Heisenbergs onzekerheidsrelaties en behoudswetten

[MSalters]

De wet van behoud van energie schijnt te volgen uit de aanname dat de natuurwetten tijdsinvariant zijn (E/t) en de wet van behoud van impuls uit de aanname dat de natuurwetten plaatsinvariant zijn (p/x).

Heisenbergs onzekerherheidsrelaties leggen een veband tussen exact dezelfde paren; dE*dt > h en dp*dx > h.

Is dit toeval of zit hier een diepere overeenkomst tussen?

[Diadem]

Hmm, volgens mij zijn de natuurwetten niet tijdsinvariant. Dat dacht men vroeger wel maar als ik mij niet vergis is alweer een tijdje geleden bewezen dat er geen t-symmetrie is.

De wet van behoudt van impuls volgt gewoon uit Newton's mechanica. Daar is geen funky quantummechanica voor nodig

En tot slot zijn dt * dE >= h/2 en dx * dp >= h/2 eigenlijk gewoon twee verschijningsvormen van dezelfde regel. (met d = delta of eigenlijk zelfs standaarddeviatie en h = h-streep).

E = p^2 / 2m => dE = d(p^2) / 2m = 2p * dp / 2m = p * dp / m
t = x/v= mx / p => dt = m/p * dx

=> dE * dt = p * dp / m * m / p * dx = dx * dp

QED

[Rollerjooster]

^^met Diadom

In dit matige boek staat eenzelfde vraag, als mijn geheugen op dit tijdstip nog accuraat is:

http://www.amazon.com/exe...7/ref/104-0178993-3809501

En in het zelfde verband kan ik ook Copenhagen van Michael Frayn aanraden.

Dat is wel een geweldig boek/toneelstuk.

Of wil je liever een discussie

[Confusion]

Diadem schreef op 17 september 2004 @ 03:32:
Hmm, volgens mij zijn de natuurwetten niet tijdsinvariant.

Dat wel, maar ze zijn niet CPT (charge-parity-time)-invariant. Dat neemt niet weg dat uit de tijdsinvariantie van de ruimtetijd de wet van behoud van energie volgt, via Noethers theorema. De enige reden om te veronderstellen dat die tijdsinvariantie een juiste is, is natuurlijk dat er nog nooit een schending van de wet van behoud van energie is waargenomen. Ik weet overigens niet waarom de gebroken CPT symmetrie geen invloed op de wet van behoud van energie heeft, maar ik denk dat de 'tijd' daarin een bijzondere betekenis heeft.

De wet van behoudt van impuls volgt gewoon uit Newton's mechanica.

Nou, het is een impliciete aanname van de Newtonse mechanica. Maar ook hier geldt: de wet kan via Noethers theorema worden afgeleid uit de translatiesymmetrie van de ruimtetijd. Als je mij vraagt wat eleganter is, dan lijkt mij het postulaat dat de ruimtetijd translatiesymmetrisch is mooier, maar in ieder geval fundamenteler, dan de veronderstelling dat 'impuls' behouden is.

En tot slot zijn dt * dE >= h/2 en dx * dp >= h/2 eigenlijk gewoon twee verschijningsvormen van dezelfde regel.

Dat lijkt wel zo, maar dat is niet helemaal zo. De tijd is namelijk geen grootheid die je onder controle kan houden, terwijl deze onzekerheidsrelaties volgen uit de lineaire algebra waarmee men de QM beschrijft. Er is een onzekerheidsrelatie voor elke twee operatoren die niet commuteren, maar de tijd is een beetje een aparte operator. Ik heb het verschil hier geprobeerd uit te leggen

[Diadem]

Confusion schreef op 17 september 2004 @ 09:18:

Dat wel, maar ze zijn niet CPT (charge-parity-time)-invariant. Dat neemt niet weg dat uit de tijdsinvariantie van de ruimtetijd de wet van behoud van energie volgt, via Noethers theorema. De enige reden om te veronderstellen dat die tijdsinvariantie een juiste is, is natuurlijk dat er nog nooit een schending van de wet van behoud van energie is waargenomen. Ik weet overigens niet waarom de gebroken CPT symmetrie geen invloed op de wet van behoud van energie heeft, maar ik denk dat de 'tijd' daarin een bijzondere betekenis heeft.

Hmm. Was het niet juist andersom? Dat het universum niet tijds-invariant was, maar wel CPT invariant? In vroeger tijden dacht men dat het universum zowel T als CP invariant was, totdat men ergens in de 60er jaren aantoonde dat CP invariantie niet altijd gold. Daaruit volgt dat T-invariantie ook niet kan bestaan. Volgens mij is dit nog steeds de stand van zaken.

Het lijkt mij dan ook dat de wet van behoudt van energie niet kan volgen uit T-invariantie, aangezien die niet geldt

Nou, het is een impliciete aanname van de Newtonse mechanica. Maar ook hier geldt: de wet kan via Noethers theorema worden afgeleid uit de translatiesymmetrie van de ruimtetijd. Als je mij vraagt wat eleganter is, dan lijkt mij het postulaat dat de ruimtetijd translatiesymmetrisch is mooier, maar in ieder geval fundamenteler, dan de veronderstelling dat 'impuls' behouden is.

Newton's mechanica is natuurlijk incompleet. Maar hij werkt goed genoeg voor het dagelijks leven. En hij's een stuk simpeler. Ik ben overtuigd gelover in het kiss (keep it simple, stupid) principe.

Dat lijkt wel zo, maar dat is niet helemaal zo. De tijd is namelijk geen grootheid die je onder controle kan houden, terwijl deze onzekerheidsrelaties volgen uit de lineaire algebra waarmee men de QM beschrijft. Er is een onzekerheidsrelatie voor elke twee operatoren die niet commuteren, maar de tijd is een beetje een aparte operator. Ik heb het verschil hier geprobeerd uit te leggen

Wel leuk dat je ook Griffiths gebruikt En om toch bij dat boek te blijven, in example 2 op bladzijde 114 doen ze precies wat ik hierboven ook deed om dt * dE tot dx * dp te reduceren. Is ook niet zo vreemd want daarvan heb ik het gisteren overgeschreven

[ Voor 2% gewijzigd door Diadem op 17-09-2004 14:12 . Reden: typo's ]

[Confusion]

Diadem schreef op 17 september 2004 @ 14:09:
Hmm. Was het niet juist andersom? Dat het universum niet tijds-invariant was, maar wel CPT invariant?

Ehmm ja, je hebt gelijk, ik maak er een beetje een puinhoop van .

Het lijkt mij dan ook dat de wet van behoudt van energie niet kan volgen uit T-invariantie, aangezien die niet geldt

Nou, de wet van behoud van energie volgt wel uit tijdsinvariantie, maar als die niet geldt, zou de wet van behoud van energie ook niet moeten gelden. Alleen is er nog een verschil tussen T-invariantie voor individuele deeltjes, waarbij men over de richting van de tijd spreekt en T-invariantie van de ruimtetijd, waarbij men zegt dat elk tijdstip gelijk is. Volgens mij volgt uit het niet gelden van het eerste niet het niet gelden van het tweede.

[Diadem]

Confusion schreef op 17 september 2004 @ 15:34:

Nou, de wet van behoud van energie volgt wel uit tijdsinvariantie, maar als die niet geldt, zou de wet van behoud van energie ook niet moeten gelden. Alleen is er nog een verschil tussen T-invariantie voor individuele deeltjes, waarbij men over de richting van de tijd spreekt en T-invariantie van de ruimtetijd, waarbij men zegt dat elk tijdstip gelijk is. Volgens mij volgt uit het niet gelden van het eerste niet het niet gelden van het tweede.

Het klinkt inderdaad wel als logisch dat tijdsinvariantie de wet van behoud van energie impliceert. Maar volgens mij is het omgekeerde niet waar, de wet van behoud van energie impliceert geen tijdsinvariantie. Dus het niet gelden van tijdsinvariantie betekent niet dat de wet van behoud van energie niet geldt.

Alleen zou hij dan ergens anders uit moeten volgen. Ik zou niet precies weten waaruit dan. Volgens mij wordt het in zowel quantummechanica als ART zo'n beetje gepostuleerd.

[Apollo_Futurae]

Diadem schreef op 17 september 2004 @ 16:02:
Het klinkt inderdaad wel als logisch dat tijdsinvariantie de wet van behoud van energie impliceert. Maar volgens mij is het omgekeerde niet waar, de wet van behoud van energie impliceert geen tijdsinvariantie. Dus het niet gelden van tijdsinvariantie betekent niet dat de wet van behoud van energie niet geldt.

Wikipedia leert ons:
Informally, Noether's theorem can be stated as (technical fine prints aside):

To every differentiable symmetry generated by local actions, there corresponds a conserved current.

The vice versa part is actually harder to prove and the proof of it is omited in this article (unless someone wants to volunteer).

Dus ik denk dat energiebehoud en (de juiste vorm van) tijdsinvariantie equivalent zijn.

[MSalters]

Goed, laat ik mijn vraag dan herformuleren: De heisenberg relaties leggen een relatie tussen twee grootheden, omdat ze (simpel gezegd) niet commuteren. Ja, ik kan ook narekenen dat er een verband is tussen de twee gangbare (E/t en p/x)

Noether's theorema legt een verband tussen een symmetrie en een behoudswet. Mijn vraag was of dit theorema ook te maken heeft met niet-commuteren.

Met met die formulering kan ik het antwoord wel zelf vinden - ja. Met dank aan de archieven van sci.physics.research

[ Voor 8% gewijzigd door MSalters op 18-09-2004 00:36 ]