Lengte lijnstuk berekenen

[Vold]

Met wiskunde hadden we laatst in de klas een discussie over de nauwkeurigheid die komt bij het berekenen van een lijnstuk. Ik vond het wel een grappig onderwerp en ben er toen wat verder over na gaan denken...

Ik heb bijvoorbeeld een programma voor de TI-83 gemaakt die een benadering gaf van een lijnstuk. (Met de variable $begin, $eind, $stapjes en natuurlijk $deformule)
Hier is het natuurlijk maar de vraag wat je kan zien als "de lengte", want onze leraar zei dat je dan maar als lengte moet nemen het antwoord wat je krijgt bij 400 stapjes. (meer kan de rekenmachine niet aan)
Aan de andere kant dacht ik dat dit natuurlijk totaal afhankelijk is van het domein, want als je een gigantisch domein hebt zal de onnauwkeurigheid ook erg groot worden..

Natuurlijk zijn er wel een paar lijnstukken die je zowieso al exact kan berekenen, bijvoorbeeld een half cirkelboog (pi*r), rechte lijnstukken en lijnstukken met de formule ax+b (of variante daarop).
Maar bestaat er ook iets voor het benaderen van gewone parabolen etc ? Als je bijvoorbeeld de lengte van een lijnstuk in de periode [1,2] met de formule X^2 wilt berekenen. Hoe zal jij dat dan aanpakken ? (hier komt trouwens hetzelfde uit als je domein neemt [1,4] en formule Vx (=wortel x ), hoe kwam dat ook al weer )

Mijn vraag is nu: Wat is nou de beste oplossing voor dit soort problemen ? Ik heb namelijk het idee dat ik sommige dingen te omslachtig doe, en dat het misschien ook wel gewoonweg niet te zeggen is wat nou de werkelijke lengte is. (dat is misschien wel hetgene wat mij het meeste irriteert )

Zijn er hier mensen die betere manieren weten of die misschien voorbeelden hebben van andere wiskundige die zich hier ooit mee bezig hebben gehouden (of dat ik misschien wel de enige krankzinnig ben die zich heir mee bezig houdt )

De manier waarop ik het doe (dmv het programma):

Domein opdelen in aantal stapjes. Dan kijk ik per stapje wat de stijging is en dan met de stelling van Pythagoras kan je dan ongeveer de lengte van z'on klein stukje berekenen Bij elkaar opgeteld kom ik zo aan mijn benaderingen.

offtopic:
Hoop dat alles een beetje duidelijk is, want het kan soms lastig zijn om wiskundige problemen die in je hoofd spelen op papier te zetten

[Confusion]

Tag verwijderd uit titel

[Henk007]

Domein opdelen in aantal stapjes. Dan kijk ik per stapje wat de stijging is en dan met de stelling van Pythagoras kan je dan ongeveer de lengte van z'on klein stukje berekenen Bij elkaar opgeteld kom ik zo aan mijn benaderingen.

Da's best knap voor een 5VWO leerling (uit sig). Eigenlijk is dat exact de manier waarop je het moet uitrekenen. Eigenlijk de limiet hiervan voor het aantal stapjes naar oneindig.
De lengte van een kromme (bijvoorbeeld een deel van een parabool) kun je berekenen met een zgn lijnintegraal. Pak je favoriete wiskundeboek erbij en bestudeer het betreffende hoofdstuk nog maar eens. [edit: Dat staat nog niet in VWO wiskundeboeken ]
Het komt in principe neer op Integraal van a naar b (f(x)*sqrt(1+f'(x)^2))*dx

[ Voor 52% gewijzigd door Henk007 op 07-03-2004 21:57 ]

[Vold]

Ik zal er wel eens naar kijken ja... Ff wat hoofdstukken doorspitten Ik heb hier thuis stuk of 4 boeken liggen (waar we er pas 2 van hebben gehad) dus daar kan misschien wel wat instaan. (Getal en ruimte serie NT3 NT4 NT6 etc.)

En dit is een exact antwoord van een kromme ? Ik heb z'on idee dat weer niet alles wordt verteld bij wiskunde

[edit]
Ohja, je hebt je bericht gewijzigd Ja klopt ik zit in de 5de (Hoe raadt je het ) en het was de enige oplossing die ik kon bedenken na een tijdje denken (tijd zat voor dat soort dingen in 5vwo )

Maar ik heb nogal snel dat ik ga twijfelen aan mijn eigen oplossingen, en daarom ben ik benieuwd naar andere visies en methode om dit op te lossen Ik zal dat over die lijnintegraal morgen even gaan opzoeken..

[ Voor 65% gewijzigd door Vold op 07-03-2004 22:10 ]

[Ivo]

Je kan die integraal dan exact uitrekenen met behulp van primitieven. Als f(x) differentieert en je krijgt g(x) dan is f(x) een primitieve van g(x). Met andere woorden:
1/2x² is de primitieve van x.

Als je nou de integraal van 0 tot 1 voor f(x) = x moet uitrekenen doe je dat als volgt: Eerst vul je de bovengrens (1) in en vervolgens de ondergrens (0) in in de primitieve. Vervolgens trek je de eerste primitieve van de tweede af.

(1/2 * 1²) - (1/2 * 0²) = 1/2

Om de lengte van het lijnstuk exact te berekenen moet je dus een primitieve kunnen vinden van f(x)*sqrt(1+f'(x)^2)) (Zie Henk007).

[Anoniem: 29491]

ProPHeT_Ewok schreef op 07 maart 2004 @ 22:09:
Je kan die integraal dan exact uitrekenen met behulp van primitieven. Als f(x) differentieert en je krijgt g(x) dan is f(x) een primitieve van g(x). Met andere woorden:
1/2x² is de primitieve van x.

Als je nou de integraal van 0 tot 1 voor f(x) = x moet uitrekenen doe je dat als volgt: Eerst vul je de bovengrens (1) in en vervolgens de ondergrens (0) in in de primitieve. Vervolgens trek je de eerste primitieve van de tweede af.

(1/2 * 1²) - (1/2 * 0²) = 1/2

Om de lengte van het lijnstuk exact te berekenen moet je dus een primitieve kunnen vinden van f(x)*sqrt(1+f'(x)^2)) (Zie Henk007).

met die integralen bereken je volgens mij de oppervlakte tussen de x-as en de kromme tussen, in dit geval, 1

[Confusion]

Henk007 schreef op 07 maart 2004 @ 21:53:
Het komt in principe neer op Integraal van a naar b (f(x)*sqrt(1+f'(x)^2))*dx

Bijna. Voor een functie y = f(x) geldt dat de lengte van het lijnstuk van x=a tot x=b gelijk is aan integraal van a tot b over sqrt( 1 + (f'(x))² )*dx.

Je kan eenvoudig controleren dat dit klopt voor een constante en voor een functie y = cx.
Die leveren respectievelijk b - a en sqrt(1+c²)(b-a) op.

Het is een speciaal geval van formule 4 op deze pagina.

[ Voor 31% gewijzigd door Confusion op 07-03-2004 22:34 ]

[Ivo]

Jah, ik wilde ook eerst gewoon het principe van primitieven en integralen uitleggen voordat ik de integraal noemde waarmee de lengte van het lijnstuk te berekenen is. De oppervlakte is wel degelijk 1/2 voor de integraal van 0 tot 1 voor x*dx.

[Vold]

Confusion schreef op 07 maart 2004 @ 22:16:
[...]

Bijna. Voor een functie y = f(x) geldt dat de lengte van het lijnstuk van x=a tot x=b gelijk is aan integraal van a tot b over sqrt( 1 + (f'(x))² )*dx.

Je kan eenvoudig controleren dat dit klopt voor een constante en voor een functie y = cx.
Die leveren respectievelijk b - a en sqrt(1+c²)(b-a) op.

Het is een speciaal geval van formule 4 op deze pagina.

Bedankt voor deze hulp iig (En ik bedankt natuurlijk dan iedereen !) Ik zal wat voorbeeldjes bestuderen en kijken hoever ik kom, gelukkig heb ik met wiskunde al differentieren gehad.

offtopic:
Misschien is dit toepasbaar in Programma "Lengte V2.00" .

[TtL8e7ay]

Ik ben het met Henk007 eens dat je voor een VWO leerling wat voorloopt op je jaargenoten, niet zozeer door je kennis, maar meer door je interesse voor het vak. Als je een goed boek zoekt:

Calculus

Getal en Ruimte zijn de typische VWO boeken, Calculus is op dit moment het boek dat door practisch iedere technisch wetenschappelijke opleiding gebruikt wordt om (universitaire!) studenten hun wiskundige basis te verschaffen. Omdat Calculus die basis weer helemaal opnieuw gaat leggen is het voltooien van de laatste 1.5 jaar VWO geen vereiste voor het begrijpen ervan en kun je er bij wijze van spreken morgen al in beginnen.

Verder zou je eens op zoek moeten naar Maple. Maple is een uitstekend programma om het simpele (en onbevatbaar complexe) rekenwerk op te knappen (= alles op het VWO )

[Anoniem: 80315]

cruzlee schreef op 09 maart 2004 @ 00:23:
Ik ben het met Henk007 eens dat je voor een VWO leerling wat voorloopt op je jaargenoten, niet zozeer door je kennis, maar meer door je interesse voor het vak. Als je een goed boek zoekt:

Calculus

Ik neem aan dat je Calculus 6e van Edwards & Penney bedoelt? Er zijn vast een miljard boeken met de titel Calculus in omloop, dus eventuele auteurs en edities zijn wel nuttig om te vermelden natuurlijk

[argro]

of calculus van james stewart of calculus van tomas&finney, deze boeken worden respectievelijk werden gebruikt op de TU Delft.

[Vold]

cruzlee schreef op 09 maart 2004 @ 00:23:
Ik ben het met Henk007 eens dat je voor een VWO leerling wat voorloopt op je jaargenoten, niet zozeer door je kennis, maar meer door je interesse voor het vak. Als je een goed boek zoekt:

Calculus

Getal en Ruimte zijn de typische VWO boeken, Calculus is op dit moment het boek dat door practisch iedere technisch wetenschappelijke opleiding gebruikt wordt om (universitaire!) studenten hun wiskundige basis te verschaffen. Omdat Calculus die basis weer helemaal opnieuw gaat leggen is het voltooien van de laatste 1.5 jaar VWO geen vereiste voor het begrijpen ervan en kun je er bij wijze van spreken morgen al in beginnen.

Verder zou je eens op zoek moeten naar Maple. Maple is een uitstekend programma om het simpele (en onbevatbaar complexe) rekenwerk op te knappen (= alles op het VWO )

Bedankt iig Ik zal eens zoeken naar dt boek *gevonden. in de bib zijn 2 boeken/versies van calculus:

Calculus Gillman, Leonard volwassen boek
Calculus MacDowell, Robert H. volwassen boek

Enige verschil ? In instap niveau bijvoorbeeld ? Iig fijn dat ze op vwo 5 niveau beginnen En verder zocht ik al een tijdje naar iets beters dan windows calc dus dat maple zal ik ook eens opzoeken...

[Anoniem: 80315]

Enige verschil ? In instap niveau bijvoorbeeld ? Iig fijn dat ze op vwo 5 niveau beginnen En verder zocht ik al een tijdje naar iets beters dan windows calc dus dat maple zal ik ook eens opzoeken...

Nouja ik weet alleen over die van Edwards & Penney, maar die begint zegmaar helemaal bij 0. "Dit is een functie, zo schrijf je dat," etc. Voordeel daarvan is dat je echt wel een gedegen achtergrond krijgt, waar ze later op voortbouwen. Je moet alleen geen volslagen debiel zijn, want ze gaan er wel vanuit dat je hun redeneringen kunt volgen

Het is alleen wel een boek van ongeveer 1300 pagina's, in het Engels. Dus sowieso moet je kennis van het Engels op orde zijn, anders mis je subtiliteiten (vooral bij het limietbegrip is dat erg belangrijk:)) maar er staat ook heel erg veel info in die je eigenlijk niet nodig hebt. Voor een goeie basis in de standaard calculus hoef je eigenlijk alleen de eerste helft te behandelen, de rest gaat een beetje in op lineaire algebra en differentiaalvergelijkingen.

[MSalters]

Op zich kun je het limiet concept wel simpel uitleggen. De truc is dat je twee methoden vindt die het antwoord benaderen. Een die altijd teveel oplevert, en een die altijd te weinig oplevert. Als het goed is wordt de fout van beiden kleiner naarmate je meer stapjes gebruikt. Als je nu uitrekent waar die benaderingen elkaar tegenkomen heb je de lengte.

Voor een crikel kun je bijvoorbeeld de grootste regelmatige N-hoek gebruiken die net binnen de cirkel past, en de kleinste die er net buiten valt. Als N naar oneindig gaat hebben beiden een omtrek van 2 pi R
[ De binnenste N-hoek heeft een omtrek van 2 * N * R * cos( 2 * pi / N ), de buitenste 2 * N * R * tan ( 2 * pi / N ) ]

[Apollo_Futurae]

MSalters schreef op 10 maart 2004 @ 22:34:
Op zich kun je het limiet concept wel simpel uitleggen. De truc is dat je twee methoden vindt die het antwoord benaderen. Een die altijd teveel oplevert, en een die altijd te weinig oplevert. Als het goed is wordt de fout van beiden kleiner naarmate je meer stapjes gebruikt. Als je nu uitrekent waar die benaderingen elkaar tegenkomen heb je de lengte.

Dat is een mooie omschrijving, maar dan wel van Riemannsommen, niet van limieten .

De limiet van f(x) voor x -> x₀ is iets als "dat getal, waar je f(x) zo dicht bij kunt krijgen als je wilt, door x maar dicht genoeg bij x₀ te nemen".

[Anoniem: 80315]

Apollo_Futurae schreef op 10 maart 2004 @ 23:53:
[...]

Dat is een mooie omschrijving, maar dan wel van Riemannsommen, niet van limieten .

De limiet van f(x) voor x -> x₀ is iets als "dat getal, waar je f(x) zo dicht bij kunt krijgen als je wilt, door x maar dicht genoeg bij x₀ te nemen".

Maar x nog altijd ongelijk aan x₀ houdt. Da's wel een belangrijk detail . De limiet van f(x) = x bij x -> 0 is gewoon 0, want je vult x=0 in, maar bij sin(x)/x gaat die vlieger niet meer op, die functie bestaat gewoon niet meer bij x=0. Dat is juist het hele punt van een limiet he

[Anoniem: 8386]

cruzlee schreef op 09 maart 2004 @ 00:23:
Verder zou je eens op zoek moeten naar Maple. Maple is een uitstekend programma om het simpele (en onbevatbaar complexe) rekenwerk op te knappen (= alles op het VWO )

anders ook mathematica. Mathematica is doorgaans wat beter met differentiaal vergelijkingen en wat flexibeler qua interface. (zeker met mathLink)