Wat is beweging?

[Verwijderd]

Er bestaat zo'n redenering (er bestaan er zelfs wel meer ), die suggereren dat beweging min of meer een illusie is. Zeno van Elea (490-430 v. Chr.) had meerdere argumenten tegen 'beweging' bedacht. Onder andere de paradox van de schildpad en Achilles. Een quote:

Zeno van Elea

Zeno laat zien dat wat de tegenstanders van de leer beweren, nl. bestaan van veelheid en beweging tot absurditeit leidt. Hij maakt hierbij gebruik van het bewijs uit het ongerijmde. De twee strijdvlakken van Zeno staan hieronder vermeld.

Veelheid:
Zeno had wel 40 argumenten tegen de bewering dat er veelheid zou moeten bestaan. Twee worden er later door simplicius herhaalt. Het eerste argument die Simplicius gebruikt wordt hieronder herhaalt:

Wanneer een lijnstuk uit punten bestaat en een zekere grootheid heeft kan het gedeeld worden. Daar ieder deel tenminste twee punten telt(nl. de twee uiteinden) en daar de deling oneidig voortgezet kan worden bestaat het oorspronkelijke lijnstuk uit oneindig veel punten. De punten hebben een zekere lengte of ze hebben er geen. => het lijnstuk is oneindig lang of het is oneindig kort.

Argumenten tegen beweging:
Zeno geeft nog een tweede serie argumenten waarmee hij ook nog eens aantoont dat beweging niet kan bestaan:

In de eerste twee argumenten wordt tijd als een deelbaar kwantum beschouwd en wordt de vraag gesteld of het mogelijk is d.m.v. een beweging een bepaalde plaats in de ruimte te bereiken. De laatste 2: tijd wordt beschouwd als samenstelling van ogenblikken. welke de aard is van beweging die naar opvatting volgens de tegenstanders tussen het begin en het einde plaatsvindt. In beide paren behandeld het eerste argument over één beweeglijk lichaam, het tweede over twee.

a Het stadion: De renner die de eindstreep bereiken wil moet eerst de helft van het stadion doorlopen, daarna de helft van het overblijvende deel, en zo tot in het oneidige. Daar hij een oneindig aantal stroken af te leggen heeft, zal hij nooit bij de eindpaal komen.

b Achilles en de schildpad: Als de schildpad voor Achilles gestart is, zal deze, hoe vlug hij ook rent, haar nooit inhalen: Hij dient immers altijd eerst het punt te bereiken waartoe de schildpad gekomen was op het ogenblik dat hij vertrok. Wanneer hij daar aankomt, is het dier weer een eindje verder, enzovoort. De voorsprong van de schildpad vermindert steeds maar houdt nooit op te bestaan.

c De vliegende pijl: Op ieder ogenblik neemt de afgeschoten pijl een ruimte in die precies gelijk is aan zijn lengte. Hij is daar, gevat tussen beide eindpunten; hij beweegt niet, maar is in rust. Op het volgende ogenblik bevindt hij zich weer verder, maar ook daar weer in rust, enzovoort. De z.g. beweging is dus niets anders dan een reeks stilstanden.

d De rijen voorbij trekkende punten: Langs een baan A1 tot en met A8 glijden twee rijen punten, nl. B1 B2 B3 B4 en C1 C2 C3 C4, in tegengestelde richting maar met dezelfde snelheid, die nl. waarbij zij telkens op een ogenblik (of tijdskwantum) één punt (of ruimtekwantum) afleggen.

code:

code:
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 
B4 B3 B2 B1 -> 
         <- C1 C2 C3 C4

Een ogenblik nadat de beweging begonnen is, hebben B1 en C1 ieder een punt afgelegd en staan zij respectievelijk tegenover A5 en A4. Ze zijn elkaar dus reeds voorbij. Er moet echter daarvoor een moment zijn geweest waabij B1 en C1 op dezelfde hoogte waren, en dit ogenblik moet wel het eerste ogenblik geweest zijn na het begin van de beweging. Hiermee hebben we dan een nieuw ogenblik gevinden, waarvan de duur de helft is van het eerst vermelde ogenblik, of omgekeerd is het eerst vermelde ogenblik het dubbele van het nieuwe. Nu was de onderstelling van de tegenstanders juist dat de ogenblikken ondeelbare, aan elkaar gelijke tijdskwanta waren. Dus 1/2=1 of 1=2, wat de grieken zo uitdrukkelijk weten: 'de helft is aan het dubbele gelijk'. En dat is absurd.

Dit klinkt allemaal erg paradoxaal in de oren, maar ik denk dat hij misschien wel eens gelijk zou kunnen hebben. Ik kan verschillende verklaringen bedenken, maar eentje die mij logisch in de oren klinkt, is dat beweging niet vloeiend is. Zoals pixels op een beeldscherm niet vloeiend bewegen, doet materie dat ook niet. Op ieder afzonderlijk moment staat alles stil, en de som daarvan is beweging.

Ik weet dat s = vt, maar vergeet niet dat dat een formule is die de werkelijkheid probeert te beschrijven, die ook zo zijn beperkingen kan hebben. Ik denk dat deze formule, als we op het niveau van x 10 ^-heelveel gaan kijken, tot rare situaties kan leiden, omdat deze formule suggereert dat s alle waarden tussen bijvoorbeeld 1 en 0 aan kan nemen (dat zijn er oneindig veel), in een eindige tijd.

Mijn verklaring voor de paradoxen is dus dat materie bepaalde punten 'overslaat'. De materie verdwijnt op het ene punt, en verschijnt direct weer ergens anders. Dit kan verklaren hoe Achilles de schildpad in kan halen: Er komt een moment waarop de afstand tussen Achilles en de schildpad kleiner is dan de afstand die Achilles per tijdskwantum aflegt, en waar Achilles in één 'sprong' (die de materie als het ware maakt) de schildpad inhaalt. Daarbij zal hij het punt waar de schilpad zijn 'sprong' begint en eindigd beide overslaan.

(Voor de duidelijkheid: Met 'sprong' bedoel ik hier de materie die van een punt naar een ander punt 'springt' en daarbij alles wat tussen die twee punten ligt overslaat).

P.S: Ik beweer geenszins de waarheid in pacht te hebben; het is maar een hypothese die ik heb bedacht (en waarschijnlijk velen voor mij ) om het probleem van Achilles en de schildpad op te kunnen lossen. Wellicht zijn er ook mensen die een andere (wiskundige?) verklaring aan kunnen dragen.

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op 16 maart 2003 @ 10:45:
Er komt een moment waarop de afstand tussen Achilles en de schildpad kleiner is dan de afstand die Achilles per tijdskwantum aflegt, en waar Achilles in één 'sprong' (die de materie als het ware maakt) de schildpad inhaalt. Daarbij zal hij het punt waar de schilpad zijn 'sprong' begint en eindigd beide overslaan.

Misschien beter uitgedrukt:
De som van (A) de afstand tussen Achilles en de schilpad en ( de afstand die de schildpad in één tijdskwantum aflegt is kleiner dan (C) de afstand die Achilles in één tijdskwantum aflegt:

code:

S = Schildpad
A = Achilles

       S ------> S
A ----------------------> A

[odysseus]

http://gathering.tweakers...st_message/14962387#zeno1

In de bovenstaande link naar de FAQ staat duidelijk uitgelegd op welk punt Zeno fout zit (al komt wat kennis van Wiskunde B2 wel van pas). De Grieken beheersten nog niet de goede wiskunde om zijn ongelijk aan te tonen en konden zijn stellingen dus niet weerleggen.

[Verwijderd]

In de FAQ staan ook twee stukjes over de Zeno paradox:
Wat is de paradox van Zeno?
Hoe lost de moderne wiskunde de paradox van Zeno op?

Wanneer een lijnstuk uit punten bestaat en een zekere grootheid heeft kan het gedeeld worden. Daar ieder deel tenminste twee punten telt(nl. de twee uiteinden) en daar de deling oneidig voortgezet kan worden bestaat het oorspronkelijke lijnstuk uit oneindig veel punten. De punten hebben een zekere lengte of ze hebben er geen. => het lijnstuk is oneindig lang of het is oneindig kort.

Dit laat zien dat de Grieken nog niet veel begrepen hadden van oneindig. Zij trokken de conclusie dat een oneindig aantal, oneindig kleine punten hetzelfde is als oneindig maal nul en dus nul. Terwijl in de huidige wiskunde het heel normaal is dat een oneindige hoeveelheid oneindig korte stukken een normale lengte hebben (bijv. een integraal).

Wat ik mij afvraag en misschien kan iemand met veel quantummechanica kennis mij helpen is de vraag of tijd gekwantiseerd is. Zijn er uberhaupt fysische grootheden die volgens de quantummechanica niet gekwantiseerd zijn?

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op 16 maart 2003 @ 11:42:
In de FAQ staan ook twee stukjes over de Zeno paradox:
Wat is de paradox van Zeno?
Hoe lost de moderne wiskunde de paradox van Zeno op?

Dat wiskundige bewijs is heel interessant, maar ik kan 'm niet volgen. Dat zal gedeeltelijk liggen aan mijn wiskunde knobbel, maar ook omdat er meteen met variabelen worden gesmeten waar van ik niet weet wat ermee bedoeld wordt.

Limiet x gaat naar a van f(x) is gelijk aan c, als voor iedere epsilon > 0 er een delta > 0 bestaat zodanig dat als |x-a| < delta geldt dat |f(x) - c| < epsilon.

Wat wordt hier bedoeld met 'iedere epsilon' en 'iedere delta'? En wat zijn de variabelen a, x en c?

In dit geval, omdat we naar oneindig naderen, moet je in plaats van delta, kiezen voor alle m> N, met N een bepaald getal. Kies nu N> log epsilon/ log (x-1)

Wat wordt hier bedoeld met m en N?

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op 16 March 2003 @ 12:01:

Wat wordt hier bedoeld met 'iedere epsilon' en 'iedere delta'? En wat zijn de variabelen a, x en c?

dat is een zogenaamd epsilon-delta-bewijs

stel je hebt een functie f, die voor een f(x) niet gedefinieerd is, maar voor f(x+delta) wel. delta is in dit geval een heel klein getal. (ik hoop wel dat je weet wat een limiet is, anders wordt het vrij lastig te volgen gok ik:)) dat wil dus zeggen dat de limiet van f naar x een bepaalde waarde heeft, maar dat f(x) zelf niet noodzakelijkerwijs bestaat. dan is een epsilon-delta-bewijs dat er voor elke delta die je kleiner kiest dan de vorige, een epsilon (fout) is die ook weer kleiner is dan de volgende. iets formeler: epsilon = |f(x)-f(x-a)|, delta = |x-a|

a is dan een waarde dicht bij x, maar niet x, en c is denk ik in dit geval f(x-a).

dus hoe kleiner het verschil met de 'echte' x (die je eigenlijk wilt weten) is, hoe kleiner ook de fout is.

voorbeeldje: lim x->1 van f(x) = x^2 is gelijk aan 1, want hoe dichter je x bij 1 kiest, hoe dichter f(x) in de buurt van 1 komt. er is ALTIJD een x' die dichter bij (maar niet OP) x ligt, waardoor de waarde van f(x) dichter bij 1 komt.

[Verwijderd]

overigens heeft het onzekerheidsprincipe volgens mij al antwoord gegeven op deze paradox, door plaats niet 100% zeker te maken, zodat je een plaats ook nooit oneindig dicht kan benaderen met een object. je kunt niet zeggen "en nu is de hardloper DAAR", alleen "nou, hij zou wel eens zo'n beetje ongeveer in die richting kunnen zitten, maar pin me er niet op vast. ofzo."