Heelal toch plat

[Verwijderd]

Ik dacht altijd dat het heeal gekromd was, maar nu lees ik in de Natuur en Techniek ineens dit:

Ook kon men vroeger lang discussiëren over de vraag of het heelal gekromd was of niet, of twee evenwijdige lijnen op universumschaal ooit bijeen zouden komen, zouden wijken, of gewoon elkaar nooit zouden raken. Op deze vraag heeft de WMAP een vrij solide en definitief antwoord gegeven. Het heeal is vlak en licht gaat gaat gewoon rechtdoor.

De WMAP (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe) is trouwens een sonde die in de zomer van 2001 gelanceerd is om onderzoek te doen naar de kosmische achtergrondstraling. Daarin zitten minime afwijkingen en dit apparaat kan die heel nauwkeurig in beeld brengen.

Maar wat betekent dit nu eigenlijk: het heelal is toch vlak. Betekent dit dat de vorm van het hele heelal wezenlijk anders is dan wanneer dit niet zo zou zijn? Betekent dit dat de vergelijking met het aardoppervlak niet opgaat (of juist wel, op het aardoppervlak snijden twee evenwijdige lijnen elkaar ook niet). En hoe zit het dan met de afbuiging van licht als gevolg van zwaartekracht? Als twee evenwijdige lichtbundels tussen twee zware massas heen vliegen, dan gaan ze nadat ze deze massa's gepasseerd zijn, toch wel degelijk uit elkaar? Of moet ik het juist nu juist op een grotere schaal bekijken, zoals bijvoorbeeld: er is gebleken dat een lichtbundel van alle kanten evenveel "zwaartekracht" ondervindt, waardoor er netto geen buiging optreedt?

Wie kan me dit uitleggen?

Oh en nog wat funny facts: Het heelal is 13,7 miljard jaar oud, bestaat voor 24% uit donkere materie en voor 73% uit donkere energie.

[G F0rce 1]

offtopic:
lol ik ben ouder als het heelal

[ Voor 24% gewijzigd door G F0rce 1 op 23-12-2003 19:31 ]

[bartvl]

G F0rce 1 schreef op 23 december 2003 @ 19:31:

offtopic:
lol ik ben ouder als het heelal

offtopic:
ouder DAN

[bartvl]

En licht buigt geloof ik wel iets af ja... Maar ik weet er verder niet veel vanaf.. Blijft moeilijk. dat universum.
En ja:

de aarde is rond, net zoals een panne(n)koek, Herman Finkers

[Confusion]

Verwijderd schreef op 23 december 2003 @ 19:27:
Ik dacht altijd dat het heeal gekromd was, maar nu lees ik in de Natuur en Techniek ineens dit:

Nou, het blijft zo dat massa de ruimte kromt en dat bijvoorbeeld de zon sterrenlicht afbuigt. In die zin zullen twee parallelle lijnen elkaar nog steeds zullen kruisen. Alleen blijkt het heelal dus op macroscopische schaal niet gekromd te zijn: er is geen inherente kromming, waardoor een aantal mogelijkheden voor de vorm van het universum wegvallen. Het universum kan dus bijvoorbeeld geen 'donut' zijn.

Betekent dit dat de vergelijking met het aardoppervlak niet opgaat (of juist wel, op het aardoppervlak snijden twee evenwijdige lijnen elkaar ook niet). En hoe zit het dan met de afbuiging van licht als gevolg van zwaartekracht?

Die is onveranderd. Maar dat is ook allang experimenteel vastgesteld; daar kan geen satellietwaarneming meer iets aan veranderen.

Of moet ik het juist nu juist op een grotere schaal bekijken, zoals bijvoorbeeld: er is gebleken dat een lichtbundel van alle kanten evenveel "zwaartekracht" ondervindt, waardoor er netto geen buiging optreedt?

Het wil zoveel zeggen als: het heelal zonder enige massa erin zou vlak zijn.

edit:
Overigens heeft het universum volgens mij sowieso geen 'rand', dus op een of andere manier moet de 3D vorm van de ruimte wel aan alle kanten verbonden zijn.

[ Voor 7% gewijzigd door Confusion op 23-12-2003 20:52 ]

[Verwijderd]

Het wil zoveel zeggen als: het heelal zonder enige massa erin zou vlak zijn.

Nee, een uitzettend heelal is volgens de algemene relativiteitstheorie negatief gekromd (als een zadel of donut) als het geen materie bevat. Het is de ruimtetijd die in zo'n geval vlak is.

Om het heelal vlak te maken heb je een bepaalde gemiddelde massadichtheid nodig, en wat de waarnemingen ons leren is dat het heelal (bijna) precies die massadichtheid heeft.

Volgens mij sluit dit niet uit dat het heelal net iets meer of minder dan de kritieke dichtheid heeft (binnen de meetfout) en dus op heel grote schaal toch nog gekromd is. Wel zijn er geloof ik vanuit de inflatietheorie redenen dat de ruimte waarschijnlijk precies vlak is, maar daar zijn ze er altijd erg onduidelijk over of ze bedoelen "precies vlak" of "heel, heel bijna vlak". (Als iemand weet welk van de twee en waarom, hoor ik het graag.)

[ Voor 9% gewijzigd door Verwijderd op 23-12-2003 21:40 ]

[Verwijderd]

Dit is interresante materie... hmmz...

maar als het vlak is dan is het niet meer oneindig ?

[Rey Nemaattori]

Verwijderd schreef op 23 december 2003 @ 22:10:
Dit is interresante materie... hmmz...

maar als het vlak is dan is het niet meer oneindig ?

technisch gezien zou het heeal ergens dus op moeten houden, detheorie zegt dat het heelal recursief is. De praktijk laat het afweten qua concrete metingen voorbeelden, maar dat kan ook een gebrek aan technologie zijn.....

[Lord Daemon]

Verwijderd schreef op 23 december 2003 @ 19:27:
Maar betekent dit nu eigenlijk: het heelal is toch vlak. Betekent dit dat de vorm van het hele heelal wezenlijk anders is dan wanneer dit niet zo zou zijn?

Ja en nee. Als het heelal inderdaad vlak is, heeft het een andere topologische vorm (namelijk een vlak in |R4) dan wanneer het uniform gekormd zou zijn (dan zou het een hyperbol in |R4 zijn). Echter, observationeel kan je natuurlijk nooit het verschil maken tussen een vlak en een bol met zeer grote schaal zolang je maar een beperkt stuk van het universum in ogenschouw kan nemen. Je kan dus wel zeggen dat het heelal niet een bol is met een straal r kleiner dan een bepaalde minimumwaarde w; maar je kan volgens mij met deze waarnemingen nog niets zeggen over de topologie van het universum. Het is volledig consistent met deze waarnemingen dat het helaal een zeer grote hyperbol, hyperdonut of hyper-weet-ik-het-wat is.

Oh en nog wat funny facts: Het heelal is 13,7 jaar oud,

Wat lief!

Confusion schreef op 23 december 2003 @ 19:50:
Overigens heeft het universum volgens mij sowieso geen 'rand', dus op een of andere manier moet de 3D vorm van de ruimte wel aan alle kanten verbonden zijn.

ik vraag me sterk af of jouw mening over het wel of niet bestaan van een rand van het universum erg veel invloed heeft op de topologische structuur ervan, hoor. De implicatie die jij hier beweert zie ik dan ook niet echt zitten.

[Lord Daemon]

Verwijderd schreef op 23 december 2003 @ 21:38:
Wel zijn er geloof ik vanuit de inflatietheorie redenen dat de ruimte waarschijnlijk precies vlak is, maar daar zijn ze er altijd erg onduidelijk over of ze bedoelen "precies vlak" of "heel, heel bijna vlak". (Als iemand weet welk van de twee en waarom, hoor ik het graag.)

Ik heb de redenatie achter inflatietheorieen nooit begrepen. Het komt erop neer dat bij inflatie de kromming van de ruimte met een factor 10^(10^100), een buitengewoon bijzonder excessief groot getal, zou afnemen. En dat is dan een verklaring voor het feit dat de kromming van ons universum bijna nul is. Volgens mij komt deze redenatie ongeveer op het volgende neer:

A: Waarom is getal a zeer klein?
B: Omdat a gelijk is aan b / 10^(10^100).
A: O, ok.

Maar als A hier genoegen mee neemt is hij gek, want elk getal is gelijk aan een ander getal gedeeld door 10^(10^100), en zo lang je niets over dat andere getal weet (namelijk: dat het veel kleiner is dan 10^(10^100)), zegt dit je helemaal niets over je oorspronkelijke getal. Maar dan ook echt helemaal niets.

Het zou natuurlijk kunnen dat je kan beredeneren dat de kromming voor inflatie veel kleiner moet zijn dan 10^(10^100), maar bij mij college's algemene relativiteitstheorie is dat nooit uit de verf gekomen.

Om op je vraag terug te komen: het gaat hier dus om "heel, heel bijna vlak", en niet om "precies vlak". Logisch, want topologische vorm verandert niet onder schaaltransformaties, en inflatie is niets anders dan een hele grote schaaltransformatie.

En daarmee heb ik volgens mij een onweerlegbaar argument in handen dat de huidige vlakheid van het universum niets over haar topologie zegt? Als inflatietheorie klopt en zinvol is, dan zouden we een tot op zeer grote nauwkeurigheid vlak universum moeten zien ongeacht welke topologische vorm het heeft. Dus kan het zien van een vlak universum ons niets over haar topologische vorm leren.

[Verwijderd]

Lord Daemon schreef op 24 december 2003 @ 17:55:
Maar als A hier genoegen mee neemt is hij gek, want elk getal is gelijk aan een ander getal gedeeld door 10^(10^100), en zo lang je niets over dat andere getal weet (namelijk: dat het veel kleiner is dan 10^(10^100)), zegt dit je helemaal niets over je oorspronkelijke getal.

Er zal een limiet zijn aan hoeveel massa je in een Planck-volume kunt proppen (en daarmee aan de kromming), veel kleiner dan 10^(10^100). Dat is natuurlijk niet een onderdeel van de algemene relativiteitstheorie op zich, maar wel van ons quantum-heelal.

Om op je vraag terug te komen: het gaat hier dus om "heel, heel bijna vlak", en niet om "precies vlak". Logisch, want topologische vorm verandert niet onder schaaltransformaties, en inflatie is niets anders dan een hele grote schaaltransformatie.

Het is waar dat topologie onafhankelijk is van schaaltransformaties. Inflatie maakt niet een vlak heelal van wat eerst een gesloten heelal was.

Toch heb ik het idee dat er meer aan de hand is. In bijvoorbeeld het artikel van Tegmark dat o.a. gaat over kopieën van jezelf 10^(10^veel) meter weg wordt gesproken over een "concordance model", een model voor het heelal waarvan men in het algemeen vindt dat het tot nu toe het best bij de data past; dit "concordance model" stelt dat het heelal oneindig is, en niet alleen maar ziekelijk groot. Voor zover ik me herinner worden er nergens overwegingen geuit als "misschien is het heelal alleen maar 10^(10^100) meter groot, dus bestaan er wel kopieën van jou maar niet van de hele Hubble-Bubble". Nu kan het natuurlijk zijn dat men alleen maar voor het gemak uitgaat van een oneindig heelal, maar dan zijn ze daar wel een beetje misleidend over.

Ik kan me voorstellen dat bepaalde vormen van inflatietheorie alleen met een oneindig heelal consistent zijn. ("A generic prediction of inflation is an infinite ergodic universe" staat in de abstract van het artikel, maar dat zou inderdaad om andere redenen moeten zijn dan alleen dat de schaal wordt opgeblazen.)

Bij inflatie worden volgens mij uitgebreidere scenario's bekeken dan alleen een gewoon (FRW) heelal dat groter wordt.

Bij "chaotische inflatie" bijvoorbeeld wordt ons heelal voorgesteld als één van vele bellen in een eerder heelal waar de inflatie altijd doorgaat. Men beweert dat zo'n groeiende bel in een bepaalde keuze van de tijdcoordinaat ruimtelijk eindig is, maar in een andere keuze van de tijdcoordinaat ruimtelijk oneindig (hij gaat steeds meer materie bevatten, en als je de tijd zo kiest dat de energiedichtheid op elk punt constant is, moet je de ruimte op elk moment oneindig kiezen; lastig uit te leggen, wel waar). Dat de ruimte oneindig (ipv heel groot) is, is dan a.h.w. een gevolg van het feit dat de tijd niet zomaar ophoudt.

En daarmee heb ik volgens mij een onweerlegbaar argument in handen dat de huidige vlakheid van het universum niets over haar topologie zegt?

Het zou kunnen dat veel vormen van inflatietheorie een echt oneindig heelal impliceren. Een bij benadering vlak heelal vormt een bevestiging van inflatie, en daarmee een bevestiging (maar geen sluitend bewijs) van het idee dat het heelal oneindig is, ondanks dat de waarneming consistent is met een eindig heelal.

Excuus voor de wat warrige post; ik heb veel van dit soort dingen nergens duidelijk uitgelegd gezien voor niet-specialisten, misschien omdat het een heleboel heel theoretische ideetjes zijn.

[bartvl]

maar als er dus een bolling of kromming is, en die gaat richting 0, dan is dat over een ENORM grote afstand (10^x lichtjaren) natuurlijk best wel een bolling, ook al is die bolling dus bijna nul.
en bij de weg, best wel een interressant onderwerp!
En ik denk dat het onderwerp: wat zit er achter het universum
ook wel kunnen behandelen, lijkt me leuk (zit denk ik niet zo erg ver van dit onderwerp vandaan)

offtopic:
Wat voor een studie (richting) moet je kiezen om met dit soort dingen bezig te zijn?

[ Voor 37% gewijzigd door bartvl op 24-12-2003 21:01 ]

[Verwijderd]

Lord Daemon schreef op 24 december 2003 @ 17:47:
Ja en nee. Als het heelal inderdaad vlak is, heeft het een andere topologische vorm (namelijk een vlak in |R4) dan wanneer het uniform gekormd zou zijn (dan zou het een hyperbol in |R4 zijn).

Dus als ik het goed begrijp is het heelal dus een lineaire deelruimte van |R4 en wordt dus opgespannen door 4 vectoren... Maar betekent dat niet dat de inhoud van het heelal oneindig is, tenzij er grenzen aan zitten? Ik was er stellig van overtuigd dat het heelal een eindig, maar onbegrends is...

Echter, observationeel kan je natuurlijk nooit het verschil maken tussen een vlak en een bol met zeer grote schaal zolang je maar een beperkt stuk van het universum in ogenschouw kan nemen. Je kan dus wel zeggen dat het heelal niet een bol is met een straal r kleiner dan een bepaalde minimumwaarde w; maar je kan volgens mij met deze waarnemingen nog niets zeggen over de topologie van het universum.

Een topologie voor wiskundigen is collectie deelverzamelingen van een ruimte die je "open" noemt (die deelverzamelingen moeten wel nog aan een aantal axioma's voldoen). Ik vind het wel frappant hoe natuurkundigen het woord topologie gebruiken. Totaal anders dan wiskundigen iig . Volgens mij bedoel je gewoon vorm , maarja je deinst ook niet terug voor de term "topologische vorm". Ik vraag me echt af wat je daar dan weer mee bedoelt .

Het is volledig consistent met deze waarnemingen dat het helaal een zeer grote hyperbol, hyperdonut of hyper-weet-ik-het-wat is.

Huh? Maar het heelal is toch vlak... Hoe kan het dan een hyperbool zijn? Die is toch juist op elk punt gekromd?

Wat lief!

Jaja, is al verbeterd .

[Verwijderd]

Lord Daemon schreef op 24 december 2003 @ 17:55:
En daarmee heb ik volgens mij een onweerlegbaar argument in handen dat de huidige vlakheid van het universum niets over haar topologie zegt?

Weer zo'n voor wiskundigen totaal onbegrijpelijke zin .

Eerst wil ik wel eens weten wat dit "vlak zijn" nou precies is. Maar als ik moet afgaan op wat je eerst zei, is dit dus dat het een lineaire deelruimte van |R4 is. Goed dan heeft het dus te maken met de ruimte. Maar dat je dan wilt "bewijzen" dat dit niks te maken heeft met de topologie is absurd! Welke topologie die je op je ruimte definiëert is namelijk volledig je eigen keus (al moet je wel de axioma's respecteren natuurlijk). Euclidische topologie, discrete topologie (doe maar niet want die is saai), indiscrete topologie (even saai trouwens), noem maar op . En als je niet weet wat je kiezen moet, mag je me ook gewoon een metriek geven (definitie van afstand), dan verzin ik welke metrische topologie daar dan bijhoort .

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op 24 december 2003 @ 21:26:
Dus als ik het goed begrijp is het heelal dus een lineaire deelruimte van |R4 en wordt dus opgespannen door 4 vectoren... Maar betekent dat niet dat de inhoud van het heelal oneindig is, tenzij er grenzen aan zitten? Ik was er stellig van overtuigd dat het heelal een eindig, maar onbegrends is...

Ik dacht ook dat het heelal eindig, maar onbegrensd was. Als het oneindig is. Is er dan toch een eindige hoeveelheid energie en massa of is die dan ook oneindig?

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op 24 december 2003 @ 21:26:
Dus als ik het goed begrijp is het heelal dus een lineaire deelruimte van |R4

Als het heelal vlak is, heeft het de topologie van |R^4 zelf (drie ruimtedimensies, één tijd-dimensie), of misschien een raar quotient daarvan (een vlakke torus of vlakke cilinder, zoiets).

Ik was er stellig van overtuigd dat het heelal een eindig, maar onbegrends is...

"Het heelal is eindig maar onbegrensd" is inmiddels een soort kosmologische urban legend geworden. Het zou kunnen dat het heelal eindig maar onbegrensd is, maar het wordt niet gezien als het waarschijnlijkste scenario.

Een topologie voor wiskundigen is collectie deelverzamelingen van een ruimte die je "open" noemt (die deelverzamelingen moeten wel nog aan een aantal axioma's voldoen).

Een topologie voor natuurkundigen is hetzelfde als een topologie voor wiskundigen; in de ART worden alleen bepaalde topologische ruimtes ("manifolds") gebruikt. (Trouwens: met "metriek" wordt in de differentiaalmeetkunde (en dus de ART) wel weer iets anders bedoeld dan in de rest van de wiskunde.)

Dingen als een torus, een Euclidische ruimte, en een hyperbol hebben allemaal een verschillende topologie: je kunt uit de collectie open deelverzamelingen afleiden wat "dichtbij" wat ligt en daarmee wat voor "vorm" de ruimte heeft. Topologie is net als in de wiskunde "rubber-meetkunde". De nadruk die gelegd wordt is alleen iets anders.

Huh? Maar het heelal is toch vlak... Hoe kan het dan een hyperbool zijn? Die is toch juist op elk punt gekromd?

Het heelal hoeft niet precies vlak te zijn; we weten uit de metingen alleen dat het bij benadering vlak is. Als het overal een heel kleine kromming heeft, kunnen we dat niet meten, maar heeft dat wel invloed op de topologie. De aarde ziet er plaatselijk ook plat uit, maar is een bol. Net zoiets kan met het heelal aan de hand zijn.

Edit, wieikke:

Ik dacht ook dat het heelal eindig, maar onbegrensd was. Als het oneindig is. Is er dan toch een eindige hoeveelheid energie en massa of is die dan ook oneindig?

Als het heelal oneindig is, bevat het oneindig veel deeltjes. (Men gaat ervan uit dat de dichtheid overal hetzelfde is.)

[ Voor 15% gewijzigd door Verwijderd op 24-12-2003 22:23 ]

[Confusion]

Is |R⁴ hier trouwens een slordige schrijfwijze voor het Kroneckerproduct |R³ x |R, omdat de tijdsdimensie anders van aard is dan de ruimtelijke dimensies? Een electron beschrijf je tenslotte ook in L² x C², waarin ik met L² de 'gewone' Hilbertruimte bedoel en met C² de 2D complexe vectorruimte.

[Verwijderd]

Wat is een Kroneckerproduct? (Edit: heb nu geGoogled, en het is geen Kroneckerproduct, wel een Cartesisch product) (Edit2: nee, ik geloof dat het toch op hetzelfde neerkomt)

Qua topologie is het geen probleem om het te schrijven als |R^4, omdat het verschil tussen tijd en ruimte zich alleen uit in de metriek.

[ Voor 63% gewijzigd door Verwijderd op 24-12-2003 22:56 ]

[Lord Daemon]

Verwijderd schreef op 24 december 2003 @ 20:41:
Er zal een limiet zijn aan hoeveel massa je in een Planck-volume kunt proppen (en daarmee aan de kromming), veel kleiner dan 10^(10^100).

Is dat zo?

----------------

Laten we even voorop stellen dat ik absoluut geen specialist ben op dit gebied. Toch heb ik wel wat vraagtekens bij het stuk van Tegmark waar jij naar linkt. Argumenten van 'heel groot' naar 'oneindig' gaan volgens mij niet op; maar Tegmark lijkt vrolijk uit "space as we know it continues far beyond the edge of our observable universe, teeming with galaxies, stars and planets" af te leiden dat het dan allemaal ook maar oneindig moet zijn. Oneindig is best heel groot. De vraag die wij graag beantwoord willen zien is of deze oneindigheid in principe ook maar een enkele observationele consequentie heeft die het van een eindig vlak, of een zeer groot eindig gekromd universum zou onderscheiden.

Op pagina 5, 1e kolom, staat een redenatie die die moet aantonen, maar die ik onnavolgbaar vind. Tegmark begint als volgt:

As a more serious example, the Level I multiverse framework is routinely used to rule out theories in modern cosmology, although this is rarely spelled out explicitly.

Wat blijkt echter, voor zover ik het argument begrijp? Kosmologen gebruiken probabilistische redeneringen over ensembles van mogelijke universa. "Gegeven een kansverdeling over alle mogelijkheden die theorie T toestaat, is de kans dat we A waarnemener zeer klein; we nemen A waar; dus theorie T is zeer waarschijnlijk onwaar." Maar dit is helemaal geen toepassing van het mulitverse framework, aangezien een redenatie over ensembles ons absoluut niet dwingt om het daadwerkelijk bestaan van alle mogelijkheden aan te nemen. Tegmarks redenering zou ook toegepast kunnen worden op de statistische fysica, en zou dan zeggen dat er wel een oneindig groot vat gas moet bestaan, omdat we statistische fysica bedrijven op ensembles van mogelijke vaten gas! Wat Tegmark heeft te laten zien, gezien zijn beroep op Popper, is niet dat een specifieke multiverse-theorie weerlegd kan worden - dat gelooft iedereen wel. Wat hij moet laten zien is dat er een beslissing genomen kan worden tussen multiverse-theorieen en niet-multiverse-theorieen als zodanig - maar dat doet hij niet. De vraag staat dus nog steeds overeind waarom ik zoiets als een oneindig universum zou aannemen.

De vraag die met het lezen van het stuk steeds nijpender wordt is deze: In hoeverre word ik genoodzaakt door de successen van een theorie op gebied A ook haar conclusies op gebied B te accepteren? Aangenomen dat chaotische inflatie problemen in de kosmologie van ons universum oplost, moet ik dan ook de conclusies van chaotische inflatie accepteren met betrekking tot andere zaken dan ons universum? Laten we niet vergeten dat we hier te maken hebben met een zeer specualtief onderzoeksgebied, met een stuk wetenschap waarvan hele delen op drijfzand gebaseerd zijn. Ik noem bijvoorbeeld de supersnaartheorie, die ook in het artikel wordt genoemd: een groot deel van de fysische gemeenschap ziet hier weinig heil in, en ook al is men er al decennia mee bezig, een observationeel toegankelijke voorspelling heeft het hele project nog niet opgeleverd. Hoe het in de kosmologie zit zou ik zo niet weten, maar ik zou er toch de nadruk op willen leggen dat theorieen als chaotische inflatie gebouwd zijn op quantumveldentheorie en andere hoge-energie fysica waarvan het maar helemaal de vraag is of we deze realistisch moeten interpreteren. (En zo ja: hoe dit mogelijkerwijs zou kunnen.) Om vanuit deze bijzonder esoterische en conceptueel problematische theorieen, waarvan zelfs niemand weet hoe je ze realitsisch kan interpreteren, met behulp van dubieuze redeneermethoden als de antropische principes conclusies te trekken over het al dan niet bestaan van bijzonder heldere en macroscopische entiteiten als een overaftelbare oneindigheid van parallelle universa met willekeurige natuurwetten(!) - nu, dat gaat mij wat ver. Ik kies resoluut voor het Aristotelische perspectief dat op pagina 12 tegenover het Platonische wordt gezet, en bovendien vermoed ik dat bijna iedereen mij daarin zal volgen.

Maar het laatste deel van het artikel gaat niet alleen ver, het is zelfs absolute waanzin. Het begint met de vraag waarom juist deze vergelijkingen? Het is goed om ons af en toe te realiseren dat het feit dat je een vraag kan stellen nog niet impliceert dat het een zinvolle vraag met een antwoord is; en zoals iedereen weet kan je altijd wel 'waarom?' blijven vragen. Tegmark lijkt hier een foundationalistisch project te willen uitvoeren: hij wil alle kennis grondvesten op iets dat absoluut zeker is. Helaas kan ik hem daar helemaal niet meer volgen. (Overigens wil ik graag een fout op pagina 13 onder de aandacht brengen. Een mathematische structuur is niet equivalent aan een formeel systeem; voor een argumentatie verwijs ik graag naar mijn essay 'Gödel and the gap in mathematics'.) Laten we eens kijken wat hij doet:

Let us now digest the idea that physical world is a mathematical structure. Although traditionally taken for granted by many theoretical physicists, this is a deep and far-reaching notion. It means that mathematical equations describe not merely some limited aspects of the physical world, but all aspects of it.

Wat moet ik me er in godsnaam bij voorstellen dat onze wereld een wiskundige structuur is? Je kan de wereld met behulp van wiskunde beschrijven. Ik kan me zelfs voorstellen dat je de - naar mijn mening volstrekt foutieve - stelling aanhangt dat je de wereld volledig kan beschrijven met een bepaald wiskundig model dat door de ultieme natuurwetenschap is ontdekt. Maar hoe ik me de stap van beschrijving naar equivalentie moet voorstellen ontgaat me volkomen. Een wiskundige structuur is iets van fundamenteel andere aard dan onze wereld. Zo is het denkbaar dat onze wereld niet zou bestaan, terwijl het niet denkbaar is dat een bepaalde consistente wiskundige structuur niet bestaat - simpelweg omdat fysische en mathematische entiteiten hele andere criteria voor 'bestaan' hebben. En dat komt omdat het volstrekt andere dingen zijn. Een stoel is niet hetzelfde als een beschrijving van een stoel, hoe goed die beschrijving ook is. Tegmark lijkt te vergeten dat een beschrijving altijd een beschrijving van iets is, en dat een beschrijving en dat wat beschreven wordt niet hetzelfde zijn. Tegmark laat zien hoe de wereld beschreven zou kunnen worden door een mathematische structuur, en claimt dan triomfantelijk (p.14): "our example illustrates the idea of how our physical world can be a mathematical structure". Maar dat doet hij dus helemaal niet: zoals gezegd laat hij alleen maar zien hoe onze wereld beschreven kan worden door een mathematische structuur, niet hoe zij er een kan zijn. Ze kunnen ook helemaal niet hetzelfde zijn, want een mathematische structuur is niet geïnterpreteerd, en kan alleen door een interpretatie gerelateerd worden aan een fysische structuur. Eén en dezelfde mathematische structuur kan in principe op heel veel, of op geen enkele, manier fysisch geïntepreteerd worden. De relatie tussen mathematische en fysische structuren is absoluut niet één-op-één.

In other words, this particular mathematical structure enjoys not only mathematical existence, but physical existence as well.

Hij ziet dus in dat een mathematische structuur iets anders is dan de fysische wereld, want a) een mathematische structuur heeft noodzakelijk 'mathematical existence', en b) een fysische wereld heeft noodzakelijk 'physical existence', maar omgekeerd geldt dat niet. Er is dus een fundamenteel verschil tussen een fysische wereld en een mathematische structuur, en ze kunnen dus niet hetzelfde zijn. Maar Tegmark gaat hier helemaal niet op in, en claimt nu dat alle mathematische structuren fysische werkelijkheid zijn!

Het allerminste wat hij moet doen om deze claim overeind te houden is laten zien dat elke mathematische structuur minstens 1 fysische interpretatie heeft, en ook precies 1 geprefereerde. Alleen dan is de identificatie van mathematische en fysische structuren überhaupt betekenisvol. Maar dit, wat mij het centrale probleem voor Tegmark op Level IV lijkt, roert hij niet eens aan. Dat vind ik onbegrijpelijk. Voor mij is het wel een reden alles wat hij op lagere Levels heeft gezegd ook met een korreltje zout te nemen.

Ik wil er nogmaals op wijzen dat ik niet gekwalificeerd ben om de fysische claims van Tegmark te beoordelen. Maar ik denk dat ik wel twee filosofische argumenten heb gegeven die grote vraagtekens zetten bij wat hij op Level I en Level IV doet. (Waarmee ik niet wil zeggen dat ik het op Level II en Level III met hem eens ben.) Het lijkt me overduidelijk dat er geen enkele reden is om het bestaan van alle wiskundig mogelijke universa te accepteren en zelfs alle reden dit niet te doen. Mijn argumenten met betrekking tot de oneindigheid van ons universum zijn minder beslissend, en komen vooral neer op een methodlogische twijfel of hier wel een beslissing over geveld kan worden. Tegmarks artikel heeft mij hier niet van overtuigd.

[Lord Daemon]

Verwijderd schreef op 24 december 2003 @ 21:26:
Dus als ik het goed begrijp is het heelal dus een lineaire deelruimte van |R4 en wordt dus opgespannen door 4 vectoren... Maar betekent dat niet dat de inhoud van het heelal oneindig is, tenzij er grenzen aan zitten? Ik was er stellig van overtuigd dat het heelal een eindig, maar onbegrends is...

Nee? Als het heelal vlak is, dan is het een lineaire deelruimte van |R4. Als het echter een hyperbol oid is, dan is het toch geen lineaire deelruimte?

Volgens mij bedoel je gewoon vorm , maarja je deinst ook niet terug voor de term "topologische vorm". Ik vraag me echt af wat je daar dan weer mee bedoelt .

Ik bedoel vorm modulo alles wat je met willekeurig elastisch rubber kunt doen zonder schaar. Het zou kunnen dat uitdrukking als 'boltopologie' een fabricatie van mijn eigen brein zijn, maar ik vermoed toch dat ik ze ergens gehoord heb. Gelieve naar eigen smaak wiskundig accuratere termen in te vullen. Inderdaad heb ik 'topologie' en 'topologische vorm' door elkaar gebruikt, doe ermee wat je wil. Ik denk dat een en ander uit de context toch wel duidelijk was.

Huh? Maar het heelal is toch vlak... Hoe kan het dan een hyperbool zijn? Die is toch juist op elk punt gekromd?

Kromming neemt bij schaalvergroting af met 1/schaalfactor. Een hele grote bol lijkt dus lokaal vlak. Hoe groter de bol, hoe vlakker hij lijkt. Fysica werkt altijd met meetfouten, dus kan nooit een verschil maken tussen een vlakke ruimte en een heel erg bijna vlakke ruimte.

Confusion schreef op 24 december 2003 @ 22:29:
Is |R⁴ hier trouwens een slordige schrijfwijze voor het Kroneckerproduct |R³ x |R, omdat de tijdsdimensie anders van aard is dan de ruimtelijke dimensies?

Nee. Ik heb het alleen over vorm gehad, iets dat ik sinds Sandalfs post niet meer met de term 'topologie' durf te verbinden ook al geeft die precies aan wat ik bedoel. Hiervoor hoef ik geen metriek in te voeren op de ruimte. Het verschil tussen ruimte en tijd zit echter precies in de metriek, dus op het niveau waarop ik sprak was er nog geen enkele reden om ze als verschillend te beschouwen.

[Verwijderd]

Het was absoluut niet mijn bedoeling te beweren dat alles wat Tegmark in dat artikel zegt waar is (al denk ik er positiever over dan jij). Het ging me alleen om de bewering dat veel varianten van de inflatietheorie een oneindig heelal voorspellen, wat een bewering is die ik ook op andere plaatsen meen te hebben gezien, en die volgens mij in geen enkel opzicht afhangt van Tegmarks ideeën over alle mogelijke mathematische structuren of het antropisch principe.

Ik zal binnenkort nog wat verder zoeken naar bronnen hierover, en misschien nog wat zeggen over de argumenten die je in bovenstaande post geeft. (Edit: die daarboven inmiddels dus.)

[ Voor 3% gewijzigd door Verwijderd op 24-12-2003 23:12 ]

[Phaerion]

Als ik het even terug vertaal naar voor mij begrijpbare taal.

Betekent het dan dat het heelal op het oppervlak van een soort grote "zeepbel"
lijkt, die langzaam uitdijt, tot hij uiteindelijk knapt of weer krimpt?

Het oppervlak van een bel is tenslotte een soort vlak dat gebogen is,
en geen randen heeft.

[ Voor 3% gewijzigd door Phaerion op 24-12-2003 23:18 ]

[Lord Daemon]

Verwijderd schreef op 24 december 2003 @ 23:09:
Het ging me alleen om de bewering dat veel varianten van de inflatietheorie een oneindig heelal voorspellen, wat een bewering is die ik ook op andere plaatsen meen te hebben gezien, en die volgens mij in geen enkel opzicht afhangt van Tegmarks ideeën over alle mogelijke mathematische structuren of het antropisch principe.

Maar zoals ik al zei: allemaal leuk en aardig dat inflatiemodellen goede resultaten voorspellen voor waarnemingen aan het zichtbare heelal, maar waarom zouden we hun uitspraken over totaal andere dingen ook geloven?

[Verwijderd]

Many Worlds in One

Hier wordt uitgelegd waarom de meeste varianten van de inflatietheorie een oneindig heelal zouden voorspellen. Het komt ongeveer neer op waar ik het net al over had: een ruimte die afhankelijk van je coordinaatkeuze eindig of oneindig is.

Is ``the theory of everything'' merely the ultimate ensemble theory?

Hier legt Tegmark uitgebreider zijn "Level IV"-theorie uit. Hij gaat als het goed is dieper in op wat hij bedoelt met een mathematische structuur.

Ik ben het zeker met Lord Daemon eens dat Tegmark aan allerlei belangrijke punten geen aandacht besteedt, trouwens. Aannemen dat de wereld een mathematische structuur is (heeft?) zou misschien kunnen binnen het "structureel realisme" / "structural realism". Ik heb me hier allemaal te weinig in verdiept om er een mening over te hebben; wel denk ik dat je op moet passen niet aan te nemen dat de wereld gemaakt is van een of ander concreet "spul" alleen op basis van intuïtie. Ik vond dit een grappig artikel in die richting, hoewel ik me er nogmaals te weinig in verdiept heb om een onderbouwde mening te hebben.

[ Voor 8% gewijzigd door Verwijderd op 25-12-2003 00:07 ]

[Verwijderd]

Lord Daemon schreef op 24 december 2003 @ 23:33:
Maar zoals ik al zei: allemaal leuk en aardig dat inflatiemodellen goede resultaten voorspellen voor waarnemingen aan het zichtbare heelal, maar waarom zouden we hun uitspraken over totaal andere dingen ook geloven?

Om dezelfde reden dat we van andere theorieën ook geloven dat ze dingen juist beschrijven die we niet direct waargenomen hebben. Totdat er een alternatieve theorie is die dezelfde juiste dingen voorspelt over het zichtbare heelal, maar die niet impliceert dat het hele heelal oneindig is, moeten we de theorie die dat wel impliceert serieus nemen.

Nu is een idee als eeuwige inflatie natuurlijk veel, veel slechter onderbouwd dan bijvoorbeeld de algemene relativiteitstheorie; maar dat betekent niet dat we hem helemaal moeten negeren. Er is wel degelijk reden aan te nemen dat het heelal oneindig is, alleen is die reden niet heel dwingend.

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op 24 december 2003 @ 21:26:
Een topologie voor wiskundigen is collectie deelverzamelingen van een ruimte die je "open" noemt (die deelverzamelingen moeten wel nog aan een aantal axioma's voldoen). Ik vind het wel frappant hoe natuurkundigen het woord topologie gebruiken. Totaal anders dan wiskundigen iig . Volgens mij bedoel je gewoon vorm , maarja je deinst ook niet terug voor de term "topologische vorm". Ik vraag me echt af wat je daar dan weer mee bedoelt .

Zoals al gezegt natuurkundigen hebben het over hetzelfde begrip topologie, als wiskundigen. Het enige dat je nodig hebt is de interpertatie dat open verzamelingen gezien kunnen worden als omgevingen.
Als kosmologen het hebben over de topologie van het heelal, dan hebben ze het over de topologie geinduceerd door het afstandsbegrip in het heelal.

Typisch gezien kan het heelal (de 3D ruimte) topologisch equivalent zijn aan een 3-bol, de R-3, hyper-torus, etc. (allemaal met hun standaard topologie). Als het heelal overal vlak is zijn er topologisch gezien eigenlijk maar twee mogelijkheden:
de |R³ of een hyper-torus. (eventueel een mengvorm)
De topologie van een bol kan niet samen gaan met kromming nul.

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op 23 december 2003 @ 21:38:
Volgens mij sluit dit niet uit dat het heelal net iets meer of minder dan de kritieke dichtheid heeft (binnen de meetfout) en dus op heel grote schaal toch nog gekromd is. Wel zijn er geloof ik vanuit de inflatietheorie redenen dat de ruimte waarschijnlijk precies vlak is, maar daar zijn ze er altijd erg onduidelijk over of ze bedoelen "precies vlak" of "heel, heel bijna vlak". (Als iemand weet welk van de twee en waarom, hoor ik het graag.)

Inflatie theorie stelt ruw weg, dat er ergens in het vroege heelal een periode is geweest, dat de expansie van het heelal werd gedomineerd door een grootte kosmologische konstante. (veroorzakt door het verval van een verder onbekend inflatonveld).
De oplossing van de friedman vergelijkingen voor deze situatie geven een model met exponetieele expantie, waarbij onafhankelijk van de oorspronkelijke dichtheid van het heelal, deze exponentieel naar de kritische dichtheid zal convergeren. En dus zal het heelal bij lang genoege inflatie vanzelf bijna vlak worden.
Overigens kan dit geen argument zijn voor het vlak zijn van het heelal. Inflatie theorie is namelijk een hypothese die is op gesteld om het vlakheids probleem (het heelal is bijna vlak en alle modellen voor materie en straling gedomineerde heelals geven aan, dat de dichtheid dan van de kritische dichtheid af divirgeert, wat impliceert, dat vlak na de vorm het heelal het heelal heel erg vlak moet zijn geweest) op te lossen. (en tevens het horizon probleem).

[Verwijderd]

Lord Daemon schreef op 24 december 2003 @ 23:08:
Nee? Als het heelal vlak is, dan is het een lineaire deelruimte van |R4. Als het echter een hyperbol oid is, dan is het toch geen lineaire deelruimte?

Ja, maar als ik de N&T mag geloven, blijkt dus uit deze waarnemingen dat het heelal toch vlak is... Dus lin. deelruimte van |R4, dus

Ik bedoel vorm modulo alles wat je met willekeurig elastisch rubber kunt doen zonder schaar. Het zou kunnen dat uitdrukking als 'boltopologie' een fabricatie van mijn eigen brein zijn, maar ik vermoed toch dat ik ze ergens gehoord heb. Gelieve naar eigen smaak wiskundig accuratere termen in te vullen. Inderdaad heb ik 'topologie' en 'topologische vorm' door elkaar gebruikt, doe ermee wat je wil. Ik denk dat een en ander uit de context toch wel duidelijk was.

Maar als we modulo rubber gaan rekenen (dus op homeomorphismen na) dan zijn bijna alle vormen equivalent (als je een Euclidische topologie hanteert). Hyperbool, bol (met open rand), |R3, epsilonbolletje, het zijn allemaal 3 dimensionale open verzamelingen zonder gat. Pas als je punten weg gaat laten, krijg je wat anders...

Dus als je het over het heelal hebt is modulo rubber rekenen misschien niet zo praktisch. Het kan dan nog steeds gekromd zijn of vlak en een oneindig of eindig volume is op die manier ook niet te onderscheiden. Dit laatste kan je 1-dimensionaal inzien door naar de arctangens te kijken. Het bereik (-pi, pi) en het origineel |R worden 1 op 1 bijectief "onvervormd" op elkaar afgebeeld en zijn dus homeomorph. De 1 is echter eindig en de ander oneindig.

Als je een ruimte definieert is het wel noodzakelijk om niet alleen de verzameling punten te geven, maar ook een topologie (of een norm of metriek die er 1 induceert). Wat ik wil zeggen is dus dat een ruimte + topologie modulo rubber niet genoeg is. Je wilt juist precies weten hoe het zit zonder alleen naar equivalentieklassen te kijken.

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op 25 december 2003 @ 00:39:
Zoals al gezegd natuurkundigen hebben het over hetzelfde begrip topologie, als wiskundigen. Het enige dat je nodig hebt is de interpertatie dat open verzamelingen gezien kunnen worden als omgevingen.
Als kosmologen het hebben over de topologie van het heelal, dan hebben ze het over de topologie geinduceerd door het afstandsbegrip in het heelal.

Typisch gezien kan het heelal (de 3D ruimte) topologisch equivalent zijn aan een 3-bol, de R-3, hyper-torus, etc. (allemaal met hun standaard topologie). Als het heelal overal vlak is zijn er topologisch gezien eigenlijk maar twee mogelijkheden:
de |R³ of een hyper-torus. (eventueel een mengvorm)
De topologie van een bol kan niet samen gaan met kromming nul.

Precies wat ik wilde weten! Bedankt voor deze verhelderende post .

[Verwijderd]

Ik geloof trouwens niet in een oneindig heelal, dus als ik Trias moet geloven, hou ik de hypertorus als enige mogelijkheid over. Ziehier, mijn voorkeur voor de vorm van het heelal:



Ik begrijp denk ik ook opeens wat hier zo vlak aan is.

Het heelal in deze vorm wordt beschreven met 3 hoekcoördinaten (2 voor de kleine torus en 1 voor de positie ervan in de grote cirkel). Vlak zijn betekent nu dat het een lineaire ruimte is, oftewel dat je binnen dit heelal vectoren kunt optellen (als in een abelse groep), scalair vermenigvuldigen, er is een 0 (willekeurig ergens te kiezen). Nouja, ik zie dat wel gebeuren. Het komt gewoon neer op het componentsgewijs optellen van hoeken modulo 2pi, dus een hypertorus is vlak.

Je kan een hypertorus trouwens ook zien als een kubus waarvan de tegenoverliggende zijden zijn geïdentificeerd (als je door een wand gaat, kom je er aan de andere kant weer uit). Dat is misschien wat makkelijker voor te stellen .

[ Voor 67% gewijzigd door Verwijderd op 25-12-2003 01:59 ]

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op 25 december 2003 @ 01:16:
Je kan een hypertorus trouwens ook zien als een kubus waarvan de tegenoverliggende zijden zijn geïdentificeerd (als je door een wand gaat, kom je er aan de andere kant weer uit). Dat is misschien wat makkelijker voor te stellen .

Dat vind ik doorgaans toch, wat inzichtelijker. (Zo zie je meteen, dat een ruimte met een dergelijke topologie gewoon vlak kan zijn.)

[Verwijderd]

bartvl schreef op 24 december 2003 @ 20:47:

offtopic:
Wat voor een studie (richting) moet je kiezen om met dit soort dingen bezig te zijn?

[student-voorlichter-modus]
Dit soort dingen soort dingen vallen typisch onder het kopje kosmologie. Dit is een onderwerp, dat behandeld wordt bij de studie natuur- en sterrenkunde. Dus zal je natuur- en sterrenkunde moeten studeren als je hier les in wilt krijgen. In nederland kan dit in Utrecht, Amsterdam (UvA), Leiden en Groningen. Voor dit soort theorietische onderwerpen kan je weer het best zijn in Utrecht en Amsterdam. Met name Leiden heeft een curriculum, dat meer op experimenteel is gericht.
[/student-voorlichter-modus]

[Christiaan]

Even een reactie van 1 regel weggehaald van Bartvl. Draagt weinig bij aan de discussie om iedereen een goede kerst te wensen

[Verwijderd]

Eigenlijk is het wel jammer dat het heelal vlak is... Het zou ook wel tof zijn geweest als het heelal een soort van 3D generalisatie van de Kleinse fles zou zijn geweest. Dit is een topologisch plaatje van de Kleinse fles:

-------->------
|..................|
|..................|
v.................^
|..................|
|..................|
-------->------

Elk zijkant van dit vierkant plak je tegen de overliggende zijkant, maar wel zo dat de pijltjes in dezelfde richting wijzen. Als je dus begint met de boven- en onderkant tegen elkaar te plakken krijg je een kokertje (waarna je nog iets vreemds moet doen met de uiteinden) en als je begint met de linker- en rechterkant, krijg je eerst een Möbius band, waarna je van de band nog een kokertje moet maken.

Je zult zien dat dit niet lukt in 3D, maar als je even een klein uitstapje maakt naar 4D gaat het prima . Het grappige is nu dat de buitenkant van deze fles ook meteen de binnenkant is. Dit oppervlak heeft geen rand, maar het sluit ook geen gebiedje af. Het is een soort van fles met een oneindige inhoud en als je in een rechte lijn (in het vierkantje) over deze fles loopt, kom je op een gegeven moment op de onderkant uit van waar je begonnen bent.

Iets dergelijks in een dimensie hoger had ook de vorm van het heelal kunnen zijn. Dan zou het theoretisch mogelijk zijn om na een lange reis door het heelal op de Aarde terug te komen zonder tussendoor om te keren.

Alleen wat je dan na terugkeer aan zou treffen is bizar. Links en rechts zijn omgewisseld! Auto's in Nederland rijden links en in Engeland rechts, mensen hebben hun hart aan de rechterkant en linksdraaiend melkzuur wordt dus rechtssdraaiend melkzuur. Bepaalde stoffen zou je zelfs niet eens meer kunnen verteren omdat je de spiegelbeeldisomeer gewend bent! Pas na een tweede reis zou alles weer normaal worden.

Toch jammer dat een vlak universum dit soort vreemde opties uitsluit...

[ Voor 11% gewijzigd door Verwijderd op 26-12-2003 03:38 ]

[Lord Daemon]

Verwijderd schreef op 26 december 2003 @ 03:32:
Toch jammer dat een vlak universum dit soort vreemde opties uitsluit...

Zoals ik en anderen al een aantal maal gezegd hebben: de vlakheid van het universum kan niet empirisch worden aangetoond*. Je mag dus best in een bizarre vorm geloven. Alleen lokaal is het heelal iig wel vrij vlak.

* Gegeven dat er geen observabelen zijn die bij een vlakheid 0 van de ruimte een meetbaar andere waarde hebben dan bij een vlakheid epsilon van de ruimte, voor elke epsilon > 0, hoe klein ook.

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op 26 december 2003 @ 03:32:
Toch jammer dat een vlak universum dit soort vreemde opties uitsluit...

Volgens mij kan je een kleinse fles bestwel vlak maken. Jouw diagram laat eigenlijk al zien dat dit kan. Iemand die midden in het vlak loopt merkt niks van de vreemde topologische vorm, voor hem loopt hij gewoon op een plat vlak. Nu kan je elk punt van de kleinse fles zien als het middenpunt van zo'n vlak. Dus bestaat er een mogelijkheid waarin de kleinse fles overal vlak is!