Derdegraadsvergelijkingen in de praktijk

[Anoniem: 27593]

Ik heb een hele tijd nagedacht over toepassingen van derdegraadsvergelijkingen in de praktijk maar ik heb geen goed voorbeeld kunnen bedenken (zoals bij eerstegraads: liniaire groei, tweedegraads: parabolen bij bruggen). Iemand ideeen?

[GeeBee]

Ff wat formules opgezocht met een derde macht en ik kon naast de voor de hand liggende

[Uit mn hoofd]
I_kubus = z³
I_bol=4/3×pi×r³

alleen snel deze vinden:

[Binas]
Windenergie U_k=1/2×rho×A×v³

en met verder zoeken:

[Poly Technisch Zakboekje]
Veel formules voor doorbuiging en een enkele voor het weerstandsmoment tegen buiging.
Zoek het dus in de werktuigbouwkunde/toegepaste mechanica.

[ Voor 29% gewijzigd door GeeBee op 22-12-2003 17:53 ]

[Anoniem: 77820]

zoals mn bovenganger er een paar noemt, volgens mij zijn er zat toepassingen waar je 3de graadsvergelijkingen hebt....

[MIster X]

Je zit op school en je denkt: waar heb je dat in vredesnaam voor nodig?

De bouw kent vele voorbeelden. Om er eens twee uit een boek te plukken:

- doorbuiging van een balk onder bepaalde voorwaarden:

f = (F/48WI) . (3l²x-4x³)

- of nog een stapje verder: de doorbuiging van een pyramidevormige muur:

f = (Qx/6EIl²) . (l²x²/2 - x⁴/5 - 5l⁴/16)

[FCA]

Of het oplossen van eigenwaarden van een 3x3 matrix, wat erg belangrijk is bij klassieke mechanica: 3e graadsvergelijkingen.

[GeeBee]

Oftewel: dit jaar je examen 6 gym halen en een technische studie gaan volgen...

[riotrick]

Nog een voorbeeldje: de luchtverplaatsing van ventilatoren t.o.v. de druk toe-/afname kan bij bepaalde fans volgens een 3e-graads vergelijking lopen. Anderen lopen volgens 2e of 5e graads (axiaal-ventilatoren zijn bv 5e graads) vergelijkingen, ook lineaire ventiloren komen voor.

/edit:

een grafiekje van een 3e graads vergelijking van een CML ventilator die wordt toegepast als centrale afzuiging in appartementen/woonhuizen.
P is de druk in Pascal van het systeem wat de ventilator afzuigt en Qv is de luchtverplaatsing in m^3/sec en m^3/uur. Hoog/midden/laag geeft de instellingen van de ventilator weer.

[ Voor 45% gewijzigd door riotrick op 24-12-2003 01:17 ]

[Anoniem: 49365]

Hogeregraads vergelijkingen kennen toepassingen bij bijvoorbeeld experimenten waarin een serie meetresultaten "gefit" moet worden in een curve. In principe kun je dan krijgen dat een derdegraads reeks je meetpunten het beste fit. Maar dit kunnen dus ook 10.000e graadsvergelijkingen zijn, het is maar welke precisie je wilt hebben.

[riotrick]

Dat is exact wat we doen met de ventilatoren. de cirkeltjes in de grafiek hierboven geven de gemeten waardes weer. Deze worden dmv de kleinste-kwadraten methode 'gefit' in een 3e orde polynoom.

[GeeBee]

Met de kleinste-kwadraten methode zoek je de best passende rechte door een aantal punten.
Voor een best passende derdemachtsfunctie zul je dan volgens mij een kleinste-vierdemachtsmethode moeten toepassen?

[ Voor 3% gewijzigd door GeeBee op 28-12-2003 22:11 ]

[Anoniem: 49365]

De kleinste-kwadraten methode beperkt zich naar mijn mening niet tot een rechte, maar ook fitten met een kromme kan met deze methode. Zoals altijd een leuke dooddoener is bij statistiek: als je van polynomen uitgaat is een rechte ook een kromme, namelijk een eerstegraads.

Het gaat erom dat het verschil in y-waarden tussen de meetwaarde en de waarde die de kromme aangeeft zo klein mogelijk is, en daarom tel je al die verschillen bij elkaar op. Sommige punten liggen boven de kromme, anderen eronder en om te voorkomen dat die verschillen elkaar opheffen kwadrateer je alle verschillen --> en neem je die curve met de kleinste kwadraten som.

[GeeBee]

Je hebt gelijk.
Meestal wordt het voorbeeld van lineaire functies gebruikt omdat dat nog wel met de hand is uit te rekenen. Bij hogere machten wordt het stelsel vergelijkingen onoverzichtelijker en dus als voorbeeld minder geschikt.
Bij een lineaire benadering (y=ax+b) moet je de 2 onbekenden a en b bepalen en krijg je een stelsel van 2 lineaire vergelijkingen met 2 onbekenden, da's goed te doen.
Bij een derdemachts benadering krijg je een stelsel van 4 vergelijkingen met 4 onbekenden... ga d'r maar aan staan. En dus stap je daar over op bv MathLab.

linkje: http://www.mathworks.com/...doc/curvefit/curvefit.pdf

[windancer]

De kwadraten uit de kleinste kwadraten methode referen naar hetgeen je minimaliseert met deze methode. Namenlijk de som van het kwadraat van de residuen.

GeeBee schreef op 28 december 2003 @ 22:10:
Met de kleinste-kwadraten methode zoek je de best passende rechte door een aantal punten.
Voor een best passende derdemachtsfunctie zul je dan volgens mij een kleinste-vierdemachtsmethode moeten toepassen?

[riotrick]

ik heb de kleinste kwadraten methode overigens toegepast met een php scriptje, aangezien deze in een php applicatie gebruikt wordt door ons.

PHP:

function calcpolynomialleastsquares($degree, $xvals, $yvals) {
    // Kleinste kwadraten methode voor polynomen
    $pointcount = count($xvals);
    
    for ( $row = 0; $row <= $degree; $row++ ) {
        // Find the coefficients for the columns.
        for ( $col = 0; $col <= $degree; $col++ ) {
            // reset total
            $total = 0;
            
            // Find Sum(Xi^(row + col)) over all i.
            for ( $i = 0; $i < $pointcount; $i++ )
            $total += pow( $xvals[$i], $row + $col );
            
            $coeffs[$row][$col] = $total;
        }
        
        // Find the constant term.
        $total = 0;
        for ( $i = 0; $i < $pointcount; $i++ ) {
            $total += $yvals[$i] * pow( $xvals[$i], $row );
        }
        
        $coeffs[$row][$degree + 1] = $total;
    }
    
    // attempt a gaussian elimination.
    $max_row = count($coeffs);
    $max_col = count($coeffs[0]);
    
    for ( $row = 0; $row < $max_row; $row++ ) {
        // Make sure coeffs[row][row] != 0.
        $factor = $coeffs[$row][$row];
        
        if ( abs($factor) < 0.001 ) {
            // Switch this row with one that is not
            // zero in position. Find this row.
            for ( $i = $row + 1; $i < $max_row; $i++ ) {
                if ( abs( $coeffs[$i][$row] > 0.001 )) {
                    // Switch rows i and row.
                    for ( $j = 0; $j < $max_col; $j++ ) {
                        $tmp = $coeffs[$row][$j];
                        $coeffs[$row][$j] = $coeffs[$i][$j];
                        $coeffs[$i][$j]   = $tmp;
                    }
                    $factor = $coeffs[$row][$row];
                }
            }
            
            // See if we found a good row.
            if ( abs($factor) < 0.001 )
            // there was no good row, and hence no solution.
            die("Onoplosbaar");
        }
        
        // divide each entry in this row by coeffs[row][row]
        for ( $i = 0; $i < $max_col; $i++ ) {
            $coeffs[$row][$i] /= $factor;
        }
        
        // subtract this row from the others.
        for ( $i = 0; $i < $max_row; $i++ ) {
            if ( $i != $row )
            {
                // See what factor we will multiply
                // by before subtracting for this row.
                $factor = $coeffs[$i][$row];
                
                for ( $j = 0; $j < $max_col; $j++ ) {
                    $coeffs[$i][$j] -= $factor * $coeffs[$row][$j];
                }
            }
        }
    }
    
    // There is a solution.
    // grab the last column of coeffs and store it
    for ( $row = 0; $row <= $degree; $row++ ) {
        $avals[$row] = $coeffs[$row][$degree + 1];
    }
    
    // return the results
    return $avals;
}

[ Voor 87% gewijzigd door riotrick op 30-12-2003 11:02 ]