[Wiskunde] Probleem

[Twilight Burn]

We hebben morgen (her)tentamen Wiskunde, en zijn nu met een stel een oud tentamen door aan het kijken, echter we hebben een som waar we niet uit komen:

Gegeven is dat n = 3 mod 4 (en n > 0). Laat zien dat n een priemdeler heeft (even tueel het getal n zelf) van de vorm 3 mod 4. Laat met behulp hiervan zien dat er oneindig veel priemgetallen van de vorm 3 mod 4 zijn.

[Rataplan]

Faq, kopje "huiswerkvragen": "Probeer te laten zien dat je zelf al hebt nagedacht over wat mogelijk het antwoord is." Ben benieuwd

3 mod 4 is bij mij trouwens altijd 3, want mod(ulo) geeft de rest van een deling van twee gehele getallen. Welke bewerking had je voor 'mod' op het oog? n=3+4x met x als natuurlijk getal?

[Verwijderd]

nou we hebben er dus wel degelijk zelf over nagedacht alleen we hebben er nix zinnigs over uitgekregen.

voor het laatste stuk hadden we dit verzonnen:

als je alle priemgetallen die je hebt met elkaar vermenigvuldigd en dan een getal q krijgt, dan krijg je een getal van de vorm q = 2 mod 4 of q = 0 mod 4. Als je dan doet een getal q+1 in het geval q = 2 mod 4, krijg je een getal van de vorm 3 mod 4 en dat getal is priem, voor q = 0 mod 4 dan q - 1 voor een priem getal van de vorm 3 mod 4

maar ja... q-1 hoeft niet te kloppen en dan klopt het hele bewijs al niet meer....

voor de rest een hele hoop geëxperimenteer maar niks zinnigs. Het bewijs zou moeten lijken op het bewijs dat er oneindig veel priemgetallen zijn, maar daarmee kom ik er persoonlijk ook niet

[Opi]

Aangezien er oneindig priemgetallen zijn en deze op 2 na allemaal oneven zijn, zou je kunnen beargumenteren dat de verzameling priemgetallen dat je met 3 (mod 4) uit de oneindige verzameling priemgetallen haalt, op zich ook oneindig is.

An sich is dit natuurlijk een bewijs waar nogal haken en ogen aan zitten, aangezien het net zo goed mogelijk is dat dit alleen voor 5 (mod 4) ipv 3 (mod 4) geldt. Maar ik hoop dat ik je hiermee wel op de goede weg heb kunnen helpen.

[Twilight Burn]

Dat het er oneindig zijn, hadden we al een beetje, alleen dat ELK getal n van de vorm n = 3 mod 4 een priemdeler van dezelfde vorm heeft, komen we niet echt uit.

[Verwijderd]

Twilight Burn schreef op 14 mei 2003 @ 15:43:
Gegeven is dat n = 3 mod 4 (en n > 0). Laat zien dat n een priemdeler heeft (eventueel het getal n zelf) van de vorm 3 mod 4.

n is te schrijven als product van priemgetallen. 2 is niet een van deze priemgetallen (want n is oneven), dus modulo 4 zijn die priemgetallen allemaal 1 of 3. Als ze allemaal 1 (mod 4) waren, zou n zelf ook 1 (mod 4) zijn, want als je 2 viervouden-plus-één vermenigvuldigt krijg je weer een viervoud-plus-één.