Opgaven Wiskunde Olympiade 2003

[Verwijderd]

Zo, ik ben net klaar met de wiskunde olympiade, en het was niet bepaald makkelijk moet ik zeggen
Voor degenen die niet meegedaan hebben zijn hier de vragen:


• Geef antwoorden in exacte vorm!
• Gebruik van rekenmachines en formulekaarten is niet toegestaan

/me A opgaven *
A1	De getallen 1,2,3,4,5,6,7 en 8 moeten zo over de rondjes in de figuur worden verdeeld dat de som van de drie getallen op elk van de vier zijden van het vierkant hetzelfde is. Geef een oplossing waarbij geldt dat die som minimaal is.
A2	Een grote kubus EFGH ABCD staat met vlak ABCD op de grond. Het voorvlak ABFE is op het zuiden gericht. Els kan de kubus niet optillen maar wel zó kantelen dat één ribbe op zijn plaats blijft. Dus als ze de kubus bijvoorbeeld één keer naar het oosten kantelt dan komt valk BFGC op de grond en is vlak EFGH naar het oosten gericht. Vanaf de eerstgenoemde beginstand kantelt ze de kubus eerst vijf keer naar het oosten, vervolgens vijf keer naar het noorden, vervolgens vijf keer naar het westen en tenslotte weer vijf keer naar het zuiden. De kubus staat dan weer op zijn oorspronkelijke plaats, maar hoekpunten kunnen van plaats veranderd zijn. Geef alle hoekpunten die weer op hun oorspronkelijke plaats terecht gekomen zijn.
A3	In een regelmatige vierzijdige pirimide T PQRS waarvan alle ribben de lengte 1 hebben bevindt zich een kubus EFGH ABCD. Het grondvlak ABCD van de kubus ligt in het grondvlak PQRS van de piramide en de hoekpunten E,F,G en H liggen op de ribben PT, QT, RT en ST. Bereken de lengte van de kubus.
A4	Elk natuurlijk getal van twee cijfers kun je achterstevoren opschrijven. Zo kun je 15 omdraaien tot 51. Er zijn getallen van twee cijfers met de eigenschap dat het getal opgeteld bij zijn omgedraaide een getal oplevert dat het kwadraat is van een geheel getal. Bepaal alle getallen met die eigenschap.
A5	Binnen een cirkel met straal 2 bevinden zich twee even grote cirkels met straal 1 die elkaar uitwendig raken en de grote cirkel inwendig raken. Buiten de twee kleine cirkels en binnen de grote cirkel bevindt zich een kleinere cirkel die de andere drie cirkels raakt. Bereken de straal van die cirkel.
/me B opgaven *
B1	Boven de camping waarop Huub kampeert loopt een kabelbaan met n genummerde gondeltjes. De gondeltjes hangen in een lus op onderling gelijke afstanden. Na gondeltje 1 komt gondeltje 2, na gondeltje 2 komt gondeltje 3, enz. en na gondeltje n komt weer gondeltje 1. Op een bepaald moment kijkt Huub recht naar boven en ziet gondeltje 42 en 94 precies naast elkaar overkomen, 42 naar links en 94 naar rechts. Een tijdje later kijkt Huub van dezelfde plaats weer naar boven en ziet gondeltje 185 en 35 naast elkaar overkomen, 185 naar links en 35 naar rechts. Hoe groot is n?
B2	Gegeven is een rechthoekige driehoek ABC met AB=8, AC=15 en BC=17. Op de zijde AB ligt punt D en op de zijde AC ligt punt E zó dat • de oppervlakte van ADE gelijk is aan 3/4 van de oppervlakte van ABC en • de omtrek van ADE gelijk is aan de omtrek van BCED. Bereken de lengte van DE.
B3	Bepaal de kleinste waarde van n waarvoor geldt: 1+2+3+4+5+...+n is een veelvoud van 1000.
B4	Op een rooster wordt een soort spiraal als volgt getekend. De spiraal begint in punt (0,0) 1e stap: 1 naar rechts 2e stap: 1 diagonaal naar rechts boven 3e stap: 2 naar boven 4e stap: 2 diagonalen naar links boven 5e stap: 3 naar links 6e stap: 3 diagonalen naar links onder enz. In de figuur zijn de eerste 10 stappen getekend. Je hebt dan roosterpunt (8,-1) bereikt. Geef de coördinaten van het roosterpunt waarop de spiraal eindigt na 2003 stappen.
/me einde *

.edit:
Alle vragen staan erin, plaatjes ook.
Have phun!

[ Voor 34% gewijzigd door Verwijderd op 17-01-2003 17:03 ]

[Lord Daemon]

A4:
a, b in {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
11 * a + 11 * b = c^2
Dus: 11 * (a + b) = c^2

11 is een priemgetal, dus er volgt:

c = 11, de mogelijkheden voor a en b zijn:

a = 2, b = 9
a = 3, b = 8
a = 4, b = 7
a = 5, b = 6
a = 6, b = 5
a = 7, b = 4
a = 8, b = 3
a = 9, b = 2

Dus: 29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92

[Zoijar]

* Zoijar is zichzelf aan het schamen hehe

[ Voor 92% gewijzigd door Zoijar op 17-01-2003 17:28 ]

[Lord Daemon]

Zoijar, voor zowel even als oneven n geldt dat
Som = (n+1) * n/2

De op te lossen formule is dus:

(n+1) * n/2 = k * 1000

Ik laat het graag aan de lezen dit op te lossen.

[Zoijar]

doh, ja ik vergis me idd ... *schaam* Wilde het intuinitief oplossen zonder meteen sigmas en modulo te scrhijven...

[Verwijderd]

A1:

code:

1 6 7
5   3
8 2 4

_{(allemaal 14, weet niet of het nog lager kan)}

Woei, allemaal 13 nu:

code:

2 3 8
6   4
5 7 1

[ Voor 29% gewijzigd door Verwijderd op 17-01-2003 18:35 ]

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op 17 January 2003 @ 17:58:
A1:
_{(allemaal 14, weet niet of het nog lager kan)}

Woei, allemaal 13 nu:

je moet twaalf halen vriend

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op 17 januari 2003 @ 18:37:
[...]

je moet twaalf halen vriend

*bzzzz, brainstorm:
8+{3+1}
7+{4+1,3+2}
6+{4+2,5+1}

code:

1 8 3
5   7
6 4 2

[Diadem]

A2:

5 kantelingen = 1 kanteling

naar oosten -> BCFG onder
naar noorden -> CDGH onder
naar westen -> ABCD onder
naar zuiden -> BCFG onder

zo..

[Diadem]

A3: alle zijden 1. Beschouw doorsnede loodrecht op grondvlak door top. De zijden van deze doorsneden zijn: onderste zijde 1, beide andere zijdes: Sqrt[1-1/4] = 1/2 Sqrt[3]

Binnen deze driehoek willen we een vierkant, wat zijn de zijden van dit vierkant?

Hoogte driehoek: Sqrt[(1/2 Sqrt[3])²-1/4] = Sqrt[1/2]

Vergelijking voor schuine zijde: y = 2x * Sqrt[1/2] (zodat x-0->y=0 en x=1/2-> y = Sqrt[1/2]

y = 2x*Sqrt[1/2]
maar we weten ook dat: 1/2-x = 1/2 y (voorwaarde voor vierkant)
1 - 2x = y = 2x* Sqrt[1/2]
1 = 2x + 2x*Sqrt[1/2]
1 = x(2 + 2*Sqrt[1/2])
1 = x(2 + Sqrt[2])
x = 1 / (2 + Sqrt[2])

En de zijde van onze kubus is nu: 2 * (1/2 - x) = 1 - 2x = 1 - 2 / (2 + Sqrt[2]) = Sqrt[2] / (2 + Sqrt[2])

Antwoord: Sqrt[2] / (2 + Sqrt[2])

[Lord Daemon]

A5
Neem de driehoek waarvan de hoekpunten de hoekpunten van de drie kleine cirkels zijn. Dit is een gelijkbenige driehoek met zijden 2, 1+r en 1+r. De hoogte van de driehoek is 2-r. Hieruit volgt meteen dat 1² = (2-r)² = (1+r)², waaruit we zonder moeite concluderen dat r = 2/3.

B1
n = 202. Immers, in de eerste situatie zitten er 51 gondels tussen 42 en 94; dus moeten er ook 51 gondels tussen 185 en 35 zitten. Daarvan zijn er 34 vanaf 1, dus daarvoor moeten er nog 17 zitten. 185 + 17 = 202.

B2
AD * AE = 3/4 * AB * AC = 3/4 * 8 * 15 = 90

AD + AE = BD + CE + BC = BD + CE + 17 = 23 + 17 - AD - AE
2 * (AD + AE) = 40
AD + AE = 20

Dus:
AD + AE = 20
AD * AE = 90

Even kloten met een abc-formule en je hebt het.

[ Voor 46% gewijzigd door Lord Daemon op 17-01-2003 21:15 ]

[Verwijderd]

Lord Daemon schreef op 17 January 2003 @ 21:02:
[...]

B2
AD * AE = 3/4 * AB * AC = 3/4 * 8 * 15 = 90

AD + AE = BD + CE + BC = BD + CE + 17 = 23 + 17 - AD - AE
2 * (AD + AE) = 40
AD + AE = 20

Dus:
AD + AE = 20
AD * AE = 90

Even kloten met een abc-formule en je hebt het.

B2
oppervlakte driehoek = 0.5 * basis * hoogte
0.5 * AB * AC = 0.5 * 8 * 15 = 60
3\4 * 60 = 45
0.5 * AD * AE = 45
0.5 * (15-x) * (8-x) = 45

en dan is weer hetzelfde als:
(15-x) * (8-x) = 90
120 -15x -8x + x² = 90
x² -23x + 30 = 0

ax² +bx + c = 0
-B +/- wortel(B²-4AC)
----------------------
..........2a

ABC: (A=1, B=-23, C=30)
(23+wortel(-23²-120))/2
(23+wortel(409))/2
(23+20.223748)/2
43.223748/2
x=21.61184 -> kan niet
-of-
(23-wortel(-23²-120))/2
(23-wortel(409))/2
(23-20.223748)/2
2.7762516/2
x=1.3881258

Dan nu het schuine stuk berekenen, met pythagoras:
AD² + AE² = DE²
(15-1.3881258)² + (8-1.3881258)² = DE²
DE = wortel((15-1.3881258)² + (8-1.3881258)²)
DE = 15.13274594

• de oppervlakte van ADE gelijk is aan 3/4 van de oppervlakte van ABC en
0.5 * AB * AC = 0.5 * 15 * 8 = 60
3/4 * 60 = 45
0.5 * (AB-1.3881258) * (AC-1.3881258) = 0.5 * (15-1.3881258) * (15-1.3881258) = 44.99999992
Klopt op 0.00000008 na

• de omtrek van ADE gelijk is aan de omtrek van BCED.
AD = 8-1.3881258
AE = 15-1.3881258
DE = 15.13274594
omtrek ADE = (8-1.3881258) + (15-1.3881258) + 15.13274594 = 35.35648994

DE = 15.13274594
BC = 17
CE = 1.3881258
BC = 1.3881258
omtrek BCDE = 15.13274594 + 17 + 1.3881258 + 1.3881258 = 34.90900194
Klopt op 0.447488 na

/me heeft zo het gevoel dat die 2 onbekende stukjes niet evenlang moeten zijn

[ Voor 75% gewijzigd door Verwijderd op 18-01-2003 12:12 ]

[KnEuTeR]

Verwijderd schreef op 17 januari 2003 @ 23:39:
[...]

oppervlakte driehoek = 0.5 * basis * hoogte
0.5 * AB * AC = 0.5 * 8 * 15=60
3\4 * 90 = 45
0.5 * AD * AE = 45
0.5 * (15-x) * (8-x) = 45
en dan is weer hetzelfde als:
(15-x)(8-x)=45
120-15x-8x+x2=45
x2-23x+30=0
ABC: (A=1, B=-23, C=30)
x=21.61184 -> kan niet
v
x=1.3881258

Dan nu het schuine stuk berekenen, met pythagoras:
AD2+AE2=DE2
(15-1.3881258)2 + (8-1.3881258)2 = DE2
DE=wortel((15-1.3881258)2+(8-1.3881258)2)
DE=15.13274594

• Gebruik van rekenmachines en formulekaarten is niet toegestaan

gôh, jij kan goed hoofdrekenen

[xentric]

B4 Een snelle poging met simpele uitleg...

Na 1 rondje, dat uit 8 stappen bestaat, is de nieuwe oorsprong voor het volgende rondje (-2,-6). Hieruit zou je kunnen afleiden dat na een tweede rondje de nieuwe oorsprong ligt op (-4,-12).

2003 delen door 8 levert op dat je 250 rondjes plus 3 stappen kan maken.

Na 2000 stappen, ligt de oorsprong voor het volgende rondje op (-500,-1500) waarna de volgende stap grootte de helft van 2000 is, 1000 naar rechts dus....

Oorsprong van rondje 250 = (-500,-1500)
Stap 2001 naar rechts = (500,-1500)
Stap 2002 naar rechtsboven = (1500,-500)
Stap 2003 naar boven = (1500,501) <-- Let op, stap-grootte 1000+1 !

[ Voor 4% gewijzigd door xentric op 18-01-2003 03:55 ]

[Verwijderd]

KnEuTeR schreef op 18 januari 2003 @ 00:41:
[...]

[...]

gôh, jij kan goed hoofdrekenen

Ja sorry hoor, maar zoiets ga ik echt niet uit mn hoofd doen
_{klopt het antwoord??}

[Suffie]

ik ben ff b3 aan het berekenen, maar aangezien ik al 4 jaar geen middelbare school wiskunde heb gehad

hoe haal je wortel(x + y) uitelkaar zodat ze allebei een eigen "variabele" zijn?

edit: het antwoord is overigens 1999, maar waarom moet ik nog berekenen

[ Voor 20% gewijzigd door Suffie op 18-01-2003 14:38 ]

[Suffie]

B3

voorbeeld
1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45
Het gemiddelde van deze cijfers is 5, dus daarom == 9 * 5
test -> 1+2+3+4+5+6+7+8 = 8 * 4,5 = 36


DUS
formule -> n * (1/2 n + 1/2) = 1000x
waarbij n en x een geheel positief getal zijn, x = constant

y * z = 1000x waarvan z ongeveer een 1/2 y is. Daarom kan 1000x alleen tot stand worden gebracht als een van de 2 variabelen 1000 is.

dus n = 1000 of n = x
bij n = 1000 wordt x = 500 1/2 en dat kan niet, x is een geheel getal

DUS!
n = x
x * (1/2 x + 1/2) = 1000x
1/2 x + 1/2 = 1000
1/2 x = 999 1/2

x=1999
x=n
n=1999

[ Voor 28% gewijzigd door Suffie op 18-01-2003 15:13 ]

[Verwijderd]

B3

edit: het antwoord is overigens 1999, maar waarom moet ik nog berekenen

volgens mij is het antwoord 624
ik heb de formule (n+1)*(n/2)%1000==0 gevonden, en herleid tot (n²+n)/2000%1 = 0, maar hoe je dan aan die n komt weet ik niet goed; ik heb het dan maar laten doen door een javascriptje met de brute force techniek
als iemand kan zeggen hoe je het uit het hoofd kan berekenen?

DE = wortel((15-1.3881258)2 + (8-1.3881258)2)
DE = 15.13274594

ik heb ook B2 opgelost, en dit op de volgende manier:

A_ABC=(b*h)/2=(8*15)/2=60
A_ADE=(b*h)/2=60*(3/4)=45

(|AD|*|AE|)/2=45
(1) |AD|+|AE|=90

|AE|+|AD|+|DE|=|DE|+|BA|-|AD|+|AC|-|AE|+|BC|
2|AE|+2|AD|=|BA|+|AC|+|BC|
|AE|+|AD|=(|BA|+|AC|+|BC|)/2

(2)|AE|+|AD|=20

(1) & (2) en 2egraadsvgl: X²-SomX+Product=0

x²-20x+90=0

==> Discriminant=40
===> x₁=10+sqrt(10)=|AE|
===> x₂=10-sqrt(10)=|AD|

===>> a²+b²=c² ==> |DE|=sqrt(220)=2sqrt(55)=14.83239697..

dit is denk ik iets anders dan wat eerder gevonden werd, maar misschien zit er bij mij wel ergens een foutje in
maar ik heb wel de proeven gemaakt en die kloppen wel:

|AE|+|AD|+|DE|=|DE|+|BA|-|AD|+|AC|-|AE|+|BC|
10+sqrt(10)+10-sqrt(10)+2sqrt(55)=2sqrt(55)+8-(10-sqrt(10))+15-(10+sqrt(10))+17
34.83239697=34.83239697

en

(|AD|*|AE|)/2=(3/4)*(|AB|*|AC|)/2
45=45

iemand die de fout ziet?

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op 18 januari 2003 @ 15:04:
B2
...
maar ik heb wel de proeven gemaakt en die kloppen wel:

|AE|+|AD|+|DE|=|DE|+|BA|-|AD|+|AC|-|AE|+|BC|
10+sqrt(10)+10-sqrt(10)+2sqrt(55)=2sqrt(55)+8-(10-sqrt(10))+15-(10+sqrt(10))+17
34.83239697=34.83239697

en

(|AD|*|AE|)/2=(3/4)*(|AB|*|AC|)/2
45=45

iemand die de fout ziet?

De fout in mijn berekening dan...wil ik ook wel eens weten

[Goku33]

Dit zijn de antwoorden die ik heb opgeschreven:
A1

code:

3 8 1
7   5
2 4 6
som: 12

A2
Na een hoop geteken met grondvlakken, kwam ik op C & E.

A3
PR= V2 (wortel 2)
dan is EG V2/2
nu kan je de ribbe berekenen
((V2/2)/2)²+((V2/2)/2)²=VC (C van Phythagoras)
C -> 0,5

A4
Is al te vinden...

a, b in {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
11 * a + 11 * b = c^2
Dus: 11 * (a + b) = c^2

11 is een priemgetal, dus er volgt:

c = 11, de mogelijkheden voor a en b zijn:

a = 2, b = 9
a = 3, b = 8
a = 4, b = 7
a = 5, b = 6
a = 6, b = 5
a = 7, b = 4
a = 8, b = 3
a = 9, b = 2

Dus: 29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92

Had ik ook....

A5
Begreep ik geen donder van... ik heb maar 3/8 opgescreven voor de lol...

B1
94-42=52
52-35=17
185+17=202

202 gondeltjes

B2
Dit werd me ff te veel... ik kon niet achter Bd en CE komen...

B3
Wist ik niet...

Zelfs nu niet, dus ben ik uit wanhoop maar gaan tikken op mijn rekenmachine...
Ik kwam uit op n=200

B4
I don't know...

Ik zag dat je bij 13 verticaal op de 0 zat, en ik dacht dat zal bij 2003 ook wel zo zijn dan.
Dus heb ik maar (0,2003) opgeschreven...

[ Voor 2% gewijzigd door Goku33 op 18-01-2003 19:47 . Reden: woeps... foutje ]

[brokenp]

b2
conclusies uit het bovenstaande posts |AE|*|AD|=90
|AE|+|DE|+|AD|=|CE|+|DE|+|DB|+17
<<wegstepen |DE|>>
|AE|+|AD|=|CE|+|DB|+17
<<invullen |DB|:=|AB|-|AD|, |AB|=8>>
|AE|+|AD|=|CE|-|AD|+25
<<AD naar 1 kant halen>>
|AE|+2|AD|=|CE|+25
<<|CE|:=|AC|-|AE|, AC=17>>
|AE|+2|AD|=-|AE|+42
<<AE naar 1 kant>>
2|AE|+2|AD|= 42
<<delen door 2>>
|AE|+|AD|= 21

We hebben nu dus 2 stellingen,
P+Q=21, en P*Q=90
Er is na enkele controles eindig je op de getallen 6 en 15.\

edit: ff wat txt vett gemaakt

[ Voor 16% gewijzigd door brokenp op 18-01-2003 20:26 ]

[EdwinG]

brokenp schreef op 18 January 2003 @ 20:19:

<<|CE|:=|AC|-|AE|, AC=17>>

Helaas, BC = 17, AC = 15.

Ik kom er niet helemaal uit, maar volgens mij is AD tussen 6.8 en 6.9, AE tussen 13.1 en 13.2.

[Verwijderd]

Goku333 schreef op 18 januari 2003 @ 19:45:
Dit zijn de antwoorden die ik heb opgeschreven:
A1

code:

3 8 1
7   5
2 4 6
som: 12

Heee! Jatterd...die had ik al eerder gevonden.... (en dat zeg je wel bij A4 )

[ Voor 3% gewijzigd door Verwijderd op 18-01-2003 22:01 ]

[Verwijderd]

Pff van die vragen kreeg je allemaal een uitwerking Moeilijk he overtypen

[Lord Daemon]

Verwijderd schreef op 18 January 2003 @ 23:14:
Pff van die vragen kreeg je allemaal een uitwerking Moeilijk he overtypen

Ja, van die vragen die ik hier op W&L voor het eerst zag kreeg ik een uitwerking, en toen dacht ik: als ik die overtype, vindt iedereen me koel! Dus dat ben ik maar gaan doen.

[Avalanchez]

Verwijderd schreef op 18 januari 2003 @ 15:04:
B3


ik heb ook B2 opgelost, en dit op de volgende manier:

(|AD|*|AE|)/2=45
(1) |AD|+|AE|=90

iemand die de fout ziet?

leg dat eens even beter uit?
ik d8 dat het gebruik van rekenmachines niet was toegestaan

[ Voor 11% gewijzigd door Avalanchez op 20-01-2003 20:13 ]

[Avalanchez]

ohwja voor B2 heb ik dit gevonden:

1) opp. ADE = 3/4 * opp ABC = 3/4 * (8*15)/2 = 45

=> |AD|*|AE| = 90

2) omtrek ADE = omtrek BCED

dus: |AD|+|AE|+|DE| = |DE| + |BC| + |BD| + |CE|
= |AD|+|AE| = 17 + |BD| + |CE|

en dan gaan we hier een beetje met substitutie klooien; aangezien:

|AD| = 8 - |BD|
|AE| = 15 - |CE|

wordt dat:

8 - |BD| + 15 - |CE| = 17 + |BD| + |CE|
=> 8 +15 - 17 - 2|BD| - 2|CE| = 0 => |BD| + |CE| = 3

3) nogmaals met de laatst gevonden formule op gegeven nr. 2 substitutie toepassen:

|AD| + |AE| = 17 + 3 => |AD| + |AE| = 20

4) uit (3) volgde: |AD|+|AE| = 20

voor de lol gaan we dat ff kwadrateren: (|AD| + |AE|)² = 400
|AD|² + 2|AD|*|AE| + |AE|² = 400
ofte: |AD|² + |AE|² = 400 - 2*|AD|*|AE|

zoals uit (1) volgde: |AD|*|AE| = 90:
|AD|² + |AE|² = 400 - 2*90 = 400 - 180
|AD|² + |AE|² = 220

5) Stelling van pythogoras:
a² = b² + c²
ofte: |DE|² = |AD|² + |AE|²

uit (4) volgde |AD|² + |AE|² = 220...

einde:

|DE|² = 220
|DE| = sqrt(220), maar dat zal hoogstwaarschijnlijk niet kloppen omdat dat ook niet echt uit het hoofd te berekenen is... damn.

[edit]
kan iemand helpen zoeken waar de fout zit aub?

[ Voor 4% gewijzigd door Avalanchez op 20-01-2003 21:10 ]

[Goku33]

Ik had ook nog aan mijn wiskunde docent gevraagd over die B2:

code:

AE = Y
CE = 15-Y
AD = X
DB = 8-X

Oppervlakte driehoek ADE = 0.5*X*Y = 0.75*60 = 45
     --> XY = 90 --> Y = 90/X

Omtrek driehoek ADE = X + Y + V(X^2+Y^2) = 8-X+15-Y+17+V(X^2+Y^2)
     --> 2X+2Y=23
           terwijl Y=90/X

Nou moet het lukken

[Avalanchez]

Lord Daemon schreef op 17 January 2003 @ 21:02:
A5
Neem de driehoek waarvan de hoekpunten de hoekpunten van de drie kleine cirkels zijn. Dit is een gelijkbenige driehoek met zijden 2, 1+r en 1+r. De hoogte van de driehoek is 2-r. Hieruit volgt meteen dat 1² = (2-r)² = (1+r)², waaruit we zonder moeite concluderen dat r = 2/3.

hiervoor vind ik iets anders, nl:

A5:

daar is een driehoek in te herkennen met basis = 2, en 2 rechthoekszijden met elk een lengte van (r + 1).

4 = (r+1)² + (r+1)² => r² + 2r - 1 = 0 (pythagoras oid)
D = 8

r = -1 + 2 * sqrt(2)

B2

...

Even kloten met een abc-formule en je hebt het.

zie vorige post van mij... de discriminant kan ik niet uit mijn hoofd berekenen hoor...

[Verwijderd]

Avalanchez schreef op 20 januari 2003 @ 21:28:
[...]


hiervoor vind ik iets anders, nl:

A5:

daar is een driehoek in te herkennen met basis = 2, en 2 rechthoekszijden met elk een lengte van (r + 1).

4 = (r+1)² + (r+1)² => r² + 2r - 1 = 0 (pythagoras oid)
D = 8

r = -1 + 2 * sqrt(2)

De driehoek die je zag is neem ik aan de driehoek door de middelpunten van de cirkels. Die heeft alleen geen rechte hoek, dus je pythagoras gaat niet op.

Je kan wel, als je het punt (0,-2) ook meeneemt en die verbindt met de punten van de driehoek, r berekenen. Dan kom je op 2/3.

[Verwijderd]

xentric schreef op 18 January 2003 @ 02:58:
Oorsprong van rondje 250 = (-500,-1500)

Tot hier ben ik het met je eens.

Stap 2001 naar rechts = (500,-1500)

Elke oneven stap komt er 1 bij, dus bij de 2001e stap, is de stapgrootte volgens mij 1002 en geen 1001.

Stap 2002 naar rechtsboven = (1500,-500)
Stap 2003 naar boven = (1500,501) <-- Let op, stap-grootte 1000+1 !

Ik kom dan ook uit op (1502, 503).

[xentric]

Verwijderd schreef op 21 January 2003 @ 01:52:
Elke oneven stap komt er 1 bij, dus bij de 2001e stap, is de stapgrootte volgens mij 1002 en geen 1001.

Ik kom dan ook uit op (1502, 503).

Je hebt gelijk!

[Suffie]

bij B3 is de formule dus n * (1/2 n + 1/2) = 1000x

iemand die het tot een oplossing kan leiden?

[PhysicsRules]

Suffie schreef op 21 januari 2003 @ 12:57:
bij B3 is de formule dus n * (1/2 n + 1/2) = 1000x

iemand die het tot een oplossing kan leiden?

edit:
Oeps, foutje gemaakt. 5 kon dus toch.

n=375 is de laagste oplossing, met x=141

Ik heb een oplossing gevonden: n=624, met x=195

n*(1/2n+1/2)=1000x kan herschreven worden als n^2 + n = 2000x.
Dit betekent dat voor n in ieder geval moet gelden dat het laatste cijfer in het kwadraat, plus zichzelf 0 moet geven:

1^2 + 1 = 2
2^2 + 2 = 6
3^2 + 3 = 12
4^2 + 4 = 20
5^2 + 5 = 30
6^2 + 6 = 42
7^2 + 7 = 56
8^2 + 8 = 72
9^2 + 9 = 90
0^2 + 0 = 0

n zal dus op een 4, 5, 9 of 0 moeten eindigen.

Nu het eennalaatste cijfer.
Voor 4:
Aangezien 4^2+4 =20, moet met behulp van het eennalaatste cijfer hier nog 80 bijkomen zodat (t*10+4)^2 + t*10+4 = veelvoud van 100. Dus, met een beetje nadenken betekent dit dat 2*4*10*t + 10*t = 80 + k*100 (oftewel, ik wil dat ik een term krijg die eindigd op 80, de honderdtallen maken niet uit.)
Dus: 90t = 80 + k*100. Dit geldt voor t=2 (met k=1)

Nu heb ik dus dat n=...24. n=24 is niet correct, dus we moeten doorgaan.

Dezelfde truc kan ook worden uitgehaald voor de 3e decimaal:24*24 +24=600, dus we missen nog 400. Wederom doen we: 2*4*100*d + 100*d = 400 + k*1000, wat geeft dan 900d = 400+1000k ,wat geldt voor d=6 (met k=5).

Nu hebben we n=624, en dit blijkt een correct antwoord te zijn.

Ik heb de eerste stap ook voor 5, 9 en 0 geprobeerd, en het lijkt erop dat daar geen correcte antwoorden zijn, en dat n=624 dus het laagste antwoord is. Misschien dat iemand dat dus kan narekenen.
Als je dezelfde truc voor 5 doet, krijg je dat n=375 ook een correcte oplossing is,
voor 9 krijg je n=999, wat een stuk hoger is. Voor 0 krijg je het triviale n=0, wat natuurlijk niet geldt.

[ Voor 10% gewijzigd door PhysicsRules op 21-01-2003 15:45 ]

[Gnoom]

PhysicsRules schreef op 21 januari 2003 @ 15:08:

n=375 is de laagste oplossing, met x=141

n*(1/2n+1/2)=1000x kan herschreven worden als n^2 + n = 2000x.

Ik ben misschien zelf wel dom bezig hoor, maar

375*(187.5+.5)=70500, wat betekend x=1/2*141.

Heb je niet per ongeluk gedaan n^2+n=1000x ?

--
ik zie trouwens dat je inderdaad tot de duizend gaat:

Dezelfde truc kan ook worden uitgehaald voor de 3e decimaal:24*24 +24=600, dus we missen nog 400.

En dat aan het einde snap ik ook niet, de laatste decimaal kan toch wel 0 zijn

[ Voor 27% gewijzigd door Gnoom op 21-01-2003 17:06 ]

[PhysicsRules]

Gnoom schreef op 21 January 2003 @ 16:41:
[...]


Ik ben misschien zelf wel dom bezig hoor, maar

375*(187.5+.5)=70500, wat betekend x=1/2*141.

Heb je niet per ongeluk gedaan n^2+n=1000x ?

Ja, je hebt gelijk. Ben bij de 5 vergeten dat het in mijn versie een veelvoud van 2000 moet zijn. Die valt dus af, en n=624 is dus alsnog de laagste oplossing.

[...]
En dat aan het einde snap ik ook niet, de laatste decimaal kan toch wel 0 zijn

Nee, in elk geval niet als het getal kleiner is dan 1000. Een getal met een 0 geeft als kwadraat een getal met 2 nullen. (130^2=16900). Daar moet het getal weer bij opgeteld worden, en heb je per definitie een getal met slechts 1 nul. Conclusie, om een correct antwoord te krijgen, (een veelvoud van 1000), zul je dus minimaal een getal moeten nemen met drie nullen: (14000^2 = 196000000, plus 14000 geeft 196014000, wat een correct antwoord is, met x=98007.

[Verwijderd]

B2

(|AD|*|AE|)/2=45
(1) |AD|+|AE|=90

dit was een typfout, het moest zijn |AD|*|AE|=90
maar dit had geen invloed op mijn resultaat, en ik kwam net als jij wortel(220) uit

Avalanchez schreef op 20 January 2003 @ 20:06:
[...]
|DE| = sqrt(220), maar dat zal hoogstwaarschijnlijk niet kloppen omdat dat ook niet echt uit het hoofd te berekenen is... damn.

waarom zou dit niet kloppen? heeft iemand misschien nog de verschillende keuzemogelijkheden, of was dit zonder meerkeuze?

[Lord Daemon]

Avalanchez schreef op 20 januari 2003 @ 21:05:
|DE| = sqrt(220), maar dat zal hoogstwaarschijnlijk niet kloppen omdat dat ook niet echt uit het hoofd te berekenen is... damn.

Uhm, Sqrt(220) is toch gewoon een getal en dus een goed antwoord?

[Avalanchez]

Lord Daemon schreef op 21 januari 2003 @ 22:33:

[...]
Uhm, Sqrt(220) is toch gewoon een getal en dus een goed antwoord?

eh ja dan, maar ik dacht dat het allemaal natuurlijke getallen moesten zijn...

vraagje:
heb je in de nederlandse wiskunde olympiade geen multiple choice antwoorden?

[ Voor 1% gewijzigd door Avalanchez op 22-01-2003 20:11 . Reden: nu al teveel martini ]

[YouKnow]

Ehm nee, geen multiple choice. Bij de wiskunde kangoeroe wedstrijd wel. Daar was ik ook beter in (beste 10 NL, mocht naar duitsland, een week lang!) Hier moet ik me voor schamen... De winnaar van vorig jaar is een vriend, zal hem ook nog es vragen...