Kleine verzamelingen bevatten meer getallen dan grote?

[MarcelG]

Ik heb deze ook al op oxle gestart, maar ik denk dat er hier meer zinnige response zal zijn.

Dus...de stelling:
In de verzameling van [0,1] zitten méér waarden dan in de verzameling [1,oneindig>.
Naarnaast direct de stelling |[1,2]| > |[2,3]| (want |[1,2]| = 50% van |[0,1]| en |[2,3]| = 16% van |[0,1]|.

Verklaring : (ff copy paste van oxle)
Take ANY value from collection B -> b
Take b^-1 (in other words 1/b)
In all cases this applies:

examples,
5^-1 = 0,2 which is included in collection A.
456465465465465465^-1 = 2,19074… x 10^-18 which is included in collection A.
Etc.

However, if we take ANY number from collection A -> a, and do the same, we see that for EVERY value, except 0 a counterpart is found in collection B, since 0^-1 does not exist.

Ergo : The collection [0,1] contains more values than the collection [1,infinite>

Even more : The collection [0,1] contains at least twice as many values than the collection [1,2], and the collection [1,2] is greater than the collection [2,3]….and so on and so on.


Waar zit mijn gedachtenfout...

[ Voor 54% gewijzigd door MarcelG op 21-09-2004 12:47 ]

[Larry4]

In beide verzamelingen zitten evenveel getallen omdat oneindigheid zo gedefineerd is.

[BestTested!]

Het is alweer een tijdje geleden dat ik mijn Discrete Mathematics boek heb opgeslagen, maar ik ga toch een gooi doen...

Met de verzameling [0,1] de gehele R tussen 0 en 1. En met de verzameling [1,oneindig> de R daartussen.

Je bewijs bestaat eruit dat er een injectieve relatie bestaat (een 1 op 1 relatie) tussen de verzameling
A met a element uit <0,1]
B met b element uit [1, oneindig>

Maar omdat 0 niet in A zit, maar wel in je oorspronkelijke verzameling, moeten er dus meer elementen inzitten.

De fout die je maakt (volgens mij) is dat beide verzamelingen niet aftelbaar zijn. Wanneer je ze namelijk op welke volgorde dan ook zou tellen zou je er altijd een overslaan. (Ik kan je het bewijs geven, maar ik neem aan dat je dat al kent). Met de injectie relatie F(x) = 1/x sla je dus ook altijd relaties over.

De conclusie hieruit is dat beide verzamelingen even groot moeten zijn omdat beide niet aftelbaar zijn.

En daarmee zijn alle verzamelingen bestaande uit een interval in de R even groot.

Het kan zijn dat ik ergens een beredeneer fout heb gemaakt, ik zou dan ook graag je reactie willen horen.

edit:
He, net te laat. Alleen laat het bewijs van Larry toch nog wat te wensen over

[ Voor 5% gewijzigd door BestTested! op 21-09-2004 13:06 ]

[MarcelG]

ah....aftelbaarheid....daar heb ik geen rekening mee gehouden.
Maar toch.....voor ELKE waarde groter dan 1 is er een beeld tussen 0 en 1....
Voor ELKE waarde groter dan 1 en kleiner dan 2 is er nog steeds een beeld tussen 0 en 1, sterker nog ; ik hou de helft over.....
dus zitten er toch meer waarden tussen 0 en 1 dan tussen 1 en 2 ?

Misshcien had ik toch moeten doorleren

[Anoniem: 958]

MarcelG schreef op 21 september 2004 @ 12:45:
Ik heb deze ook al op oxle gestart, maar ik denk dat er hier meer zinnige response zal zijn.

Dus...de stelling:
In de verzameling van [0,1] zitten méér waarden dan in de verzameling [1,oneindig>.
Naarnaast direct de stelling |[1,2]| > |[2,3]| (want |[1,2]| = 50% van |[0,1]| en |[2,3]| = 16% van |[0,1]|.

De grootte van verzamelingen wordt aangegeven met de kardinaliteit ervan. Kardinaliteit is een ander woord voor grootte en dat is maar goed ook, want het gedraagt zich een beetje anders dan ons dagelijkse begrip van grootte.

- Eindige verzamelingen hebben een kardinaliteit gelijk aan het aantal elementen.
- Verzamelingen die je "op een rijtje kan zetten" (af kan tellen) zijn aftelbaar oneindig. Voorbeelden: N = {0,1,2,...}, {even getalen} = {0,2,4,6,...}, Q = {p/q | p en q in N}.
- Verzamelingen die je niet op een rijtje kan zetten, zoals R heten overaftelbare verzamelingen. R is voor zover bekend (dit is om een technische reden onbewijsbaar, zie "continuum hypothese" in google) de kleinste overaftelbare verzameling. [0,1], [1,->) en andere deelverzamelingen van R die een "continu stukje" bevatten hebben dezelfde kardinaliteit als R. De verzameling van alle deel verzamelingen van R heeft een grotere kardinaliteit dan R en steeds als je de verzameling van alle deelverzamelingen maakt, ga je een stapje hoger in kardinaliteit (dit laatste is waar, maar lastig in te zien, dus staar je er niet op blind).

Verzamelingen heten "even groot" (hebben dezelfde kardinaliteit) als je ze 1 op 1 af kan beelden (je hebt een functie die de ene verzameling op de andere afbeeld en waarvan de inversefunctie de andere verzameling weer op de eerste afbeeldt). Een voorbeeld is de natuurlijke getallen (links) en de even getallen (rechts):

0 -> 0
1 -> 2
2 -> 4
3 -> 6 etc.

De functie is hier dus y = 2x waarin x een natuurlijk getal is dat wordt afgebeeld op een even getal y.

Deze rijtjes gaan oneindig lang door en als je de hele functie bekijkt wordt de hele verzameling N op de verzameling {0,2,4,...} afgebeeld. Er zijn dus "evenveel" even getallen als natuurlijke getallen. (evenveel tussen aanhalingstekens, want dit heeft betrekking op de kardinaliteit en wat minder op het dagelijkse begrip van evenveel)

Hieruit volgt dat alle verzamelingen die je in een rijtje van boven naar onder naast de natuurlijke getallen kan zetten (dit heet aftellen), dezelfde kardinaliteit hebben als N (aftelbaar oneindig). De verzameling 17 vouden boven de 1231 bijvoorbeeld. Ook de verzameling breuken (voor het gemak zonder nul) kun je aftellen, door ze als volgt op te schrijven:

1/1 2/1 3/1 4/1...
1/2 2/2 3/2 4/2 ...
1/3 2/3 3/3 4/3 ...
etc.

en ze allemaal aftellen in een soort slang die linksboven begint en de weg naar rechtsonder vervolgt, een steeds groter vierkant creërend. Deze slang uit elkaar trekken en naast de natuurlijke getallen leggen en je hebt je aftelling.

De rechtvaardiging van het feit dat ik 0 even niet mee liet doen komt van het inzicht dat 1 getal meer of minder nooit een probleem is (het maakt een oneindige verzameling niet groter of kleiner). Een willekeurige aftelbaar oneindige verzameling (gezien als rijtje naast de natuurlijke getallen), daar kan je altijd een getal tussen proppen en de rest opschuiven, of een getal weghalen en de rest inkrimpen, hij blijft altijd als rijtje naast de natuurlijke getallen te schrijven zijn en verandert dus niet van grootte. Voor overaftelbare verzamelingan geldt dit ook, want je kan in een overaftelbare verzameling altijd een aftelbaar oneindige deelverzameling kiezen waar je een getal bij kan zetten of weg kan halen, zonder de kardinaliteit te veranderen.

De verzameling [0,1] als deelverzameling van R is "1 op 1" af te beelden op de verzameling [0,2] door de functie y = 2x. Deze verzamelingen zijn dus ook even groot.

(0,1] is 1 op 1 af te beelden op [1,->) door de functie y=1/x. Van een eindig interval een oneindig interval maken zonder de kardinaliteit te veranderen is dus ook geen probleem. Nog even doorgaan en je ziet in dat alle deelverzamelingen van R die een continu stukje bevatten dezelfde kardinaliteit als R hebben.

Dagelijkse redeneerstappen als "maar de verzameling natuurlijke getallen bevat toch alle even getallen en nog meer en moet dan toch groter zijn?" gaan niet meer op. Wat nog wel opgaat is "de verzameling natuurlijke getallen bevat alle even getallen en is dus niet strict kleiner, maar minstens even groot als of groter dan de verzameling even getallen".

Ook uitspraken als [1,2] is 50% van [0,1] hebben binnen de theorie van kardinaliteiten geen betekenis.

Ik hoop dat je hier wat aan hebt.

[ Voor 5% gewijzigd door Anoniem: 958 op 21-09-2004 14:01 ]

[MarcelG]

oef....da's pas een uitleg.
thanks!

ik geloof dat ik 't begin te snappen.....ik heb dus (gelukkig) ongelijk.
Op oxle las ik ook al dit:
infinite + 1 = infinite (===and so)
infinite = infinite - 1 (===move the 1)

Moeilijk te begrijpen in eerste instantie...maar ik begin in te zien waarop.
Vooral je toelichting met de kardinaliteit van [0,1] die gelijk is aan die van [0,2] met als bewijs f(x)=2x

Erg uitgebreide uitleg overigens...typ je dat ff uit de losse pols, of zijn d'r al meer maloten met die vraag gekomen ?

In ieder geval hardstikke bedankt!

[Anoniem: 61994]

Heb je voor 1/<1;2] niet meer significante cijfers nodig. dan voor 1/<2;3] ?

vb
1,48 -> 0,68
1,50 -> 0,67
1,52 -> 0,66

2,48 -> 0,403
2,50 -> 0,400
2,52 -> 0,397

Ofwel: een informatie dichtheids probleem

[Confusion]

Topictitel gewijzigd. Volgende keer iets informatiever graag! (Deze is ook verre van ideaal trouwens)

[ Voor 42% gewijzigd door Confusion op 21-09-2004 20:06 ]

[Zoijar]

Verder construeer je een voorbeeld van een niet 1-1 afbeelding, om vervolgens te concluderen dat dat verzamelingen niet even groot zijn. Dat is natuurlijk onzin. Dat jij een afbeelding weet te bedenken die niet 1-1 is, wil niet zeggen dat er geen 1-1 afbeeldingen bestaan. In logica: uit "als A dan B" kan je niet concluderen "niet A, dus niet B". Waar A=een gegeven afbeelding is 1-1, en B=de verzamelingen zijn even groot. (als ik je verhaal tenminste goed begrijp)

[Anoniem: 958]

MarcelG schreef op 21 september 2004 @ 14:41:
oef....da's pas een uitleg.
thanks!

ik geloof dat ik 't begin te snappen.....ik heb dus (gelukkig) ongelijk.
Op oxle las ik ook al dit:
infinite + 1 = infinite (===and so)
infinite = infinite - 1 (===move the 1)

Moeilijk te begrijpen in eerste instantie...maar ik begin in te zien waarop.
Vooral je toelichting met de kardinaliteit van [0,1] die gelijk is aan die van [0,2] met als bewijs f(x)=2x

Erg uitgebreide uitleg overigens...typ je dat ff uit de losse pols, of zijn d'r al meer maloten met die vraag gekomen ?

In ieder geval hardstikke bedankt!

Deze uitleg tik ik uit de losse pols, al kostte het wel wat meer tijd dan ik had gedacht toen ik begon te tikken . Het is een beetje de basis van wat ik bij een wiskunde vak gehad heb (dit zat bij het vak "grondslagen van de wiskunde"). Ik vind het een enorm mooi stukje wiskunde en het geeft echt geweldig goed duidelijk inzicht in hoe groot verzamelingen zijn, of met andere woorden: hoe we naar oneindig moeten kijken.

Er zijn wel meer mensen geweest met soortgelijke vragen. Veel mensen interesseren zich blijkbaar voor het begrip "oneindig" en realiseren zich vaak dat het dagelijkse begrip van grootte niet zomaar over te dragen is naar oneindig (of juist niet en dan is dat het probleem ). Zo'n uitleg schrikt velen wellicht af, maar mijn ervaring is dat als mensen het eenmaal begrijpen dat ze het echt heel leuk vinden om te weten.

[Anoniem: 43846]

Anoniem: 61994 schreef op 21 september 2004 @ 14:49:
Heb je voor 1/<1;2] niet meer significante cijfers nodig. dan voor 1/<2;3] ?

vb
1,48 -> 0,68
1,50 -> 0,67
1,52 -> 0,66

2,48 -> 0,403
2,50 -> 0,400
2,52 -> 0,397

Ofwel: een informatie dichtheids probleem

Het gaat over reële getallen, die niet afgerond hoeven te worden.

0,400 is hier dus per definitie hetzelfde als 0,40000000000000. Het is zelfs gelijk aan 0,3999999999999999999... met een oneindig aantal negens achter de komma

[Uncle E]

OK ik heb dit ooit vast allemaal gehad bij wiskunde, maar ik wil even een "dom-weg-redeneer" antwoord aandragen. Is het niet zo dat deze vraag gewoon niet opgaat om dat elk interval een oneindig aantal reeële getallen bevat (mits de beide grenzen niet het zelfde zijn)? Ofwel 0->1 is even groot als 1->inf, namelijk oneindig groot.

Toch?

ps het kan zijn dat dit antwoord al gegeven is, ik heb niet alle posts doorgespit.

[Zoijar]

Uncle E schreef op 23 september 2004 @ 00:43:
OK ik heb dit ooit vast allemaal gehad bij wiskunde, maar ik wil even een "dom-weg-redeneer" antwoord aandragen. Is het niet zo dat deze vraag gewoon niet opgaat om dat elk interval een oneindig aantal reeële getallen bevat (mits de beide grenzen niet het zelfde zijn)? Ofwel 0->1 is even groot als 1->inf, namelijk oneindig groot.

Toch?

ps het kan zijn dat dit antwoord al gegeven is, ik heb niet alle posts doorgespit.

Nee En ik denk ook niet dat je dit ooit geahd hebt "bij wiskunde", tenzij je je studie bedoelt Ik heb het wel ooit gehad bij wiskunde hehe Lees even de post van sandalf, daar staat het goed in.

(nouja, je hebt dus wel gelijk dat ze even groot zijn, maar de rede waarom "klopt" niet echt. Want dan zou het ook even groot zijn als het aantal getallen in de rij 0,1,2,3,4,5...,inf en dat is niet zo. Terwijl die ook "oneindig" is)

[ Voor 16% gewijzigd door Zoijar op 23-09-2004 02:45 ]

[Anoniem: 61994]

Anoniem: 43846 schreef op 22 september 2004 @ 14:55:
Het gaat over reële getallen, die niet afgerond hoeven te worden.

0,400 is hier dus per definitie hetzelfde als 0,40000000000000. Het is zelfs gelijk aan 0,3999999999999999999... met een oneindig aantal negens achter de komma

Sandalf heeft al heel goed uitgelegd dat voor elke A een A^-1 bestaat. De TS ook trouwens, maar dat wist'ie nog niet.

Nu is de vraag wat zijn berenerering was, om tot zijn stelling te komen.
Je kunt zijn 'kronkel' uitleggen: which is done, en je kunt de 'kronkel' proberen te achterhalen.

Dus mijn vraag is: bedoelde hij misschien dat voor het beeld in de range <2;3] anderhalf keer meer significante cijfers nodig is dan voor het beeld van <2;3]?
(Tot in het oneindige desnoods, met welk talstelsel ook)

Er wordt hier natuurlijk wel een reciproke-vervorming op lineaire wijze bekeken: Maar dat was het hele punt ook dat de TS misvatte.

--Toevoeging--

Even more : The collection [0,1] contains at least twice as many values than the collection [1,2], and the collection [1,2] is greater than the collection [2,3]….and so on and so on.

Ik mag aannemen dat ook de TopicStarter weet dat als ik de verzamaling [0,1] opdeel in N stukjes dat het beeld daarvan ook N stukjes bevat. En zo ook bij de verzameling [0,2]...
Blijkbaar bedoeld hij niet dat er spontaan getallen verdwijnen... maar waar doeld hij dan op?

[ Voor 25% gewijzigd door Anoniem: 61994 op 23-09-2004 11:35 ]

[Maasluip]

MarcelG schreef op 21 september 2004 @ 12:45:
Ik heb deze ook al op oxle gestart, maar ik denk dat er hier meer zinnige response zal zijn.

Dus...de stelling:
In de verzameling van [0,1] zitten méér waarden dan in de verzameling [1,oneindig>.
Naarnaast direct de stelling |[1,2]| > |[2,3]| (want |[1,2]| = 50% van |[0,1]| en |[2,3]| = 16% van |[0,1]|.

Ik snap de aanpak van je bewijs niet. Hoe kom je erbij om de functie 1/x te gebruiken om te bewijzen hoeveel getallen er in een interval zijn? Je gebruikt een niet-continue functie waarvan je bij voorbaat weet dat er voor een waarde geen oplossing bestaat. Waarom pak je niet x^2 en bewijs je daarmee dat er evenveel getallen in zitten? En dat daaruit de tweede stelling volgt kan ik al helemaal niet begrijpen.

infinite + 1 = infinite (===and so)
infinite = infinite - 1 (===move the 1)

Wat moet dit bewijzen?

Ik kan trouwens bewijzen dat 0 * oneindig = 30, als dat nog nuttig is in deze discussie. Hebben dit trouwens ook in de praktijk aangetoont, dus het is een volledig legaal bewijs

[Zoijar]

Maasluip schreef op 23 september 2004 @ 12:02:
Ik kan trouwens bewijzen dat 0 * oneindig = 30, als dat nog nuttig is in deze discussie. Hebben dit trouwens ook in de praktijk aangetoont, dus het is een volledig legaal bewijs

Als je het over limieten hebt Anders is 0, het echte getal nul, vermenigvuldigd met welk ander getal dan ook per definitie weer 0. Maar ik snap dat je bedoelt iets van: lim x->inf 30x * 1/x. 30x -> inf, 1/x -> 0, dus inf*0 = 30

[Maasluip]

Zoijar schreef op 23 september 2004 @ 12:12:
[...]

Als je het over limieten hebt Anders is 0, het echte getal nul, vermenigvuldigd met welk ander getal dan ook per definitie weer 0. Maar ik snap dat je bedoelt iets van: lim x->inf 30x * 1/x. 30x -> inf, 1/x -> 0, dus inf*0 = 30

Nope, geen limiet. Simpele wiskunde.
De meesten kennen de wet van Ohm wel: U = I * R (spanning = stroom * weerstand).
Nu heb ik een spanningsbron van 30V, en sluit daar een open stroomkring op aan. De weerstand hiervan is oneindig en de stroom die loopt is 0. Vullen we dit in de vergelijking in en daaruit volgt 30 = 0 * oneindig. Is ook experimenteel vast te stellen.

(ja, dit is erg flauw, de rest van mijn post was dat niet)

[Jorizzz]

Die wet geldt toch alleen voor een gesloten stroomkring?
Gesloten, DUS er loopt een stroompje, hoe klein ook, dus kan de weerstand niet oneindig zijn.
Helaas gaat het dus niet op...
30 = iets heel kleins * iets heel groots
kan wel kloppen

[Zoijar]

Maasluip schreef op 23 september 2004 @ 12:16:
Nope, geen limiet. Simpele wiskunde.
De meesten kennen de wet van Ohm wel: U = I * R (spanning = stroom * weerstand).
Nu heb ik een spanningsbron van 30V, en sluit daar een open stroomkring op aan. De weerstand hiervan is oneindig en de stroom die loopt is 0. Vullen we dit in de vergelijking in en daaruit volgt 30 = 0 * oneindig. Is ook experimenteel vast te stellen.

Dat is geen wiskunde, dat is gewoon iets gebruiken waar het niet voor bedoeld is. Blijkbaar gaat de wet van Ohm dus niet op voor een open stroomkring.

Oneindig is geen getal, je kan dus niet vermenigvuldigen met "oneindig", dat slaat nergens op. Dat is net zoiets als zeggen dat "10 * peer = appel". Dat is dus geen wiskunde.

Het enige waar je wel mee kan vermenigvuldigen is een variabel getal, dat zo groot wordt als je maar wilt. Dan kan je zeggen: 10 * "een getal zo groot als ik wil" = "een getal zo groot als ik wil". Dat heeft wel betekenis. Evenzo kan je een getal nemen dat zou klein wordt als je zelf wilt. Maar als je die twee dan weer met elkaar vermenigvuldigt, dan kan er van alles uitkomen. Oneindig is niet een soort getal waar je mee kan rekenen.

[BestTested!]

De wet van Ohm is een wiskundig model, dat gewoon blijkbaar vaak wel heel netjes uitkomt.

Ik citeer Henk Visser (mathematician, musicologist, and philosopher)

Dat wiskunde een aparte plaats onder de wetenschappen inneemt, kan op verschillende manieren worden gestaafd. Doordat wiskunde zoveel en zo vruchtbaar in andere wetenschappen “toegepast” wordt, vergeet men wel eens dat wiskundige kennis van geheel andere aard is dan bijvoorbeeld natuurkundige kennis. Het volgende citaat uit een klassiek Duits wiskundeleerboek voor studenten natuurwetenschappen en techniek slaat op dit punt de spijker op de kop:

Die Zahlen, die man bei der praktischen Anwendung der Mathematik benutzt, sind eben stets mit Ungenauigkeiten behaftet.

In een natuurkundige formule kan bijvoorbeeld het symbool ‘3’ moeten worden gelezen als een benadering of afronding en zeker niet als de “werkelijke waarde”. In de “zuivere” wiskunde is daarentegen 3 atijd “precies 3” om het eenvoudig te zeggen. (Merk op dat het al moeilijk is een en ander nauwkeurig onder woorden te brengen, vandaar de aanhalingstekens.) Terzijde: in de huidige Nederlandse manie om leerlingen in het voorbereidend wetenschappelijk onderwijs “realistische wiskunde” in plaats van “wiskunde” trachten bij te brengen, wordt dit onderscheid helemaal niet meer gemaakt, met mijns inziens rampzalige gevolgen voor het wiskundige inzicht van de “jeugd van tegenwoordig”. Ik geef één voorbeeld van een “wiskundige” opgave, zoals die vandaag de dag gemeengoed zijn:

Gegeven is de functie y = 2•(1,14)3t + 2, met t in jaren en t  0.
a. Geef de groeifactor per jaar in twee decimalen nauwkeurig.
b. Geef de beginwaarde op t = 0 in twee decimalen nauwkeurig.
c. Teken de bijbehorende grafiek voor 0  t  5. Maak eerst een tabel.
d. Voor welke t is y = 8? Geef t in twee decimalen nauwkeurig.

De kwestie is, dat dit geen echte wiskundige opgave is. Het ergste is dat datgene wat wiskunde wiskundig significant maakt, namelijk het voorkomen van interessante bewijsbare wiskundige betrekkingen die losstaan van benaderingen, maar waarop wiskundig verder kan worden gebouwd, uit het zicht is geraakt. (“Voor welke t is y = 8?” 8,00 zullen ze bedoelen. Waarom geven ze niet ook in de opgave waarden in twee decimalen nauwkeurig op? Omdat ze zelf constant zaken door elkaar halen.) Voor natuurkunde- en techniekstudenten mag dit onbelangrijk worden gevonden – niet door mij overigens – maar wiskundestudenten, voorzover nog in Nederland aanwezig, zijn hier zeker niet mee gediend.

Hiermee is niet gezegd dat de aanpak van natuurkundige problemen met een gedeeltelijk wiskundig model niet ook de moeite waard kan zijn. Alleen kan zoiets iemand het zicht op zuivere wiskunde benemen. In de meeste gevallen zijn de gehanteerde modellen ook nog hybride, m.a.w. bevatten zij zowel natuurkundige grootheden als wiskundige grootheden zoals gehele exponenten van machten – in een formule als s(t) = ½gt2 + v0 t + s0 de exponent 2 in t2, hoewel er natuurkundigen zijn die dat ook als een benadering beschouwen.


_{Georg Scheffers, Lehrbuch der Mathematik für Studierende der Naturwissenschaften und der Technik. Einführung in die Differential- und Integralrechnung und in die analytische Geometrie. Leipzig: Veit & Comp.., 1905, p. 4.
Getal en ruimte. Wiskunde A voor de vijfde en zesde klas vwo. 5/6V – A2. Tweede druk. Houten: Educaboek, 1995, p. 153.}