Parabolische functie bij raaklijn zoeken

[WFvN]

Ik ben nu al een weekje aan het klooien met het volgende; Stel: je hebt een liniaire functie. Van deze functie is alles bekend zoals de formule (dus ook richtingscoëfficiënt en 2 punten op de lijn, snijpunt met de y-as)

Nu wil ik bij deze liniaire functie een bergparabool maken waarbij de liniaire functie de raaklijn is van de bergparabool. Van de bergparabool zijn minstens 2 punten bekend EN is dus de richtingscoëfficiënt bekend van de parabool op de plek waar deze de liniaire functie raakt.

Goed, de afgeleide van de bergparabool levert de richtingscoëfficiënt op in een bepaald punt; handige koppeling naar de liniaire functie dus. Toch krijg ik het antwoord er maar niet uit. Na wat functies te hebben ingevoerd in m'n TI-92 (met derive-achtig gebeuren) kreeg ik een melding dat er geen antwoord uit kon rollen wegens 'circular' gedoe; oftewel: k*t

Plaatje zegt soms meer dan woorden:



Iemand enig idee?

[edit]
Zo te zien ben ik niet volledig genoeg gezien de antwoorden. Bij deze een uitbreiding:
De liniaire functie is een gegeven. Dus bekend zijn:
B, H en G en daarmee ook RC Maar ook K, L, M en N

Verder staat ook van de kwadratische functie vast wat C is en dat in het punt (K,L) de 2 grafieken elkaar raken en dat in dat punt de RC gelijk is.

Samengevat:

De kwadratische functie is dus:
y = a*x² + b*x +c

waarbij a en b onbekend zijn en c bekend. doel is dus om a en b te vinden.

[ Voor 23% gewijzigd door WFvN op 06-12-2004 21:29 ]

[anandus]

Maar wat is je vraag precies?

Wil je gaan integreren? Overigens kan je met een Taylorbenadering ook dichtbij het antwoord komen, als ik het goed heb.
Maar ik weet niet precies wat je zoekt?

[WFvN]

anandus schreef op maandag 06 december 2004 @ 16:37:
Maar wat is je vraag precies?

Wil je gaan integreren? Overigens kan je met een Taylorbenadering ook dichtbij het antwoord komen, als ik het goed heb.
Maar ik weet niet precies wat je zoekt?

Ik wil de vergelijking hebben van de parabool.

Of het mogelijk is? Ik weet het niet. Lijkt me wel maar ik kom er maar niet uit.

Uiteindelijke doel is om de 2 functies samen te voegen tot één functie waarbij er een vloeiende overgang ontstaat van het linker deel van de parabool naar het rechter deel van de liniaire functie.

[ Voor 8% gewijzigd door WFvN op 06-12-2004 16:39 ]

[anandus]

WFvN schreef op maandag 06 december 2004 @ 16:39:
[...]

Ik wil de vergelijking hebben van de parabool.

Of het mogelijk is? Ik weet het niet. Lijkt me wel maar ik kom er maar niet uit.

Uiteindelijke doel is om de 2 functies samen te voegen tot één functie waarbij er een vloeiende overgang ontstaat van het linker deel van de parabool naar het rechter deel van de liniaire functie.

Dat is toch niet zo moeilijk?
Je kan, als je de lineaire functie hebt, en je hebt 1 of meerdere punten van de parabool gewoon integreren^*, zo heb je 2 functies, en dan stel je
f(x)=ax+b voor x<= snijpunt
F(x)=ax²+bx+C x>= snijpunt
(Je behoudt dus wel 2 verschillende functies voor de 2 domeinen)

Dit is toch gewoon integreren of ben ik een beetje suffig (het is maandag )

^*Als je integreren al met wiskunde hebt gehad, that is

[ Voor 17% gewijzigd door anandus op 06-12-2004 16:47 ]

[LtMarx]

Niet dat ik het zeker weet hoor maar hier gaan we:
Om de functie van een parabool te berekenen heb je altijd 3 punten nodig, net zoals je er 2 voor een lineaire heb. Het probleem is dat er nu maar 2 punten gegeven zijn. (van de parabool dus) het derde wat gegeven is, is de richtingscoefficient van waar de functies elkaar raken. Als je nu van beide functies (lineair f, parabool g) de afgeleide pakt en van elkaar aftrekt dan zou er 0 uit moeten komen als de richtingscoefficient gelijk aan elkaar zou zijn. Met andere woorden:
f'(x)-g'(x)=0 --> x--> geeft derde punt van de parabool. Nu is de parabool te berekenen denk ik.


Enjoy!

[WFvN]

anandus schreef op maandag 06 december 2004 @ 16:42:
[...]

Dat is toch niet zo moeilijk?
Je kan, als je de lineaire functie hebt, en je hebt 1 of meerdere punten van de parabool gewoon integreren^*, zo heb je 2 functies, en dan stel je
f(x)=ax+b voor x<= snijpunt
F(x)=ax²+bx+C x>= snijpunt
(Je behoudt dus wel 2 verschillende functies voor de 2 domeinen)

Dit is toch gewoon integreren of ben ik een beetje suffig (het is maandag )

^*Als je integreren al met wiskunde hebt gehad, that is

Tja, integreren ben ik ook al mee aan de slag geweest. Ik heb al wel functies eruit gekregen maar helaas... niet één die ook maar een beetje in de buurt kwam; kortom: toch minimaal 1 flinke fout erin. En met alleen integreren kom je er helaas niet. Zie ook hieronder:

Lt. Marx schreef op maandag 06 december 2004 @ 16:53:
Niet dat ik het zeker weet hoor maar hier gaan we:
Om de functie van een parabool te berekenen heb je altijd 3 punten nodig, net zoals je er 2 voor een lineaire heb. Het probleem is dat er nu maar 2 punten gegeven zijn. (van de parabool dus) het derde wat gegeven is, is de richtingscoefficient van waar de functies elkaar raken. Als je nu van beide functies (lineair f, parabool g) de afgeleide pakt en van elkaar aftrekt dan zou er 0 uit moeten komen als de richtingscoefficient gelijk aan elkaar zou zijn. Met andere woorden:
f'(x)-g'(x)=0 --> x--> geeft derde punt van de parabool. Nu is de parabool te berekenen denk ik.

Hm.... dat is het proberen waard. Nog niet aan gedacht

Enjoy!

Busy writing enzo

[dusty]

Je hebt 3 punten nodig, tenzij je dus twee punten hebt op dezelfde Y lijn, immers weet je dan welke X de top zou moeten bevatten en kan je weer gaan rekenen hoe hoog die moet zijn om de raaklijn te kunnen raken, maar dan krijg je dus in principe een recursieve functie, waar de meeste rekenmachines zeggen van : Bekijk het maar, ik ga niet in een cirkeltje lopen

[Botje]

Gegeven
de rechte lijn y=ax+b
de parabool y=f(x)=Ax² +Bx +C

Rechte lijn raakt in onbekend punt P.
P ligt op de parabool, dus invullen.
P ligt op de rechte lijn, dus invullen
De richtingscoefficient in P is de afgeleide daar: df/dx(P) en dat is gegeven nl a..

Hiermee moet het lukken.

[anandus]

Maar kan je het dan niet met een Taylorbenadering proberen?

edit:
Wat bovenstaande zei, leek mij ook?

[ Voor 30% gewijzigd door anandus op 06-12-2004 18:30 ]

[Botje]

anandus schreef op maandag 06 december 2004 @ 18:27:
Maar kan je het dan niet met een Taylorbenadering proberen?

edit:
Wat bovenstaande zei, leek mij ook?

Begrijp ik niet helemaal.
Een taylorreeks van een tweede graadsveelterm is natuurlijk een tweede graads veelterm.
De raaklijn is gewoon het lineaire stuk er van.

[dusty]

Het probleem is dus dat je maar twee punten hebt, en geen idee hebt WAAR de top van de parabool is. Dat kan tussen de punten liggen, echter is het ook mogelijk dat de punten beiden aan een kant van de top liggen. En is het dus onmogelijk om een exacte oplossing van je parabool te geven, maar is er dus een kans dat het antwoord een bereik is.

[Opi]

dusty schreef op maandag 06 december 2004 @ 17:08:
Je hebt 3 punten nodig

Je hebt niet drie punten nodig als je weet in welk punt je wilt dat de raaklijn gelijk moet zijn, men dient alleen een bepaalde waarde voor een van de variabelen te kiezen. Indien er geen waarde aan een van de variabelen wordt toegekend is het inderdaad zo dat er oneindig veel mogelijkheden zijn.

De vergelijking van de lijn is y = ax + b.
De vergelijking van de parabool is y = cx² + dx + e.
Voor een bepaalde (x,y) moet gelden:
1. a = 2cx + d
2. ax + b = cx² + dx + e

Stel a en b zijn respectievelijk 2 en 3. En wil de parabool in het punt (1,5) bepalen. Dan geldt d = 2 - 2c (gebruik makend van vergelijking 1.). Dit kan dan weer gesubstitueerd worden in vergelijking 2. resulterend in
5 = c + d + e = -c + 2 + e.
ofwel
e = c + 3.
kies nu een bepaalde waarde voor c en klaar is Kees.

Voor d en e geldt in formule vorm:
d = a - 2cx
en
e = ax + b - cx² - (a - 2x)x
ofwel
e = (c - 2)x² + b

[Botje]

OpifexMaximus schreef op maandag 06 december 2004 @ 19:22:
[...]

Je hebt niet drie punten nodig als je weet in welk punt je wilt dat de raaklijn gelijk moet zijn, men dient alleen een bepaalde waarde voor een van de variabelen te kiezen. Indien er geen waarde aan een van de variabelen wordt toegekend is het inderdaad zo dat er oneindig veel mogelijkheden zijn.

De vergelijking van de lijn is y = ax + b.
De vergelijking van de parabool is y = cx² + dx + e.
Voor een bepaalde (x,y) moet gelden:
1. a = 2cx + d
2. ax + b = cx² + dx + e

Stel a en b zijn respectievelijk 2 en 3. En wil de parabool in het punt (1,5) bepalen. Dan geldt d = 2 - 2c (gebruik makend van vergelijking 1.). Dit kan dan weer gesubstitueerd worden in vergelijking 2. resulterend in
5 = c + d + e = -c + 2 + e.
ofwel
e = c + 3.
kies nu een bepaalde waarde voor c en klaar is Kees.

Voor d en e geldt in formule vorm:
d = a - 2cx
en
e = ax + b - cx² - (a - 2x)x
ofwel
e = (c - 2)x² + b

Lijkt me niet helemaal wat gevraagd wordt.
Stel, neem jouw formules over,
De vergelijking van de lijn is y = ax + b.
De vergelijking van de parabool is y = cx² + dx + e.

Stel dat de gegeven punten waar de parabool door heen moet zijn (1,1) en (2,1)
(gewoon willekeurige getallen)
Moeten op de parabool liggen. Vul in; dan twee vergelijkingen met 3 onbekenden c, d, e.
Kan dus c en d in e uitdrukken.
Resultaat voor dit geval:
y=1/2(-1+e)x² + 1/2(3-3e)x +e

De raaklijn raakt in het onbekende punt (p,q)
Er ontstaan nu 3 vergelijkingen
1. het punt (p,q) ligt op de rechte lijn
2. het punt (p,q) ligt op de parabool
3. de rechte lijn is raaklijn in (p,q); dwz afgeleide van parabool in (p,q) is richtingscoef a

Er zijn 3 onbekenden nl p,q, en e. Dus in principe oplosbaar.

[Opi]

Botje schreef op maandag 06 december 2004 @ 21:47:
Stel dat de gegeven punten waar de parabool door heen moet zijn (1,1) en (2,1)
(gewoon willekeurige getallen)

Ik ben/was niet van het feit op de hoogte dat de parabool door twee bepaalde punten moet gaan.

De raaklijn raakt in het onbekende punt (p,q)
Er ontstaan nu 3 vergelijkingen
1. het punt (p,q) ligt op de rechte lijn
2. het punt (p,q) ligt op de parabool
3. de rechte lijn is raaklijn in (p,q); dwz afgeleide van parabool in (p,q) is richtingscoef a

Er zijn 3 onbekenden nl p,q, en e. Dus in principe oplosbaar.

Welke extra informatie verschaft vergelijking 1. die niet overlapt met vergelijkingen 2. en 3.?

[WFvN]

Ik heb die zooi nu al tig keer doorgerekend en op meerdere manieren getracht te benaderen. Ik had net één parabool waarvan de vorm aardig goed leek en ook aardig in de buurt van de liniaire functie kwam maar iets te laag lag. Tja, c aanpassen is een mogelijkheid maar dan gaat de functie niet meer door het punt (0,c)

Het lijkt er regelmatig op dat er toch een kringverwijzing optreedt waar de rekenmachine geen zin in heeft (evenals Excel, denk aan =A1 plakken in B1 en in A1 plakken =B1. Dat gaat ook niet goed)

[Botje]

WFvN schreef op dinsdag 07 december 2004 @ 11:32:
Ik heb die zooi nu al tig keer doorgerekend en op meerdere manieren getracht te benaderen. Ik had net één parabool waarvan de vorm aardig goed leek en ook aardig in de buurt van de liniaire functie kwam maar iets te laag lag. Tja, c aanpassen is een mogelijkheid maar dan gaat de functie niet meer door het punt (0,c)

Het lijkt er regelmatig op dat er toch een kringverwijzing optreedt waar de rekenmachine geen zin in heeft (evenals Excel, denk aan =A1 plakken in B1 en in A1 plakken =B1. Dat gaat ook niet goed)

Ik kijk even naar je eerste bericht.
Daar zeg je wat troebelig:
De rechte gaat door de punten (0,B) en (H,G) en ligt daardoor vast..
Dat de rechte ook nog gaat door (M,N) is overbodig.
MEE EENS?

Van de parabool is gegeven:
* gaat door het punt (0,C)
* gaat door het punt (K,L)
* het punt (K,L) is het raakpunt net de rechte lijn.
MEE EENS?

Als y=f(x) de de parabool voorstelt, dan geldt
* C=f(0)
* L=f(K)
* afgeleide van f in het punt K is RC rechte lijn.

Dat zijn drie vergelijkingen voor de drie onbekende coefficienten in f.

MEE EENS?

[Botje]

OpifexMaximus schreef op dinsdag 07 december 2004 @ 00:29:
[...]

Ik ben/was niet van het feit op de hoogte dat de parabool door twee bepaalde punten moet gaan.

[...]

Welke extra informatie verschaft vergelijking 1. die niet overlapt met vergelijkingen 2. en 3.?

De eerste twee vergelijkingen zeggen dat de rechte lijn en de parabool elkaar in dat punt snijden.
De derde vergelijking selecteert uit alle rechte lijnen door dat punt die rechte lijn die raakt.

[WFvN]

Botje schreef op dinsdag 07 december 2004 @ 14:11:
[...]


Ik kijk even naar je eerste bericht.
Daar zeg je wat troebelig:
De rechte gaat door de punten (0,B) en (H,G) en ligt daardoor vast..
Dat de rechte ook nog gaat door (M,N) is overbodig.
MEE EENS?

Zeker, bij een liniaire functie volstaan 2 punten

Van de parabool is gegeven:
* gaat door het punt (0,C)
* gaat door het punt (K,L)
* het punt (K,L) is het raakpunt net de rechte lijn.
MEE EENS?

Klopt

Als y=f(x) de de parabool voorstelt, dan geldt
* C=f(0)
* L=f(K)
* afgeleide van f in het punt K is RC rechte lijn.

Klopt ook

Dat zijn drie vergelijkingen voor de drie onbekende coefficienten in f.

MEE EENS?

Helemaal mee eens en op basis daarvan zou je dan ook mogen verwachten dat je de vergelijkingen op kan lossen. De praktijk heeft bij mij toch vaak anders uitgewezen (kruisverwijzingen in m'n rekenmachine, of indien wél een antwoord, dan elke keer een andere maar niet de juiste).

ik ben inmiddels al een paar keer hélemaal overnieuw begonnen in de hoop mijn fouten eruit te halen maar tot dusver geen succes geboekt.

[Opi]

Botje schreef op dinsdag 07 december 2004 @ 14:17:
De eerste twee vergelijkingen zeggen dat de rechte lijn en de parabool elkaar in dat punt snijden.
De derde vergelijking selecteert uit alle rechte lijnen door dat punt die rechte lijn die raakt.

Strikt genomen heb je vergelijking 1 dan niet nodig. Uit vergelijking 3. weet je wat de richtingscoefficient moet zijn in een bepaald punt. Voor een bepaalde x moet er dus een vast y en een vaste y' zijn.

[Opi]

De vergelijking van de lijn is y = ax + b.
De vergelijking van de parabool is y = cx² + dx + e.
Voor een bepaalde (x,y) moet gelden:
1. a = 2cx + d
2. ax + b = cx² + dx + e

De informatie is:
Van de parabool is gegeven:
a. gaat door het punt (0,C)
b. gaat door het punt (K,L)
c. het punt (K,L) is het raakpunt net de rechte lijn.

y' = cx + d
x1. y'(K) = a = cK + d
x2. y(K) = L = cK² + dK + e
x3. y(0) = C = e

Substitueer x3. in x2. en schrijf x2. om in de vorm d = f(c). Substitueer deze vergelijking in x1. en bepaald zodoende c. Vervolgens kan je de waarde van c in vullen in vergelijking x2. en voila.

[Sendy]

Je bent toch een beetje nog een beetje onduidelijk. Wat betekent

De liniaire functie is een gegeven. Dus bekend zijn:
B, H en G en daarmee ook RC Maar ook K, L, M en N

En dan specifiek, "bekend zijn K en L". Is (K, L) het punt waar de parabool de rechte lijn raakt (dus K gegeven), of zijn die punten helemaal niet gegeven?

Als je namelijk weet dat
1) Voor de rechte lijn geldt f(0) = B, en f(G) = H
2) Voor de parabool geldt g(0) = C

en

3) De parabool g en de rechte lijn f raken elkaar in x=K

dan kan je het natuurlijk simpel oplossen. Zonder 3) kan dat niet (want er zijn ontelbaar veel parabolen die de lijn raken en door dat punt op de y-as gaan)

[Anoniem: 9942]

Dit zou niet al te moeilijk mogen zijn.

je hebt de afgeleide: f(x)=ax+b

integreren geeft F(x)=1/2ax^2+bx+c

C weet je, a en b ook vanuit de afgeleide, dus wat is het probleem?

[Botje]

WFvN schreef op dinsdag 07 december 2004 @ 14:17:
[...]

Zeker, bij een liniaire functie volstaan 2 punten

[...]

Klopt

[...]

Klopt ook

[...]

Helemaal mee eens en op basis daarvan zou je dan ook mogen verwachten dat je de vergelijkingen op kan lossen. De praktijk heeft bij mij toch vaak anders uitgewezen (kruisverwijzingen in m'n rekenmachine, of indien wél een antwoord, dan elke keer een andere maar niet de juiste).

ik ben inmiddels al een paar keer hélemaal overnieuw begonnen in de hoop mijn fouten eruit te halen maar tot dusver geen succes geboekt.

Goed.
De rechte lijn is y=ax+b
de parabool is y=ex²+fx+g
Het punt (0,C) ligt op parabool. Invullen levert g:=C
Dus de parabool wordt y=ex²+fx+C
Het punt (K,L) ligt er op: L=eK²+fK+C
Nu de richting van de raaklijn
a=2eK+f
Nu twee lineaire vergelijkingen voor de onbekenden e en f:
eK²+fK+C=L
2eK+f=a
Vermenigvuldig de eerste vergelijking met 2 en de tweede vergelijking met K en trek af
2fK+2C-fK=2L-aK
Hieruit is f op te lossen: fK=2L-aK-2C.
Daarna volgt via de vergelijking a=2eK+f de onbekende e.
Geen rekenfouten hoop ik.

[dusty]

Sendy schreef op dinsdag 07 december 2004 @ 14:31:
Je bent toch een beetje nog een beetje onduidelijk. Wat betekent
[...]
En dan specifiek, "bekend zijn K en L". Is (K, L) het punt waar de parabool de rechte lijn raakt (dus K gegeven), of zijn die punten helemaal niet gegeven?
[..]
3) De parabool g en de rechte lijn f raken elkaar in x=K

dan kan je het natuurlijk simpel oplossen. Zonder 3) kan dat niet (want er zijn ontelbaar veel parabolen die de lijn raken en door dat punt op de y-as gaan)

quote uit de edit:

Verder staat ook van de kwadratische functie vast wat C is en dat in het punt (K,L) de 2 grafieken elkaar raken en dat in dat punt de RC gelijk is.

Dus, ja 3) is geldig, wat dat punt dus een bijzonder punt maakt. ( waardoor de berekening wel mogelijk wordt. )

Bij mijn eerste reactie (voor de edit) was het voor mij niet duidelijk dat het raakpunt zelf was gegeven. En dus zat ik met een rechte lijn, en twee punten van een parabool zonder raakpunt.

[Grijze Vos]

Ik zie de moeilijkheid ook niet echt. (Lees wat cpt Proton zegt. )

[Anoniem: 90555]

linieare functie: g(x)= ax+b
kwadratische functie: f(x)= cx^2+dx+e

Gegeven:

ax+b=cx^2+bx+e => c=(ax+b-dx+e)/(x^2) en d=(ax+b - cx^2 - e)/x

a=2cx+d => c=(a-d)/(2x) en d=a - (2cx)

als je nu de 'd' in 'c=(a-d)/(2x) vervant door de '(ax+b - cx^2 - e)/x' uit de 1e vergelijking
en je de 'c' in 'd=a - (2cx)' vervant door de '(ax+b-dx+e)/(x^2)' uit de 1e vergelijking

je vervangt de 'x' door K sinds die ook gegeven is.

dan kom ik uit op:

d= (a/3) - (2a/3) + (2b/3K) + (2e/3)

en voor elke c < 0 geldt:

c = (-b/K^2) + (e/K^2)

[ Voor 53% gewijzigd door Anoniem: 90555 op 07-12-2004 21:34 ]

[WFvN]

Ik heb onderstaand verhaal ook maar eens ingevoerd. In eerste instantie kreeg ik een mooie bergparabool maar 1 met een top die op de y-as ergens rond de 20000 lag.

Anoniem: 90555 schreef op dinsdag 07 december 2004 @ 20:47:
linieare functie: g(x)= ax+b
kwadratische functie: f(x)= cx^2+dx+e

Gegeven:

ax+b=cx^2+bx+e => c=(ax+b-dx+e)/(x^2) en d=(ax+b - cx^2 - e)/x

moet volgens mij zijn:

ax+b=cx^2+bx+e => c=(ax+b-(dx+e))/(x^2) en d=(ax+b - cx^2 - e)/x

Haakjes vergeten of vergeten een teken 1x om te klappen.

Maar duidelijk tot zover;deze stelling geldt voor het punt waar de 2 grafieken elkaar raken dus in punt (K,L)

a=2cx+d => c=(a-d)/(2x) en d=a - (2cx)

als je nu de 'd' in 'c=(a-d)/(2x) vervant door de '(ax+b - cx^2 - e)/x' uit de 1e vergelijking
en je de 'c' in 'd=a - (2cx)' vervant door de '(ax+b-dx+e)/(x^2)' uit de 1e vergelijking

Daar komen de haakjes weer:

de 'c' in 'd=a - (2cx)' vervant door de '(ax+b-(dx+e))/(x^2)' uit de 1e vergelijking
[/quote]
Ik kom dan uit op

d=a-(ax+b-cx²-e)/x

c=a/2x - (ax+b-cx²-e)/(2x²)

je vervangt de 'x' door K sinds die ook gegeven is.

dan kom ik uit op:

d= (a/3) - (2a/3) + (2b/3K) + (2e/3)

Ik kom uit op

d = b/k + c*K - e

en

c = ( (b-e) / K² ) / 3

Combineren van deze 2 formules levert dan:

d = b/K + K/3 * (b-e)/K² - e

en voor elke c < 0 geldt:

c = (-b/K^2) + (e/K^2)

alleen is C in mijn geval altijd groter of gelijk aan 1.

[Botje]

WFvN schreef op woensdag 08 december 2004 @ 11:39:
Ik heb onderstaand verhaal ook maar eens ingevoerd. In eerste instantie kreeg ik een mooie bergparabool maar 1 met een top die op de y-as ergens rond de 20000 lag.


alleen is C in mijn geval altijd groter of gelijk aan 1.

Ik begrijp er niets van.
Als alle gegevens kloppen:
. de gegeven raakijn y=ax+b met bekende a,b
. de gevraagde parabool y=ex²+fx+C met onbekende e,f
. op parabool ligt bekend punt (K,L)
. in (K,L) raakt rechte lijn aan parabool

Dan staat in mijn post dat dan de onbekenden e en f zijn:

e = a/(2K) - (2L-2C-aK)/k²
f = (2L-2C-aK)/K

Kom je er nog niet uit zet dan de volledige opgave op het forum.

[Anoniem: 90555]

hmmz overnieuw dan:

linieare functie: g(x)= ax+b
kwadratische functie: f(x)= cx^2+dx+e

Gegeven:
ax+b=cx^2+bx+e
a=2cx+d

ax+b=cx^2+bx+e
=>
c=(ax+b-dx-e)/(x^2) =a/x+b/(x^2) - (d/x) - e/(x^2)
d=(ax+b - cx^2 - e)/x = a+(b/x) - cx - (e/x)


a=2cx+d
=>
c=(a-d)/(2x)
d=a - (2cx)

c=(a-d)/(2x)=(a-(a+b/x -cx -e/x))/(2x)=(a-a-b/x+cx+e/x)/(2x)= -b/(2x^2)+c/2+e/(2x^2)

=> c/2=(e-b)/(2x^2)
c=(e-b)/(x^2)= (e-b)/(K^2)

d=a-2cx=a-2x((e-b)/(x^2))=a-2(e-b)/x=a-(2e+2b)/x=a - (2e+2b)/K

't is bergparabool dus c < 0

kortom:
c=(e-b)/(K^2) => e < b
d=a - (2e+2b)/K

*hopend dat ik geen kleine foutjes gemaakt heb

[ Voor 12% gewijzigd door Anoniem: 90555 op 08-12-2004 20:16 ]

[WFvN]

Ik word echt niet goed....

Ik had een functie die aardig in de buurt kwam maar iets te laag ligt. Om overzicht te krijgen heb ik de spreadsheet wat vereenvoudigd voor meer overzicht (overbodige sh*t eruit gehaald). Opnieuw mijn eigen functie ingevoerd, issie ineens anders Nog steeds wel aardig in de buurt maar de top is verplaatst.

Van Theekopje en botje heb ik ook de grafieken erin verwerkt. Ik denk dat dit nog het duidelijkst is:

http://members.home.nl/wfvn2/grafieken.xls

Bij mijn grafiek zie je wel dat ik er aardig in de buurt zit maar niet goed genoeg. Het x-coördinaat van de top is bij mij gelijk aan de x-coördinaat van het snijpunt. Dat kan natuurlijk alleen als de liniaire functie een RC van 0 heeft. Nu moet de top iets rechts van het raakpunt liggen maar dat doet hij dus niet.

[Anoniem: 90555]

hmmz, zal er nog wel is naar kijken. Verder kun je je vraag ook stellen bij:
www.wisfaq.nl

[WFvN]

Anoniem: 90555 schreef op woensdag 08 december 2004 @ 20:33:
hmmz, zal er nog wel is naar kijken. Verder kun je je vraag ook stellen bij:
www.wisfaq.nl

Done.... thanx

Fraaie website trouwens. Eerst even wat dingen doorgesnuffeld. Er staat wel iets bij wat enigszins in de buurt komt maar absoluut geen antwoord op m'n vraag. Dus maar een duidelijke omschrijving geprobeerd te maken

[edit]
Ze zijn vlot:

http://www.wisfaq.nl/showrecord.asp?id=31087

Alleen.... domdomdom.... ik heb gezegd a>0 terwijl dat moet zijn a<0
Dus een reactie gestuurd met m'n fout.

[ Voor 18% gewijzigd door WFvN op 08-12-2004 23:16 ]

[GeeBee]

Taylorontwikkeling gebruiken lijkt me als schieten met een kanon op een mug.
Als ik morgen mn tussenuur nog heb, dan zal ik eens gaan puzzelen, of mn collegae er mee lastigvallen

[Anoniem: 9942]

toch zie ik niet wat er mis is met mijn oplossing. Je hebt de vergelijking van de raaklijn (f(x)=ux+v, met u = (h-b)/g en v = b) en je hebt de C van de parabool: waarom niet simpel integeren?

f(x)=ux+v --> F(x)=1/2ux^2+vx+w

u en v weet je al, en w = c. klaar.

[WFvN]

Anoniem: 9942 schreef op donderdag 09 december 2004 @ 02:10:
toch zie ik niet wat er mis is met mijn oplossing. Je hebt de vergelijking van de raaklijn (f(x)=ux+v, met u = (h-b)/g en v = b) en je hebt de C van de parabool: waarom niet simpel integeren?

f(x)=ux+v --> F(x)=1/2ux^2+vx+w

u en v weet je al, en w = c. klaar.

Vreemdgenoeg is er toch bij flink wat mensen iets verkeerd gegaan (waaronder bij mij inmiddels meer dan 20x)

Maar ik ben eruit.

Even de complete uitwerking:

f(x) = ax+b
g(x) = cx²+dx+e

Bekend is dat de RC van f(x) gelijk is aan de afgeleide van g(x) dus:

g'(x) = 2cx+d

a = 2cx+d in het punt (K,L) dus
a = 2cK+d

Verder is ook bekend dat in het punt (K,L) de 2 functies gelijk zijn. Dus:

f(x) = g(x)
ax+b = cx²+dx+e met x=K
aK + b = cK² +dK +e

Substitueren van a in deze functie:

(2cK+d)*K + b = cK²+dK+e
2cK²+dK+b = cK²+dK+e
cK²+b=e
c=(e-b)/K²

term c is nu dus bekend; e, b en K zijn bekenden dus c is opgelost.

Nu term d

We kunnen nu één punt invullen in g(x) om aan het antwoord te komen. Ik pak bekend punt (K,L)
Verder kunnen we c substitueren in de functie:

y = ax²+bx+c

L = ((e-b)/K²)K² + dK + e
L = (e-b) + dK + e
dK = -2e + b + L
d = (-2e + b + L)/K


We hebben nodig de termen a, b, c, d en e

a = RC van de f(x) en die was bekend
b = snijpunt met y-as van f(x) en die was bekend
c = (e-b)/K²
d = (-2e + b + L)/K
e = snijpunt met de y-as van g(x) en die was bekend.

Samengevat:

g(x) = (e-b)/K²*x² + (-2e + b + L)/K*x + e


Oplossing in http://members.home.nl/wfvn2/grafieken.xls

[Botje]

WFvN schreef op donderdag 09 december 2004 @ 10:31:
[...]

Vreemdgenoeg is er toch bij flink wat mensen iets verkeerd gegaan (waaronder bij mij inmiddels meer dan 20x)

Maar ik ben eruit.

Even de complete uitwerking:

f(x) = ax+b
g(x) = cx²+dx+e

Bekend is dat de RC van f(x) gelijk is aan de afgeleide van g(x) dus:

g'(x) = 2cx+d

a = 2cx+d in het punt (K,L) dus
a = 2cK+d

Verder is ook bekend dat in het punt (K,L) de 2 functies gelijk zijn. Dus:

f(x) = g(x)
ax+b = cx²+dx+e met x=K
aK + b = cK² +dK +e

Substitueren van a in deze functie:

(2cK+d)*K + b = cK²+dK+e
2cK²+dK+b = cK²+dK+e
cK²+b=e
c=(e-b)/K²

term c is nu dus bekend; e, b en K zijn bekenden dus c is opgelost.

Nu term d

We kunnen nu één punt invullen in g(x) om aan het antwoord te komen. Ik pak bekend punt (K,L)
Verder kunnen we c substitueren in de functie:

y = ax²+bx+c

L = ((e-b)/K²)K² + dK + e
L = (e-b) + dK + e
dK = -2e + b + L
d = (-2e + b + L)/K


We hebben nodig de termen a, b, c, d en e

a = RC van de f(x) en die was bekend
b = snijpunt met y-as van f(x) en die was bekend
c = (e-b)/K²
d = (-2e + b + L)/K
e = snijpunt met de y-as van g(x) en die was bekend.

Samengevat:

g(x) = (e-b)/K²*x² + (-2e + b + L)/K*x + e


Oplossing in http://members.home.nl/wfvn2/grafieken.xls

Goed dat je er bent uitgekomen.
Maar toch nog een opmerking.
De formules die jij geeft voor c en d zijn ook de formules die ik gegeven heb (met andere leters)
in

Botje schreef op woensdag 08 december 2004 @ 13:29:
[...]


Ik begrijp er niets van.
Als alle gegevens kloppen:
. de gegeven raakijn y=ax+b met bekende a,b
. de gevraagde parabool y=ex²+fx+C met onbekende e,f
. op parabool ligt bekend punt (K,L)
. in (K,L) raakt rechte lijn aan parabool

Dan staat in mijn post dat dan de onbekenden e en f zijn:

e = a/(2K) - (2L-2C-aK)/k²
f = (2L-2C-aK)/K

Kom je er nog niet uit zet dan de volledige opgave op het forum.

In jouw letters gaf ik de vergelijkingen.
L=cK² + dK + e ,dwz punt (K,L) ligt op parabool
a=2cK + d dwz raaklijn in (K,L) heeft RC gelijk a.
Dat zijn twee vergelijkingen met twee onbekenden c en d.
Daaruit heb ik c geelimineerd door eerste vergelijking met 2 en de tweede vergelijking met K te vermenigvuldigen. Dan is d bekend en via de tweede vergelijking ook c. Die zien er dan iets anders uit dan de jouwe.

Maar goed, dat waren wat betweterige opmerkingen, waar je misschien wat aan hebt. Het belangrijkste is dat het probleen opgelost is.

[WFvN]

Botje schreef op donderdag 09 december 2004 @ 11:36:

Maar toch nog een opmerking.
De formules die jij geeft voor c en d zijn ook de formules die ik gegeven heb (met andere leters)
in

Wellicht dat ik fouten heb gemaakt bij het invoeren in Excel. Het is dan ook aardig onoverzichtelijk geworden in de oorspronkelijke werkblad in Excel.

In jouw letters gaf ik de vergelijkingen.
L=cK² + dK + e ,dwz punt (K,L) ligt op parabool
a=2cK + d dwz raaklijn in (K,L) heeft RC gelijk a.
Dat zijn twee vergelijkingen met twee onbekenden c en d.
Daaruit heb ik c geelimineerd door eerste vergelijking met 2 en de tweede vergelijking met K te vermenigvuldigen. Dan is d bekend en via de tweede vergelijking ook c. Die zien er dan iets anders uit dan de jouwe.

Maar goed, dat waren wat betweterige opmerkingen, waar je misschien wat aan hebt. Het belangrijkste is dat het probleen opgelost is.

Nja, betweterig? niet echt. Wel even handig om te weten dat ik daar flink aan het klooien ben geweest (ben ik sowiezo... meer dan een week om hieruit te komen )

Hartelijk dank en excuses dat ik blijkbaar verkeerd met je antwoord ben omgegaan.

[dkrijgsman]

@captain proton:
Je weet de afgeleide niet, je weet alleen de raaklijn en volgens m'n wiskunde boek geld dat de raaklijn R(x) aan grafriek f(x) in punt a gelijk is aan:
R(x)=f'(a)(x-a)+f(a)=f'(a)*x-f'(a)*a+f(a)

Je weet dus wat de afgeleide in punt a is, maar je weet de functie ervan niet.

[Anoniem: 90555]

@ WFvN:

L = ((e-b)/K²)K² + dK + e
L = (e-b) + dK + e
dK = -2e + b + L
d = (-2e + b + L)/K

volgens mij klopt dit, maar op de manier zoals ik het doe zou het ook moeten kloppen, en toch komt er een andere waarde voor 'd' uit kan iemand dat verklaren:

a=2cx+d=2cK+d
=> d=a-(2cK)

c is idd gelijk aan: (e-b)/(K^2)

dan mag je toch ook zeggen dat: d=a-(2cK)=a-(2* ((e-b)/(K^2))*K)=a-((2e-2b)/K) ?
oftewel: d=a-((2e-2b)/K)

dus is het nou:

d = (-2e + b + L)/K

of:

d=a-((2e-2b)/K)

[edit]

aah ik zie het al, wat je op 't eerste gezicht niet zou zeggen is toch waar:

a-((2e-2b)/K)=(-2e + b + L)/K

heb 't net even uitgewerkt en als je deze vergelijking gaat herleiden kom je uit op:
L=aK+b

ps. c=(e-b)/K^2 geldt natuurlijk niet als e=b want dan heb je geen parabool meer...

[ Voor 79% gewijzigd door Anoniem: 90555 op 12-12-2004 20:00 ]

[WFvN]

Anoniem: 90555 schreef op zondag 12 december 2004 @ 19:36:
[knip]
dus is het nou:

d = (-2e + b + L)/K

of:

d=a-((2e-2b)/K)

[edit]

aah ik zie het al, wat je op 't eerste gezicht niet zou zeggen is toch waar:

a-((2e-2b)/K)=(-2e + b + L)/K

heb 't net even uitgewerkt en als je deze vergelijking gaat herleiden kom je uit op:
L=aK+b

ps. c=(e-b)/K^2 geldt natuurlijk niet als e=b want dan heb je geen parabool meer...

ghehe

Ik was ook al aan het rekenen geslagen... maar zag het zo snel nog niet. Maar gelukkig: alles komt toch weer op z'n pootjes terecht.

[ Voor 23% gewijzigd door WFvN op 12-12-2004 20:07 ]

[eamelink]

WFvN schreef op zondag 12 december 2004 @ 20:06:
[...]

ghehe

Ik was ook al aan het rekenen geslagen... maar zag het zo snel nog niet. Maar gelukkig: alles komt toch weer op z'n pootjes terecht.

En de volgende keer laat je dus gewoon de GR in z'n hoesje zitten en excel ook ver weg en maak je in ieder geval een beginnetje gewoon analytisch Dat gaat altijd beter