[Wiskunde] Een vraagje over priemgetallen.

[Verwijderd]

Degenen die misschien een antwoord op mijn vraag kunnen geven weten vast wel wat Mersenne Priemgetallen zijn. Anders leg ik het wel even kort uit.
Mersenne priemgetallen zijn getallen: 2^n -1. Als n hierin een priemgetal is dan is er een kans dat 2^n -1 dat ook is.
Nu heb ik echter een bewijs nodig waarom als n een even getal is(niet 2) dat het antwoord van 2^n -1 GEEN priemgetal is.
Het klinkt logisch, maar het moet bewezen worden:(

Kan iemand mij hiermee helpen?

BVD

[Verwijderd]

2ⁿ is altijd te ontbinden in een kwadraat als n even is. Namelijk in 2^(n/2)2. Zo is 2⁸ gelijk aan 2⁴² = 16². Nu passen we de stelling a² - b²=(a+b)*(a-b) toe. Aangezien zowel a (= 2ⁿ) als b (= 1) kwadraten zijn, is het dus heel simpel (2ⁿ)-1 om te zetten in a² - b². Dus bestaan er gehele getallen (a+b) en (a-b) waarin (2ⁿ)-1 is te ontbinden. Dus is het nooit een priemgetal.

[ Voor 18% gewijzigd door Verwijderd op 19-12-2002 20:11 ]

[Verwijderd]

Overigens is hiermee dus bewezen dat elke macht van 2 die even is, min een kwadraat, geen priemgetal is.

[Verwijderd]

Wauw bedankt Daar heb ik wat aan :)Is iets anders dan een bewijs dat ik ergens ben tegengekomen wat in voor mij te hoog gegrepen Wiskunde taal was geschreven
Over die stelling die je ertussen gooit van a2 - b2=(a+b)*(a-b) heb ik echter nog een vraagje: Kan je die misschien uitschrijven? want die kende ik nog niet(echt? ^^)

Alvast bedankt voor deze misschien verdere toelichting. De rest van het bewijs begrijp ik volkomen, en ben daar zeer dankbaar voor.
P.S. IK had ook nog een andere vraag die iets anders is en misschien heel kort uit te leggen valt...

2^13.000.000 is een heel erg groot getal van maar liefst 4.000.000 cijfers achter elkaar...Hoe weet ik echter dat dit 4.000.000 cijfers achter elkaar zijn?
Ik snap alles van het werkstuk dat ik in elkaar geflanst heb, maar ik mag geen stukje onbewezen laten(vandaar ook de vraag naar de nadere toelichting van de stelling)

BVD

[ Voor 32% gewijzigd door Verwijderd op 19-12-2002 20:43 ]

[Verwijderd]

Is niet zo moeilijk toch? Gewoon uitvermenigvuldigen...

(a+b)*(a-b)=a² - a*b + b*a - b². de a*b tjes vallen tegen elkaar weg, en wat overblijft is a² - b².

[Verwijderd]

Die tweede vraag is een kwestie van machten in elkaar omrekenen. Het aantal nullen is gelijk aan de macht waarin je tien verheft, aangezien we een tientallig getalstelsel hebben. 2^13.000.000 = 10(^{log(213.000.000))}=10(^{13.000.000*log 2}) is ongeveer 10^3.900.000 is ongeveer 4 miljoen nullen.

Je maakt gebruik van de standaard-logarithmerekenregel log(a^b)=b*log(a) en van het feit dat log(a) en 10^a elkaar opheffen.

[ Voor 23% gewijzigd door Verwijderd op 19-12-2002 23:16 ]

[Verwijderd]

Je bent een slimme man. Dank jewel.

Over die stelling...Ik dacht dat er een + tussen stond....in plaats van een *...Dom

In ieder geval hartstikke bedankt. Iets wiskundigs gestudeerd of zo? Of wist je het gewoon toevallig?

[Verwijderd]

Nu heb ik echter een bewijs nodig waarom als n een even getal is(niet 2) dat het antwoord van 2^n -1 GEEN priemgetal is.
Het klinkt logisch, maar het moet bewezen worden:(

Sterker nog, 2ⁿ-1 kan zelfs alleen een priemgetal zijn als n zelf priem is.

Als n namelijk a*b is, dan is 2ⁿ-1 = 2^ab-1 deelbaar door 2^a-1 en 2^b-1.

Een intuitief "bewijs" hiervoor krijg je als je kijkt naar de binaire schrijfwijze van deze getallen: 2^a*b-1 bestaat uit ab enen, en 2^a-1 bestaat uit a enen. Door dat laatste getal b keer achter elkaar te zetten krijg je weer die ab enen, en een binair getal "b keer achter elkaar zetten" komt overeen met vermenigvuldigen met de som van een aantal machten van 2 (in dit geval 1+2^a+2^2a+..+2^(b-1)a).

Minimale voorwaarde voor 2ⁿ-1 om priem te zijn is dus dat n zelf priem is. Dit is echter niet genoeg: 2¹¹-1 is bijvoorbeeld deelbaar door 23.

Overigens, ik neem aan dat je op die 2^{13 miljoen} = 4 miljoen digits bent gekomen vanwege het tot nu toe grootst bekende (en waarschijnlijk 39ste) Mersenne priemgetal?
Zie ook hier over 2^13466917-1.

[MSalters]

Verwijderd schreef op 19 December 2002 @ 20:04:
2ⁿ is altijd te ontbinden in een kwadraat als n even is

Ja, en 2ⁿ is altijd te ontbinden in factoren 2^n-1 en 2, voor n>0. Alleen voor n=0 geldt dat 2ⁿ=2⁰=priem. Da's heel erg simpel. Ik denk dat je de -1 gemist hebt.

[ Voor 14% gewijzigd door MSalters op 20-12-2002 01:44 . Reden: <sup> doet't niet ]

[Verwijderd]

Ja, en 2ⁿ is altijd te ontbinden in factoren 2^n-1 en 2, voor n>0. Alleen voor n=0 geldt dat 2ⁿ=2⁰=priem. Da's heel erg simpel. Ik denk dat je de -1 gemist hebt.

Nou nee, ik denk eigenlijk dat je de hele pointe van mijn bewijs gemist hebt Want omdat ik de stelling a² - b² = (a+b)*(a-b) wil toepassen, moet ik bewijzen dat 2ⁿ en 1 beide kwadraten zijn. Voor 1 is dat niet echt moeilijk, voor 2ⁿ is dat alleen mogelijk als n even is, zodat n/2 een geheel getal is.