Wiskundige vraag

[Anoniem: 54090]

Dit bericht post ik n.a.v. een vraag van mijn vader. Voor zijn werk moest hij de integraal hebben van e^(1/x). Ik kwam er zelf niet uit en heb het vervolgens aan een aantal Delfste studenten gevraagd (Lucht&Ruimtevaart techniek). Zij zijn nu inmiddels al een kwartier bezig en komen er ook niet uit. ....

Wie weet kan iemand met een wiskundeknobbel mij hier helpen.

Dus, de integraal van e^(1/x)

Alvast bedankt. PS. Ik weet dat dit hier eigenlijk niet thuishoort.

[Anoniem: 61738]

Ik weet dat de integraal van e^x = e^x+c, maar voor e^(1/x) zou ik het niet direct weten.
Misschien met een substitutiemethode?
bijvoorbeeld: stel: t= 1/x , maar dan is dt=ln(x)dx en daar zijn we ook niks mee.
hmm wat hebben we nog?..... partiële integratie, numerieke integratie...
Ik zal het is bekijken

[Anoniem: 80315]

e^(1/x) heeft denk ik geen primitieve. Er is volgens mij geen functie die e^(1/x) als afgeleide heeft (als je de afgeleide van e^(eenfunctievanx) neemt, krijg je nog een term met x erin voor de e-macht, als gevolg van de kettingregel).

ander geval:

e^(x^2) heeft ook geen primitieve, want dan ontbreekt er ergens een 2x...

[ Voor 17% gewijzigd door Anoniem: 80315 op 22-05-2003 17:26 ]

[Anoniem: 63393]

never mind... denk nog even na.

[ Voor 87% gewijzigd door Anoniem: 63393 op 22-05-2003 17:24 ]

[Anoniem: 80315]

doe maar ja, want dat was het niet zie mijn vorige post

[Anoniem: 63393]

Dacht dat het ging om de integraal van e^x. Ik had kunnen weten dat die studenten daar ook wel uit waren gekomen

Kan Mathematica dit niet oplossen?

[Anoniem: 29081]

Even mierenneuken: je bedoelt een primitieve, de integraal is de oppervlakte (onder de grafiek, over een bepaald interval). Die bestaat in ieder geval voor elke continue functie, alleen als er geen primtieve van de functie bestaat kun je die integraal doorgaans slechts (numeriek) benaderen.

Maar goed, ontopic: helaas, een primieve van e^1/x bestaat niet. In principe kun je e^{(x^a)} alleen primitiveren als a van de vorm 1/n is (met n een positief natuurlijk getal), terwijl je nu a = -1 hebt.

[Sjeik]

Daar is http://integrals.wolfram.com/index.en.cgi voor uitgevonden

ff e^(1/x) invullen en je krijgt een heel raar antwoord... Iets met ExpIntegralEi ofzo. Zal wel net zoiets zijn als i (wortel van min 1).

Maar hij doet het vaak wel, dan is ie dus wel handig!

[slager]

Maple zegt:

code:

x*exp(1/x) + Ei(1,-1/x)

Maar wat die laatste term voorstelt zou ik dus niet weten ...

[PhysicsRules]

kzou zeggen:

exp(1/x) = som(1/n!*x^(-n)) , met n=0 tot oo

dus de primitieve van exp(1/x) = som((-n+1)/n!*x^(-n+1)) + c
=x*som((-n+1)/n!*x^(-n)) + c
=x*som(1/n!*x^(-n)) +x*som((-n)/n!*x^(-n)) + c
=x*exp(1/x) + x*som((-1/(n-1)!*x^(-n)) + c


Waarmee we meteen weten wat Ei(1,-1/x) is

Waarbij moet worden opgemerkt dat n van 0 tot oo loopt, dus (n-1)! ook (-1)! is. Dus niet goed gedefinieerd.

[XippIX]

PhysicsRules schreef op 22 May 2003 @ 20:48:
kzou zeggen:

exp(1/x) = som(1/n!*x^(-n)) , met n=0 tot oo

dus de primitieve van exp(1/x) = som((-n+1)/n!*x^(-n+1)) + c
=x*som((-n+1)/n!*x^(-n)) + c
=x*som(1/n!*x^(-n)) +x*som((-n)/n!*x^(-n)) + c
=x*exp(1/x) + x*som((-1/(n-1)!*x^(-n)) + c


Waarmee we meteen weten wat Ei(1,-1/x) is

Waarbij moet worden opgemerkt dat n van 0 tot oo loopt, dus (n-1)! ook (-1)! is. Dus niet goed gedefinieerd.

zoiets had ik ook ingedachten, alleen het is niet helemaal zeker of dit:
=x*exp(1/x) + x*som((-1/(n-1)!*x^(-n)) + c

wel juist is. Waar haal je som((-1/(n-1)!*x^(-n)) + c vandaan? beetje onduidelijk voor mij

edit:

zie ook: http://www.wisfaq.nl/fram....asp?categorie=Integreren

[ Voor 8% gewijzigd door XippIX op 22-05-2003 21:06 ]

[BLACK SPIDER NL]

174,3666666666 is het antwoord

[ Voor 153% gewijzigd door BLACK SPIDER NL op 22-05-2003 21:17 ]

[Speedfight]

Damn idd daar zit een fout in, ik had eerst ook 174,124.......

[ Voor 84% gewijzigd door Speedfight op 22-05-2003 21:18 ]

[BLACK SPIDER NL]

Na veel rekenen kom ik toch steeds op die 174,36666 uit. Ik heb het al 10x uitgerekend, maar soms doe ik het zelfde, en is het anders

[XippIX]

mm vreemd ik kom toch op een ander antwoord uit, zie mijn post hierboven, en zie mijn url die ik heb gepost

en leg eff uit hoe je eraan komt plz

[PhysicsRules]

XippIX schreef op 22 mei 2003 @ 21:01:
[...]




zoiets had ik ook ingedachten, alleen het is niet helemaal zeker of dit:
=x*exp(1/x) + x*som((-1/(n-1)!*x^(-n)) + c

wel juist is. Waar haal je som((-1/(n-1)!*x^(-n)) + c vandaan? beetje onduidelijk voor mij

edit:

zie ook: http://www.wisfaq.nl/fram....asp?categorie=Integreren

(-n+1)/n! = 1/n! + -n/n! = -1/(n-1)!

En natuurlijk is de som van een som gelijk aan de som van een som

[ Voor 8% gewijzigd door PhysicsRules op 22-05-2003 21:26 ]

[XippIX]

ik ben dom bezig hehe

maar het juiste antwoord kom ik toch zo niet achter, daar kan ik je dus niet verder mee helpen helaas.

[Anoniem: 61738]

Hoe kan je nu een getal uitkomen??
Het gaat hier toch om een onbepaalde integraal en heeft dus geen grenzen...

[G33rt]

Anoniem: 61738 schreef op 22 May 2003 @ 21:55:
Hoe kan je nu een getal uitkomen??
Het gaat hier toch om een onbepaalde integraal en heeft dus geen grenzen...

goeie vraag. Maar om even te antwoorden: en emacht heeft zichzelf maal de afgeleide van zijn exponent als afgeleide.

[e^(1/x)]' = [e^(x^-1)]' = [x^-1] * e^(1/x) = -x^-2 * e^(1/x) = -1/x^2 * e^(1/x) =

( -e^(1/x) )/x^2

alsjeblieft

[Anoniem: 29081]

G33rt schreef op 22 May 2003 @ 22:48:
goeie vraag. Maar om even te antwoorden: en emacht heeft zichzelf maal de afgeleide van zijn exponent als afgeleide.
[e^(1/x)]' = [e^(x^-1)]' = [x^-1] * e^(1/x) = -x^-2 * e^(1/x) = -1/x^2 * e^(1/x) =
( -e^(1/x) )/x^2
alsjeblieft

Het ging om het integreren van e^1/x, niet differentiëren

[_the_crow_]

Is het niet: F(x)=-x²*e^1/x

Als je die weer gaat differentieren krijg je:
f(x)=-x²*e^1/x*-x^-2 (afgeleide 1/x)
f(x)=e^1/x

Ik kom wel op een negatieve uitkomst uit een integraal. Als ik van 1 tot 5 reken.
Zal dus vast niet goed zijn.

[ Voor 91% gewijzigd door _the_crow_ op 23-05-2003 10:08 ]

[Diadem]

Ik heb nog nooit gehoord van ei[x] moet ik bekennen.

Ik ken wel erfi[x], dat is de integraal van 2/Sqrt[Pi] * Exp[x^2]

Tsja. Iig is het dus niet zomaar integreerbaar.

Tayloren en integreren kan wel natuurlijk

[G33rt]

Anoniem: 29081 schreef op 22 May 2003 @ 23:10:
[...]
Het ging om het integreren van e^1/x, niet differentiëren

oeps... nou dan is lukt ie ook wel. De afgeleide van 1/x is -1/x^2. Dus zet je dat ervoor

f(x) = e^(1/x)

F(x) = 1/[1/x]' * e^(1/x) =

1/-1/x^2 * e ^(1/x) = -x^2 * e^(1/x)

controle:

differentieer 1/x, dat is -1/x^2. Zet dat ervoor en je hebt het origineel

[Glock]

_the_crow_ schreef op 23 May 2003 @ 10:03:
Is het niet: F(x)=-x²*e^1/x

Als je die weer gaat differentieren krijg je:
f(x)=-x²*e^1/x*-x^-2 (afgeleide 1/x)
f(x)=e^1/x

Ik kom wel op een negatieve uitkomst uit een integraal. Als ik van 1 tot 5 reken.
Zal dus vast niet goed zijn.

je pakt de afgeleidde verkeerd je krijgt nml een product regel

de afgeleidde van -x²*e^1/x is:
(-2x + 1) * e^(1/x)

[Glock]

G33rt schreef op 23 mei 2003 @ 10:12:
[...]

oeps... nou dan is lukt ie ook wel. De afgeleide van 1/x is -1/x^2. Dus zet je dat ervoor

f(x) = e^(1/x)

F(x) = 1/[1/x]' * e^(1/x) =

1/-1/x^2 * e ^(1/x) = -x^2 * e^(1/x)

controle:

differentieer 1/x, dat is -1/x^2. Zet dat ervoor en je hebt het origineel

dit mag niet compenseren mag alleen als de compensatie geen x'en bevat, ga maar differienteren, komt niet e^(1/x) uit (net zoals _the_crow ben je vergeten dat je de productregel moet gebruiken.

[edit]
In principe valt e^(1/x) dus niet te differientieren. Maar het doel is natuurlijk om oppervlakte uit te rekenen. Is er niet een mogelijkheid om de oppervlakte van de y-as om te rekenen tot de oppervlakte van de x-as??

y = e^(1/x)
x = 1/(ln x)

Moet alleen de primitieve daarvan nog ff uitrekenen Heb hem nog niet maar hij is zekers mogelijk. (Wolfram geeft btw de volgende primitieve: log |x| / ln)
log |x| staat gelijk aan ln |x| / ln 10. En krijg je dus: ln |x| / (ln 10 * ln)
ik heb alleen geen flauw idee waar de ln zonder waarde voor staat......
Iemand anders??

[ Voor 43% gewijzigd door Glock op 23-05-2003 10:34 ]

[_the_crow_]

edit:
Laat maar....zinloze poging om dit probleem op te lossen!

[ Voor 88% gewijzigd door _the_crow_ op 23-05-2003 10:20 ]

[Opi]

Pweh, hadden de LR-studenten dus eik wel gelijk.
Alleen jammer dat je waarschijnlijk een kleine fout overhoudt wanneer je met de Taylorpolynoom aan de slag gaat.

[Anoniem: 29081]

G33rt schreef op 23 May 2003 @ 10:12:
oeps... nou dan is lukt ie ook wel. De afgeleide van 1/x is -1/x^2. Dus zet je dat ervoor

f(x) = e^(1/x)

F(x) = 1/[1/x]' * e^(1/x) =

1/-1/x^2 * e ^(1/x) = -x^2 * e^(1/x)

controle:

differentieer 1/x, dat is -1/x^2. Zet dat ervoor en je hebt het origineel

Helaas, weer fout
Jouw antwoord is hetzelfde als dat van the_crow, maar als je -x² * e^1/x differentieert krijg je wat Glock ook al zei: (-2x-1)e^1/x.

Er bestaat geen functie waarvan e^1/x de afgeleide is.. écht niet.

[Zoijar]

OpifexMaximus schreef op 23 May 2003 @ 10:40:
Pweh, hadden de LR-studenten dus eik wel gelijk.
Alleen jammer dat je waarschijnlijk een kleine fout overhoudt wanneer je met de Taylorpolynoom aan de slag gaat.

Hoeft niet hoor, alleen als je numeriek een eindig aantal termen uit gaat rekenen. Maar dan nog kan je het zo precies krijgen als je wilt. Je moet niet denken dat "som x^n/n!" een benadering van e^x is, het IS echt e^x. (waar je wel even op moet letten is je convergentie gebied)

Primitieve van x^x mensen? hehe

[ Voor 5% gewijzigd door Zoijar op 23-05-2003 11:38 ]

[Glock]

Voor degene die het misschien nog niet geloven dat er geen primitieve voor e^(1/x) bestaat, hier is het bewijs:

de primitieve zou een vorm moeten hebben van (ax^2 + bx + c) e^(1/x)
ga je dit differientieren krijg je:
(2ax + b - a - b/x - c/(x^2)) e^(1/x)

hieruit volgt dat (2ax + b - a - b/x - c/(x^2)) als antwoord 1 zou moeten hebben om de originele functie te krijgen. alle x-en moeten dus verdwijnen, dat betekend dat zowal a, b en c nul moeten zijn en het totaal antwoord van (2ax + b - a - b/x - c/(x^2)) is dan dus ook nul. conclusie: er bestaat geen primitieven van e^(1/x)

Bij deze wil dus alle mogelijke antwoorden van een primitieve meteen afkeuren en voorstellen naar het zoeken van een omweg

[Opi]

Zoijar schreef op 23 mei 2003 @ 11:37:
[...]


Hoeft niet hoor, alleen als je numeriek een eindig aantal termen uit gaat rekenen. Maar dan nog kan je het zo precies krijgen als je wilt. Je moet niet denken dat "som x^n/n!" een benadering van e^x is, het IS echt e^x. (waar je wel even op moet letten is je convergentie gebied)

Dat klopt ook wel, maar indien men de integraal wil bepalen zal men toch een bepaalde fout moeten accepteren aangezien men niet oneindig veel termen kan berekenen.

[Edit]

Glock schreef op 23 May 2003 @ 11:39:
de primitieve zou een vorm moeten hebben van (ax^2 + bx + c) e^(1/x)

Waarom?

[ Voor 16% gewijzigd door Opi op 23-05-2003 11:44 ]

[Zoijar]

Glock schreef op 23 mei 2003 @ 11:39:
Voor degene die het misschien nog niet geloven dat er geen primitieve voor e^(1/x) bestaat, hier is het bewijs:

de primitieve zou een vorm moeten hebben van (ax^2 + bx + c) e^(1/x)
ga je dit differientieren krijg je:
(2ax + b - a - b/x - c/(x^2)) e^(1/x)

hieruit volgt dat (2ax + b - a - b/x - c/(x^2)) als antwoord 1 zou moeten hebben om de originele functie te krijgen. alle x-en moeten dus verdwijnen, dat betekend dat zowal a, b en c nul moeten zijn en het totaal antwoord van (2ax + b - a - b/x - c/(x^2)) is dan dus ook nul. conclusie: er bestaat geen primitieven van e^(1/x)

Bij deze wil dus alle mogelijke antwoorden van een primitieve meteen afkeuren en voorstellen naar het zoeken van een omweg

Er bestaat dus wel degelijk een primitieve aangezien de functie mooi uniform continu is enzo. (buiten 0 dan) Die primitieve is zelfs al gegeven een aantal posts hoger. Dat we voor die reeks geen naam hebben wil niet zeggen dat het geen functie is. Neem als voorbeeld even "ln" de natuurlijke logaritme, we hebben (som x^n/n) gewoon de naam "ln" gegeven. Zo kunnen we bovenstaande reeks ook de naam "Ei" geven. "Ei" is dan dus een "nieuwe" functie.

Ik vind dat je die eerste aanname in je bewijs wel even toe mag lichten trouwens hoor. Je stelt zo maar even dat de primitieve van een bepaalde vorm moet zijn, waarom zou het niet van een andere vorm kunnen zijn? (wat hij dus is)

[G33rt]

Anoniem: 29081 schreef op 23 May 2003 @ 11:23:
[...]
Helaas, weer fout
Jouw antwoord is hetzelfde als dat van the_crow, maar als je -x² * e^1/x differentieert krijg je wat Glock ook al zei: (-2x-1)e^1/x.

Er bestaat geen functie waarvan e^1/x de afgeleide is.. écht niet.

nee inderdaad niet, omdat als je 1/x hebt je altijd een kwadraat zou krijgen bij afleiden (en dus omgekeerd bij integreren), en als je die afleid klopt het niet meer

[Glock]

Zoijar schreef op 23 mei 2003 @ 11:45:
[...]


Er bestaat dus wel degelijk een primitieve aangezien de functie mooi uniform continu is enzo. (buiten 0 dan) Die primitieve is zelfs al gegeven een aantal posts hoger. Dat we voor die reeks geen naam hebben wil niet zeggen dat het geen functie is. Neem als voorbeeld even "ln" de natuurlijke logaritme, we hebben (som x^n/n) gewoon de naam "ln" gegeven. Zo kunnen we bovenstaande reeks ook de naam "Ei" geven. "Ei" is dan dus een "nieuwe" functie.

Ik vind dat je die eerste aanname in je bewijs wel even toe mag lichten trouwens hoor. Je stelt zo maar even dat de primitieve van een bepaalde vorm moet zijn, waarom zou het niet van een andere vorm kunnen zijn? (wat hij dus is)

ten eerste beredeneer ik dus alleen vanuit bestaande wiskundige functies. Ei of dergelijke is een tot dusver onbepaalde reeks.

De aanname dat de primitieve die vorm die ik gegeven heb moet zijn heb ik geleerd met wiskunde Het is nml zo dat bij een g(x) * E^f(x) waarbij de f(x) geen hogere macht heeft als 1 of lager als 0 dat g(x) van de zelfde macht blijft. Dit is nml te bewijzen door te gaan differientieren met de productregel. Wanneer f(x) dus een macht -1 heeft maakt de productregel dit zo dat er bij het differientieren de macht van g(x) aangevult word tot de absolute macht van f'(x) tot de macht van f'(x) (waarbij deze laatste later moet zijn als de macht van g(x).

Het is misschien een beetje warboel taaltje hierboven, maar ik vind het lastig om dit exact in regels uit te drukken Het komt er dus op neer dat de primitieve van de functie in de vorm (ax^2 + bx + c + dx^-1 + hx^-2) e^(1/x) moet zijn.

En ik merk nu ik dit typ dat ik de macht -1 en -2 ben vergeten. Ik zal hem in bovenstaande vorm wel even opnieuw uitwerken

edit:
Ik heb hem hier dus even opnieuw uitgewerkt conclusie biljft dus hetzelfde, je krijgt weer een onmogelijke functie om gelijk te stellen aan 1.

[ Voor 7% gewijzigd door Glock op 23-05-2003 12:01 ]

[Zoijar]

Ik snap niet helemaal wat je precies bedoeld. Maar keer je nu niet iets om? Volgens mij heb jij een bewijs in je hoofd dat als je een functie van een bepaalde vorm hebt er een primitieve bestaat van een bepaalde vorm. Maar dat mag je niet omkeren in een stelling dat er geen primitieve bestaat. Misschien bestaat er namelijk wel een van een andere vorm.

[Glock]

Zoijar schreef op 23 mei 2003 @ 12:11:
Ik snap niet helemaal wat je precies bedoeld. Maar keer je nu niet iets om? Volgens mij heb jij een bewijs in je hoofd dat als je een functie van een bepaalde vorm hebt er een primitieve bestaat van een bepaalde vorm. Maar dat mag je niet omkeren in een stelling dat er geen primitieve bestaat. Misschien bestaat er namelijk wel een van een andere vorm.

nee, het is gewoon een kwestie van kijken naar de functie en dan kijken welke machten er zouden kunnen voorkomen in de primitieve. Die voeg je toe aan een primitieve en zet ze allemaal neer met onbekende hoeveelheid. Dat ga je dan differientieren en dan ga je je onbekenden berekenen zodat het past in de functie. Dit is een methode die je gebruikt na het hanteren van substitutie regel etc. Waarvan we onderhand weten dat dat allemaal niet opgaat en ik heb zojuist duidelijk proberen te maken dat naast al die trucjes geen 'standaard/normale' primitieve bestaat.

Dus als toevoeging op eerdere conclusies bestaat een standaard/normale primitieve ook niet van dus functie dus bestaat er helemaal geen primitieve van binnen onze huidige wiskunde.

[Zoijar]

En waarom zou er dan niet iets kunnen zijn vol met bv. sin, atan, cosh, ln, exp, etc waarbij de andere factoren elkaar toevallig precies opheffen?

Je begint met dit:

Het is nml zo dat bij een g(x) * E^f(x) waarbij de f(x) geen hogere macht heeft als 1 of lager als 0 dat ...

Maar bij exp(x^-1) heet x toch een lagere macht als 0, nl. -1? Dan mag je dus geen conclusies uit die stelling gebruiken meer.
Wat jij volgens mij doet is een truckje om de primitieve van g(x)*E^f(x) te vinden uit te breiden naar exp(1/x) en dan te zeggen "dat uitbreiden gaat niet", om vervolgens te concluderen dat er dan wel geen primitieve zal zijn.

(ik wordt ook net wakker... maar klinkt voor mij als een vals bewijs )

[ Voor 67% gewijzigd door Zoijar op 23-05-2003 12:32 ]

[Glock]

Zoijar schreef op 23 May 2003 @ 12:24:
En waarom zou er dan niet iets kunnen zijn vol met bv. sin, atan, cosh, ln, exp, etc waarbij de andere factoren elkaar toevallig precies opheffen?

je houdt altijd wel een + 1 over of dergelijke omdat het een vermenigvuldiging of deling moet wezen om het tot de factor e^(1/x) te houden. En het lukt simpelweg gewoon niet bij deze functie om iets weg te delen tot 0 of in het meest uitzonderlijke geval een 1 en -1 naast elkaar te hebben omdat je dan een vorm krijgt van 0/f(x) of omgekeerd.
Dit kan ik niet wiskundig aantonen maar dit kan je zelf wel redelijk logisch nagaan.

[edit]
zoals ik al zei vind ik het best lastig uit te drukken, maar klopt wel (ook al verwoord ik het misschien verkeerd) ik zal wel kijken of ik er een stukje over kan vinden in m'n boek.

[edit2]
nog niet gevonden maar ffies kleine toevoeging:
je hebt de functie, ga aan de hand van de functie welke machten van x in een eventuele primitieve kunnen voorkomen. Noteer deze met een onbedenkde hoeveelheid. ga de verkregen functie g(x) * e^f(X) differientieren en gij zult zien dat het onmogelijk is om op de originele functie uit te komen welk getal je ook invult voor alle onbekenden.

[ Voor 33% gewijzigd door Glock op 23-05-2003 12:40 ]

[GeeBee]

Oftewel: we kunnen aan de slag gaan met numerieke benaderingen.
Maar dan hebben we wel een bepaalde integraal nodig.
Dan blijft misschien alleen de vraag over welke numerieke methode het snelste een bruikbaar antwoord oplevert... meer niet.