Vraag over bovengrens bij rij

[Verwijderd]

Hmm zit weer met een probleempje

Ik heb zeg maar de volgende rij:

1/x₁ + 1/x₂ + ... + 1/x_n = 1

Nu wil ik graag de bovengrens bepalen voor elk element x_i zodat de vergelijking oplosbaar is.
Ik heb al op basis van wat uitproberen een soort recursieve formule gegokt, maar ik zie niet echt hoe ik het kan bewijzen.
u_n+1 = u_n² + u_n met u₁=1

Met deze formule kan ik dus berekenen wat de bovengrens wordt bij een gegeven bovengrens x_n als ik er een term 1/x_n+1 aan de linkerkant van de vergelijking bij optel.

Ik heb het geprobeerd om het met inductie te bewijzen, maar dat wilde niet echt werken omdat ik niet precies weet hoe ik zo'n bovengrens kan berekenen. Of is het mischien handiger eerst een gesloten uitdrukking te vinden voor u_n ipv met zo'n recursieve vergelijking te werken?

[Verwijderd]

Het is mij niet echt duidelijk waar je naar opzoek bent. Zoek je een rij {x_n} zodat de reeks (de som over alle elementen) 1/x_n convergeert naar 1? Of zoek je iets heel anders.

[windancer]

Je moet wat meer informatie geven over de x_i want er zijn nu geen beperkingen op de x_i zodat er altijd wel een oplossing is.

Verwijderd schreef op 07 februari 2004 @ 15:04:
Hmm zit weer met een probleempje

Ik heb zeg maar de volgende rij:

1/x₁ + 1/x₂ + ... + 1/x_n = 1

Nu wil ik graag de bovengrens bepalen voor elk element x_i zodat de vergelijking oplosbaar is.
Ik heb al op basis van wat uitproberen een soort recursieve formule gegokt, maar ik zie niet echt hoe ik het kan bewijzen.
u_n+1 = u_n² + u_n met u₁=1

Met deze formule kan ik dus berekenen wat de bovengrens wordt bij een gegeven bovengrens x_n als ik er een term 1/x_n+1 aan de linkerkant van de vergelijking bij optel.

Ik heb het geprobeerd om het met inductie te bewijzen, maar dat wilde niet echt werken omdat ik niet precies weet hoe ik zo'n bovengrens kan berekenen. Of is het mischien handiger eerst een gesloten uitdrukking te vinden voor u_n ipv met zo'n recursieve vergelijking te werken?

[Verwijderd]

Ok ik zal het hier even proberen te verduidelijken

Windancer: Ik geloof dus wel dat er beperkingen zijn aan elke x_i, want stel je hebt de volgende reeks:

1/x₁ + 1/x₂ = 1

Hier kan elke x_i alleen maar de waarden 0, 1 of 2 aannemen.

Nu wil ik dit geval uitbreiden naar een willekeurig n aantal termen 1/x_i.
Ik zou nu graag willen weten wat voor maximaal geheeltallige waarde x_i aan kan nemen zodat het een oplossing is voor de vergelijking.

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op 08 februari 2004 @ 20:12:
Ok ik zal het hier even proberen te verduidelijken

Windancer: Ik geloof dus wel dat er beperkingen zijn aan elke x_i, want stel je hebt de volgende reeks:

1/x₁ + 1/x₂ = 1

Hier kan elke x_i alleen maar de waarden 0, 1 of 2 aannemen.

Nu wil ik dit geval uitbreiden naar een willekeurig n aantal termen 1/x_i.
Ik zou nu graag willen weten wat voor maximaal geheeltallige waarde x_i aan kan nemen zodat het een oplossing is voor de vergelijking.

Ah. Je wil geheel tallige waarden. (overigens 1/0 is niet gedefineerd, dus dat kan nooit!)

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op 08 februari 2004 @ 21:07:
[...]


Ah. Je wil geheel tallige waarden. (overigens 1/0 is niet gedefineerd, dus dat kan nooit!)

Oja dat bedoel ik
En idd, ik wil geheeltallige waarden! Zou jij een goede systematische manier vinden om steeds zo'n bovengrens te bepalen? Ik heb die recursieve formule gewoon gegokt, uit resultaten die ik met maple heb bepaald tot n=5.

[JustDutch]

Verwijderd schreef op 08 februari 2004 @ 20:12:
Ok ik zal het hier even proberen te verduidelijken

Windancer: Ik geloof dus wel dat er beperkingen zijn aan elke x_i, want stel je hebt de volgende reeks:

1/x₁ + 1/x₂ = 1

Hier kan elke x_i alleen maar de waarden 0, 1 of 2 aannemen.

Nu wil ik dit geval uitbreiden naar een willekeurig n aantal termen 1/x_i.
Ik zou nu graag willen weten wat voor maximaal geheeltallige waarde x_i aan kan nemen zodat het een oplossing is voor de vergelijking.

Is het maximum van x(i) niet gelijk aan n? (als je enkel van natuurlijke getallen uitgaat?
Stel:
1/x1 + 1/x2 + 1/x3 = 1
stel je neemt voor x3=4, dan moeten x1 en x2 samen 3/4 (ofwel 1-x3)zijn. hier komt geen natuurlijk getal uit.
ofwel de som over 1/Xn = 1 - 1/Xn+1

[Zoijar]

JustDutch schreef op 09 februari 2004 @ 02:09:
Is het maximum van x(i) niet gelijk aan n? (als je enkel van natuurlijke getallen uitgaat?
Stel:
1/x1 + 1/x2 + 1/x3 = 1
stel je neemt voor x3=4, dan moeten x1 en x2 samen 3/4 (ofwel 1-x3)zijn. hier komt geen natuurlijk getal uit.
ofwel de som over 1/Xn = 1 - 1/Xn+1

Nee... stel n=10, dan kan je 1/20+1/20+1/5+1/5+1/20+1/20+1/10+1/10+1/10+1/10. Dus dat gaat niet op. Persoonlijk heb ik geen idee over een bovengrens... zou wel het aantal oplossingen kunnen bepalen misschien mbv formele machtreeksen. Misschien dat je daar ook iets van bovengrens uit kan halen.

[Verwijderd]

Ik geloof wel dat je gegokte recursie formule wel klopt:
u_n+1 = u_n(u_n+1)
=>
1/(u_n+1) + 1/u_n+1 = 1/u_n


Dit geeft voor u_n de meest extreme manier om het als de som van twee breuken (met beide teller 1) te schrijven.
(Als je dit netjes kan bewijzen, wat niet moeilijk moet zijn, dan ben je er bijna)

[ Voor 5% gewijzigd door Verwijderd op 09-02-2004 14:50 ]

[JustDutch]

Zoijar schreef op 09 februari 2004 @ 12:02:
[...]


Nee... stel n=10, dan kan je 1/20+1/20+1/5+1/5+1/20+1/20+1/10+1/10+1/10+1/10. Dus dat gaat niet op.

Hmm, ja, dat had ik ook zelf kunnen bedenken

Anyway's, als ik het volgende eens omschrijf: de som over 1/Xn = 1 - 1/Xn+1

Zou 1/Xn+1 = (1 - de som over 1/Xn voor alle n) zijn?