Ja, het is een vorm van huiswerk, maar zelfs met uitleg van de docent wordt ik een beetje gek. Ik moet dit snappen voor een tentamen in november. Maar ik kom er nog niet helemaal uit.
Ik snap de gevolg trekkingen, maar de betekenis van de equivalentie ontgaat mij. Moeten dezelfde modellen gelden aan bijde kanten van de pijl?
Dus als ik het goed lees is de waardering die ik voor de eerste gevolg trekking kies geldig voor iedere gevolg trekking. Maar wat ik dan niet begrijp is hoe het zit met waarderingen die geldig zijn voor de eerste en tweede gevolgtrekkingen. Als ik daar een geldige waardering voor kies, bv ω1 = 1 en ω2 = ψ = 0, dan klopt het dus niet, maar de uitwerking zegt dat het wel een geldige stelling is.
╞ betekend geldige gevolg trekking.
Kort gezegd, alle modellen die links voor alle functies waar zijn moeten rechts van dat hek ook waar zijn, anders is het geen geldig gevolg.
Die eerste is simpel: vul maar allemaal 1-en in. Dan is die gevolg trekking waar.
Die tweede is ook simpel als je een implicatie kent.
Die derde ook.
Maar wat ik niet snap staat al in dat topic. Cross posten mag niet, ik wil braaf zijn.
The - DDD schreef op 11 oktober 2004 @ 22:39:[...]
Kort gezegd, alle modellen die links voor alle functies waar zijn moeten rechts van dat hek ook waar zijn, anders is het geen geldig gevolg.
[...]
Kortom een implicatie en dan is het equivalent zijn van 1 en 2 opeens een stuk duidelijker
[iig dat werkte altijd zo bij het bewijzen van code]
[
Voor 8% gewijzigd door
Glimi op 11-10-2004 22:42
]
Kortom een implicatie en dan is het equivalent zijn van 1 en 2 opeens een stuk duidelijker
[iig dat werkte altijd zo bij het bewijzen van code]
Checking...
Die equivalentie is natuurlijk een dubbele implicatie (beide kanten op) Dus als je aan een kant onwaar krijgt dan zou het geldig zijn. Is het echt zo simpel? Snap jij dit?
[
Voor 25% gewijzigd door
The - DDD op 11-10-2004 22:46
]
Ze hadden een schriftelijke duidelijkere uitleg moeten geven. Ik zou eerst maar ff opzoeken wat al die tekens betekenen enzo. Meer kan ik er ook niet van zeggen want ik snap het ook niet zo 1,2,3. Veel succes dr mee.
Nou mij dus niet, dat is ook waarom ik het niet snap denk ik. Wat betekent dat rare = teken? Als je dat erbij vertelt zul een stuk meer zinvolle reacties krijgen denk ik.
╞ geeft een geldig gevolg aan. De modellen van de formules links van het symbool zijn rechts van het symbool ook geldig.
<=> is een meta logische equivalentie. Wat het exacte verschil is met een normale equivalentie is volgens mij het doel van deze opgave, maar er staat gewoon geen definitie in het boek over dat <=> ding...
Inderdaad. Een equivalentie oftewel een dubbele implicatie. Maar dan wel van het meta logische type (wat dat precies betekent wordt niet echt duidelijk uit het boek is dus niet echt duidelijk blijkt wel. De equivalentie die hier op lijkt <-> wordt wel netjes uitgelegd.)
Punt is dat het model ω1 = 1, ω2 = ψ = 0 voor de gevolg trekking ω1 ╞ ω2 -> ψ geldig is. Maar niet voor de gevolg trekking ω1, ω2 ╞ ψ. Vandaar mijn twijfel over de rol van de equivalentie. Moet ik over de equivalentie dezelfde modellen trekken, of heeft iedere gevolgtrekking zijn eigen modellen. Wat mij ook niet geheel onlogisch lijkt, want ieder ╞ tekentje geeft toch aan dat links van dat ding geldige modellen moeten gelden voor respectievelijk de functie verzamelingen [ω1, ω2], [ω1] en [].
[
Voor 195% gewijzigd door
The - DDD op 11-10-2004 23:14
]
Die equivalentie is natuurlijk een dubbele implicatie (beide kanten op) Dus als je aan een kant onwaar krijgt dan zou het geldig zijn. Is het echt zo simpel? Snap jij dit?
Err, we hadden het toch over de afleiding?(╞ ). Dit betekend gewoon of uit feit 1 feit 2 afgeleid kan worden. Dus als feit 1 waar is, geld feit 2 ook, wat simpelweg een implicatie is.
Die bi-implicaties geven alleen aan als 1 niet waar is, zal 2 dat ook niet zijn en vice versa voor wel waar. Idd gewoon een equivalent dus. Je kunt dit dus gewoon bewijzen door de de linkerkant van de bi-implicatie te herschrijven naar de rechterkant. Of andersom natuurlijk
[edit]
Must swap bi-implicaties with meta-equivalent
[
Voor 17% gewijzigd door
Glimi op 12-10-2004 00:02
]
The - DDD schreef op 11 oktober 2004 @ 21:58:
Ik snap de gevolg trekkingen, maar de betekenis van de equivalentie ontgaat mij. Moeten dezelfde modellen gelden aan bijde kanten van de pijl?
De equivalentie betekent dat alledrie de stellingen exact het zelfde betekenen. Mischien wordt het duidelijker als je ze in woorden probeert uit te drukken?
1) Gegeven dat ω1 en ω2 waar zijn, dan geldt ψ (maw. is een tautologie en dus waar).
2) Gegeven dat ω1 waar is, dan geldt dat ψ waar is indien ω2 waar is.
3) Het geldt dat ψ waar is indien ω1 en ω2 waar zijn.
Ow shit, nu heb ik die 3.1 zitten te bekijken Die bedoelde je niet. Die snap ik nu, maar die andere nog niet. Maaruh......morgen weer verder zullen we maar zeggen.
Err, we hadden het toch over de afleiding?(╞ ). Dit betekend gewoon of uit feit 1 feit 2 afgeleid kan worden. Dus als feit 1 waar is, geld feit 2 ook, wat simpelweg een implicatie is.
Die bi-implicaties geven alleen aan als 1 niet waar is, zal 2 dat ook niet zijn en vice versa voor wel waar. Idd gewoon een equivalent dus. Je kunt dit dus gewoon bewijzen door de de linkerkant van de bi-implicatie te herschrijven naar de rechterkant. Of andersom natuurlijk
Punt is dat het model ω1 = 1, ω2 = ψ = 0 voor de gevolg trekking ω1 ╞ ω2 -> ψ geldig is. Maar niet voor de gevolg trekking ω1, ω2 ╞ ψ. Vandaar mijn twijfel over de rol van de equivalentie. Moet ik over de equivalentie dezelfde modellen trekken, of heeft iedere gevolgtrekking zijn eigen modellen. Wat mij ook niet geheel onlogisch lijkt, want ieder ╞ tekentje geeft toch aan dat links van dat ding geldige modellen moeten gelden voor respectievelijk de functie verzamelingen [ω1, ω2], [ω1] en [].
De equivalentie betekent dat alledrie de stellingen exact het zelfde betekenen. Mischien wordt het duidelijker als je ze in woorden probeert uit te drukken?
1) Gegeven dat ω1 en ω2 waar zijn, dan geldt ψ (maw. is een tautologie en dus waar).
2) Gegeven dat ω1 waar is, dan geldt dat ψ waar is indien ω2 waar is.
3) Het geldt dat ψ waar is indien ω1 en ω2 waar zijn.
Ja, klinkt logisch.
Maar als ik het goed begrijp zit er dus geen reet verschil tussen die equivalentie en de meta equivalentie? En moet ik de conclusies uit de gevolg trekkingen geen scope geven over de implicaties heen. Dat dubbele implicatie verhaal snap ik.
The - DDD schreef op 11 oktober 2004 @ 23:11:
Punt is dat het model ω1 = 1, ω2 = ψ = 0 voor de gevolg trekking ω1 ╞ ω2 -> ψ geldig is. Maar niet voor de gevolg trekking ω1, ω2 ╞ ψ.
Was , niet gewoon equivalent aan AND [hier begin ik te veel op intuïtie te werken :P]
Vandaar mijn twijfel over de rol van de equivalentie. Moet ik over de equivalentie dezelfde modellen trekken, of heeft iedere gevolgtrekking zijn eigen modellen.
Ik zou uit gaan van dezelfde modellen, logische equivalentie zou moeten inhouden dat je de formule zou kunnen substitueren voor de andere zonder gevolg voor het resultaat.
Maar hier kunnen andere userts vast meer over vertellen
[edit] Komen wel weer een hoop mensen leuk wezen hier.
[
Voor 15% gewijzigd door
Glimi op 11-10-2004 23:28
]
ghe ghe, jim roov kjilediud lew koo hciz po si nelobmys eid nav sineketeb ed.
Alleen heb ik wat moeite met het symbool ╞
Die ben ik nog nooit tegengekomen, in predikaten logica.... Ik kijk nog even m'n boekwerk van Grimaldi... eehm, nope.
Wat Mietje suggereerd lijkt me ook wel redelijk logisch, maar ik zou toch nog even de leraar mailen.
[
Voor 11% gewijzigd door
Verwijderd op 11-10-2004 23:27
]
ghe ghe, jim roov kjilediud lew koo hciz po si nelobmys eid nav sineketeb ed.
Alleen heb ik wat moeite met het symbool ╞
Die ben ik nog nooit tegengekomen, in predikaten logica.... Ik kijk nog even m'n boekwerk van Grimaldi... eehm, nope.
Valt in mijn boek nog onder propositie logica... Misschien dat het wat uitmaakt.
Mijn gevoel zegt dat ik de waarderingen over de equivalenties heen moet trekken, maar dit is niet in lijn met de opmerking die mietje maakte. Mietjes invulling klinkt aannemelijk.
╞ is ook een symbool uit de Metataal en niet uit de predikaten of propositie logica De opgave met idd zoals mietje zei worden geïnterpreteerd.
[
Voor 36% gewijzigd door
Daedalus op 11-10-2004 23:36
]
“You know what I've noticed Hobbes? Things don't bug you if you don't think about them. So from now on, I simply won't think about anything I don't like, and I'll be happy all the time!” | 宇多田ヒカル \o/
The - DDD schreef op 11 oktober 2004 @ 23:19:
Maar als ik het goed begrijp zit er dus geen reet verschil tussen die equivalentie en de meta equivalentie? En moet ik de conclusies uit de gevolg trekkingen geen scope geven over de implicaties heen. Dat dubbele implicatie verhaal snap ik.
Er zitten alleen meta-equivalenties (<=>) in hetgeen je schrijft, je moet dus bewijzen dat de drie stellingen de zelfde waarderingen opleveren voor ψ.
Daedalus schreef op 11 oktober 2004 @ 23:34:
╞ is ook een symbool uit de Metataal en niet uit de predikaten of propositie logica De opgave met idd zoals mietje zei worden geïnterpreteerd.
Ah kijk!!
Vandaar....
Wat is jou idee over dit geheel?
Ik vindt Mietjes uitleg aannemelijk, maar is het ook waarheid voor de gegeven stelling? Of zit ik hier weer geldigheid en waarheid door elkaar te halen.
[
Voor 38% gewijzigd door
The - DDD op 11-10-2004 23:40
]
Er liep een schaduwtopic hierover elders, waarvan ik de ontopic replies in dit topic heb gemerged. Mensen willen dus vooral de replies van Glimi wellicht nog even nalezen die er tussen zijn gekomen
curry684 schreef op 11 oktober 2004 @ 23:36:
Er liep een schaduwtopic hierover elders, waarvan ik de ontopic replies in dit topic heb gemerged. Mensen willen dus vooral de replies van Glimi wellicht nog even nalezen die er tussen zijn gekomen
Er zitten alleen meta-equivalenties (<=>) in hetgeen je schrijft, je moet dus bewijzen dat de drie stellingen de zelfde waarderingen opleveren voor ψ.
Meta logica staat een paar hoofdstukken later, is kijken of dat wat duidelijkheid geeft (er staat overigens geen definitie van <=> in).
En inderdaad bingo... d'r staat hier een verhaal over de geldigheid van een gesloten tableau wanneer er gebruik gemaakt wordt van een desda (=>), Lekker gedaan, door die jongens, moet dus eerst achterin het boek lezen dat desda => betekend en dan kan ik daarmee ergens anders een definitie terug vinden wat een verklaring en uitleg geeft voor de gevolgen van de => en <= en dus ook de <=>. (Ik heb dus uiteindelijk van een kwart van het boek, naar de laatste bijlage moeten skippen en weer terug naar de helft van het boek om het te snappen.)
Het boek zit dus erg logisch in elkaar... (NOT!!) Morgen nog eens naar kijken nadat ik die definities bestudeerd heb... Misschien dat ik dan nog even mijn onwetendheid/domheid ten toon kom spreiden.
Iig, tnx zover.
[
Voor 3% gewijzigd door
The - DDD op 11-10-2004 23:54
]
Google:
A set of premises D logically entails a conclusion j (written as
D |= j) if and only if every interpretation that satisfies the
premises also satisfies the conclusion.
W&L begint wel een beetje saai te worden door Google....
Verwijderd schreef op 11 oktober 2004 @ 23:53:
Google:
A set of premises D logically entails a conclusion j (written as
D |= j) if and only if every interpretation that satisfies the
premises also satisfies the conclusion.
W&L begint wel een beetje saai te worden door Google....
Ben wel benieuwd naar de zoektermen die je gebruikt hebt.
Predikaten logica valt onder propositie-logica...
A,B,C ╞ D betekent dan zoveel als: D is bewijsbaar als A, B en C allemaal bewijsbaar zijn.
Sja, weer een symbooltje erbij dus, deze kende ik niet. Wat je al zei logische gevolgtrekking.. maar zo is het duidelijker.
<=> Houdt een logische equivalentie in.
Ok. Mijn logica is een beetje roestig, maar zo te zien kan ik nog wel wat toevoegen.
=> betekent niet `desda'. Desda staat voor dan-en-slechts-dan-als, voor <=>.
╞ betekent `maakt waar'. Itt ├ wat `leidt af' betekent.
Je moet P ╞ Q dus lezen als `P maakt Q waar' en p ├ q als `uit p kun je q afleiden'. Dat is een verschil tussen syntax en semantiek.
Ik gebruik lekker a, b en c, ok? Maar goed, wat je dus moet laten zien is dat:
( a en b ) maakt c waar
hetzelfde is als
a maakt ( b impliceert c ) waar
hetzelfde is als
( a en b ) impliceert c
Hoe ga je dat doen? Dat kan op een aantal manieren. Als je axioma's hebt als `a╞ a' of `╞ a \/ ~a' of iets als `a╞ a => ╞ a -> a' ergens bewezen hebt (zien staan), kun je dat soort stappen gebruiken in je bewijs. Je zou dan voor iedere <=> twee bewijsjes kunnen maken één de => kant op, één de <= kant op. Dat is de nette manier.
In de uitwerkingen doen ze het echter anders. Daar zeggen ze dat omdat a, b╞ c geldt, er geen waardering is zodanig dat a en b waar zijn, en c onwaar is. Dat is logisch, omdat a, b ╞ c betekent dat a en b, c waarmaken. Als c dan toch onwaar kon zijn terwijl a en b waar zijn, klopte dat `a, b ╞ c' niet.
Nou, als je vervolgens kunt laten zien dat de formules als (a , b ╞ c ) en ( a ╞ b -> c ) enzo in dezelfde gevallen onwaar zijn, heb je laten zien dat ze equivalent zijn. We gokken maar dat als de zinnen niet onwaar zijn, ze waar zijn. Dat is wel een veilige gok hoor, behalve in intuitionistische logica.
Waarom onwaar? Gewoon omdat dat makkelijker is als je uitgaat van een implicatie. Denk aan de propositie q -> w. Wanneer is die propositie onwaar? Alleen als q waar is en w onwaar. Dat zeggen ze ook:
In het algemeen geldt: V(a -> b ) = 0 <=> V(a) = 1 en V(b) = 0.
Dus a -> b is alleen onwaar, als a waar is, en b onwaar. Oh, en <=> betekent desda maar dat had ik al gezegd.
Nu vullen ze in al de formules V(a) = 1, V(b) = 1 en V(c) = 0 in en omdat a,b ╞ c geen tegenvoorbeelden had (weet je nog!) moet die waardering overal onwaar zijn... Jup, dat is cryptisch, maar dat is niet helemaal mijn schuld.
Dan rommelen ze nog een beetje met dingen als:
V(a) = 1 en V(b) = 1 en V(c) = 0 <=> V(a) = 1 en V(a -> c) = 0 ...
Want hoe moet je die `en' lezen? Als een soort logische /\? Ik denk het wel... Beetje slordige notatie, nou ja.
Na een tijdje blijkt dat al die waarderingen van die formules onwaar zijn in het enige geval waarin ze onwaar kunnen zijn (met V(a) = 1, V(b)=1 en V(c) = 0 dus) en dat de formules dus equivalent zijn.
Zoiets. Hoe ze zich precies voorstellen hoe dat ... de sequent [..] geen tegenvoorbeelden heeft rijmt met dezelfde tegenvoorbeelden hebben, begrijp ik maar half. Ik kan me er wel wat bij voorstellen, maar om het precies te begrijpen ken ik dit soort logica te slecht. Ik hoop iig dat je hier iets aan had.
Mietje heeft dus ongelijk met (maw. is een tautologie en dus waar).
[
Voor 11% gewijzigd door
Confusion op 12-10-2004 17:04
]
Was "<-->" niet een IIF (If-and-only-if, ofwel een Desda)?
En wordt gebruikt als logische-operator.
"<=>" is (nogsteeds) volgens mij een Logisch-equivalent... betekenend dat de waarheidstabel van het linkergedeelte, gelijk is aan de waarheidstabel van het rechtergedeelte.
Dit wordt gebruikt als expressie-scheiding
Neem de stelling:
(a <--> b) <=> (a --> b) /\ (b --> a)
Dan wordt de waarheidstabel:
a
b
a->b
b->a
(a->b)/\(b->a)
a<->b
0
0
1
1
1
1
0
1
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
Tautologie; Ik ben nooit goed in dit soort termen, dus zoeken we op:
tautologie: is een combinatie van woorden die (bijna) hetzelfde uitdrukken en elkaar in principe kunnen vervangen.
Dat is niet de definitie voor de logica. De goede definitie is: een tautologie is altijd waar. Bijvoorbeeld 'p V niet-p ' (te lui om de logische niet te maken ).
Een contradictie is het tegenovergestelde, oftewel nooit waar. Bijvoorbeeld p /\ niet-p.
The - DDD schreef op 11 oktober 2004 @ 21:58:
Ja, het is een vorm van huiswerk, maar zelfs met uitleg van de docent wordt ik een beetje gek. Ik moet dit snappen voor een tentamen in november. Maar ik kom er nog niet helemaal uit.
Ik denk dat je misschien beter je boek kan lezen, en dan je docent vragen... In deze thread lees ik een aantal goede dingen, maar ook zeker een aantal dingen die niet (helemaal) waar zijn. Mensen halen verschillende dingen door elkaar.
Het gaat hier om aan names; er staat als je w1 en w2 aan neemt, dan kan je semantisch y afleiden; is dit equivalent aan de stelling dat als je w1 aan neemt dat je w2 -> y semantisch kan afleiden. Dat is sequent calculus, daar mag je geen waarheids tabel voor gebruiken. (hoewel ik sowieso nergens zie om welke logica het gaat, neem ik echter aan klassieke 1e orde propositie?)
In je boek staan een aantal regeltjes, hoe je dingen van links naar rechts kan schuiven. Een van die regels is dacht ik iets van 'x ╞ y->z, dan x,y ╞ z' oid. Maw je mag een implicatie verwijderen, als het eerste argument ervan als nieuwe aanname neemt. Zo zijn er nog meer regels, en daarmee kan je een beetje rommelen, tot je uitkomt.
Een tautologie is iets dat je af kan leiden zonder aannames te doen Subtiel anders. "x |= x V y" is ook altijd waar, maar geen tautologie.
(oops moest een edit zijn van vorige)
(alle logicas kennen beide symbolen |= en |-, en bewijzen veelal de equivalentie, of in ieder geval een kant op. Maw, wat syntactisch afleidbaar is, is ook echt/semantisch waar (soundness). En wat semantisch waar is, dat is ook syntactisch afleidbaar (completeness)...ligt iets gevoeliger...was laatst een side discussie over Maar maak je niet druk, 1e order prop logica is zowel sound als complete)
[
Voor 53% gewijzigd door
Zoijar op 12-10-2004 10:50
]
Verwijderd schreef op 12 oktober 2004 @ 02:02:
Hoe ga je dat doen? Dat kan op een aantal manieren. Als je axioma's hebt als `a╞ a' of `╞ a \/ ~a' of iets als `a╞ a => ╞ a -> a' ergens bewezen hebt (zien staan), kun je dat soort stappen gebruiken in je bewijs. Je zou dan voor iedere <=> twee bewijsjes kunnen maken één de => kant op, één de <= kant op. Dat is de nette manier.
Dat is niet de nette manier maar de foute manier, een meta-equivalentie <=> is niet het zelfde als een bi-implicatie <->. Je moet dus bewijzen dat de waarderingen overeenkomen en niet dat de stellingen identiek zijn dmv. substitutie. (rectale conversatie...)
Nu vullen ze in al de formules V(a) = 1, V(b) = 1 en V(c) = 0 in en omdat a,b ╞ c geen tegenvoorbeelden had (weet je nog!) moet die waardering overal onwaar zijn... Jup, dat is cryptisch, maar dat is niet helemaal mijn schuld.
Er wordt bewezen dat de hypothetische tegenvoorbeelden equivalent zijn; die tegenvoorbeelden zijn hypothetisch omdat de eerste stelling (ω1, ω2 ╞ ψ ) een gesloten tautologie is en dus geen tegenvoorbeelden kent (╞ betekent strict genomen "hetgeen volgt is een tautologie onder de voornoemde precondities").
Mietje heeft dus ongelijk met(maw. is een tautologie en dus waar) natuurlijk.
Definieer eens een tautologie, bahsj?
[
Voor 2% gewijzigd door
Confusion op 12-10-2004 17:04
]
Ho-hum, je hebt gelijk. Hmm, 2:00 's nachts logica doen is toch geen goed idee. Maar dat je gelijkheid van waarderingen moet bewijzen komt vooral door de ╞ trouwens. <=> is een semantische operator, die je moet gebruiken omdat je het over semantiek hebt dankzij ╞
[edit: Zoijar schijnt ook te denken dat je regels als "x ╞ y->z, dan x,y ╞ z" zou kunnen gebruiken? Zoijar? Mietje? Iemand?]
"hetgeen volgt is een tautologie onder de voornoemde precondities"
Doe je het weer! Zeggen dat een formule een tautologie is onder bepaalde condities, is onzin. Eventueel is de combinatie formule + condities een tautologie, maar zeggen dat een formule (euh, de formule `p' bv.) een `tautologie is onder bepaalde condities' is echt onzin.
p -> p is een tautologie, maar p niet. Onder geen enkele conditie. Dat is de fucking def. van tautologie!
[
Voor 10% gewijzigd door
Verwijderd op 12-10-2004 14:45
]
Die equivalentie is natuurlijk een dubbele implicatie (beide kanten op) Dus als je aan een kant onwaar krijgt dan zou het geldig zijn. Is het echt zo simpel? Snap jij dit?
dat kun je inderdaad ook verder bewijzen op die manier maar dan via een RAA reductio ad absurdum
Verwijderd schreef op 12 oktober 2004 @ 14:41:
Doe je het weer! Zeggen dat een formule een tautologie is onder bepaalde condities, is onzin. Eventueel is de combinatie formule + condities een tautologie, maar zeggen dat een formule (euh, de formule `p' bv.) een `tautologie is onder bepaalde condities' is echt onzin.
Het betreft hier meta-condities, zodat de wet volgend op ╞ niet geldt wanneer niet aan die meta-condities voldaan wordt. Alles wat achter ╞ volgt is een tautologie, dat is de definitie van ╞
Alles wat volgt na `╞' is een tautologie als er NIETS vóór de `╞' staat. Dat betekent namelijk dat de formule na `╞' niets nodig heeft om 'm waar te maken, en dus een tautologie is.
Nee, een tautologie is een formule die afleidbaar is zonder aannames te maken. In p |= p is de formule p dus geen tautologie. De hele operator |= bestaat namelijk niet in formules, en tautologie gaat over formules. A is een tautologie als er een bewijs voor A bestaat, waarin alle aannames gecancelled zijn (er dus geen zijn).
(ik heb hier trouwens het boek 'logica voor informatici staan', zal eens kijken wat zij ervan zeggen...lol, helemaal nieuw nog... nooit ingekeken )
Ok ze gebruiken daar de term "geldig gevolg" voor |=, en afleidbaar voor |-. x |= y beteknt dan dat ieder model voor x, ook model voor y is, dus met waarheids tabellen. Als je 1-en en 0-en toekent aan de variabelen (waardering) die x waarmaken, dan moet y met die waardes ook waar zijn.
En x |- y betekent dat je onder aanname x, y af kan leiden (met de bekende deductie regels). " |- x" heet dan een stelling. En een tautologie is daar een formule waarvan elke waardering waar is. Vervolgens bewijzen ze idd de equivalentie tussen de twee, nl. correctheid en volledigheid van 1e orde prop.log.
Ja, maar het zijn twee verschillende dingen. De regels bij |= heten 'sequent calculus', en haal je steeds dingen van links naar rechts door dingen aan te nemen en te cancellen. Maar de bij |- zijn het de standaard deductie afleidingen (-> Introductie, for-all eliminatie, etc) Gentzen bewijst geloof ik de equivalentie. (En dus dat 1e orde pred.log. sound en complete is. Dit is niet de notie van complete bij Godel, pred.log. is nl. niet decidable, en dus niet compleet in de zin dat je altijd P of niet P kan bewijzen, maar wel 'compleet' in de zin dat alles wat semantisch waar is ook syntactisch afgeleid kan worden) Het gaat er dus om of ze op je tentamen een afleiding of een sequenten bewijs vragen...
[
Voor 93% gewijzigd door
Zoijar op 12-10-2004 17:54
]
Verwijderd schreef op 12 oktober 2004 @ 15:03:
Alles wat volgt na `╞' is een tautologie als er NIETS vóór de `╞' staat. Dat betekent namelijk dat de formule na `╞' niets nodig heeft om 'm waar te maken, en dus een tautologie is.
Het punt is dat dit een semantisch en geen syntactisch verschil is. Een uitpraak p is een tautologie als |[p]| = 1 ongeacht de waarheidswaarden van de atomaire uitspraken in p. Volgens mij is a, b ╞ p dus een tautologie maar de 2e en 3e uitspraken niet; ik moet echter toegeven dat je me nu aan het twijfelen gebracht hebt, het kan zijn dat ik tautologieen verwar met de absentie van tegenvoorbeelden; ik zoek het verder uit.
Ik snap niet waarom er over tautologie en de string "a, b |= p" wordt gesproken...tautologie is een definitie die van toepassing is op formules, en formules zijn heel duidelijk inductief gedefinieerd en daar komt het symbool "|=" niet in voor. Het is hetzelfde als vragen of "a" een priemgetal is.
Zoijar schreef op 12 oktober 2004 @ 18:04:
Ik snap niet waarom er over tautologie en de string "a, b |= p" wordt gesproken...tautologie is een definitie die van toepassing is op formules, en formules zijn heel duidelijk inductief gedefinieerd en daar komt het symbool "|=" niet in voor. Het is hetzelfde als vragen of "a" een priemgetal is.
Ik heb het alleen over de uitspraak aan de rechter kant van ╞, dat is immers de formule, alles aan de linker kant zijn semantische voorwaarden van de sequent. Volgens mij is dan p een tautologie, immers p->p (identiteit). Maar zoals gezegd, ik twijfel en moet nodig eens wat minder beknopt materiaal doornemen dan het zakboek waar ik nu uit peur.
Je mag ook specifiek geen aannames doen. "Tautologie = Er bestaat een bewijs voor de formule waarin alle aannames 'cancelled' zijn" Nu dan, de formule 'p' is niet bewijsbaar zonder aannames over te laten. Je kan wel zeggen '[assume p]x', maar dan is die assumption dus niet cancelled. Maar bv '[assume p]x, implication introduction p (cancels x), p->p', dus p->p is een tautologie.
of volgens dat boek "Een formule waarvoor elke waardering waar is". Ik moet dus alle mogelijke combinaties invullen. p=1 levelrt waar op, p=0 levert onwaar op. Dus geen tautologie.
Maar je mag wel a,b |= p omschrijven tot |= p, want je mag aannames links altijd weghalen als ze rechts niet voorkomen. En dan is p een tautologie, als deze dus al eerder is bewezen zonder a of b aan te nemen.
Definitie van tautologie zoals dat in m'n collegedictaat staat:
Een formule F wordt een tautologie genoemd, notatie |= F, als iedere valuatie v een model van F is. Men noemt F ook algemeen geldig.
en van een logische gevolg:
Een formule F is een logisch gevolg van een verzameling Γ ⊆ PROP, notatie Γ |= F, als iedere model van Γ tevens een model van F is.
We hebben het hier dus wel over Propositie logica, aangezien in de oplossing gebruik wordt gemaakt van een valuatie.
[
Voor 17% gewijzigd door
Daedalus op 12-10-2004 18:37
]
“You know what I've noticed Hobbes? Things don't bug you if you don't think about them. So from now on, I simply won't think about anything I don't like, and I'll be happy all the time!” | 宇多田ヒカル \o/
Zoijar schreef op 12 oktober 2004 @ 18:33:
Je mag ook specifiek geen aannames doen. "Tautologie = Er bestaat een bewijs voor de formule waarin alle aannames 'cancelled' zijn" Nu dan, de formule 'p' is niet bewijsbaar zonder aannames over te laten. Je kan wel zeggen '[assume p]x', maar dan is die assumption dus niet cancelled. Maar bv '[assume p]x, implication introduction p (cancels x), p->p', dus p->p is een tautologie.
Ack, klopt; ik zit inderdaad in de bonen. Sorry voor de onduidelijkheid die ik daardoor geschapen heb (met name aan bahsj). Voor de duidelijkheid er even bij vermelden dat dit geen gevolgen heeft voor de rest van mijn betoog.
Pfhieuw... Ik denk dat ik het begrijp... Nu nog eens op mezelf uitwerken...
Nogmaals de reden dat ik dit hier gepost was omdat ik gewoon niet tot het inzicht kwam. Met de toevoegingen die hier gedaan zijn dringt het eindelijk door.
(Ik ben inmiddels ook verder gegaan met de stof, maar dat glijdt er allemaal zo in. Dit was een gevalletje: "Ik keek er een week naar en nog zag ik het niet, wie weet dat op GOT iemand iets kan toevoegen, want de toelichting van de begeleiding gaat tot noch toe niet verder dan wat er al in de uitwerkingen staat." M.a.w.: Ik heb er inmiddels 2 weken over gedaan om het geposte geval volledig te begrijpen.)
/u/2305/crop653618cca8542_cropped.png?f=community)
:strip_exif()/u/9959/glimi.gif?f=community)
:strip_exif()/u/18996/GoT_avatar.gif?f=community){kind=avatar}
:strip_exif()/u/47168/loop.gif?f=community)
)
:strip_exif()/u/56781/crop68b418a00f92c.gif?f=community)
:strip_exif()/u/7759/red_cat.gif?f=community)
wezen.
:strip_icc():strip_exif()/u/35767/images.jpg?f=community)