Kansberekening

[Robolokotobo]

Ik hoop dat er een paar rekenwonders zijn hier die me dit kunnen uitleggen. Er wordt 200 keer 1 prijs verloot in een loterij en ik kan alle 200 keer meedoen aan deze loterij. Bij elke prijs doen er 750 mensen mee. Laten we voor het gemak zeggen dat alle 750 mensen een onbeperkt aantal keren mogen winnen. Het enige dat ik als voordeel heb is dat er punten ingezet moeten worden voor elke loting. Ik zet namelijk iedere keer 500 punten in terwijl de andere mensen iedere keer 100 punten in zetten, wat er dus voor zorgt dat mijn kans om te winnen iedere keer 5 keer zo groot is dan dat van iedere andere deelnemer. Hoe groot is de kans dat na de 200 trekkingen ik een prijs gewonnen heb?

[g0tanks]

Lijkt wel weer een huiswerkvraag à la Kansberekening vraagstuk

Maargoed, hier weer een hint: laat die 200 keer even achterwege en bepaal eerst je kans bij slechts één trekking. Er doen 750 mensen mee, maar jij speelt effectief voor 5. Wat is dan je kans?

Vermenigvuldig die kans met het totaal aantal trekkingen om je totale kans te vinden.

[Robolokotobo]

Dan kom ik een kans van 1 op 150 per keer. Maar verder kom ik niet. Het enige wat mijn logica dan zegt is 0,66% kans per keer, en dat dan keer 200 is 133% kans. Maar als het over de 100% gaat dan zegt mij dat dat ik gegarandeerd 1 keer zou moeten winnen, en dat lijkt mij niet het geval. Al helemaal niet met een kans van 0,66% per trekking. Het is natuurlijk wel een KANS berekening. Ga ik daar de mist in? De KANS is 133% maar dat zegt niet dat ik wat ga winnen?

[Orion84]

Bereken je daarmee niet enkel de verwachtingswaarde? Kansrekening is nooit mijn sterkste vlak in de wiskunde geweest, maar ondanks dat de kans op het gooien van een 6, 1/6e is bij een normale dobbelsteen, is de kans op het gooien van een zes in 6 worpen niet gelijk aan 1. Dat zou namelijk impliceren dat je in 6 worpen altijd een zes gooit.

De kans dat je minstens 1 keer wint is 1 - de kans dat alle 200 trekkingen op de overige 749 deelnemers vallen (met 754 loten in totaal). En dat is iets als 1-0,993^200=0,75 ongeveer.

[technorabilia]

De kans op 2x een 6 gooien is 1/6 * 1/6.
De kans op 1x een 6 en 1x geen 6 is 1/6 * 5/6.

[breew]

je moet uitrekenen hoe groot de kans is dat je niet wint..., 100% - die kans = je uitkomst..

[Robolokotobo]

Hahaha lastig hoor. Ik snap dat 1/6 * 1/6 = 1/36. Maar wat 1/6 * 5/6 is, geen flauw idee. Ook de som van Orion snap ik niet. Ik snap niet hoe hij bij 0,993 komt en ^ is gedeeld door? Dan klopt die som toch niet? Ik snap van breew hoe je er voor zorgt dat je niet boven de 100% komt, maar verder ook niet

Ho wacht 1/6 * 5/6 = 5/36?

[ Voor 4% gewijzigd door Robolokotobo op 26-12-2016 08:57 ]

[DirtyBird]

Zoek eens op binomiale verdeling en dan moet je er wel uit kunnen komen. Succes!

[g0tanks]

Orion84 schreef op maandag 26 december 2016 @ 08:30:
Bereken je daarmee niet enkel de verwachtingswaarde? Kansrekening is nooit mijn sterkste vlak in de wiskunde geweest, maar ondanks dat de kans op het gooien van een 6, 1/6e is bij een normale dobbelsteen, is de kans op het gooien van een zes in 6 worpen niet gelijk aan 1. Dat zou namelijk impliceren dat je in 6 worpen altijd een zes gooit.

De kans dat je minstens 1 keer wint is 1 - de kans dat alle 200 trekkingen op de overige 749 deelnemers vallen (met 754 loten in totaal). En dat is iets als 1-0,993^200=0,75 ongeveer.

Orion84 heeft hier het goede antwoord. Achteraf gezien had ik ook wat duidelijker mogen zijn in mijn vorige post. Ik heb nooit pure statistiek gevolgd en ben daardoor nog wel eens wat minder strikt met termen.

Robolokotobo schreef op maandag 26 december 2016 @ 08:54:
Hahaha lastig hoor. Ik snap dat 1/6 * 1/6 = 1/36. Maar wat 1/6 * 5/6 is, geen flauw idee. Ook de som van Orion snap ik niet. Ik snap niet hoe hij bij 0,993 komt en ^ is gedeeld door? Dan klopt die som toch niet? Ik snap van breew hoe je er voor zorgt dat je niet boven de 100% komt, maar verder ook niet

Zoek op Google eens naar de kans om b.v. een 6 te gooien met één dobbelsteen na een willekeurig aantal worpen. Dat is een nagenoeg equivalent probleem en zal je vast verder helpen.

[Orion84]

Robolokotobo schreef op maandag 26 december 2016 @ 08:54:
Hahaha lastig hoor. Ik snap dat 1/6 * 1/6 = 1/36. Maar wat 1/6 * 5/6 is, geen flauw idee. Ook de som van Orion snap ik niet. Ik snap niet hoe hij bij 0,993 komt en ^ is gedeeld door? Dan klopt die som toch niet? Ik snap van breew hoe je er voor zorgt dat je niet boven de 100% komt, maar verder ook niet

Ho wacht 1/6 * 5/6 = 5/36?

die 0,993 is gewoon 1-0,0066 die jij zelf ook al gevonden had

En ^ is machtsverheffen

Dus 0,993*0,993...*0,993 voor de kans dat 200 keer een ander wint.

[breew]

voorbeeld:
de kans dat je met een dobbelsteen, na 6x gooien, minimaal één zes hebt gegooid is...:

de kans om geen 6 te gooien is 5/6
de kans om 6x achter elkaar geen 6 te gooien is: 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 = (5/6)^6 = 0.335 = 33.5%
de kans om dus wel één (of meerdere keren) zes te gooien is 100% - 33.5% = 66.5%

dit voorbeeld kun je toepassen op jouw som.

[Robolokotobo]

Ik snap nu hoe de berekening tot stand komt. Ik hoop dat ik het ook onthouden kan. Als dat niet lukt kan ik altijd dit topic nog weer opzoeken. Bedankt!

[Techneut]

Robolokotobo schreef op maandag 26 december 2016 @ 08:54:
Hahaha lastig hoor. Ik snap dat 1/6 * 1/6 = 1/36. Maar wat 1/6 * 5/6 is, geen flauw idee. Ook de som van Orion snap ik niet. Ik snap niet hoe hij bij 0,993 komt en ^ is gedeeld door? Dan klopt die som toch niet? Ik snap van breew hoe je er voor zorgt dat je niet boven de 100% komt, maar verder ook niet

Ho wacht 1/6 * 5/6 = 5/36?

Dat is toch gewoon eenvoudig rekenen wat je op basisschool of als je wat ouder bent de lagere school hebt geleerd? Ik dacht dat men zulke dingen nooit verleert.

Afgezien van alle beschouwingen en wetten van de kansberekening, wat vaak niet wordt beseft is dat een loting geen geheugen heeft. Dus de gedachte dat je statistisch gezien je wel eens moet winnen berust op een wijdverspreid misverstand waar organisatoren van loterijen dankbaar gebruik van maken. Elke keer dat je opnieuw meedoet is je kans om wel of niet te winnen even groot als alle vorige keren. Het onderdeel van de wiskunde heet daarom ook kansberekening en niet zekerheidsberekening.

Zuiver wiskundig, zonder de juiste formule te noemen, je kan met welke berekening dan ook nooit op honderd procent zeker uitkomen. Misschien op 99%, maar dan nog heb je 1% kans op een niet

Ook met dobbelstenen. De kans is één op zes dat je een zes gooit en elke volgende keer is dat weer het geval. De verleiding is groot om te beweren dat je met zes keer gooien er toch wel minstens één keer raak moet zijn. Iedereen weet dat dit niet zo hoeft te zijn.


Moraal van het verhaal: Door dat niet te begrijpen kopen sommigen zich arm aan loten zonder ooit tot de gelukkigen te behoren. Door al die "eigen geldjes" op te sparen kunnen ze af en toe lekker uit eten gaan.

[ Voor 5% gewijzigd door Techneut op 26-12-2016 16:03 ]

[vanaalten]

Techneut schreef op maandag 26 december 2016 @ 15:53:
[...]
Dat is toch gewoon eenvoudig rekenen wat je op basisschool of als je wat ouder bent de lagere school hebt geleerd? Ik dacht dat men zulke dingen nooit verleert.

Weet niet hoe het tegenwoordig is, of hoe het in jouw tijd ging, maar bij mij kwam kansberekening toch echt pas tijdens de middelbare school periode voorbij...

Moraal van het verhaal: Door dat niet te begrijpen kopen sommigen zich arm aan loten zonder ooit tot de gelukkigen te behoren. Door al die "eigen geldjes" op te sparen kunnen ze af en toe lekker uit eten gaan.

Aan de andere kant: met een staatsloterij o.i.d. meedoen is voor de meeste mensen eigenlijk wel de enige kans om stinkend rijk te worden. Leuk als je door geld sparen uit eten kan gaan, maar als je echt dat droomhuis en sportwagen wil, red je het daar niet mee.

[Techneut]

vanaalten schreef op maandag 26 december 2016 @ 15:58:
[...]

Weet niet hoe het tegenwoordig is, of hoe het in jouw tijd ging, maar bij mij kwam kansberekening toch echt pas tijdens de middelbare school periode voorbij...

Helemaal waar, maar dit simpele sommetje was alleen maar eenvoudig rekenen dat niets met kansberekening als zodanig had te maken. Hooguit dat je in alle verdere takken van de wiskunde dat elementaire rekenen nodig hebt.
Over de héééééééééél kleine kans op de hoofdprijs discussieer ik maar niet verder, dat zou nogal off topic worden. De bedoeling was om te benadrukken dat kansberekening alleen maar een kans berekent, meer niet.

Edit:
Ook al is dit ook off topic, een komisch verhaal, In menige woonplaats werden rond sinterklaas lootjes verstrekt bij aankopen. Op zeker moment hadden we rond die tijd een grote aankoop aan ons huis waardoor we wel driehonderd lootjes kregen. Mijn vrouw verklaarde me voor knettergek en ze had nog gelijk ook! Ik luisterde niet en vulde braaf op al die lootjes m'n naam en adres in, gooide ze in de daartoe bestemde bus en ....... en won niets. Een buurvrouw had maar 5 lootjes en ...... ze won de hoofdprijs die nog de moeite waard was ook. We gunden het haar en hebben er smakelijk om gelachen.

[ Voor 29% gewijzigd door Techneut op 26-12-2016 16:42 ]

[citomaster]

Techneut schreef op maandag 26 december 2016 @ 16:21:
[...]
Helemaal waar, maar dit simpele sommetje was alleen maar eenvoudig rekenen dat niets met kansberekening als zodanig had te maken. Hooguit dat je in alle verdere takken van de wiskunde dat elementaire rekenen nodig hebt.
Over de héééééééééél kleine kans op de hoofdprijs discussieer ik maar niet verder, dat zou nogal off topic worden. De bedoeling was om te benadrukken dat kansberekening alleen maar een kans berekent, meer niet.

Edit:
Ook al is dit ook off topic, een komisch verhaal, In menige woonplaats werden rond sinterklaas lootjes verstrekt bij aankopen. Op zeker moment hadden we rond die tijd een grote aankoop aan ons huis waardoor we wel driehonderd lootjes kregen. Mijn vrouw verklaarde me voor knettergek en ze had nog gelijk ook! Ik luisterde niet en vulde braaf op al die lootjes m'n naam en adres in, gooide ze in de daartoe bestemde bus en ....... en won niets. Een buurvrouw had maar 5 lootjes en ...... ze won de hoofdprijs die nog de moeite waard was ook. We gunden het haar en hebben er smakelijk om gelachen.

De daadwerkelijke handelingen die TS moest maken waren inderdaad vrij eenvoudig, maar de methode waarlangs de kans berekend kon worden is echt geen basisschoolmateriaal.

Off topic: loten bij een loterij koop je niet met logisch nadenken. Je koopt de 'spanning' of 'hoop' dat je een geldprijs wint.

[Obelink]

Bij dit alles: de meeste loterijen zijn in feite twee lotingen. Ik koop een lot en krijg een lotnummer toegewezen. Dat is de eerste loting. Het lot bepaald op een of andere manier welk lotnummer ik krijg. Dan is er de trekking, dat is de tweede loting.

[Techneut]

citomaster schreef op maandag 26 december 2016 @ 17:05:
[...]


De daadwerkelijke handelingen die TS moest maken waren inderdaad vrij eenvoudig, maar de methode waarlangs de kans berekend kon worden is echt geen basisschoolmateriaal.

Off topic: loten bij een loterij koop je niet met logisch nadenken. Je koopt de 'spanning' of 'hoop' dat je een geldprijs wint.

Ik beweerde ondanks dat commentaar op dat onbenullige rekensommetje (dat vroeg door de manier waarop het er stond) gewoon om:

Ik snap dat 1/6 * 1/6 = 1/36. Maar wat 1/6 * 5/6 is, geen flauw idee

niet dat het maar simpel is). Dat werd gewoon even verkeerd begrepen. Jammer, want het is bepaald geen basisschoolkost. Ook ontken ik niet dat laatst genoemde motief om aan een loterij deel te nemen. Ik noemde alleen maar omdat we het toch over dat onderwerp hadden dat veel mensen een niet realistische kijk hebben op kansberekening, een en ander verkeerd uitleggen, met als gevolg een veel te optimistisch verwachtingspatroon dat met benadering niet met de werkelijkheid overeenkomt, dat is alles.