wiskundige waarneming

[schizofreen]

Vandaag zat ik me in de les een beetje te vervelen tijdens wiskunde. Ik zat dus een beetje met mn grafische rekenmachientje te spelen en voerde wat onzinnige rekensommen uit om te laten lijken alsof ik toch seieus bezig was.

Toen ontdekte ik het volgende:

6^2 = 36
3 + 6 = 9 (die 3 en de 6 komen van het antwoord op 6^2)
6^3 = 216
2 + 1 + 6 = 9
6^4 = 1296
1 + 2 + 9 + 6 = 18
1+ 8 = 9
6^5 = 7776
7 + 7 + 7 + 6 = 27
2 + 7 = 9
6^6 = 46656
4 + 6 + 6 + 5 + 6 = 27
2 + 7 = 9
.
.
.
.
6^10 = 60466176
6 + 0 + 4 + 6 + 6 + 1 + 7 + 6 = 36
3 + 6 = 9


enz. enz. iig je snapt wat ik ontdekt heb.
Ben ik de eerste die dit verband heeft ontdekt? Is er dan een verklaarbare regelmaat voor dit fenomeen?


[ja, ik weet het, ik heb geen leven :)]

[Het]

is dat niet de truuk om uit te vinden dat een getal feelbaar is door 6? (zoals die kleine foefjes om te achterhalen of een getral deelbaar is door diie (de som van de getallen is ook deelbaar door drie, dus 333 = 3+3+3 = 9 is deelbaar door 3 en dus ook door 6)

[smerik]

Zeg meneer 'rekenwonder' heb je ook iets nuttigs te doen? Ik dacht dat die 2e fase slachtoffers het zo druk hadden? (maar niet heus)
Groeten van een ex-2efaseleerling

[Warbringer]

best cool gevonden, stap ermee naar een 1e graads wiskunde leraar. Die kan je misschien wat meer vertellen hierover.

[Verwijderd]

Effe een wiskundig bewijsje:

Zeg functie f(x) berekent de som van de afzonderlijke cijfers in x; dus f(18) = 1+8 = 9 en f(35) = 8 etc.

Dan geldt oa

voor a, b gehele getallen en a, b >= 0

I: f(a + b) = f(f(a) + f(b))
II: f(a x b) = f(a x f(b))
III: f(9 x a) = 9

We bewijzen nu dat f(6^n) = 9 voor n>=2

1. f(6^2) = f(36) = 3+6 = 9
2. Stel nu f(6^n) = 9, voor zekere n dan
geldt:

f(6^(n+1)) = f(6 x 6^n) = {gebruik II}
f(6 x f(6^n)) = {gebruik: f(6^n) = 9}
f(6 x 9) = {gebruik III} 9
3. Uit 1 en 2 volgt: f(6^n) = 9 voor n>=2

[Lord Daemon]

Da's een hele mooie, DiFool. Leuke inductie aan het einde

Zelf bedacht?

Lord Daemon

[Verwijderd]

Ja zelf bedacht;

Kan trouwens ook zonder inductie

voor n >= 0
f(6^(n+2)) = f(6^n * 36) =
f(6^n * f(36)) = f(6^n * 9) = 9

[Lord Daemon]

Eh, maar dan moet je toch nog steeds inductie toepassen?

Lord Daemon

[Verwijderd]

Waar dan

[Lord Daemon]

Nu heb je het bewezen voor n, n+1 en n+2, maar wanneer je het voor alle getallen wilt bewijzen (en dat wil je) zul je toch niet aan inductie ontkomen.

Lord Daemon

[Verwijderd]

Je kunt willekeurige n invullen vb

n = 36

f(6^38) = {Gebruik wiskunde }
f(6^36 * 36) = {II: f(a * b) = f(a * f(b))}
f(6^36 * f(36)) = {Gebruik f(36) = 9}
f(6^36 * 9) = {Gebruik III: f(9 * a) = 9}
9

n = 2001

f(6^2001) = f(6^1999 * 36) =
f(6^1999 * f(36)) = f(6^1999 * 9) = 9

Maw nergens in de afleiding gebruik ik inductie, alleen II, III, en wat wiskunde , dus voor alle n >= 0 geldt:

f(6^(n+2)) = 9

[Verwijderd]

Nu het hier toch over wiskunde gaat kan dit probleem er ook meteen wel even bij:

Ik zat ook met mijn rekenmachine (een ouderwetse) te spelen en merkte dat als ik steeds maar op Cos bleef drukken dat het dan naar een bepaald getal convergeert. Welk getal is dit?

Dus wiskundig gezegd:

Zij a(0) = 0
a(n+1)= Cos(a(n))

Lim,n->oneindig a(n)= ???

Dit is trouwens hetzelfde probleem als:
Cos(x)=x

[Diadem]

Da's een hele mooie, DiFool. Leuke inductie aan het einde

Wat dacht je van iemand wiens naam begint met 'Di'?

Maar idd, een mooi bewijs.. Alleen je zou eigenlijk ook stelling I, II en III nog ff moeten bewijzen

[aatos]

sandalf dat heb ik ook ooit gemerkt (ik had ook tijd over op school).

maar er is meer

probeer eens vaak sinus/cosinus af te wisselen. je zal zien dat je uiteindelijk twee getallen krijgt die niet meer veranderen. (je rekenmachine moet wel op graden(degrees) staan)

cos/tan lukt ook.

sin/tan helaas niet.

maar bijvoorbeeld cos/faculteit ook.

ik zou wel graag een berekening van deze getallen willen zien (zonder vaak uitproberen)

[Het]

Er zijn heel veel van dit soort grappen... ,

Grappig... .het lijkt me logisch maar ik zie het ook niet zo 1, 2, 3. Als je kijkt naar een driehoek... nouja... als iemand beter weet

[Verwijderd]

Het enige wat ik kan bedenken voor cos(x) = x is Taylorontwikkeling gebruiken, dus dat

cos(x) = sommatie van de termen

(-1)^n * x^(2n)/(2n)!

Dan bij benadering:

x = cos(x) = 1 - x^2 / 2 + Rest

Dus bereken x zodat x^2 - 2x + 2 = 0
Oplossing: x = -1 + SQRT(3) of
x = -1 - SQRT(3)

Betere benadering

x = cos(x) = 1 - x^2 / 2 + x^4 / 24 + Rest

Dan x^4 - 12*x^2 - 24*x + 24 = 0

Ik ben effe kwijt hoe je zoiets oplost maar ik zie wel dat x en x^2 niet in Q zitten. Intuïtie zegt: dit wordt een lelijk getal.
Je kunt denk ik met een plaatje wel bewijzen, dat de limiet naar x gaat.

sin/cos afwisseling: Volgens mij ga je de cosinus nemen van een hele kleine hoek; dus de cosinus gaat dan 1 naderen.

Je hebt iig

cos(x) = y
sin(y) = x
Dus cos(sin(y)) = y

Met taylor kom je dan tot

y = 1 - (1/2)*sin^2 y + (1/24)*sin^4 y + Rest

Dus y is ongeveer 1: De sinussen werken niet echt mee.

Als het iemand boeit, wil ik wel I, II, III bewijzen, maar ik voel gewoon dat ze ok zijn, dat is toch genoeg

[aatos]

hmm ik heb net taylor gehad maar ik snap er geen ruk van..

over de sinus/cosinus afwisseling: als je het gewoon doet op een rekenmachine krijg voor y 0.99999995360882925082568429452716etc

niet 1 dus.. dat is wel vaag

maakt niet uit van welke kant je het benaderd met de rekenmachine.

en over cos(x)=x
dit is ook leuk.. als je het met de rekenmachine doet krijg je een getal met 20 decimalen ofzo, maar het loopt niet door. het is dus wel uit te drukken in decimalen. apart..

[Verwijderd]

schizofreen: Ben ik de eerste die dit verband heeft ontdekt?

Nee.

Is er dan een verklaarbare regelmaat voor dit fenomeen?

Ja, in 6^x met x>=2 zit een factor 9 en getallen die deelbaar zijn door 9 hebben de eigenschap dat de som van de cijfers van die getallen 9 is.

[Verwijderd]

Nou we toch bezig zijn met wiskunde: kan iemand een methode beschrijven om pi te bepalen

[Verwijderd]

eeehm
wacht ff
die staat ergens in mijn calculus dictaat
ik zal hem nog eens opzoeken

[Het]

daar ben ik ook naar op zoek indd... ik w8 met spanning

[sewer]

Voor pi: kijk eens op http://www.cs.unb.ca/~alopez-o/math-faq/node38.html

[Verwijderd]

Dat is toch gewoon de 9-proef om te controleren of je je vermenigvuldigingen goed gedaan hebt. Heb er nooit veel van begrepen hoe het werkt, maar het werkt zoals je al liet zien. Een van die rekenfoefjes van voor de calculator. Je vader kan er vast uren over vertellen.

[moeizaam]

Leuk !
Ik geloof dat de meeste die hier een reply geeft maar eens terug moet naar wiskundeles !!

Tja, ik was wel aardig in wiskunde, maar ...

laat maar, eigelijk !

[weeraanmelden]

dit is echt schitterend zeg, eerst zoek je een verband, en die heb je toch gevonden.

als je de wiskundige taal verder onderzoekt, blijkt het allemaal logisch samen te vallen.
meer logica dan bijvoorbeeld de nederlandse taal , waar uitzonderingen de regel vestigen.

daarom is wiskunde ook zo uniform, en wordt het gebruikt om te communiceren met buitenaardse levensvormen, als die er al zijn ( mijn inziens wel, maar dit terzijde)

wiskunde bestaat al zo lang, het heeft ook alle soorten beschaving overleefd.

[Varienaja]

0+1=1^1
1+3=2^2
4+5=3^3
9+7=4^4
16+9=5^5
25+11=6^6
36+13=7^7
...

Kortom: een kwadraat + een oneven getal levert steeds weer het volgende kwadraat. Mooie reeks he

[Verwijderd]

Ehm die truuk gebruik ik al sinds jaar en dag om gauw uit je hoofd te rekenen of en willekeurig getaal een priemgetal is.

Leuk voor op feestjes als je nog niet echt dronken bent.

Willekeurig getal: 341
deelbaar door twee (even)? Nee -> kan een priemgetal zijn
decimalen bij elkaar opgeteld 3,6 of 9? nee -> kan een priemgetal zijn
Eindigt hij op 5? nee -> kan een priemgetal zijn

wiskundig truukske:
wortel schatten:
SQRT(341)= ?
SQRT(100)= 10
SQRT(4) = 2
SQRT(100 * 4)=20 ~ SQRT(341)
test nu een deelroutine met alle priemgetallen oder de 20:
2,3,5,7,11,13,17,19 (de eerste 3 hebben we al gehad)

binnen 3 minuten heb ik meestal wel een antwoord, leuk voor mavo-neefjes en nichtjes.

[toraq]

Uhm, waarom doet iedereen zo moeilijk ?
Je kijkt naar die ontwikkeling, je ziet dat het voor alle n >= 2 geldt.
6 ^ 2 = 36, wat je ook als 4 * 9 kan schrijven.
Oftewel, alle opvolgende veelvouden van dit getal zijn uiteraard ook door 9 deelbaar.

[Fubaruba]

Pi

http://us.imdb.com/Title?0138704

deze film vinden jullie einsteins vast leuk (als je hem nog niet gezien hebt iig).
Hij is errug cult, maar wel supertof.

[Verwijderd]

Leuk hoor, deze ancient topic (haast nostalgie ), maar wat ik me afvraag is:

Dit was toch van voor de crash? Is alles weer helemaal terug dan?? Is er niets verloren gegaan?

[Verwijderd]

In de crash is ongeveer 3 maanden aan topics verdwenen geloof ik, maar de rest is gewoon behouden hoor

(Of ze al bezig zijn met die backup van Onno weet ik ook niet)

[Mx. Alba]

Op maandag 27 augustus 2001 01:37 schreef daFubar het volgende:
Pi

http://us.imdb.com/Title?0138704

deze film vinden jullie einsteins vast leuk (als je hem nog niet gezien hebt iig).
Hij is errug cult, maar wel supertof.

Ik heb de film niet gezien, maar is het niet zo dat ze in Pi een bericht vinden?

Omdat de decimalen van Pi totaal random zijn, kan je er alle mogelijke berichten in vinden. Als je Pi binair opschrijft, kan je er alle werken van Shakespeare ASCII-gecodeerd in terugvinden. En ook de hele Bijbel, in alle bestaande versies en vertalingen. Om maar eens wat te noemen.

Het zou pas een schokkende ontdekking zijn als bleek dat Pi _niet_ volledig willekeurig is.

[Verwijderd]

Op maandag 27 augustus 2001 17:56 schreef Reyn_Eaglestorm het volgende:
Omdat de decimalen van Pi totaal random zijn, kan je er alle mogelijke berichten in vinden. Als je Pi binair opschrijft, kan je er alle werken van Shakespeare ASCII-gecodeerd in terugvinden. En ook de hele Bijbel, in alle bestaande versies en vertalingen. Om maar eens wat te noemen.

Het zou pas een schokkende ontdekking zijn als bleek dat Pi _niet_ volledig willekeurig is.

[topic=213325/1/25] Gaat over de willekeurigheid van pi. Ga maar al vast zitten, want het wordt een schokkende ervaring