Vanuit een stelsel is dat stelsel niet te bewijzen

[Burat]

Ik zeg wel eens tegen mensen "vanuit een stelsel is dat stelsel niet te bewijzen", of iets van die strekking. Ik weet niet hoe ik dit eenvoudig kan uitleggen en onderbouwen.

Gevoelsmatig is het juist wat ik zeg. Ook als ik denk aan wiskundige bewijzen waarin je in een subbewijs uitsluiten stellingen van buiten dit subbewijs mag gebruiken. Ook de nama Gödel komt in me op, die bewees dat van stelsels met enige uitdrukkingskracht de consistentie niet te bewijzen valt (toch?).

Stel, ik heb een boek waarin staat: "een floep is een kind van een xorp", en buiten dan boek wordt er niets gezegd over de floep en de xorp. Dan kan ik toch alleen zeggen dat een floep inderdaad een kind van een xorp is, als ik eerst de aanname doe dat wat in het boek staat waar is?

[ Voor 2% gewijzigd door Confusion op 14-04-2004 23:15 . Reden: Gödel :) ]

[Voutloos]

Dit soort dingen heb ik hier ook in een logica boek staan.

Bij de natuurlijke deductie in de propositionele logica (en andere soorten ook), heb je inderdaad boxen met subbewijzen waar zulke regels bij op gaan.

Ook een leuke theorie staat er bij Kripke Modellen (in het kort: dit zijn modellen met diverse werelden als bollen getekend, waar een aantal gerichte relaties tussen de werelden aanwezig zijn en in bepaalde werelden dus bepaalde waarheden zijn):
Voor een wereld zonder uitgaande relatie geldt dan dat elke wereld aan een Phi (een willekeurig iets dat je wilt toetsen) voldoet.¹
Tegelijkertijd kan je ook zeggen dat in elke gerelateerde wereld een Contradictie bevat, simpelweg omdat je zonder gerelateerde werelden het tegendeel niet bewijzen kan.

¹:In simpele taal: stel, het universum zoals wij die kennen is zo'n wereld en we hebben geen relatie met een ander universum, dan mag je dus zeggen: "in iedere andere wereld leven Floeps."

[Opi]

Het antwoord op je vraag is 'ja'. Ik vraag mij alleen af of jouw vraag relatie houdt met de uitspraak dat een systeem zichzelf niet kan beïnvloeden en de twee volgende zinnen:
'deze zin is onwaar'
'de kapper knipt iedereen die zichzelf niet knipt'.

[Verwijderd]

Dit heeft zeker te maken met de "stelling van Gödel". (dus waar)
Helaas is het bij mij te ver weggezakt om helder te kunnen uitleggen.

ps) hoe krijg je die stomme umlaut of de o

[ Voor 41% gewijzigd door Confusion op 14-04-2004 23:16 . Reden: Zo :P ]

[Verwijderd]

Inderdaad.. en dus zijn in essentie alle logische redeneringen, o.a. de hele wetenschap dus, gebaseerd op de blinde aanname dat logica correct is.

Zo ook de redenering uit dit topic trouwens.

moesasji1975nl schreef op 14 april 2004
ps) hoe krijg je die stomme umlaut of de o

alt + 0246
(handig he? zal leuk worden met al die duitse en frýske domein namen straks! )

[argro]

of " o. ,maar dan direct achter elkaar, ëöáäé enz

[Verwijderd]

Ik geef toe die laatste suggestie voor "o had ik zelf ook bedacht.
Echter het werkt bij mij dus niet

Om weer ontopic te komen. Wat is de stelling van Gödel?
(gecopieerd van de volgende website:
http://www.stack.nl/~wvengen/uni/history/personal/godel.php)

Gödels stelling in het kort

Eerst beschreef Gödel een geformaliseerde calculus waarin de wiskunde kan worden uitgedrukt. Hij geeft vookomend symbool een getal, zodat iedere mogelijke formule kan worden uitgedrukt in een zgn. Gödel-getal door een vermenigvuldiging van machten van priemgetallen.

Vervolgens weerspiegelde hij meta-mathematische uitspraken als 'de formule met Gödel-getal x is waar' in de rekenkunde zelf. Hiermee worden ongeldige meta-mathematische uitspraken als in de paradox van Richard vermeden.

Door nu een formule op te stellen die bewijst dat de formule zelf onwaar is - en dit is gelukt met behulp van de Gödel-getallen; In de formule G wordt gezegd dat voor iedere x de formule G met dat Gödel-getal onwaar is -, is G zowel waar als onwaar. Indien de rekenkunde consistent wil zijn, moet noch deze G, noch de ontkenning daarvan af te leiden zijn uit de axioma's. Door meta-mathematisch redeneren kan echter worden aangetoond dat de G waar of onwaar is. Dit is echter niet af te leiden uit de axioma's en de axioma's zijn dus incompleet. Als deze formule echter als axioma toegevoegd zou worden, zou er wel een andere formule gevonden worden waarmee hetzelfde aan de hand is. Met andere woorden, de axioma's zijn nooit compleet.

Er geldt dus: 'als de rekenkunde consistent is, is deze onvolledig'. Door deze uitspraak af te beelden in de rekenkunde toont Gödel aan, dat indien de rekenkunde consistent is, dit niet kan worden aangetoond. Meta-mathematisch kan misschien wel een bewijs worden gegeven, maar dit kan niet worden afgebeeld in de rekenkunde. Gerhard Gentzen heeft zich beziggehouden met meta-mathematische afleidingen. Hiervan is het logisch mogelijk, maar hoogst onwaarschijnlijk dat een absoluut consistentiebewijs gevonden wordt.

[ Voor 16% gewijzigd door Verwijderd op 15-04-2004 14:23 ]

[Michali]

Verwijderd schreef op 14 april 2004 @ 23:11:
ps) hoe krijg je die stomme umlaut of de o

offtopic:
Left Alt 148 kan ook, (Linker Alt dus ingedrukt houden en dan 148 typen op je numpad)

[ Voor 3% gewijzigd door Michali op 17-04-2004 13:24 ]