Oppervlak onder 2 snijdende cirkels

[Verbal Kint]

Wij (4 aankomende academici in een kantoortje, die eigenlijk hele andere dingen zouden moeten doen) houden ons vandaag bezig met deze puzzel:



Een boer heeft een rond gazon met een diameter van 50m en hij wil dit laten begrazen door een schaap. Het schaap wordt met een ketting vastgemaakt aan de rand van het gazon. Hoe lang mag de ketting maximaal zijn (R) zodat de boer nog de helft van zijn gazon ongestoord kan gebruiken?

Wat we voorlopig hebben vastgesteld: R is in ieder geval groter dan 25 (de straal van het gazon). Als je het uittekent verzand je al snel in het optellen en aftrekken van allemaal stukjes oppervlak. Van niet elk stukje kan de oppervlak worden vastgesteld.

Ik denk dat ik het met behulp van de eenheidscirkel maar even numeriek ga benaderen. Nu alleen nog even een progje zoeken op mn HD die me daar bij gaat assisteren.

[Avalanchez]

Verbal Kint schreef op 04 december 2003 @ 15:46:
Wij (4 aankomende academici in een kantoortje, die eigenlijk hele andere dingen zouden moeten doen) houden ons vandaag bezig met deze puzzel:

[afbeelding]

Een boer heeft een rond gazon met een diameter van 50m en hij wil dit laten begrazen door een schaap. Het schaap wordt met een ketting vastgemaakt aan de rand van het gazon. Hoe lang mag de ketting maximaal zijn (R) zodat de boer nog de helft van zijn gazon ongestoord kan gebruiken?

Wat we voorlopig hebben vastgesteld: R is in ieder geval groter dan 25 (de straal van het gazon). Als je het uittekent verzand je al snel in het optellen en aftrekken van allemaal stukjes oppervlak. Van niet elk stukje kan de oppervlak worden vastgesteld.

Ik denk dat ik het met behulp van de eenheidscirkel maar even numeriek ga benaderen. Nu alleen nog even een progje zoeken op mn HD die me daar bij gaat assisteren.

kies een assenstelsel. teken daarin de cirkel (gazon). bepaal het snijpunt (keting).

bepaal de integraal van de gazon - integraal ketting = 1/2 integraal gazon

oja, vergeet niet dat wat onder assenstelsel ligt als negatief beschouwd wordt. kies bv een kwadrant uit, en vergeet achteraf dan niet x 4 te doen.

[ Voor 6% gewijzigd door Avalanchez op 04-12-2003 16:00 ]

[Terror]

Deze is al redelijk vaak langsgekomen, kan hem alleen even niet zo snel terug vinden in de search.

[Verbal Kint]

Ok, met behulp van integralen hebben we waarschijnlijk de impliciete oplossing gevonden.
Probleem is nu dat je ongeveer 30 whiteboards nodig hebt om hem expliciet te krijgen en we hebben er maar drie.....

Even MS equation installeren om de formule met jullie te delen....

Daar istie al:




En hoe komen we bij deze formule, zie onderstaande figuur.



De cirkels snijden elkaar in het punt waar geldt: 625-x^2=pi*R^2-(x-25)^2
Dit geeft dat het snijpunt ligt op: x=pi*R^2/50

Vervolgens gebruik je dus de integralen. Je weet dat stuk I is gelijk aan stuk II. Beide zijn 1/4 * 625. Nu stel je een vergelijking op met 1 onbekende (namelijk R). Dat is de formule die hierboven al staat. Hij beschrijft 2 stukjes oppervlak (delen van de 2 cirkels met de stippellijn als scheiding), die samen gelijk zijn aan 1/4*625.

[ Voor 61% gewijzigd door Verbal Kint op 04-12-2003 17:30 ]

[Avalanchez]

Verbal Kint schreef op 04 december 2003 @ 17:02:
Ok, met behulp van integralen hebben we waarschijnlijk de impliciete oplossing gevonden.
Probleem is nu dat je ongeveer 30 whiteboards nodig hebt om hem expliciet te krijgen en we hebben er maar drie.....

Even MS equation installeren om de formule met jullie te delen....

Daar istie al:

[afbeelding]

die is zo opt eerste zicht verkeerd. hoe heb je dat gedaan? ik probeer het nu zelf eens volledig op te lossen...

[Verbal Kint]

Avalanchez schreef op 04 december 2003 @ 17:25:
[...]

die is zo opt eerste zicht verkeerd. hoe heb je dat gedaan? ik probeer het nu zelf eens volledig op te lossen...

Er staat inderdaad een foutje in, de waarden waarover je integreerd (de domeinen) moeten worden verwisseld (links/rechts dus, niet onder/boven).

Overigens:
Formule voor cirkel 1 (gazon): x^2+y^2=625
Formule voor cirkel 2 (schaap):(x-25)^2+y^2=pi*r^2

[ Voor 71% gewijzigd door Verbal Kint op 04-12-2003 17:48 ]

[kiekerjan]

Delta gelezen?
Wij kwamen hier op 29 voor de straal r. Eerst de snijpunten van de 2 cirkels uitgerekend en die gebruikt voor de integraal om het oppervlak van de overlap van de twee cirkels uit te rekenen. Daarna hebben we Maple r laten berekenen. r is ongeveer 29. (28.96)

[Verbal Kint]

kiekerjan schreef op 04 december 2003 @ 17:36:
Delta gelezen?
Wij kwamen hier op 29 voor de straal r. Eerst de snijpunten van de 2 cirkels uitgerekend en die gebruikt voor de integraal om het oppervlak van de overlap van de twee cirkels uit te rekenen. Daarna hebben we Maple r laten berekenen. r is ongeveer 29. (28.96)

Delfterikken zal het vraagstuk inderdaad niet onbekend voor komen .

Wat ik vreemd vind is dat we nu dus numerieke benaderingen moeten gaan gebruiken. Ik vraag me af of het niet ook met meetkunde beredeneerd kan worden, dat lijkt me namelijk logischer bij een dergelijke puzzel. Misschien iets met vierkanten er omheen tekenen ofzo

[kiekerjan]

Als je de integraal uitwerkte die ik net beschreef, dan kwamen er onder andere arcsinussen in voor. De uitkomst van die integraal wordt gelijk gesteld aan het halve oppervlak van het gazon. Je moet dus r vrijmaken en dat was volgens mij (ons) niet te doen met die vergelijking. Maple kwam er ook niet uit (met solve) en numeriek solven kon ie wel. Tja... Wou er verder ook niet zoveel tijd aan kwijtmaken, zo erg boeide me die analytische oplossing niet

[Avalanchez]

Verbal Kint schreef op 04 december 2003 @ 17:34:
Formule voor cirkel 1 (gazon): x^2+y^2=625
Formule voor cirkel 2 (schaap):(x-25)^2+y^2=pi*r^2

ok, om te beginnen: daarjuist was ik verkeerd. met slechts 1 kwadrant gaan we hier niet toekomen, we hebben der 2 nodig. ik kies mijn assenstelsel zo, zodanig dat het middelpunt van de gazon het nulpunt van het assenstelsel is. ik laat de cirkel beschreven door de ketting, naar de positieve kant van de x-as verschuiven.

zoals ik daarjuist al heb gezegd: de volledige integraal van het opp. zou nul uitkomen, daar in de wiskunde negatieve oppervlakten (gedeelte boven de curve in derde en vierde kwadrant). daarvoor kies ik de eerste twee kwadranten, daar een cirkel mooi symmetrisch is, maar mogen we straks niet vergeten de gevonden oppervlakte maal twee te doen.
dus:
Y_gazon= sqrt(50² - x²) (let erop, -sqrt telt niet mee, positieve oppervlakten, remember?)
Y_ketting= sqrt(r² - (x-50)²) (zelfde opmerking)

daar. onze twee cirkels.

als je een figuurtje maakt, kan het niet anders of r>50 (1), of ze hebben 1 snijpunt (in het echt 2, maar vergeet niet dat we alleen met positieve oppervlakten werken)

dus: de oppervlakte van de gazon is 50²pi. hij wil de helft overhouden: 50²/2 * pi.
MAAR: dit getal delen we nogmaals door twee, aangezien we slechts de helft (positieve) oppervlakte nemen!!

dus, het uiteindelijke oppervlakte dat ze met elkaar gemeen hebben is 625pi.

goed. nu moeten we ergens zien te bewijzen dat deze 625pi = een uitdrukking met r.

een volgend idee:

merk op dat ik daarjuist zei dat we 1 snijpunt hadden: sqrt(50²-x²) = sqrt(r²-(x-50)²)
KWADRATERINGSVOORWAARDE: x=<50, hetgeen logisch is, anders zou het geen deel meer uitmaken van de gazon.

ff uitwerking en het snijpunt komt op: x = (5000-r²)/100. y-waarde boeit niet.

volgt u nog?

hier komt de idee: daar we weten dat r>50 (1), kunnen we de cirkel van de ketting integreren van 50-r (snijpunt met de x-as) tot het gevonden snijpunt (5000-r²)/100.
daarbij tellen we op, de integraal van de gazoncirkel, vanaf het snijpunt (5000-r²)/100 tot 50.

dus: 625pi = INT(sqrt(r²-(x-50), VAN 50-r TOT (5000-r²)/100) + INT(sqrt(50²-x²), VAN (5000-r²)/100) TOT 50).

en we zijn blij, we zien 1 vergelijking met 1 onbekende. een beetje rekenwerk dus vanaf nu.

[Verbal Kint]

Avalanchez schreef op 04 december 2003 @ 17:53:
[...]
en we zijn blij, we zien 1 vergelijking met 1 onbekende. een beetje rekenwerk dus vanaf nu.

Dit is inderdaad precies wat wij ook hebben gedaan (behalve dan dat je straal=50 hebt gebruikt, maar dat is de diameter, een klein foutje dus).

Alleen wat vind jij een "beetje" rekenwerk? Dat uitschrijven levert namelijk een enorme vergelijking op die dus blijkbaar zelfs door Maple niet analytisch opgelost kon worden (en Maple maakt geen lullige schrijffouten halverwege).

Daarom vraag ik me dus af of er niet ook een slimme en eenvoudigere oplossing is..

[Avalanchez]

Verbal Kint schreef op 04 december 2003 @ 18:18:
[...]
Allen wat vind jij een "beetje" rekenwerk? Dat uitschrijven levert namelijk een enorme vergelijking op die dus blijkbaar zelfs door Maple niet analytisch opgelost kon worden (en Maple maakt geen lullige schrijffouten halverwege).

oops, ja, overal 50 vervangen door 25. Wie zijn 'allen'?

ik denk niet dat dat hetzelfde uitkomt als jij, kan je uitleggen wat die pi daar in de integraalgrenzen doet? bij het berekenen van de snijpunten komt dat getalletje er niet aan te pas.

ik zie het al. je vergelijking voor de ketting is verkeerd. de ene keer pas je ze wel juist toe, de andere keer niet?

de vergelijking is dus wel degelijk (x-a)² + (y-b)² = r², en niet pi*r²

[ Voor 19% gewijzigd door Avalanchez op 04-12-2003 18:35 ]

[Verbal Kint]

Avalanchez schreef op 04 december 2003 @ 18:33:
[...]
ik zie het al. je vergelijking voor de ketting is verkeerd. de ene keer pas je ze wel juist toe, de andere keer niet?

de vergelijking is dus wel degelijk (x-a)² + (y-b)² = r², en niet pi*r²

Goed punt. Scheelt gelukkig niet zoveel verder (pi is tenslotte ook maar een constante).

[TrailBlazer]

als je slim bent maak je het schaap in het midden vast veel makkelijk uitrekenen

[Confusion]

http://mathworld.wolfram.com/Circle-CircleIntersection.html

(Derde hit op Google, als je zoekt op circle, goat, half, overlap)

Link vanaf daar: http://mathworld.wolfram.com/GoatProblem.html

[ Voor 59% gewijzigd door Confusion op 04-12-2003 18:52 ]