[meetkunde] Kan dit ruimtelijke figuur bestaan?

[Verwijderd]

Even een meetkundig probleempje.
Stel je het volgende figuur voor: een draadmodel met 64 knooppunten, en elk knooppunt heeft een rechte verbinding met 6 andere knooppunten. En alle verbindingen tussen de nodes zijn even lang. Het is dus een regelmatig figuur.

Hoe ziet dit figuur er in 3 dimensies uit? Kan iemand het uittekenen, bijv met een 3d programma? Is dit figuur meetkundig eigenlijk wel mogelijk?

[Freee!!]

Ik denk dat dit onmogelijk is, ik kan het in ieder geval niet visualiseren. Ik weet wel dat de voorwaarde 'alle verbindingen tussen de nodes zijn even lang' erg moeilijk gaat worden. Het ingewikkeldste figuur dat ik zo snel kan bedenken heeft 16 nodes, waarbij elke node een recht verbinding heeft met vier andere nodes (een hyper cubus) en daar zijn al niet alle verbindingen even lang.

[Verwijderd]

Dit kan niet.

De minimale "bouwsteen" van een regelmatig veelvlak is een gelijkzijdige driehoek. Dit betekent dat de hoek tussen twee lijnen vanuit een knooppunt 60 graden is. Als er dus 6 lijnen vanuit elk knooppunt vertrekken, is de totale hoek van die 6 lijnen 360 graden. Dit kan alleen als alle lijnen in 1 vlak liggen. En dan is je veelvlak niet gesloten.

[Verwijderd]

Ik heb niet gezegd dat het een regelmatig veelvlak zou moeten zijn... Er zijn niet noodzakelijkerwijs vlakken in het figuur, in principe alleen punten en lijnen.

En op zich, als je die laatste voorwaarde weg zou laten, dus dat verbindingen niet meer even lang hoeven te zijn, zou het dan wel kunnen? Zijn er manieren om dat uit te zoeken?

[zerok]

klinkt als een kubus met zijde 4.
alleen dan heb je aan de rande dat er niet 6 verbindingen zijn.

[Diadem]

Als we nu eens een raster nemen van 4x4x4

Alle 8 de hoekpunten hebben een dubbele verbinding met elk van hun buren.
Alle 24 randpunten hebben een dubbele verbinding met het dichtsbijzijnde hoekpunt, en daarnaast nog 1 extra verbinding met 1 van de 24 zijvlak-punten, die daarmee ook 6 verbindingen hebben.

Hiermee hebben we het gezochte figuur geconstrueerd.

[Diadem]

Verwijderd schreef op 10 januari 2003 @ 14:48:
Ik heb niet gezegd dat het een regelmatig veelvlak zou moeten zijn... Er zijn niet noodzakelijkerwijs vlakken in het figuur, in principe alleen punten en lijnen.

En op zich, als je die laatste voorwaarde weg zou laten, dus dat verbindingen niet meer even lang hoeven te zijn, zou het dan wel kunnen? Zijn er manieren om dat uit te zoeken?

Als de verbindingen niet evenlang hoeven zijn is het zelfs triviaal. Zet 64 stippen op een vel papier, en ga lijntjes trekken tussen de stippen. Het is triviaal om vanuit elke stip 6 lijntjes te laten lopen.

Als je het in 2 dimensies kunt kun je het ook in 3, door de plaats van de stippen aan het passen in 3 dimensies.

[Verwijderd]

Diadem schreef op 11 januari 2003 @ 21:23:
Als we nu eens een raster nemen van 4x4x4

Alle 8 de hoekpunten hebben een dubbele verbinding met elk van hun buren.
Alle 24 randpunten hebben een dubbele verbinding met het dichtsbijzijnde hoekpunt, en daarnaast nog 1 extra verbinding met 1 van de 24 zijvlak-punten, die daarmee ook 6 verbindingen hebben.

Hiermee hebben we het gezochte figuur geconstrueerd.

Niet dus. Elke node heeft 6 verbindingen met 6 *verschillende* andere nodes.

[Diadem]

Verwijderd schreef op 12 januari 2003 @ 01:22:
[...]


Niet dus. Elke node heeft 6 verbindingen met 6 *verschillende* andere nodes.

Dat zeg je nu pas.

[Verwijderd]

Dat zei ik in de openingspost al... Bovendien, als ook gegeven is dat de verbindingen recht zijn, hoe wil je dan meer dan 1 verbinding tussen 2 punten hebben?

[Diadem]

Verwijderd schreef op 12 januari 2003 @ 03:17:
Dat zei ik in de openingspost al... Bovendien, als ook gegeven is dat de verbindingen recht zijn, hoe wil je dan meer dan 1 verbinding tussen 2 punten hebben?

Dat staat er niet in de openingspost. Er staat dat de verbindingen moeten zijn met 6 andere knooppunten, oftewel je mag geen verbinding met jezelf maken. Dat doe ik niet.

Je kunt toch gewoon twee verbindingen op dezelfde plek hebben? Dat is wiskundig geen probleem hoor

Okay, ik geef toe dat mijn oplossing misschien niet heel erg mooi is, maar hij is wiskundig correct, en daar gaat het toch maar om?

Als je het bewijs herformuleert dat alle verbindingen met verschillende knooppunten moeten zijn, dan denk ik dat het niet mogelijk is. Maar ik zal er nog eens over nadenken.

[edit]
Als ik de lijnstukken oneindig lang mag maken lukt het. Maar dat mag zeker ook niet he?

[ Voor 6% gewijzigd door Diadem op 12-01-2003 13:22 ]

[Verwijderd]

Ik had dit topic ook op fok! geopend (http://forum.fok.nl/showtopic.php/251564/1/256) en daar kwam iemand met een 6d hyperkubus. Dus in 3d zal het inderdaad niet lukken, maar in 6d wel!

Het 1 na laaste figuur dus:

[Diadem]

Ah! Het is mogelijk! Ik heb het net bewezen.

Ik heb geen 3D programma ofzo helaas, het is dus lastig het bewijs hier te laten zien, maar ik ga een poging wagen.

Stel we hebben het volgende figuur:

code:

     ___ ___ ___ ___ 
    /\  /\  /\  /\  /\
   /__\/__\/__\/__\/__\
   \  /\  /\  /\  /\  /
    \/__\/__\/__\/__\/

Merk op dat alle nodes verbonden zijn met 6, 4 of 3 andere nodes. Merk op dat er totaal 16 nodes zijn. Stel je verder voor dat dit gelijkzijdige driehoeken zijn. Dus alle zijden even lang.

We plaatsen nu 4 van deze figuren in de ruimte, en wel zo dat elke 4 met elkaar corresponderende nodes samen een tetraeder vormen.

Tussen de nodes die al 6 verbindingen hebben brengen we nu helemaal geen verbindingen aan. Tussen de nodes die slechts 3 verbindingen hebben brengen we alle verbindingen van een tetraeder aan. Tussen de nodes die 4 verbindingen hebben construeren we een tetraeder waarvan 2 verbindingsbalken missen.

We hebben een figuur van 64 nodes, elke node verbonden met 6 evenlange, rechte, verbindingsstukken aan 6 verschillende andere nodes.

We hebben dus het gezochte figuur.

[Diadem]

Op papier was mijn figuur duidelijk. Zoals het er nu uitziet zou het ook een stapel kubussen kunnen zijn De bedoeling was dus dat dit een vlak figuur is, in 2 dimensies.

Maar een stapel kubussen kan ook. Alleen moet je er dan wel 1 laag afhalen, anders heb je 20 nodes in het figuur, en je moet er 16 hebben. Op dezelfde manier kun je dan een figuur van 64 nodes construeren, het is zelfs nog makkelijker omdat je geen nodes hebt die al 4 verbindingen hebben.

We hebben nu dus al 2 verschillende manieren om het gezochte figuur te contstrueren

[Verwijderd]

Als je in plaats van 64 knooppunten oneindig veel knooppunten mag hebben dan kan het. Elk punt heeft dan een lijn in de positieve x, y en z richting en in de negatieve x, y en z richting. Dan heb je een soort raster voor een onbegrensde drie dimensionale ruimte.

[Verwijderd]

ik kan mij die figuur niet voor de geest halen, denk niet dat het mogelijk is. oneindig is idd mogelijk maar 64???