Hoe kan kunstmatige meetkunde de werkelijkheid beschrijven?

[GeeBee]

Ik ben er nu bijna door het boek Zen en de kunst van het motorounderhouden ik blijf nog met een vraag zitten.
Ik zal proberen om (ook voor mezelf ) de zaken op een rijtje te zetten:

Bij de opkomst van de natuurwetenschappen is waarneming altijd de drijfveer geweest om op ontdekking uit te gaan. Proberen een natuurkundige beschrijving te vinden van processen die je om je heen ziet en die in een dusdanig model te gieten dat het model aansluit bij de waarnemingen en bruikbaar is om berekeningen mee te kunnen doen.

Op een gegeven moment schrijft Pirsig in hoofdstuk 22 dat in het eerste kwart van de 19e eeuw Lobatsjeweski een meetkunde opstelde die klopte, maar strijdig was met het 5e postulaat van Euclides: door een punt zijn geen 2 evenwijdige lijnen te trekken.
In een poging om aan te tonen dat het 5e postulaat niet kon worden herleidt tot eenvoudiger axioma's, draaide Lobatsjeweski het postulaat om door te stellen dat door een punt wél 2 evenwijdige lijnen kunnen worden getrokken (een aanname die haaks staat op onze eigen waarneming). Vervolgens zette hij dus een meetkunde op die wel klopte maar strijdig was met de meetkunde van Euclides.

En later komt Riemann met een meetkunde zonder inwendige tegenspraak, maar die strijdig is met zowel de meetkunde van Lobatsjeweski én ook nog met het 1e axioma van Euclides: er gaat maar één rechte lijn door 2 punten.

Dan komt het: Pirsig schrijft dat volgens de relativiteitstheorie de meetkunde van Riemann de beste beschrijving is van onze werkelijkheid.

De vraag waar ik nu mee zit is:
Hoe kan de Riemann meetkunde die in mijn ogen kunstmatig is, het beste onze werkelijkheid beschrijven?
Met kunstmatig bedoel ik dat die meetkunde expres bedacht is door een deel van de bestaande Euclidische meetkunde om te draaien en niet ontstaan is uit waarnemingen.

Ik heb nog een goede 100 bladzijden te gaan en ik weet dus niet of Pirsig hier nog op terugkomt, maar de vraag houd me bezig.

[Verwijderd]

De euclidische meetkunde gaat niet op in de gekromde tijdsruimte van de ART - Nu weet ik niet wat de Riemann-meetkunde inhoudt, maar het zou me niets verbazen als die daar beter opgaat. Het eerste axioma van euclides blijft in de ART in ieder geval niet overeind..

[ Voor 18% gewijzigd door Verwijderd op 29-06-2003 20:54 ]

[Verwijderd]

heb overigens je titel aangepast om aan te geven waar dit topic werkelijk over gaat... Want in feite hebben we het niet over dat boek.

[MSalters]

CP, je gok is ook wat ik me herinner. Het is ook wat Google bevestigt: How does matter couple to space-time so that space-time becomes curved?

[Verwijderd]

Het is ook zo.

Riemannse meetkunde is de meetkunde van gekromde ruimten in het algemeen, waar bijvoorbeeld de Euclidische meetkunde en hyperbolische meetkunde bijzondere gevallen van zijn.

De ART gebruikt dan eigenlijk weer pseudo-Riemannse meetkunde, wat nog iets algemener is omdat je daar ook tijdachtige dimensies kunt hebben (met vectoren met negatieve lengte en meer van dat soort ongein).

Dat een wiskundige theorie die uitgevonden is om gekromde ruimtes te beschrijven ook van toepassing blijkt op een natuurkundige theorie (die gebaseerd is op een gekromde ruimte) vind ik niet heel verrassend. Waarom zou de natuurkunde altijd op de wiskunde vooruit moeten lopen?

edit:
De meetkunde van Riemann die blijkbaar in het boek bedoeld wordt is de bol-meetkunde, met constante positieve kromming. Dat is wat anders dan de Riemannse meetkunde in het algemeen; het is er een bijzonder geval van, en in het algemeen niet van toepassing in de ART. Verwarrend

[ Voor 18% gewijzigd door Verwijderd op 30-06-2003 00:43 ]

[Eelke Spaak]

De Euclidische meetkunde handelt in een vlakke tweedimensionale ruimte en Euclidische meetkunde wordt doorgaans gezien als de meetkunde die vlakke tweedimensionale ruimte - voor onze intuïtie - het best beschrijft. Je kan vlakke meetkunde het best zien als de beschrijving van een tafelblad of zo; in ieder geval iets plats.

De Duitse wiskundige Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) is één van de eersten (net als Lobatsjeweski, wiens meetkunde ik verder niet ken eigenlijk) die een niet-Euclidische meetkunde heeft ontworpen. De Gaussiaanse meetkunde is een meetkunde die ook tweedimensionale meetkunde beschrijft, maar dan niet vlak. Neem bijvoorbeeld het oppervlak van een bol. Dat oppervlak is tweedimensionaal, maar dan gekromd. Een 'punt' (let op de aanhalingstekens) in Gaussiaanse meetkunde op een bol is dan wat wij intuïtief eigenlijk twee bijbehorende punten zouden noemen: de punten die recht tegenover elkaar liggen op de bol. Een 'lijn' is een lijn over de bol die over de grootste omtrek heengaat en weer bij zichzelf uitkomt; een soort evenaar dus. Hieruit volgt bijvoorbeeld dat er geen evenwijdige 'lijnen' bestaan in Gaussiaanse meetkunde op een bol.

Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 - 1866) was een student van Gauss en hij is de architect van de Riemanniaanse meetkunde (duh). Riemann heeft de Gaussiaanse meetkunde verder geabstraheerd en hem zo omgevormd dat er willekeurig veel dimensies in kunnen worden beschreven, dit noemt men de Riemanniaanse meetkunde. De Gaussiaanse meetkunde is dus eigenlijk een speciale Riemanniaanse meetkunde. De Gaussiaanse beschrijving van kromming (zoals die van een tweedimensionaal vlak op een bol) bleef bewaard in de Riemanniaanse meetkunde, ook bij hogere dimensies. Dit is erg belangrijk geworden in Einsteins Algemene Relativiteitstheorie.

De ART stelt dat de ruimte waarin wij leven als een vierdimensionale ruimte-tijd te beschrijven is met behulp van een vierdimensionale Riemanniaanse meetkunde. Hierdoor komen effecten als zwaartekracht er mooi uitrollen als kromming van deze ruimte.

Zoals eigenlijk alles in de natuurkunde is de ART slechts een beschrijving van onze waarneming waarmee we voorspellingen kunnen doen. Hij pretendeert eigenlijk helemaal niks te zeggen over hoe de wereld echt is of waarom dingen gebeuren. Het enige wat de ART ons duidelijk maakt is dat dingen als zwaartekracht verdomde goed te beschrijven zijn door gebruik te maken van vierdimensionale Riemanniaanse meetkunde.

Meetkunde op zichzelf is een tak van wiskunde. Wiskunde is een wetenschap die zich compleet afspeelt buiten de werkelijkheid. De complete wiskunde is een vinding van mensen en een bouwwerk op fundamentele aannames. We kunnen de werkelijkheid niet beschrijven vanuit axioma's: in de werkelijkheid bestaan er geen 'punten'; die zijn gedefiniëerd door Euclides als 'dat wat geen lengte en breedte heeft' - wij zouden dat net zo goed 'niets' kunnen noemen. Daarom is het antwoord op de vraag "Hoe kan een kunstmatige meetkunde de werkelijkheid beschrijven?" eigenlijk: niet.

Edit: het boek "Einstein's legacy: The unity of space and time" van Julian Schwinger (in het Nederlands verschenen als "Einstein en daarna: De uitwerking van een geniale gedachte) is een aanrader op het gebied van beide relativiteitstheorieën. Het is opgezet als overwegend populair-wetenschappelijk, maar dat gaat niet ten koste van de correctheid. Overigens heeft dat wel tot gevolg dat er zeer veel wiskunde inzit (o.a. introducties tot Gaussiaanse en Riemanniaanse meetkunde en een complete deductie van de SRT uit zijn grondprincipes), maar dat is vast geen probleem.

[ Voor 13% gewijzigd door Eelke Spaak op 30-06-2003 01:04 ]

[GeeBee]

Verwijderd schreef op 30 June 2003 @ 00:36:Waarom zou de natuurkunde altijd op de wiskunde vooruit moeten lopen?

Misschien heb ik teveel het klassieke beeld in mijn hoofd van Newton die een nieuwe wiskunde nodig had (integraalrekenen) om een passend model te kunnen maken voor zijn waarnemingen...

[Lord Daemon]

GeeBee schreef op 29 June 2003 @ 20:35:
Hoe kan de Riemann meetkunde die in mijn ogen kunstmatig is, het beste onze werkelijkheid beschrijven?

Nu, dat is natuurlijk heel simpel: niet. Een wiskundige theorie kan de werkelijkheid helemaal niet beschrijven zonder hulp van buitenaf; en die hulp moet dan bestaan uit een interpretatie van de wiskundige termen zo dat ze toepasbaar worden op de werkelijkheid.

Een eerste opmerking vooraf: jij hebt het niet over de Riemannse meetkunde, maar over de meetkunde van Riemann. Helaas is dat niet hetzelfde; de eerste is een algemene theorie over gekromde oppervlakken, de tweede is de niet-Euclidische meetkunde waar jij het over wilt hebben.

Goed, wij hebben nu dus drie verschillende meetkundes: die van Euclides (waarbij voor elke lijn en elk punt niet op die lijn precies 1 lijn bestaat die door het punt gaat en de eerste lijn nergens snijdt), die van Lobachevsky en Bolyai (waar oneindig veel zulke lijnen bestaan) en die van Riemann (waar geen lijnen met die eigenschappen bestaan). Je kan bewijzen dat wanneer de Euclidische meetkunde consistent is, al deze meetkundes consistent zijn; en we geloven dat de Euclidische meetkunde consistent is, dus gaan we er vanuit dat ze dat allemaal zijn. De vraag welke van deze meetkundes de werkelijkheid beschrijft is op dit moment nog betekenisloos.

Zij wordt pas betekenisvol wanneer we de termen uit de theorie - punt, lijn, hoek, snijden, etcetera - gaan interpreteren als elementen van de fysische werkelijkheid. Zo zouden we bijvoorbeeld voor 'lijn' de betekenis 'mogelijk pad van een lichtstraal' kunnen kiezen, of 'mogelijk pad van een deeltje waar geen krachten op werken'. (Omdat er een maximale snelheid bestaat komt geen van deze beide overeen met wat je misschien intuitief onder een lijn zou verstaan, overigens.) Pas dan kunnen we met behulp van experimenten gaan bekijken of de axioma's van een van deze drie meetkundes onder die interpretatie ook daadwerkelijk opgaan. Zo zouden we lichtstralen een driehoek kunnen laten vormen, de hoeken opmeten, en kijken of het resultaat meer dan, minder dan of precies 180 graden is. Wat het geval is, is echter een experimenteel feit, en niet een a priori gegeven. Let wel, of een bepaalde meetkunde de werkelijkheid beschrijft is geen zinvolle vraag; of een bepaalde meetkunde met daaraan toegevoegd een bepaalde interpretatie de werkelijkheid beschrijft is dat wel.

Hier kleven nog allerlei problemen aan. Nemen we bijvoorbeeld de definitie dat het pad van een deeltje waar geen krachten op werken een rechte lijn is, dan wordt het ineens heel lastig om te bepalen of er krachten werken op een deeltje, of niet. In de algemene relativiteitstheorie, om maar eens iets te noemen, wordt zwaartekracht niet als een kracht gezien; er werken dus geen krachten op de aarde wanneer hij om de zon draait. De 'spiraal' in de 4d-ruimte die de aarde aflegt, zou dan dus een 'rechte lijn' zijn - geen wonder dat we tot de conclusie moeten komen dat de Euclidische meetkunde onder deze interpretatie niet geldt, en de ruimte gekromd is. Evengoed kan ik altijd vervormende en verstorende krachten invoeren zodat het Universum wel precies aan de Euclidische meetkunde voldoet. Er gaan dan ook wel stemmen op om te zeggen dat de geometrie van het Universum puur conventioneel is, en dus afhangt van de afspraken die wij maken. Zij zou dan geen objectief feit van de werkelijkheid zijn. Of dit vol te houden is weet ik eigenlijk niet.

Al met al gedragen ruimte en tijd zich in de twee relativiteitstheorieen zo raar, dat je maar beter niet al te veel op je intuities kan vertrouwen. Het is standaard om te zeggen dat de ruimte gekromd wordt door massa's, maar in hoeverre je je hier aan moet conformeren is niet volledig duidelijk. Zelfs de vraag of er eigenlijk wel een ruimte bestaat onafhankelijk van de objecten die erin zitten, is uiterst omstreden.

[ Voor 67% gewijzigd door Lord Daemon op 30-06-2003 14:17 ]

[Lord Daemon]

Vladimir G. schreef op 30 June 2003 @ 00:51:
De Euclidische meetkunde handelt in een vlakke tweedimensionale ruimte en Euclidische meetkunde wordt doorgaans gezien als de meetkunde die vlakke tweedimensionale ruimte - voor onze intuïtie - het best beschrijft. Je kan vlakke meetkunde het best zien als de beschrijving van een tafelblad of zo; in ieder geval iets plats.

De Euclidische meetkunde kan in willekeurig veel dimensies worden toegepast, niet slechts in twee. Als ik het me goed herinner is het zelfs het geval dat Euclides het ook in drie dimensies toepaste.

De Duitse wiskundige Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) is één van de eersten (net als Lobatsjeweski, wiens meetkunde ik verder niet ken eigenlijk) die een niet-Euclidische meetkunde heeft ontworpen. De Gaussiaanse meetkunde is een meetkunde die ook tweedimensionale meetkunde beschrijft, maar dan niet vlak. Neem bijvoorbeeld het oppervlak van een bol. Dat oppervlak is tweedimensionaal, maar dan gekromd. Een 'punt' (let op de aanhalingstekens) in Gaussiaanse meetkunde op een bol is dan wat wij intuïtief eigenlijk twee bijbehorende punten zouden noemen: de punten die recht tegenover elkaar liggen op de bol. Een 'lijn' is een lijn over de bol die over de grootste omtrek heengaat en weer bij zichzelf uitkomt; een soort evenaar dus. Hieruit volgt bijvoorbeeld dat er geen evenwijdige 'lijnen' bestaan in Gaussiaanse meetkunde op een bol.

Dit klopt niet, weet ik vrij zeker. Gauss heeft wel onafhankelijk van Bolyai en Lobachevsky ook hun meetkunde ontwikkeld (en verworpen, omdat hij het onzinnig vond), maar dat is niet wat jij hier beschrijft - jij beschrijft namelijk een model voor de meetkunde van Riemann, waarin geen parallellen bestaan. Wat Gauss wel heeft ontwikkelt is een wiskunde voor het beschrijven van 2-dimensionale gekrome oppervlakken, ingebed in een 3-dimensionale Euclidische ruimte. Dit is echter in principe geen nieuwe meetkunde, maar een wiskundige theorie die zich afspeelt binnen het kader van de Euclidische geometrie.

Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 - 1866) was een student van Gauss en hij is de architect van de Riemanniaanse meetkunde (duh). Riemann heeft de Gaussiaanse meetkunde verder geabstraheerd en hem zo omgevormd dat er willekeurig veel dimensies in kunnen worden beschreven, dit noemt men de Riemanniaanse meetkunde. De Gaussiaanse meetkunde is dus eigenlijk een speciale Riemanniaanse meetkunde. De Gaussiaanse beschrijving van kromming (zoals die van een tweedimensionaal vlak op een bol) bleef bewaard in de Riemanniaanse meetkunde, ook bij hogere dimensies. Dit is erg belangrijk geworden in Einsteins Algemene Relativiteitstheorie.

De Riemanniaanse meetkunde is een manier om gekromde oppervlakken te beschrijven, maar is daarmee niet een niet-Euclidische meetkunde. De meetkunde van Riemann, zie mijn vorige post, is dat wel. De Riemanniaanse meetkunde is immers nog altijd op te vatten als een manier om gekromde vlakken in een Euclidische ruimte te bestuderen. De Riemanniaanse meetkunde is perfect te gebruiken onafhankelijk van enige aanname omtrent de geometrie van de ruimte waarin de analyse zich afspeelt.

De ART stelt dat de ruimte waarin wij leven als een vierdimensionale ruimte-tijd te beschrijven is met behulp van een vierdimensionale Riemanniaanse meetkunde. Hierdoor komen effecten als zwaartekracht er mooi uitrollen als kromming van deze ruimte.

Ook in de Newtoniaanse fysica en de speciale relativiteitstheorie is de ruimte te beschrijven met behulp van een vierdimensionale Riemannse meetkunde, al is dat een nogal saaie beschrijving. (Let wel, heel veel aspecten van de ruimte - zoals het afstandsbegrip - liggen nog niet besloten in het gebruik van Riemannse meetkunde. Dat wordt er later aan toegevoegd.) Om zwaartekracht te verkrijgen moet men nog wel wat meer doen dan slechts overgaan om Riemanns analysemethode.

Zoals eigenlijk alles in de natuurkunde is de ART slechts een beschrijving van onze waarneming waarmee we voorspellingen kunnen doen. Hij pretendeert eigenlijk helemaal niks te zeggen over hoe de wereld echt is of waarom dingen gebeuren.

Dit is een visie - de instrumentalistische - op de status van natuurkundige theorieen, maar niet eentje die algemeen geaccepteerd wordt. Ik denk zelfs dat de instrumentalisten veruit in de minderheid zijn ten opzichte van de realisten - die stellen dat een fysische theorie ons wel iets vertelt over hoe de wereld echt is - dus het lijkt me nogal ongepast bovenstaande al vaststaande waarheid te verkondigen. (Het realismedebat is wellicht het meest belangrijke debat binnen de wetenschapsfilosofie, overigens.) Einstein, de bedenker van de ART, was bijvoorbeeld een echte realist. In ieder geval ligt in de theorie zelf niet besloten wat hij 'pretendeert te zeggen' - dat is opnieuw een interpretatiekwestie.

[GeeBee]

Beide heren bedankt voor de uitgebreide posten. Het is me een heel stuk duidelijker geworden. Voor het vervolg stel ik voor om het over meetkunde van Riemann te hebben (als zijnde niet-Euclidische) en niet over Riemanniaanse meetkunde.

Dat wiskunde op zich geen betekenis heeft, was me al wel duidelijk. Het komt op het gebruik er van aan om er betekenis aan te geven. Maar ik zie daarmee niet in waarom mijn vraag verkeerd zou zijn. Niet dat dat gezegd wordt, maar een vraag die gesteld wordt om duidelijkheid te krijgen die vervolgens met "niet" beantwoord wordt, is in mijn ogen toch een verkeerdere vraag. In elk geval stelde ik de vraag niet om eenvoudig met "niet" beantwoord te zien worden...

De meetkunde van Riemann heeft hulpmiddelen om de werkelijkheid te beschrijven. De meetkunde zélf is daarmee geen beschrijving van de werkelijkheid, maar de toepassing daarvan in de ART wel. Moet ik het zo zeggen?

Blijf ik (voorlopig) nog met één kleine vraag zitten: wat was er eerder, de ART of de meetkunde van Riemann?

[ Voor 9% gewijzigd door GeeBee op 30-06-2003 14:44 ]

[Verwijderd]

Vlad G

Hij pretendeert eigenlijk helemaal niks te zeggen over hoe de wereld echt is of waarom dingen gebeuren. Het enige wat de ART ons duidelijk maakt is dat dingen als zwaartekracht verdomde goed te beschrijven zijn door gebruik te maken van vierdimensionale Riemanniaanse meetkunde.

Dat begrijp ik niet zo. De ART zegt wel degelijk hoe de wereld echt is, namelijk dat hij de structuur heeft van een pseudo-Riemannse variëteit met wat velden erop en dat die velden gerelateerd zijn aan de metriek volgens de vergelijkingen van Einstein. Waarom zou er nog iets dieper daarachter moeten zijn, hoe de wereld "echt" is?

Hij vertelt je ook best waarom dingen gebeuren; wat hij je niet vertelt is waarom de wereld zo is als hij is. Dat is een vraag waar heel goed geen antwoord op zou kunnen zijn.


Lord Daemon

Nu, dat is natuurlijk heel simpel: niet. Een wiskundige theorie kan de werkelijkheid helemaal niet beschrijven zonder hulp van buitenaf; en die hulp moet dan bestaan uit een interpretatie van de wiskundige termen zo dat ze toepasbaar worden op de werkelijkheid.

Dat verplaatst het probleem natuurlijk naar: waarom is er een zinnige interpretatie van de Riemannse meetkunde waaronder hij de werkelijkheid beschrijft?

Evengoed kan ik altijd vervormende en verstorende krachten invoeren zodat het Universum wel precies aan de Euclidische meetkunde voldoet.

Dat werkt in ieder geval niet als het heelal een andere topologie heeft dan die van een Euclidische ruimte, lijkt me. Knappe kracht die me direct van de ene kant van het heelal naar de andere kan laten springen.

Zelfs de vraag of er eigenlijk wel een ruimte bestaat onafhankelijk van de objecten die erin zitten, is uiterst omstreden.

Eigenlijk moet dat wel, anders heb je geen verklaring voor traagheid. In de ART wordt de ruimtetijd gezien als een fysisch ding (dat zich ontwikkelt volgens de Einsteinvergelijkingen).

De Riemanniaanse meetkunde is een manier om gekromde oppervlakken te beschrijven, maar is daarmee niet een niet-Euclidische meetkunde. De meetkunde van Riemann, zie mijn vorige post, is dat wel. De Riemanniaanse meetkunde is immers nog altijd op te vatten als een manier om gekromde vlakken in een Euclidische ruimte te bestuderen.

Dat dat kan is trouwens pas in 1965 bewezen door Nash (dat mannetje van die film ja): je kunt elke Riemannse variëteit van dimensie N isometrisch inbedden in een Euclidische ruimte (van hoogstens dimensie N(N+3)/2, schijnt het).

Als je een ruimte inbedt in een Euclidische ruimte, kan die ruimte zelf best nog niet-Euclidisch zijn. Het "Euclidisch" slaat op de meetkunde in de ruimte zelf, niet op de meetkunde in de ruimte waarin je hem inbedt.

De Riemanniaanse meetkunde is perfect te gebruiken onafhankelijk van enige aanname omtrent de geometrie van de ruimte waarin de analyse zich afspeelt.

Sterker nog: zo'n ruimte wordt normaal gesproken helemaal niet gebruikt. De Riemannse meetkunde gaat over intrinsieke eigenschappen van een ruimte; als je wilt kun je die ruimte opvatten als deelverzameling van een andere ruimte, maar meestal is daar geen reden toe. Er hoeft geen ruimte te zijn waarin "de analyse zich afspeelt".

[Verwijderd]

GeeBee schreef op 30 June 2003 @ 14:39:
Beide heren bedankt voor de uitgebreide posten. Het is me een heel stuk duidelijker geworden. Voor het vervolg stel ik voor om het over meetkunde van Riemann te hebben (als zijnde niet-Euclidische) en niet over Riemanniaanse meetkunde.

Maar de meetkunde van Riemann is nu juist (i.h.a.) niet toepasbaar op de ART.

Blijf ik (voorlopig) nog met één kleine vraag zitten: wat was er eerder, de ART of de meetkunde van Riemann?

De meetkunde van Riemann en de Riemannse meetkunde zijn ergens in de 19e eeuw ontdekt, de ART stamt uit 1915.

Trouwens, ik lees hier net bij het surfen dat het voor pseudo-Riemannse variëteiten (zoals je die in de ART tegenkomt) nog veel moeilijker is ze isometrisch in te bedden in een ruimte met "vlakke" metriek dan voor Riemannse.

Het blijkt dat je elk "universum" met 1 tijddimensie en 3 ruimtedimensies isometrisch kunt inbedden in iets met hoogstens 90 (negentig) dimensies waarvan hoogstens 3 (drie) tijddimensies.

Moraal van het verhaal: het is echt beter de ruimtetijd te zien als intrinsiek gekromd in plaats van als onderdeel van een andere ruimte.

[GeeBee]

Verwijderd schreef op 30 juni 2003 @ 15:32:
[...]
Maar de meetkunde van Riemann is nu juist (i.h.a.) niet toepasbaar op de ART.
[...]

Pardon? Daar was ik dit topic nou juist mee gestart. Pirsig schrijft dat volgens de RT (ik neem aan dat hij de ART bedoelt) de meetkunde van Riemann de werkelijkheid waarin wij leven het beste beschrijft.

Of misschien beter gezegd: ...er het beste mee beschreven kan worden.

[Verwijderd]

De meetkunde van Riemann is te zien als een bijzonder geval van de Riemannse meetkunde, namelijk als de kromming positief is en overal hetzelfde, zodat je als het ware meetkunde doet op het oppervlak van een bol.

In de ART is dat niet zo, de kromming van de ruimte kan positief zijn of negatief of nul; volgens mij denkt men tegenwoordig in de kosmologie dat hij op grote schaal nul is of kleiner. (Dat kon Pirsig niet weten, maar hij wist ook zeker niet dat de kromming wel positief was; als het zo is, is het bovendien niet precies zo)

Nu ja, het komt erop neer dat de meetkunde van Riemann niet precies klopt en dat het er een beetje van afhangt wat bedoeld wordt met "het beste beschrijft"; de een of andere vorm van Riemannse meetkunde klopt in de ART wel altijd.

[ Voor 4% gewijzigd door Verwijderd op 30-06-2003 16:28 ]

[Verwijderd]

@Rex

Dat werkt in ieder geval niet als het heelal een andere topologie heeft dan die van een Euclidische ruimte, lijkt me. Knappe kracht die me direct van de ene kant van het heelal naar de andere kan laten springen.

Je kan ook gecompactificieerde Euclidische ruimtes hebben. Cylinder oppervlakten hebben namelijk gewoon de Euclidische metriek. Je komt pas echt in de problemen als je wormholes tegen gaat komen. Dan zou het wel eens zo kunnen zijn dat zo'n ruimte niet vlak te praten is, maar dat weet ik nog ff helemaal niet zeker. (ik denk er nog over na)

[Eelke Spaak]

Lord Daemon schreef op 30 June 2003 @ 14:31:
[...]
De Euclidische meetkunde kan in willekeurig veel dimensies worden toegepast, niet slechts in twee. Als ik het me goed herinner is het zelfs het geval dat Euclides het ook in drie dimensies toepaste.

Dat klopt inderdaad. Wat ik met mijn uitleg echter wilde bereiken is dat de vormen van meetkunde logisch uit elkaar volgen; beginnen met Euclides en dan via Gauss naar Riemann komen. Dit kwam het beste uit de verf door de vlakke meetkunde eerst te nemen. Ik was wat onzorgvuldig deze samen te laten vallen met Euclidische meetkunde natuurlijk...

[...]
Dit klopt niet, weet ik vrij zeker. Gauss heeft wel onafhankelijk van Bolyai en Lobachevsky ook hun meetkunde ontwikkeld (en verworpen, omdat hij het onzinnig vond), maar dat is niet wat jij hier beschrijft - jij beschrijft namelijk een model voor de meetkunde van Riemann, waarin geen parallellen bestaan. Wat Gauss wel heeft ontwikkelt is een wiskunde voor het beschrijven van 2-dimensionale gekrome oppervlakken, ingebed in een 3-dimensionale Euclidische ruimte. Dit is echter in principe geen nieuwe meetkunde, maar een wiskundige theorie die zich afspeelt binnen het kader van de Euclidische geometrie.

De Gaussiaanse meetkunde die 2-dimensionale gekromde oppervlakken beschrijft bedoelde ik ook; en één van de implicaties die een kromming over een bol heeft voor lijnen in deze meetkunde is dat er geen parallellen bestaan op het 2-dimensionale vlak van deze bol.

Of Gaussiaanse meetkunde nu een 'wiskunde die zich binnen 3-dimensionale Euclidische ruimte afspeelt' is of een nieuwe meetkunde maakt weinig uit. De meetkunde die je gebruikt beschrijft (zoals Rex al zei) de ruimte waarin je zelf bezig bent en niet de ruimte waarin deze ruimte eigenlijk in is ingebed.

[...]
De Riemanniaanse meetkunde is een manier om gekromde oppervlakken te beschrijven, maar is daarmee niet een niet-Euclidische meetkunde. De meetkunde van Riemann, zie mijn vorige post, is dat wel. De Riemanniaanse meetkunde is immers nog altijd op te vatten als een manier om gekromde vlakken in een Euclidische ruimte te bestuderen. De Riemanniaanse meetkunde is perfect te gebruiken onafhankelijk van enige aanname omtrent de geometrie van de ruimte waarin de analyse zich afspeelt.

Ik ken het verschil tussen Riemmannse meetkunde en meetkunde van Riemann niet echt (waar ik mijn info van heb rept met geen woord over een verschil), dus kan je me misschien wat bronnen geven? Dank.

[instrumentalisme-realisme blaat]

Ik was in de veronderstelling dat veruit de meeste natuurkundigen de instrumentalistische visie aanhingen; kennelijk is dat dus niet zo. Mijn excuses hievoor. Misschien een leuk idee voor een nieuw topic?

[Verwijderd]

Vlad G

Het onderscheid tussen "meetkunde van Riemann" en "Riemannse meetkunde" wordt volgens mij normaal niet gebruikt; de verwarring komt ervandaan dat Riemann ooit een soort meetkunde bedacht die anders was dan de Euclidische en die van Lobachevski/Bolyai (die je kunt zien als meetkunde op een bol, maar het hoeft niet), en later (neem ik aan) de algemene theorie van gekromde ruimten ontwikkelde, die men de "Riemannse meetkunde" is gaan noemen.

Trias

Je kan ook gecompactificieerde Euclidische ruimtes hebben. Cylinder oppervlakten hebben namelijk gewoon de Euclidische metriek.

OK, heel waar; maar ze voldoen niet aan de Euclidische meetkunde (en dat was waar het om ging). Op een cilinder zijn er parallelle lijnen die elkaar snijden.

edit:
dat dacht ik even, maar het is niet waar natuurlijk; wat wel zo is is dat lijnen elkaar meerdere keren kunnen snijden, dus er kan niet aan alle axioma's van Euclides voldaan zijn

Je komt pas echt in de problemen als je wormholes tegen gaat komen. Dan zou het wel eens zo kunnen zijn dat zo'n ruimte niet vlak te praten is, maar dat weet ik nog ff helemaal niet zeker. (ik denk er nog over na)

Volgens mij gaat het al fout bij:

- een S^3 - topologie van de ruimte (driedimensionale bol), als in een gesloten heelal. (of is dat te maken door in R^3 handig te plakken? moeilijk voor te stellen)

- een doodgewoon zwart gat (in de singulariteit) (geweldige tijden zijn dit, dat een mens zomaar de woorden "doodgewoon zwart gat" kan gebruiken)

[ Voor 36% gewijzigd door Verwijderd op 30-06-2003 21:41 ]

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op 30 June 2003 @ 21:15:

Volgens mij gaat het al fout bij:

- een S^3 - topologie van de ruimte (driedimensionale bol), als in een gesloten heelal. (of is dat te maken door in R^3 handig te plakken? moeilijk voor te stellen)

- een doodgewoon zwart gat (in de singulariteit) (geweldige tijden zijn dit, dat een mens zomaar de woorden "doodgewoon zwart gat" kan gebruiken)

Je kan een 3-dimensionaleruimte compactificeren met behoudt van de euclidische metriek. Het is gewoon een kwestie van de "juiste" randjes aan elkaar plakken. (dit is alleen heel moeilijk voor te stellen als je de ruimte ingebed denkt. Als ik het goed heb moetje een gecompactificeerd 3D ruimte ingebed zien in de R⁶. Stel je daar nog maar wat bij voor!)

Het mooiste voorbeeld van een 2D gecompactificeerde ruimte vind ik nog altijd het speelveld van veel oude computerspelletjes, waarbij je als je aan de ene kant van het scherm af liep je er aan de tegenover gestelde kant weer terug kwam. Hierbij is namelijk heel makelijk in te zien, dat de euclidische metriek gewoon behouden blijft. Dit idee is in principe heel makkelijk te generaliseren naar n dimensies.

En over het zwarte gat. Men is het er nog niet over eens of er wel een singulariteit is. De verwachting van de meesten is dat deze verdwijnt in een quantum gravitatie theorie. Anderzijds maakt het niemand echt wat uit, aangezien je prinipieel toch nooit mee te maken krijgt. (in ieder geval niet zonder het zwarte gat in te duiken)

[ Voor 13% gewijzigd door Verwijderd op 01-07-2003 12:39 ]

[Lord Daemon]

Verwijderd schreef op 30 June 2003 @ 15:05:
Dat werkt in ieder geval niet als het heelal een andere topologie heeft dan die van een Euclidische ruimte, lijkt me. Knappe kracht die me direct van de ene kant van het heelal naar de andere kan laten springen.

Daar heb je gelijk in; voor globale topologische afwijkingen heb je geen vervormende krachten nodig, maar kom je een heel eind met periodieke randcondities. Het is bijvoorbeeld niet mogelijk een experimenteel verschil te maken tussen leven op een cylinder, en leven in een plat vlak met oneindig veel identieke werelden naast elkaar. (Periodieke randcondities, dus.)

Eigenlijk moet dat wel, anders heb je geen verklaring voor traagheid. In de ART wordt de ruimtetijd gezien als een fysisch ding (dat zich ontwikkelt volgens de Einsteinvergelijkingen).

Nou, dat lijkt me eigenlijk niet! Ik citeer uit Einsteins "The foundations of the General Theory of Relativity" (Engelse vertaling van zijn artikel waarin hij de ART voor het eerst in de uiteindelijke vorm uit de doeken deed):

That this requirement of general co-variance, which takes away from space and time the last remnant of physical objectivity, ...

(Mijn cursivering.) Het is nu juist een van de belangrijkste redenen van Einstein om de ART op te stellen dat hij de ruimtetijd niet als een fysisch ding wil zien. Of het in de ART mogelijk is om dit toch te doen is een vraag waar over gediscussieerd wordt; het bekende 'hole argument' bijvoorbeeld, dat de laatste decennia uitgebreid is besproken, probeert te laten zien dat de prijs hiervoor te hoog is (omdat het tot radicaal indeterminisme leidt). Je hoort mij niet zeggen dat je de tijdruimte niet als fysisch ding kan zien, maar het is zeker niet het geval dat dit geeist wordt door de theorie, en in ieder geval onder filosofen van de natuurkunde is het denk ik meer in zwang om het niet te doen.

Als je een ruimte inbedt in een Euclidische ruimte, kan die ruimte zelf best nog niet-Euclidisch zijn. Het "Euclidisch" slaat op de meetkunde in de ruimte zelf, niet op de meetkunde in de ruimte waarin je hem inbedt.

Dit lijkt me een taalspelletje. Mijn punt is dat de analysemethode van Riemann zowel toepasbaar is binnen modellen waar de Euclidische meetkunde niet geldt, als binnen modellen waar hij wel geldt; en dat er zelfs met elk model van de eerste soort een model van de tweede soort correspondeert. Het gebruik van de analysemethode impliceert dus nog geen keuze voor een bepaalde geometrie.

Sterker nog: zo'n ruimte wordt normaal gesproken helemaal niet gebruikt. De Riemannse meetkunde gaat over intrinsieke eigenschappen van een ruimte; als je wilt kun je die ruimte opvatten als deelverzameling van een andere ruimte, maar meestal is daar geen reden toe. Er hoeft geen ruimte te zijn waarin "de analyse zich afspeelt".

Ik snap niet helemaal wat je bedoelt met 'De Riemannse meetkunde gaat over intrinsieke eigenschappen van een ruimte' en dan tegelijk 'Er hoeft geen ruimte te zijn waarin "de analyse zich afspeelt"'? Hoe kan je spreken over een ruimte zonder te spreken over een ruimte? (Of dacht je dat ik bedoelde dat de geanalyseerde ruimte altijd ingebed moet zijn in een andere? Dat wilde ik namelijk niet suggereren. )

[Lord Daemon]

Vladimir G. schreef op 30 June 2003 @ 20:01:
Ik ken het verschil tussen Riemmannse meetkunde en meetkunde van Riemann niet echt (waar ik mijn info van heb rept met geen woord over een verschil), dus kan je me misschien wat bronnen geven? Dank.

Mijn bron (jawel, waarom meer bronnen als je er al 1 hebt? ) is het dictaat "Grondslagen van Ruimte- en Tijdtheorieen", waarvan het relevante gedeelte geschreven is door prof. D. Dieks, Universiteit Utrecht.

Ik was in de veronderstelling dat veruit de meeste natuurkundigen de instrumentalistische visie aanhingen; kennelijk is dat dus niet zo. Mijn excuses hievoor. Misschien een leuk idee voor een nieuw topic?

Ik ben zelf in de veronderstelling dat er bijna geen natuurkundigen zijn die de instrumentalistische visie aanhangen. Als je er een topic over maakt zal ik zeker langs komen.

[Verwijderd]

Trias

Je kan een 3-dimensionaleruimte compactificeren met behoudt van de euclidische metriek. Het is gewoon een kwestie van de "juiste" randjes aan elkaar plakken.

Maar kan het ook op zo'n manier dat je bijvoorbeeld een boloppervlak krijgt?

In 2D kan het in ieder geval door eerst twee kanten van een vierkant aan elkaar te plakken, en dan de andere twee kanten ieder tot één punt in te laten storten. Ik weet niet of dat nog als Euclidische ruimte telt, en je "corrigerende" krachten zullen ook wel oneindig moeten worden.

Het mooiste voorbeeld van een 2D gecompactificeerde ruimte vind ik nog altijd het speelveld van veel oude computerspelletjes, waarbij je als je aan de ene kant van het scherm af liep je er aan de tegenover gestelde kant weer terug kwam.

Inderdaad, maar op zo'n manier krijg je alleen torussen. Pac-man, Asteroids en Final Fantasy spelen zich bijvoorbeeld allemaal af op een 2D vlakke torus (iets wat ik vooral in het geval van Final Fantasy nooit erg realistisch heb gevonden).

En over het zwarte gat. Men is het er nog niet over eens of er wel een singulariteit is. De verwachting van de meesten is dat deze verdwijnt in een quantum gravitatie theorie.

Maar we hadden het over de ART, niet over de quantumzwaartekracht.

Anderzijds maakt het niemand echt wat uit, aangezien je prinipieel toch nooit mee te maken krijgt.

De mensen buiten niet, nee. Maar een theorie moet alles beschrijven wat er gebeurt, ook als je het van buiten niet ziet.


Lord Daemon

Daar heb je gelijk in; voor globale topologische afwijkingen heb je geen vervormende krachten nodig, maar kom je een heel eind met periodieke randcondities.

Volgens mij kom je inderdaad een heel eind, maar niet ver genoeg. Probeer maar eens met periodieke randcondities een roterend zwart gat met ringvormige singulariteit te maken (misschien kan het, ik weet het niet). Of een Einstein-Rosenbrug. Of een roterend Goedel-universum (inclusief gesloten tijdachtige krommen). Of een zich afsplitsend baby-heelal.

Dit is trouwens wél een voorbeeld van een overbodige oneindigheid aan universa die met Occams kettingzaag geslacht kan worden.

Bovendien was de claim dat de Euclidische meetkunde nog zou gelden. Als je wilt vermijden dat twee lijnen elkaar oneindig vaak kunnen snijden, moet je zeggen dat het dan eigenlijk allemaal verschillende lijnen zijn; maar dat moet je dan ook zeggen van de oneindig veel kopieën van jezelf. Ik weet niet of ik het dan nog wel dezelfde theorie vind, al heb je gelijk dat hij niet experimenteel te onderscheiden is.

In het eerder genoemde geval van Pac-man bijvoorbeeld zou het dan een andere Pac-man zijn die de rest van je pilletjes opeet. Dan heb je niet zelf het level gehaald en kun je niet verder naar het volgende!

En hoe weet je dat je niet in een heel ander Nederland terechtkomt als je een keer rond de wereld reist?

Of het in de ART mogelijk is om dit toch te doen is een vraag waar over gediscussieerd wordt; het bekende 'hole argument' bijvoorbeeld, dat de laatste decennia uitgebreid is besproken, probeert te laten zien dat de prijs hiervoor te hoog is (omdat het tot radicaal indeterminisme leidt).

Ik moet toegeven dat ik alhoewel ik van het hole-argument gehoord had, er nooit goed naar had gekeken. Maar ik geloof niet dat ik met ruimtetijd als fysisch "ding" hetzelfde probeer te zeggen als het "manifold substantivalism" waarop het hole-argument van toepassing is. (Bovendien komt het niet heel overtuigend op me over, ik moet er nog eens goed over denken)

Met "ruimtetijd is een fysisch ding" bedoel ik: de ruimtetijd beïnvloedt hoe materie zich gedraagt, materie beïnvloedt hoe de ruimtetijd zich gedraagt, de ruimtetijd beïnvloedt zelfs zichzelf (Einsteinvergelijkingen zijn niet-lineair). Het lijkt me erg voor de hand liggen een zwaartekrachtsgolf of een zwart gat op te vatten als een fysische entiteit, in plaats van een handige manier om over afstanden tussen deeltjes te praten o.i.d. .

In de klassieke mechanica en SRT gaat dit beeld niet op: daar heeft de ruimtetijd geen invloed op materie, en kun je er zinnig over praten of het dan een soort absolute achtergrond is of iets wat alleen betekenis heeft als relatie tussen deeltjes.

Je kunt sowieso de ruimte niet als helemaal relationeel zien in de ART: kijk maar naar het argument met de rondzwaaiende emmertjes, of de tweelingparadox. Snelheid is relatief, versnelling is absoluut. Men hoopte dat de ART dit soort dingen zou verklaren door een vorm van het principe van Mach, door te zeggen dat het komt door de relatie van het emmertje of de tweeling met de "vaste sterren", maar dat blijkt in het algemeen niet te lukken.

Mijn punt is dat de analysemethode van Riemann zowel toepasbaar is binnen modellen waar de Euclidische meetkunde niet geldt, als binnen modellen waar hij wel geldt

Helemaal waar (maar in alle modellen behalve een volmaakt vlakke ruimte zal hij niet gelden; alle gevallen waar je de Riemannse meetkunde nuttig kunt toepassen zijn niet-Euclidisch).

Of dacht je dat ik bedoelde dat de geanalyseerde ruimte altijd ingebed moet zijn in een andere? Dat wilde ik namelijk niet suggereren.

Dat dacht ik inderdaad; je leek te beweren dat een niet-Euclidische ruimte ingebed in een Euclidische ruimte toch weer Euclidisch is. Je kunt de meetkunde van die niet-Euclidische ruimte dan zien als zijnde voortgebracht door de Euclidische meetkunde van de hem bevattende ruimte, maar dat maakt hem nog niet niet niet-Euclidisch.

Maar goed, je hebt gelijk, het gaat alleen nog over terminologie, en ruziën over terminologie is nooit fijn.