[BC3] Wiskundig probleempje

[Lordy79]

Dit is geen huiswerk... het is meer een raadseltje waar een collega mee kwam en ik kom er niet 1-2-3 uit.

Als het niet mag, doe dan maar slot, maar ik hoop dat iemand het antwoord kan vinden.

Komt ie:

Er is een steeg, waar 2 ladders kruislings in staan.
De ene ladder is 5 meter lang, de andere is 4 meter lang.

De steeg is dus smaller dan 4 meter, anders zou de 4 meter ladder er horizontaal instaan.

Het punt waar de 2 ladders elkaar kruisen ligt 1 meter boven de grond.

De vraag: hoe breed is de steeg?

[Lordy79]

ik ben tot hier:
(a) = hoek alfa
(b) = hoek beta
etc.

y+z=x

tan(a)=1/y
tan(b)=y
tan(c)=1/z
tan(d)=z

sin(a)=WORTEL(25-x^2) / x
sin(b)=x/5
sin(c)=WORTEL(16-x^2) / x
sin(d)=x/4

cos(a)=sin(b)
cos(b)=sin(a)
cos(c)=sin(d)
cos(d)=sin(c)

(a)+(b)=90 graden
(c)+(d)=90 graden

[GeeBee]

Volgens mij is dit een te moeilijke benadering van het probleem. Als ik het me goed herinner moet je iets doen met gelijkvormigheid van driehoeken.

[Lordy79]

Ik kom uit op:

( WORTEL(25-x^2) / x )^2 + 1/5x = 1

wat is x (er is nog maar 1 onbekende)

[Duur!]

Je heb bepaalde driehoeken

Zo is er eentje van 3:4:5 met de rechte hoek tussen de 3 en 4 lange zijde.

dit kun je bij mijn weten in je opgave gebruiken. zo niet dan was het een ander geintje dan die waar mijn pa me bezig mee heeft gehouden.

[balk]

Ik ben ook even wiskundig aan de gang gegaan. Pythagoras enzo. Trappen schrijven als functies van B en x (B=breedte, x=punt op x-as), Beide functies oplossen voor y=1 en x1=x2.

[Verwijderd]

Op zondag 22 april 2001 21:52 schreef Duur het volgende:
Je heb bepaalde driehoeken

Zo is er eentje van 3:4:5 met de rechte hoek tussen de 3 en 4 lange zijde.

dit kun je bij mijn weten in je opgave gebruiken. zo niet dan was het een ander geintje dan die waar mijn pa me bezig mee heeft gehouden.

Dit heeft te maken met driehoeken iid met rechte hoeken, maar waarvan een scherpe hoek 30° of 60° moet zijn.......

[balk]

Ik heb em, alleen is de goalseek van Excel niet nauwkeurig genoeg en heb ik geen zin om de draak in mijn rekenmachine te ketsen.

3.6345 m (approx)

---------------
[update]
ohnee, ik heb em nog niet

[Lordy79]

het schijnt inderdaad rond de 3,60m te zitten...

[Verwijderd]

[dwarslig-modus, zeer flauw trouwens]
Alle oplossingen zijn juist. Je kan de steeg altijd scheve muren geven he.
[/dwarslig-modus, zeer flauw trouwens]

Oke, negeer me maar verder...

[Lord Daemon]

Ik denk dat dit moet gelden:

- Sqrt (16 - l^2) * l / (Sqrt(25-l^2)) + l * Sqrt (10 - l^2) = l

Sandalf probeert het nu in zijn Mathematica te gooien, ff kijken of er iets goeds uitkomt.

[Lordy79]

Dank dank dank... Zeer veel dank...

[Lord Daemon]

En LD buigt voor de goede oplossers.

[Verwijderd]

Na even zorgvuldig invullen komt daar volgens mij een numerieke waarde van 3.73551 uit.

Of het klopt? Geen flauw idee...

Ik ben niet veel verder gekomen dan het probleem terug te brengen tot het oplossen van L uit het stelsel:

B = L/Y
A = L/X
X + Y = L
A^2 + L^2 = 16
B^2 + L^2 = 25

Daarbij heb ik nog een (handige?) hulpvergelijking afgeleidt uit de 1e 3 vgln:

AB = A + B

In mijn tekening is A het rechter stuk muur tot de ladder, B het linker, X is het stuk op de grond tot recht onder het snijpunt van de ladders, en Y de rest van het stuk op de grond (vanaf recht onder het snijpunt tot de muur dus).

Het is nu half 3 en ik ga slapen...

[Verwijderd]

Vanzelfsprekend kan ik niet slapen voor ik het probleem heb opgelost, dus na wat cola gedronken te hebben, heb ik het nog maar een keer geprobeerd.

En waarempel. Ik heb nu hetzelfde antwoord gevonden uit mijn berekening als de oplossing van de vergelijking die L.D. me gaf.

Aangezien we duidelijk het probleem heel anders aangepakt hebben en op een totaal andere vergelijking uitkwamen en toch tot hetzelfde antwoord kwamen, vind het voldoende aannemelijk dat dit ook de goede oplossing is (iig voldoende om nu wel te gaan slapen).

Het antwoord is dus bij benadering:
3.73551

Nog even kort mijn aanpak van het bovengenoemde stelsel vergelijkingen:

Ik heb dus uit de 1e 3 vgln afgeleid dat AB = A + B.
Dit kun je schrijven als B = A/(A-1)
Als je nu de 5e vgl van de 4e aftrekt en B substitueert krijg je een 4e graads polynoom voor A:
A^4 - 2 A^3 + 9 A^2 - 18 A + 9 = 0

En L is dan Sqrt(16-A^2) =~ 3.73551

Dit was het, ik ga nu echt slapen...

Sandalf

[Lord Daemon]

Ik had de ladders beschouwd als lijnen in een assenstelsel, voor beide een vergelijking opgeschreven, en gezegd dat f(x)=g(x)=1 moest kunnen.

Nu ff een paar leuke probleempjes. Deze zijn wel goed te doen, en zit helemaal geen verschrikkelijk rekenwerk bij. De eerste is echt erg gemakkelijk, en ze worden steeds moeilijker (denk ik), maar geen van allen zijn ze erg ingewikkeld.

(1) Ieder getal kan je schrijven als het produkt van priemgetallen. Bijvoorbeeld: 9 = 3x3, 11 = 11, 150 = 2 x 3 x 5 x 5. Bewijs dat dit geldt voor alle getallen.

(2) Bewijs dat er oneindig veel priemgetallen zijn.

(3) Stel, je hebt een vierkant met zijden x. Op iedere hoek zit een torretje, en ieder torretje is verliefd op het torretje rechts van hem. Allemaal gaan ze even snel kruipen, in de richting van hun geliefde. Welke afstand moet een torretje afleggen voordat hij bij zijn geliefde is? (Die dus zelf op een derde torretje verlief is, etc. Waar vindt de ontmoeting plaats? In wat voor figuur is er gelopen?)

Lord Daemon

[Verwijderd]

Lord Daemon: (2) Bewijs dat er oneindig veel priemgetallen zijn.

Deze mag Hustla doen. Die moet zo te zien nog oefenen.

* NoW back to work

[Verwijderd]

Zijn leuke opdrachten meneer.... Voor (3) weet ik waar de ontmoeting plaatsvind en welke figuur er volgens mij gelopen is.... alleen weet ik nog niet exact de afstand die afgelegd is.... wel hemelsbreed (dus verplaatsing) maar niet de daadwerkelijke afstand.

[Verwijderd]

Op woensdag 25 april 2001 12:34 schreef Lord Daemon het volgende:
Nu ff een paar leuke probleempjes. Deze zijn wel goed te doen, en zit helemaal geen verschrikkelijk rekenwerk bij. De eerste is echt erg gemakkelijk, en ze worden steeds moeilijker (denk ik), maar geen van allen zijn ze erg ingewikkeld.

(1) Ieder getal kan je schrijven als het produkt van priemgetallen. Bijvoorbeeld: 9 = 3x3, 11 = 11, 150 = 2 x 3 x 5 x 5. Bewijs dat dit geldt voor alle getallen.

(2) Bewijs dat er oneindig veel priemgetallen zijn.

(3) Stel, je hebt een vierkant met zijden x. Op iedere hoek zit een torretje, en ieder torretje is verliefd op het torretje rechts van hem. Allemaal gaan ze even snel kruipen, in de richting van hun geliefde. Welke afstand moet een torretje afleggen voordat hij bij zijn geliefde is? (Die dus zelf op een derde torretje verlief is, etc. Waar vindt de ontmoeting plaats? In wat voor figuur is er gelopen?)

Lord Daemon

Oplossing voor 1:
Neem een natuurlijk getal (alle natuurlijke getallen zijn eindig groot), zeg x. Stel er is geen priemgetal te vinden waardoor x deelbaar is. Dan is x dus zelf een priemgetal en is de factorisatie het getal zelf.

Als het wel deelbaar is dan houd je r over. Of dit is zelf een priemgetal of het is weer deelbaar door een priemgetal. Etc.

Dit moet een keer stoppen anders krijg je een oneindig lange lijst van factoren en dus een oneindig groot getal en dat is in tegenspraak met de aanname dat we een natuurlijk getal hadden gekozen.

Voor 2:
Dit is ook een vrij bekend probleem. Het bewijs van Euclides:
Stel er zijn eindig veel priemgetallen. Laten we die p1, p2, p3 t/m pn noemen.
Neem nu het getal dat het product van p1 t/m pn + 1 is.

Dit getal is noch door p1, noch door p2, noch door p3 deelbaar (etc). De rest die overblijft is de hele tijd 1.

Kortom, het getal dat we hebben gevonden is of zelf een priemgetal, of het is deelbaar door een ander priemgetal dan dat uit de lijst p1 t/m pn.

Hoe dan ook, p1 t/m pn zijn dus niet alle priemgetallen. Dus er kan geen eindig aantal priemgetallen zijn.

En met 3 ben ik ook nog bezig om de afstand te bedenken.

[edit]
Wil je echt iets bewijzen bewijs dan dat er oneindig veel tweeling-priemgetallen zijn.
Dat zijn paren n en n+2 waarbij n en n+2 allebei een priemgetal zijn. Bijvoorbeeld 3 en 5, en 5 en 7. Of 17 en 19.

Of bewijs dat elk getal groter dan 3 uitgedrukt kan worden als de som van 2 priemgetallen, 2+2 = 4, 6 = 3+3, 20 = 17+3.

[Verwijderd]

Nu ff een paar leuke probleempjes. Deze zijn wel goed te doen, en zit helemaal geen verschrikkelijk rekenwerk bij. De eerste is echt erg gemakkelijk, en ze worden steeds moeilijker (denk ik), maar geen van allen zijn ze erg ingewikkeld.

(1) Ieder getal kan je schrijven als het produkt van priemgetallen. Bijvoorbeeld: 9 = 3x3, 11 = 11, 150 = 2 x 3 x 5 x 5. Bewijs dat dit geldt voor alle getallen.

(2) Bewijs dat er oneindig veel priemgetallen zijn.

Waarom kom je met dezelfde vraagstukken?
De 2de is inderdaad al uitgebreid langsgeweest in http://gathering.tweakers.net/forum/list_messages/157765/3
Er was een onenigheid en er is zelfs om hulp van jouw en Sandalf gevraagd, maar daar wordt niet op gereageerd.

Deze mag Hustla doen. Die moet zo te zien nog oefenen.

Kijk even naar de bewijsvoering van Nem0,
die geeft precies hetzelfde, dus bij deze sla ik de oefening over.
Dat jij mijn verwoording niet snapt is wat anders...

[aatos]

Op woensdag 25 april 2001 12:34 schreef Lord Daemon het volgende:
(3) Stel, je hebt een vierkant met zijden x. Op iedere hoek zit een torretje, en ieder torretje is verliefd op het torretje rechts van hem. Allemaal gaan ze even snel kruipen, in de richting van hun geliefde. Welke afstand moet een torretje afleggen voordat hij bij zijn geliefde is? (Die dus zelf op een derde torretje verlief is, etc. Waar vindt de ontmoeting plaats? In wat voor figuur is er gelopen?)

Lord Daemon

elke tor loopt even hard, dus ze leggen dezelfde baan af. dat betekent dat ze in een vierkant blijven lopen, dat draait om het middelpunt van het oorspronkelijke vierkant. aangezien elke tor dus op elk punt op een hoekpunt van een vierkant loopt, staat zijn looprichting haaks op de looprichting van de tor waar hij heen loopt.
dat betekent dat die tor waar hij heen loopt niet van hem af of naar hem toe loopt. hij loopt immers een baan haaks op de andere tor.
de tor loopt dus precies de lengte van een zijde van het oorspronkelijke vierkant, x.

ze komen bij elkaar in het midden, de vorm is een spiraal.


deze opgave stond in de ut-nieuws, en ik kwam er zelf niet uit. het blijkt dat deze opgave ooit is gebruikt voor de selectie van studenten. ben ik even blij dat hij niet voor mij is gebruikt.