De formule van de wortel !!!

[Verwijderd]

Beste mensen,

Ik zit mij alk zeer geruime tijd af te vragen en af te zoeken wat de exacte formule is om te komen tot de wortel van een getal. Aangezien ik aardig wat geprogrammeerd heb, kwam ik zodoende op deze vraagstelling.
In een rekenmachine moet een dergelijke formule zijn gestored.
Hoe weet een rekenmachine dat de wortel uit 17 bijvoorbeeld 4,1231056256176605498214098559741 is.
Graag hoop ik dat iemand mij deze, in eerste instantie gemakkelijke berekening, in formule verband kan uitleggen.
Heel gemakklijk is het om 4 x 4 te doen, resluterend in 16. Maar hoe kun je nou vanuit die 16 terugredeneren wat de wortel daarvan is. Heeft het met een exponentieel verband te maken?


Met vriendelijke groet,


Machiel

[Canaria]

Lang geleden. Het heeft te maken met numerieke wiskunde en polynomen in de vorm a x² + b x³ + c x⁴ + d x⁵ enz.
Maar er is vast wel iemand die het nog wel precies weet.

[ Voor 12% gewijzigd door Canaria op 19-05-2003 21:48 ]

[twit]

uhm bedoel je niet gewoon ^0.5 ???? 9 ^0.5 =3. 16^0.5 is 4 ...

[Verwijderd]

Twit,

Wat is het ^ in deze formule. Uit de macht..

[ Voor 18% gewijzigd door Verwijderd op 19-05-2003 22:01 ]

[Yoozer]

En waar reken je dat dan mee uit? Nee, twit, dit is van de tijd voordat mensen rekenmachines of zelfs rekenlinialen hadden. Ik heb zo het idee dat er een truukje is om de grafiek van y=x^2 met een list zodanig te kantelen dat een x-waarde (voormalige y) een y oplevert die de wortel van x is.

Even googlen levert dit op : http://www.math.toronto.e...ionCorner/sqrootcalc.html wat in feite een gerichte iteratie is totdat je 't goed hebt .

Verwijderd schreef op 19 May 2003 @ 21:59:
Twit,

Wat is het ^ in deze formule

"Tot de macht" op een TI-8n rekenmachine

[ Voor 18% gewijzigd door Yoozer op 19-05-2003 21:59 ]

[Verwijderd]

Ok dat is me duidelijk, veel gewerkt met de Texas Instrument 30I.

[Sjeik]

Een truukje om de wortel van 2 te benaderen is...

a_n = (a_n-1+(2/a_n-1))/2 met a₀ = 1

Deze grapjes zullen er ook vast wel zijn voor andere wortels... maar ik zou niet weten welke.

[Verwijderd]

Als je de wortel van x wilt berekenen, begin je bijvoorbeeld met y = x, en dan doe je een aantal keer:

y = (y + x/y)/2

En dan heb je na een paar keer wel een aardige benadering voor wortel(x).

[Lord Daemon]

En voor getallen in de buurt van 1 is de volgende Taylor-benadering geldig:

Sqrt(x) = 1 + 1/2 x - 1/8 x^2 + 1/16 x^3 - 5/128 x^4 + ...

[Pooh]

leuke methode: worteltrekken op papier:

code:

              | 03. 00 00 00 00 00 |    1.732
     1 x 1    |  1 
     ------------------------------------------- 
 (+) 1        |  2  00 
     2. x .   | 
     27 x 7   |  1  89 (-)
     ------------------------------------------- 
 (+)  7       |     11 00 
     34. x .  | 
     343 x 3  |     10 29 (-)
     -------------------------------------------   
 (+)   3      |        71 00
     346. x . | 
     3462 x 2 |        69 24

(opschrijven in groepjes van 2. Op de puntjes (.) steeds hetzelfde getal invullen, zo hoog mogelijk (als in staartdeling), rest wijst zichzelf denk ik)

[ Voor 38% gewijzigd door Pooh op 20-05-2003 15:05 ]

[Dido]

Poohbear schreef op 20 mei 2003 @ 13:31:
leuke methode: worteltrekken op papier:

code:

         | 03. 00 00 00 00 00 |    1.732
1 x 1    |  1 
------------------------------------------- 
1        |  2  00 
2. x .   | 
27 x 7   |  1  89 
------------------------------------------- 
 7       |     11 00 
34. x .  | 
343 x 3  |     10 29
-------------------------------------------   
  3      |        71 00
346. x . | 
3462 x 2 |        69 24

Waarschijnlijk een heel domme vraag: waar komen die 2, 34 en 346 vandaan in de linkerkolom?

[Canaria]

Lord Daemon schreef op 20 May 2003 @ 00:58:
En voor getallen in de buurt van 1 is de volgende Taylor-benadering geldig:

Sqrt(x) = 1 + 1/2 x - 1/8 x^2 + 1/16 x^3 - 5/128 x^4 + ...

Ja, dit is dus de exacte versie van wat ik bedoelde!
Taylor-benadering klinkt ook nog wel bekend.

[RobIII]

Ask Dr. Math
Meer info onderaan de pagina...

How do you get a square root without a calculator? What is the square root of 7 to 5 decimal places?
____________________

In order to do this, you have to learn a square root algorithm. Get
out a piece of paper and a pencil. I hope that I can explain it well
enough just using words.

First, write down the decimal 7.00000000 and mark off pairs of digits
starting from the decimal point. This gives you 7.00'00'00'00'...

To start, guess at the square root of 7. The nearest integer(without
going over) is 2. Now set the thing up like a long division.
2 divides into 7 2 times. 2 x 2 = 4. Subtract that from 7 which
leaves 3 and bring down the next two digits.

Now comes the part that's different from division. The answer showing
so far is 2. Double that and use the 4 as the first digit of a new
divisor. Whatever goes in the one's place must also go up in the
answer. In other words, the question is: forty something goes into
300 how many times?. The answer is 6. Forty-six times six = 276.
Subtract that from 300 leaving 24.

Bring down the next two zeros. Double what's in the answer (double
26). Use 52 as the first two digits in a new divisor and the question
becomes five hundred and twenty something divides into twenty-four
hundred how many times? The answer is 4. 4 times 524 = 2096.

Subtract from 2400. Bring down two more zeros. Double the answer and
leave an empty digit and so on and so forth.

You can keep going forever. So now, you know you are smarter than a
calculator!

Once you see how this goes, it's not that hard. If you want a hard
one, try the algorithm for finding a cube root (I don't know it).
Hope that you can follow this.

[ Voor 89% gewijzigd door RobIII op 20-05-2003 14:38 ]

[Pooh]

Dido schreef op 20 May 2003 @ 14:29:
[...]

Waarschijnlijk een heel domme vraag: waar komen die 2, 34 en 346 vandaan in de linkerkolom?

'k Heb even plusjes (+) voor en minnetjes (-) achter de getallen gezet die respectievelijk moeten worden opgeteld en afgetrokken bij/van het bovenstaande getal.

Het Dr. Math algoritme is helaas fout. Het getal moet niet verdubbeld worden, maar de laatste factor moet erbij worden opgeteld.

[ Voor 17% gewijzigd door Pooh op 20-05-2003 15:09 ]

[Dido]

Poohbear schreef op 20 May 2003 @ 15:06:
'k Heb even plusjes (+) voor en minnetjes (-) achter de getallen gezet die respectievelijk moeten worden opgeteld en afgetrokken bij/van het bovenstaande getal.

Het Dr. Math algoritme is helaas fout. Het getal moet niet verdubbeld worden, maar de laatste factor moet erbij worden opgeteld.

Ik zie hem

Maar volgens my heeft Dr.Math ook gelijk, want hij doet precies hetzelfde: Jij zet een drie achter je getal en telt die er nog eens bij op, Dr.Math zet die 3 in de oplossing en vermenigvuldigt die oplossing steeds met twee: da's hetzelfde

Let wel: hij neemt de oplossing die hij met 2 vermenigvuldigt, dat doe jij ook, alleen tel jij gewoon wteeds twee maal ieder nieuw dee van de oplossing erbij op

[Pooh]

Dido schreef op 20 May 2003 @ 15:28:
[...]

Ik zie hem

Maar volgens my heeft Dr.Math ook gelijk, want hij doet precies hetzelfde: Jij zet een drie achter je getal en telt die er nog eens bij op, Dr.Math zet die 3 in de oplossing en vermenigvuldigt die oplossing steeds met twee: da's hetzelfde

Let wel: hij neemt de oplossing die hij met 2 vermenigvuldigt, dat doe jij ook, alleen tel jij gewoon wteeds twee maal ieder nieuw dee van de oplossing erbij op

Ik lees niet goed denk ik. 'k Zal thuis zijn methode maar eens doorwerken.

't Staat er toch echt:

Double what's in the answer (double 26). Use 52 as the first two digits in a new divisor

Volgens mij moet je daar 26+6 = 32 als de eerste 2 digits gebruiken. (edit: Niet dus, ik let niet op)

[ Voor 48% gewijzigd door Pooh op 20-05-2003 15:59 ]

[RobIII]

Poohbear schreef op 20 mei 2003 @ 15:33:
[...]


Ik lees niet goed denk ik. 'k Zal thuis zijn methode maar eens doorwerken.

't Staat er toch echt:
[...]


Volgens mij moet je daar 26+6 = 32 als de eerste 2 digits gebruiken.

Als je het mij vraagt klopt zijn (=Dr. Math) uitkomst...

[ Voor 26% gewijzigd door RobIII op 20-05-2003 15:55 ]

[Pooh]

RobIII schreef op 20 mei 2003 @ 15:52:
[...]

Als je het mij vraagt klopt zijn (=Dr. Math) uitkomst...

Ik zie het al. Ik doe 46+6, hij doet 26 (de uitkomst zonder komma) * 2. Is precies 'tzelfde inderdaad.