[wi] recursieve somrij

[Marc]

hallo,
ik heb een reeks getallen, en hiervan de formule:

code:

L(n) = x/Ø^(0.5n-0.25(-1)^n-0.75)

L is hierin de lengte van een lijn,
x een constant getal,
n geeft aan de hoeveelste lijn het is.
Ø is ook een constant getal, namelijk phi = 0.5(1+sqrt(5))

Zoals te zien is loopt deze formule naar 0 naarmate n toeneemt, want Ø^(0.5n-0.25(-1)^n-0.75) > x. De formule moet dus een limiet hebben.
Tot zover geen problemen.

Nu wil ik de somrij van deze formule berekenen, om zo de limiet te berekenen.
De recursieve formule is niet moeilijk, namelijk:

code:

S(n) = S(n-1) + 1/Ø^(0.5n-0.25(-1)^n - 0.75) met n(min) = 1 en S(0) = 1

Alleen de directe somrij uit de formule van L(n) afleiden lukt me niet.
Dit zou geen probleem zijn, als ik wist hoe ik van de recursieve somrij S(n) een directe somrij kon maken, maar dit lukt me ook niet.

Iemand ideeen?

[ Voor 9% gewijzigd door Marc op 01-12-2003 16:24 ]

[Opi]

Zou je uitkunnen leggen wat een directe somrij is. En wat representeren (U(0) en n(min)?

[Marc]

sorry, U(0) moest S(0) zijn, en is de beginterm van de recursieve rij.
uit S(0) = 1 volgt dus:

code:

S(1) = S(0) + 1/Ø^(0.5*1-0.25(-1)^1 - 0.75) = 
1 + 1/Ø^(0.5-0.25*-1-0.75) =
1 + 1/Ø^(0.75-0.75) =
1 + 1/Ø^0 =
1 + 1 = 2.

en hieruit kan je dan weer S(2) berekenen.

een somrij telt alle waarden van een functie op t/m n.

[Opi]

Dus je wilt eigenlijk het volgende weten:
S(n) = Sum_{k = 0}ⁿ(1/Ø^(0.5k-0.25(-1)^k - 0.75))

[ Voor 8% gewijzigd door Opi op 01-12-2003 16:39 ]

[Marc]

ja, maar dan zonder de code tags

edit: ik wil hier dus de directe formule van.

[ Voor 42% gewijzigd door Marc op 01-12-2003 16:29 ]

[Verwijderd]

Hmm ja je wilt dus niet de formele som maar de eigenlijke uitkomst in formule... en dan dus als n --> infinity dat geval convergeert naar 0...

[Marc]

ja, L(n) convergeert inderdaad naar 0, maar de somrij niet, want die telt alle waarden van L(n) voor n>0.

[Verwijderd]

hmm de formule voor L(n) gaat inderdaad naar 0 maar dat betekend nog niet dat de som convergeert en dus een limiet heeft... kijk maar naar het voorbeeld f(n)=1/n
deze gaat ook naar 0 maar de som divergeert....

[Marc]

Verwijderd schreef op 01 december 2003 @ 17:41:
hmm de formule voor L(n) gaat inderdaad naar 0 maar dat betekend nog niet dat de som convergeert en dus een limiet heeft... kijk maar naar het voorbeeld f(n)=1/n
deze gaat ook naar 0 maar de som divergeert....

tuurlijk convergeert de som wel.
als een formule naar 0 loopt, dus dat de uitkomst bij n->oneindig nul is, komt er bij de somrij niets meer bij, en heeft hij een limiet.
ik wil alleen voor n>0 he.

[Marcj]

Marc schreef op 01 december 2003 @ 18:01:
[...]


tuurlijk convergeert de som wel.
als een formule naar 0 loopt, dus dat de uitkomst bij n->oneindig nul is, komt er bij de somrij niets meer bij, en heeft hij een limiet.
ik wil alleen voor n>0 he.

Nee hoor. De somrij van 1/n is wel degelijk divergent!

[Marc]

hmm okee, maar eigenlijk dwalen we behoorlijk af.
ik zocht gewoon de directe somrij formule voor L(n)

[Verwijderd]

Nee... andersom is het wel zo... convergeert een som dan gaat de algemene term naar 0. Maar het is niet altijd zo als de algemene term naar 0 gaat ( in dit geval) dat dan de som divergeert. Ik kan je een bewijs niet nu een twee drie geven... maar wel een voorbeeld... kijk naar de som van 1/n.... 1/n gaat naar nu maar de som divergeerd heel langzaam... de partiele som is hier equivalent met log(n) ( gebruik intergraal-kenmerk.)

Ik weet niet of hier veel wiskundigen zitten die dit nog even kunnen toelichten met een bewijs...

[Marcj]

Het is wel belangrijk te bewijzen dat de reeks wel convergent is (of liever gezegd: voor welke x is hij convergent).

L(n) = x/Ø^(0.5n-0.25(-1)^n-0.75) < L'(n) = x/Ø^(0.5n)
Als we kunnen bewijzen dat L'(n) convergent is moet L(n) ook convergent zijn (Majorantenkenmerk).
Hiervoor kunnen we Cauchy gebruiken:

lim_n->oneindig n^dewortel(L'(n)) = lim_n->oneindig n^dewortel(x) / Ø^0.5 = 0

Omdat de uitkomt kleiner is dan 1 moet L'(n) convergent zijn en daarom L(n) ook

Nu nog een oplossing voor de somrij... En volgens mij is dat niet zo simpel.

[Verwijderd]

ja ik heb hem numeriek benaderd en deze som convergeert wel... nameljk naar
6,8541 dus op 5 cijfers nakeurig.... ik heb voor n=1000 en voor n=10000, en Mathematica gaf het zelfde antwoord...
oh ja voor die constante x heb ik 1 genomen

Sterker nog... al na n=60 blijft hij constant op dit getal hangen... dus had ook nog wel met de hand gekunt

[ Voor 31% gewijzigd door Verwijderd op 01-12-2003 18:34 ]

[Marc]

bedankt Marcj!
mijn wiskundeleraar vertelde me al dat de rij convergent was, maar niet waarom, daarom dacht ik het al wel.
maar is het uberhaupt wel mogelijk om de directe formule van de somrij te krijgen? tot voorzover mijn wiskunde reikt kan ik alleen van een meetkundige en een rekenkundige rij de directe formule uit de recursieve afleiden. maargoed, er zijn wel mensen die beter zijn in wiskunde dan ik

[Marc]

Verwijderd schreef op 01 december 2003 @ 18:29:
ja ik heb hem numeriek benaderd en deze som convergeert wel... nameljk naar
6,8541 dus op 5 cijfers nakeurig.... ik heb voor n=1000 en voor n=10000, en Mathematica gaf het zelfde antwoord...
oh ja voor die constante x heb ik 1 genomen

Sterker nog... al na n=60 blijft hij constant op dit getal hangen... dus had ook nog wel met de hand gekunt

hmm weet je het zeker? als ik hem benader met mijn GR:

code:

A = 0.5(1+sqrt(5))
nMin =  1
u(n) =  u(n-1)+1/A^(.5n-.25(-1)^n-.75)
u(nMin) = {1}

u(60)
             5,236065163
u(200)
             5,236067977

wie maakt er een fout?

[Verwijderd]

Ja ik.... sommeer vanaf 0 en jij vanaf 1... maar goed die directe som is erg lastig... ik weet niet of het kan.

Ik heb namelijk mathematica dat geval van jou ingevoerd en bij rekenkundige rijen enzo geeft hij keurig de directe som... bij deze echter niet... dus het is heel lastig heb ik zo het idee

[ Voor 47% gewijzigd door Verwijderd op 01-12-2003 18:49 ]

[Marc]

Ok dit gaat dus niet lukken.
Het is me nu (met dank aan een klasgenootje) gelukt om de recursieve formule van de somrij te vereenvoudigen naar:

code:

S(n) = S(n-1) + 2x/Ø^n = S(n-1) + 2x*Ø^(-n)
met n(min) = 0 en S(0) = 1+x

dus nu hoeft ik alleen de directe formule van deze somrij.
eigenlijk is het probleem dus:

Wat is de directe formule van de somrij van U(n) = a*p^(-n)?

Nu ben ik er net achter gekomen dat:
S(n) = p^(-n) + S(n-1)
S(n)_{lim n->∞} = 1/(p-1).

dus de rij:
S(n) = S(n-1) + Ø^(-n)
sommeert naar:
S(n)_{lim n->∞} = 1/(Ø-1).

Ik weet dat 1/(Ø-1) = Ø, want 1/Ø=Ø-1
Maar dat is dus de rij S(n-1) + Ø^(-n), en ik zoek S(n-1) + 2*Ø^(n-1).
Hierbij heb ik voor x maar even 1 genomen.

Ik weet dat:

code:

recursief:
U(n) = U(n-1) * 2   met U(0) = 1

direct:
U(n) = 2^n

Ok hier raak ik het spoor een beetje bijster, volgens mij zit ik dicht tegen de directe formule aan... of doe ik het echt helemaal fout?

[ Voor 14% gewijzigd door Marc op 02-12-2003 11:20 ]

[Marc]

Ik heb de oplossing.
Klik hier en ga naar 'Eigen onderzoek' (directe somformule) voor uitleg.