Lastige wiskundeopgave

[Verwijderd]

ik kom niet uit mijn wiskundeopgave

Vraag zie foto,

zelf ben ik zover gekomen om het volgende uit te rekenen

(Wat tussen haakjes staat valt onder het wortel teken)

2x² + y² = 15 --> y = √(-2x²+15)

√(-2x²+15) = x² - 6

-2x + √(15) = x² - 6

x² - 2x + 6 +√(15) = 0

invoeren x = 0 geeft coordinaten (0:-2,13)

en omdat er machtsverheffing in voorkomt (even getal van verheffing) is het andere coordinaat (0;2,13)

daarna moet je gaan uitrekenen als y=0 dus dan word het:

x² - 2x + 6 +√(15) = 0

x² - 2x = - 6 -√(15)

en hier kom ik dus niet meer verder,

klopt de voorgaande berekening voor de rest wel? zo niet wat moet ik anders doen, en hoe moet ik het nu verder afmaken?

(ook krijg ik de ellips niet ingevoerd in mijn grafische rekenmachine, dan komt er een halve boog te staan ipv van een ellips)

[MAX3400]

Eerste regel van jouw berekening; als je je 2x2 naar andere kant verhuist, wordt het toch "min"?

[ Voor 11% gewijzigd door MAX3400 op 04-07-2018 22:28 ]

[Verwijderd]

MAX3400 schreef op woensdag 4 juli 2018 @ 22:27:
Eerste regel van jouw berekening; als je je 2x2 naar andere kant verhuist, wordt het toch "min"?

bedoel je hier? 2x² + y² = 15 --> y = √(2x²+15), dit is een herschrijving van de formule

[MAX3400]

Verwijderd schreef op woensdag 4 juli 2018 @ 22:29:
[...]


bedoel je hier? 2x² + y² = 15 --> y = √(2x²+15), dit is een herschrijving van de formule

y2 = 15 - 2x2 toch?

Sorry, zit mobiel, even geen "hoge" kwadraten..

[Verwijderd]

MAX3400 schreef op woensdag 4 juli 2018 @ 22:30:
[...]

y2 = 15 - 2x2 toch?

Sorry, zit mobiel, even geen "hoge" kwadraten..

ja klopt, sorry verkeerd overgenomen uit mn schrift

[Liveshort]

Je bent op de goede weg, maar je kunt het jezelf wel een heel stuk makkelijker maken:

Substitueer y = x^2 - 6 in de andere formule, dan krijg je:

2x^2 + (x^2 - 6)^2 = 15

2x^2 + x^4 - 12x^2 + 36 = 15

Samennemen en omschrijven levert dan:

x^4 - 10x^2 + 21 = 0

Hoewel die vierde macht hier wat intimiderend lijkt, is dit een vrij eenvoudige vergelijking om op te lossen (met bijvoorbeeld de abc formule als je het ontbinden in factoren niet direct spot). Je kunt dit namelijk schrijven als:

(x^2 - 7)(x^2 - 3) = 0

Vanaf daar kom je er denk ik zelf wel uit. Jouw manier zou ook uit moeten komen, alleen het doorrekenen kost veel meer moeite, omdat je al vroeg met wortels opgescheept zit. Is dit een beetje te volgen?

[g0tanks]

Liveshort schreef op woensdag 4 juli 2018 @ 22:36:
Je bent op de goede weg, maar je kunt het jezelf wel een heel stuk makkelijker maken:

Substitueer y = x^2 - 6 in de andere formule, dan krijg je:

2x^2 + (x^2 - 6)^2 = 15

2x^2 + x^4 - 12x^2 + 36 = 15

Samennemen en omschrijven levert dan:

x^4 - 10x^2 + 21 = 0

Hoewel die vierde macht hier wat intimiderend lijkt, is dit een vrij eenvoudige vergelijking om op te lossen (met bijvoorbeeld de abc formule als je het ontbinden in factoren niet direct spot). Je kunt dit namelijk schrijven als:

(x^2 - 7)(x^2 - 3) = 0

Vanaf daar kom je er denk ik zelf wel uit. Jouw manier zou ook uit moeten komen, alleen het doorrekenen kost veel meer moeite, omdat je al vroeg met wortels opgescheept zit. Is dit een beetje te volgen?

Als je x^2 = y + 6 substitueert hoef je helemaal geen vierde macht op te lossen.

[MAX3400]

Misschien dat ik oud wordt maar: y = x² - 6 -> als x = 0, dan is y dus - 6 (zie grafiek)

Als y = -6, dan krijg je daarna 2x² + 36 = 15, dan is x dus plus & min 3,24 ofzo voor je snijpunten?

* MAX3400 wordt oud...

[ Voor 9% gewijzigd door MAX3400 op 04-07-2018 22:43 ]

[Liveshort]

g0tanks schreef op woensdag 4 juli 2018 @ 22:42:
[...]


Als je x^2 = y + 6 substitueert hoef je helemaal geen vierde macht op te lossen.

Zeker waar, dat is ook een prima oplossing. Het kost dan alleen wat extra stappen om bij het eindantwoord te komen, want in deze opgave wordt specifiek naar de x-coordinaten van de snijpunten gevraagd.

[Verwijderd]

ja dat is indd een handigere manier, dan kom je uit op

x=√7 of x= √3,

√7 invoeren in x^4 - 10x^2 + 21 geeft 0, en √3 geeft ook 0 dus dat klopt.

maar die eerste coordinaten die ik uitgerekend had (0;-2,13) en (0;2,13) kloppen die wel of moet ik die opnieuw uitrekenen met de formule x^4 - 10x^2 + 21 = 0?

dat zou dan geven

als x=0

x^4 - 10x^2 + 21 = 0

0 - 0 + 21 geeft (0,21)

en dan het laatste coordinaat (0,-21) of zit ik verkeerd te denken en mag ik van (0,21) geen (0,-21) maken?

[Reptile209]

Hier ga je in elk geval mis:

Verwijderd schreef op woensdag 4 juli 2018 @ 22:25:
[...]
√(-2x²+15) = x² - 6

-2x + √(15) = x² - 6

Vul maar eens x=1 in

Via die substitutie van x²=y+6 is het in een paar stappen op te lossen.

Verwijderd schreef op woensdag 4 juli 2018 @ 22:49:
x=√7 of x= √3,

Hint: dat is de helft van de oplossingen voor x, waarmee je ook de missende y-waarden kunt vinden.
Kijk ook eens naar de symmetrie van de grafieken!

[ Voor 32% gewijzigd door Reptile209 op 04-07-2018 22:55 ]

[Liveshort]

Je eigen eerste antwoorden kloppen inderdaad niet. Jouw tweede naar derde stap klopt niet, je kunt niet zeggen dat sqrt(-2x^2 + 15) == -2x + sqrt(15), die twee zijn simpelweg niet gelijk. Verder is x=0 geen oplossing van de vierde-machtsvergelijking, dus die kun je ook niet zomaar zo invullen.

[Verwijderd]

hoe kom ik dan aan de andere twee coordinaten?

[Liveshort]

Kijk eens goed naar de antwoorden die je al hebt en met welke snijpunten deze overeenkomen op het plaatje bij de opgave. Wat kun je dan zeggen over de andere snijpunten?

[Reptile209]

Verwijderd schreef op woensdag 4 juli 2018 @ 22:57:
hoe kom ik dan aan de andere twee coordinaten?

Kijk even naar mijn bericht hierboven, dan heb je 4 x-en. En met 4 x-en kan je de y-en ook uitrekenen met een van beide formules.

[Verwijderd]

je hebt dus als x-en

x=√3 en x=√7

dat zijn de snijpunten aan de rechterkant van de grafiek, omdat ze symetrisch zijn zijn de x-en aan de andere kant
x=-√3 en x=-√7

door deze in te vullen in x²-6 krijg ik y-waarden en dus de snijpunten?

[Coffeemonster]

Tip: (-1)² = -1 · -1 = 1
-a = -1·a
en (ab)² = a²·b²

Daarom heeft "x² = 7" twee antwoorden.

Em om terug te komen op jouw foutje met de wortel: √5 is niet gelijk aan √2 + √3. Reken maar uit met je rekenmachine. √2·√3 is wel gelijk aan √6.

[ Voor 48% gewijzigd door Coffeemonster op 04-07-2018 23:45 ]

[Señor Sjon]

Wiskundige problemen passen beter bij Wetenschap. Tikje naar AWM.
Overigens zijn huiswerkvragen niet verboden op GoT, mits de TS ook gewoon moeite in het probleem steekt.

[stftweaker]

Señor Sjon schreef op donderdag 5 juli 2018 @ 08:41:
[mbr]Wiskundige problemen passen beter bij Wetenschap. Tikje naar AWM.
Overigens zijn huiswerkvragen niet verboden op GoT, mits de TS ook gewoon moeite in het probleem steekt. :)[/]

Alleen maar goed dat er mensen zijn die buitenaf willen helpen. Al zou ik meer zeggen ga naar je docent. Deze wordt namelijk betaald om het je te leren.

[Kraay89]

Liveshort schreef op woensdag 4 juli 2018 @ 22:36:
x^4 - 10x^2 + 21 = 0

Hoewel die vierde macht hier wat intimiderend lijkt, is dit een vrij eenvoudige vergelijking om op te lossen (met bijvoorbeeld de abc formule als je het ontbinden in factoren niet direct spot).

Zou je willen uitweiden hoe je hier de ABC formule toepast? Ik ken die alleen maar als toepasbaar op de vorm Ax² + Bx + C = 0

met:
x_1,2 = (-B ± √(B² - 4 * A * C)) / 2 * A

Het lijkt me dat dit niet 1 op 1 overdraagbaar is op een variant met een vierde macht. Of mis ik een wiskundige rekenregel?

[ Voor 6% gewijzigd door Kraay89 op 05-07-2018 11:41 ]

[zeeg]

Kraay89 schreef op donderdag 5 juli 2018 @ 11:39:
[...]


Zou je willen uitweiden hoe je hier de ABC formule toepast? Ik ken die alleen maar als toepasbaar op de vorm Ax² + Bx + C = 0

Het lijkt me dat dit niet 1 op 1 overdraagbaar is op een variant met een vierde macht. Of mis ik een wiskundige rekenregel?

Substitutie z = x² gebruiken?

[Kraay89]

zeeg schreef op donderdag 5 juli 2018 @ 11:41:
[...]

Substitutie z = x² gebruiken?

Ah tuurlijk, excuus. Tijd voor koffie kennelijk!

[Liveshort]

Kraay89 schreef op donderdag 5 juli 2018 @ 11:39:
[...]


Zou je willen uitweiden hoe je hier de ABC formule toepast? Ik ken die alleen maar als toepasbaar op de vorm Ax² + Bx + C = 0

Het lijkt me dat dit niet 1 op 1 overdraagbaar is op een variant met een vierde macht. Of mis ik een wiskundige rekenregel?

Zoals hierboven, met de substitutie z = x^2 kom je hier op het antwoord uit. Je hebt zeker gelijk dat de abc-formule in het algemeen niet voor vierde-machtsvergelijkingen te gebruiken is (als er ook nog x^3- en x-termen aanwezig zijn), maar over het algemeen worden voor dit soort middelbare-schoolopgaves relatief makkelijk oplosbare formules gebruikt met een mooi kort antwoord. Dat maakt dat het in dit geval werkt. In zijn algemeenheid is het natuurlijk beter om te kijken of je eerst een normale tweede-machtsvergelijking ergens vandaan kunt toveren, zoals je hier met y kunt doen, omdat de abc-formule daarvoor gegarandeerd werkt.

[.oisyn]

Liveshort schreef op woensdag 4 juli 2018 @ 22:54:
Je eigen eerste antwoorden kloppen inderdaad niet. Jouw tweede naar derde stap klopt niet, je kunt niet zeggen dat sqrt(-2x^2 + 15) == -2x + sqrt(15)

Snap je dit, @Verwijderd? In het kort, het is niet zo dat (x+y)² = x² + y². Want (x+y)² = (x+y)(x+y) = x² + y² + 2xy (jeweetwel, kruislings vermenigvuldigen).

Hieruit volgt dat √(a+b) niet hetzelfde is als √a + √b, en dus kun je dat niet zomaar reduceren. Bij vermenigvuldiging kan dat overigens wel: √(a∙b) = √a∙√b, maar ook dat lijkt mis te gaan in jouw reductie van √(-2x²) naar -2x, dat wordt natuurlijk √(-2)∙√(x²), en dan zit je met een probleem: worteltrekken uit een negatief getal


Om vervolgens mij eigen duit in het zakje te doen, ik benaderde hem iets anders:

2x² + y² = 15
y = x² - 6

De parabool kun je omschrijven naar:

x² - y - 6 = 0

Vermenigvuldigen met 2 aan beide zijden van de =:

2(x² - y - 6) = 2∙0
2x² - 2y - 12 = 0

Aftrekken van de ellips en reduceren:

2x² + y² - (2x² - 2y - 12) = 15 - 0
2x² + y² - 2x² + 2y + 12 = 15
y² + 2y + 12 = 15
y² + 2y - 3 = 0

tweedegraadsvergelijking kun je oplossen met de welbekende ABC formule, dit geeft y = 1 en y = -3. Dat zijn dus de snijpunten op de y-as. Vervolgens kun je deze y-coordinaten invullen in een van de twee vergelijkingen om de bijbehorende x-coordinaten te krijgen. Ik pak hier de parabool:

x² - 6 = 1
x² = 7
x = √7 en x = -√7

x² - 6 = -3
x² = 3
x = √3 en x = -√3

[ Voor 10% gewijzigd door .oisyn op 05-07-2018 12:22 ]

[jasper623]

Je zou ook jezelf kunnen controleren op:
Wolfram-alpha.
Dan zie je ook direct de antwoorden.

[ Voor 29% gewijzigd door jasper623 op 05-07-2018 15:12 ]

[fastedje]

Ken je de app photomath? Hiermee kan je 1 of 2 vergelijkingen oplossen met alle russenstappen erbij.

[Reptile209]

fastedje schreef op donderdag 5 juli 2018 @ 20:49:
Ken je de app photomath? Hiermee kan je 1 of 2 vergelijkingen oplossen met alle russenstappen erbij.

Must... resist... nee, lukt niet

Hoe leerzaam denk je dat het is als een appje je huiswerk voor je oplost? Nu heeft de TS wat hints en alternatieve routes gekregen waar hij - hopelijk - wat van heeft opgestoken. Een volgende keer heeft hij dus meer tools tot z'n beschikking om het zelf op te kunnen lossen!

[fastedje]

Nou die app laat wel alle tussenstappen zien dus het kan zeker leerzaam zijn. Je moet je alleen niet laten verleiden om deze app altijd te gebruiken in plaats van zelf na te denken.