken je een onbekende waarde uit, in jouw geval a. Maar de waarde daarvan weet je al, die is 0,99~.
Je eindconclusie zou dus moeten zijn:
is 0,99~ = 1

[ Voor 13% gewijzigd door XiaZz op 06-03-2003 17:59 ]

[Flapmo]

XiaZz schreef op 06 maart 2003 @ 17:52:
Het gebruik van de formule is verkeerd. Normaal reken je een onbekende waarde uit, in jouw geval a. Maar de waarde daarvan weet je al, die is 0,99~.
Je eindconclusie zou dus moeten zijn:
is 0,99~ = 1

En dat is het gekke. Als je eraan gaat rekenen klopt het. Normaal als je voor a bv 3 neemt a=3 en je doet *10 =30 10a=30 10a-a=27 9a=27 a=3 dan klopt hij weer. Zo is het eigenlijk ook hier. Als je precies dezelfde formule toepast krijg je er 1 uit terwijl je met 0,99~ begon, conclusie 0,99~ = 1.

//edit

Je eindconclusie zou dus moeten zijn:
is 0,99~ = 1

dat is ook me eindconclusie .

[ Voor 9% gewijzigd door Flapmo op 06-03-2003 18:21 ]

[RobIII]

Ik dacht eigenlijk dat 0,9999999999999 1. En niet 0,9999999999999~ = 1

Nu stel dat ik 0,9999999999999~ vermenigvuldig met 10^10[en nog 3 miljard nullen] dan krijg ik toch een afrondingsverschil?

[ Voor 44% gewijzigd door RobIII op 06-03-2003 18:31 ]

[XiaZz]

Flapmo schreef op 06 maart 2003 @ 18:20:

dat is ook me eindconclusie .

de conclusie is de vraag of 0.99~ gelijk is aan 1.
En helaas dat is niet zo.

Je begint je stelling met de vraag:
0,99~=1
a=0,99~
substitutie van bovenstaande:
a=1

zou dit kloppen dan klopt onderstaande ook
is 973 gelijk aan 1 => 973=1
a = 973
substitutie
a = 1, dus 973 = 1


maar even een ander punt.
volgens mij ben je wel verplicht om een 0 achteraan te zetten als je met 10 vermenigvuldigd

Jake schreef op 06 March 2003 @ 16:28:
Verder is het zo dat "9 * 0,999999 = 8,999991 .... de 'staart' (getallenreeks) is niet gelijk.

a= 0,99~
10a = 9,99~0
10a - a = 9a
9a = 9.99~0 - 0.99~9
9a = 8.99~1
a = 0.99~

[Anoniem: 34030]

XiaZz schreef op 06 maart 2003 @ 18:51:
[...]

maar even een ander punt.
volgens mij ben je wel verplicht om een 0 achteraan te zetten als je met 10 vermenigvuldigd


[...]


a= 0,99~
10a = 9,99~0
10a - a = 9a
9a = 9.99~0 - 0.99~9
9a = 8.99~1
a = 0.99~

Nee, je zet er nu een 9 teveel achter , dan heb je 1 9 meer dan je daarvoor bij je oneindige reeks had

[Anoniem: 10358]

Volgens mij weten veel mensen niet dat het tilde teken (~) hier betekent de reeks oneindig voortzetten.

Hier bewijs ik op dezelfde manier dat 0,33~ hetzelfde is als 1/3.

als je nu eens 0,33~ als a neemt:
a = 0,33~
10a = 3,33~
10a-a = 3,33~ - 0,33~ = 3
9a = 3
a = 3/9 = 1/3

[Anoniem: 26436]

Anoniem: 10358 schreef op 06 March 2003 @ 19:41:
Volgens mij weten veel mensen niet dat het tilde teken (~) hier betekent de reeks oneindig voortzetten.

Hier bewijs ik op dezelfde manier dat 0,33~ hetzelfde is als 1/3.

als je nu eens 0,33~ als a neemt:
a = 0,33~
10a = 3,33~
10a-a = 3,33~ - 0,33~ = 3
9a = 3
a = 3/9 = 1/3

dus:

1 / 3 = 0,33~ -->
3 x 0,33~ = 0,99~ -->
0,99~ = 1

Maar ik vraag me af of we het hier hebben over significante cijfers...

Is 0,99~ ook hetzelfde als 1,0?

[ Voor 8% gewijzigd door Anoniem: 26436 op 06-03-2003 20:20 ]

[Anoniem: 28958]

Het bewijs heeft geloof ik als kern dat er geen enkel reeel getal te vinden is tussen 0,99999999999999... en 1. Je kunt wel zeggen:"Wel hoor, bijv. 0,999999999999991, maar door die puntjes(..). Zeg je dan even snel: Ik plak er gewoon nog een 9 aanvast. Dit proces kun je oneindig lang herhalen, waardoor het dus nooit mogelijk is een getal te vinden tussen 0,9999... en 1. Makkelijker kan ik het niet uitleggen.

[Anoniem: 14565]

dat 0.99~ afgerond 1 is dat snappen we allemaal wel, maar het lijkt me niet dat je kan zeggen dat ze gelijk aan elkaar zijn, hoe verklaar je anders een asymptotische benadering?

counterexample: op dezelfde wijze zou dan 1/x als x -> inf gelijk aan 0 worden? dat is dus niet zo.

[FCA]

Dit mag eigenlijk wel eens in de FAQ. In "gewone" wiskunde bestaan er geen oneindig kleine getallen, en dus is 1 - 0,99999~ = 0
Immers, voor elk getal a > 0 geldt dat je altijd een aantal negens achter de komma kunt zetten waardoor 1- 0.99999~ kleiner is dan a. Dus 1 - 0,99999~ is kleiner dan elk getal a > 0. Dus dan is het gelijk aan nul.
In de wiskunde praten we bovendien niet over significante cijfers of iets dergelijks.

Merk op dat er een wiskunde bestaat waar er wel getallen tussen 0 en 1- 0,99999~ bestaan. Dit werkt echter veel moeilijker, en er zijn ook allerlei vreemde zaken die dan optreden, maar ze zijn naar beste weten volledig consistent en bruikbaar.

Anoniem: 14565 schreef op 06 maart 2003 @ 21:44:
dat 0.99~ afgerond 1 is dat snappen we allemaal wel, maar het lijkt me niet dat je kan zeggen dat ze gelijk aan elkaar zijn, hoe verklaar je anders een asymptotische benadering?

counterexample: op dezelfde wijze zou dan 1/x als x -> inf gelijk aan 0 worden? dat is dus niet zo.

lim x->inf 1/x is wel degelijk 0.
Het wordt nooit precies 0, maar je komt ook nooit bij oneindig uit, plat gezegd.

[ Voor 28% gewijzigd door FCA op 06-03-2003 21:53 ]

[Anoniem: 13317]

Is er dan geen 'bijna' teken waarmee je zoiets kunt aangeven?

[Twee Dee]

Je kunt dan dus ook zeggen dat 1 de limietwaarde is...
In het geval van 1/x zeg je gewoon dat de limiet voor 1/x voor x -> oneindig =0.

0.99~ (bijna 1) wordt dan (pijltje omhoog)1 als ie eigenlijk iets kleiner dan 1 is.
of (pijltje naar beneden)1 als ie eigenlijk iets groter dan 1 is.

Ik kon geen manier vinden om hier even mooi een pijltje omhoog te maken

[Anoniem: 14565]

FCA schreef op 06 maart 2003 @ 21:50:

lim x->inf 1/x is wel degelijk 0.
Het wordt nooit precies 0, maar je komt ook nooit bij oneindig uit, plat gezegd.

De limiet is inderdaad 0, maar die heb ik er in mijn post niet bijstaan.

[Anoniem: 29081]

0,99~ (oneindig) is 1. waarom?

Het probleem zit hem een beetje in het woordje "is".
Met "0,99~ (oneindig)" bedoel je letterlijk: lim_n->oo1-10^-n. Dit is een ander object dan een getal, en in die zin dus niet "hetzelfde" als 1.

De uitkomst van deze limiet is natuurlijk wel 1, en lim_n->oo1-10^-n = 1 is dan ook een geldige uitspraak.

"0,99~ (oneindig)" is dus als getal hetzelfde als 1 (niet ongeveer of "bijna", maar exact), maar het is niet hetzelfde ding.

[Brent]

0,99~ is volgens mij niet gelijk aan 1, en zal zeggen waarom ik dat denk.

Als je het verhaal nu eens omdraait:
0.99~ = 1 - 0,00~1
(met dat laatste getalbedoel ik dus een 1 oneindig veel decimalen achter de komma).

Zo zie je dat om van 0,99~ 1 te maken er 0,00~1 bij moet doen en kan 0,99~ dus niet gelijk aan 1 zijn.

[Anoniem: 29081]

Zo zie je dat om van 0,99~ 1 te maken er 0,00~1 bij moet doen en kan 0,99~ dus niet gelijk aan 1 zijn.

0,00~1 is op dezelfde manier gelijk aan 0 als 0,99~ gelijk is aan 1.
Als x-y=z en y=0, dan x=z. Dus 0,99~ = 1.

[Brent]

Anoniem: 29081 schreef op 07 March 2003 @ 17:56:
0,00~1 is op dezelfde manier gelijk aan 0 als 0,99~ gelijk is aan 1.

accoord.

Anoniem: 29081 schreef op 07 March 2003 @ 17:56:
Als x-y=z en y=0, dan x=z.

accoord.

Anoniem: 29081 schreef op 07 March 2003 @ 17:56:
Dus 0,99~ = 1.

niet accoord. als 0,00~1 op dezelfde manier gelijk is aan 0 als 0,99~ aan 1, en je maakt van 0,00~1 0, dan moet je van 0,99~ 1 maken en dat is wat anders dan dat ze aan elkaar gelijk zijn!
0,99~ + 0,00~1 = 1, accoord? dan is 0,99~ != 1.

[Anoniem: 10358]

Breepee schreef op 07 March 2003 @ 18:54:
0,99~ + 0,00~1 = 1, accoord? dan is 0,99~ != 1.

Als je ergens 0 bij op telt dan blijft het hetzelfde. Jouw redenatie is hetzelfde als:
0,99~ + 0 = 1, dan is 0,99~ != 1
en deze laatste vergelijking is wel gelijk aan elkaar.

[sdomburg]

10,00 is ook niet hetzelfde als 10; significantie

toelichting:

10 kan alles vanaf 9,5 tot 10,5 zijn, 10,00 kan alles tussen 9,995 en 10,005 zijn

[ Voor 50% gewijzigd door sdomburg op 07-03-2003 20:10 ]

[Sendy]

En hier trapt FCA precies de kat op zijn staart:

FCA schreef op 06 March 2003 @ 21:50:
<SNIP>
Merk op dat er een wiskunde bestaat waar er wel getallen tussen 0 en 1- 0,99999~ bestaan. Dit werkt echter veel moeilijker, en er zijn ook allerlei vreemde zaken die dan optreden, maar ze zijn naar beste weten volledig consistent en bruikbaar.
<SNIP>

Het gaat om de definitie die je gebruikt. In de 'gewone' wiskunde, zonder deze vreemde definities is het symbool 0 precies gelijk aan 0.99~. In andere wiskundes kan dat anders zijn.

Filosofies gezien is deze post interessant:

Anoniem: 29081 schreef op 07 maart 2003 @ 17:05:
[...]

Het probleem zit hem een beetje in het woordje "is".
Met "0,99~ (oneindig)" bedoel je letterlijk: lim_n->oo1-10^-n. Dit is een ander object dan een getal, en in die zin dus niet "hetzelfde" als 1.

De uitkomst van deze limiet is natuurlijk wel 1, en lim_n->oo1-10^-n = 1 is dan ook een geldige uitspraak.

"0,99~ (oneindig)" is dus als getal hetzelfde als 1 (niet ongeveer of "bijna", maar exact), maar het is niet hetzelfde ding.

De waarde (in de gewone wiskunde) van 0.99~ en 1 is precies gelijk. Maar er is een filosofies verschil. En natuurlijk ook in de gewone wiskunde!

Hierover is dit een interessante post:

Twee Dee schreef op 07 March 2003 @ 10:12:
Je kunt dan dus ook zeggen dat 1 de limietwaarde is...
In het geval van 1/x zeg je gewoon dat de limiet voor 1/x voor x -> oneindig =0.

0.99~ (bijna 1) wordt dan (pijltje omhoog)1 als ie eigenlijk iets kleiner dan 1 is.
of (pijltje naar beneden)1 als ie eigenlijk iets groter dan 1 is.

Ik kon geen manier vinden om hier even mooi een pijltje omhoog te maken

In de wiskunde heb je gewoon limieten van onder en van boven (en die zijn inderdaad met pijltjes op en neer), dit kan in een berekening heel veel verschil maken. Een snel voobeeld waarmee dit duidelijk wordt is al het verschil in eerste afgeleiden van zo'n limietfunctie -- van onder is deze positief, van boven negatief.

Nu, ik heb gehoopt deze thread, samen met de startpost, zo goed samen te vatten Van mij mag-ie dicht

[Anoniem: 48145]

Je moet een limiet niet verwarren met de rij waar het een limiet van is, of het proces waarmee je tot die limiet komt. Een limiet is net zo goed een getal als 3 dat is.

Als er een filosofisch probleem zit in te zeggen "lim 1/n = 0", zit er ook een filosofisch probleem in "4 + 5 = 9". Immers, de rechterkant is een getal, maar de linkerkant is iets wat je krijgt door twee dingen op te tellen!

Je kunt het ook zo zien: het '='-teken betekent alleen dat twee getallen aan elkaar gelijk zijn, en verder niets, niet dat ze op dezelfde manier verkregen zijn of wat ook.

Merk op dat er een wiskunde bestaat waar er wel getallen tussen 0 en 1- 0,99999~ bestaan. Dit werkt echter veel moeilijker, en er zijn ook allerlei vreemde zaken die dan optreden, maar ze zijn naar beste weten volledig consistent en bruikbaar.

Klopt. Google op "non-standard analysis" of "nonstandard analysis" of "hyperreal numbers" of "surreal numbers".

Hierbij worden getallen als rijen gezien en omgekeerd. Het voordeel van zo'n benadering is dat je op een makkelijkere en intuïtievere manier dingen als convergentie kunt definiëren.

[Zoijar]

Per definitie zijn twee reele getallen gelijk als hun verschil nul is. Dus 0.999... = 1.000... Maar bv 0.42 schrijft een stuk makkelijker dan 0.420000... of equivalent 0.419999...

(overigens als dit niet zo zou zijn dan kun je 0 = 1 bewijzen, het is me alleen even ontschoten hoe dat bewijs ook al weer precies ging)

[ Voor 30% gewijzigd door Zoijar op 08-03-2003 01:35 ]

[Brent]

Anoniem: 10358 schreef op 07 maart 2003 @ 20:03:
[...]
Jouw redenatie is hetzelfde als:
0,99~ + 0 = 1, dan is 0,99~ != 1

nee dus, dat is mijn redenatie niet. waar jij die 0 bij 0,99~ optelt zeg ik dat dat verkeerd is en dat als je van 0,00~1 0 maakt, je dan ook van 0,99~ 1 moet maken en dan krijg je dus 1 + 0 = 1.
Maar dat slaat nergens op, dus ik zeg dat 0,99~ + 0,00~1 = 1, en dat betekent dat 0,99~ != 1. je bent het toch wel met me eens dat 0 != 0,00~1?

[Zoijar]

Breepee schreef op 08 March 2003 @ 09:29:
je bent het toch wel met me eens dat 0 != 0,00~1?

Nope Die twee zijn ook gelijk. Het is een definitie voor de reele getallen. Er is geen sprake van goed/fout of een rede, het is gewoon gesteld dat het zo is. Zie bv een boek over topologie.

(blijkbaar door dat axioma om te keren krijg je ook een consistente wiskunde, vergelijk dit met het parallel postulaat van euclides)

[ Voor 17% gewijzigd door Zoijar op 08-03-2003 10:55 ]

[ari3]

Ik kon geen manier vinden om hier even mooi een pijltje omhoog te maken

Het wordt hoog tijd dat GoT een andere encoding (bij voorkeur UTF-8) gaat gebruiken. Dan kunnen we tenminste wiskundige symbolen weergeven.

[ Voor 2% gewijzigd door ari3 op 08-03-2003 14:18 . Reden: spelfaut :) ]

[Anoniem: 29081]

Breepee schreef op 08 maart 2003 @ 09:29:
je bent het toch wel met me eens dat 0 != 0,00~1?

Nee
0,00~1 is wel degelijk 0, mits je hier "is" op de juiste wijze gebruikt. Dat wil zeggen: 0,00~1 is een limiet, dus het is een ander soort object dan een getal. Maar die limiet heeft wel een waarde (of uitkomst, zo je wilt) en die is exact 0. Niet bijna, niet ongeveer, niet "oneindig dichtbij", nee die limiet is 0.

Je moet ofwel erkennen dat 0,00~1 gelijk is aan 0, ofwel dat het gelijk is aan geen enkel getal (omdat het strikt gezien geen getal is).

[Anoniem: 72316]

Ho.
Ik zit even met een probleem.
Hoe kan een getal in godsnaam oneindig zijn, als er een 1 achter wordt geplakt?
Oneindig + 1????
0,00~1 is voor mij een pleonasme, een dubbele waarde, en daarmee onzinnig/lachwekkend. Zie ik dit verkeerd?
Als 0,00~=0,00..., omdat ~ staat voor oneindig, dan kan 0,00~1 toch niet bestaan?

Sorry, mijn begrip probeert het nu te vatten: Als leek zie ik een cirkel. Die is qua omtrek oneindig; een gesloten lijn immers. Er komt geen einde aan, als je er overheen loopt. Dan kun je wel 10x eroverheen lopen, een markeringspunt aanbrengen, enz., maar dan nog.

Moet ik mij nu 0,9~ voorstellen als die cirkel met een oneindig klein gat erin van 0,0~ welke je:
1. 10 maal rondloopt
2. 10 maal op elkaar stapelt (cylinder) en telkens op het 'gat' (zwart gat?) overstapt op de volgende laag
3. 10 maal om elkaar heen gevouwen, zodat het 'gat' trapsgewijs uitdijt?
of is er een 4?

Help?

[Anoniem: 29081]

Ho.
Ik zit even met een probleem.
Hoe kan een getal in godsnaam oneindig zijn, als er een 1 achter wordt geplakt?
Oneindig + 1????

Het is niet oneindig als in "oneindig groot", met 0,00~1 wordt hier bedoeld: 0,00000(..oneindig veel nullen...)001

Dat kan inderdaad niet letterlijk, het gaat hier om een limiet. Je kunt je namelijk wel deze rij getallen voorstellen:
0,1
0,01
0,001
0,0001
enz

met 0,00~1 bedoelen we het getal wat je krijgt als je hier oneindig mee doorgaat (even ervan uitgaand dat er uberhaupt een getal is waar deze rij heen gaat, of "convergeert"). Dit getal krijg je nooit echt, je kunt in de praktijk natuurlijk nooit ergens oneindig lang mee doorgaan, maar je kunt wel vaststellen of er een getal is waar deze rij steeds dichter naartoe gaat, in dit voorbeeld 0. Die rij getallen wordt nooit 0, maar hij komt wel willekeurig dicht bij 0, dus de limiet is 0, dus 0,00~1 = 0.

Een wiskundige notatie van 0,00~1 is: lim_n->oo10^-n.
(dat "oo" tekentje moet een achtje op z'n kant zijn, wat voor "oneindig" staat)

Sorry, mijn begrip probeert het nu te vatten: Als leek zie ik een cirkel. Die is qua omtrek oneindig; een gesloten lijn immers. Er komt geen einde aan, als je er overheen loopt. Dan kun je wel 10x eroverheen lopen, een markeringspunt aanbrengen, enz., maar dan nog.

Een cirkel is oneindig in de zin dat er geen begin/einde aan zit, maar niet oneindig qua grootte.

Moet ik mij nu 0,9~ voorstellen als die cirkel met een oneindig klein gat erin van 0,0~ welke je:
1. 10 maal rondloopt
2. 10 maal op elkaar stapelt (cylinder) en telkens op het 'gat' (zwart gat?) overstapt op de volgende laag
3. 10 maal om elkaar heen gevouwen, zodat het 'gat' trapsgewijs uitdijt?
of is er een 4?
Help?

Je verband tussen 0,9~ en een cirkel (en diens oneindigheid) ontgaat me volledig Wat bedoel je precies?

[Anoniem: 72316]

Als ik omtrek als 1 zie, dan is 0,9~ oneindig dicht bij het beginpunt van meten.
Als ik dan terug bij start ben, ben ik op 1. Oneindig dicht bij start zit ik op 0,9~
En wat ik dan met die cirkels bedoel, is: Pak je 1 cirkel die je 10x bewandelt, of stapel je de cirkels (lijnen) of leg je ze om elkaar heen?
Omdat er blijkbaar een oneindig klein gat in zit (oneindigheid is voor mij hetzelfde als een cirkel, of een spiraal die terugkeert naar zichzelf), is het met 0,9~ dus mogelijk om de cirkels (ringen) om elkaar heen te leggen. Daarbij wordt, bij elke volgende ring, het oneindig kleine gat iets groter, groei gelijk aan de oneindig kleie dikte van de vorige cirkel..

Ik probeer het op deze manier te visualiseren, omdat ik beide stellingen wel kan volgen (0,9~=1 & 0,9~!=1)

Nogmaals, ik voel niet aan dat iets als 0,0~1 mogelijk is, omdat oneindigheid niet gelimiteerd kan worden. Daarmee lijkt mij 0,9~0 ook zoiets vreemds.. Ik bedoel, hoe kan een theoretische perpetuum mobile nu gelimiteerd zijn? Voor mijn gevoel wordt hiermee het symbool ~ gereduceerd tot 'heeeeeel veel' > en dat hap ik niet. Nu weet ik niet of het een wiskundig geaccepteerd iets is (0,0~1), want, if so, dan houd ik erover op, natuurlijk. Weinig zin als leek daar tegenin te gaan. Tevens, als ik de cirkels stapel tot een cylinder, is 0,9~0 onzin, terwijl, als ik ze om elkaar heen leg, is het een logica..

[Anoniem: 10358]

Anoniem: 72316 schreef op 09 March 2003 @ 13:58:
Als ik omtrek als 1 zie, dan is 0,9~ oneindig dicht bij het beginpunt van meten.
Als ik dan terug bij start ben, ben ik op 1. Oneindig dicht bij start zit ik op 0,9~
En wat ik dan met die cirkels bedoel, is: Pak je 1 cirkel die je 10x bewandelt, of stapel je de cirkels (lijnen) of leg je ze om elkaar heen?
Omdat er blijkbaar een oneindig klein gat in zit (oneindigheid is voor mij hetzelfde als een cirkel, of een spiraal die terugkeert naar zichzelf), is het met 0,9~ dus mogelijk om de cirkels (ringen) om elkaar heen te leggen. Daarbij wordt, bij elke volgende ring, het oneindig kleine gat iets groter, groei gelijk aan de oneindig kleie dikte van de vorige cirkel..

Ik probeer het op deze manier te visualiseren, omdat ik beide stellingen wel kan volgen (0,9~=1 & 0,9~!=1)

Nogmaals, ik voel niet aan dat iets als 0,0~1 mogelijk is, omdat oneindigheid niet gelimiteerd kan worden. Daarmee lijkt mij 0,9~0 ook zoiets vreemds.. Ik bedoel, hoe kan een theoretische perpetuum mobile nu gelimiteerd zijn? Voor mijn gevoel wordt hiermee het symbool ~ gereduceerd tot 'heeeeeel veel' > en dat hap ik niet. Nu weet ik niet of het een wiskundig geaccepteerd iets is (0,0~1), want, if so, dan houd ik erover op, natuurlijk. Weinig zin als leek daar tegenin te gaan. Tevens, als ik de cirkels stapel tot een cylinder, is 0,9~0 onzin, terwijl, als ik ze om elkaar heen leg, is het een logica..

Ik krijg het idee alsof jij oneindigheid automatisch met cirkels of spiralen associeert. Dit werkt misschien in veel gevallen, maar kan ook problemen geven zoals in dit geval.

[Sendy]

Anoniem: 72316 schreef op 09 March 2003 @ 13:58:
<SNIP>
Nu weet ik niet of het een wiskundig geaccepteerd iets is (0,0~1), want, if so, dan houd ik erover op, natuurlijk. Weinig zin als leek daar tegenin te gaan.
</SNIP>

Het ligt er gewoon aan hoe je het definieerd. Ikzelf ben in de wiskunde nog nooit (behalve in deze tweakers-huis-tuin-en-keuken-wiskunde) de tilde zo tegengekomen. Wiskundigen gebruiken lim, dat is veel minder verwarrend. Maar, herhalend, je kan 0,0~1 gewoon definieren als de limietwaarde van de rij
0,1; 0,01; ...

[Anoniem: 72316]

wat dan de tegenhanger is van 0,9; 0,99; ...
Zit wat in. Dan kom ik uit op item 3:
10 maal om elkaar heen gevouwen, zodat het 'gat' trapsgewijs uitdijt.

Ergens heb ik het gevoel dat het verschil tussen 0,99~ en 1 het bestaan van iets als een zwart gat rechtvaardigt. Wie kan mij daarin volgen?

[Anoniem: 29081]

Als ik omtrek als 1 zie, dan is 0,9~ oneindig dicht bij het beginpunt van meten.
Als ik dan terug bij start ben, ben ik op 1. Oneindig dicht bij start zit ik op 0,9~
En wat ik dan met die cirkels bedoel, is: Pak je 1 cirkel die je 10x bewandelt, of stapel je de cirkels (lijnen) of leg je ze om elkaar heen?

Uhm.. welke cirkels?

Zoals wieikke ook al zegt, volgens mij stel je je het je allemaal te moeilijk voor. Dit hele verhaal heeft niks met cirkels of spiralen te maken waar je 10x overheen loopt.

De enige betekenis van het woord "oneindig" in dit hele verhaal is dat je iets heel vaak doet (namelijk een 9 ergens achteraan plakken), en dan kijkt of die rij getallen ergens naartoe gaat.

Daarmee lijkt mij 0,9~0 ook zoiets vreemds.. Ik bedoel, hoe kan een theoretische perpetuum mobile nu gelimiteerd zijn?

Wablief? Welk perpetuum mobile?

Voor mijn gevoel wordt hiermee het symbool ~ gereduceerd tot 'heeeeeel veel' > en dat hap ik niet. Nu weet ik niet of het een wiskundig geaccepteerd iets is (0,0~1), want, if so, dan houd ik erover op, natuurlijk.

Dat ~ teken is niet een officieel wiskundig iets, die limiet wel. Met ~ bedoelt men hier ruw gezegd de limiet van de rij getallen die je krijgt als je datgene waar ~ voor staat "steeds vaker" doet.

Nogmaals, met 0,99~ (al dan niet met een extra 0 erachter, dat maakt niet uit, net zoals het niet uitmaakt of je 0,00~1 neemt of 0,00~37) wordt de limiet van een rij getallen bedoeld:
0,9
0,99
0,999
0,9999
enz.

Dit kun je letterlijk genomen niet oneindig vaak doen, want je kunt nou eenmaal niks oneindig vaak doen. En die getallen zullen nooit precies 1 worden, ook niet als je maar lang genoeg negens erachteraan plakt. Wat we alleen bedoelen met 0,99~ = 1, is dat die rij steeds dichterbij 1 komt. Dus als je dat proces met die negens eraan plakken in theorie oneindig vaak doorzet, krijg je 1.

Dus 0.9 is niet 1, en 0.999 is niet 1, en 0.9999(..hier 2 miljoen negens..)99 is ook niet 1, maar 0.99~ is wel 1.

Probeer eerst ff duidelijk te krijgen wat er dus met die ~ bedoeld wordt, zonder cirkels en spiralen waar je tig keer overheen loopt met zwarte gaten ertussen

[Anoniem: 29081]

Ergens heb ik het gevoel dat het verschil tussen 0,99~ en 1 het bestaan van iets als een zwart gat rechtvaardigt. Wie kan mij daarin volgen?

Ik niet. Maar ik vind dan ook dat er (qua getalwaarde) geen verschil zit tussen 0,99~ en 1

[Anoniem: 72316]

ok, zonder cirkels en gaten:

als je nu eens 0,99~ als a neemt:
a= 0,99~
10a = 9,99~0
10a-a=9a
9a = 9,99~0 - 0,99~= 8,99~1
9a=8,99~1
a=0,99~
mits ~ = gelimiteerd, theoretisch oneindig

toch?

Wat zit er dan fout in deze?
a = 0,33~
10a = 3,33~
10a-a = 3,33~ - 0,33~ = 3
9a = 3
a = 3/9 = 1/3

als je nu eens 0,33~ als a neemt:
a = 0,33~
10a = 3,33~0
10a-a = 3,33~0 - 0,33~ = 2,99~7
9a = 2,99~7
a = 0,33~ != 1/3

Juist omdat beide stellingen volgens mij bewezen kunnen worden, is een antwoord enkel te bereiken door dat af te spreken, een compromis te sluiten dus. Niet dan?

[ Voor 49% gewijzigd door Anoniem: 72316 op 09-03-2003 16:43 ]

[Sjeik]

0,000~1 moet je eigelijk schrijven als lim_n->oo(1/10ⁿ)
Als je aanneemt dat deze rij tussen 0 en lim_n->oo(1/n) inzit en je weet dat lim_n->oo(1/n)=0 dan volgt hiertoch uit dat lim_n->oo(1/10ⁿ)=0

Anoniem: 72316 schreef op 09 March 2003 @ 16:36:
ok, zonder cirkels en gaten:

als je nu eens 0,99~ als a neemt:
a= 0,99~
10a = 9,99~0
10a-a=9a
9a = 9,99~0 - 0,99~= 8,99~1
9a=8,99~1
a=0,99~
Hier klopt nog iets niet. Je hebt eerst een 1 als laatste getal, dat deel je dan door 9, en dan heb je opeens 0???? Volgens mij is 1/9 = 0,1 (De 1 is dus het repeterende gedeelte)

mits ~ = gelimiteerd, theoretisch oneindig
toch?

Als je iets bewijst moet dat voor alle mogelijke waardes gelden! Dus niet alleen voor 10 ofzo... Doe dit eens met een vreemd getal, zoals pi ofzo... Dan klopt het niet. Dus wat je zegt is dus onzin, denk ik.

[ Voor 65% gewijzigd door Sjeik op 09-03-2003 16:51 ]

[Anoniem: 72316]

/edit by calculator

a= 0.99..
pi=3.141592654..
pi*a = 3.14159265 (notice the no-points!)
pi*a - a = 2.141592651.. < hier zie je weer die 1 op het einde verschijnen!
a = (pi*a - (pi-a)) = 0.99..


Dus kan nooit! 0,99~ start 1 als eind opleveren.
Volgens computers dan; 2-dimensionale machines.

Nu zie ik ook wat er mis is met onderstaande stelling:
a= 0,99~
10a = 9,99~0
10a - a = 9a
9a = 9.99~0 - 0.99~9
9a = 8.99~1
a = 0.99~

moet zijn:
a= 0.99..
10a = 09.99..
10a - a = 9a
9a = 09.99.. - 0.99..
9a = 08.99.. (omdat de vermenigvuldiging met 10, inderdaad, achter de komma altijd een lager cijfer oplevert dan de orginele a!)
a = 0.99..

[ Voor 73% gewijzigd door Anoniem: 72316 op 09-03-2003 17:25 ]

[Sjeik]

Ik bedoel dat je die 10 vervangt door pi... Niet een je irrationale getal vervangen door een ander, das niet leuk

[Anoniem: 29081]

Anoniem: 72316 schreef op 09 March 2003 @ 16:36:
a= 0,99~
10a = 9,99~0

Die nul ineens erachteraan klopt niet. a = 0,99~, dus dat wil zeggen met oneindig veel negens. Als je dan a met 10 vermenigvuldigt, krijg je 10a = 9,99~ met nog steeds oneindig veel negens.

Wat zit er dan fout in deze?
a = 0,33~
10a = 3,33~
10a-a = 3,33~ - 0,33~ = 3
9a = 3
a = 3/9 = 1/3

niets, deze klopt.

als je nu eens 0,33~ als a neemt:
a = 0,33~
10a = 3,33~0

Hier doe je hetzelfde als hierboven, die 0 ineens erachteraan klopt niet. Die verschijnt alleen bij breuken met een eindige decimaalontwikkeling.

a= 0.99..
pi=3.141592654..
pi*a = 3.14159265 (notice the no-points!)
pi*a - a = 2.141592651.. < hier zie je weer die 1 op het einde verschijnen!
a = (pi*a - (pi-a)) = 0.99..

Aan een calculator heb je sowieso niets, die kapt getallen af na x decimalen, terwijl het "probleem" nou juist is dat je oneindig veel decimalen hebt.

9a = 09.99.. - 0.99..
9a = 08.99.. (omdat de vermenigvuldiging met 10, inderdaad, achter de komma altijd een lager cijfer oplevert dan de orginele a!)

Nee, zowel a (0.99..) als 10a (9.99..) hebben oneindig veel negens achter de komma, dus 10a-a = 9.99.. - 0.99.. = 9. Dus a = 1

[Vold]

Maar als 1/3 0,3333333333~ is waarom is 3/3 dan 1 en niet 0,99999999~ Want dat is 0,33333~ *3 toch feitelijk gezien ... ?

[Anoniem: 29081]

Maar als 1/3 0,3333333333~ is waarom is 3/3 dan 1 en niet 0,99999999~ Want dat is 0,33333~ *3 toch feitelijk gezien ... ?

3/3 is ook 0.999~, het is alleen makkelijker om 1 te schrijven. Als getal zijn ze hetzelfde.

[Anoniem: 10358]

Vold schreef op 09 March 2003 @ 22:36:
Maar als 1/3 0,3333333333~ is waarom is 3/3 dan 1 en niet 0,99999999~ Want dat is 0,33333~ *3 toch feitelijk gezien ... ?

Ik zal je hele zin eens herschrijven met de getallen in de wiskundig meestgebruikte notatie, misschien dat, dat het duidelijker maakt: "Maar als 1/3, 1/3 is waarom is 1 dan 1 en niet 1, want dat is 1 toch feitelijk gezien ... ?"

[RobIII]

sdomburg schreef op 07 March 2003 @ 20:09:
10,00 is ook niet hetzelfde als 10; significantie

toelichting:

10 kan alles vanaf 9,5 tot 10,5 zijn, 10,00 kan alles tussen 9,995 en 10,005 zijn

...en dit snap ik nou niet. Misschien is dit in de scheikunde of voor mijn part in de biologie zo, maar als ik zeg "10" dan bedoel ik ook "10" en niet "9,995".

Natuurlijk heb je met significantie te maken, maar ik heb altijd geleerd dat je getallen OF volledig opschrijft OF erbij vermeld dat het afgerond is (al dan niet middels een teken).

Een voorbeeld:
10 * 10 = 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 100

Leg me eens uit wat dan de uitkomst in jouw voorbeeld is?

10 * 10 = 9,995 + 9,995 + 9,995 + 9,995 + 9,995 + 9,995 + 9,995 + 9,995 + 9,995 + 9,995 = 100

Of

10 * 10 = 9,995 + 10,002 + 9,998 + 10,001 + 9,997 + 9,999 + 9,996 + 10,003 + 9,999 + 10,004 = 100

Wiskunde is (in den beginne) toch een exacte wetenschap, en dan schrijven we toch ook exact op wat we bedoelen? En als dat niet kan (zoals b.v. 2pi) dan schrijven we toch 2pi of 6,283185

En voor zover ik weet is het fout om door te rekenen met "afgeronde" getallen (na ja...), dat blijkt uit bovenstaand voorbeeld. Ik zie dus idd veel liever 0.9999~ in mijn berekening staan dan 1. Want "sooner or later" levert je dat een afrondingsverschil op.

Ik ben er wel mee eens dat je mag "zeggen" dat 0.999~ = 1, maar wiskundig gezien is het dus m.i. NIET zo. 0.999~ != 1

[ Voor 5% gewijzigd door RobIII op 09-03-2003 23:28 ]

[Zoijar]

RobIII schreef op 09 March 2003 @ 23:26:
Ik ben er wel mee eens dat je mag "zeggen" dat 0.999~ = 1, maar wiskundig gezien is het dus m.i. NIET zo. 0.999~ != 1

Hoeveel posts zijn er nou nog nodig om uit te leggen dat 0.999... = 1? Waarom gebruiken jullie trouwens die vag tilde? Het wiskundige symbool voor eindeloze herhaling in zoiets is de ellipsis (sp?), ..., drie puntjes.

Significante cijfers hebben hier niets mee te maken, dat hele begrip bestaat niet in de wiskunde.

Quote uit een topologie boek hier...:

Getallen als sqrt(2), e, pi, zijn reele getallen. Hieronder verstaat men een geheel getal, samen met een (mogelijk oneindig lange) decimale ontwikkeling van de gedaante

"0,a1 a2 a3 ..."

met 0 <= an <= 9 voor alle n=1,2,3,... . Twee reele getallen zijn gelijk als hun verschil nul is. Deze merkwaardige bepaling is niet zonder nut: zo zijn de getallen 1 en 0,999... gelijk. De schrijwijze "1,18" (of: "1,18000...") verdient de voorkeur boven "1,17999..." .

[RobIII]

Zoijar schreef op 10 March 2003 @ 02:34:
[...]
Hoeveel posts zijn er nou nog nodig om uit te leggen dat 0.999... = 1?
<snip>

Ik ben gewoon niet overtuigd en heb een andere mening. Daar mag toch wel over gediscussieerd worden? Kan me niet schelen hoeveel posts. Ik wil graag verheldeing. Misschien word ik wel wijzer d'r van...

[Anoniem: 61994]

Ook even puzzelen

Ik probeer het volgende maar:
Ik stel dat het ~ teken 3 cijfer voor oneindig staat.
Ik stel dat het | teken het oneindige definieert en daarna mag afronden...(omdat ze eigenlijk niet geschreven dienen te worden)

Dus wat schrijf voorbeeldjes:
1 = 1,000~000|000
1 = 0,999~999|999 [hier stel ik dat ik het oneindige afrond]
0,99~ = 0,999~999|000
0,33~ = 0,333~333|000
1/3 = 0,333~333|333

Het 1/3 probleem

a = 0,333~333|000
10a = 3,333~330|000
10a-a = 9a= 3,333~330|000 - 0,333~333|000 = 3,000~003|000
a = 3,000~003|000 / 9
a = (3,000~000|000 + 0,000~003|000) / 9
a = (0,333~333|000 + 0,000~000|333~) [...euh? is dit logisch?...]
a = (0,333~333|333~)
a = 1/3

nou, dan dit maar:

a = 0,999~999|000
10a = 9,999~990|000
10a-a = 9a= 9,999~990|000 - 0,999~999|000 = 8,999~991|000
9a= 8 + 0,999~990|000 + 0,000~001|000
a = (8 + 0,999~990|000 + 0,000~001|000) / 9

a= 0,888~888|888 + 0,111~110|000 + 0,000~000|111

even onder elkaar:

0,888~888|888
0,111~110|000
0,000~000|111
--------------------- +
0,999~998|999 (even afronden na de oneindigheid)
0,999~999|000

hmm, geen 1 dus

Om alsnog een poging te wagen, gooi ik er het volgende tegen aan:

1/(2-1) = 1/1 = 1


Als ik de logica beschouw van het volgende
1/1,0100 = 0,9900990099...
1/1,0010 = 0,999000999000999...
1/1,0001 = 0,99990000999900009999...
etc.
dan stel ik:

b = 2 - a
b = 2 - 0,999~999|000
b = 1,000~001|000
1/b = 0,999~999|000~000|999~999|000~000 etc...
1/b = 0,999~999|000~001
1/b = 0,999~999|000

en niet iets als 0,999~999|999 = 1
of desnoods 0,999~999|900 = 1

Is dit een zinnige toevoeging?
Want ik maak hier gebruik van een redelijk "stugge/significante" oneindigheid.

edit:
dit kan ook natuurlijk bij het 1/3 probleem

a = (3,000~003|000) / 9
a = (3 + 0,000~003|000) / 9
a = 0,333~333|333 + 0,000~000|333
a = 0,333~333|666
a = 0,333~334|000

nou snap ik het niet meer

[ Voor 8% gewijzigd door Anoniem: 61994 op 10-03-2003 05:16 ]

[Anoniem: 15795]

Als je het simpelweg filosofisch beredeneerd dan merk je dat ze hetzelfde zijn want :

Stel ze zijn niet hetzelfde dus : 0,99~ != 1
Dat zou betekenen dat er een verschil is tussen 0,99~ en 1 ... maar dan is de vraag hoe groot is dat verschil. Omdat de negens tot in het oneindige doorgaan kan er geen verschil zijn en moeten ze dus wel hetzelfde zijn

[Anoniem: 13317]

Ze zijn niet hetzelfde, we kunnen alleen het verschil niet omschrijven. We hebben gewoon een onbeschrijflijk klein verschil dat geen van de huidige talen zou kunnen omschrijven of zelfs maar beschrijven op een manier dat het door de meerderheid van de wereldbevolking op een rationele marier zou kunnen worden begrepen.

[Rannasha]

Anoniem: 72316 schreef op 09 maart 2003 @ 17:12:
/edit by calculator

a= 0.99..
pi=3.141592654..
pi*a = 3.14159265 (notice the no-points!)
pi*a - a = 2.141592651.. < hier zie je weer die 1 op het einde verschijnen!
a = (pi*a - (pi-a)) = 0.99..


Dus kan nooit! 0,99~ start 1 als eind opleveren.
Volgens computers dan; 2-dimensionale machines.

Tuurlijk klopt dat niet, omdat je gaat afronden.


a= 0.99...
pi=3.1415926535...
pi*a = 3.1415926535...
pi*a - a = 2.1415926535...
a = (pi*a - (pi-a)) = 1

[Dido]

Twee reele getallen zijn gelijk als hun verschil nul is.

Dit lijkt me een gezonde aanname.

Als we dan beschouwen dat 1/3 * 3 = (3 * 1) : 3 = 3 : 3 = 1
Terwijl ook 1/3 * 3 = (1 : 3) * 3 = 0,333... * 3 = 0,999

Het verschil tussen 1/3 * 3 en 1/3 * 3 is per definitie 0, en het verschil tussen 1 en 0,999... is dus ook 0.

Volgens bovenstaande aanname is 0,999... dan inderdaad gelijk aan 1.

Waarom zou er sprake zijn van afronding als het verschil 0 is?

[Anoniem: 13317]

Dido schreef op 10 March 2003 @ 09:10:
[...]

Dit lijkt me een gezonde aanname.

Als we dan beschouwen dat 1/3 * 3 = (3 * 1) : 3 = 3 : 3 = 1
Terwijl ook 1/3 * 3 = (1 : 3) * 3 = 0,333... * 3 = 0,999

Het verschil tussen 1/3 * 3 en 1/3 * 3 is per definitie 0, en het verschil tussen 1 en 0,999... is dus ook 0.

Volgens bovenstaande aanname is 0,999... dan inderdaad gelijk aan 1.

Waarom zou er sprake zijn van afronding als het verschil 0 is?

Ik ben het met twee dingen niet eens:

0.999... is géén reëel getal
het verschil tussen 0.999... en 1 is bijna 0 dus het is geen 0

[Dido]

Anoniem: 13317 schreef op 10 maart 2003 @ 09:16:
[...]

Ik ben het met twee dingen niet eens:

0.999... is géén reëel getal

Wat is het dan Bij mijn beste weten is het reeel, en zelfs rationeel.

het verschil tussen 0.999... en 1 is bijna 0 dus het is geen 0

Waarom is het bijna nul en geen nul?

Ik kan 0,999... schrijven als 3*(1/3), en zo kan ik 1 ook schrijven.

Als er een verschil is, hoeveel is dat dan? "Bijna nul" is wiskundig gesproken wel een beetje vage uitdrukking.

[Anoniem: 13317]

Mijn vorige post
Ze zijn niet hetzelfde, we kunnen alleen het verschil niet omschrijven. We hebben gewoon een onbeschrijflijk klein verschil dat geen van de huidige talen zou kunnen omschrijven of zelfs maar beschrijven op een manier dat het door de meerderheid van de wereldbevolking op een rationele marier zou kunnen worden begrepen.

Dus...

Dido:
Ik kan 0,999... schrijven als 3*(1/3), en zo kan ik 1 ook schrijven.

1/3*3 = 1, eens

0.333... * 3 = 0.999...

Deze zijn niet hetzelfde maar toch weer wel., 1/3 is exact en met 0.333... wil je aanduiden dat het geen 0.332 of 0.334 is.

[ Voor 29% gewijzigd door Anoniem: 13317 op 10-03-2003 09:53 ]

[Dido]

Anoniem: 13317 schreef op 10 March 2003 @ 09:48:
[...]

Dus...

Dus, wat is 0,999... als het niet reëel is?

En je stelt nu dat het zo klein is dat taal het niet kan omschrijven. Dat komt bijna theologisch over...

Ik zie geen enkele reden om aan te nemen dat er een verschil is tussen 3 * (1 / 3) en (3 * 1) / 3. Jij wel?

[Anoniem: 13317]

Nee, je hebt in zekere zin wel gelijk denk ik, maar 3*3 is 9 geen 10 dus wanneer je 0,33*3 doet is dat 0,99 en geen 1 en wanneer je 0,333333.... * 3 doet dan is dat 0,999999999... en geen 1 toch?

[Dido]

Anoniem: 13317 schreef op 10 maart 2003 @ 10:03:
Nee, je hebt in zekere zin wel gelijk denk ik, maar 3*3 is 9 geen 10 dus wanneer je 0,33*3 doet is dat 0,99 en geen 1 en wanneer je 0,333333.... * 3 doet dan is dat 0,999999999... en geen 1 toch?

Precies mijn punt:

3 * ( 1 / 3 ) = 3 * 0,333... = 0,999...
maar
( 3 * 1 ) / 3 = 3 / 3 = 1

Het verschil tussen 3 * ( 1 / 3 ) en ( 3 * 1 ) / 3 is per definitie 0, dus het verschil tussen 0,999... en 1 ook.

Tenzij je dus een verschil kunt vinden tussen 1 / 3 en 0,333...

[Anoniem: 10358]

RobIII schreef op 10 March 2003 @ 02:40:
Ik ben gewoon niet overtuigd en heb een andere mening. Daar mag toch wel over gediscussieerd worden? Kan me niet schelen hoeveel posts. Ik wil graag verheldeing. Misschien word ik wel wijzer d'r van...

Oke, dat is natuurlijk goed, maar dan wil ik wel nogmaals zeggen dat het een wiskundige afspraak is dat dingen als 0,99~ = 1 gelden.

[Dido]

Anoniem: 13317 schreef op 10 March 2003 @ 09:48:
Deze zijn niet hetzelfde maar toch weer wel., 1/3 is exact en met 0.333... wil je aanduiden dat het geen 0.332 of 0.334 is.

Hoe groot is het verschil tussen 1/3 en 0,333... ?

Als dat nul is zijn ze volgens het eerdere uitgangspunt gelijk. Niet bijna, maar helemaal.

En als ze niet gelijk zijn? Dan zou 1/3 geen acceptabele voorstelling van 0,333... zijn.
Maar als dat zo is, wat is het dan?

In het geval van irrationele getallen als Pi en sqrt(2) geldt wel dat elke decimale natatie ervan, hoe nauwkeurig ook, altijd een afwijking bevat, in het geval van rationele getallen geldt dat ze altijd geschreven kunnen worden als een breuk.

Daarbij geldt dat de breuk de exacte weergave is van het rationele getal, dus:
26435 = 26435 / 1
maar ook
0,5 = 1/2 en 0,333... = 1/3

simpel gezegd, als ik 1 wil delen door drie maakt het niet uit of ik dat schrijf als 1/3 of 0,333..., het betekent exact hetzelfde. Dat gaat niet op als ik de wortel uit twee wil berekenen: sqrt(2) is niet hetzelfde als 1,41213562

[Zoijar]

RobIII schreef op 10 maart 2003 @ 02:40:

Ik ben gewoon niet overtuigd en heb een andere mening. Daar mag toch wel over gediscussieerd worden? Kan me niet schelen hoeveel posts. Ik wil graag verheldeing. Misschien word ik wel wijzer d'r van...

Ja dat snap ik wel, maar we discussieren hier toch ook niet over het feit dat 1 + 0 = 1? Dat is namelijk ook een axioma, het neutraal element voor de optelling.

0.999... is géén reëel getal
het verschil tussen 0.999... en 1 is bijna 0 dus het is geen 0

0,999... is een geheel getal gevolgd door een mogelijk oneindig lange decimale ontwikkeling; dus reeel.

Verder kan je niet "in het oneindige afronden", het eindigt namelijk niet dus kan je ook nergens afronden. Oneindig kan je het beste zien als dat voor elke uitspraak die jij doet, ik een getal mag kiezen. Hoe klein jij dus ook beweert dat het verschil is, ik kan 1 - 0,999... altijd zo kiezen dat het verschil kleiner is dan dat wat jij zegt.

Er valt verder weinig aan te snappen, het is gewoon zo.

[Anoniem: 28958]

Anoniem: 14565 schreef op 06 March 2003 @ 21:44:
dat 0.99~ afgerond 1 is dat snappen we allemaal wel, maar het lijkt me niet dat je kan zeggen dat ze gelijk aan elkaar zijn, hoe verklaar je anders een asymptotische benadering?

counterexample: op dezelfde wijze zou dan 1/x als x -> inf gelijk aan 0 worden? dat is dus niet zo.

Dat is dus niet dezelfde wijze. Dat 0,9999999...=1 is geen afronding. Ze zijn echt aan elkaar gelijk. Dat komt dus door mijn uitleg dat er geen enkel reeel getal te vinden is dat er tussen past. En als die er niet is, dan zullen ze wel hetzelfde zijn, dat is de redenering.

[RobIII]

Anoniem: 28958 schreef op 11 maart 2003 @ 14:41:
[...]

Dat is dus niet dezelfde wijze. Dat 0,9999999...=1 is geen afronding. Ze zijn echt aan elkaar gelijk. Dat komt dus door mijn uitleg dat er geen enkel reeel getal te vinden is dat er tussen past. En als die er niet is, dan zullen ze wel hetzelfde zijn, dat is de redenering.

...Dus als we in kijken (let op het dubbele pootje) kunnen we geen getal vinden dat tussen 4 en 5 past. Volgens jouw redenering zijn ze dan maar gelijk aan elkaar ?

[ Voor 8% gewijzigd door RobIII op 11-03-2003 15:03 ]

[Anoniem: 29081]

RobIII schreef op 11 maart 2003 @ 15:00:
...Dus als we in |N kijken (let op het dubbele pootje) kunnen we geen getal vinden dat tussen 4 en 5 past. Volgens jouw redenering zijn ze dan maar gelijk aan elkaar ?

Nee, dit geldt alleen voor (Q en |R (en voor (C en andere cartesische productruimten van (Q of |R, mits je een redelijke definitie voor "tussen" hanteert).

[RobIII]

een van mijn favo sites is http://mathworld.wolfram.com/
Weet iemand waar ik zo snel op die site de definities van N, Z, Q, R enzovoorts kan vinden. Effe mijn kennis bijschaven Ik kan het zo snel niet vinden en weet niet waar ik op moet zoeken.

[ Voor 16% gewijzigd door RobIII op 11-03-2003 15:28 ]

[Anoniem: 29081]

N = de natuurlijke getallen = 0,1,2,3,..enz (alhoewel sommigen ook een definitie van N hanteren zonder 0, ik noem dat N\{0} of N⁺)

Z = de gehele getallen = ..,-2,-1,0,1,2,3,..enz

Q = de rationale getallen = alle getallen a/b met a en b gehele getallen, b niet 0 (dus a c Z en b c N⁺)

R = de reëele getallen = "alle" getallen, dus alles uit Q, en pi, e, wortels, enz

C = de complexe getallen = a+bi waarbij a en b c R en i²=-1

H = de quaternionen = a+bi+cj+dk, vanaf hier wordt het naar want vermenigvuldiging is niet meer commutatief, enz

Er geldt dus N C Z C Q C R C C C H.