[Wiskunde]

[Verwijderd]

hhmmmm ik heb m'n kop wel in een wespennest gestopt, merk ik.. Maar goed ik denk gewoon logisch na en daarmee kom ik uit op wat ik beweer

[Verwijderd]

Op donderdag 01 november 2001 16:40 schreef LAuWe het volgende:
je kunt toch nooit de helft van iets pakken, zodat het niets is, dat kan toch niet.......

Je kan ook niet oneindig vaak pakken. Het komt misschien als een schok voor je maar wiskunde en de realiteit zijn 2 verschillende dingen en als je oneindig gebruikt gaat de vergelijking niet meer op...

Daarom pleit ik ook voor minder gebruik van oneindig in de natuurkunde.

[Verwijderd]

Op donderdag 01 november 2001 16:41 schreef Oracle het volgende:
hhmmmm ik heb m'n kop wel in een wespennest gestopt, merk ik.. Maar goed ik denk gewoon logisch na en daarmee kom ik uit op wat ik beweer

Het komt misschien als een schok voor JOU maar jouw logica leidt tot verkeerde conclusies... Sterkte met de rest van je leven... (geintje hoor )

[FCA]

Ik ben nu 2e-jaars Sandalf....

In de wiskunde is afgesproken dat als iets willekeurig dicht naar iets anders nadert, ze gelijk zijn.

Deze afspraak is heel fundamenteel in de wiskunde, zij vormt de basis van integreren, differentiëren etc. (tenminste, dat op een wiskundig juiste manier doen).
Dus als iets "oneindig dicht" nadert, maar toch niet helemaal, dan zegt de wiskunde dat ze gelijk zijn. Iets anders afspreken is mogelijk, maar levert talloze problemen op. Merk ook op dat deze afspraak correspondeert met de echte wereld. De paradox van Zeno wordt hiermee opgelost, en Achilles zou in de echte wereld de schildpad inhalen.

[Termy]

net gehad met wiskunde, het klopt, het wordt 2. de rij (zo heet het namelijk gewoon ) divergeerd maar als je het ZO stelt wordt het 2.... je moet het anders doen om te bewijzen dat hij divergeerd (=naar oneindig gaat) geen zin om dat hier uit te schrijven....

[Confusion]

Termy schreef:
net gehad met wiskunde, het klopt, het wordt 2. de rij (zo heet het namelijk gewoon ) divergeerd maar als je het ZO stelt wordt het 2.... je moet het anders doen om te bewijzen dat hij divergeerd (=naar oneindig gaat) geen zin om dat hier uit te schrijven....

Ah toe, dat is juist leuk

[Verwijderd]

Op donderdag 01 november 2001 19:52 schreef FCA het volgende:
Ik ben nu 2e-jaars Sandalf....

In de wiskunde is afgesproken dat als iets willekeurig dicht naar iets anders nadert, ze gelijk zijn.

Deze afspraak is heel fundamenteel in de wiskunde, zij vormt de basis van integreren, differentiëren etc. (tenminste, dat op een wiskundig juiste manier doen).
Dus als iets "oneindig dicht" nadert, maar toch niet helemaal, dan zegt de wiskunde dat ze gelijk zijn. Iets anders afspreken is mogelijk, maar levert talloze problemen op. Merk ook op dat deze afspraak correspondeert met de echte wereld. De paradox van Zeno wordt hiermee opgelost, en Achilles zou in de echte wereld de schildpad inhalen.

het is dus een afspraak, niet theoretisch dus

Ik blijf het proberen

[FCA]

Op donderdag 01 november 2001 21:42 schreef Oracle het volgende:

[..]

het is dus een afspraak, niet theoretisch dus

Ik blijf het proberen

*diepe zucht*
*haal adem*
*tel tot 100*

Het is een afspraak ja. Net zoals alles een afspraak is.
Je kunt afspreken dat het antwoord op de reeks Flieperdeflap is, en, behalve dat ze je uitlachen, kan niemand dat ontkrachten. Je hebt het namelijk zo gedefiniëerd.
Maar, het is niet practisch. De afspraken binnen de wiskunde zijn zo, omdat ze resultaten geven waar we wat mee kunnen. Als 1 plus 1 23 zou zijn, zouden normale mensen hun schouders ophalen, en wiskundigen binnen een dag allemaal op straat staan. Wiskundige afspraken zijn zo gekozen omdat ze werken, en de kloppen met de "werkelijkheid" van mensen.

semi-off-topic:
Zeg Lord Daemon, waar blijft dat stuk over "Infinity and the Mind" nou? Lijkt mij wel enigszins relevant...

[pep_82]

Echt ff een topic om je hoof op te breken. Maar wat is het nou? Als je het uit zou schijven kom je volgens mij niet op twee uit, je komt wel heel dichtbij, de asymptoot. Maar als je die afspraak aanhoudt is het gewoon twee. Wat is nou de oplossing? Ik snap er telkens minder van.

Nog ff over die fles, dat is dus wel eindig volgens mij. Want je massa houdt een keer op. Of moet moleculen splitsen naar atomen en atomen in weer kleinere deeltjes (quarks??) Weet niet meer, heb maar havo gedaan krijg je die theorie niet, best jammer eigenlijk. Het houdt dus een keer op je kan niet in het oneindige splitsen? Of toch wel? Ik zet mezelf voor een dilemma wordt gewoon helemaal gek hier.

[Lordy79]

Okee, hier het antwoord...

X = 10

Y = X / 9

dus Y = 1,111111111111111111111111111111111111111111111... etc

vraag:
wat is 9 * Y

is dat 9,999999999999999999999999999... etc ? (dus is het 10 minus [oneindig klein getal] ?

of is het gewoon 10 ?

Ik weet ZEKER dat het 10 is.

[Verwijderd]

Op donderdag 01 november 2001 20:59 schreef Termy het volgende:
net gehad met wiskunde, het klopt, het wordt 2. de rij (zo heet het namelijk gewoon ) divergeerd maar als je het ZO stelt wordt het 2.... je moet het anders doen om te bewijzen dat hij divergeerd (=naar oneindig gaat) geen zin om dat hier uit te schrijven....

Dat is verrassend. Vroeger convergeerden rijen nog wel eens. Dat deze nou ook al divergeert. Die wiskunde heeft de laatste tijd op het voortgezet onderwijs een hele ontwikkeling doorgemaakt.

[FCA]

Op donderdag 01 november 2001 22:25 schreef Proost het volgende:

[..]

Dat is verrassend. Vroeger convergeerden rijen nog wel eens. Dat deze nou ook al divergeert. Die wiskunde heeft de laatste tijd op het voortgezet onderwijs een hele ontwikkeling doorgemaakt.

Deze convergeert toch echt wel hoor.
Kan het vast wel bewijzen met Cauchy rijen, maar daar heb ik nu geen zin, en het is ook behoorlijk zinloos, want de mensen die het bewijs snappen, weten het al....

[Tourniquet]

deze thread gaat ook hierover (is ook erg leuk):

[topic=121593/1/50]

[Lordy79]

Op donderdag 01 november 2001 22:33 schreef Tourniquet het volgende:
deze thread gaat ook hierover (is ook erg leuk):

[topic=121593/1/50]

sssst....... Daar had ik mijn verhaal min of meer van gekopieerd...

[Tourniquet]

Op donderdag 01 november 2001 22:43 schreef Lordy79 het volgende:

[..]

sssst....... Daar had ik mijn verhaal min of meer van gekopieerd...

oeps, sorry

[Lord Daemon]

Zeg Lord Daemon, waar blijft dat stuk over "Infinity and the Mind" nou? Lijkt mij wel enigszins relevant...

Is het ook! Je had beter ff kunnen ICQ-en natuurlijk dan hopen dat ik dit toevallig zag, maar ok. Ten eerst mensen: Sandalf heeft helemaal gelijk. Als je het wil zien als asymptoot mag dat - maar bedenk dat een asymptoot in het oneingige wel de waarde bereikt waar hij naar toe gaat. Dat is het hele eieren eten met asymptoten, ze zijn bij iedere eindige waarde nog steeds niet gelijk aan de waarde waar ze naar toe gaan, maar in het oneindige wel.

En nu mijn Infinity and the Mind-paper, op verzoek. Ik moet wel zeggen dat niet alles hier even relevant is, maar wel de vraag of er al dan niet oneindige actualiteiten bestaan heb ik hier zien langs komen. (Sandalf, als jij nou ook ff je paper post - we hadden allebei een 8 dus ze moeten even goed zijn )

-----------------------------------------------

<font size=+1>Actualities, Possibilities and the Philosophy of the Infinite</font>


A paper for CS Logica 2: Infinity and the Mind

By Victor Gijsbers


All human knowledge is either experience or mathematics.
- Friedrich Nietzsche, The Will to Power, book III

Overview

In this paper I wish to explore the idea that infinities in mathematics, though they cannot be conceived of as corresponding with any actuality, can be thought of as corresponding with possibilities. I will start by showing that mathematics must accept the correspondence-criterion for truth if it wishes to be fact instead of fiction; criticizing Ruckers ideas of infinite actualities, Ill try to show that these do not exist. Finitism can be seen as the mathematics of actualities. Non-finitist mathematics must be defined as a mathematics of possibilities if it wishes to have any explanatory power. But when seen as possibilities, mathematical objects cannot be said to exist in any reality unless constructed as mental image (intuitionism) or as string of signs (formalism); therefore, a Platonist view of mathematics is only possible with a mathematics that has no connections with reality, which makes Platonic mathematics the equal of fiction.

Introduction

Mathematicians, physicists and philosophers alike have discussed the infinite for centuries. Is infinite a clearly defined notion? Are there any physical entities that are infinite? Is our Universe infinitely large? Does time have a beginning or an end? Can thoughts be infinite? Is it meaningful to speak about infinite numbers? Can a calculus that uses infinite numbers be called true? In this paper I will be primarily concerned with the justification of non-finitist mathematics; Ill try to find out if there is a difference between that kind of mathematics and fiction.
Different schools of thought in the philosophy of mathematics have given different answers to the questions concerning mathematical infinities. In this paper I will look at a few of them: finitism, intuitionism, formalism and Platonism. Finitism claims that no infinities are allowable in mathematics. Intuitionism claims that infinities are allowable, but only if they are potentially constructible by human minds. Formalism claims that infinities are meaningful as long as they can be constructed as finite sequences of signs and have a definite role in a well-defined formal system. Platonism allows infinities while claiming that they are real, independent of construction.
The first question to be answered is whether any statement about the infinite can be said to be true. But what exactly do we mean with true?

Truth or Fiction?

There are three major ways of looking at truth. We can call a proposition P true when it corresponds to a fact in reality; we can call P true when it is consistent with a set of other propositions; and we can call P true when it is favorable to do so. I will not explore the latter, pragmatic, view here.
The consistency-criterion is much used. A statement like Lucifer and Beelzebub lay next to each other in the fiery lake can be said to be true in the context of Miltons Paradise Lost; it is consistent with everything we read there, and its negation is inconsistent with Miltons words. In the same way Lucifer is beloved by God would be false, since the poem shows Lucifer as a fallen angel whom is most certainly not beloved by God. The procedure for getting these truths is as follows: we have a certain number of axioms, the sentences of Paradise Lost. If either proposition P logically follows from these axioms and its negation does not, or if proposition P is consistent with the axioms and its negation is not, we call P true. It is possible to formalize this procedure to a mathematical system; taking a number of axioms, we can try to show that a certain proposition is either true or false.
However, the kind of truth we get this way is exactly the same kind of truth we get in the framework of fiction. I therefore think it is allowable to consider this kind of mathematics, that is, mathematics based on the coherence-criterion for truth, as a kind of fiction. Most people feel, as I do, that truths about fiction are not the truest kind of truths; statements that are really, objectively, true, are true by virtue of their correspondence with actual facts. If mathematics wishes to escape from the realm of fiction and enter the realm of fact, it must accept the correspondence-criterion for truth.
The correspondence-criterion states that a proposition P is true if and only if it corresponds to a fact. There are two kinds of facts: actualities, those things that really happen, and possibilities, those things that could conceivably happen.

Actualities

I define an actuality as anything existing as a complete and concrete, definite, fact (as distinguished from potential or possible). (See Thompson, 1999) Thus, my house is an actuality, whereas my house will collapse tomorrow is not an actuality but a possibility. Two classes of actualities can be distinguished: physical actualities (houses, trees, atoms, photons) and mental actualities (thoughts, desires). Though it is my conviction that all mental actualities are in fact physical actualities, in this discussion I will not assume that this is the case.

It is obviously possible to create a mathematics that is based on what is actual. Finite calculus, for instance, can be based on the physical properties of objects; if you put one object and another object together, youve got two objects; if you divide those two objects between two people, each has one object. Addition, multiplication and other such operations, when working on finite sets, can be seen as an abstraction from the realm of physical actualities.

Finite geometry is another example of mathematics based on physical actualities; in this case, were talking about an abstraction from such physical activities as measuring land. (See Husserl, 1936, for a defense of this view.)

What we are concerned with, however, is the question whether the manipulation of infinite sets, and of infinitesimals, can be founded on observations of physical or mental actualities. Rucker assumes that physical and mental infinities are possibly, if not provably, observable, but I wish to argue for the position that no actuality is infinite.

Infinite Actualities

Physical infinities can only exist if either space or time is infinite; physical infinitesimals can only exist if either space or time is (in principle) observable as a continuum. In the next few subsections Ill try to show that it is very likely that space and time are both finite and only discretely observable.

The Infinite

We do not know if there are any other Universes. There may be; there could be infinitely many of them. But these Universes would, by definition, be beyond our perception; we could never know anything about them. They cannot possibly influence anything in our Universe; so I conclude that their existence could not possibly influence my arguments, and Ill restrict myself to our own Universe.

One of the most certain theories in modern cosmology is the Big Bang theory; one would almost be tempted to paraphrase Dobzhansky and say: Nothing in cosmology makes sense except in the light of the Big Bang.1 This theory tells us that, somewhere between 10 and 15 thousand million years ago, our Universe began to exist. From a very tiny, very dense, very hot spot, it exploded and became the huge Universe we see today. We do not need to worry about the myriad of technical details of Big Bang Cosmology; the important facts are that a) the Universe is finitely old and b) the Universe is finitely large. It should be noted that the popular notion that the Universe started as a singularity is in fact false; at the first point we know about, the Universe was already the Planck-length across, some 1.5 * 10-33 meters.

We know, consequently, that neither time nor space is at this moment infinite. But what about the future? There are three major possibilities: a) the Universe will stop expanding at some finite time t, will start collapsing, and will end in a Big Crunch, b) the Universe will expand forever and ever, or c) the expansion of the Universe will become slower and slower, and will asymptotically go to zero. Current astronomical observations have made it very likely that c) is the case: in the limit to infinity, the Universe will stop expanding, and will become static. But doesnt this mean that there are indeed infinite actualities? Doesnt it mean that physical objects could exist forever?

No, not really. For time doesnt mean anything, cannot be physically measured, unless something happens. However, before infinity is reached, things will stop happening. The entropy of our Universe can never decrease; this is the Second Law of thermodynamics. When the Universe starts expanding at a slower and slower rate, the maximum amount of entropy in the Universe will stop increasing. In a finite time, a state will be reached where the entropy of the Universe is at its maximum; nothing will happen anymore. The total amount of energy in the Universe is fixed; as the size goes to infinity, the amount of energy per volume goes to zero. In the limit there will be only single particles, not interacting anymore, in a Universe without change. Radioactivity will no longer exist, for all radioactive substances will already have decayed. All protons will have decayed. Only stable particles will populate an otherwise dead Universe; not even black holes will exist anymore, for they have evaporated. In this Universe, the passage of time no longer has a meaning; one moment will be indistinguishable from the next; therefore, they will be the same. Distance stops being a meaningful concept, for all forces are zero. In the limit of infinite time, time stops being meaningful. No actualities can be said to exist forever.

The Infinitesimal

Yet what about the infinitesimal? Are time and space not continuous? No; quantum physics shows that all phenomena are in fact discrete phenomena. Any physical system evolves in time with quantum jumps, discrete, instantaneous changes in the wave function that describes the system. This was predicted theoretically when quantum mechanics was first formalized, and it has been verified experimentally.

A second result of quantum mechanics is that there is an inaccuracy in every measurement. This is not just an experimental limitation, but a fundamental fact about reality. Neither space nor time can ever be measured to an infinite precision; not by us, and not by any other physical system. It therefore seems rather meaningless to claim that objects in space-time are well defined on a continuum of points.

Though it might in theory be possible for an object to be on a continuum of points, no actuality is ever well defined on a continuum of points. The space-time continuum, therefore, is only a continuum of possible locations for actualities, and not a continuum of actualities themselves.

The last possibility of an infinity of actualities seems to lie in an infinite cascade of smaller and smaller particles; if any particle consists of smaller particles, there must be an infinity of particles. There are two ways to criticize this assumption: the first is that particles such as quarks cannot exist independently; they always must form bigger particles with other quarks, they just dont fly around by themselves. This makes it very dubious whether quarks, let alone smaller particles, can be thought of as actualities. The second critique is that there is no scientific reason at all to believe that there will always be smaller particles than the ones known. This is an empty assumption, and we do not need to bother with it until it is in some way (experimental or theoretical) justified.

Infinite Thoughts

Moving from the physical world to the mental world, we will now look at the existence of infinite thoughts, desires or other mental phenomena. It should be noted that a possible thought is not an actuality; only a thought that is actually thought is an actuality. Actual thoughts depend on actual minds. Can finite minds think infinite thoughts? An infinite thought, if it is to be entirely definite, has an infinite complexity. It is of course possible to think about a sequence such as 1, 2, 3, ... ω, but this sequence is not entirely definite, as evidenced by the appearance of three dots between the 3 and the ω. Since an actuality must, by definition, be definite, an infinite actual thought must be infinitely complex; if it is thought of in a finite way it loses part of its definiteness.

If a finite mind can think infinite thoughts, it must think not entirely definite versions of them that are not infinitely complex; for to think an infinitely complex thought, ones mind must be infinitely complex itself, and thus infinite. The existence of infinite actual thought is therefore dependent on the existence of infinite minds. Do infinite minds exist?

Not as far as we know. The human mind seems to be finite. A possibility is of course God; by definition She must have an infinite mind, if She exists. A detailed analysis of the concept of God requires much more space than I can provide here, but it seems pretty clear that there is currently no known way to prove the existence of god by any logical argument. An appeal to faith, though it might have some significance in mystical thought, has no use here: of course its possible to prove that infinite actualities (in this case Gods thoughts) exist if you postulate the existence of an infinite actuality (God); but that is not allowable when we try to find out, scientifically, whether infinite actualities do or do not exist.

I conclude that there is no reason to accept the existence of any infinite actualities, physical or mental. There might be, but we do not know for certain, and we do not think it likely; so well be prudent and assume that there are no infinite actualities.

Finitism

What does this mean for mathematics? As we have seen in the section Truth or Fiction? mathematics must base itself on some aspect of the real world if it wishes to be more than fiction. A mathematician might, therefore, wish to base mathematics on actualities, physical or mental. But as no infinite actualities exist, this mathematics cannot feature any infinities either. Finitist mathematics, therefore, can be seen as mathematics based on actualities. The finitist tries to describe what is real, what is actual, and for this he needs no infinities. In fact, any infinities will arouse suspicion in him; what would you need those for?

I conclude that finitism is the only reasonable mathematics for a mathematician who wishes to limit himself to actualities! Finitist mathematics should in principle be enough for physics - or should it? Physical theories do not limit themselves to actualities. It is for instance very physical to claim that sugar is soluble in water. This is true for any bit of sugar; regardless of whether it ever comes in contact with water. Physics, therefore, does not only talk about actualities. It also talks about possibilities: If situation A were to arise, B would happen. In the next section well see that possibilities can in fact be infinite. Finitist mathematics might be too limited even for physics.

We may not wish to limit mathematics itself to the finite. Large parts of existing mathematics work with infinities, and we would like to find something in the true world that these mathematics might be said to describe. We do want, after all, that mathematics is different from fiction. And in fact, infinities can be found in reality; not as actualities, but as possibilities.

Possibilities and the Infinite

Thompson (1999) argues that mathematics is intimately connected with the question of `possibilities'. According to him, this is often ignored due to the popularity of extensional semantics, which claims that the meaning of any mathematical property is precisely the set of all objects which have that property. However, extensional semantics has one problem: it assumes from the outset that the things it talks about are eternal; that they cannot be created or destroyed. In the real world, however, those kinds of changes do happen.

Suppose for instance that Im going to write a paper about ants tomorrow, and that you too are going to write a paper about ants tomorrow. From this I conclude that together we will have two papers about ants tomorrow. But if I strictly adhered to extensional semantics, I would face a problem. Neither the set of my papers about ants, nor the set of your papers about ants exists presently. (Or rather, they are both the empty set.) How could I use set theory on sets that do not actually exist? How could I add non-existent sets, and claim to know what is the result of that addition?

There is a way around this problem. We must interpret the statement

If X and Y are two disjoint finite sets, then the number of elements in their union, , is the sum of the number of elements in X and in Y,

as a statement about possible sets; whenever X and Y are two disjoint finite sets, then the number of elements in their union will be the sum of the number of elements in X and in Y. A mathematical theory that wishes to be able to describe reality must be able to talk about possibilities, and not just about what already exists.

Now that we know that mathematics and possibilities are closely linked, we must find out whether there are any infinite possibilities. It certainly seems there are. Though it cannot be measured even in principle, it seems at least possible that a particle can be on a continuum of points; that, in other words, there are infinitely many possible places for a particle to be in an finite part of space. If we agree to this, many quantities are seen to have infinitely many possible values: velocity, kinetic energy, potential energy, etcetera.

Infinities are, therefore, needed to describe real possibilities. A mathematics that uses infinities can indeed be more than fiction; it can take its axioms from the real world as easily as finitist mathematics. What influence has this conclusion on the three most important philosophical positions in mathematics, namely intuitionism, formalism and Platonism?

Intuitionism

Time, as a moving process, is intuited by the human mind. When it is seen that there is a before and an after, the mind has constructed a two-ity; from this fundamental two-ity all the mathematics of natural numbers can be formed. There is nothing wrong with infinities, as long as we see that they are potential, not actual. This is, very much simplified, the way that Brouwer though about mathematics.

Whether or not time is the basis for mathematical intuition, and whether or not an intuition can constitute knowledge, is beyond the scope of this paper. What concerns us here is the intuitionists idea about infinity. He claims that infinities are not actual, but potential: they are not constructed, but they might be constructed. We can certainly agree with the first part, there are no actual infinities. But whether or not infinities can be constructed seems more dubious. I think it is justified to assume that Brouwer means that infinities can potentially become actualities: they are not constructed yet, but might be constructed at an infinitely removed later time. If, as I argued, no actual infinities can exist even in the limit to infinite time, this view is false. Infinities are not actual, but they are not potential either: they could never be constructed; they are sets of possible actualities (or sets of sets of possible actualities), not possible sets of actualities.

An intuitionist can easily change his position to one compatible with my conclusions on mathematical infinities; he has to accept possibilities, not merely actualities, as things which can be intuited. But if he does not do so, and still talks about infinities, he is just telling fiction.

Formalism

A mathematical theory is based on a number of axioms, and rules to manipulate those axioms. Basically, mathematics is the theory of sign-conventions; but one can create axiomatic systems that correspond with reality. This is, simplified, the philosophy of formalism.

Formalism does not really need a justification; as the theory of manipulating strings of signs, it makes no claim to truth or reality. However, the question is whether formalistic mathematics could ever describe reality; whether it could make a claim to be true. The answer to this question is, I think, affirmative. Since mathematics can be based on real possibilities, it is possible to create a set of axioms that, when interpreted, are true about these possibilities. One can then use these axioms as the basis for a mathematical theory. When interpreted, the results of this theory will again correspond to real possibilities.

As long as the one who uses formalistic mathematics is careful not to interpret his results as statements about actualities, but as statements about possibilities, there is no problem with his approach to mathematics or his claim for truth.

Platonism

Mathematics is about real things; not physical actualities, but about objects in an eternal and unchanging realm of ideals. Mathematics is not a process of invention, but a process of discovering these eternal truths. This is, again simplified, the basic supposition of Platonism (in mathematics).

However, we saw in the section on possibilities that a mathematics that limits itself to existing sets is too limited to be able to describe our changing reality. Under the assumption that Platonism is correct, we cannot interpret a mathematical statement as a statement about possibilities; it must be a statement about actualities. Thus its axioms could be justified by observing reality; but only in the case of finite mathematics. Infinite actualities do not exist in our physical or mental observation, so any statement about infinities, if it is to correspond with something in the observable world, must be about possibilities and not about actualities.

But Platonism can only talk about actualities, for it talks about actual objects; and it talks about infinities too. From this we must conclude that Platonist mathematics cannot be justified by observing reality; there is no way to show that it is any different than fiction. Platonism has no connections with reality; therefore it is fiction.

Conclusion

Intuitionism, when properly formulated, and formalism, when properly interpreted, are both philosophies of mathematics than can rightfully claim that their subject matter is something different from fiction. They can talk about infinities because these statements can be interpreted as statements about possibilities. Finitism is the mathematics of actualities, and as such terribly limited, if well-justified. Platonism, on the other hand, severs all connections with reality. It cannot claim that its mathematics is any different from fiction.

Notes

1 Theodosius Dobzhansky once made the much-quoted statement: "Nothing in biology makes sense except in the light of evolution."

Literature

Bransden, B. H. & Joachain, C. J., Quantum Mechanics, 2nd edition, 2000, Prentice Hall
Danzig, D. van, Is a finite number?
Dieks, D. Inleiding in de grondslagen van de natuurkunde: struktuur en betekenis van fysische theorieën, 1997, Utrecht University
Hawking, S., A Brief History of Time, 1988, Bantam Books
Husserl, Vom Ursprung der Geometrie,1936
Milton, J., Paradise Lost, 1667
Nietzsche, F., The Will to Power, 1968, Vintage, New York (Translated from German)
Oppy, G., Gödelian Ontological Arguments, 1996, Analysis 56
Rucker, R., Infinity and the Mind, 1995, Princeton Science Library
Sakurai, J. J., Quantum Mechanics, Revised Edition, 1994, Addison-Wesley Publishing Company
Thompson, I., Philosophy of Nature and Quantum Reality, 1999, (http://www.ph.surrey.ac.uk/~phs1it/papers/pnb/node2.html)


--------------------------------------------

Kijk maar of je het geduld hebt 't te lezen. Liefhebbers van de Word-versie mogen mij mailen op [e-mail]

[Lord Daemon]

Is het zo heftig dat meteen niemand meer durft te posten?

[p_m]

Op donderdag 01 november 2001 15:18 schreef Blackwater het volgende:

[..]

Daar ben ik het dus niet mee eens.
Je komt idd oneindig dicht bij 2, maar nooit op exact 2!

Als je eindig keer opteld kom je niet exact op 2, maar er dicht tegen aan.
Maar: als je oneindig keer opteld kom je exact op 2 uit! Snappie?

[p_m]

Op donderdag 01 november 2001 22:19 schreef Lordy79 het volgende:
Okee, hier het antwoord...

X = 10

Y = X / 9

dus Y = 1,111111111111111111111111111111111111111111111... etc

vraag:
wat is 9 * Y

is dat 9,999999999999999999999999999... etc ? (dus is het 10 minus [oneindig klein getal] ?

of is het gewoon 10 ?

Ik weet ZEKER dat het 10 is.

Ja... eindelijk iemand die het ff duidelijk uitlegt!

[BlizzarD]

zoiets had ik laatst ook met mijn wiskunde leraar. 4.99999999-> is 5!

10x 49.99999999
1x 4.99999999
--------------- -
45:9 = 5

wat er gebreurd is dat de 9s tegen elkaar wegvallen, en je dus wel een rond getal over houd

[Verwijderd]

Op donderdag 01 november 2001 15:16 schreef Blackwater het volgende:
Het zit hem idd in die etc.

Als je een liter hebt en je gooit de helft weg, heb je een halve liter.

Gooi je weer de helft weg, heb je de helft van de helft (= 1/4)

Als je steeds de helft blijft weggooien, raakt de fles dan leeg?

in praktijk, ja, na 3x gooien bij mij al zelfs
in theorie? Nee, de helft van de helft van de helft van de helft (en ga zo maar door) wordt nooit nul,

hetzelfde is hier dus aan de hand, dit zal NOOIT 2 worden, maar eindigen in een oneindig getal (uuuhm... ojah, is wel waar )

[Lord Daemon]

Een getal met oneindig veel decimalen is <font size=+2>niet</font> een oneindig getal!

Zo, hebben we dat ook weer gehad. En de limiet van 1 +1/2+1/4+1/8+... is dus echt wel exact gelijk aan 2 - het is immers een limiet.

[Verwijderd]

Op zaterdag 03 november 2001 14:58 schreef Lord Daemon het volgende:
Een getal met oneindig veel decimalen is <font size=+2>niet</font> een oneindig getal!

Zo, hebben we dat ook weer gehad. En de limiet van 1 +1/2+1/4+1/8+... is dus echt wel exact gelijk aan 2 - het is immers een limiet.

Jaaahh, er begint mij weer iets te dagen, volgens mij heb ik dat jaren geleden bij kwantitatieve methoden voorgeschoteld gekregen.

Moet nog steeds die paper ff doorlezen, ik vind het nu eigenlijk wel interessant, maar op de uni.

[Verwijderd]

Op donderdag 01 november 2001 15:40 schreef Blackwater het volgende:
OK, die asymtoot is idd een goede manier om mijn standpunt te verdedigen, tx!!


Maar nu die fles dan van een zooi postings omhoog (en dan niet op de SK-beperkingen letten ):
[..]

Wat ben jij een eigenwijze kerel zeg, iedereen legt je hier uit dat het idd echt 2 is en jij blijft maar zanikken dat het oneindig dicht bij 2 komt...Als je niks geleerd wil krijgen vraag er dan ook niet om. Die mensen die je hier iets proberen uit te leggen studeren wis of natuurkunde en snappen het m.i wel aardig.

[p_m]

Als je oneindig keer de helft eraf haalt krijg je een oneindig klein getal. Maar dit is nooit gelijk aan 0.

[BlizzarD]

Op zaterdag 03 november 2001 19:15 schreef p_m het volgende:
Als je oneindig keer de helft eraf haalt krijg je een oneindig klein getal. Maar dit is nooit gelijk aan 0.

nope maar het wordt wel verschrikkelijk klein

[Lord Daemon]

Als je oneindig keer de helft eraf haalt krijg je een oneindig klein getal. Maar dit is nooit gelijk aan 0.

Ok, nu ga ik het echgt wiskundig aanpakken. Als de limiet van f(t) van boven naar 0 gaat betekent dat dat voor ieder positief getal a er een getal b is zo dat f(t) < a voor elke t > b. Dat begrijp je? Met andere woorden: voor ieder getal a dat bij 0 in de buurt ligt is er een waarde van t, namelijk b, waarna de grafiek altijd onder a ligt.

Stel nu dat de limiet nooit 0 bereikt. Dan moet (omdat R een continuum is) er een getal c heel dicht bij 0 zijn zo dat f(t) altijd groter is dan c. Maar de definitie van een limiet zegt juist dat er vor ieder getal a een plaats b is waarna f(t) kleiner is dan a. Als je dus aanneemt dat c bestaat krijg je een contradictie. Conclusie: c bestaat niet. Conclusie: de limiet bereikt 0 exact.

[Verwijderd]

Op zaterdag 03 november 2001 19:35 schreef Lord Daemon het volgende:

[..]

Ok, nu ga ik het echgt wiskundig aanpakken. Als de limiet van f(t) van boven naar 0 gaat betekent dat dat voor ieder positief getal a er een getal b is zo dat f(t) < a voor elke t > b. Dat begrijp je? Met andere woorden: voor ieder getal a dat bij 0 in de buurt ligt is er een waarde van t, namelijk b, waarna de grafiek altijd onder a ligt.

Stel nu dat de limiet nooit 0 bereikt. Dan moet (omdat R een continuum is) er een getal c heel dicht bij 0 zijn zo dat f(t) altijd groter is dan c. Maar de definitie van een limiet zegt juist dat er vor ieder getal a een plaats b is waarna f(t) kleiner is dan a. Als je dus aanneemt dat c bestaat krijg je een contradictie. Conclusie: c bestaat niet. Conclusie: de limiet bereikt 0 exact.

het zit je wel hoog he

[Lordy79]

Op zaterdag 03 november 2001 19:49 schreef Oracle het volgende:

[..]

het zit je wel hoog he

gelijk heeft ie... iets vragen en dan antwoord krijgen is prima. Dan eigenwijs zijn is ook nog acceptabel maar als je als een klein kind blijft jengelen dat het NIET zo is, begint enigzins irritant te worden.

Het is op zich geen makkelijke stof (het wordt overigens in VWO-5 wiskunde B uitgelegd dus ZO extreem moeilijk is het ook weer niet) maar ga niet roepen dat het NIET zo is als heel veel anderen beweren dat het WEL zo is en dit ook nog eens BEWIJZEN.

[Verwijderd]

Op zaterdag 03 november 2001 22:54 schreef Lordy79 het volgende:

[..]

gelijk heeft ie... iets vragen en dan antwoord krijgen is prima. Dan eigenwijs zijn is ook nog acceptabel maar als je als een klein kind blijft jengelen dat het NIET zo is, begint enigzins irritant te worden.

Het is op zich geen makkelijke stof (het wordt overigens in VWO-5 wiskunde B uitgelegd dus ZO extreem moeilijk is het ook weer niet) maar ga niet roepen dat het NIET zo is als heel veel anderen beweren dat het WEL zo is en dit ook nog eens BEWIJZEN.

Dude

[Lord Daemon]

Er lijken in ieder geval geen mensen meer te zijn die durven te beweren dat ik ongelijk heb.

[Lordy79]

Op zondag 04 november 2001 01:04 schreef Lord Daemon het volgende:
Er lijken in ieder geval geen mensen meer te zijn die durven te beweren dat ik ongelijk heb.

*lef-modus*
JE HEBT ONGELIJK!!!! Mhuhahaha...
*/lef-modus*

[Verwijderd]

uuhm .. ik zie het zo:
als iets steeds dichter in de buurt blijft komen van iets anders zal hij er uiteindelijk op uit komen .. toch ? dus lijkt mij dat het idd 2 is ..

ps. ik ben geen wiskundige ofzo zit nog maar op school

[Verwijderd]

ik koom opeens met een nieuwe gedachten

1
1/2
1/4
1/8
1/16
1/32
etc. +
-------------
2

dit klopt als je oneindig lang blijft doorgaan ..

[Rempage0611]

Op zondag 04 november 2001 01:21 schreef DaRalph het volgende:
ik koom opeens met een nieuwe gedachten
[..]

dit klopt als je oneindig lang blijft doorgaan ..

True

[Termy]

Op donderdag 01 november 2001 22:25 schreef Proost het volgende:

[..]

Dat is verrassend. Vroeger convergeerden rijen nog wel eens. Dat deze nou ook al divergeert. Die wiskunde heeft de laatste tijd op het voortgezet onderwijs een hele ontwikkeling doorgemaakt.

de ene onzin reply naar de andere?

blijkbaar niet goed opgelet bij wiskunde, rijen kunnen wel degelijk divergeren. convergente rijen hebben een limiet ja, divergent niet, die gaan naar oneindig... en ja, zo'n opgave hadden we bij de oefenopgaven van vorige periode (bewijs dat de somrij van 1/2n divergeert) en dat is dus ook zo.... dat JIJ dat niet weet houd NIET in dat het fout is wat anderen zeggen.... er was idd iets mee dat de limiet 2 is maar als je het anders oplost, door met de eerst volgende termen steeds een half te maken (duurt steeds langer ja) blijf je maar optellen tot oneindig. ik vind het best als je nu wil beweren van niet maar kom het m'n wiskunde leraar dan ook ff uitlegge...

[Lord Daemon]

convergente rijen hebben een limiet ja, divergent niet, die gaan naar oneindig

Niet per se. Deze rij bijvoorbeeld: 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ... divergeert, maar toch gaat hij niet naar oneindig. Hij divergeert omdat er niet het limietcriterium voor geldt zoals ik dat een aantal posts geleden opschreef.

[Verwijderd]

Maar wat nu al ik een schildpad neem, en een haas, en en en
[/annoy-mode]

Ik ben een paar topics geleden al overtuigd, wees maar niet bang. Wel wou ik even meedelen dat ik het stuk van LD interessant en verhelderend vond. "weer wat geleerd" .

[Verwijderd]

Op donderdag 01 november 2001 15:12 schreef Kyori het volgende:
Als ik zo kijk, lijkt het mij dat deze wel degelijk uit zal komen op twee, het zal alleen eventjes duren.

mee eens

[drice]

Op donderdag 01 november 2001 15:16 schreef Blackwater het volgende:
Het zit hem idd in die etc.

Als je een liter hebt en je gooit de helft weg, heb je een halve liter.

Gooi je weer de helft weg, heb je de helft van de helft (= 1/4)

Als je steeds de helft blijft weggooien, raakt de fles dan leeg?

Dat is een beetje in de trend van ->
Het is drie uur
Wanneer haalt de grote wijzer de kleine in

Je zou zeggen kwart over drie. Maar dan is de kleine wijzer ook weer een klein stukje verschoven.
Zo kun je oneindig doorgaan zou je zeggen.
Maar toch haalt de grote wijzer de kleine in

Ok ik zeg het een beetje vaag. Maar toch

[Verwijderd]

Allemaal variaties op de paradox van Zeno, en allemaal zijn ze gewoon wiskundig te verklaren, zoals hierboven al min of meer gedaan is.

De som van de oneindigheid (sorry Sandalf als ik woorden verkeerd gebruik, feel free to correct me) die je tegenkomt bij het inhalen van de wijzers (de kleine is steeds een piepklein stukje verder) is gewoon eindig.

[Verwijderd]

neeeeee
ik heb me zelf tegen gesproken
je kom niiot bij de 2

[Verwijderd]

Op zondag 04 november 2001 01:21 schreef DaRalph het volgende:
ik koom opeens met een nieuwe gedachten
[..]

dit klopt als je oneindig lang blijft doorgaan ..

nee je kom altijd zo een halfje tekort

[Lord Daemon]

Op zondag 04 november 2001 16:13 schreef jaap2 het volgende:

[..]

nee je kom altijd zo een halfje tekort

AAARGH! Als je nou eens aangeeft waar dan de wiskundige fout in deze redenatie van mij zit:

Ok, nu ga ik het echgt wiskundig aanpakken. Als de limiet van f(t) van boven naar 0 gaat betekent dat dat voor ieder positief getal a er een getal b is zo dat f(t) < a voor elke t > b. Dat begrijp je? Met andere woorden: voor ieder getal a dat bij 0 in de buurt ligt is er een waarde van t, namelijk b, waarna de grafiek altijd onder a ligt.
Stel nu dat de limiet nooit 0 bereikt. Dan moet (omdat R een continuum is) er een getal c heel dicht bij 0 zijn zo dat f(t) altijd groter is dan c. Maar de definitie van een limiet zegt juist dat er vor ieder getal a een plaats b is waarna f(t) kleiner is dan a. Als je dus aanneemt dat c bestaat krijg je een contradictie. Conclusie: c bestaat niet. Conclusie: de limiet bereikt 0 exact.

Als je dat niet kan wil ik er niets meer over horen.

[Termy]

Op zondag 04 november 2001 11:27 schreef Lord Daemon het volgende:

[..]

Niet per se. Deze rij bijvoorbeeld: 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ... divergeert, maar toch gaat hij niet naar oneindig. Hij divergeert omdat er niet het limietcriterium voor geldt zoals ik this will the dat een aantal posts geleden opschreef.

niet helemaal juist, deze rij is begrends..... niet divergent

[Lord Daemon]

Op zondag 04 november 2001 23:10 schreef Termy het volgende:

[..]

niet helemaal juist, deze rij is begrends..... niet divergent

Voor zover ik weet is iedere rij die niet convergeert divergent.

[Verwijderd]

Op zondag 04 november 2001 23:30 schreef Lord Daemon het volgende:

[..]

Voor zover ik weet is iedere rij die niet convergeert divergent.

Sorry, zag deze reply staan en ik denk ik reageer even, flame me maar helemaal kapot als ik het fout heb

Hoe zit het met rijen die parallel lopen?

[Lord Daemon]

Hoe zit het met rijen die parallel lopen?

Wat bedoel je precies met rijen die parallel lopen?

[Verwijderd]

Het wordt NOOIT exact twee, maar het komt er zo dichtbij in de buurt als je zelf wilt. Maar het kan nooit exact twee worden. Als je je rekenmachine gebruikt gaat ie vanzelf wel afronden maarja.....

[Verwijderd]

Deze soms 'bestaat niet', in die zin dat je hem niet kan opschrijven of uitvoeren/uitrekenen. Wat jij of je leraar hier echter bedoelt, is een limiet:

lim E(k=0..n: (1/2)^k)
n->oo

waarbij oo het oneindig tekentje moet voorstellen, en E(k=0..n: iets) is de som van dat "iets" voor k=0 t/m n.

Deze limiet bestaal wel degelijk, en is uiteraard 2.

[Lord Daemon]

Het wordt NOOIT exact twee, maar het komt er zo dichtbij in de buurt als je zelf wilt. Maar het kan nooit exact twee worden. Als je je rekenmachine gebruikt gaat ie vanzelf wel afronden maarja.....

Gelukkig ga je in op mijn argumenten. Not.

Als iets nooit exact bij 2 komt moet er een getal a in de buurt van 2 zijn waar hij ook nooit komt. Maar zo'n getal is er niet. Ergo, hij komt exact bij twee.

Een rekenmachine lijkt me een beetje nutteloos om hierbij te gebruiken, zelfs als analogie, want oneindig vaak iets optellen op een rekenmachine is zelfs in theorie niet mogelijk. Je moet een oneindige som ook niet zien als een oneindige hoeveelheid handelingen, naturlijk.

[Verwijderd]

Op zondag 04 november 2001 23:10 schreef Termy het volgende:

[..]

niet helemaal juist, deze rij is begrends..... niet divergent

Een rij is convergent als de limiet bestaat en eindig is. In de andere gevallen(boven genoemde dus ook) noem je hem divergent. Maar hij is idd wel begrensd

[Verwijderd]

Op zaterdag 03 november 2001 22:54 schreef Lordy79 het volgende:

[..]

gelijk heeft ie... iets vragen en dan antwoord krijgen is prima. Dan eigenwijs zijn is ook nog acceptabel maar als je als een klein kind blijft jengelen dat het NIET zo is, begint enigzins irritant te worden.

Het is op zich geen makkelijke stof (het wordt overigens in VWO-5 wiskunde B uitgelegd dus ZO extreem moeilijk is het ook weer niet) maar ga niet roepen dat het NIET zo is als heel veel anderen beweren dat het WEL zo is en dit ook nog eens BEWIJZEN.

Waar slaat dit nou weer op? Ik jengel helemaal niet en ik heb ook nooit beweerd dat die paar mensen die argumenten leveren voor het feit dat het exact 2 wordt, ongelijk hebben.

Op maandag 05 november 2001 11:30 schreef ceidhof het volgende:
Het wordt NOOIT exact twee, maar het komt er zo dichtbij in de buurt als je zelf wilt. Maar het kan nooit exact twee worden. Als je je rekenmachine gebruikt gaat ie vanzelf wel afronden maarja.....

Na alles wat ik hier heb gelezen, ben ik toch gaan twijfelen. Wordt het nou wel of niet exact 2?

Als je het met het begrip asymtoot kijkt, wordt het nooit exact 2. Ook als je jezelf er iets bij probeerd voor te stellen is dit zo.

Maar dan kom je dus bij het begrip 'oneindig'. Dit kan je je ook niet voorstellen (tenminste, ik niet ).


Wie kan mij dat gedoe van die rijen uitleggen? Daar snap ik dus niets van...

[Gnoom]

Op maandag 05 november 2001 14:51 schreef Blackwater het volgende:

Na alles wat ik hier heb gelezen, ben ik toch gaan twijfelen. Wordt het nou wel of niet exact 2?

Als je het met het begrip asymtoot kijkt, wordt het nooit exact 2. Ook als je jezelf er iets bij probeerd voor te stellen is dit zo.

Maar dan kom je dus bij het begrip 'oneindig'. Dit kan je je ook niet voorstellen (tenminste, ik niet ).


Wie kan mij dat gedoe van die rijen uitleggen? Daar snap ik dus niets van...

Het werk echt gewoon net als die asymptoot. Het komt er steeds dichterbij, maar het komt er niet, want er is nooit een getal wat je kan invullen waarbij er uit de vergelijking het getal word waar het naartoe gaat. Behalve als je oneindig invult, en dat hoort ook iets te zijn wat je je niet kan voorstellen. Oneindig is ook niet een getal ofzo, maar meer een begrip.

[Verwijderd]

Op maandag 05 november 2001 11:09 schreef Lord Daemon het volgende:

[..]

Wat bedoel je precies met rijen die parallel lopen?

Sorry, totaal verkeerd begrepen...zoals ik het zag lopen Achilles en de schildpad even hard. (verwijzing naar andere topic over Zeno)

edit:

Negeer deze posts maar, dan hoef je daar tenminste geen tijd aan te verspillen

[Termy]

om er toch maar een beetje op te reageren, als ie paralel zou lopen, iets van (-1)^(n-1)*1, dan is hij gewoon begrensd... (convergent ja).

ja LD, divergent of covergent. maar je kan ook je hebt dus ook convergent - begrensd... iig NIET divergent want hij gaat niet naar oneindig....

ik zal nog eens vragen naar de oplossing van de somrij van 1/2n....

[Lord Daemon]

Uhm - Termy, een divergente rij hoeft helemaal niet naar oneindig te gaan. Hij moet gewoon nooit een vaste waarde bereiken. Dat is de definitie van divergentie.

Het werk echt gewoon net als die asymptoot. Het komt er steeds dichterbij, maar het komt er niet, want er is nooit een getal wat je kan invullen waarbij er uit de vergelijking het getal word waar het naartoe gaat. Behalve als je oneindig invult, en dat hoort ook iets te zijn wat je je niet kan voorstellen. Oneindig is ook niet een getal ofzo, maar meer een begrip.

Er bestaan wel oneindige getallen overigens. (Om de chaos compleet te maken. ) Daar kan je zelfs mee rekenen. Zo heb je omega, het eerste oneindige natuurlijke getal. Je hebt ook omega + 1, omega + 2, omega + omega = omage keer 2, etcetera. Zelfs omega tot de macht omega, en zelfs omega tot de macht omega tot de macht omega tot ... en dat omega keer. Dat is epsilon-nul. En in feite ligt zo ongeveer elk getal voorbij epsilon-nul.

Maar om nog een keer hierop terug te komen: een asymptoot is een grafiek die een limiet-proces laat zien. Nou zijn grafieken niet echt wiskundige objecten, dus laten we het liever over limieten hebben. Een limiet zegt niet "De functie bereikt de waarde a als je oneindig invult". Een limiet zegt "Er is geen enkel getal dicht bij die limiet (aan de goede kant) te verzinnen dat niet op een bepaald moment voorbij gestreefd zal worden".

En als dat voor ieder getal geldt, dan kom je dus in het oneindige precies op de functiewaarde uit.

[Lord Daemon]

ik zal nog eens vragen naar de oplossing van de somrij van 1/2n....

Ik gok op 1.

[Termy]

lul

divergent is dus als hij geen vaste waarde bereikt? juist ja, en wat dan in het geval van 1/n? die wordt nooit echt 0, dus zou je zeggen divergent. maar als je het over de limiet hebt is het wel exact o, dus convergent... heerlijk die wiskunde

offtopic:
vind het nu echt leuk om met complexe getallen grappig te doen LD? , kan ik ook:

x^2= -1

rara wat is het antwoord

[Lord Daemon]

vind het nu echt leuk om met complexe getallen grappig te doen LD?

Ik heb nog geen complex getal gebruikt hoor.

Het antwoord op jouw raadsel: x=i of x=-i

Nu heb ik wel complexe getallen gebruikt.

[FCA]

Op maandag 05 november 2001 17:06 schreef Termy het volgende:
lul

divergent is dus als hij geen vaste waarde bereikt? juist ja, en wat dan in het geval van 1/n? die wordt nooit echt 0, dus zou je zeggen divergent. maar als je het over de limiet hebt is het wel exact o, dus convergent... heerlijk die wiskunde

Hij wordt nooit echt nul, maar het is een begrensde, strikt dalende rij, waarvan bewezen kan worden dat hij convergent is. Divergentie is : niet convergent. Niet iets met nooit gelijk aan iets worden ofzo...

offtopic:
vind het nu echt leuk om met complexe getallen grappig te doen LD? , kan ik ook:

x^2= -1

rara wat is het antwoord

x=i, x= -i, x=j, x=-j, x=k, x=-k...

Altijd leuk, die quaternionen....
Met octonionen wordt het alleen wat lastiger geloof ik.

[Verwijderd]

Laat maar...

[Lord Daemon]

Divergentie is : niet convergent. Niet iets met nooit gelijk aan iets worden ofzo...

Zucht - en ik maar proberen het simpel uit te leggen.

Ik heb overigens een leuker raadseltje dan x^2=-1, wat is x.
Stel dat x^4 = -1, wat is x dan?

(En ja, ik geloof best dat jij 't weet FCA. Of fused. Of Virgol. Of Sandalf. )

[Confusion]

Lord Daemon schreef:
Ik heb overigens een leuker raadseltje dan x^2=-1, wat is x.
Stel dat x^4 = -1, wat is x dan?

x = sqrt(i) of x = sqrt(-i)

(Wat trouwens best een verassende oplossing heeft )

[DarkShadow]

als het zow oneindig doorgaat kom je exact op 2
Net als dat oneindig - 1 = oneindig
toch?

[Verwijderd]

Ik heb overigens een leuker raadseltje dan x^2=-1, wat is x. Stel dat x^4 = -1, wat is x dan?

x = w+iw of w-iw of -w+iw of -w-iw, waarbij w de wortel van 1/2 is

Dit is ook een mooie: voor welk getal c geldt exp(c*i) = -1? (exp is de exponentiele functie, aka e^x, e = 2.71828..)

[toraq]

Op maandag 05 november 2001 22:53 schreef Juggalin_Juggalo het volgende:

[..]

x = w+iw of w-iw of -w+iw of -w-iw, waarbij w de wortel van 1/2 is

Dit is ook een mooie: voor welk getal c geldt exp(c*i) = -1? (exp is de exponentiele functie, aka e^x, e = 2.71828..)

pi.

[Lord Daemon]

Dit is ook een mooie: voor welk getal c geldt exp(c*i) = -1?

Dat geldt voor aftelbaar oneindig veel c's.

Namelijk alle c = k * Pi, met k oneven (mag negatief).

[Verwijderd]

Nog een leuk raadseltje. Hoe kan dit?

1 = 1^(1/2) = ((-1)^2)^(1/2) = (-1)^(2*1/2) = (-1)^1 = -1

[FCA]

Op dinsdag 06 november 2001 00:37 schreef Sandalf het volgende:
Nog een leuk raadseltje. Hoe kan dit?

1 = 1^(1/2) = ((-1)^2)^(1/2) = (-1)^(2*1/2) = (-1)^1 = -1

1^(1/2) kan 1 of -1 zijn.
Je eerste is teken is foutief....

[Verwijderd]

Op dinsdag 06 november 2001 11:24 schreef FCA het volgende:
1^(1/2) kan 1 of -1 zijn.
Je eerste is teken is foutief....

Nee, zeker niet! Machtsverheffen is een functie dus kan aan een waarde maar 1 waarde toekennen. 1^(1/2) is dus gewoon gelijk aan 1.

[Verwijderd]

Ok, ik ga nog een keer de knuppel in het hoenderhok smijten

Ik begrijp nu het verhaal van jullie wiskundigen (btw heb alleen nog geen tijd gehad voor LD's paper). Maar toch heb ik nog steeds het gevoel dat dit een kunstmatig oplossing is, omdat jullie per sé willen dat er een oplossing voor is.

Ik baseer dit puur en alleen op mijn voorstellingsvermogen en logica.

ps. ik weet nog dat ik bij kwantitatieve methoden er ook moeite mee had, niet dat dat een struikelblok vormde

[Verwijderd]

1 = 1^(1/2) = ((-1)^2)^(1/2) = (-1)^(2*1/2) = (-1)^1 = -1

Het zit hem in het verplaatsen van de haken:
((-1)^2^(1/2) -> (-1)^(2*1/2)

[Verwijderd]

het is gewoon heel makkelijk. het komt heel dichtbij 2, maar het zal nooit exact twee worden, dit komt doordat je de breuk oneindig door tweeen kan delen.
as simpel as that!

[CrazyA]

Het wordt nooit 2... het blijft bij bijna 2.
Helaas is dit met een rekenmachine slecht aan te tonen omdat die op een gegeven moment niet precies genoeg meer is.

[Verwijderd]

Hallo mensen,

Ik heb de link kort geleden naar mijn wiskunde-leraar gemaild en dit was zijn reactie:

Beste Tobias, \hele leuke discussie.
Onderstaand persoon zat helemaal op het goede plekje, hoewel de definitie
van b (een klein beetje) in mijn analyse-boek scherper wordt gemaakt. Ik zal
het boek meenemen."
Oh, ik zal de uitleg van de leraar ook nog even uitleggen, want ik geloof
niet dat die door iedereen begrepen wordt.
De som is niet kleiner dan 2 want stel maar dat het 2-b is met b een beetje.
Dan is er een punt waarop de som groter wordt dan 2-b en omdat de som
alsmaar stijgt zal de uitkomst groter blijven dan 2-b.
En dit geldt voor alle b! Dus hoe klein je beetje ook is, de som is groter
dan 2-b. Dus de som is niet kleiner dan 2.
Daarnaast geldt ook dat de som niet groter is dan 2 (dit zie je hopenlijk zo
ook wel in).
Nu geldt dus dat de som niet groter en ook niet kleiner is dan 2. En er is
maar 1 getal dat daaraan voldoet en dat is 2 zelf.

[Lord Daemon]

Op woensdag 07 november 2001 13:58 schreef Crazy A het volgende:
Het wordt nooit 2... het blijft bij bijna 2.
Helaas is dit met een rekenmachine slecht aan te tonen omdat die op een gegeven moment niet precies genoeg meer is.

Een rekenmachine? Hoe wil je in godesnaam een eigenschap van oneindige sommen gaan bewijzen met een rekenmachine? Hoe wil je uberhaupt iets gaan bewijzen met een rekenmachine? Is een rekenmachine een formeel systeem met axioma's en deductieregels? Nee - hoe kan je er dan iets mee bewijzen?

Ik heb hierboven al een stuk of 3 keer een wiskundig bewijs gepost dat de rij 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... convergeert naar 2. Als je het daar niet mee eens bent, laat dan de fout in mijn bewijs zien, maar ga niet lopen bazelen over rekenmachine's. (Of all things.)

[Lord Daemon]

Nu geldt dus dat de som niet groter en ook niet kleiner is dan 2. En er is
maar 1 getal dat daaraan voldoet en dat is 2 zelf.

Dat is dus exact wat ik zei met mijn definities van limieten.

[Verwijderd]

offtopic:
Hoe lang kan een topic eigenlijk zijn? Zitten we al bijna bij dat limiet??

[Verwijderd]

Op woensdag 07 november 2001 14:23 schreef Lord Daemon het volgende:

de rij 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... convergeert naar 2

Dus wordt ie niet exact 2, toch?

[bredend]

Ik denk dat er op 2 een asymptoot ligt. Er komt steeds de helft van wat nodig is om 2 te krijgen bij. Dat blijft dus oneindig doorgaan. Iets dat een mens niet kan begrijpen.

[RvV]

Op woensdag 07 november 2001 14:30 schreef Blackwater het volgende:

offtopic:
Hoe lang kan een topic eigenlijk zijn? Zitten we al bijna bij dat limiet??

WTC topic niet gezien? Die was geloof ik bijna 300 pagina's.

[Termy]

hmz, * Termy toch even in verwarring:

kheb nog even de oplossing van de vraag: "bewijs dat de somrij van 1/2n divergeert" opgezocht:

grafiekje van f(x)=1/2x

Un divergeert dus zou moeten gelden: (1/2)+(1/4)+(1/6)+(1/2n)>intergraal f(x) dx

f(x)=(1/2)x
F(x)=(1/2)ln x = (ln x)/2
.......................................n
integraal f(x) dx= [(1/2) ln x ]= (1/2)ln n
.......................................1
lim (1/2)ln x= oo -> rij divergeert
N->oo

een oplossing die wel gewoon goed is, of iig goedgerekend door m'n leraar.

tja

[corani]

code:

_____n=1
\
 \
  \     1
   > ------  =2
  /     n
 /     2
/____
     inf

En toch zijn er nog mensen die er niet in geloven Bijvoorbeeld de mensen die nog steeds denken dat oneindig ook een getal is...

Als je eindig keer n blijft verhogen, dan kom je inderdaad nooit op 2 uit. Als je de rest van je leven blijft rekenen, kom je er aardig in de buurt, en als je de rest van de wereldbevolking mee laat rekenen nog dichter, maar je komt nooit op twee uit. punt

Maar... aangezien oneindig geen getal is, maar een afspraak, kom je wel uit op twee. punt

[Verwijderd]

Op woensdag 07 november 2001 16:49 schreef corani het volgende:

code:

_____n=1
\
 \
  \     1
   > ------  =2
  /     n
 /     2
/____
     inf

En toch zijn er nog mensen die er niet in geloven Bijvoorbeeld de mensen die nog steeds denken dat oneindig ook een getal is...

Als je eindig keer n blijft verhogen, dan kom je inderdaad nooit op 2 uit. Als je de rest van je leven blijft rekenen, kom je er aardig in de buurt, en als je de rest van de wereldbevolking mee laat rekenen nog dichter, maar je komt nooit op twee uit. punt

Maar... aangezien oneindig geen getal is, maar een afspraak, kom je wel uit op twee. punt

Ok oneindig mag dan geen getal zijn, het zorgt er iig ook niet voor dat het antwoord 2 is.

Dus er bestaat gewoon geen oplossing, want er bestaat geen waarde n die ervoor zorgt dat de uitkomst 2 is.

Dus is nu mijn vraag, waarom accepteren jullie wiskundigen dat gewoon niet.

[corani]

Op woensdag 07 november 2001 17:01 schreef Oracle het volgende:

[..]

Ok oneindig mag dan geen getal zijn, het zorgt er iig ook niet voor dat het antwoord 2 is.

Dus er bestaat gewoon geen oplossing, want er bestaat geen waarde n die ervoor zorgt dat de uitkomst 2 is.

Dus is nu mijn vraag, waarom accepteren jullie wiskundigen dat gewoon niet.

Nou, vooruit...

Verzin eens een getal dat tussen de uitkomst van deze som en 2 ligt.

code:

_____n=1
\
 \
  \     1
   > ------ 
  /     n
 /     2
/____
     inf

Nou?

Het enige wat ik kan verzinnen is nul, en aangezien het verschil dan nul is, is het antwoord ook twee

[Verwijderd]

Nee, hoe ver je ook gaat, het blijft altijd 1 + (n-1/n)

[corani]

Op woensdag 07 november 2001 17:26 schreef BasjeBanaantje het volgende:
Nee, hoe ver je ook gaat, het blijft altijd 1 + (n-1/n)

Dat klopt ja, hoe ver je ook gaat, je komt NOOIT bij oneindig uit.

[Lord Daemon]

kheb nog even de oplossing van de vraag: "bewijs dat de somrij van 1/2n divergeert" opgezocht

We hebben het dus over 1 / (2 * n) en niet over 1/ (2 ^ n) neem ik aan?

Nou, 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + ..., is 1/2 * ( 1 + 1/2 + 1/3 + ...) Dat laatste is een standaard reeks, namelijk 1/n, welke divergeert.

Maar dat kan je ook bewijzen. Bijvoorbeeld door de integraal te nemen - als die divergeert divergeert de som ook. Nu is de primitieve van 1/n gelijk aan ln(n), en dit gaat naar oneindig voor n gaat naar oneindig. Dus de integraal divergeert en de reeks dus ook.

Bijvoorbeeld de mensen die nog steeds denken dat oneindig ook een getal is...

Oneindig is geen getal, maar er zijn wel oneindige getallen. In dit geval hoef je maar omega stappen te nemen voordat je exact op 2 zit - terwijl oneindig dan pas begint.

Nee, hoe ver je ook gaat, het blijft altijd 1 + (n-1/n)

O? Ik vul ff 3 in, dan heb ik 1 + (3-1/3) = 1 + 2 + 2/3 = 3 + 2/3 ???

Misschien bedoel je 1 + ((n-1)/n), maar dan kom ik op 1 + 2/3 wat ook niet voorkomt als je de reeks gaat ontwikkelen.

Als je n termen optelt heb je 2 - (1/2^n) (beginnen bij n=0). Als ik hier n naar oneindig laat gaan kom ik toch echt op 2 uit, want 2^n wordt dan oneindig (zelfs ontzettend oneindig, veel groter dan omega ), en 2 - (1/2^n) = 2.

[zimbab]

mijn wiskundeleraar heeft eens uitgelegd dat 0,9999999999999999999999999.... niet bijna 1 is, maar exact 1, want 1/9= 0,11111111111111111111111111.... en dat weer maal negen geeft 0,999999999999999999999.... wel te begrijpen dus (en geen speld tussen te krijgen). bovendien stelt men in de theorie dat het exact twee is en de theorie is dan toch weer anders dan de praktijk. als deze opmerkingen al eens geplaatst zijn: sorry. had geen zin om 6 pagina's te lezen.

[Verwijderd]

Op woensdag 07 november 2001 20:11 schreef zimbab het volgende:
mijn wiskundeleraar heeft eens uitgelegd dat 0,9999999999999999999999999.... niet bijna 1 is, maar exact 1, want 1/9= 0,11111111111111111111111111.... en dat weer maal negen geeft 0,999999999999999999999.... wel te begrijpen dus (en geen speld tussen te krijgen). bovendien stelt men in de theorie dat het exact twee is en de theorie is dan toch weer anders dan de praktijk. als deze opmerkingen al eens geplaatst zijn: sorry. had geen zin om 6 pagina's te lezen.

Hm, vaag. Zelfs op de basisschool leer je al dat je breuken niet naar kommagetallen moet omrekenen. Dit doe je alleen bij scheikunde en natuurkunde. Bij wiskunde werk je met exacte getallen, een geen exacter getal dan een breuk.

[Termy]

klopt want 0,5 is niet hetzelfde als 1/2, niet in de wiskunde tenminste

en ja LD, ik had het over 1/2*n, jullie niet dan?

[Lord Daemon]

O,5 is wel gelijk aan 1/2 hoor. Als ze niet gelijk zouden zijn moest een van de twee groter zijn dan de ander, en dat is onzinnig. Bij natuukunde is het niet gelijk, daar is 1/2 een exact getal en 0,5 een getal dar in maar 1 decimaal nauwkeurig is. (Niet dat natuurkundigen zich aan dit soort conventies die je op de middelbare school leert houden hoor, maar toch )

en ja LD, ik had het over 1/2*n, jullie niet dan?

Nou, tot nu toe had ik 't vooral over 1/(2^n) gehad moet ik zeggen, dus 1 + 1/2 + 1/4 + ..., maar ook voor jouw reeks heb ik hierboven geloof ik even de divergentie bewezen doormiddel van een integraal. (En het integraal criterium dat ik niet bewezen maar gepostuleerd heb.)

[Liam]

[offtopic]

Op donderdag 01 november 2001 15:16 schreef Blackwater het volgende:
Het zit hem idd in die etc.

Als je een liter hebt en je gooit de helft weg, heb je een halve liter.

Gooi je weer de helft weg, heb je de helft van de helft (= 1/4)

Als je steeds de helft blijft weggooien, raakt de fles dan leeg?

hmm nee, cohesie heet dat, op een geven moment komt er een tijd waarbij je niet meer het water uit de fles kan gooien en dat ie leeg lijkt, maar dat dus niet is.
[offtopic]

[TromboneFreakus]

Op donderdag 01 november 2001 15:31 schreef Fused het volgende:
Blackwater:

Vergelijk: 0.999...(oneindig negens) = 1

Voor die dit niet snapt schreef mijn WB leraar altijd het volgende sommetje:

10 * 0.99999999 (= 9.9999999999999999 etc.)
.09999999999999 -
=============== =
9

is dus gelijk aan:

10 * 1
1 -
======== =
9

[Lord Daemon]

Op donderdag 08 november 2001 18:43 schreef TromboneFreakus het volgende:

[..]

Voor die dit niet snapt schreef mijn WB leraar altijd het volgende sommetje:

10 * 0.99999999 (= 9.9999999999999999 etc.)
.09999999999999 -
=============== =
9

is dus gelijk aan:

10 * 1
1 -
======== =
9

Is pas drie keer gepost of zo.

[Termy]

nou, dan heb ik een miereneuker van een wiskunde leraar, hij zei juist dat 0,5 niet 1/2 is omdat, idd, 0,5 bijvoorbeeld ook 0,45 of 0,54 was. in de natuurkunde zeiken ze daar idd echt over, maar me wiskunde leraar ook

sorry, ik dacht echt dat je over 1/2*n had, me scheef

[Verwijderd]

Volgens mij wordt vergeten met hoeveel getallen achter de komma rekening gehouden dient te worden.

0.99999999(oneindig aantal) is niet gelijk aan 1, want dan had je het niet als 0.99999999(oneindig aantal) hoeven schrijven, maar gewoon 1 kunnen schrijven.

[Lord Daemon]

0.99999999(oneindig aantal) is niet gelijk aan 1, want dan had je het niet als 0.99999999(oneindig aantal) hoeven schrijven, maar gewoon 1 kunnen schrijven.

'George Bush' is niet gelijk aan 'de huidige president van de Verenigde Staten', want dan had je het niet als 'George Bush' hoeven schrijven, maar gewoon als 'de huidige president van de Verenigde Staten' kunnen schrijven.

[Termy]

george bush is ook gewoon een lul van een idioot land, dus of je dat ff niet wil vergelijken met de strict logische wiskunde? (no flame intended hor )