abc-formule

[Verwijderd]

hoi mensen,

de meeste kennen uiteraard de abc formule wel

voor de vergelijking van het type:

ax^2 + bx + c = 0

en dan krijg je:

( -b± sqrt(b^2-4ac))/(2a)

dit begrijp ik allemaal goed maar als we gaan kijken naar de 'afleiding' tot de abc-formule heb ik toch een paar vraagjes...

we hebben dus:


ax^2 + bx + c = 0

x^2 + (b/a)x + (c/a) = 0 (delen door a, met a is ongelijk aan nul uiteraard)

(x- b/(2a))^2 - (b^2/4a^2) + (c/a) = 0 dit is denk ik de moeilijkste stap, hier moet je 'kwadraat afsplitsen' maar hoe werkt dit precies?

(x - b/(2a))^2 = (b^2)/(4a^2) - (c/a) = (b^2)/(4a^2)- (4ac)/(4a^2)=(b^2-4ac)/(4a^2) (onder 1 noemer gebracht)

en dan is

x - b/(2a) =± sqrt ( (b^2-4ac)/(4a^2) )

en dan zou

± sqrt ( (b^2-4ac)/(4a^2) ) = (±sqrt (b^2-4ac)) / (sqrt(4a^2))

waarom is het is het dan (±sqrt (b^2-4ac)) / (sqrt(4a^2)) en niet

(±sqrt (b^2-4ac)) / ( ± sqrt(4a^2)) ?? (met de nadruk op de '± ' vóór: "sqrt(4a^2)"

vervolgens vinden we:

x= -b/(2a) ± (sqrt(b^2-4ac))/(2a)) = ( -b± sqrt(b^2-4ac))/(2a)

en vinden we dan de waarde(s) van x.
zo staat het allemaal op een papier dat ik ooit is gekregen heb maar er staat geen verdere toelichting bij...

hebben we trouwens misschien ook een abcD - formule? voor 3e graadsvergelijkingen

( ax^3 + bx^2 + cx +d = 0 )

ik heb wel es gehoord van de formule van cardano en er ook nog iets over gelezen maar die is al weer een stuk ingewikkelder dan de abc-formule.. is er niet een 'simpelere' formule zoals de abc-formuile voor?

[blobber]

ax² + bx + c = 0 delen door a:
x² + (b/a)x + c/a = 0 kwadraatafsplitsen :
(x+b/2a)² - b²/4a² + c/a = 0 herschikken:
(x+b/2a)² = b²/4a² - 4ac²/4a²
(x+b/2a)² = (1/4a²)*(b²-4ac) en
x = (-b ± sqrt (b²-4ac))/2a

[ Voor 22% gewijzigd door blobber op 19-07-2004 15:40 ]

[the_RJ]

Er is wel een simpelere methode, maar daar is geen formule voor, idd altijd eerst:

ax2+bx+c=0
x2+(b/a)x+c/a=0

Als je dit hebt is/zijn de x-waarde(n) soms (hoeft niet altijd) te vinden door 2 getallen te vinden die een som van b en een product van c hebben. Bijv:

x^2+2x-8=0

4+-2=2
4x-2=-8

Dus:

(x+4)(x-2)=0

x+4=0
x=-4
V
x-2=0
x=2

x= -4 V 2

Ik zeg soms, omdat er altijd 2 getallen zijn die kloppen, maar deze kunnen decimaal zijn, waar je uiteraard niet naar moet gaan zoeken. Overigens kan je de abc-formule zelf toch ook makkelijker gebruiken voor de waardes van x?

ax^2+bx+c

D=b^2-4ac

x= (-b ± sqrt(D))/2a (even uit me hoofd dus hoop dat et klopt )

Waarna je gewoon de waarden van abc kunt invullen en je krijgt je x-waarde(n)

zelfde voorbeeld:

x^2+2x-8

D=2^2-4x1x-8=4--32=36

x= (-2 ± sqrt(36))/2 = (-2-6)/2= -4 V ( -2+6)/2= 2

x= -4 V 2

[ Voor 50% gewijzigd door the_RJ op 19-07-2004 15:32 ]

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op 19 juli 2004 @ 13:27:
(x- b/(2a))² - (b²/4a²) + (c/a) = 0 dit is denk ik de moeilijkste stap, hier moet je 'kwadraat afsplitsen' maar hoe werkt dit precies?

Het moet (x+ b/(2a))² - (b²/4a²) + (c/a) = 0 zijn, dus met een + teken niet een - teken. Kwadraat afsplitsten gaat zo.

Je weet dat:
(x+z)²=x²+2zx+z²
waarin z een constante is.
Dus ook x²+2zx=(x+z)²-z²
vervang nu z door p/2 waarin p het dubbele is van z:
x²+px=(x+p/2)²-(p/2)²

Als je vergelijking x²+b/a*x+c/a wilt afsplitsen vervang je het eerste stuk door (x+b/2a)²-(b/2a)²
en voilà. Waarbij je gebruik hebt gemaakt van x²+px=(x+p/2)²-(p/2)² met p=b/a.

± sqrt ( (b²-4ac)/(4a²) ) = (±sqrt (b²-4ac)) / (sqrt(4a²))

waarom is het is het dan (±sqrt (b²-4ac)) / (sqrt(4a²)) en niet

(±sqrt (b²-4ac)) / ( ± sqrt(4a²)) ?? (met de nadruk op de '± ' vóór: "sqrt(4a²)"

Als je hebt x²=1/2 dan is x=±1/4 en niet ±1/±4.

[MSalters]

Verwijderd schreef op 19 juli 2004 @ 13:27:
hebben we trouwens misschien ook een abcD - formule? voor 3e graadsvergelijkingen

( ax^3 + bx^2 + cx +d = 0 )

ik heb wel es gehoord van de formule van cardano en er ook nog iets over gelezen maar die is al weer een stuk ingewikkelder dan de abc-formule.. is er niet een 'simpelere' formule zoals de abc-formuile voor?

Niet volgens google, in elk geval. Er is ook voor vierde machten nog een closed-form oplossing, (variant op cardano,zie hier) maar vijfde machten en hoger hebben geen algemene oplossing (dwz er zijn sommige paren a,b,d,c,e waarvoor er wel een oplossing is, bijvoorbeeld als een van de vijf nul is). Dat is niet omdat die te moeilijk is; het is bewezen dat zo'n oplossing niet bestaat.

[GeeBee]

the_RJ schreef op 19 juli 2004 @ 15:21:
Er is wel een simpelere methode, maar daar is geen formule voor, idd altijd eerst:
...

Ik zeg soms, omdat er altijd 2 getallen zijn die kloppen, maar deze kunnen decimaal zijn, waar je uiteraard niet naar moet gaan zoeken.

Waarom niet? Ook met decimale getallen kan het snel hoor, de getallen moeten voor het ontbinden in factoren 'mooi' uitkomen. Dat heeft niet zoveel met decimaal of niet te maken

Overigens kan je de abc-formule zelf toch ook makkelijker gebruiken voor de waardes van x?

het ging niet om het gebruik maar om de afleiding van de abc-formule. Ik hoop dat je ziet dat je die gewoon gebruikt, alleen in 2 stappen door eerst de Discriminant uit te rekenen en die in te vullen.

Verwijderd schreef op 19 juli 2004 @ 13:27:
...
hebben we trouwens misschien ook een abcD - formule? voor 3e graadsvergelijkingen

( ax^3 + bx^2 + cx +d = 0 )

ik heb wel es gehoord van de formule van cardano en er ook nog iets over gelezen maar die is al weer een stuk ingewikkelder dan de abc-formule.. is er niet een 'simpelere' formule zoals de abc-formuile voor?

Soms kun je een oplossing afsplitsen, waarna je een kwadratische vergelijking overhoudt. Kan ook alleen als de getallen 'mooi' uitkomen en je dus snel één van de maximaal 3 oplossingen ziet.

voorbeeldje:

x³ + x² - x - 1 = 0 heeft x = 1 als oplossing, dus kun je (x-1) buiten haakjes zetten.
Dat kan mooi met een staartdeling (wie kent m nog )

(x - 1)/x³ + x² - x - 1\ x² + 2x + 1

dan blijft x² + 2x + 1 over die al dan niet met de abc-formule kunt aanvallen.
=> x = -1 als dubbel nulpunt, dus in dit geval slechts 2 oplossingen.

[Verwijderd]

MSalters schreef op 19 juli 2004 @ 22:05:
Dat is niet omdat die te moeilijk is; het is bewezen dat zo'n oplossing niet bestaat.

Had dit niet iets te maken met het feit dat in dat geval de Galoisgroep isomorf is met S_n, en dat S_n niet oplosbaar is voor n>=5?

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op 20 juli 2004 @ 22:30:
Had dit niet iets te maken met het feit dat in dat geval de Galoisgroep isomorf is met S_n, en dat S_n niet oplosbaar is voor n>=5?

Klopt. De Galoisgroep van de algemene 5e graads vergelijking is S_5 en dat is geen oplosbare groep. Een oplosbare groep moet een torentje van normale ondergroepen (ondergroepen die bestaan uit hele conjugatieklassen) hebben, zodanig dat voor elke twee opéénvolgende groepen in dat torentje het quotient van die groepen cyclisch is.

Bijvoorbeeld {e} <| C_5 <| D_5 <| M_5

M_5 is de metacyclische groep met 5 elementen, die je je kan voorstellen als pentagon (5-hoek) dat je mag draaien, spiegelen en veranderen in een pentagram (zodanig dat de zijden van het pentagon overgaan in de zijden van het pentagram). Deze groep heeft twee voortbrengers, één van orde 4 (de pentagram permutatie, waarvoor geldt dat als je dat twee keer doet, je een spiegeling krijgt) en één van orde 5 (een vijfde slag draaien). M_5 heeft 20 elementen {s^i t^j, met i lopende van 0 t/m 4 en j van 0 t/m 3}.

D_5 heeft 10 elementen {s^i t^j, i van 0 t/m 4 en j van 0 t/m 1}. s staat weer voor een vijfde slag draaien en i staat voor spiegelen. D_5 is een ondergroep van M_5. De pentagram permutaties (de elementen uit M_5 met j oneven) zijn hier niet aanwezig.

C_5 is de groep die alleen uit de 5 draaiingen van een 5-hoek bestaat

{e} is de groep met alleen het eenheidselement.

M_5 is een oplosbare groep, omdat aan twee voorwaarden is voldaan:
- Alle ondergroepen uit dit torentje zijn normale ondergroepen zijn (ga na door de conjugatieklassen van een grote groep uit te rekenen en in te zien dat de ondergroep bestaat uit hele conjugatieklassen)
- De quotienten zijn cyclisch:
M_5 / D_5 = C_2
D_5 / C_5 = C_2
C_5 / {e} = C_5

Vergelijkingen die een oplosbare groep (zoals M_5 of D_5) als Galoisgroep hebben, zijn oplosbaar in de zin dat je m.b.v. een aantal n-de machts wortels de oplossingen van deze vergelijkingen kan beschrijven (even snel gezegd: zo'n normale ondergroep die als quotient C_n heeft met de grotere groep, komt overeen met een lichaamsuitbreiding met een n-de machts eenheidswortel).

Vergelijkingen die een niet-oplosbare groep als Galoisgroep hebben zijn ook niet oplosbaar m.b.v. n-de machts wortels. In het bijzonder is de algemene 5e graads vergelijking (die als Galoisgroep S_5 heeft) niet oplosbaar. S_5 heeft nog wel een normale ondergroep met cyclisch quotient: A_5 (de even permutaties op 5 elementen), maar A_5 heeft geen normale ondergroepen (als je de conjugatieklassen uitrekent, zie je vrij snel in dat je niet een aantal conjugatieklassen samen kan nemen die samen een ondergroep vormen).

Dit betekent echter niet dat daarmee de kous af is. Dat je de 5e graads vergelijking niet met n-de machts wortels op kan lossen, betekent gewoon dat je ingewikkeldere functies nodig hebt om deze vergelijkingen op te lossen. Dit blijken elliptische functies te zijn. Over dit onderwerp ben ik mijn afstudeerscriptie aan het schrijven.

[Verwijderd]

Oh, nog even ontopic: kwadraat afsplitsen is vrij simpel (door a delen laat ik even weg, omdat dat voor zich spreekt).

x^2 + bx + c = 0
(x + ... )^2 - ... + c = 0

Vul op de eerste ... een term in zodanig dat het dubbele product bx wordt en vul op de tweede ... diezelfde term in het kwadraat in (dit doe je om het ongewenste ...^2 weg te werken dat er anders zou komen na haakjes wegwerken).

In een concreet voorbeeld:

x^2 + 10x + 3 = 0

(x + 5)^2 - 25 + 3 = 0
(x +5)^2 = 22
x + 5 = sqrt(22) of x + 5 = - sqrt(22)
x = -5 + sqrt(22) of x = -5 -sqrt(22)

(lees overigens ook mijn vorige post, die is veel cooler, maar wel een beetje moeilijker!)

[ Voor 8% gewijzigd door Verwijderd op 21-07-2004 02:31 ]

[Confusion]

Verwijderd schreef op 21 juli 2004 @ 02:28:
(lees overigens ook mijn vorige post, die is veel cooler, maar wel een beetje moeilijker!)

offtopic:
Sterker nog: het is volstrekte wartaal voor iemand die nooit iets over groepentheorie heeft geleerd (en waarschijnlijk erg moeilijk voor de meesten om zich met behulp van internet eigen te maken; je moet wel een zekere wiskundige voorkennis en wat denkervaring met abstracte wiskundige problemen hebben)

[GeeBee]

Ik ben nooit verder gekomen dan 2egraads-wiskunde Groepen Ringen Lichamen en haakte al af na de eerste alinea.

Ehhh.... Is het niveau op W&L te hoog?/ iemand?

[ Voor 4% gewijzigd door GeeBee op 21-07-2004 14:09 ]

[Verwijderd]

Kan me niet herinneren dat ik dit ooit gehad heb Sandalf dus als je een goed wiskunde boek hebt waarin ik me eens iets beter kan inlezen(wiskunde duurt altijd lang voordat ik het doorheb) dan houd ik me aanbevolen.

Trouwens mocht iemand problemen hebben met kwadraat afplitsen dan kan ik zeggen dat veel oefenen de beste oplossing is.

[blobber]

Verwijderd schreef op 21 juli 2004 @ 02:10:
[...]

Klopt. De Galoisgroep van de algemene 5e graads vergelijking is S_5 en dat is geen oplosbare groep. ........
.

Ehm, leuk, heb ik ooit met symmetrie gehad, maar ik moet bekennen dat er helemaal niets van is blijven hangen, ik kan het totaal niet meer volgen

[ Voor 21% gewijzigd door blobber op 21-07-2004 18:27 ]

[Verwijderd]

Oke, oke, ik draafde een beetje door . Toch staat er in het kort een zeer globale schets van de belangrijkste ideeën uit het bewijs dat 5e graads vergelijkingen niet oplosbaar zijn (m.b.v. n-de machts wortels)...

Als je groepentheorie gehad hebt, moet het toch enigszins te volgen zijn denk ik. Zo niet, dan zijn er talloze boeken en internetsites die de basisbeginselen daarvan uitleggen. Ik heb niet echt een overzicht over al die informatie, dus kan ik moeilijk zeggen wat een goed boek / een goede pagina is... Zelf heb ik het geleerd uit het boek Groups and Symmetry van M. A. Armstrong.

Bij een tweede keer lezen, zie ik dat je eigenlijk ook de basisbeginselen van Galoistheorie moet begrijpen om wijs te worden uit mijn post... Uiteindelijk is het dus alleen nuttig voor mensen die het bewijs al een keer gezien hebben en hun geheugen willen opfrissen...

Ach ja, misschien is er iemand die zich door dit soort posts geprikkeld voelt om er meer vanaf te weten en gaat diegene zelf op onderzoek uit. Voor de eerste alinea hoef je bijvoorbeeld alleen het begrip "conjugatieklasse" te begrijpen. Verder moet je maar even aannemen dat iedere vergelijking iets heeft wat men een "Galoisgroep" noemt. Het overigens zeker aan te raden om even uit te zoeken wat dat precies betekent. En als mensen vast lopen ben ik gaarne bereid het uit te leggen!

[ Voor 41% gewijzigd door Verwijderd op 23-07-2004 16:55 ]

[Cavorka]

Argh, Groepentheorie.... inderdaad dat heb ik met Symmetrie gehad (van de wel heel coole Dijkgraaf @ UvA trouwens).

Wel netjes uitgelegd trouwens Sandalf, maar voor gewone stervelingen (no offense) een beetje overkill.

[Verwijderd]

Ok ik heb even wat bekeken over Galoistheorie in mijn Algebra bijbel (Serge Lang's Algebra)

Stel ik heb dus een polynoom P(X) in Q[x], waarvan de nulpunten dus niet allemaal in Q liggen. Ik kan dus een lichaamsuitbreiding vinden van Q die alle nulpunten van P(X) bevat en ook nog het kleinste lichaam is die daaraan voldoet. Laten we deze even K noemen. Dus als ik het goed begrepen heb, is er nu een groep G, de galoisgroep, die bestaat uit alle automorfismen van K/Q, met de eigenschap dat voor alle sigma in G, geld dat sigma(x) = x voor alle x in Q. Nu is de vraag of deze eis echt gesteld moet worden, of dat dat een logisch gevolg is van iets anders?
En omdat G uit automorfismen bestaat van K/Q kan je elk element van G opvatten als een soort van permutatie van K?

Ik vind dit allemaal heel interessante stof! Ik verheug me dan ook zeer op de colleges Algebra 2 en Algebra 3 aankomend jaar!

[Henk007]

Klein, relevant kikje
Nederlandse student ontwikkeld unieke polynoomtheorie

[Confusion]

Henk007 schreef op 09 september 2004 @ 15:42:
Klein, relevant kikje
Nederlandse student ontwikkeld unieke polynoomtheorie

Ik vind het kicken van dit topic, als je zelf een nieuw topic hebt gestart, weinig zinvol.