vermoeden van Poincaré opgelost.

[MrE]

In de topictitel kon ik niet helemaal kwijt wat ik wilde vragen/stellen, maar dit is geen poging tot een nieuwsposting.

In de Sp!ts las ik dat de Rus Grigori Perelman, naar alle waarschijnlijkheid het vermoeden van Poincaré heeft op weten te lossen.
Dit is de grootste ontdekking in de wiskundige geschiedenis sinds Andrew Wiles de laatste stelling van Fermat wist op te lossen in 1994.

Kortgezegd komt het vermoeden van Poincaré er op neer dat formules die van toepassing zijn op twee dimensionale ruimtes overdraagbaar zijn op drie dimensionale ruimtes.
Deze ontdekking zou vervolgens het bestuderen van de vorm het heelal vergemakkelijken.

Nu mijn vragen.

Als ik een vermoeden of een stelling heb, dan moet ik toch ook een idee hebben hoe die werkt. Als dat wordt uitgeprobeert heb, dan is de kwestie toch afgerond?
dat A².B²==C², dan teken je toch een driehoek, past de formule toe, en als dat waar blijkt, dan is het bewezen.

Zo ook met de toepassing van formules op twee en drie dimensionale ruimten.
Je kan dat toch gewoon narekenen?

Waar moet ik aan denken bij de opmerking 'het besturen van de vorm van het heelal' ik dacht dat men dat toch betrekkelijk nauwkeurig had vastgesteld.

[ Voor 1% gewijzigd door MrE op 09-01-2004 13:49 . Reden: zalmmoot met pomme duchesse ]

[EXX]

MrE schreef op 09 januari 2004 @ 13:49:
Als ik een vermoeden of een stelling heb, dan moet ik toch ook een idee hebben hoe die werkt. Als dat wordt uitgeprobeert heb, dan is de kwestie toch afgerond?
dat A².B²==C², dan teken je toch een driehoek, past de formule toe, en als dat waar blijkt, dan is het bewezen.

Zo ook met de toepassing van formules op twee en drie dimensionale ruimten.
Je kan dat toch gewoon narekenen?

Een voorbeeld is geen bewijs. Als 1 geval werkt, zegt dat nog niet dat de stelling waar is. Omgekeerd geldt wel: als je 1 voorbeeld vind dat de stelling ontkracht, is de stelling niet waar.

Het is eigenlijk hetzelfde als met software testen. Je kunt alleen maar de aanwezigheid van fouten aantonen, niet de afwezigheid.

[mrClass]

EXX schreef op 09 januari 2004 @ 13:53:
[...]


Een voorbeeld is geen bewijs. Als 1 geval werkt, zegt dat nog niet dat de stelling waar is. Omgekeerd geldt wel: als je 1 voorbeeld vind dat de stelling ontkracht, is de stelling niet waar.

Het is eigenlijk hetzelfde als met software testen. Je kunt alleen maar de aanwezigheid van fouten aantonen, niet de afwezigheid.

"vermoeden van Poincaré opgelost" Hoe kan dit dan vastgesteld worden??

[brokenp]

met wiskundige bewijzen, je hebt een aantal axioma's (basis vd wiskunde) waaruit andere stellingen bewezen zijn. Je kan nu met deze stellingen andere zaken bewijzen.

[ Voor 7% gewijzigd door brokenp op 09-01-2004 19:02 ]

[Anoniem: 3689]

Er zijn nog verschillende mogelijkheden voor de vorm van het heelal:

gesloten: vergelijkbaar met de oppervlakte van een bol. Wie lang een bepaalde richting in blijft gaan komt weer terug waar ie vandaag kwam.

open: vergelijkbaar met het zadel van een paard, maar dan oneindig lang. Wie een bepaalde richting in blijft gaan komt nooit meer terug.

plat: vergelijkbaar met een stuk papier. Wie een bepaalde richting in blijft gaan komt ook in dit geval nooit meer terug.

In dezelfde volgorde:



Zoals het er op dit moment naar uitziet is het de laatst optie.

Om de keuze te maken moet er gekeken worden naar de dichtheid van het heelal, die niet zo makkelijk te bepalen is. Door zaken zoals zwarte materie lijkt er zich minder in het heelal te bevinden dan er werkelijk is, wat resulteert in een te kleine dichtheid. Dit zou een open heelal impliceren. Door hiervoor te compenseren kunnen schattingen gemaakt worden die erop lijken te duiden dat de dichtheid precies gelijk is aan een berekende kritische waarde.

Zou de daadwerkelijke dichtheid groter zijn dan de kritische waarde, dan is er sprake van een gesloten heelal (dat uiteindelijk in elkaar zal storten).
Bij een kleinere dichtheid hebben we een open heelal, dat oneindig zal blijven uitdijen.

In het geval dat de waarheid lijkt te zijn, een dichtheid die gelijk is aan de kritische waarde, komt de uitdijing van heelal na een lang tijd bijna tot stilstand, maar wordt net niet de grens overschreven waarbij het weer ineen zou storten.

(hopelijk is mijn uitleg nog niet achterhaald door recente onderzoeken, maar voor zover ik weet niet)

[ Voor 9% gewijzigd door Anoniem: 3689 op 09-01-2004 22:30 ]

[Lord Daemon]

Wat ik er van begrijp, na het bestuderen van deze site, is het volgende, maar ik ben geen wiskundige en heb termen als 'homeomorfisme' en 'compact' niet helemaal in de vingers. Het (originele) vermoeden van Poincare zegt dat elke gesloten drie dimensionale 'figuur' zonder gaten homeomorf is aan de drie-bol. Maar laten we het eerst in een dimensie minder doen.

Stel je een 2-dimensionaal vlak voor dat gekromd is in een 3-dimensionale ruimte. Dit vlak heeft geen randen en heeft geen gaten: een typisch voorbeeld is een bol (zonder inhoud, dus alleen de schil). Een bol is een 2-dimensionaal oppervlak, en dat oppervlak heeft geen randen en er zitten geen gaten in. 'Geen gaten' moet je als volgt opvatten: als je een cirkeltje op het oppervlak maakt en je maakt dat steeds kleiner, dan kan je dat op continue wijze zo klein maken als je wilt zonder dat het het oppervlak hoeft te verlaten. Een donut heeft dus bijvoorbeeld wel gaten: als je als een cirkel trekt aan de binnenkant van het midden kan je die niet kleiner maken, want daar zit het gat in het midden in de weg. Een bol heeft echter geen gaten.

Laat nu de eis varen dat dit twee-dimensionale vlak in 3 dimensies gekromd is: dat mag ook in meer zijn, hoewel je je dat eigenlijk niet meer kan voorstellen; waarschijnlijk is het wiskundig gezien niet eens belangrijk of het in te bedden is in een of andere ruimte. Het vermoeden van Poincare zou hiervoor nu het volgende zijn: alle twee-dimensionale figuren zonder randen en zonder gaten zijn homeomorf aan de bol. Homeomorf kan je het enigszins slordig maar wel inzichtelijk beschouwen als dat je de een in de ander kan omvormen door alleen maar uitrekken en indrukken. Een bol en een ei kan je in elkaar laten overgaan door bijvoorbeeld de bol op sommige plaatsen een beetje uit te rekken: ze zijn dus homeomorf. Maar en bol kan je nooit in een donut laten overgaan, want het gat kan niet ontstaan door indrukken of uitrekken: een bol en een donut zijn niet homeomorf.

Het vermoeden van Poincare is nu dus bewezen voor 3-dimensionale oppervlakken (voor alle andere dimensies was het al bewezen): alle 3-dimensionale oppervlakken zonder randen en gaten zijn homeomorf met de 3-bol. De 3-bol is de variant van onze gewone bol maar dan in een dimensie hoger: nogal lastig voor te stellen dus.

Waarom kan dit nuttig zijn voor kosmologie? Omdat onze ruimte een 3-dimensionaal oppervlak is dat wellicht randen nog gaten heeft; het vermoeden van Poincare vertelt dus dat er dan nog maar een optie over is: iets dat homeomorf is met de 3-bol. Er bestaan geen rare andere vormen die het heelal zou kunnen hebben. (Hoe nuttig dit in de wetenschappelijke praktijk is weet ik niet.)

[Lord Daemon]

MrE schreef op 09 januari 2004 @ 13:49:
Als ik een vermoeden of een stelling heb, dan moet ik toch ook een idee hebben hoe die werkt. Als dat wordt uitgeprobeert heb, dan is de kwestie toch afgerond?
dat A².B²==C², dan teken je toch een driehoek, past de formule toe, en als dat waar blijkt, dan is het bewezen.

Zo ook met de toepassing van formules op twee en drie dimensionale ruimten.
Je kan dat toch gewoon narekenen?

De stelling van Pythagoras kan je niet bewijzen door een driehoek te tekenen en de zijden te meten. Afgezien van het feit dat je driehoek wellicht niet helemaal goed getekend is en dat je metingen nooit volledig accuraat zijn, kan je zo alleen iets over die ene driehoek zeggen: en niet over alle driehoeken! Het mooie van wiskunde is nu juist dat je dingen kan bewijzen: aan de hand van de wiskundige eigenschappen van driehoeken, eigenschappen die elke driehoek moet hebben om een driehoek te kunnen zijn, kan je laten zien dat de stelling van Pythagoras altijd voor elke driehoek geldt. Een simpel voorbeeld van een wiskundig bewijs kan misschien verhelderend werken.


Stelling: als je een even en een oneven getal vermenigvuldigt krijg je altijd een even getal.

Je kan dit natuurlijk gaan uitproberen. 2 x 3 = 6. Klopt. 4 x 7 = 28. Klopt. Maar zo bewijs je natuurlijk niets: je kan door uitproberen niet laten zien dat het geldt voor alle getallen! Dus gaan we het nu strak bewijzen. Alle getallen die we zullen beschouwen zijn natuurlijke getallen, dus zitten in de rij 1, 2, 3, 4, 5, ...

Een even getal is een getal van de vorm: 2 * x.
Neem een willekeurig even getal a. Dit is te schrijven als 2 * b, waarbij b de helft van a is. (Elk even getal is namelijk te schrijven als 2 maal een ander geheel getal.) En neem een willekeurig oneven getal c. Nu geldt: a * c = 2 * b * c = 2 * (b * c) = 2 * d, voor d = b * c. Dus a * b, het produkt van een willekeurig even en een willekeurig oneven getal, is gelijk aan 2 * d. Maar dat is van de vorm 2 * x, dus een even getal.
Conclusie: als je een even en een oneven getal vermenigvuldigt krijg je altijd een even getal.

Ik heb nu de stelling bewezen voor alle getallen: welk even en oneven getal je ook bedenkt, ik heb laten zien dat de stelling altijd klopt. En dat is iets wat je met 'narekenen' nooit kan bereiken.


Er zijn overigens ook wiskundige stellingen die je wel met voorbeelden kan bewijzen. Bijvoorbeeld dat een stelling niet geldt: je hoeft alleen een tegenvoorbeeld te laten zien. Of dat iets geldt voor 1 bepaald ding: je kan laten zien dat het voor dat ene geldt. Of dat een bepaald object bestaat: construeer het object, en je bent er.

[Anoniem: 3689]

Ter aanvulling:

Ook negatieve gehele getallen zijn even of oneven. Bovenstaand bewijs zou dus eigenlijk over de gehele getallen moeten gaan (Z), niet alleen over de natuurlijke (N). Aangezien ook voor negatieve even getallen geldt dat ze als 2 * b geschreven kunnen worden (met b ook uit Z) maakt dat verder voor het bewijs echter niet uit.

Als je het bovendien echt formeel zou willen doen moet je voor c ook 2*n+1 schrijven. Dan kom je op a * c = 2*b*(2*n +1) = 2*(b*(2*n+1)) = 2*x, met x= b*(2*n+1). Dus even.

[ Voor 27% gewijzigd door Anoniem: 3689 op 09-01-2004 23:38 ]

[Lord Daemon]

Anoniem: 3689 schreef op 09 januari 2004 @ 23:31:
Als je het bovendien echt formeel zou willen doen moet je voor c ook 2*n+1 schrijven. Dan kom je op a * c = 2*b*(2*n +1) = 2*(b*(2*n+1)) = 2*x, met x= b*(2*n+1). Dus even.

Dat hoeft niet; als het voor willekeurige c geldt, geldt het ook voor oneven c. Het is dus niet noodzakelijk om c expliciet als oneven getal te schrijven.

[Anoniem: 3689]

Je heb helemaal gelijk, het is duidelijk bedtijd voor mij

[Anoniem: 8386]

Lord Daemon schreef op 09 januari 2004 @ 23:08:
Wat ik er van begrijp, na het bestuderen van deze site, is het volgende, maar ik ben geen wiskundige en heb termen als 'homeomorfisme' en 'compact' niet helemaal in de vingers. Het (originele) vermoeden van Poincare zegt dat elke gesloten drie dimensionale 'figuur' zonder gaten homeomorf is aan de drie-bol. Maar laten we het eerst in een dimensie minder doen.

Het gaat om "gesloten" drie dimensionale variateiten. Dit legt nog wel wat extra voorwaardes op. Zoals dat de figuur "glad" moet zijn. Verder is betekent gesloten in het geval van variateiten net iets anders dan normaal. Een gesloten variateit moet namelijk "compact" zijn. (Compact is een vrij ingewikkelde eigenschap, die ongeveer samengevat kan worden als dat alle continue functies begrensd zijn). Deze eis is nogal belangrijk, aangezien anders de reeele 3D ruimte ook onder de stelling zou moeten vallen. Deze laatste is over duidelijk niet homeomorph met de S³ (de driedimensionale bol).

[Lord Daemon]

Anoniem: 8386 schreef op 10 januari 2004 @ 14:17:
Deze eis is nogal belangrijk, aangezien anders de reeele 3D ruimte ook onder de stelling zou moeten vallen. Deze laatste is over duidelijk niet homeomorph met de S³ (de driedimensionale bol).

Ook heel waar.

[Finwe]

EXX schreef op 09 januari 2004 @ 13:53:
[...]


Een voorbeeld is geen bewijs. Als 1 geval werkt, zegt dat nog niet dat de stelling waar is. Omgekeerd geldt wel: als je 1 voorbeeld vind dat de stelling ontkracht, is de stelling niet waar.

Het is eigenlijk hetzelfde als met software testen. Je kunt alleen maar de aanwezigheid van fouten aantonen, niet de afwezigheid.

Misschien is dit offtopic zeuren, maar je kan wel degelijk wiskundig de correctheid van software aantonen. Kijk maar eens naar de leer van Edsger Dijkstra. Zonde dat deze niet meer bekendheid heeft!

[Night-Reveller]

Finwe schreef op 12 januari 2004 @ 10:41:
[...]

Misschien is dit offtopic zeuren, maar je kan wel degelijk wiskundig de correctheid van software aantonen. Kijk maar eens naar de leer van Edsger Dijkstra. Zonde dat deze niet meer bekendheid heeft!

Nee, je kan alleen bewijzen dat het ontwerp foutloos is. Niet de daadwerkelijke implementatie.

[Finwe]

Night-Reveller schreef op 12 januari 2004 @ 14:06:
[...]

Nee, je kan alleen bewijzen dat het ontwerp foutloos is. Niet de daadwerkelijke implementatie.

Oh dan heb ik zeker 3 jaar voor niks mijn programma's correct bewezen op de universiteit. Je moet er natuurlijk ook vanuit gaan dat de compiler correct werkt en de hardware etc etc etc. Mits dit zo is en de semantiek van je programmeertaal vastligt kan je een implementatie wel degelijk correct bewijzen. Of het praktisch is is een heel ander verhaal...

[Anoniem: 958]

Lord Daemon schreef op 09 januari 2004 @ 23:08:
Wat ik er van begrijp, na het bestuderen van deze site, is het volgende, maar ik ben geen wiskundige en heb termen als 'homeomorfisme' en 'compact' niet helemaal in de vingers.

Compact betekent gesloten en begrensd en een homeomorphisme is een afbeelding die de topologie behoudt, oftewel een afbeelding die een beetje uitrekt, inkrimpt en vervormd alsof het object van rubber is, maar zonder te knippen, plakken of gaten te maken.

Het (originele) vermoeden van Poincare zegt dat elke begrensde gesloten drie dimensionale 'figuur' zonder gaten homeomorf is aan de drie-bol.

Heb even de voorwaarde begrensd toegevoegd. Voor oneindige figuren geldt het niet.

Maar laten we het eerst in een dimensie minder doen.

Stel je een 2-dimensionaal vlak voor dat gekromd is in een 3-dimensionale ruimte. Dit vlak heeft geen randen en heeft geen gaten: een typisch voorbeeld is een bol (zonder inhoud, dus alleen de schil). Een bol is een 2-dimensionaal oppervlak, en dat oppervlak heeft geen randen en er zitten geen gaten in. 'Geen gaten' moet je als volgt opvatten: als je een cirkeltje op het oppervlak maakt en je maakt dat steeds kleiner, dan kan je dat op continue wijze zo klein maken als je wilt zonder dat het het oppervlak hoeft te verlaten. Een donut heeft dus bijvoorbeeld wel gaten: als je als een cirkel trekt aan de binnenkant van het midden kan je die niet kleiner maken, want daar zit het gat in het midden in de weg. Een bol heeft echter geen gaten.

Laat nu de eis varen dat dit twee-dimensionale vlak in 3 dimensies gekromd is: dat mag ook in meer zijn, hoewel je je dat eigenlijk niet meer kan voorstellen; waarschijnlijk is het wiskundig gezien niet eens belangrijk of het in te bedden is in een of andere ruimte. Het vermoeden van Poincare zou hiervoor nu het volgende zijn: alle twee-dimensionale figuren zonder randen en zonder gaten zijn homeomorf aan de bol. Homeomorf kan je het enigszins slordig maar wel inzichtelijk beschouwen als dat je de een in de ander kan omvormen door alleen maar uitrekken en indrukken. Een bol en een ei kan je in elkaar laten overgaan door bijvoorbeeld de bol op sommige plaatsen een beetje uit te rekken: ze zijn dus homeomorf. Maar en bol kan je nooit in een donut laten overgaan, want het gat kan niet ontstaan door indrukken of uitrekken: een bol en een donut zijn niet homeomorf.

toon volledige bericht

Mooie uitleg, maar net als net: je ruimte moet compact zijn (gesloten en begrensd). Alleen gesloten is niet genoeg.

Het vermoeden van Poincare is nu dus bewezen voor 3-dimensionale oppervlakken (voor alle andere dimensies was het al bewezen): alle 3-dimensionale oppervlakken zonder randen en gaten zijn homeomorf met de 3-bol. De 3-bol is de variant van onze gewone bol maar dan in een dimensie hoger: nogal lastig voor te stellen dus.

Waarom kan dit nuttig zijn voor kosmologie? Omdat onze ruimte een 3-dimensionaal oppervlak is dat wellicht randen nog gaten heeft;

En dus ook nog eens begrensd is .

het vermoeden van Poincare vertelt dus dat er dan nog maar een optie over is: iets dat homeomorf is met de 3-bol. Er bestaan geen rare andere vormen die het heelal zou kunnen hebben. (Hoe nuttig dit in de wetenschappelijke praktijk is weet ik niet.)

Ik denk dat het niet heel erg nuttig is. Iedereen geloofde toch al heel lang dat het vermoeden waar was. Voor de meeste natuurkundigen is het voor waar aannemen van dit soort vermoedens dan ook geen enkel obstakel. De kans dat natuurkundige theorie valt doordat opeens het tegendeel van een eeuwenoud vermoeden blijkt te gelden is verwaarloosbaar (een meetfout is veel waarschijnlijker). Ook wiskundigen schromen niet om bijvoorbeeld een onbewezen Riemann of continuum hypothese aan te nemen. Het enige effect zal misschien zijn dat het vermoeden van Poincaré geen gekke wiskundigen meer van de straat zal houden. Wees dus gewaarschuwd .

[Lord Daemon]

Anoniem: 958 schreef op 12 januari 2004 @ 15:01:
Het enige effect zal misschien zijn dat het vermoeden van Poincaré geen gekke wiskundigen meer van de straat zal houden. Wees dus gewaarschuwd .

O nee! Bergt u!

[Mx. Alba]

Maar hoe kan iets geen randen hebben en toch begrensd zijn? Is de grens van het universum niet de rand ervan?

[Anoniem: 3689]

Iets kan wel degelijk begrensd zijn zonder randen te hebben. Als je bijvoorbeeld een x/y-vlak heb kan je een gebied als volgt definiëren:

{ 5 < x < 8 en 7 < y < 9 }

Dit gebied is wel begrend, want je kan er bijvoorbeeld een cirkel omheen trekken waar alle punten van het gebied invallen. Daarnaast is er geen rand, aangezien ik gebruik heb gemaakt van kleiner-dan-tekens. Het punt (6,9) is dus geen onderdeel van het gebied, aangezien y tot 9 loopt, niet t/m 9. Wat wel een punt is is (6 , 8.99). Maar ook (6 , 8.99999) en (6 , 8.9999999999999999). Er is dus geen rand, want je kan altijd dichter bij het "einde" van het gebied komen, zonder dat je ooit bij een rand komt. Dit wordt een open verzameling genoemd.

[Mx. Alba]

Anoniem: 3689 schreef op 13 januari 2004 @ 12:21:
Iets kan wel degelijk begrensd zijn zonder randen te hebben. Als je bijvoorbeeld een x/y-vlak heb kan je een gebied als volgt definiëren:

{ 5 < x < 8 en 7 < y < 9 }

Dit gebied is wel begrend, want je kan er bijvoorbeeld een cirkel omheen trekken waar alle punten van het gebied invallen. Daarnaast is er geen rand, aangezien ik gebruik heb gemaakt van kleiner-dan-tekens. Het punt (6,9) is dus geen onderdeel van het gebied, aangezien y <i>tot</i> 9 loopt, niet t/m 9. Wat wel een punt is is (6,899). Maar ook (6,899999) en (6,89999999999999999). Er is dus geen rand, want je kan altijd dichter bij het "einde" van het gebied komen, zonder dat je ooit bij een rand komt. Dit wordt een open verzameling genoemd.

(Er zit een foutje in je coördinaten, maar dat vergeef ik je - de boodschap komt over.)

Och ja natuurlijk... Maar is zo'n mathematische oplossing wel op het fysieke universum toe te passen?

Ik heb instinctief nooit iets gevoeld voor een begrensd universum, laat staan een universum met randen... Het functioneren van het universum in de vorm van een 3-bol is heel elegant en eenvoudig te begrijpen, dus mijns inziens kijkt Occam ook over mijn schouder

[Anoniem: 3689]

(komma's vergeten in de coordinaten inderdaad)

Hmm, je vindt een begrensd universum raar, maar toch vind je een 3-bol wel logisch. Maar, hoewel ik me natuurlijk niet zoveel kan voorstellen bij een 3-bol lijkt me toch wel dat deze begrensd is, net zoals een normale bol begrensd is.

[ Voor 23% gewijzigd door Anoniem: 3689 op 13-01-2004 13:20 ]

[Mx. Alba]

Anoniem: 3689 schreef op 13 januari 2004 @ 13:18:
(komma's vergeten in de coordinaten inderdaad)

Hmm, je vindt een begrensd universum raar, maar toch vind je een 3-bol wel logisch. Maar, hoewel ik me natuurlijk niet zoveel kan voorstellen bij een 3-bol lijkt me toch wel dat deze begrensd is, net zoals een normale bol begrensd is.

Neehoor, een 3-bol is wel degelijk onbegrensd.

Laten we het makkelijker bekijken. Neem een 2-dimensionaal universum - dus een plat vlak. Wezens in dat 2-dimensionale universum zijn 2-dimensionaal (duh) en die kunnen onze 3e ruimtelijke dimensie niet waarnemen. Ze kunnen zich daarvan waarschijnlijk zelfs überhaupt geen voorstelling maken (zoals wij van een eventuele 4e ruimtelijke dimensie).

Dat 2-dimensionale universum heeft de vorm van het oppervlak van een 3-dimensionale bol. Dat universum heeft dus geen randen, geen grenzen, en geen gaten. Je kan immers van elk willekeurig punt in dat universum naar elk ander willekeurig punt in dat universum gaan, in een rechte lijn (gezien vanuit dat universum!!!), zonder het universum te verlaten. En als je precies de andere kant op zou gaan, zou je ook uiteindelijk in dat andere punt terechtkomen, en uiteindelijk weer precies daar waar je vandaan komt. Waar je ook heen gaat in dat universum, je zult nooit een rand of een grens tegenkomen.

En toch kan dat universum wel uitdijen: zoals een ballon. Als je twee willekeurige punten op de ballon neemt, en je blaast de ballon op, dan neemt de afstand tussen die twee punten toe, terwijl die punten zelf niet bewegen - en dat is ook wat er in ons universum waargenomen wordt. Waar je ook bent, als je om je heen kijkt lijkt het alsof je in het centrum van het universum zit, en dat het hele universum uitdijt met jou stilstaand in het midden.

Zeer elegant, zeer simpel.

[Confusion]

Anoniem: 3689 schreef op 13 januari 2004 @ 13:18:
(komma's vergeten in de coordinaten inderdaad)

Hmm, je vindt een begrensd universum raar, maar toch vind je een 3-bol wel logisch. Maar, hoewel ik me natuurlijk niet zoveel kan voorstellen bij een 3-bol lijkt me toch wel dat deze begrensd is, net zoals een normale bol begrensd is.

De 3-bol is wel begrensd in de vierde dimensie, maar niet in de derde. Als het heelal een 3-bol is, dan leven we, in de analogie naar de 'normale' bol, op het oppervlak van die 3-bol. En het oppervlak van een normale bol is onbegrensd, hoewel het een beperkte afmeting heeft.

edit:
Reyn was me voor

[ Voor 3% gewijzigd door Confusion op 13-01-2004 13:45 ]

[Anoniem: 48145]

Met "begrensd" worden twee heel verschillende dingen bedoeld.

Ten eerste kun je iets begrensd noemen als het in een bol met eindige straal past, dus als het niet zo is dat je punten kunt vinden die willekeurig ver van elkaar af liggen. Dit is de normale wiskundige betekenis van het woord, en in deze zin is een 3-sfeer begrensd.

Als mensen zeggen "het heelal is eindig maar onbegrensd", bedoelen ze iets anders, namelijk dat het geen rand heeft. In deze zin is een 3-sfeer onbegrensd. Bij mijn weten wordt het woord in de wetenschap niet in deze betekenis gebruikt; wiskundigen zouden hier zeggen "met rand" in plaats van "begrensd".

Jullie hebben dus allemaal gelijk.

(Behalve dat een 3-sfeer de rand is van een 4-bol, om het extra verwarrend te maken.)

[ Voor 6% gewijzigd door Anoniem: 48145 op 13-01-2004 14:43 ]

[Anoniem: 958]

Anoniem: 48145 schreef op 13 januari 2004 @ 14:41:
Jullie hebben dus allemaal gelijk.

(Behalve dat een 3-sfeer de rand is van een 4-bol, om het extra verwarrend te maken.)

De 3-sfeer, ook wel bekend als S_3, is dus de verzameling punten (x,y,z,u) in de vierdimensionale ruimte R^3 die op afstand 1 van de oorsprong 0 afliggen. Oftewel waarvoor geldt dat Wortel(x^2 + y^2 + z^2 + u^2) = 1.

[Anoniem: 48145]

Je zult bedoelen "R^4", maar verder: inderdaad.

[Anoniem: 8386]

Anoniem: 958 schreef op 12 januari 2004 @ 15:01:
[...]

Compact betekent gesloten en begrensd en een homeomorphisme is een afbeelding die de topologie behoudt, oftewel een afbeelding die een beetje uitrekt, inkrimpt en vervormd alsof het object van rubber is, maar zonder te knippen, plakken of gaten te maken.

Voor compact is gesloten en bergensd niet genoeg. Hoewel dit wel zo is voor deel ruimten van de R^n met de standaard topologie, geldt dit in het algemeen niet. ([wiskunde modus]standaard tegen voor beeld het interval [0,1] met een discrete topologie, deze is wel degelijk gesloten en begrensd, maar zeker niet compact)

De daadwerkelijke definitie van compact is veel ingewikkelder en waarschijnlijk te vakspecifiek voor dit forum. (als je het echt wilt weten de definitie staat in de syllabus analyse 1B op mijn website).

Een misschien eenvoudigere definitie voor homeomorphisme is: Een continue afbeelding met een continue inverse.
(moet je wel voor weten wat continu is.)