Kansberekening

[Anoniem: 83696]

Laat ik voorop stellen dat mijn ervaring met bovengenoemde vorm van wiskunde minimaal is.
Maar ik bedacht me tijdens het maken van een som hetvolgende.
De som bevatte een speelbord, met daarin spijkers opgesteld als een pyramide

(waarom werken de spaties niet ?)
1
1 1
1 1 1
(het bord van ...... ik ben de naam kwijt)

Zo dus. Van bovenaf werd er een knikker door dit systeem gerold en jij moest de kans berekenen dat de knikker in een bepaald bakje kwam.
Nu is de kans theoretisch natuurlijk een half of de knikker naar links of naar rechts valt ten opzichte van de knikker. In de praktijk zal die kansverdeling nooit bereikt worden. Er zijn bepalende factoren die een knikker net iets vaker een afwijking naar links geeft, waardoor de knikker in 55 % van de gevallen naar links zal gaan. Logisch. Bij eem miljoen keer spelen zal die kansverdeling steeds meer naar de 50% neigen, en bij n keer spelen wordt aangenomen dat die kans 0,5 is.

Wij nemen een perfect tot op de ontelbaarste graad perfect symetrisch bord, met een totaaal glad oppervlak etc etc. Een computergestuurde robotarm werpt voor ons de knikkers in het systeem. Steeds op precies dezelfde manier, exact in het midden.
Men zou verwachten dat de knikker steeds dezelfde kant op zou rollen aangezien de knikker op exact dezelfde manier gegooit wordt. Echter, niets is minder waar, de kansverdeling zal hierbij exact 50 / 50 worden. Maar hoezo 50 -50 ? Er zijn geen bepalende factoren meer in het spel, die uitmaken of de knikker naar links of naar rechts valt. En toch is die verdeling er ?
Moraal van het verhaal, is kansberekening ooit te bewijzen ? Bestaat het ?

Natuurlijk heb je verschillende soorten van kansberekning, dat ik de goede pincode gok is te berekenen, maar is dat bij dit soort nu eigelijk wel het geval ?

Zwets ik ? geef een 1, ga ik de nobelprijs winnen, typ een 2.

[ Voor 11% gewijzigd door Anoniem: 83696 op 16-10-2003 19:01 ]

[Lancer]

1

[Sendy]

10

[ Voor 80% gewijzigd door Sendy op 16-10-2003 19:14 . Reden: Want niet alleen gezwets, maar wel een heleboel ]

[Avalanchez]

ik geef je 1.5. Het is zeker geen gezwets, want zowat alles wat je zegt is zeker waar. Overigens is dit wel al bekend, dus een nobelprijs ga je er niet mee winnen . De naam die je zocht is hoogstwaarschijnlijk Pascal (de driehoek van Pascal: http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.pascal.triangle.html)

Inderdaad, hoe meer je speelt, des te meer zullen de kansen naar 50/50 neigen.

En, om even op die robotarm trug te komen, stel je het volgende voor: in zo'n perfect bord, waar die spijkers perfect glad zijn, er geen wrijving is, de knikkers perfect bolvormig is, én de robotarm perfect in het midden gooit, zal die knikker niet eens een kant kiezen. hij zal pal op de spijker vallen, terugbotsen, vallen, terugbotsen,... en zonder de minste wrijving, oneffenheid in de spijker/knikker, en andere factoren, zal de knikker uiteindelijk stil komen te liggen op de eerste spijker, toch?

[Anoniem: 83696]

Het zou misschien, ten minste voor de topicstarter, fijn zijn wanneer er ook kritiek wordt geleverd op zijn gedachtenspinsel. PErsoon in kwestie heeft zich misschien enkele maanden van de buitenwereld ontrokken om op deze geniale vinding te komen, enige argumentatie zou dus niet ongewenst zijn.

edit: aah gelukkig ten minste iemand die zich van deze arme ziel iets aantrekt.

En, om even op die robotarm trug te komen, stel je het volgende voor: in zo'n perfect bord, waar die spijkers perfect glad zijn, er geen wrijving is, de knikkers perfect bolvormig is, én de robotarm perfect in het midden gooit, zal die knikker niet eens een kant kiezen. hij zal pal op de spijker vallen, terugbotsen, vallen, terugbotsen,... en zonder de minste wrijving, oneffenheid in de spijker/knikker, en andere factoren, zal de knikker uiteindelijk stil komen te liggen op de eerste spijker, toch?

uhuh, get that, had ik eerlijk gezegd ook zelf bedacht. MAAR ... maar dan zou kansberekening nog steeds niet bestaan. Dat is een knikker die naar links of rechts gaat een meetbare fout, in welke factor dan ook. Te berekenen / mete dus, en dat zou betekenen dat dat soort kansberekenen een hulpmiddel is om de fout te schatten, die ervan uitgaat dat de fouten ongeveer symetrisch zijn. En door het vaak te herhalen wordt die fout meer symetrisch en daardoor zou de kans dus 50 -50 worden.

[ Voor 71% gewijzigd door Anoniem: 83696 op 16-10-2003 19:52 ]

[Anoniem: 4743]

Draai het verhaal eens om. Waarom zou een knikker meer naar links dan naar rechts vallen? Daar is in de gegeven situatie al helemaal geen reden voor.

Oke, niet echt direct onderbouwt dit, maar zeker een belangrijke vraag, lijkt mij.

[Disciplus-Simplex]

Wat is dan ook het nut van kansrekenen in een geheel perfecte situatie? Heb je je dat weleens afgevraagd. In jouw situatie ligt alles al vast en is er geen sprake van een kans.
Misschien zou je de nobelprijs moeten heroverwegen

Volgens mij is de moraal van het verhaal: volledig gedefinieerde situaties bestaan in de praktijk niet.

[ Voor 21% gewijzigd door Disciplus-Simplex op 16-10-2003 20:30 ]

[Avalanchez]

Disciplus-Simplex schreef op 16 October 2003 @ 20:27:
Wat is dan ook het nut van kansrekenen in een geheel perfecte situatie? Heb je je dat weleens afgevraagd. In jouw situatie ligt alles al vast en is er geen sprake van een kans.
Misschien zou je de nobelprijs moeten heroverwegen

Volgens mij is de moraal van het verhaal: volledig gedefinieerde situaties bestaan niet.

Inderdaad. Denk maar aan quantumfluctuaties, onzekerheidsprincipe,...

[GeeBee]

Wat bedoel je met bewijzen?
1. Zolang er geen interne tegenstrijdigheden zijn binnen de kansrekening, klopt het.
2. Zolang er geen waarnemingen zijn die strijding zijn met uitkomsten van de kansberekening mogen wel toch aannemen dat het waar is.

[Sendy]

Anoniem: 83696 schreef op 16 October 2003 @ 18:50:
(...)

Zo dus. Van bovenaf werd er een knikker door dit systeem gerold en jij moest de kans berekenen dat de knikker in een bepaald bakje kwam.
Nu is de kans theoretisch natuurlijk een half of de knikker naar links of naar rechts valt ten opzichte van de knikker. In de praktijk zal die kansverdeling nooit bereikt worden. Er zijn bepalende factoren die een knikker net iets vaker een afwijking naar links geeft, waardoor de knikker in 55 % van de gevallen naar links zal gaan. Logisch. Bij eem miljoen keer spelen zal die kansverdeling steeds meer naar de 50% neigen, en bij n keer spelen wordt aangenomen dat die kans 0,5 is.

(...)

Hiervan begrijp ik helemaal niets. Je raapt allemaal stellingen en termen bij elkaar. Probeer eens rustig en duidelijk op te schrijven wat je bedoelt.

[Emmeau]

Een andere uitleg voor de 50-50 kans kan het volgende zijn.

Het is onmogelijk om een knikker te maken die precies rond is, en ook nog een waarvan de soortelijke massa precies overal hetzelfde is.
Laten we eens uitgaan van een knikker die van vooraf gezien zwaarder is aan de linkerkant (ok, dat linkt vaag, een knikker die een afwijking heeft waardoor hij in dit geval naar liks zou vallen)
.
tekening:

code:

(knikker is zwaar-        O
 der aan DEZE kant)       |

Dan is het logisch dat de knikker naar links valt.
Als we nu 1 miljard keer (of iets meer) de knikker oppakken van de grond (met de oogjes dicht) dan zal de knikker dus in 50% van de gevallen zwaarder zijn aan de linkerkant, en in 50% zwaarder aan de rechterkant.
Duidelijk is dan dat we weten welke kant de knikker opvalt, indien we weten hoe we de knikker opgepakt hebben.
Echter, dit doen we dus 'willekeurig' waardoor er 2 mogelijkheden zijn, hij valt naar links of naar rechts.

[Sendy]

Dat is inderdaad zo. Maar het geval dat de spijker niet in het midden (of de knikker niet helemaal in het midden valt) zou je best een verschil kunnen zien in de kans.

[Lord Daemon]

Dit knikkerbord is natuurlijk alleen een handig voorbeeldje om kansbereking uit te leggen; hoe het ooit iets over kansberekening als wiskundige theorie kan zeggen begrijp ik eigenlijk niet?

[4of9]

twas toch het bord van galton?

[Anoniem: 83696]

Anoniem: 4743 schreef op 16 oktober 2003 @ 20:13:
Draai het verhaal eens om. Waarom zou een knikker meer naar links dan naar rechts vallen? Daar is in de gegeven situatie al helemaal geen reden voor.

Oke, niet echt direct onderbouwt dit, maar zeker een belangrijke vraag, lijkt mij.

Nou dat was nodig om mijn stelling te onderbouwen, dat kansberekening ´fouten in het systeem´ compenseert. De kans dat een knikker naar links of rechts rolt, die is er niet. Er valt uit te rekenen welke kant hij op zal gaan. Daar komt geen toeval aan te pas. Kansberekening gaat e dus vanuit dat de fouten die gemaakt worden (met het rollen van de knikker, het scheven inslaan van de spijker etc), ongeveer evenveel dusdanig van invloed zijn dat de knikker naar links rolt als naar rechts. Bij een miljoen keer knikkeren wordt die fout steeds meer symetrisch. Maar dat wil niet zeggen dat de kans dat de knikker naar Links / rechts gaat evenveel is. In theorie wordt er uit gegaan van een perfect systeem als ik boven besprak. Maar daar is kansberekening dus idd niet toepasbaar op. In theorie wordt bij N keer spelen die ideale verdeling van 50 - 50 gehanteerd, wat me niet waar lijkt, aangezien die fout die in het systeem gemaakt wordt helemaal niet symetrisch hoeft te zijn.

Ik kan het amper goed uitleggen, doordat het allemaal nogal ronddraait in mijn hoofd, ik heb het voor mezelf ook nog niet duidelijk geformuleerd.

Wat bedoel je met bewijzen?
1. Zolang er geen interne tegenstrijdigheden zijn binnen de kansrekening, klopt het.
2. Zolang er geen waarnemingen zijn die strijding zijn met uitkomsten van de kansberekening mogen wel toch aannemen dat het waar is.

Jaja dat klopt. Maar jouw punt 2 gaat niet helemaal op lijkt me. Aangezien er nooit een ontelbaar keer gespeeld kan worden, kan ook nooit bevestigd worden of het 0,5 is. Er KAN dan ook niets tegenstrijdigs bewezen worden, maar wat we wel weten is dat die kans van 0,5 in de praktijk nooit gehaald wordt. Er is dus ook geen bewijs voor.

En dat punt 1, mwah of het een tegenstrijdig iets is weet ik niet. Maar bij de kansberekening gaat men dus uit van een perfect systeem. Maar in zo'n systeem zal de knikker helemaal geen kant kiezen.Er wordt alleen een kant gekozen bij oneffenheden, maar de wiskunde gaat uit dat die oneffenheden precies zijn. Maar als die oneffenheden precies zijn, dan valt wederom te berekenen welke kant de knikker opgaat.

Hiervan begrijp ik helemaal niets. Je raapt allemaal stellingen en termen bij elkaar. Probeer eens rustig en duidelijk op te schrijven wat je bedoelt.

Ik zal het proberen:
Je snapt de proef opstelling ? dan ga ik die niet nader verklaren. De knikker die een spijker op zijn pad vind, zal er tegenaanbotsen, waarbij de knikker naar links of naar rechts kan gaan. De kans op beide is theoretisch gezien 0,5. (aantal gunstige mogelijkheden = 1 : totaal aantal mopgelijkheden = 2 --> volgt 1/2).
Als je dit in de praktijk zult gaan uitvoeren, dan zal nooit in 50 % van de gevallen de knikker naar links gaan. Dat komt doordat de knikker niet perfect rond is bijvoorbeeld. Er is een resultaat mogelijk als volgt; 55 % van de knikkers ging naar links 45 % naar rechts. Hoe vaker je dit doet, zegt de wiskunde, hoe dichter die kansverdeling bij 50 % komt. BIj een ontelbaar keer spelen (N keer) zou de kansverdeling precies 50 % zijn.

Snap je het nu ? zoveel termen worden er toch niet door elkaar gegooit

Dan is het logisch dat de knikker naar links valt.
Als we nu 1 miljard keer (of iets meer) de knikker oppakken van de grond (met de oogjes dicht) dan zal de knikker dus in 50% van de gevallen zwaarder zijn aan de linkerkant, en in 50% zwaarder aan de rechterkant.
Duidelijk is dan dat we weten welke kant de knikker opvalt, indien we weten hoe we de knikker opgepakt hebben.
Echter, dit doen we dus 'willekeurig' waardoor er 2 mogelijkheden zijn, hij valt naar links of naar rechts.

Ja en dus is de kansberekening een ... IETS ... een hulpmiddel om dat soort fouten in te calculeren. (ahh wat irritant als je niet kans opschrijven wat er in je hoofd zit). Bij zo'n opstelling kun je niet meer spreken van TOEVAL waarbij de knikker in de helft van de gevallen de linker kant kiest. Het is te berekenen ... Indien er bij jou opstelling een kansverdeling van 75 % - 25 % uitkomt (in 3 van de 4 gevallen had de knikker het zwaarste punt aan de linkerkant). Dan stel je dus niet dat de kans is 0,5 dat de knikker naar links gaat, want als de knikker links het zwaarste punt is, dan is er HELEMAAL geen mogelijkheid dat hij naar rechts zal gaan. Hierin wordt niets als 'kans gedefinieerd'.

De kans geeft dan dus aan, in hoeverre jij een symetrische fout hebt gemaakt.


het is idd het bord van Galton, dankje. en op Lord deamon terug te komen; dat verhaal kreeg ik nu dus ook van mijn wiskunde leraar te horen, waarna ik hem vertelde dat het dan wel een erg slecht voorbeeld is.

[Lord Daemon]

Anoniem: 83696 schreef op 17 October 2003 @ 15:09:
en op Lord deamon terug te komen; dat verhaal kreeg ik nu dus ook van mijn wiskunde leraar te horen, waarna ik hem vertelde dat het dan wel een erg slecht voorbeeld is.

Je moet duidelijk onderscheid maken tussen de wiskundige theorie kansberekening, en de toepassing van die theorie op fysische systemen. De wiskundige theorie zelf is gewoon niet problematisch, punt. Er kan geen sprake van zijn dat 'de kansberekening niet klopt', of iets dergelijks.

Waar je wel vragen over kan hebben is of de kansberekening toegepast kan worden op fysische situaties, wat dat dan zegt over de wereld, en hoe dat dan zou moeten. Ik ga nu even de hele topic rustig doorlezen en dan meer schrijven hierover.


Ik kan zo even snel drie manieren bedenken waarop het kansbegrip in een fysische berekening voor kan komen. De eerste, en meest fundamentele, is dat de fysisische wetten zelf indeterministisch zijn en een kanskarakter hebben. Zo is het in de quantummechanica het geval dat de uitkomsten van berekeningen altijd op een heel fundamenteel niveau kansuitspraken zijn: er is bijvoorbeeld 70% kans dat een deeltje spin omhoog heeft, en 30% kans dat een deeltje spin omlaag heeft, en dit komt niet doordat wij fouten maken of verstoringen of wat dan ook, maar doordat de quantumwereld niet deterministisch is en door kansen geregeerd wordt. (Er zijn ook interpretaties van de quantummechanica waarin zij wel deterministisch is, maar laten we daar niet op in gaan.)

De tweede mogelijkheid is als je met zeer grote aantallen deeltjes werkt, en je theorie die niet allemaal probeert te beschrijven. Het schoolvoorbeeld hiervan is de thermodynamica, die gaat over gassen en dergelijke; in een thermodynamisch systeem zitten als snel 10^23 deeltjes. Die ga je natuurlijk niet allemaal beschrijven. Gelukkig is het zo dat bijna alle mogelijke toestanden van die deeltjes tot dezelfde effecten leiden. Neem een warm koffiekopje in een koude kamer: bijna elke toestand van de deeltjes in deze opstelling leidt er toe dat de koffie zal afkoelen, hoewel de theoretische mogelijkheid dat de koffie warmer zal worden ook bestaat. De thermodynamica zegt hier nu: de koffie koelt af. Zij doet dus een uitspraak die met grote waarschijnlijkheid waar is; de kans dat een voorspelling van de thermodynamica klopt is zeer groot.

De derde mogelijkheid is dat je de begintoestand van de je systeem niet zo goed weet, maar wel wilt gebruiken in je theorie. (De thermodynamica gebruikt die toestand helemaal niet.) Dan kan je een kansverdeling over de mogelijke begintoestanden in je theorie stoppen, en zal je er een kansverdeling over mogelijke uitkomsten uitkomen. Je krijgt dan dus van elke uitkomst een bepaalde kans dat die op zal treden; en dat komt omdat je je theorie alleen maar hebt vertelt wat de kans op een bepaalde begintoestand is.

Om kort samen te vatten: kans kan op minstens drie verschillende manieren in je natuurkunde terecht komen. [1] Doordat de natuurwetten zelf met kansen werken. (Quantummechanica.) [2] Doordat je een abstracte beschrijving gebruikt die slechts met een bepaalde kans goede resultaten oplevert. (Thermodynamica.) [3] Doordat je niet precies weet wat je begintoestand is, en daarvoor een kansverdeling gebruikt. (Statistische fysica.)


Hoe het nu bij het bord van Galton, opgevat als fysisch systeem, zit, hangt ervan af hoe je het interpreteert. Als je de spijkers ziet als indeterministische dingen die het balletje random de ene of de andere kant op gooien, dan is er sprake van de eerste mogelijkheid. Als je daarentegen de wat normaleresituatie beschouwt dat je niet exact de toestand van het balletje en het bord weet, dan is het de derde mogelijkheid de juiste.

Mocht je precies weten in welke toestand het balletje en het hele bord zich bevinden, en zijn alle natuurwetten deterministisch - tja, dan is de kansrekening niet meer toepasbaar. Maar dan is het ook het geval dat elke keer als je een balletje er op dezelfde manier in gooit (dus alles is in precies dezelfde toestand) het elke keer in hetzelfde bakje terecht komt. Het hele kanskarakter is dan dus niet alleen uit de beschrijving weg, maar ook uit het de uitkomst.


Overigens valt er ook nog een discussie te voeren over wat kansen nu precies zijn. (Bijvoorbeeld frequenties, of juist graden van geloof.)

[ Voor 72% gewijzigd door Lord Daemon op 17-10-2003 18:10 ]

[Anoniem: 95089]

Lord Daemon: mooi gezegd.

N.i.c.k. je maakt volgens mij de volgende denkfout (verbeter me als het niet waar is): Je zegt dat de kans PER DEFINITIE 50-50 is volgens de wiskunde, en dat door oneffenheden deze hieraan ongelijk kan zijn, bijvoorbeeld 55-45. Als dat zo was, dan heb je inderdaad gelijk.
Dit is echter niet zo, als door oneffenheden de kans verdeeld is als 55-45, dan is deze volgens de wiskunde OOK theoretisch verdeeld als 55-45. Je moet dan bij het bepalen van je theoretische verdeling rekening houden met deze oneffenheden.
Anders gezegd, in de praktijk zal bijvoorbeeld 55% van de knikkers naar links gaan en dat blijft zo, ook al doe je het experiment een miljoen (of een miljard, enz) keer. De wiskunde zegt dan: kennelijk is de kansverdeling 55-45.

Ik hoop dat ik je hiermee help?

[Sendy]

Anoniem: 83696 schreef op 17 October 2003 @ 15:09:
[...]

Ik zal het proberen:
Je snapt de proef opstelling ? dan ga ik die niet nader verklaren. De knikker die een spijker op zijn pad vind, zal er tegenaanbotsen, waarbij de knikker naar links of naar rechts kan gaan. De kans op beide is theoretisch gezien 0,5. (aantal gunstige mogelijkheden = 1 : totaal aantal mopgelijkheden = 2 --> volgt 1/2).
Als je dit in de praktijk zult gaan uitvoeren, dan zal nooit in 50 % van de gevallen de knikker naar links gaan. Dat komt doordat de knikker niet perfect rond is bijvoorbeeld. Er is een resultaat mogelijk als volgt; 55 % van de knikkers ging naar links 45 % naar rechts. Hoe vaker je dit doet, zegt de wiskunde, hoe dichter die kansverdeling bij 50 % komt. BIj een ontelbaar keer spelen (N keer) zou de kansverdeling precies 50 % zijn.

Snap je het nu ? zoveel termen worden er toch niet door elkaar gegooit

[...]

Ik begrijp wat je zegt, maar zoals eerder commentaar: Een knikker die niet rond is zal nooit op dezelfde manier gegooit worden en daarom dus ook nooit zo'n 45-55 verdeling opleveren op de lange termijn. (Als je heel weinig gooit kan je zelfs 100-0 verdeling krijgen -- maar de stelling zegt dat je heel vaak moet goeien)

Als een spijker niet in het midden staat kan je wel (ook op de lange termijn) zo'n oplossing krijgen. Bedenk maar eens de situatie dat de spijker zo ver uit het midden staat dat de knikker hem net raakt: dan zal de verdeling 100-0 zijn, hoe vaak je ook gooit)

Je maakt een fout met het verschil tussen een experimenteel en een theoretisch resultaat. Als de spijker precies in het midden staat is de kans _per definitie_ 1/2. Dat jouw experiment (bijvoorbeeld 100 keer gooien) een ander resultaat geeft betekend niet dat de kans niet 1/2 is.

[Eelke Spaak]

Anoniem: 95089 schreef op 17 October 2003 @ 19:15:
Lord Daemon: mooi gezegd.

N.i.c.k. je maakt volgens mij de volgende denkfout (verbeter me als het niet waar is): Je zegt dat de kans PER DEFINITIE 50-50 is volgens de wiskunde, en dat door oneffenheden deze hieraan ongelijk kan zijn, bijvoorbeeld 55-45. Als dat zo was, dan heb je inderdaad gelijk.
Dit is echter niet zo, als door oneffenheden de kans verdeeld is als 55-45, dan is deze volgens de wiskunde OOK theoretisch verdeeld als 55-45. Je moet dan bij het bepalen van je theoretische verdeling rekening houden met deze oneffenheden.
Anders gezegd, in de praktijk zal bijvoorbeeld 55% van de knikkers naar links gaan en dat blijft zo, ook al doe je het experiment een miljoen (of een miljard, enz) keer. De wiskunde zegt dan: kennelijk is de kansverdeling 55-45.

Dat hoeft helemaal niet. De uitspraak dat de wiskundige kansverdelingstheorie 50/50 als meest waarschijnlijke uitkomst voorspelt is juist. Er wordt aangenomen dat de kans dat een knikker naar rechts (of links) valt 50% is. Wanneer we hiervan uitgaan ontstaat er een verdeling van de knikkers in de bakjes onderaan het bord die de wiskundige normaalverdeling zal benaderen. Als je oneindig veel (of in ieder geval héél veel ) knikkertjes op een spijker zonder afwijking zou laten vallen komt dit er dus uit er dus een perfecte normaalverdeling uit. Het kan zo zijn dat de spijkers, het bord en de knikkertjes niet geheel zonder afwijkingen zijn. Dat betekent dat de wiskundige kansberekening niet perfect toepasbaar is op het bord, maar dat het bord licht afwijkende resultaten zal produceren (55/45 voor één spijker levert een andere verdeling in de bakjes).

Het is daarna natuurlijk wel weer mogelijk om de wiskundige theorie aan te passen, maar dan beschrijf je dus in feite een afwijkend bord en niet een geïdealiseerd Galton-bord.

[ Voor 10% gewijzigd door Eelke Spaak op 17-10-2003 23:47 . Reden: LD's commentaar :) ]

[Anoniem: 95089]

Vladimir, dat is eigenlijk precies wat ik bedoel. N.i.c.k. gaat er dan vanuit, dat de wiskunde de realiteit tegenspreekt, maar dat is niet juist, want de wiskunde is in dit geval niet gelijk aan de realiteit en daar dus ook niet op toepasbaar.

In mijn ogen is dat dus de gemaakte denkfout.

[Anoniem: 17989]

Ha, dit is heel erg grappig.

Het apparaat dat je beschrijft in de openingspost bestaat. Het dient zelfs een heel leuk doel: laten zien hoe een normaalverdeling tot stand komt.

De normaalverdeling is een theoretisch concept dat voortkomt uit de combinatoriek. De verdeling beschrijft op een macro niveau op wat voor manier random processen plaatsvinden.

De verdeling wordt al model gebruikt voor veel processen in de werkelijkheid.

Om een voorstelling te maken hoe de normaalverdeling werkt:

We zeggen: lengte (van een persoon) is normaal verdeeld.

Daarmee bedoel je dat de manier waarop lengte is verdeeld in de bevolking een bepaalde vorm heeft.

Bij de normaal verdeling is deze (heel grof):

er zijn extreem weinig mensen die heel kort zijn.
er zijn weinig mensen die kort zijn.
de meeste mensen hebben een gemiddelde lengte.
er zijn weinig mensen die lang zijn.
er zijn extreem weinig mensen die heel lang zijn.


Dit is een grove versimplicering, want de normaalverdeling heeft een klokvormig verloop.

De normaalverdeling heeft 2 kengetallen. Om de verdeling te specificeren moet je het gemiddelde weten, en de standaard deviatie (een getal dat aangeeft hoeveel mensen verschillen)

Als je die getallen weet, stel gemiddelde lengte is 170cm, en de standaard deviatie is 10 cm, dan kun je theorietisch exact zeggen hoeveel mensen welke lengte hebben. In praktijk blijkt dat te kloppen.

Bv je kunt uitspraken doen als:

2.5 % van de mensen is langer dan 190cm

Het grappige is:

50% van de mensen is kleiner dan het gemiddelde.


Zie hier de overeenkomst met jouw bord:


Als je heel veel balletjes zou laten rollen, dan zul je een klok vormig figuur zien onstaan.

Daarbij geldt werderom: 50% van de balletje zit links van het midden en de andere helft rechts.

Check: http://www.stattucino.com/berrie/dsl/Galton.html


Dan zal ik antwoord proberen te geven op jouw vraag:

"Er zijn geen bepalende factoren meer in het spel, die uitmaken of de knikker naar links of naar rechts valt. En toch is die verdeling er ? "


Ik schreef: "De normaalverdeling is een theoretisch concept dat voortkomt uit de combinatoriek. De verdeling beschrijft op een macro niveau op wat voor manier random processen plaatsvinden"

Het is dus een macro theorie die niet de oorzaak van het vallen vaan een knikker naar links of naar rechts verklaard, de macro theorie beschrijft de uitkomsten van het experiment als geheel als een thoretisch gefundeerd concept.

[ Voor 17% gewijzigd door Anoniem: 17989 op 17-10-2003 21:47 ]

[Anoniem: 95089]

Anoniem: 17989 schreef op 17 October 2003 @ 21:40:
Als je heel veel balletjes zou laten rollen, dan zul je een klok vormig figuur zien onstaan.

Waarmee dus bedoeld wordt, dat als je onderaan de pyramide kijkt, de meeste knikkers uiteindelijk in het midden terecht zullen komen (let wel, in het theoretische perfecte geval) en vrijwel geen aan de rand indien de pyramide breed genoeg is(klokvormige kansverdeling). Dit vanwege gelijke kansen links/rechts.

[Lord Daemon]

Vladimir G. schreef op 17 October 2003 @ 20:59:
Dat hoeft helemaal niet. De uitspraak dat de wiskundige kansverdelingstheorie 50/50 als meest waarschijnlijke uitkomst voorspelt is juist. Als je oneindig veel (of in ieder geval héél veel ) knikkertjes op een spijker zonder afwijking zou laten vallen komt dit er dus uit. Het kan zo zijn dat de spijkers, het bord en de knikkertjes niet geheel zonder afwijkingen zijn. Dat betekent dat de wiskundige kansberekening niet perfect toepasbaar is op het bord, maar dat het bord licht afwijkende resultaten zal produceren (55/45).

De wiskundige theorie van kansen vertelt hoe je met kansen moet rekenen, en hoe je kansen kan toekennen aan bepaalde events gegeven de kansen op andere events. Wat de wiskundige theorie je nooit zal vertellen is wat de kans op iets is, zomaar uit het niets - precies op dezelfde manier dat de theorie van complexe functies je nooit zal vertellen welke functies je nodig hebt in je fysische theorie maar alleen hoe je er mee moet rekenen.

[Eelke Spaak]

Lord Daemon schreef op 17 October 2003 @ 22:50:
[...]
De wiskundige theorie van kansen vertelt hoe je met kansen moet rekenen, en hoe je kansen kan toekennen aan bepaalde events gegeven de kansen op andere events. Wat de wiskundige theorie je nooit zal vertellen is wat de kans op iets is, zomaar uit het niets - precies op dezelfde manier dat de theorie van complexe functies je nooit zal vertellen welke functies je nodig hebt in je fysische theorie maar alleen hoe je er mee moet rekenen.

De kans dat een knikker die op een spijker valt naar rechts (of naar links) valt wordt aangenomen 50% te zijn, en dat kan behoorlijk goed empirisch geverifiëerd worden. Op basis van deze aanname kan je de normaalverdeling voorspellen die onderaan het Galtonbord ontstaat. Dat was eigenlijk mijn punt; en dat stond fout in de post hierboven. Excuses .

[Anoniem: 18050]

wet van de grote getallen -> alles is relatief

[Eelke Spaak]

Anoniem: 18050 schreef op 17 October 2003 @ 23:55:
wet van de grote getallen -> alles is relatief

Leg eens uit?

[Lord Daemon]

Anoniem: 18050 schreef op 17 October 2003 @ 23:55:
wet van de grote getallen -> alles is relatief

Je bedoelt waarschijnlijk de wet van de grote aantallen, waar overigens ook nog twee versies van bestaan; maar wat het met relativiteit te maken heeft - ?

[Anoniem: 18050]

Vladimir G. schreef op 18 October 2003 @ 00:00:
Leg eens uit?

Jah je hebt gelijk, wet van de grote aantallen.
Wat het inhoudt is dat als n->oneindig gaat, het toch naar een 0,5 (p) kans gaat.
Dat wil ik er mee zeggen, als je blij kleinere getallen kijkt is het antwoord (de p) dus relatief.