Optimalisatie probleem

[GeeBee]

Gelezen in de N&T van deze maand:
Wat is, voor een gegeven inhoud, de optimale verhouding tussen de diameter en de hoogte van een cilindervormig blik?
Optimaal wil hier zeggen dat voor zo'n blik een minimale hoeveelheid materiaal voor nodig is.

Ik kom voorlopig tot d=4I/3pi.

[Tirillo]

Ok.. dus..

I = pi*r^2*h

hoeveelheid blik = (bovenkant+onderkant) + zijkant = 2*pi*r^2 + 2*pi*r*h

Bij inhoud I -> h = I/(pi*r^2) en de hoeveelheid blik is dus 2*I/r + 2*pi*r^2

De afgeleide hiervan nul stellen geeft een minimum op r^3 = 2*I/(4*pi)= I/(2*pi) en dus trouwens d^3 = 4*i/pi

[Avalanchez]

Max-minvraagstuk... ruik ik daar afgeleiden?

V_cilinder = hr²PI
=> h = V_cilinder/(r²PI) (1)

(laten we een kleine fout maken: veronderstellen dat het blik erg dun is)
O_cilinder = 2hrPI + 2r²PI (2)

Uit (1) & (2) volgt: O_cilinder = (2V_cilinder)/r + 2r²PI

dO_cilinder/dr = 4rPI - (2V_cilinder)/r²
4r³PI = 2V_cilinder

of terug substitueren geeft 2r = h. Daar de diameter d = 2r, is de optimale verhouding: d/h=1

[ Voor 9% gewijzigd door Avalanchez op 27-11-2003 18:01 ]

[GeeBee]

Mee eens! Mooie oplossing ook wel.
Nu nog even kijken of ik via mijn pad ook hierop uitkom.

[Verwijderd]

Met I = inhoud, O = oppervlakte, d = diameter, h = hoogte

I = 1/4 Pi d^2 h -> h = 4I / (Pi d^2)

O = 1/2 Pi d^2 + Pi d h

h invullen geeft

O = 1/2 Pi d^2 + 4I/d

O'(d) = Pi d - 4I/d^2 = 0
d^3 = 4I/Pi

Terugsubstitueren -> d^3 = d^2 h -> d/h = 1

[ Voor 32% gewijzigd door Verwijderd op 27-11-2003 18:29 ]

[Avalanchez]

Verwijderd schreef op 27 november 2003 @ 18:19:
Hmm... Ik kom echt op wat anders... Met I = inhoud, O = oppervlakte, d = diameter, h = hoogte

I = 1/4 Pi d^2 h -> h = 4I / (Pi d^2)

O = 1/2 Pi d^2 + Pi d h

h invullen geeft

O = 1/2 Pi d^2 + 4I/d

O'(d) = Pi d - 4I/d^2 = 0
d^3 = 4I/Pi
d = (4I/Pi)^(1/3)

En dan om de verhouding uit te rekenen kun je nog d/h uitdrukken in termen van I, maar daar wordt het niet mooier van...

reken het toch maar eens uit... wie weet wordt het ineens wel heel mooi

[Verwijderd]

Avalanchez schreef op 27 november 2003 @ 18:24:
[...]


reken het toch maar eens uit... wie weet wordt het ineens wel heel mooi

Ja, het wordt toch mooi

[Avalanchez]

Aangezien hier nu al 3 dezelfde oplossingen staan, zullen we er voor de lol eens meegeven dat het blik een zekere dikte f heeft?

[Verwijderd]

Hij was wel erg makkelijk trouwens dit keer. Zeker vergeleken met de haast ondoenlijke opgave van vorige keer:

Twee ballen liggen op elkaar. 1 begint te rollen. Wanneer verliezen ze contact?

Ik ben erg benieuwd naar de oplossing. Ik ben er iig niet uitgekomen.

[MM]

Verwijderd schreef op 27 november 2003 @ 18:35:
Hij was wel erg makkelijk trouwens dit keer. Zeker vergeleken met de haast ondoenlijke opgave van vorige keer:

Twee ballen liggen op elkaar. 1 begint te rollen. Wanneer verliezen ze contact?

Ik ben erg benieuwd naar de oplossing. Ik ben er iig niet uitgekomen.

Flauw antwoord: zodra de 2e de grond raakt.

[Verwijderd]

m.m schreef op 27 november 2003 @ 18:41:
[...]


Flauw antwoord: zodra de 2e de grond raakt.

Da's niet goed natuurlijk... De bal die bovenop ligt laat natuurlijk al veel eerder los.

[faraway]

Gevoelsmatig zeg ik dat dit op 45 graden gebeurt, maar een exacte onderbouwing heb ik niet

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op 27 november 2003 @ 18:56:
[...]

Da's niet goed natuurlijk... De bal die bovenop ligt laat natuurlijk al veel eerder los.

Mijn intuïtie zegt toch ook dat ze elkaar pas los laten wanneer de 2e de grond raakt. Voordat dit gebeurt houdt de aardse zwaartekracht ze bij elkaar.