Doppler effect in de praktijk: welke toon op welk tijdstip?

[Verwijderd]

Het is alweer jaren geleden, maar voor een open onderzoek voor natuurkunde, dat we dus zelf mochten invullen, hadden wij gekozen om een technologie te ontwikkelen om snelheid te meten met geluid. Iedereen kent wel het Doppler effect als je uitlegt dat dat het effect is dat ervoor zorgt dat het geluid van een langsrazende ambulance wordt vervormd.
De technologie zou bijvoorbeeld kunnen worden gebruikt voor een flitspaal.

De formule die in BINAS stond gold alleen als de geluidsbron recht op de waarnemer af komt. Deze moesten wij dus gaan aanpassen aan onze wensen.

Ik heb even een schema gemaakt van een theoretische proefopstelling. Deze hebben we eenvoudig gehouden.



Een geluidsbron (punt A) beweegt zich met eenparige snelheid lands een rechte lijn (l). De afstand van de waarnemer (punt C) tot de baan van de geluidsbron is d. Het punt op de baan van de geluidsbron dat het dichtst bij de waarnemer ligt is punt B. Het tijdstip waarop de geluidsbron punt B bereikt is t = 0. De geluidsbron zend een toon uit met een freqentie fC.

Hieruit hadden we wat formules afgeleid.

De afstand AB is vt.
De afstand AC is sqrt(v²t² + d²). (Stelling van Pythagoras)

Enkele stappen die ik nu even niet meer weet...
Hier verwerkte ik ook de formule voor het Doppler effect in het geheel.
Uiteindelijk kwam ik (volgens mij) uit op de volgende formule:

f_C = f_A * v_g /(v_g - v²t/sqrt(v²t² + d²))

v_g is de snelheid van het geluid, f_A is de frequentie die de geluidsbron uitzendt, f_C is de frequentie van het geluid dat in de richting van de waarnemer wordt uitgezonden.

Dit is de formule die we hadden afgeleid voor het open onderzoek. Nu realiseerde ik me ook dat dit niet de formule was voor de toonhoogte welke de waarnemer hoort op tijdstip t. Dit is de frequentie die op dat moment bij C wordt gegenereerd in de richting van punt A. Aangezien geluid ook een bepaalde snelheid heeft, duurt het even voor het geluid er daadwerkelijk is.

(Overigens verandert er aan deze formule volgens mij niet veel als de snelheid van de geluidsbron niet constant is, behalve dan dat je v moet vervangen door een functie van de snelheid tegen de tijd. In het open onderzoek gebruikten we een slinger met een geluidsbron voor de metingen, om praktische redenen. De formule was dus aangepast om de metingen te vergelijken.)

Uiteindelijk hebben we allerlei metingen gedaan en die vergeleken met onze voorspellingen, en deze klopten verrassend goed. Toch wist ik wel dat onze formule niet zou werken als je te maken krijgt met grote afstanden. Er moet nog een factor in worden gewerkt. Het moet kunnen. Er wordt niet eens een nieuwe variabele geïntroduceerd. Ik meen dat we uiteindelijk een 8,5 of een 9 hadden gekregen voor ons open onderzoek.

Ik ben er zelf nooit achtergekomen hoe je de correcte formule moet opstellen en ik denk ook niet dat ik dat zou kunnen met de kennis die ik nu van wiskunde heb (en toentertijd had). Ik kon het me namelijk goed voorstellen dat je in sommige extreme situaties namelijk meerdere frequenties tegelijk kunt horen, namelijk als de snelheid van de geluidsbron niet constant is, en zich eerst net langzamer dan de snelheid van het geluid beweegt, dan sneller dan het geluid, en dan weer langzamer.

Goed, het probleem is dus als volgt:

Hoe stel je de formule op voor de frequentie van het geluid dat de waarnemer hoort op tijdstip t.

Ik hoop dat mijn verhaaltje duidelijk genoeg is. En misschien wil iemand nog even helpen om de missende stappen in het herleiden van die formule te reconstrueren.

[disclaimer: de formule hoeft niet correct te zijn, maar dat is wat ik er nog van had onthouden]

[ Voor 1% gewijzigd door Verwijderd op 09-07-2004 22:34 . Reden: typo ]

[silentsnow]

Verwijderd schreef op 09 juli 2004 @ 20:13:
f_C = f_A * v_g /(v_g - v²t/sqrt(v²t² + d²))

f_g is de snelheid van het geluid, f_A is de frequentie die de geluidsbron uitzendt, f_C is de frequentie van het geluid dat in de richting van de waarnemer wordt uitgezonden.

Ik zie geen f_g in de formule. Ik neem aan dat je v_g bedoelde.

Een correcte beschrijving van f_A en f_C zou zijn, de frequentie van het geluid bij de bron en de frequentie van het geluid bij ontvanger, respectievelijk. De snelheid van de ontvanger relatief tot de bron het medium is immers 0m/s.

Ik kom uit op:

f_C = ( v_g /(v_g + v_AC ) ) * f_A

Een plus inplaats van een min.

[Verwijderd]

Punt A beweegt langs lijn l. De afstand AC is niet altijd gelijk. Als A nadert naar punt B, dan wordt de afstand AC kleiner, als A voorbij punt B is wordt de afstand AC groter. De bron heeft dus wel degelijk een snelheid ten opzichte van de waarnemer.

[silentsnow]

Verwijderd schreef op 09 juli 2004 @ 22:55:
Punt A beweegt langs lijn l. De afstand AC is niet altijd gelijk. Als A nadert naar punt B, dan wordt de afstand AC kleiner, als A voorbij punt B is wordt de afstand AC groter. De bron heeft dus wel degelijk een snelheid ten opzichte van de waarnemer.

Je hebt gelijk, ik heb een verbetering aangebracht in m'n stelling.

Ennuh,

"De afstand AC is sqrt(v²t² + d²)"

Waar haal je die v²t² vandaan? Moet dat niet gewoon (vt)² zijn?

Thx TheZoo

[ Voor 4% gewijzigd door silentsnow op 10-07-2004 00:05 ]

[TheZoo]

silentsnow schreef op 09 juli 2004 @ 23:52:
Waar haal je die v²t² vandaan? Moet dat niet gewoon (vt)² zijn?

Dat is hetzelfde hoor

[silentsnow]

Wat is de snelheid van A relatief tot C?

Ik kom uit op:

v_AC = sqrt(vt² + d²) / t


Invullen in de Doppler's formule:

f_C = ( v_g /(v_g + sqrt(vt² + d²) / t ) ) * f_A

en dan die gewoon herleiden. Jammer dat je die tussenstappen niet meer weet, want mijn formule is niet gelijk aan die van jouw.

[TheZoo]

Pfff, ik zit er ook mee te puzzelen.
@Silentsnow: het probleem waar je tegenaan loopt hier, is dat de snelheid waarmee het object zich naar je toe beweegt niet constant is. Volgens mij houd jij hier geen rekening mee en Cheatah wel. Hoe je dan wel tot die herleiding moet komen, durf ik ook niet te zeggen.
Wat ik wel weet, is dat dit ooit een vraag was tijdens een natuurkunde proefwerk. Niemand had die herleiding goed, dat weet ik ook nog. Ik zit ook al ff te puzzelen, maar hoe die wel moet, dat wil er ff niet uitkomen zo laat op de avond (is ook al weer een 15 jaar geleden ).

[TheZoo]

Ik heb het licht gezien!



Je moet die snelheids vector gaan ontbinden in factoren, zie ik nu ineens. In 1 die gericht is naar C (v_AC) en 1 die daar loodrecht op staat.
Stel de hoek bij A noemen we α.
Volgens de goniometrie (heb ik wel moeten opzoeken hoor):
(1) cos α = AB/AC
(2) AC = sqrt(AB²+d²)
(3) AB = vt
(4) ((3) invullen in (2)) AC = sqrt((vt)²+d²)
(4) en (3) invullen in (1) levert (5): cos α = vt/sqrt((vt)²+d²)

bovendien geldt (6) cos α = v_AC/v
(6) = (5) dus v_AC/v = vt/sqrt((vt)²+d²)
links en rechts vermenigvuldigen met v levert dus op:
v_AC = v²t/sqrt((vt)²+d²)

Als je dat dan invult in de formule voor het doppler effect, kom je inderdaad uit op de formule die Cheatah geeft.

[ Voor 4% gewijzigd door TheZoo op 10-07-2004 02:57 ]

[silentsnow]

bovendien geldt (6) cos α = v_AC/v

Draai je dit nu niet om? Bij punt (1) zeg je immers dat cos α = AB/AC is.

cos α zou volgens mij moeten zijn: v / v_AC

Dan kom je uit op:

v / v_AC = vt / sqrt((vt)² + d²)

wat weer gelijk is aan:

v_AC = sqrt((vt)² + d²) / t

[Verwijderd]

Bij licht gebruiken ze de geretardeerde tijd om te bepalen wat er op een plek gebeurt op tijdstip t. Wat er daar gebeurt hangt af van wat er eerder op een andere plek gebeurde dat is dan de geretardeerde tijd. De geretardeerde tijd is:
van http://scienceworld.wolfram.com/physics/RetardedTime.html
waarin t de originele tijd is, r-r' de afstand tot de bron en c de snelheid v. Omdat geluid ook een golf is met een bepaalde snelheid zou het begrip geretardeerde tijd hier ook moeten werken. Volgens mij kun je t gewoon door de geretardeerde tijd vervangen in je formules en dan zou het moeten kloppen.

De afstand is sqrt(v²t² + d²) dus je moet t vervangen door t-sqrt(t² + d²/v²).

[Verwijderd]

silentsnow schreef op 10 juli 2004 @ 00:44:
Wat is de snelheid van A relatief tot C?

Ik kom uit op:

v_AC = sqrt(vt² + d²) / t

Bij jouw formule is v_AC niet nul op tijdstip t=0 wat wel zo moet zijn wat duidelijk is als je naar de tekening kijkt. The formule van TheZoo heeft wel deze eigenschap en dus ga ik voorlopig uit van de formule van Cheatah voor de frequentie. Die is:
f_C = f_A * v_g /(v_g - v²t/sqrt(v²t² + d²))
Invullen van de geretardeerde tijd geeft:

f_C = f_A * v_g /(v_g - v²/sqrt(v² + d²/(t-sqrt(t² + d²/v²))²))

Wat dus de frequentie zou moeten zijn die te horen is op C op tijdstip t.

[GeeBee]

@TheZoo
Je hebt V_AC ontbonden in 2 vectoren, één langs AB en één loodrecht daarop.

Ik puzzel even mee, voorlopig kom ik ook uit op de formule van silentsnow, maar daar klopt het voor t=0 inderdaad niet.
Misschien iets met het referentiepunt?

Volgens mij heb ik een denkfout gevonden:
AB is niet v×t, AB is de afstand tussen de twee punten A en B, en v×t is de afgelegde weg na een bepaalde tijd. Als t=0 klopt het wel dat A en B samenvallen, maar als v=0 dan moet de afstand gelijkblijven maar hoeft niet 0 te zijn.

[ Voor 52% gewijzigd door GeeBee op 10-07-2004 11:33 ]

[TheZoo]

GeeBee schreef op 10 juli 2004 @ 11:25:
@TheZoo
Je hebt V_AC ontbonden in 2 vectoren, één langs AB en één loodrecht daarop.

Niet AB en er loodrecht op maar AC en er loodrecht op!

Ik hoop dat deze tekening het duidelijker laat zien.

cos α is de aanliggende rechthoekszijde/schuine zijde.
In het geval van afstand is AC de schuine zijde en AB de aanliggende rechthoekszijde. Maar als je v gaat ontleden in v_AC en v_loodrecht is v_AC de aanliggende rechtshoekzijde en v de schuine zijde.

Je dan die cos α eigenlijk ook niet gebruiken en met verhoudingen gaan werken. Dan krijg je eigenlijk heel snel en simpel:
v_AC/AB=v/AC(=v_loodrecht/d).
Op deze manier kom je dezelfde formule uit van (5) = (6) in m'n eerdere post.

[ Voor 21% gewijzigd door TheZoo op 10-07-2004 13:08 ]

[TheZoo]

Verwijderd schreef op 10 juli 2004 @ 10:40:
Bij licht gebruiken ze de geretardeerde tijd om te bepalen wat er op een plek gebeurt op tijdstip t. Wat er daar gebeurt hangt af van wat er eerder op een andere plek gebeurde dat is dan de geretardeerde tijd. De geretardeerde tijd is:
van http://scienceworld.wolfram.com/physics/RetardedTime.html
waarin t de originele tijd is, r-r' de afstand tot de bron en c de snelheid v. Omdat geluid ook een golf is met een bepaalde snelheid zou het begrip geretardeerde tijd hier ook moeten werken. Volgens mij kun je t gewoon door de geretardeerde tijd vervangen in je formules en dan zou het moeten kloppen.

De afstand is sqrt(v²t² + d²) dus je moet t vervangen door t-sqrt(t² + d²/v²).

En daar hebben we het antwoord van de vraag in zijn geheel.
Kan er ook nog iemand laten zien hoe die formule voor geretardeerde tijd tot stand komt?

[GeeBee]

TheZoo schreef op 10 juli 2004 @ 13:04:
[...]

Niet AB en er loodrecht op maar AC en er loodrecht op!

I stand corrected

[TheZoo]

No problemo
Ik zou het trouwens wel prettig vinden als iemand mijn redenatie kan bevestigen.
Ik ben nl. ook niet alwetend

[silentsnow]

Verwijderd schreef op 10 juli 2004 @ 10:54:
[...]
Bij jouw formule is v_AC niet nul op tijdstip t=0 wat wel zo moet zijn wat duidelijk is als je naar de tekening kijkt.

Ik denk dat dat de asymptotische eigenschap is die de formule moet hebben. De snelheid van het object op lijnstuk AB wordt immers kleiner en kleiner naarmate het dichterbij t = 0 komt. Op t = 0 is V_AC oneindig klein, maar niet 0.

GeeBee:

Volgens mij moet je het zo zien:



Bij v = 0 maakt het niet uit wat t is. Bij v = 0 is lijnstuk AB = 0. B is immers het beginpunt van A, en de snelheid blijft constant. Dus indien v = 0, dan is lijnstuk AB altijd 0. vt geeft dan gewoon de lengte van lijnstuk AB aan.

[ Voor 28% gewijzigd door silentsnow op 10-07-2004 21:32 ]

[Verwijderd]

Een vergelijking tussen licht en geluid gaat alleen op als we mediumloos oftewel van een ideaal medium voor geluid uitgaan. Dit is ook de reden waarom op grote afstand je formule niet meer opgaat in de werkelijkheid. De geluidsgolf word niet in een rechte lijn getransporteerd maar is een opeenvolging van botsingen tussen verschillende molekulen die elk verschillende massa en snelheden hebben.

Voor verschillende frequenties van geluid(het ambulance voorbeeld) dien je niet op de lijn van de ambulance te staan maar er naast als de ambulance met constante snelheid beweegt. Indien je op de lijn staat zal je verandering horen in de frequentie en alleen dan als de ambulancebestuurder beslist niet over je heen te rijden, hij/zij remt dus.

Hieruit blijkt dus dat verandering in de frequentie van het geluid dat je als ontvanger hoort afhangt van de versnelling van de bron. Deze versnelling zit hem in de hoek met jouw als ontvanger. Deze verandert zoals al aangegeven door meerdere mensen. Ook heeft versnelling geen invloed op het geluid(golf) op het moment dat deze de bron heeft verlaten en zal deze dus niet in de formule verschijnen. Er zijn uitzonderingen maar ik neem aan dat je ambulance niet met de snelheid van het geluid rijdt of beter vliegt. Dit brengt mij op het punt van het ontvangen van verschillende frequenties op het zelfde moment. Dit zal bij lage snelheden niet gebeuren, of beter niet merkbaar. De samenstelling van de lucht zorgt voor verschillende voortplantingssnelheden bij verschillende frequenties maar dit is bij deze lage snelheden te miniem om op te merken.

Mocht je ambulance met de snelheid van het geluid reizen dan zul je tegelijkertijd een aantal geproduceerde geluidsgolven ontvangen van een stuk van de reis van je bron, dit hoor je als de welbekende "sonic boom".

De formule voor de frequentie die je ontvangt in een ideaal medium:

f(ontvanger) = f(bron)*(c - v(ontvanger)) / (c - v(bron))

Hierbij is c de snelheid van de golf in het betreffende medium.
v(ontvanger) is de snelheid van de ontvanger.
v(bron) is de snelheid van de bron.
f(ontvanger) frequentie golf bij de ontvanger.
f(bron) frequentie van golf bij de bron.

Belangrijk : Het geheel is non-vectorieel!

De formule gaat niet meer op als c de lichtsnelheid is.