Hulp nodig bij (opgave) differentiaalvergelijking

[Kipcorn]

Dit post ik even voor een vriend die zich hier niet kan registreren omdat ie alleen een hotmail adres heeft, en niet de moeite wil doen om een adres bij z'n provider aan te maken. (eat that, mark!)

Anyway, hoop dat het hier mag. Zo niet, merken we dat vanzelf wel.

Ik vroeg me af of iemand van jullie me zou kunnen helpen met een vraagstuk wiskunde over lineaire differentiaalvergelijkingen. Ik ben er al de hele ochtend naar aan het staren, en kijken op google, maar kom er niet uit.

De bedoeling is dat ik uit de onderstaande gegevens de diffrentiaal vergelijking bepaal, die de Temperatuur T in het vat beschrijft.
Ik heb bij de opgave de vergelijking zelf meegekregen voor controle, maar heb dus geen idee hoe ik daar moet komen.

Mocht iemand dit kunnen uitleggen zou ik daar zeer dankbaar mee zijn

Gegevens:
Gegeven een vat gevuld met een hoeveelheid vloeistof. De warmte capaciteit van het vat kan worden verwaarloosd ten opzichte van de warmtecapaciteit C van de vloeistof in het vat. (om de vloeistof temperatuur een graad Kelvin te verhogen is dus C joule nodig.) De warmtestroom O vanuit het vat naar de omgeving is rechtevenredig met het temperatuur verschil:

O=(T-Tomgeving) / R eenheid )= [W]

Waarbij T = de temperatuur van de vleoistof in het vat.
Tomg = de omgevingstemeratuur
R = de warmteweerstadn vat-omgeving

We gaan in het vervolg van de opgave de temperatuur van de vloeistof in het vat beschrijven ten opzichte van de omgevingstemperatuur:
T* = T - Tomg

Door een gasvlam onder het vat kan een vermogen P aan de vloeistof in het vat worden toegevoerd; eenheid P: [W]

[MrSleeves]

Het is me nog niet helemaal duidelijk:

Je hebt vermogen in Watt en het toevoegen van een hoeveelheid Joule (Watt/sec).

Misschien ook even handig om het antwoord even te posten.
En ten op zichte van wat moet de temperatuur beschreven worden?

En wat heeft ie zelf al?

Het wordt ook een hoop gegraaf, want de laatste keer dat ik met dy/dx-en in de weer was is (gelukkig) laaannngg geleden..

[CBass]

Kom ff met het de vergelijking zodat wij dat ook kunnen controlleren!

[Knutselsmurf]

't Is eigenlijk best simpel, als je even door hebt wat er gebeurt. Er spelen 2 processn, namelijk de warmte-afgift aan de omgeving en warmte-opname door het stoken. Het verschil hiertussen is de warmte die door de vloeistof in het vat wordt opgenomen en dus zorgt voor een temperatuursstijging van de vloeistof. dT=C*Q, waarbij dt de temperatuursstijging per tijdseenheid is, C een constante die afhankelijk is van de massa en van de soort vloeistof en Q is het vermogen, de netto toegevoegde energie per tijdseenheid. In jouw geval dus (P-O)

[ Voor 4% gewijzigd door Knutselsmurf op 26-11-2004 15:14 ]

[CBass]

dus (als ik het goed heb) dT/dt=mC(P-(T*/R)), de eenheid van de C is Joule per kilogram kelvin en m de massa van de vloeistof in het vat. En daar heb je een DV

[ Voor 3% gewijzigd door CBass op 26-11-2004 17:33 ]

[Verwijderd]

Kipcorn schreef op vrijdag 26 november 2004 @ 13:21:
Dit post ik even voor een vriend . . . . .

Gegevens:
Gegeven een vat gevuld met een hoeveelheid vloeistof. De warmte capaciteit van het vat kan worden verwaarloosd ten opzichte van de warmtecapaciteit C van de vloeistof in het vat. (om de vloeistof temperatuur een graad Kelvin te verhogen is dus C joule nodig.) De warmtestroom O vanuit het vat naar de omgeving is rechtevenredig met het temperatuur verschil:

O=(T-Tomgeving) / R eenheid )= [W]

Waarbij T = de temperatuur van de vleoistof in het vat.
Tomg = de omgevingstemeratuur
R = de warmteweerstadn vat-omgeving

We gaan in het vervolg van de opgave de temperatuur van de vloeistof in het vat beschrijven ten opzichte van de omgevingstemperatuur:
T* = T - Tomg

Door een gasvlam onder het vat kan een vermogen P aan de vloeistof in het vat worden toegevoerd; eenheid P: [W][/i]

Dit lijkt me een onvolledig gespecifiseerd huiswerkprobleem. Dit zou je met de voorbeelden in je tekstboek kunnen oplossen als je alle gegevens op een rijtje zet. Dat heb je niet gedaan.

1) Een [i]vat een x,y,z vorm (de vorm heb je niet genoemd);
2) De temperature van de vloeistof heeft een distributie in de ruimte en tijd: T=F(x,y,x,t). Dit resulteerd in een 3-D partiele differentiaalvergelijking, zelfs als de initiele distributie een gelijkmatige temperatuur voor het gehele vat is;
3) De weerstand R is altijd een fucntie van temperatuur van de grenslaag (film) tussen het vat en de omgeving. Welke relatie is dat?

De warmtebron P onder het vat (als dit een apart 2de probleem is) zal een nieuwe(x,y,z,t) distributie in de vloeistof veroorzaken. Je kunt gelijk al concluderen dat voor P=0 er op dat oppervlak een warmteverlies onstaat terwijl voor P >0 er een warmte influx aldaar onstaat. Het probleem zoals je het hebt gesteld is niet op te lossen

Ik stel voor dat je vriend in zijn tektboek duikt om het probleem op te lossen en dan zijn leraar om hulp vraagt.

[blobber]

Verwijderd schreef op vrijdag 26 november 2004 @ 23:51:
[...]


Dit lijkt me een onvolledig gespecifiseerd huiswerkprobleem. Dit zou je met de voorbeelden in je tekstboek kunnen oplossen als je alle gegevens op een rijtje zet. Dat heb je niet gedaan.

1) Een [i]vat een x,y,z vorm (de vorm heb je niet genoemd);
2) De temperature van de vloeistof heeft een distributie in de ruimte en tijd: T=F(x,y,x,t). Dit resulteerd in een 3-D partiele differentiaalvergelijking, zelfs als de initiele distributie een gelijkmatige temperatuur voor het gehele vat is;
3) De weerstand R is altijd een fucntie van temperatuur van de grenslaag (film) tussen het vat en de omgeving. Welke relatie is dat?

De warmtebron P onder het vat (als dit een apart 2de probleem is) zal een nieuwe(x,y,z,t) distributie in de vloeistof veroorzaken. Je kunt gelijk al concluderen dat voor P=0 er op dat oppervlak een warmteverlies onstaat terwijl voor P >0 er een warmte influx aldaar onstaat. Het probleem zoals je het hebt gesteld is niet op te lossen

Ik stel voor dat je vriend in zijn tektboek duikt om het probleem op te lossen en dan zijn leraar om hulp vraagt.

Kom kom, uit de TS blijkt toch duidelijk dat het een eenvoudig vraagstuk betreft over lineaire differentiaal vergelijkingen, lijkt me een typisch middelbare school vraagstuk (of eerstejaars uni ), zaken als warmtedistributie, convectie, invloed van de zwaartekracht, etc.etc.etc. kunnen rustig buiten beschouwing worden gelaten.Je kunt wel weer nodeloos ingewikkeld gaan doen, maar ik denk niet dat dit verhelderend op de TS gaat werken

[ Voor 4% gewijzigd door blobber op 27-11-2004 00:24 ]

[Verwijderd]

blobber schreef op zaterdag 27 november 2004 @ 00:21:
[...]

Kom kom, uit de TS blijkt toch duidelijk dat het een eenvoudig vraagstuk betreft over lineaire differentiaal vergelijkingen, lijkt me een typisch middelbare school vraagstuk (of eerstejaars uni ), zaken als warmtedistributie, convectie, invloed van de zwaartekracht, etc.etc.etc. kunnen rustig buiten beschouwing worden gelaten.Je kunt wel weer nodeloos ingewikkeld gaan doen, maar ik denk niet dat dit verhelderend op de TS gaat werken

Een partiele differentiaalvergelijking kan lineair of niet-linear zijn! Waar het hier uiteindelijk om gaat is dat een aantal cruciale randvoorwaarden en initiele condities en vereenvoudigingen niet genoemd zijn. De "oplosser" moet dus zelf alle niet-genoemde maar noodzakelijke zaken gaan definieren. De meest cruciale factor in dit probleem is niet genoemd: Als je bijv. de temperatuur van een vloeistof in een vat op elk moment overall gelijk wilt hebben moet je stellen dat de geleidingscoefficient "k" in de Fouriervergelijking q=-AkdT/dx oneindig groot is en dat daardoor dT/dx=0 onstaat, en dat is in strijd met de vraagstelling hoe het warmtertransport onstaat van de vloeistof naar de omgeving, via (T-Tomg) over de weerstand R.

Als je zelf de ongenoemde zaken gaat invullen zijn er netzoveel oplossingen als je maar bedenken kan. Of die oplossingen dan juist zijn of niet is weer iets anders.

[Verwijderd]

Ok duurde even, maar heb account.
Ik was dus die vriend van de TS
alvast bedankt voro de moeite die jullie hadden gedaan en me excuses voro incompleete/onduidelijke informatie en dat ik nu pas reageer (beetje drukke dag)
afijn, ik zal zo even oefening precies overtypen en hoop dat het dan duidelijker is

wat er 2 topics hoger werd gezegt klopt trouwens, maar is opgave 2de jaar werktuigbouw, HBO

*aan het overtypen is*

[Knutselsmurf]

Het is niet zozeer een kwestie van zomaar de ongenoemde zaken invullen. Uit het hele verhaal van TS blijkt toch wel dat het hier om een (huiswerk)opdracht gaat. Om dat enigszins werkbaar te maken, zijn blijkbaar een aantal aannames gedaan. Blijkbaar heb jij twijfels of die aannames correct zijn. In mijn ogen is dat zeker het geval. Om er even een tweetal te noemen, waarvan jij (Vortex2) blijkbaar vindt dat ze niet gedaan mogen worden, gezien je eerdere post. Ten eerste de temperatuurverdeling in het vat. Je hebt gelijk dat de temperatuur in het vat niet uniform is, maar meestal (afhankelijk van de omstandigheden) is dit effect te verwaarlozen. Ten tweede twijfel je aan de R. In veel gevallen is het acceptabel om met een constante factor te rekenen, waar allerlei effecten, zoals jij die noemt, al verwerkt zijn.

Uiteindelijk is modelleren, waar we het hier over hebben de kunst van het weglaten. Dit soort zeer eenvoudige modellen zijn vaak behoorlijk accuraat en daarom uitstekend geschikt om in een verkennende fase van een probleemstelling te gebruiken, om op die wijze beter zicht op het probleem te krijgen. In een later stadium kan dan altijd nog, als dat nodig is, het model uitgebreid worden.

[Verwijderd]

ok hier is de opgave nogmaals:

Gegeven een vat gevuld met een hoeveelheid vloeistof. De warmtecapaciteit van het vat kan worden verwaarloosd ten opzichte van de warmtecapaciteit C van de vloeistof in het vat. (om de vloeistoftemperatuur een graad Kelvin te verhogen is dus C Joule nodig.) De warmtestroom Ow (fi) vanuit het vat naar de omgeving is rechtevenredig met het temperatuurverschil:

Ow =(T-Tomgeving) / R, eenheid Ow = [W]

Waarbij:
T = de temperatuur van de vloeistof in het vat.
Tomg = de omgevingstemperatuur
R = de warmteweerstand vat-omgeving

We gaan in het vervolg van de opgave de temperatuur van de vloeistof in het vat beschrijven ten opzichte van de omgevingstemperatuur:
T* = T - Tomg

Door een gasvlam onder het vat kan een vermogen P aan de vloeistof in het vat worden toegevoerd; eenheid P: [W]

Gevraad:
a:

Toon aan dat de temperatuur T in het vat wordt beschreven door de volgende lineaire differentiaalvergelijking:

x(tau) * (dT*(t)/dt) + T* = Z

Met:
x(tau) = R * C
Z = R * P

Ow is eigenlijk (fi?) maar ik zou nie weten hoe ik dat in het forem moet typen,
en op dezelfde manier is x eigenlijk de tau, maar hierbij geld zelfde verhaal als de fi...

---------------------

Zowel de R * C als de R * P, kan ik wel begrijpen, deze komt uit het feit dat:

Ow=(T-Tomg)/R -> T-Tomg= T*
dit levert:
Ow=T*/R

als we dan de differentiaal bekijken, zie je dat de hele formule gewoon keer R is gedaan om de R bij de T* weg te vermenigvuldigen.

Volgens mij mis ik een link tussen dat C * (DT*(t)/Dt) + T*/R en de P....
of ben ik hier nou onzin aan het vertellen ?

[ Voor 19% gewijzigd door Verwijderd op 27-11-2004 21:24 ]

[blobber]

Verwijderd schreef op zaterdag 27 november 2004 @ 03:49:
[...]


Een partiele differentiaalvergelijking kan lineair of niet-linear zijn! Waar het hier uiteindelijk om gaat is dat een aantal cruciale randvoorwaarden en initiele condities en vereenvoudigingen niet genoemd zijn. De "oplosser" moet dus zelf alle niet-genoemde maar noodzakelijke zaken gaan definieren. De meest cruciale factor in dit probleem is niet genoemd: Als je bijv. de temperatuur van een vloeistof in een vat op elk moment overall gelijk wilt hebben moet je stellen dat de geleidingscoefficient "k" in de Fouriervergelijking q=-AkdT/dx oneindig groot is en dat daardoor dT/dx=0 onstaat, en dat is in strijd met de vraagstelling hoe het warmtertransport onstaat van de vloeistof naar de omgeving, via (T-Tomg) over de weerstand R.

Als je zelf de ongenoemde zaken gaat invullen zijn er netzoveel oplossingen als je maar bedenken kan. Of die oplossingen dan juist zijn of niet is weer iets anders.

Zoals ik al zei, is het waarschijnlijk een schoolopgave, maar blijf vooral alle toeters en bellen erbij halen hoor, dan kunnen we ze blijven negeren

Denubis:
Als je de formule Rc^dT*/_dt + T* = R*P gebruikt en je vult in wat je weet krijg je:

Phi = P - c ^dT*/_dt en dat is precies de totale warmte in je systeem

[ Voor 12% gewijzigd door blobber op 28-11-2004 13:51 ]

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op zaterdag 27 november 2004 @ 21:05:
ok hier is de opgave nogmaals:

. . . .

Toon aan dat de temperatuur T in het vat wordt beschreven door de volgende lineaire differentiaalvergelijking:

x(tau) * (dT*(t)/dt) + T* = Z

Met:
x(tau) = R * C
Z = R * P

. . . .


Volgens mij mis ik een link tussen dat C * (DT*(t)/Dt) + T*/R en de P....
of ben ik hier nou onzin aan het vertellen ?

In de formulering is er nog steeds een missende factor: de massa van de vloistof! Ik kan me voorstellen dat het in de originele opstelling gespecifiseerd was dat het om een vloeistoghoeveelheid van 1 kg ging, maar dat was niet zo gesteld.

De gegeven vergelijking is juist voor 1 kg maar niet voor een willekeurige massa M. Het moet dan zijn

M*x(tau) * (dT*(t)/dt) + T* = Z

of de warmte flux P moet gespecifiseerd zijn als [W/kg]

Je missende link is de equivalentie tussen de warmte inhoud van het vat:

Warmte Inhoud=WI=M*C*T (t) . . .(als een functie van tijd(t)). Om de netto warmtestroom d(WI)/dt te vinden moet je dus de WI-funtie differentieren en dan gelijk zetten aan de totale warmteflux. Dat resulteerd in de diff.vergelijking:

d{WI)/dt = d{M*R*C*T(t)}/dt= netto warmtestroom

Probeer dat eens.

Je moet nog steeds specifiek als voorwaarde stellen dat de vloeistof temperatuur T(t) een gemiddelde temperatuur is en dat deze nagenoeg altijd gelijk is aan de temperatuur aan het oppervlak van het vat.

Je moet ook stellen dat de warmteflux P gedistribueerd over het hele vat ingebracht wordt en niet alleen plaatselijk aan de onderkant.

[Verwijderd]

Ok bedankt!!!
ik zal er morgen weer eens een blik op werpen aangezien ik zo me vriendin naar huis moet brengen . Mocht ik er dan nog niet uit zijn, heb ik dinsdag weer Wiskunde dus zal ik me leraar er maar eens over raadplegen! Mocht ik er morgen uitkomen laat ik dit natuurlijk weten!

[Knutselsmurf]

Een mogelijk oplossing is, dat de massa reeds is meegenomen in de totale warmtecapaciteit C, dus C=c*M. Hoewel het ietwat onduidelijk is, lijkt het me de enige mogelijkheid om met de gegeven data tot een oplossing te komen.

[Verwijderd]

Knutselsmurf schreef op zondag 28 november 2004 @ 20:36:
Een mogelijk oplossing is, dat de massa reeds is meegenomen in de totale warmtecapaciteit C, dus C=c*M. Hoewel het ietwat onduidelijk is, lijkt het me de enige mogelijkheid om met de gegeven data tot een oplossing te komen.

Dit is precies wat ik eerder bedoelde als het probleem onvolledig is gespecifiseerd. Als je zelf allerlei aannamens moet invullen kan je net zoveel oplossingen bedenken als je maar wilt. Toen ik dit soort dingen zelf leerde had ik het geluk wijze leraren te hebben: Zelfs als we in de oplossing aannamens specifiseerde welke niet zo bedoeld waren (vanwege een foute lezing) kregen we 95 % voor een juisite formulering van de oplossing. . . ook al was het antwoord anders dan de gevraagde oplossing! Daar leerde ik van om de aannamens altijd volledig op te sommen. Deed ik dat niet dan kreeg ik 0% voor een oplossing die niet spoorde met de gevraagde oplossing.

Ik zou elke student aanraden om (zeker in een toets of examen) altijd de gegeven condidities/randvoorwaarden/etc. nog eens apart op te sommen in de oplossing van het probleem. Als je dan iets verkeerd begrepen hebt scoor je nog hoge ogen als je het probleem goed formuleert en oplost met je eigen voorwaarden en aannamens. Elke leraar behoort de oplossing op deze manier te beschouwen.

Jou oplossing voor C=c*M is uiteraard acceptabel!

[Verwijderd]

Ok ik denk dat ik er zo goed als uit ben, zal morgen me docent even erover vragen en dan maar duimen!!

moet wel zeggen dat ik 't ermee eens ben dat het nogal onduidelijke opgave is, maargoed hebben ze wel vaker last van geloof ik .

Iig allemaal hartelijk bedankt voor de moeite !!