[Wis] Bewijzen van expressie

[Verwijderd]

Beste mensen,

Ik ben op zoek naar iemand die mij opweg kan helpen met het volgende probleem. Iedereen kent een functievoorschrift als deze:

f (x) = (ax + b)(cx + d)

deze functie is om te schrijven naar:

g (x) = ac x^2 + (ad + bc) x + bd

Ook is bij de meeste mensen onder jullie de abc-formule bekend. Het gaat mij in deze formule om de discriminant D. (normaal: b^2 - 4ac) Als ik gebruik blijf maken van de variabelen uit functie f(x) ziet deze discriminant er zo uit:

D = (ad + bc)^2 - 4ac * bd

Nu ben ik er achter gekomen dat D altijd gelijk of groter dan nul is. Ik krijg het echter niet voor elkaar om dit te bewijzen.

Heeft iemand een idee?

Alvast bedankt.

[Apache]

Als D negatief is zijn er geen zgn. "nulpunten" en als D nul is was er 1 nulpunt d8 ik.

Maar dat is al een tijdje geleden, daarom zal het je volgens mij ook niet lukken om te bewijzen dat D niet kleiner dan 0 kan zijn omdat het gewoon kan

[FreakR]

misschien een beetje te simpel: Een wortel van een negatief getal kan niet

[Solomon]

Fr3aKER schreef op 08 mei 2003 @ 22:19:
misschien een beetje te simpel: Een wortel van een negatief getal kan niet

Inderdaad.

[Knutselsmurf]

Door de manier van opschrijven (ax+b)(cx+d) heb je altijd 2 nulpunten, namelijk ax+b=0 en cx+d=0. Er zijn echter vormen te bedenken van ax²+bx+c die niet in eerder genoemde vorm te schrijven zijn. Een voorbeeld daarvan is x²+1=0. Deze heeft, als je niet naar complexe oplossingen kijkt, geen nulpunten.

[Verwijderd]

Een wortel trekken uit een negatief getal kan niet. Maar dat wil nog niet zeggen dat de discriminant nooit negatief kan zijn:

D = 4^2 - 4 * 2 *3
= -8

In dit geval heeft de parabool geen snijpunten met de x-as. Maar het gaat mij echter om deze vraag:

Bewijs het volgende:

D => (ad + bc)^2 - 4ac * bd

[ACM]

Fr3aKER schreef op 08 mei 2003 @ 22:19:
misschien een beetje te simpel: Een wortel van een negatief getal kan niet

Tuurlijk wel.

[Verwijderd]

Als je D verder uitschrijft kom je op

D = a^2d^2 + b^2c^2 - 2abcd.

Eerste twee termen zijn natuurlijk altijd groter dan 0.
Als 1 van de termen 0 is is D altijd =>0 omdat de laatste term wegvalt.
Als de variabelen tekens hebben zodanig dat -2abcd positief is heb je D>0.

Probleem is alleen als de tekens een -2abcd echt negatief is.
De oplossing moet zitten in het feit dat de kwadratische termen sneller groeien dan de minterm (uitgaande van een combinatie van tekens die iets negatiefs geeft voor de laatste term. Dit omdat je de situatie met 1 van de grootheden 0 kunt uitsluiten.

Dat D altijd groter is dan nul lijkt me dus ook, maar hoe je het moet bewijzen.
Getallen invullen zal wel niet voldoende zijn?

[Glimi]

Zie Knutselsmurf. Je verwarde me eerst, maar hij geeft de goede oplossing.
Bij ax +b == cx +d zal je D = 0 krijgen, bij alle anderen punten komt er simpelweg een D groter dan 0 uit

Maar ik zie nog steeds even niet in wat er P&W aan dit topic is. W&L misschien, maar ik vermoed dat ie daar direct op slot gaat

[edit] Ik laat hem hier toch lekker open Wordt nog goed op gereageerd, dus w'rom niet he

[ Voor 14% gewijzigd door Glimi op 08-05-2003 22:32 ]

[FreakR]

ACM schreef op 08 May 2003 @ 22:25:
[...]

Tuurlijk wel.

Ja, maar niet met de wiskunde die ik heb gehad

[Verwijderd]

Glimi : dat je nulpunten hebt als ax+b == cx+d lijkt me inderdaad logisch.

Maar kun je uitleggen hoe je zo stellig kunt zijn dat D>0 voor alle andere situaties?

[Verwijderd]

Ik zat weer eens veel te moeilijk te denken. Kuntselsmurf heeft i.d.d gelijk. Bedankt, stom van mij.

BTW: Glimi: "Bij ax +b == cx +d zal je D = 0 krijgen". Klopt maar je krijgt ook D = 0 als er bijvoorbeeld een factor verschil is tussen a,b en c,d:

2x + 4 = 0
2x = -4
x = -4/2 = -2

4x + 8 = 0
4x = - 8
x = -8/4 = -2

[ACM]

maar kan je die waarden ook krijgen?

[Glimi]

Verwijderd schreef op 08 May 2003 @ 22:39:
BTW: Glimi: "Bij ax +b == cx +d zal je D = 0 krijgen". Klopt maar je krijgt ook D = 0 als er bijvoorbeeld een factor verschil is tussen a,b en c,d:
(...)

Klopt, het gaat over alle sommaties van 1 tot [oneindig] van de factor waarmee de formule vermenigvuldigd

[SWfreak]

Worteltrekken uit negatieve getallen kan alleen in de complexe getallen. In de reeele getallen (zoals die bij normale middelbare schoolwiskunde wordt gebruikt) is dit niet mogelijk. Complexe getallen worden geschreven als een tupel van twee reeele getallen (a, b). Het bijbehorende getal is dan a +ib, waarbij i^2 == -1. Met deze definitie kun je dus nog steeds geen wortels trekken uit negatieve getallen! Andere mensen (vooral natuurkundigen geloof ik) schrijven a + jb, waarbij j == wortel( -1 ). Is een kwestie van smaak, maar ik vind de vorm met i^2 == -1 een stuk mooier.

Wat ik eigenlijk eens interessanter vind is een bewijs waarom de abc stelling klopt. Toch eens graven in mijn wiskunde archieven

[ Voor 8% gewijzigd door SWfreak op 08-05-2003 22:53 ]

[Verwijderd]

Fr3aKER schreef op 08 May 2003 @ 22:19:
misschien een beetje te simpel: Een wortel van een negatief getal kan niet

Complexe getallen...

[ACM]

SWfreak schreef op 08 mei 2003 @ 22:50:
Met deze definitie kun je dus nog steeds geen wortels trekken uit negatieve getallen!

Waarom niet

wortel(-(b^2)) = wortel(-1) * wortel(b^2) = i * b... (of -i * b)
oftewel:
wortel(-b) = wortel(-1) * wortel(b) = i * wortel(b) (of -i * wortel(b))

kan toch prima met die definitie en de al bestaande simpele wiskundige regels? (a*b = b*a enzo)

[ Voor 5% gewijzigd door ACM op 08-05-2003 23:18 ]

[PieterJ]

ACM schreef op 08 mei 2003 @ 23:13:
[...]

Waarom niet

wortel(-(b^2)) = wortel(-1) * wortel(b^2) = i * b... (of -i * b)
oftewel:
wortel(-b) = wortel(-1) * wortel(b) = i * wortel(b) (of -i * wortel(b))

kan toch prima met die definitie en de al bestaande simpele wiskundige regels? (a*b = b*a enzo)

Klopt. Maar als je vanaf kind af aan geleerd is dat een de wortel uit een negatief getal niet kan, is dit voor de meeste mensen erg verwarrend.

[sirdupre]

SWfreak schreef op 08 mei 2003 @ 22:50:
Wat ik eigenlijk eens interessanter vind is een bewijs waarom de abc stelling klopt. Toch eens graven in mijn wiskunde archieven

Ik weet nog wel dat de leraar bij ons dat bewijs zo op het bord kalkte toen wij dat ding behandeld kregen. Maar gelukkig hoefde we het niet zelf te kunnen.... Ik ben ook wel eens benieuwd want dat was erg lang geleden.

[.oisyn]

Verwijderd schreef op 08 mei 2003 @ 22:23:
Bewijs het volgende:

D => (ad + bc)^2 - 4ac * bd

bewijs wat? Daar staat geen stelling, alleen een expressie

Maar met je topicstart erbij wil je denk ik bewijzen dat D >= 0, voor elke a, b, c en d C |R ?

Wanneer is D < 0?
als (ad + bc)² < 4abcd

We nemen x = ad, en y = ac

x² + y² + 2xy < 4xy

nu kun je bij links en rechts 2xy eraf halen

x² + y² < 2xy

Even voor we de kwadraten gaan wegwerken: het kan natuurlijk nooit dat x² + y² < 0 voor x, y C |R
links en rechts delen door xy

x/y + y/x < 2
x/y + 1/(x/y) < 2
z + 1/z < 2

Dit is natuurlijk waar voor z < 0, maar dat komt niet overeen met de stelling van hierboven dat x² + y² >= 0

We moeten z dus zoeken in z >= 1. Waarom alleen waarden groter of gelijk aan 1? Omdat als het tussen 0 en 1 ligt, z en 1/z omdraaien, waardoor je dus dezelfde stelling krijgt (en z < 0 kon natuurlijk al niet)

Eerst gaan we even zoeken wanneer z + 1/z = 2
dat is als z = 1

Maken we even een afgeleide van f(z)
f(z) = z + 1/z = z + z^-1
f'(z) = 1 - z^-1

f'(1) = 0, daar loopt ie dus horizontaal
Verder is te zeggen dat f'(z) > 0 als z > 1. Want, als z > 1, dan 0 < z^-1 < 1.

Dus vanaf z = 1 loopt de richtingscoefficient alleen maar omhoog, waardoor z + 1/z nooit kleiner kan worden dan 2

Conclusie:
(ad + bc)² - 4abcd >= 0 voor alle a, b, c, d C |R

[ Voor 3% gewijzigd door .oisyn op 08-05-2003 23:53 ]

[.oisyn]

Nog een ander bewijs, een spinoff vanaf x² + y² < 2xy

Neem r = x - y. Je kunt de berekening dan schrijven als:

x² + (x - r)² < 2x(x - r)

2x² - 2rx + r² < 2x² - 2rx

links en rechts 2x² - 2rx weghalen

r² < 0

en dat is natuurlijk altijd onjuist voor elke r C |R


(persoonlijk vind ik dit bewijs iets mooier dan mijn vorige )

[ Voor 36% gewijzigd door .oisyn op 09-05-2003 00:52 ]

[esf]

SWfreak schreef op 08 May 2003 @ 22:50:

Wat ik eigenlijk eens interessanter vind is een bewijs waarom de abc stelling klopt. Toch eens graven in mijn wiskunde archieven

Dit heb ik ooit op de havo gedaan. Zie hier het document:
http://wwwhome.cs.utwente.nl/~esf/abcformule.pdf

[.oisyn]

esf schreef op 09 May 2003 @ 00:52:
[...]


Dit heb ik ooit op de havo gedaan. Zie hier het document:
http://wwwhome.cs.utwente.nl/~esf/abcformule.pdf

was het voor school? Wat voor cijfer heb je ervoor gekregen? Want ik vond m nogal onduidelijk. Ik heb m echt een aantal keren door moeten lezen voordat ik eindelijk begreep waar je heen wilde

[esf]

Ja je hebt gelijk, ik heb hem net nog een keer doorgelezen, maar toen ik hem schreef begreep ik het geheel beter dan dat ik nu doe. Vooral de stappen halverwege de tweede pagina zou zijn een beetje onduidelijk verwoord. De methode heb ik gebruikt omdat het moeilijk is om x^2 + b/a * x + c/a op te delen in factoren. Daarom ben ik eerst toegegaan naar iets wat er op lijkt om vervolgens aan de andere kant van het gelijkteken het verschil weg te werken.

Het cijfer weet ik niet meer precies, maar volgens mij was het wel hoog omdat het niveau van het bewijs een stuk hoger lag dan wat eigenlijk de bedoeling was. We moesten volgens mij een stelling naar keuze bewijzen.

[ Voor 26% gewijzigd door esf op 09-05-2003 11:53 ]