Wiskundig Vraagstuk...

[Verwijderd]

Okee, heb ik ook nog wel een raadseltje.

Een quizmaster en een kandidaat staan voor 3 dichte deuren. Achter 1 van die deuren ligt de hoofdprijs. De quizmaster vraagt aan de kandidaat welke deur open moet. De kandidaat zegt deur 1. De quizmaster doet deze deur NIET open, maar opent een 'lege' deur. De kandidaat krijgt nu nog de kans om van mening te wisselen en de andere gesloten deur te kiezen. Wat doet de kandidaat en WAAROM? (het waarom is het belangrijkste in dit geheel).

[Verwijderd]

Stel de prijs zit achter deur 1, en de kandidaat kiest die. Dan gaat of deur 1 of deur 2 open.. Het is dan niet verstandig om te wisselen..
Maar als hij voor deur 2 kiest, dan gaat deur 3 open.. dan moet hij dus wel wisselen..
Kiest hij voor deur 3, dan gaat deur 2 open.. Dan moet hij ook wisselen..
2/3 = 66,7% Dus hij kan beter wel wisselen??

[Oscar Mopperkont]

Verwijderd schreef op 15 November 2002 @ 11:55:
Okee, heb ik ook nog wel een raadseltje.

Een quizmaster en een kandidaat staan voor 3 dichte deuren. Achter 1 van die deuren ligt de hoofdprijs. De quizmaster vraagt aan de kandidaat welke deur open moet. De kandidaat zegt deur 1. De quizmaster doet deze deur NIET open, maar opent een 'lege' deur. De kandidaat krijgt nu nog de kans om van mening te wisselen en de andere gesloten deur te kiezen. Wat doet de kandidaat en WAAROM? (het waarom is het belangrijkste in dit geheel).

Shit, die stond ook in ons statistiekboek... FF denken!

[Dido]

Verwijderd schreef op 15 november 2002 @ 11:55:
Okee, heb ik ook nog wel een raadseltje.

Een quizmaster en een kandidaat staan voor 3 dichte deuren. Achter 1 van die deuren ligt de hoofdprijs. De quizmaster vraagt aan de kandidaat welke deur open moet. De kandidaat zegt deur 1. De quizmaster doet deze deur NIET open, maar opent een 'lege' deur. De kandidaat krijgt nu nog de kans om van mening te wisselen en de andere gesloten deur te kiezen. Wat doet de kandidaat en WAAROM? (het waarom is het belangrijkste in dit geheel).

Wisselen.


Kandidaat kiest een deur, 1/3 kans dat dat de goede is.

Quizmaster opent 1 foute deur.

Bij niet wisselen blijft de kans op prijs dus 1/3,

Bij wel wisselen is wordt dat 2/3, namelijk de kans dat de kandidaat in eerste instantie de verkeerde koos.

Dit is nog makkelijker aanschouwlijk te maken als je 100 deuren hebt. Je kiest er 1, met een kans van 1/100 dat die deur goed is.

Vervolgens gaan er 98 deuren open die leeg zijn.

Jij hebt een kans van 1/100 dat je voor de goede deur staat, maar een kans van 99/100 dat dat niet zo is. In dat geval is de enige andere overgebleven dichte deur de goede, en dus wissel je van deur. 99% kans op prijs!

[Diadem]

Ah, de quizmaster. Maar dan ken ik leukere statistiek vragen:

Stel dat je weet dat iemand 2 kinderen heeft. De kans dat een willekeurig kind een jongen is is 50%, de kans dat het een meisje is ook. Je komt bij die persoon aan huis, en er doet een jongetje de deur open. Hoe groot is de kans dat zijn andere kind ook een jongetje is? Dit is triviaal, 50% natuurlijk.

Maar nu ken je ook een ander gezin, die ook twee kinderen hebben. Je weet daarvan echter dat 1 daarvan een jongetje is, wat het andere kind is weet je niet. Ook daar kom je aan de deur, en er doet een jongetje open.

Wat is de kans dat het andere kind ook een jongetje is? En vooral, waarom?

[Verwijderd]

Gefeliciteerd Dido.. het vergroten van het aantal deuren maakt het inderdaad een stuk duidelijker (in eerste instantie dacht ik ook aan wisselen, omdat de kans 50% zou zijn geworden, maar bij nader inzien toch iets anders).

[zeeg]

Diadem schreef op 15 november 2002 @ 12:15:
Maar nu ken je ook een ander gezin, die ook twee kinderen hebben. Je weet daarvan echter dat 1 daarvan een jongetje is, wat het andere kind is weet je niet. Ook daar kom je aan de deur, en er doet een jongetje open.

Wat is de kans dat het andere kind ook een jongetje is? En vooral, waarom?

De kans op 1 jongen 1 meisje = (1/2)^2 * 2 = 1/2
De kans op 2 jongens = (1/2)^2 = 1/4
De kans op 2 meisjes = (1/2)^2 = 1/4
Als er een jongen open is de kans op nog een jongen 1/4 van de 3/4 (eerste 2 mogelijkheden) = 1/3

[Dido]

zeeg schreef op 15 november 2002 @ 12:27:
[...]

De kans op 1 jongen 1 meisje = (1/2)^2 * 2 = 1/2
De kans op 2 jongens = (1/2)^2 = 1/4
De kans op 2 meisjes = (1/2)^2 = 1/4
Als er een jongen open is de kans op nog een jongen 1/4 van de 3/4 (eerste 2 mogelijkheden) = 1/3

1/4 * 3/4 is in ieder geval geen 1/3 maar 3/16...

Verder is de kans op MM 0, je weet dat er 1 jongetje is...

we hebben dus de mogelijkheden MJ, JM, JJ, allen 1/3.

De kans op een meisje als tweede kind lijkt me dus 2/3, kans op nog een jongen dus inderdaad 1/3.

[zeeg]

Dido schreef op 15 November 2002 @ 12:39:
[...]

1/4 * 3/4 is in ieder geval geen 1/3 maar 3/16...

ik bedoelde met "1/4 van de 3/4" niet 1/4 * 3/4 maar juist (1/4)/(3/4) = 1/4 * 4/3 = 1/3

De kans op een meisje als tweede kind lijkt me dus 2/3, kans op nog een jongen dus inderdaad 1/3.

Dat zeg ik.

[Dido]

zeeg schreef op 15 november 2002 @ 13:05:
ik bedoelde met "1/4 van de 3/4" niet 1/4 * 3/4 maar juist (1/4)/(3/4) = 1/4 * 4/3 = 1/3

Volg ik 'm ook niet helemaal, maar goed... wij zijn het met elkaar eens, maar wat vindt Diadem ervan?

[Keida]

Kans is 1/2

ÓF je hebt direct de jongen te pakken, dus de kans dat de andere een jongen is = 1/2
ÓF je hebt die andere jongen te pakken, dus de kans dat de andere een jongen is = 1

Of anders, .

Eerst is de kans, voordat de deur open gaat dat je een jongen ziet: 1/3.
Maar nu doet een jongen open : EXTRA INFO (dat is een theorema , ben vergeten ).
Nu valt één van de opties Jongen + meisje weg (want meisje jongen kan niet!!!). Daardoor wordt de kans dat de andere een jongen is vergroot naar 1/2

1/2 dus.

edit:
Bij nader inzien is het bovenste verhaal onzin

[Verwijderd]

Quizmaster, deurtjes openen, etc

Inderdaad, wisselen! Wat de quizmaster je in feite aanbiedt, is jouw ene deur, of (het beste van) alle andere deuren bij elkaar! De kans dat de prijs achter een van al die andere deuren zit, is groter (2/3) dan dat de prijs achter jouw ene deur zit (1/3).

[Verwijderd]

Dat van die deurtjes vind ik toch een moeilijke. Ik zou toch zeggen dat het niet uitmaakt of je wisselt. En dat de kans 1/2 is. De enige extra info die je hebt is toch dat de derde deur het niet is. De kansen op de andere deuren is toch nog gelijk. Of niet. Ik ben er voor mezelf nog niet helemaal uit.

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op 15 November 2002 @ 17:31:
Dat van die deurtjes vind ik toch een moeilijke. Ik zou toch zeggen dat het niet uitmaakt of je wisselt. En dat de kans 1/2 is. De enige extra info die je hebt is toch dat de derde deur het niet is. De kansen op de andere deuren is toch nog gelijk. Of niet. Ik ben er voor mezelf nog niet helemaal uit.

Klopt, maar statistisch gezien ben je wel beter af.. in 2 van de drie gevallen ben je beter af als je wisselt.

[Keida]

Weet iemand nou al hoe dat theorema heet die dit verklaart?

[Diadem]

Dido schreef op 15 November 2002 @ 13:13:
[...]

Volg ik 'm ook niet helemaal, maar goed... wij zijn het met elkaar eens, maar wat vindt Diadem ervan?

Het antwoord is niet goed.

Een aanverwante vraag: Als ik van een gezin alleen weet dat ze een jongetje hebben,wat is de dekans dat het andere kind ook een jongetje is?

[Keida]

Diadem, mijn antwoord dan?

[gorgi_19]

* gorgi_19 doet ook een poging en gokt op 2/3 kans op een jongetje..

Er 3 combinaties mogelijk:
JM
JJ (2x)

MJ kan niet optreden, dus deze vervalt. Allen hebben een gelijke kans om op te treden.
De kans dat de 2e een jongetje is, is dus 2/3 (doordat je bij JJ de mogelijkheden: J1J2 en J2J1 hebt)

[Verwijderd]

Maar bij dobbelsteen gooien is het zo dat als je eerst 3 keer 5 gooit, je de derde keer nog steeds 1/6 kan hebt om 5 te gooien. Ik zou dat theorema ook wel willen weten.

[Oscar Mopperkont]

Diadem schreef op 15 november 2002 @ 21:01:
[...]


Het antwoord is niet goed.

Een aanverwante vraag: Als ik van een gezin alleen weet dat ze een jongetje hebben,wat is de dekans dat het andere kind ook een jongetje is?

1/2?

[Keida]

gorgi_19 schreef op 16 November 2002 @ 01:52:
* gorgi_19 doet ook een poging en gokt op 2/3 kans op een jongetje..

Er 3 combinaties mogelijk:
JM
JJ (2x)

MJ kan niet optreden, dus deze vervalt. Allen hebben een gelijke kans om op te treden.
De kans dat de 2e een jongetje is, is dus 2/3 (doordat je bij JJ de mogelijkheden: J1J2 en J2J1 hebt)

Nee dat is dus de hele grap. Dit vraagstuk, net als bij de deuren, gaat over het feit dat je ineens extra informatie krijgt.

Uiteraard heb je de mogelijkheid, voooooordat het jongetje opendoet tussen J1J2 en J2J1, maar zo gauw als één jongetje open doet, valt één van deze mogelijkheden af (zonder dat je het weet wel, maar hij valt af.)

[PhysicsRules]

Als je weet dat een van de twee kinderen een jongetje is, dan is de kans dat een jongetje de deur open doet 3/4. (50% kans dat kind 1 (jongen) de deur open doet en 50% dat de andere open doet) -> 1/2*1+1/2*1/2 = 3/4

Nu doet er een jongen open. Er zijn twee mogelijkheden: dit is jongen 1 of jongen 2. Als dit jongen 1 is, is er een kans van 50% dat het andere kind een jongen is, en als dit jongen 2 is is er een kans van 100% dat het andere kind een jongen is -> 1/2*1/2 + 1/2*1 = 3/4

Je hebt dus een kans van 3/4 dat het andere kind een jongen is. Maar zover mijn mening, heb al jaren niets meer met statistiek gedaan.

[GeeBee]

over dat jochie bij de deur:
p(jj)=1/4
p(jm)=1/4
p(mj)=1/4
p(mm)=1/4

Als de deur door een jongen wordt opengedaan, vervalt de 4e mogelijkheid. In 1 van de overgebleven 3 mogelijkheden heeft het jongetje dat de deur opendoet een broer.
Kans 1/3 dus.

[Diadem]

Ik zal een hint geven: Jullie werken allemaal met de foute sample-space.

Er zijn 8 mogelijkheden, niet 4.

[GeeBee]

oh je bedoelt met jonger/ouder broertje?

[Diadem]

Neen.

We hebben 8 mogelijkheden:

Jj, jJ, Jm, jM, Mj, mJ, Mm, mM

j = jongen
m = meisje
hoofdletter = degene die de deur opendoet.

We weten dat een jongen de deur opendoet, dus we hebben de volgende mogelijkheden:
Jj, jJ, Jm, mJ

kans dat het tweede kind ook een jongen is is dus 50%

[Keida]

Diadem, Dat zei ik toch. nou ja, in woorden.

[Diadem]

Redkef schreef op 17 November 2002 @ 21:09:
Diadem, Dat zei ik toch. nou ja, in woorden.

Je argumentatie was nogal anders volgens mij. En een juist antwoord met de foute argumentatie is helaas, fout.

[Oscar Mopperkont]

Tijd voor een nieuw leuk vraagstuk zou ik zeggen

Vond die met de deur open doen niet echt leuk... Hou meer van dat soort vraagstukken als met de smurfen of met de petten.

[GoodspeeD]

Hoeveel erwten gaan er in een blik?

[tombola]

twee keer de helft

[GoodspeeD]

tombola schreef op 18 November 2002 @ 14:05:
twee keer de helft

Die gaan er niet in, die moet je erin stoppen.

Sry voor de flauwe grap tussendoor, maar wist ff geen raadsel meer.

Trouwens. 2 keer de helft blijft kloppen dan. Want 2 keer 0 is nog steeds 0.

[RickN]

@Diadem:

Je ontmoet op straat een vrouw. Je vraagt haar hoeveel kinderen ze heeft en ze zegt: "2". Vervolgens vraag je haar of ze ze een zoon heeft en ze zegt: "ja". Hoe groot is de kans dat de vrouw 2 zoons heeft?

[Verwijderd]

RickN schreef op 18 November 2002 @ 16:41:
@Diadem:

Je ontmoet op straat een vrouw. Je vraagt haar hoeveel kinderen ze heeft en ze zegt: "2". Vervolgens vraag je haar of ze ze een zoon heeft en ze zegt: "ja". Hoe groot is de kans dat de vrouw 2 zoons heeft?

Ook al ben ik geen Diadem zal toch ook mijn gedachten erover geven en dan is het 50%.

[PhysicsRules]

GoodspeeD schreef op 18 november 2002 @ 13:30:
Hoeveel erwten gaan er in een blik?

Van hetzelfde niveau:

hoeveel erwten kun je in een leeg blik van 1 liter stoppen?

[Verwijderd]

Je ontmoet op straat een vrouw. Je vraagt haar hoeveel kinderen ze heeft en ze zegt: "2". Vervolgens vraag je haar of ze ze een zoon heeft en ze zegt: "ja". Hoe groot is de kans dat de vrouw 2 zoons heeft?

1/3.
Want: als ze 2 kinderen heeft, zijn er 4 mogelijkheden: JJ, JM, MJ, MM (elk met een even grote kans). Als er bekend is dat ze 1 zoon heeft, valt MM af. De drie overgebleven mogelijkheden hebben nu een (voorwaardelijke) kans van elk 1/3. In één van deze drie gevallen heeft ze 2 zoons, de kans daarop is dus 1/3.

Die vraag met die deur van een gezin waarvan je weet dat er minstens 1 jongetje is, is misleidend. Met de voorkennis van dat er minstens 1 jongen is, lijkt het een andere vraag dan die erboven (het geval zonder de voorkennis dat er 1 jongetje is). Echter, de wetenschap dat er minstens 1 jongetje is, heb je sowieso al op het moment dat er een jongen opendoet. Beide vragen zijn dus hetzelfde.

Het verschil met de vraag van de deur opendoen en de vrouw op straat, is dat bij die vrouw de kans op jongen+meisje (JM en MJ) twee keer zo groot is als de kans op 2 jongens (JJ). Echter bij het opendoen van de deur valt de helft van de jongen+meisje gevallen af, omdat in slechts 50% van deze gevallen er een jongen opdoet.

[Verwijderd]

Ik weet niet of deze al gepost zijn, maar hier zijn er twee:

1:

Er zijn 8 munten en 1 valse munt, je krijgt een balans (zo'n weegschaal ding) en je moet de valse munt eruit zoeken.


2:

Er zijn 10 zakken met geld waarvan 1 vals. De echte munten wegen 100 gram (100%) de valse munten wegen 90 gram (90%). Je krijgt een weegschaal en moet na één keer wegen aan kunnen wijzen welke zak de valse is.
Je mag niet eerst één zak op de weegschaal leggen en dan nog ene enz.. dat is meerdere keren wegen.

Er zit bij allebei de vraagstukken een verhaaltje maar die ben ik al vergeten

[RickN]

Exact Juggalin_Juggalo, ik wilde even kijken of Diadem zich goed realiseerde wat een veradelijk vraagstuk hij poste. Er is een zeer subtiel verschil tussen de twee vraagstellingen, je hebt die van mij:

Je ontmoet op straat een vrouw. Je vraagt haar hoeveel kinderen ze heeft en ze zegt: "2". Vervolgens vraag je haar of ze ze een zoon heeft en ze zegt: "ja". Hoe groot is de kans dat de vrouw 2 zoons heeft?

en die van Diadem, die je, om mijn context te gebruiken, ook zo kunt stellen:

Je ontmoet een vrouw en haar zoon op straat, je vraagt de vrouw hoeveel kinderen ze heeft en ze antwoordt: "2". Hoe groot is de kans dat de vrouw 2 zoons heeft?

Het lijkt of je in beide situaties dezelfde informatie hebt, namelijk dat de vrouw 2 kinderen heeft waarvan er tenminste één een zoon is. Het is echter van groot belang op welke manier je aan die informatie komt, nl. of de vrouw je vertelt dat ze tenminste één zoon heeft, of dat je één zoon ontmoet.

De vraagstelling:

Een vrouw heeft 2 kinderen waarvan tenminste één zoon. Hoe groot is de kans dat de vrouw 2 zoons heeft?

is ambigue (al komen gelijksoortige vragen nog in veel wiskundige tekstboeken voor) en dus, zo gesteld, niet oplosbaar.

Dat veel, ook zeer intelligente mensen zich hierin verslikken blijkt uit de volgende amusante site: Marilyn is wrong (Deze site gaat over zelf uitgeroepen genie Marilyn von Savant)

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op 18 november 2002 @ 17:48:
1/3.
Want: als ze 2 kinderen heeft, zijn er 4 mogelijkheden: JJ, JM, MJ, MM (elk met een even grote kans). Als er bekend is dat ze 1 zoon heeft, valt MM af. De drie overgebleven mogelijkheden hebben nu een (voorwaardelijke) kans van elk 1/3. In één van deze drie gevallen heeft ze 2 zoons, de kans daarop is dus 1/3.

Onzin, JM en MJ zijn hetzelfde. (Er is niks gezegd over wie het oudste kind is)
Je houdt er dus 2 over -> 50 % kans.

[RickN]

Verwijderd schreef op 18 November 2002 @ 18:41:
[...]


Onzin, JM en MJ zijn hetzelfde. (Er is niks gezegd over wie het oudste kind is)
Je houdt er dus 2 over -> 50 % kans.

Sla er je wiskundeboeken nog maar eens op na. Kijk met name naar het hoofdstuk "Binomiale kansverdeling"

[PhysicsRules]

Verwijderd schreef op 18 november 2002 @ 18:01:
Ik weet niet of deze al gepost zijn, maar hier zijn er twee:

2:

Er zijn 10 zakken met geld waarvan 1 vals. De echte munten wegen 100 gram (100%) de valse munten wegen 90 gram (90%). Je krijgt een weegschaal en moet na één keer wegen aan kunnen wijzen welke zak de valse is.
Je mag niet eerst één zak op de weegschaal leggen en dan nog ene enz.. dat is meerdere keren wegen.

Er zit bij allebei de vraagstukken een verhaaltje maar die ben ik al vergeten

Je nummert de zakken, en legt op de weegschaal uit elke zak een aantal munten, gelijk aan het nummer van de zak (dus 1 munt uit zak 1, 2 uit zak 2, ..., 10 uit zak 10).

Nu is het sommetje simpel: Totaal zou dit 100*(1+2+3+...+10) = 5500gram moeten wegen. Deel nu de afwijking door 10, en je weet de zak.

(Dus als zak 7 afwijkt, zal het geheel 5430 gram wegen.)

[Diadem]

RickN schreef op 18 november 2002 @ 18:06:
Exact Juggalin_Juggalo, ik wilde even kijken of Diadem zich goed realiseerde wat een veradelijk vraagstuk hij poste. Er is een zeer subtiel verschil tussen de twee vraagstellingen, je hebt die van mij:

Ik realiseerde mij dat terdegen. Sterker nog, de vraag die ik stelde was erg gemeen, omdat ik in feite het goede antwoord af gaf

[Verwijderd]

Onzin, JM en MJ zijn hetzelfde. (Er is niks gezegd over wie het oudste kind is)
Je houdt er dus 2 over -> 50 % kans.

Je begrijpt het niet. Als je JM en MJ als hetzelfde beschouwt (allebei "jongen en meisje" zeg maar) is dat prima, maar dan moet je er wél bij betrekken dat de kans op deze situatie twee keer zo groot is als die op JJ (2 jongens) en op MM (2 meisjes).

Juist omdat (!) er niks gezegd is over het oudste kind, is de kans 1/3 en niet 50% dat de ander een jongen is. Als de vraag was "een vrouw heeft 2 kinderen, de oudste is een zoon", dàn was de kans op 2 zoons 50% geweest.

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op 18 November 2002 @ 18:01:
Ik weet niet of deze al gepost zijn, maar hier zijn er twee:

1:

Er zijn 8 munten en 1 valse munt, je krijgt een balans (zo'n weegschaal ding) en je moet de valse munt eruit zoeken.

Die is al aan de orde geweest, althans met 12 munten. Of bedoel jij iets anders?
Ik had hier trouwens nog een extra moeilijke variant op dit raadsel

[PhysicsRules]

Verwijderd schreef op 15 November 2002 @ 01:21:
Leuk, dit

Ik heb nog een variant op die met die 12 munten. Hetzelfde raadsel, maar nu met DERTIEN munten. Kun je weer met 3 wegingen bepalen welke munt afwijkt, en of hij te licht danwel te zwaar is?

En ook: met VEERTIEN munten, en bovendien kan het nu ook nog zijn dat er helemaal géén munt afwijkt (dus dat ze alle 14 hetzelfde wegen)! Alleen je krijgt er nu wel bij verteld dat de 14e munt in ieder geval niet de afwijkende is. Ook hier slechts 3 weegbeurten.


Voor mensen die geen zin hebben om het oorspronkelijke raadsel (met 12 munten) op te zoeken: je hebt een aantal munten, en één van deze munten weegt iets meer of minder dan de rest. De overige zijn allemaal even zwaar. Je hebt een balans, waarmee je drie keer mag wegen. Kun je met die drie weegbeurten bepalen welke munt de afwijkende is, en of hij lichter of zwaarder is dan de andere munten?

_{Met die balans kun je dus alleen links en rechts wat neerleggen en kijken welke kant zwaarder is (of even zwaar). Je kunt geen gewicht aflezen, en ook 'halverwege' meten (dwz links en rechts steeds 1 voor 1 een munt erbij leggen) is niet toegestaan.}

Wordt er gebruik gemaakt van momenten? Ik bedoel, wordt er gebruik gemaakt van de afstand van een munt tot het midden van de balans?

[Verwijderd]

Holy shit, daar had ik nog geeneens aan gedacht

Maarre, nee. Momenten spelen geen rol in dit raadsel, de balans kijkt alleen maar naar de massa aan beide kanten, en geeft aan of links lichter, gelijk of zwaarder is dan rechts.

Ik betwijfel trouwens of je er iets mee zou opschieten, aangezien je niet weet hoeveel de foute munt afwijkt.

[Verwijderd]

dat zijn toch vrij eenvoudige raadsels me dunkt.
14 munten -->1 lichter(of niet)

7 -- 7

1 kant lichter stel linker kant lichter (als ze even zwaar zijn is probleem al opgelost)

3 -- 3

even zwaar of 1 kant lichter (bij even zwaar overgebleven munt duh)

1 -- 1

en van de 2 is lichter (of niet, dan overgebleven)


Of was dat niet de vraag?

Dat kun je trouwens doen tot 15 munten. oplossing blijft hetzelfde.

[Verwijderd]

Helaas Towelie, zo simpel is het niet
Als je 7-7 weegt en links weegt minder dan rechts, weet je niet of dit komt doordat 1 van de munten links lichter is dan de rest, of dat 1 van de munten rechts zwaarder is dan de rest.

[GeeBee]

Diadem schreef op 17 November 2002 @ 20:14:
Neen.

We hebben 8 mogelijkheden:

Jj, jJ, Jm, jM, Mj, mJ, Mm, mM

j = jongen
m = meisje
hoofdletter = degene die de deur opendoet.

We weten dat een jongen de deur opendoet, dus we hebben de volgende mogelijkheden:
Jj, jJ, Jm, mJ

kans dat het tweede kind ook een jongen is is dus 50%

Ik ben het er nog steeds niet mee eens. De kans die je zoekt is de kans op 2 jongens gegeven het feit dat een jongen de deur open doet. Of dat de jongste of de oudste is, is niet relevant en levert zeker geen 4 extra mogelijkheden op.

Via voorwaardelijke kansen kom ik dan tot de volgende oplossing:

code:

             p(AB)
p(A|B)=--------  (def. voorwaardelijke kans)
              p(B)

Dus de kans op 2 jngens gegeven het feit dat er al één jongen is, is:
                      
                                                     p(2 jongens en minstens 1 jongen)
p(2 jongens|minstens 1 jongen)=---------------------------------------------
                                                     p(minstens 1 jongen)

p(jj)=p(jm)=p(mj)=p(mm)=0,25, dus:

                                                      1/4
p(2 jongens|minstens 1 jongen)= ---- = 1/3
                                                      3/4

PS: sorry voor de rare opmaak, dit kon toch met [ code ] ?

[Verwijderd]

Wij zijn niet de enige die erover discussieren of de kans 1/2 of 1/3 is, op hoog niveau wordt er zelfs nog over gediscussierd. De link is al gegeven door RickN.

RickN schreef op 18 November 2002 @ 18:06:
Dat veel, ook zeer intelligente mensen zich hierin verslikken blijkt uit de volgende amusante site: Marilyn is wrong (Deze site gaat over zelf uitgeroepen genie Marilyn von Savant)

[RickN]

GeeBee schreef op 19 November 2002 @ 19:16:
[...]


Ik ben het er nog steeds niet mee eens. De kans die je zoekt is de kans op 2 jongens gegeven het feit dat een jongen de deur open doet. Of dat de jongste of de oudste is, is niet relevant en levert zeker geen 4 extra mogelijkheden op.

Via voorwaardelijke kansen kom ik dan tot de volgende oplossing:

code:

...
                                                      1/4
p(2 jongens|minstens 1 jongen)= ---- = 1/3
                                                      3/4

Uiteraard is over tot onderwerp al eerder gediscuseerd op GoT. In die discussie poste ik het volgende bewijs dat de kans bij deze vraagstelling wel degelijk 1/2 is. Ik heb nooit een reactie gekregen op het bewijs, misschien nu:

edit:
Overigens is de vraagstelling hier iets anders, het gaat over een meisje dat de telefoon op neemt en de kans dat het gezin dan 2 meisjes heeft, maar het idee is hetzelfde.

RickN schreef op 08 april 2002 @ 11:20:
Nou, ik zal ook eens iets proberen. Ik heb het er met een paar mensen over gehad en nadat ze ervan overtuigt waren geraakt dat het niet zo triviaal is als het lijkt zijn we tot de volgende oplossing gekomen:

edit:
Eerst maar even de ambiguïteit uit de vraagstelling halen:
Beide kinderen hebben een gelijke kans om de telefoon op te nemen. Het is dus NIET zo dat in een gezin met een jongen en een meisje het altijd het meisje zal zijn dat de telefoon opneemt. In dit geval zou je namelijk niet meer informatie hebben dan in situatie A en zou de kans op twee meisjes weer 1/3 zijn.

De problemen bij het berekenen van de uitkomst in situatie B ontstaan door een verkeerde codering van de gegeven informatie. Door simpelweg te zeggen:

A=twee meisjes
B=tenminste 1 meisje

En dan P(A|B) uit te rekenen kom je op 1/3, maar je gebruikt dan niet alle gegeven informatie. In plaats daarvan kwamen wij op het volgende:

Je gaat die familie bellen en je weet dat één van de kinderen op gaat nemen. We defineren A' en B' nu alsvolgt:

A'=het kind dat de telefoon opneemt is een meisje
B'=het kind dat de telefoon niet opneemt is een meisje

We willen nu berekenen P(A' en B'). In A' en B' gaat het om de sexe van twee verschillende personen, het zijn dus twee onafhankelijke gebeurtenissen. Dus:

P(A' en B')=P(A') P(B').

Er is gegeven dat het kind dat de telefoon opneemt een meisje is, dus P(A')=1. Kortom:

P(A' en B')=P(B')

De kans dat een persoon een meisje is is 1/2 dus:

P(A' en B')=1/2

Nou, dit was dus ons idee, probeer er maar eens gaten in te schieten.

[Verwijderd]

poeh, die hogere statistiek gaat mij iets boven de pet, dus ik heb nog maar een "kabouters met mutsen" raadsel

er zijn 100 kabouters in een huisje, allemaal hebben ze of een blauwe of een rode muts. Een voor een komen ze naar buiten en ze hebben de opdracht om buiten een rij te vormen met aan de ene kant alle kabouters met een rode muts en aan de andere kant alle kabouters met een blauwe muts. Hoe doen de kabouters dat?

[Verwijderd]

Ik ben het er nog steeds niet mee eens. De kans die je zoekt is de kans op 2 jongens gegeven het feit dat een jongen de deur open doet. Of dat de jongste of de oudste is, is niet relevant en levert zeker geen 4 extra mogelijkheden op.

Dan begrijp je niet hoe de afhankelijkheid van de kansen in dit probleem in elkaar zitten. De kans op 2 jongens bij een gezin met 2 kinderen is 1/4. De kans op 2 jongens bij een gezin met 2 kinderen waarvan je wéét dat er minstens 1 jongen is, is 1/3.

De kans dat er een jongen opendoet bij een gezin met 2 kinderen, is 1/2. De kans dat er een jongen opdoet bij een gezin met 2 kinderen waarvan je wéét dat er minstens 1 jongen is, is 2/3.

Via voorwaardelijke kansen kom ik dan tot de volgende oplossing:

Deze berekening klopt, doch is niet van toepassing op de vraag met de deur! Je berekening is wél correct voor het geval van de vrouw op straat. De fout die je maakt is dat je niet in je berekening meeneemt dat de kans dat er een jongen opendoet, afhangt van het geslacht van het andere kind. De voorwaarde "er doet een jongen open", is iets anders dan "er is minstens 1 jongen"!

De correcte manier om het met voorwaardelijke kansen te doen, is:

A := een gezin met 2 kinderen heeft 2 jongens
B := bij een gezin met 2 kinderen doet er een jongen open

P(A|B) = P(A en B) / P(B)
("en" betekent hier dus "doorsnede", zeg maar zo'n "ondersteboven U-tje")

Welnu, (A en B) = A (want als beide kinderen jongens zijn, doet er ook zeker een jongen open), dus P(A|B) = P(A) / P(B).

In het algemene geval (d.w.z. je weet niet dat er minstens 1 jongen is) is P(A) = 1/4 en P(B) = 1/2, P(A|B) is dus 1/2.

In het geval dat je weet dat er minstens 1 jongen is, moet je bij A en B "een gezin met 2 kinderen" vervangen door "een gezin met 2 kinderen waarvan minstens 1 jongen". Nu heb je P(A) = 1/3 en P(B) = 2/3, en ook nu heb je dus P(A|B) = 1/2.

_{grrr kunnen die pokke smilies niet uit, ze zijn soms NOGAL irritant, en om nou overal code-tags omheen te zetten is ook zo lelijk}

[Verwijderd]

er zijn 100 kabouters in een huisje, allemaal hebben ze of een blauwe of een rode muts. Een voor een komen ze naar buiten en ze hebben de opdracht om buiten een rij te vormen met aan de ene kant alle kabouters met een rode muts en aan de andere kant alle kabouters met een blauwe muts. Hoe doen de kabouters dat?

Ze kunnen zeker niet simpelweg tegen elkaar zeggen wat voor muts de ander op z'n hoofd heeft, zodat iedereen meteen op de goeie plek kan gaan staan?

Naja, het komt er op neer dat ze toch communiceren. Er zijn 2 rijen, rechts voor rood, links voor blauw. Deze rijen zijn in het begin natuurlijk nog leeg. De eerste kabouter blijft buiten wachten (dwz neemt nog geen plaats in een van de rijen), bij elke volgende kabouter gaat hij bij de rode danwel de blauwe rij staan, afhankelijk van de kleur die hij bij de nieuwkomer ziet. De nieuwkomer sluit aan bij dezelfde rij. Als er 99 kabouters goedstaan doet de tweede hetzelfde voor de eerste.

[klaasvaag]

kan ook anders. kabouter 1 gaat staan, kabouter 2 ernaast, kabouter 3 ertussen in als de kleuren verschillen, de volgende kabouters gaan steeds allemaal op de kleurgrens staan.. dus uiteindelijk heb je 1 rij, met aan beide kanten een andere kleur, zoals in de opgave stond

[GeeBee]

De kans dat er een jongen open doet is toch 1 omdat dat in de vraag staat: er doet een jongen open.

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op 19 November 2002 @ 22:56:
er zijn 100 kabouters in een huisje, allemaal hebben ze of een blauwe of een rode muts. Een voor een komen ze naar buiten en ze hebben de opdracht om buiten een rij te vormen met aan de ene kant alle kabouters met een rode muts en aan de andere kant alle kabouters met een blauwe muts. Hoe doen de kabouters dat?

De eerste kabouter gaat op een willekeurige plaats staan en de volgende roept dan naar deze kabouter:

Kabouter 2: "He, Paulus, wat voor muts heb ik op?"
Kabouter 1: "Je hebt een blauwe muts, dokus."
Kabouter 2: "Ooh, dan zal ik maar een nieuwe rij vormen want jij hebt een rode muts."

Kabouter 3: "Hee, jongens. Wat voor muts heb ik?"
Kabouter 1: "Je hebt een rode muts, je moet bij mij komen staan."
Kabouter 3: "Oke."

Enzovoorts.

[Verwijderd]

De kans dat er een jongen open doet is toch 1 omdat dat in de vraag staat: er doet een jongen open.

Ja, maar die gebeurtenis treedt bij gezinnen met 1 jongen en 1 meisje minder vaak op dan bij gezinnen met 2 jongens. Het feit dat die gebeurtenis optreedt, maakt dus de situatie jongen+meisje minder waarschijnlijk.

[Verwijderd]

Ik weet nog een leuke. Het volgende spel doe je met 2 spelers: ieder heeft een muntstuk, wat hij naar keuze in z'n linker of rechter hand houdt. Als beide spelers hun munt rechts hebben, krijgt speler A één euro van speler B. Als de ene speler de munt rechts heeft, en de ander links, krijgt speler B twee euro van speler A. Als beide spelers hun munt links hebben, krijgt speler A drie euro van speler B.

Wat is de slimste taktiek voor speler A? En voor B?

[PhysicsRules]

A:
rechts twee mogelijkheden: wint 1 of verliest 2
links twee mogelijkheden: wint 3 of verliest 2
[b/]Dus A zal links houden.[/]

B:
rechts twee mogelijkheden: wint 2 of verliest 1
links twee mogelijkheden: wint 2 of verliest 3
Dus B zal rechts houden

(je kan er dieper op in gaan, en zeggen dat dit betekent dat A elke beurt verliest, en dus toch rechts doet), enz.

[Wokkels]

Ok.

Er ligt een boot in de haven. De boot ligt vast aan de kant, maar er is genoeg speling om hem te laten mee"deinen" met het tij. Op dit moment is het eb. Aan de boot hangt een trapje met 2 treden onder water, waarvan de treden 5 cm dik zijn. Het trapje heeft 15 treden, de ruimte tussen de treden is 20 cm.
Het wordt vloed. Het water stijgt met 0,96 meter.
Hoeveel treden van het trapje zijn er als het vloed is nog boven water?

[Verwijderd]

(je kan er dieper op in gaan, en zeggen dat dit betekent dat A elke beurt verliest, en dus toch rechts doet), enz.

Ja, natuurlijk moet je er dieper op ingaan, dan wordt het pas leuk

Wat zou jij doen als je dit spel speelde? Als jij A bent, ga je dan inderdaad steeds links kiezen? Of hou je er rekening mee dat B rekening houdt met jouw gedachtengang?

De optimale taktiek kan per definitie niet altijd rechts of altijd links zijn, want dan zou de andere speler dit begrijpen en daar op inspelen, waardoor de taktiek zijn kracht verliest.

[Verwijderd]

Hoeveel treden van het trapje zijn er als het vloed is nog boven water?

Uhm.. 5/15 x 0.96²/20 + hoogteverschil tussen eb en vloed... is... nog steeds 13

[Wokkels]

hehehe

niet meteen verpesten voor de rest om in te stinken natuurlijk....

[PhysicsRules]

Verwijderd schreef op 20 November 2002 @ 01:24:
[...]
Ja, natuurlijk moet je er dieper op ingaan, dan wordt het pas leuk

Wat zou jij doen als je dit spel speelde? Als jij A bent, ga je dan inderdaad steeds links kiezen? Of hou je er rekening mee dat B rekening houdt met jouw gedachtengang?

De optimale taktiek kan per definitie niet altijd rechts of altijd links zijn, want dan zou de andere speler dit begrijpen en daar op inspelen, waardoor de taktiek zijn kracht verliest.

Het probleem is volgens mij dat bij elk logisch systeem door de tegenpartij herkend zal worden, waarna deze erop in zal spelen, en zo het logica kan verslaan.

De beste taktiek zou volgens mij zijn om te kijken of de ander een systeem gebruikt. Zo niet, dan lekker links voor A en rechts voor B, zo ja, ga precies tegen dat systeem in.

[Diadem]

GeeBee schreef op 19 november 2002 @ 19:16:

Ik ben het er nog steeds niet mee eens. De kans die je zoekt is de kans op 2 jongens gegeven het feit dat een jongen de deur open doet. Of dat de jongste of de oudste is, is niet relevant en levert zeker geen 4 extra mogelijkheden op.

Ik heb het nooit gehad over jongste of oudste.

Via voorwaardelijke kansen kom ik dan tot de volgende oplossing:

code:

             p(AB)
p(A|B)=--------  (def. voorwaardelijke kans)
              p(B)

Dus de kans op 2 jngens gegeven het feit dat er al één jongen is, is:
                      
                                                     p(2 jongens en minstens 1 jongen)
p(2 jongens|minstens 1 jongen)=---------------------------------------------
                                                     p(minstens 1 jongen)

p(jj)=p(jm)=p(mj)=p(mm)=0,25, dus:

                                                      1/4
p(2 jongens|minstens 1 jongen)= ---- = 1/3
                                                      3/4

PS: sorry voor de rare opmaak, dit kon toch met [ code ] ?

De fout die jij maakt is dat je zegt 'gegeven dat er een jongen is'. Maar dat is niet gegeven, er is gegeven dat er een jongen de deur opendoet. Dat is een verschil! Dat is meer informatie! Als alleen maar gegeven was dat er een jongen is zou een meisje ook de deur open kunnen doen.

Je zult echt je 'sample space' (wat is het NL woord daarvoor?) moeten vergroten. Er zijn 8 mogelijkheden, zoals in mijn post hiervoor aangaf.

In deze formulering van het probleem is er ook geen ambiguïteit.

[Lord Daemon]

Verwijderd schreef op 20 november 2002 @ 00:24:
Ik weet nog een leuke. Het volgende spel doe je met 2 spelers: ieder heeft een muntstuk, wat hij naar keuze in z'n linker of rechter hand houdt. Als beide spelers hun munt rechts hebben, krijgt speler A één euro van speler B. Als de ene speler de munt rechts heeft, en de ander links, krijgt speler B twee euro van speler A. Als beide spelers hun munt links hebben, krijgt speler A drie euro van speler B.

Wat is de slimste taktiek voor speler A? En voor B?

Zo op het eerste gezicht lijkt het me dat a) zowel A als B als beste taktiek een taktiek hebben die hen precies geen geld kost en geen geld oplevert, en b) de beste taktiek dus is om volledig random te kiezen.

Dan vind ik het prisoners dilemma toch leuker. A en B hebben allebei twee bolletjes, een witte en een zwarte. Ze kiezen er een uit zonder dat de andere deze ziet, en laten ze vervolgens tegelijk zien. Er geldt dan:
1) Als A en B allebei een wit bolletje hebben krijgen ze allebei 10 euro van de bank.
2) Als A een wit bolletje heeft en B een zwart bolletje krijgt B 20 euro van de bank, en moet A 10 euro aan de bank betalen.
3) Als A een zwart bolletje heeft en B een wit bolletje krijgt A 20 euro van de bank en moet B 10 euro aan de bank betalen.
4) Als A en B allebei een zwart bolletje hebben moeten ze allebei 1 euro aan de bank betalen.

Strategieen voor dit simpele spel zijn ultiem moeilijk.

[Diadem]

Lord Daemon schreef op 20 November 2002 @ 11:02:

Dan vind ik het prisoners dilemma toch leuker. A en B hebben allebei twee bolletjes, een witte en een zwarte. Ze kiezen er een uit zonder dat de andere deze ziet, en laten ze vervolgens tegelijk zien. Er geldt dan:
1) Als A en B allebei een wit bolletje hebben krijgen ze allebei 10 euro van de bank.
2) Als A een wit bolletje heeft en B een zwart bolletje krijgt B 20 euro van de bank, en moet A 10 euro aan de bank betalen.
3) Als A een zwart bolletje heeft en B een wit bolletje krijgt A 20 euro van de bank en moet B 10 euro aan de bank betalen.
4) Als A en B allebei een zwart bolletje hebben moeten ze allebei 1 euro aan de bank betalen.

Strategieen voor dit simpele spel zijn ultiem moeilijk.

De oplossing van dit dilemma is de volgende: Kies altijd in eerste instantie de sociale mogelijkheid. Wordt jij vervolgens door de ander genaaid, dan onthou je wie die ander was, en naai je hem voortaan ook.

Maar dan ben je al bijna bezig met psychologie, en niet meer met pure wiskunde

[Verwijderd]

Lord Daemon schreef op 20 November 2002 @ 11:02:
Zo op het eerste gezicht lijkt het me dat a) zowel A als B als beste taktiek een taktiek hebben die hen precies geen geld kost en geen geld oplevert, en b) de beste taktiek dus is om volledig random te kiezen.

Ze kunnen ook kiezen om niet te spelen dan verliezen ze ook niets.

Dan vind ik het prisoners dilemma toch leuker. A en B hebben allebei twee bolletjes, een witte en een zwarte. Ze kiezen er een uit zonder dat de andere deze ziet, en laten ze vervolgens tegelijk zien. Er geldt dan:
1) Als A en B allebei een wit bolletje hebben krijgen ze allebei 10 euro van de bank.
2) Als A een wit bolletje heeft en B een zwart bolletje krijgt B 20 euro van de bank, en moet A 10 euro aan de bank betalen.
3) Als A een zwart bolletje heeft en B een wit bolletje krijgt A 20 euro van de bank en moet B 10 euro aan de bank betalen.
4) Als A en B allebei een zwart bolletje hebben moeten ze allebei 1 euro aan de bank betalen.

Strategieen voor dit simpele spel zijn ultiem moeilijk.

Als je het spel maar een keer moet spelen zou ik een zwart bolletje kiezen. Anders wordt je waarschijnlijk genaaid door de ander. Als je het meerdere keren achter elkaar moet spelen kun je beter voor het witte bolletje kiezen. Als de ander slim is doet hij dit ook. Want zo kun je in totaal het meeste geld krijgen.

[PhysicsRules]

Ok, weer een nieuw raadseltje:

Mijnheer A en B komen elkaar tegen op straat, na elkaar in geen jaren te hebben gezien. Laten we ze Diadem en Lord Daemon noemen. Ze vragen elkaar hoe het gaat, en Diadem vertelt dat hij 3 kinderen heeft. Lord Daemon vraagt daarop geinteresseerd hoe oud die kinderen dan zijn. Hierop zei Diadem:
1. Het product van de leeftijden van mijn kinderen is 36.

Dit wis echter niet genoeg info voor Lord Daemon. Daarop gaf Diadem hem een tweede hint:
2. De som van de leeftijden is jouw huisnummer.

Zelfs deze hint is niet genoeg. Hierop geeft Diadem weer een hint:

3. Mijn oudste is zo oud als jouw jongste was toen zij haar been brak.

Nu weet Lord Daemon het antwoord.

Hoe oud zijn de drie kinderen van Diadem?

[ Voor 2% gewijzigd door PhysicsRules op 27-11-2002 16:51 . Reden: typo's ]

[FCA]

PhysicsRules schreef op 27 November 2002 @ 16:49:
Ok, weer een nieuw raadseltje:

Mijnheer A en B komen elkaar tegen op straat, na elkaar in geen jaren te hebben gezien. Laten we ze Diadem en Lord Daemon noemen. Ze vragen elkaar hoe het gaat, en Diadem vertelt dat hij 3 kinderen heeft. Lord Daemon vraagt daarop geinteresseerd hoe oud die kinderen dan zijn. Hierop zei Diadem:
1. Het product van de leeftijden van mijn kinderen is 36.

Dit wis echter niet genoeg info voor Lord Daemon. Daarop gaf Diadem hem een tweede hint:
2. De som van de leeftijden is jouw huisnummer.

Zelfs deze hint is niet genoeg. Hierop geeft Diadem weer een hint:

3. Mijn oudste is zo oud als jouw jongste was toen zij haar been brak.

Nu weet Lord Daemon het antwoord.

Hoe oud zijn de drie kinderen van Diadem?

36: 6 x 3 x 2 of 9 x 2 x 2 of 3 x 12 x 1 of 9 x 4 x 1 of 6 x 6 x 1 of 36 x 1 x 1 of 18 x 2 x 1 of 12 x 3 x 1
9,2,2 en 6,6,1 geven allebei 13, dan kan LD dus geen antwoord geven (hij woont dus op 13)
bij 3 weet LD dus dat er een oudste moet zijn, en dat dus 9,2,2 het antwoord moet zijn.

[PhysicsRules]

FCA schreef op 27 november 2002 @ 18:53:
[...]

36: 6 x 3 x 2 of 9 x 2 x 2 of 3 x 12 x 1 of 9 x 4 x 1 of 6 x 6 x 1 of 36 x 1 x 1 of 18 x 2 x 1 of 12 x 3 x 1
9,2,2 en 6,6,1 geven allebei 13, dan kan LD dus geen antwoord geven (hij woont dus op 13)
bij 3 weet LD dus dat er een oudste moet zijn, en dat dus 9,2,2 het antwoord moet zijn.

Dat is correct

Heb je dit uit je hoofd gedaan? (Gewoon even interesse).

[Lord Daemon]

Bizarre gesprekken heb ik toch met die Diadem.

[Verwijderd]

Ik heb nog een ander raadsel. Wel moet ik erbij vertellen dat het redelijk lastig met de computer is op te lossen. Ikzelf heb het 1 keertje geprobeerd en een aantal antwoorden gekregen (waaronder schijnbaar het goede).

Er zijn twee getallen: s en p. s is de som van twee andere getallen a en b en p is het produkt van a en b. Voor deze twee getallen geldt: 1 <= a <= 100, 1 <= b <= 100 en a < b.

Persoon S krijgt getal s te horen en persoon P krijgt getal p te horen. De personen weten dat ze resp. de som en het produkt te horen hebben gekregen, maar niet wat de som/produkt daadwerkelijk is. Er ontstaat een discussie:
Persoon S zegt: ik weet niet uit welke twee getallen mijn som is opgebouwd.
Persoon P zegt: ik weet ook niet uit welke twee getallen mijn produkt is opgebouwd.
Persoon S zegt: Oh, dan weet ik het nu wel.
Persoon P zegt: Oh, dan weet ik het nu ook.

Welke getallen a en b (a+b=s, a * b = p), zijn de getalllen waarvan S de som hoorde en P het produkt?

[FCA]

PhysicsRules schreef op 27 november 2002 @ 19:59:
[...]

Dat is correct

Heb je dit uit je hoofd gedaan? (Gewoon even interesse).

Nou ja, met pen en papier.
Niet met Mathematica ofzo.

[Jace / TBL]

Okee, ik weet er ook eentje. Een speciale loterij werkt als volgt: iedere deelnemer kiest een positief geheel getal. De winnaar is degene met het kleinste getal dat niet ook door een ander is gekozen.

Een erg laag getal (zoals 1, 2 of 3) kiezen heeft dus geen zin, omdat er waarschijnlijk nog een hoop anderen zijn die ook zo'n getal kiezen. Of is het daarom juist weer wél verstandig, omdat volgens die redenering toch niemand die getallen kiest..?

Wat zou een slimme taktiek zijn? Welk getal zou jij kiezen bij, laten we zeggen, 1000 deelnemers?

[Diadem]

Verwijderd schreef op 04 december 2002 @ 12:02:
Ik heb nog een ander raadsel. Wel moet ik erbij vertellen dat het redelijk lastig met de computer is op te lossen. Ikzelf heb het 1 keertje geprobeerd en een aantal antwoorden gekregen (waaronder schijnbaar het goede).

Er zijn twee getallen: s en p. s is de som van twee andere getallen a en b en p is het produkt van a en b. Voor deze twee getallen geldt: 1 <= a <= 100, 1 <= b <= 100 en a < b.

Persoon S krijgt getal s te horen en persoon P krijgt getal p te horen. De personen weten dat ze resp. de som en het produkt te horen hebben gekregen, maar niet wat de som/produkt daadwerkelijk is. Er ontstaat een discussie:
Persoon S zegt: ik weet niet uit welke twee getallen mijn som is opgebouwd.
Persoon P zegt: ik weet ook niet uit welke twee getallen mijn produkt is opgebouwd.
Persoon S zegt: Oh, dan weet ik het nu wel.
Persoon P zegt: Oh, dan weet ik het nu ook.

Welke getallen a en b (a+b=s, a * b = p), zijn de getalllen waarvan S de som hoorde en P het produkt?

Ehm..

De som ligt tussen 3 en 199. Het produkt tussen 2 en 9900.

Het enige wat je weet na S zijn opmerking is dat de som het niet 3, 4, 198 of 199 is. Nee P's opmerking weet je tevens dat het produkt niet 2 is, of 3, of 5 (of een ander priemgetal is), of soortgelijke getallen. (4 en 49 bijvoorbeeld kunnen ook niet)

En dan ineens weet S het wel. S weet dus een lijst van getallen die het produkt niet is, en hij weet de som. Hieruit kan hij het antwoord halen. Stel dat de som 5 was, dan weet S dat a=2,b=3 of a=1,b=4. P is dan resp 6 en 4. Als P=4 echter dan had P al geweten dat a=1,b=4 (want a=b=2 mag niet). Dus dan is P=6, en a=2,b=3.
P weet het getal 6, en weet nu dat S het weet. Maar in geval van a=1 en b=6 zou S als som 7 gehad hebben, en dan zou hij het niet geweten hebben. Dus weet P het nu ook.

a=2, b=3 is een mogelijkheid.

Ik heb geen zin om exclusiviteit te bewijzen, maar aangezien het aantal mogelijke verschillende manieren waarop je tot een som kunt komen groeit naarmate de som groter wordt, moet er weinig fantasie voor nodig zijn om te kunnen vermoeden dat er nooit veel andere oplossingen kunnen zijn.

[edit]
Ik heb een waarlijk schitterend bewijs gevonden voor het feit dat bovenstaande oplossing uniek is. Helaas is deze edit te klein om dit bewijs te kunnen bevatten.

[ Voor 5% gewijzigd door Diadem op 04-12-2002 13:20 ]