Waarom factoren van getal uniek

[Opi]

Redelijk simpele vraag, maar ik kan maar niet aantonen waarom de factoren van een getal uniek zijn?

Waarom is het niet mogelijk dat getal a*b, waar bij a en b de enige twee factoren en dus (per definitie) priemgetallen zijn, andere factoren heeft die a*c en b/c zijn, waarbij c een niet geheel getal is? En hoe verhoudt dit zich tot de eigenschappen van een priemgetal?

Excuses voor het feit dat ik hier geen stelling poneer.

[Verwijderd]

Wat betreft je eerste vraag: Volgens mij heb je het antwoord al in je definitie opgesloten liggen. Als je definieert dat een getal a*b alleen de factoren a en b heeft, heb je met je definitie toch al uitgesloten dat er gehele getallen a*c en b/c bestaan?

[Opi]

Daar zit wat in; laat ik de vraag anders stellen.

Is het mogelijk dat zowel
a * b = e
als
c * d = e
kunnen en a, b, c en d een priemgetal zijn?

[Avalanchez]

OpifexMaximus schreef op 02 februari 2004 @ 18:52:
Daar zit wat in; laat ik de vraag anders stellen.

Is het mogelijk dat zowel
a * b = e
als
c * d = e
kunnen en a, b, c en d een priemgetal zijn?

dan is... a*b=c*d? Of was dit een te simplistisch antwoord?

toch maar even editen:
kijk:
a,b zijn priem (P), a,b <> 1
dan is: a*b = niet priem (volgens definitie van priemgetallen)
stel nu het tegenovergestelde: Niet-P * Niet-P = P * P
Dat kan dus niet, of toch?

als a <> c of a <> d en b <> c of b <> d dan veronderstelt dat deze getallen nog eens kunnen ontbonden worden, maar dat is dan weer in strijd met de definitie van priemgetallen

[ Voor 45% gewijzigd door Avalanchez op 02-02-2004 19:16 . Reden: laatste edit: negeer dit en lees het onderstaande ]

[Verwijderd]

OpifexMaximus schreef op 02 februari 2004 @ 18:52:
Daar zit wat in; laat ik de vraag anders stellen.

Is het mogelijk dat zowel
a * b = e
als
c * d = e
kunnen en a, b, c en d een priemgetal zijn?

Dan is a*b=c*d.
Dus a=c*d/b. waarin c, d, b en a gehele getallen zijn. Dan kan a geen priemgetal meer zijn. Dus klopt het niet.

[Opi]

Verwijderd schreef op 02 februari 2004 @ 19:14:
[...]

Dan is a*b=c*d.
Dus a=c*d/b. waarin c, d, b en a gehele getallen zijn. Dan kan a geen priemgetal meer zijn. Dus klopt het niet.

Waarom kan a dan geen priemgetal meer zijn? d/b kan toch een breuk zijn die te niet wordt gedaan, waarmee ik wil zeggen dat het een geheel getal wordt, wanneer zij met c wordt vermenigvuldigd?

[Rataplan]

Nee, want als a=c*(d/b) met c priem, dan is a óók deelbaar door c! En a is niet deelbaar door c, want a is priem.

[DarkX]

Rataplan> Is dat wel zo? Het is wel deelbaar door C, maar er komt een breuk uit (d/b). Een priemgetal mag toch alleen geen geheel getal uitkomen? En d/b is nooit een geheel getal, aangezien d een priemgetal is

[ Voor 20% gewijzigd door DarkX op 02-02-2004 19:39 ]

[Verwijderd]

dit hebben we op school vorige week nog gehad met wiskunde. als ik thuis ben zal ik mijn boek eens open doen en het ff overtikken.

[Rataplan]

DarkX schreef op 02 februari 2004 @ 19:39:
Rataplan> Is dat wel zo? Het is wel deelbaar door C, maar er komt een breuk uit (d/b). Een priemgetal mag toch alleen geen geheel getal uitkomen? En d/b is nooit een geheel getal, aangezien d een priemgetal is

En a is ook een priemgetal, dus a/c is ook altijd een breuk. Dan heb je dus twee breuken die hetzelfde zijn. Stel ik: a/c=nd/nb (n is geheel getal). a, b, c en d zijn ook gehele getallen, dus a=nd en c=nb. En aangezien n=1 moet zijn om a en c priem te laten zijn, geldt a=d en c=b

[DarkX]

Klopt, bedacht ik me net in de douche ook Maar hoort wel bij het verhaaltje eigenlijk

[Verwijderd]

OpifexMaximus schreef op 02 februari 2004 @ 19:30:
[...]

Waarom kan a dan geen priemgetal meer zijn? d/b kan toch een breuk zijn die te niet wordt gedaan, waarmee ik wil zeggen dat het een geheel getal wordt, wanneer zij met c wordt vermenigvuldigd?

Wat jij zegt kan wel, maar alleen als b=c en daarmee ook d=a. d en b zijn priemgetallen de breuk d/b kan alleen maar weer een geheel getal worden als c een veelvoud van b is. Dus c=f*b, waarin f een geheel getal is. Dus a=f*d dus f=a/d, maar dit is weer een breuk dus er is tegenspraak, dus klopt het niet.

[joepP]

http://sunsite.utk.edu/ma.../historia/apr00/0041.html

Daar staat:

Let m be the smallest number for which the decomposition is not unique. Let p be the smallest prime factor of m ; then (1) m/p = h has a unique decomposition as it is smaller than m , and m = ph . By assumption there must be a second, different decomposition of m , and among the prime factors of that there is a smallest one which I write q . Hence m = qk, and q is different from p , for otherwise also h=k which by (1) has a unique decomposition. Hence q>p by minimality of p , and n = m - pk = qk - pk = (q-p)k is positive and smaller than m . Thus n has a unique decomposition, and as p divides n = ph - pk = p(h-k) = (q-p)k , now p occurs among the prime factors of (q-p) or of k . But by choice of q, the prime factors in k are larger than q , hence larger than p , and so p cannot divide k but must divide q-p . So q-p = pr , hence q = (p+1)r whence q is not prime !

Ik heb geen zin het na te kijken, maar dat kan je zelf wel