[Wiskunde] meetkunde bewijs probleem

[handige_harrie]

Een vraag van mij aan m'n wiskunde (b2) docent, waar hij incl. de hele klas (dus ook ikzelf) nog niet zijn uitgekomen.


aanvulling: de bovenste lijn is K, de onderste is L

Door kaatsen via de lijnen K en L de kortste weg van A naar B. Je kunt dit op twee manieren doen zoals je kunt zien.

De vraag was welke weg het kortste is (APQB, of ARSB), of dat ze even lang zijn. En om dit dan te bewijzen.

om het alvast iets overzichtelijker te maken:
ARSB = A"B"
APQB = A'B'

Als je A en B op de deellijn van K en L neemt, dan zijn beide wegen -logischerwijs- wel even lang.

_{hoewel het in de tekening misschien zo lijkt, zijn AR en PQ niet evenwijdig, dat wordt duidelijker als je A en B op andere punten kiest.}

[pirke]

Is dit niet heel erg afhankelijk hoe A en B gekozen zijn?

Zoals het nu op de tekening te zien is, lijkt mij APQB het kortste: A ligt dichter bij K en B ligt dichter bij L. Laat nu P op K liggen en Q op L. Je neemt dan een kortere omweg (tov rechtstreeks AB) dan via ARSB.

Andere verklaring: A' ligt rechts van A, A" ligt onder A. B' lig tussen B en B" in, logischerwijs zou je kunnen zeggen dat A'B' korter is dan A"B".

[edit]

Nog een andere kijk: de hoek APQ is veel botter dan ARS, na het 1e hoekpunt komt het langste stuk van de af te leggen baan, hoe horizontaler die gaat hoe efficiënter.

[edit 2]

Als je het snijpunt PQ met RS even Z noemt, kan je het opdelen in 2 problemen. Door simpel naar de vorm van de 2 vlakken (APZR en ZSBQ) te kijken, zul je zien dat in beide gevallen APQB efficiënter is.

[ Voor 41% gewijzigd door pirke op 04-12-2002 20:49 ]

[Lord Daemon]

Pirke, ik neem aan dat het voor willekeurige A en B en hoek alpha tussen de lijnen bewezen moet worden.

Ik heb er even naar zitten kijken, en je kan het natuurlijk gewoon met functies oplossen maar dat wordt heel erg vies en ik heb geen zin dat helemaal uit te schrijven.

Is er een simpel meetkundig bewijs? Of is het gewoon een smerig probleem?

[pirke]

Als het voor willekeurige A en B moet zijn dan is het niet te doen, puur om het feit dat APQB eerst naar K gaat en dan naar L en ARSB juist omgekeerd. Als APQB een optimale verbinding is, kan ARSB dat nooit zijn en omgekeerd.

Ik kan het zo zeggen: Als A dichter bij K ligt dan bij L en als B dichter bij L ligt dan bij K, dan is APQB de kortste verbinding.

[Lord Daemon]

pirke schreef op 04 december 2002 @ 20:56:
Als het voor willekeurige A en B moet zijn dan is het niet te doen, puur om het feit dat APQB eerst naar K gaat en dan naar L en ARSB juist omgekeerd. Als APQB een optimale verbinding is, kan ARSB dat nooit zijn en omgekeerd.

Wat bedoel je? Je kan toch voor willekeurige A en B bekijken welke route het snelste is? Natuurlijk zal niet steeds dezelfde route het snelste zijn, de grap is juist om een voorschrift te krijgen waarmee je bij elke A en B kan bepalen wat het snelste is.

[Virgol]

Ik plaats eerst het snijpunt van de twee lijnen in de oorsprong en laat de onderste lijn door d x as lopen. De andere lijn noem ik L₁=(l1,l2). Dan worden de punten:
A''=(a1,-a2)
B'=(b1,-b2)
A'=-A+2*L₁*<L₁,A>/(||L₁||²)
B''=-B+2*L₁*<L₁,B>/(||L₁||²)

Met <A,B> bedoel ik een inproduct tussen A en B.
Dan kunnen we de lengte van L₁ op 1 stellen:
A''=(a1,-a2)
B'=(b1,-b2)
A'=-(a1,a2)+2*(l1,l2)*<(l1,l2),(a1,a2)>
B''=-(b1,b2)+2*(l1,l2)*<(l1,l2),(b1,b2)>

A'-B'=-(a1,a2)+2*(l1,l2)*<(l1,l2),(a1,a2)>-(b1,-b2)
=(-a1-b1+2*l1*<(l1,l2),(a1,a2)>, a2-b2+2*l2*<(l1,l2),(a1,a2)>)
A''-B''=(a1,-a2)+(b1,b2)-2*(l1,l2)*<(l1,l2),(b1,b2)>
=(a1+b1-2*l1*<(l1,l2),(b1,b2)>,-a2+b2-2*l2*<(l1,l2),(b1,b2)> )

||A'-B'||²= Zooi1
||A''-B''||²= Zooi2

En er is geen leuke relatie tussen zooi1 en zooi2

[handige_harrie]

Lord Daemon schreef op 04 December 2002 @ 20:52:
Pirke, ik neem aan dat het voor willekeurige A en B en hoek alpha tussen de lijnen bewezen moet worden.

Juist, en uiteraard volgt de hoek alpha vanzelf uit de punten A en B.

Ik heb er even naar zitten kijken, en je kan het natuurlijk gewoon met functies oplossen maar dat wordt heel erg vies en ik heb geen zin dat helemaal uit te schrijven.

Hoe dan? Met verhoudingen, of met getalvoorbeelden? Als het met verhoudingen kan zou ik dat graag horen .

Is er een simpel meetkundig bewijs? Of is het gewoon een smerig probleem?

Er moet -naar mijn gevoel- toch een meetkundig bewijs te voeren zijn. Maar het is zeker een smerig probleem. Mijn B2-docent had nog nooit zoiets gezien.

pirke schreef op 04 December 2002 @ 20:43:
...verschillende oogpunten...

Om te beginnen is het handig eerst te bewijzen dat APQB niet even lang is als ARSB. Je bekijkt het nu vanuit een aantal manieren, maar om het te bewijzen (Q.E.D.) das een tweede. Want daar zit je nog wel een aantal stappen vanaf.

Andere verklaring: A' ligt rechts van A, A" ligt onder A. B' lig tussen B en B" in, logischerwijs zou je kunnen zeggen dat A'B' korter is dan A"B".

Helaas, ik kan je zo een voorbeeld tekenen wat aan je eisen voldoet maar waar A'B'niet korter is dan A"B". _{probeer zelf maar eens}

[handige_harrie]

Virgol schreef op 04 December 2002 @ 22:25:
*knip*

Dit is dus de "vieze functie"-methode neem ik aan? Ik heb er 5x naar gekeken, maar ik kan er geen pindakaas van maken . Dit is iig wiskunde in zit die ik nog nooit heb gehad.

Overigens is dit _{-als ik het goed heb?-} geen bewijs voor elke willekeurige A en B.

En het zou wel zo leuk zijn als het meetkundig bewezen kan worden.

[pirke]

handige_harrie schreef op 04 december 2002 @ 22:41:
[...]
Om te beginnen is het handig eerst te bewijzen dat APQB niet even lang is als ARSB. Je bekijkt het nu vanuit een aantal manieren, maar om het te bewijzen (Q.E.D.) das een tweede. Want daar zit je nog wel een aantal stappen vanaf.

Het is geen bewijs nee, maar een snelle interpretatie van het plaatje. Heb momenteel ook geen zin om een bewijs op te gaan stellen, sorry

[Lord Daemon]

[nohtml]

handige_harrie schreef op 04 december 2002 @ 22:41:
Juist, en uiteraard volgt de hoek alpha vanzelf uit de punten A en B.

Welnee? De hoek tussen de lijnen volgt niet uit A en B. (Uit A en B volgt een minimum voor die hoek, maar verder niets.)

Hoe dan? Met verhoudingen, of met getalvoorbeelden? Als het met verhoudingen kan zou ik dat graag horen .

Neem het punt waar de twee lijnen (die door PS en RQ dus) elkaar snijden als de oorsprong, en de coordinaten van A en B en de hoek tussen de lijnen als 5 variabelen; stel dan voor alles wat je nodig hebt functie voorschriften op en los de vergelijkingen die je krijgt op. Leuk? Nee.

[Verwijderd]

Bekijk deze bijzondere gevallen:

Neem A op K en B op L.
Dan geldt A=P en A=Q dus APQB = AB
Wegens de driehoek ongelijkheid is AB korter dan AR + RS + SB.

DUS:

l(APQB) < l(ARSB). (hierbij is dus l(APQB) de lengte van APQB

Op de zelfde manier geldt als A op L en B op K:

l(APQB) > l(ARSB).

Eerder werd al terecht gezegt als A en B op de conflictlijn van K en L geldt:

l(APQB) = l(ARSB)

verder als A en B op K geldt:
A=P en B=S =>
R=Q
=> APQB = AAQB = ARBB = ARSB

DUS in iedergeval is het afhankelijk van de positie van A en B welke het kortst is.

Verder even een belangrijke opmerking: l(APQB) en l(ARSB) continue functie van de A en B zijn.

Voor de algemene oplossing zullen we dus gevallen A dichter bij K, A dichter bij L, B dichterij K en B dichterbij L. Dus vier combinaties moeten beschouwen.
Ik ga nog ff meer nadenken misschien komt de algemene oplossing nog.

[FCA]

Wat hier stond is niet waar

[ Voor 90% gewijzigd door FCA op 05-12-2002 13:28 ]

[Lord Daemon]

Verwijderd schreef op 05 December 2002 @ 12:43:
Verder even een belangrijke opmerking: l(APQB) en l(ARSB) continue functie van de A en B zijn.

Voor de algemene oplossing zullen we dus gevallen A dichter bij K, A dichter bij L, B dichterij K en B dichterbij L. Dus vier combinaties moeten beschouwen.

Dat zie ik niet? Uit het feit dat de twee functies continu zijn kan je toch niet afleiden dat je maar 4 combinaties hoeft te bekijken?

[Virgol]

Mijn berekening is gewoon vector meetkunde en geld voor iedere A en B en voor iedere hoek tussen de twee lijnen zolang die niet evenwijdig lopen.

||A'-B'||²=(-a1-b1+2*l1*<(l1,l2),(a1,a2)>)²+(a2-b2+2*l2*<(l1,l2),(a1,a2)>)²

||A''-B''||²= (a1+b1-2*l1*<(l1,l2),(b1,b2)>)²+(-a2+b2-2*l2*<(l1,l2),(b1,b2)>)²

||A'-B'||²-||A''-B''||²=(-a1-b1+2*l1*<(l1,l2),(a1,a2)>)²+(a2-b2+2*l2*<(l1,l2),(a1,a2)>)²-(a1+b1-2*l1*<(l1,l2),(b1,b2)>)²-(-a2+b2-2*l2*<(l1,l2),(b1,b2)>)²

Wanneer er iemand is die dit kan plotten ofzo dat zou wel leuk zijn. Kun je ook meteen zien of ik geen fouten heb gemaakt met al die mintekens.

[ Voor 12% gewijzigd door Virgol op 05-12-2002 13:39 ]

[Lord Daemon]

Moeten die <*,*> dingen inproducten voorstellen?

En hoe moeten we iets plotten met zoveel niet gegeven variabelen?

[Virgol]

Ja dat zijn inproducten zoals ik in mijn vorige post stelde.
Hier nog een keer met de inproducten uitgeschreven:
||A'-B'||²-||A''-B''||²=(-a1-b1+2*l1*(l1*a1+l2*a2))²+(a2-b2+2*l2*(l1*a1+l2*a2))²-(a1+b1-2*l1*(l1*b1+l2*b2))²-(-a2+b2-2*l2*(l1*b1+l2*b2))²

Je zou een groot deel van de variabelen vast kunnen houden of er een hele berg filmpjes van kunnen maken waarin je steeds 1 variabele laat lopen

[ Voor 39% gewijzigd door Virgol op 05-12-2002 13:57 ]

[Verwijderd]

Waarom trek je geen lijn van A naar B"
En kaats je jezelf zo in een keer naar B. Dit is dan ook gelijk de kortste weg


grtz
Hommie

[Virgol]

Mathematica vind dit als lengte verschil:
lengte_verschil == 4(a2-b2-a1*l2²+a2*l2²-b1*l2²+b2*l2²+
Sqrt[(a1+a2+b1+b2)²*l2²*(1-l2²)])
en
lengte_verschil == 4(a2-b2-a1*l2²+a2*l2²-b1*l2²+b2*l2²-
Sqrt[(a1+a2+b1+b2)²*l2²*(1-l2²)])

[bankrupcy]

Dit was onzin

[ Voor 118% gewijzigd door bankrupcy op 05-12-2002 15:00 ]

[Lord Daemon]

Verwijderd schreef op 05 December 2002 @ 14:00:
Waarom trek je geen lijn van A naar B"
En kaats je jezelf zo in een keer naar B. Dit is dan ook gelijk de kortste weg

Dat was niet de opgave, wel?

[ Voor 17% gewijzigd door Lord Daemon op 05-12-2002 15:06 ]

[handige_harrie]

Lord Daemon schreef op 05 December 2002 @ 00:41:
[nohtml]
[...]
Welnee? De hoek tussen de lijnen volgt niet uit A en B. (Uit A en B volgt een minimum voor die hoek, maar verder niets.)

Ehm klopt je hebt gelijk, je hebt het over K en L.

De enige manier om te op te lossen is blijkbaar toch met een assenstelsel en vergelijkingen.

Zover ben ik gekomen:



Lengte lijnstukken:
A'B' = Sqrt((1²)+(6,5²))
A"B" = Sqrt((7²)+(3,5²))

A'C' = Sqrt((2²)+(6,5²))
A"C" = Sqrt((6²)+(3,5²))

A'D' = Sqrt((1²)+(7,5²))
A"D" = Sqrt((7²)+(4,5²))

A'E' = Sqrt((0²)+(6,5²))
A"E" = Sqrt((8²)+(3,5²))

A'F' = Sqrt((1²)+(5,5²))
A"F" = Sqrt((7²)+(2,5²))

========
verandering in lengte lijnstukken
(verschuivng naar rechts)
F -------> B -------> D_____verandering
(1)²_____(1)²______(1)²_____*
(5,5)²___(6,5)²____(7,5)²____(5,5+x)²
(7)²_____(7)²______(7)²_____*
(2,5)²___(3,5)²____(4,5)²____(2,5+x)²

(verschuivng naar boven)
C -------> B -------> E_____verandering
(2)²_____(1)²______(0)²_____(2-x)²
(6,5)²___(6,5)²____(6,5)²____*
(6)²_____(7)²______(8 )²_____(6+x)²
(3,5)²___(3,5)²____(3,5)²____*

[Lord Daemon]

Ik heb er alle vertrouwen in dat Virgol al de goede oplossing heeft gegeven - maar mooi is het niet.

[handige_harrie]

Ik ook hoor , alleen omdat ik dat niet kan volgen heb ik ook even neergezet hoe ver ik ben gekomen met mijn beperkte wiskunde-kennis.

[GeeBee]

Maakt dit het eenvoudiger?
Als je B' spiegelt in lijn k, krijg je B'''
Vervolgens is APQB = AB'''

Punten spiegelen in lijnen en afstanden berekenen tussen 2 punten kan vrij eenvoudig met parametervoorstellingen. GPU's doen niet anders

[handige_harrie]

GeeBee schreef op 05 december 2002 @ 21:48:
Maakt dit het eenvoudiger?
Als je B' spiegelt in lijn k, krijg je B'''
Vervolgens is APQB = AB'''

Hmm das een aardige, zo kun je ook A', A" en B" spiegelen in resp. K, K en L:

A' spiegelen in L -> A"" -> A'B' = A""B
B' spiegelen in K -> B"' -> A'B' = AB"'
A" spiegelen in K -> A"' -> A"B" = A"'B
B" spiegelen in L -> B"" -> A"B" = AB""

_{de accenten zijn niet helemaal logisch gekozen, maar ik ben te lui om de nu te veranderen. Ik heb ook even geen zin om er een tekening bij te photoshoppen, want das knap lastig.}

AB"', A'B' en K snijden elkaar in 1 punt
A"'B, A"B" en K snijden elkaar in 1 punt
AB"", A""B en L snijden elkaar in 1 punt
AB"", A"B" en L snijden elkaar in 1 punt

A'B' = AB"' = A""B
A"B" = A"'B = AB""

Morgen eens kijken of daar meer uit te halen valt

[ Voor 24% gewijzigd door handige_harrie op 05-12-2002 22:34 ]

[GeeBee]

Ik gebruik een CADprogrammaatje voor dit soort dingen, het grappige is dat de rekenstappen bijna gelijk zijn aan de tekenstappen.



APQB = AB'' en ARSB = A''B is te bewijzen met gelijkvormigheid van driehoeken, maar dat laat ik graag aan jullie zelf over...

Ik denk dat ik voor de parametervoorstellingen de x-as op lijn l zou nemen en de y-as door punt A zou willen laten lopen. Volgens mij heb je dan de minste variabelen nodig.

[handige_harrie]

handige_harrie schreef op 05 December 2002 @ 22:33:
A' spiegelen in L -> A"" -> A'B' = A""B
B' spiegelen in K -> B"' -> A'B' = AB"'
A" spiegelen in K -> A"' -> A"B" = A"'B
B" spiegelen in L -> B"" -> A"B" = AB""

_{de accenten zijn niet helemaal logisch gekozen, maar ik ben te lui om de nu te veranderen.}

AB"', A'B' en K snijden elkaar in 1 punt
A"'B, A"B" en K snijden elkaar in 1 punt
AB"", A""B en L snijden elkaar in 1 punt
AB"", A"B" en L snijden elkaar in 1 punt

A'B' = AB"' = A""B
A"B" = A"'B = AB""

Hier dan de tekening:

_{Ik heb het snijpunt van AB"" en de cirkel (met middelpunt A en straal AB"') T genoemd, ook al komt het verder niet meer terug.}

Het gaat om de vergelijking tussen APQB en ARSB, dit kun je ook schrijven als A'B' en A"B".

Aangezien A'B' = AB"' en A"B" = AB"" gaat het dus om de vergelijking van AB"' en AB"".

Als je een cirkel trekt door B"' met als middelpunt A, dan gaat deze cirkel NIET door B""
->> bewijs dat AB"' niet even lang is als AB"" ->> A'B' en A"B" niet even lang ->> ARSB en APQB niet even lang .

Jammer dat je de cirkel moet gebruiken/tekenen, maar voor de rest is dit toch een geldig bewijs, niet?

[GeeBee]

Ik heb mijn tekening even aangepast, het spiegelen van A is helemaal niet nodig.

2× spiegelen van B, eerst in k dan in l (in blauw) en omgekeerd (in rood), vervolgens een cirkel tekenen met A als middelpunt en de rode of blauwe B'' op de straal geeft antwoord op je oorspronkelijke vraag.
In dit geval is de rode weg (dus APQB) de kortste weg.

[Lord Daemon]

Nee, dat is geen gedlig bewijs, want je bewijst niet dat de cirkel niet door B'''' gaat, dat zeg je alleen maar. Wel een mooi plaatje trouwens, want nu zien we dat als we de coordinaten van B''' en B'''' uitrekenen, de rest triviaal is; en het koele is dat deze niet van A afhangen.

Zij B = (Bx,By). Zij Hoek(K,L) = a.

B' = (Bx,-By)
B''' reken je nu uit door drie stappen te doen: roteer het hele valk - a radialen; spiegel B' in de nieuwe x-as; roteer het hele vlak a radialen. Een rotatie van het hele vlak rond hoek a is gelijk aan de transformatie (x,y) -> (x cos a - y sin a, y cos a + x sin a). Dus, gebruik makend van sin(-a) = - sin a en cos(-a) = cos a:

B'rot = (Bx cos a - By sin a, - By cos a - Bx sin a)
B'rot+spi = (Bx cos a - By sin a, By cos a + Bx sin a)
B''' = ( [Bx cos a - By sin a] cos a - [By cos a + Bx sin a] sin a, [By cos a + Bx sin a] cos a + [Bx cos a - By sin a] sin a)
Anders geschreven:
B''' = (Bx (cos²a - sin²a) - 2 By cos a sin a, By (cos²a - sin²a) + 2 Bx cos a sin a)

Eens verder kijken.

[Lord Daemon]

Mijn theorema, dat ik nog niet heb bewezen:

Laat O het snijpunt zijn van k en l. Trek de lijn m door de punten O en B. Kaatsen met het eerste kaatspunt op de bovenste lijn is korter dan en slechts dan als A 'boven' de lijn m ligt. Kaatsen met het eerste kaatspunt op de onderste lijn korter dan en slechts dan als A 'onder' de lijn m ligt.

Deze stelling volgt onmiddellijk als je kunt laten zien dat de punten die handige_harrie B''' en B'''' noemt (en die GeeBee in zijn laatste plaatje rode B'' en blauwe B'' noemt) elkaars gespiegelde zijn in de lijn m. Ik nodig de lezer uit dit met een meetkundige constructie te bewijzen. (Of te weerleggen.)

Ik ben er eigenlijk best wel van overtuigd dat het waar is, en dat zou een ultiem simpele oplossing voor het probleem zijn; dus mensen die goed zijn in koele tekeningetjes en meetkundige bewijzen: doe je ding!

[ Voor 16% gewijzigd door Lord Daemon op 06-12-2002 23:08 ]

[Verwijderd]

Lord Daemon schreef op 05 december 2002 @ 13:36:

[...]
Dat zie ik niet? Uit het feit dat de twee functies continu zijn kan je toch niet afleiden dat je maar 4 combinaties hoeft te bekijken?

Klopt. In principe. Maar voor de redenering waar ik naartoe wou maar nog niet af hadt, was dat continue wel van belang. Verder kloptte mijn redenering niet helemaal.

Mijn theorema, dat ik nog niet heb bewezen:

Laat O het snijpunt zijn van k en l. Trek de lijn m door de punten O en B. Kaatsen met het eerste kaatspunt op de bovenste lijn is korter dan en slechts dan als A 'boven' de lijn m ligt. Kaatsen met het eerste kaatspunt op de onderste lijn korter dan en slechts dan als A 'onder' de lijn m ligt.

Deze stelling volgt onmiddellijk als je kunt laten zien dat de punten die handige_harrie B''' en B'''' noemt (en die GeeBee in zijn laatste plaatje rode B'' en blauwe B'' noemt) elkaars gespiegelde zijn in de lijn m. Ik nodig de lezer uit dit met een meetkundige constructie te bewijzen. (Of te weerleggen.)

Ik ben er eigenlijk best wel van overtuigd dat het waar is, en dat zou een ultiem simpele oplossing voor het probleem zijn; dus mensen die goed zijn in koele tekeningetjes en meetkundige bewijzen: doe je ding!

Ik wilde naar zoiets toe inderdaad. Dit is trouwens de goede oplossing. Het bewijs is niet moeilijk. Ik had het donderdag al, maar heb het nog niet kunnen posten. (file staat op computer zonder Internet en ben net mijn cdrw vergeten, dus misschien maandag.

Het punt is dat je het plaatje uit de probleemstelling even moet vergeten. Door afzonderlijk A en B te spiegelen raak je in de problemen. Wat ik gedaan had was.

-Je kiest een vaste A. (B laat je voor alsnog onbepaalt)
-Je construeert twee punten A^KL en A^LK. Door respectievelijk A eerst in K dan in L te spiegelen en omgekeerd.
-A^KL en A^LK liggen nu zo dat ARSB en APQB altijd rechtelijnen vormen. (l(ARSB)=d(A^LK,B) en l(APQB)=d(A^KL,B)
-Laat m de conflictlijn tussen A^KL en A^LK zijn.
-Uit de definitie van de conflictlijn volgt nu: l(ARSB)=l(APQB) desda B op de conlictlijn m ligt.
- Nu volgt uit mijn eerdere opmerking dat l(ARSB) en l(APQB) continu zijn dat. Als B dichterbij A^KL ligt (dus onder m), l(APQB) het kortst is. En als B dichterbij A^LK ligt (dus boven m), l(ARSB) het kortst is.


Lijn m is trouwens de lijn die Lord Deamon noemde in zijn theorema. Dit moet niet te moeilijk na te gaan zijn.

[ Voor 75% gewijzigd door Verwijderd op 06-12-2002 23:59 ]

[Lord Daemon]

Verwijderd schreef op 06 december 2002 @ 23:26:
- Nu volgt uit mijn eerdere opmerking dat l(ARSB) en l(APQB) continu zijn dat. Als B dichterbij A^KL ligt (dus onder m), l(APQB) het kortst is. En als B dichterbij A^LK ligt (dus boven m), l(ARSB) het kortst is.

Dat volgt helemaal niet uit continuïteit? Ik zie niet direct welke eisen je wel aan de functies l moet stellen om de conclusie te laten volgen (iets met het niet hebben van minima en maxima op het hele domein behalve B, als A de vrije variabele is, of zo), maar met continuïteit ben je er zeker niet.

Voor de goede orde, een functie f is continu als de limieten van alle mogelijke kanten van de functiewaarde in een bepaald punt G, dat in een open gebiedje ligt dat in het domein van f ligt, gelijk zijn. Dus de functie f(x) = { 0 als x < 0, 1 als x>= 0 } is niet continu, en de functie f(x) = sin(x) + abs(x) wel.

(Nu komt er vast een wiskundige mij bashen omdat mijn definitie niet helemaal correct is. )

[GeeBee]

Een bash is niet echt nodig hoor.
Iets simpeler gezegd: normaal heet een functie continu als overal op het domein de limietwaarde gelijk is aan de functiewaarde. Dus als er geen gaten en sprongen in de grafiek zitten.

Ik ben geen wiskundige, ik geef het alleen maar.

[Verwijderd]

Lord Daemon schreef op 07 december 2002 @ 01:18:

[...]

Dat volgt helemaal niet uit continuïteit? Ik zie niet direct welke eisen je wel aan de functies l moet stellen om de conclusie te laten volgen (iets met het niet hebben van minima en maxima op het hele domein behalve B, als A de vrije variabele is, of zo), maar met continuïteit ben je er zeker niet.

De voorwaarde die jij stelt volgt trouwens wel uit continuiteit (+ compactheid van domein. (en nu gaat een wiskundige mij bashen omdat het domein niet compact is. Maar als jeje beperkt tot het interessante deel wel)

De continuiteit is niet perse nodig. Met alleen meetkundige stellingen kom je er ook. Maar ik vermoed dat je die continutieit van de afstandsfunctie ook dan wel gebruikt. De situatie is namelijk zo dat we bepaalt hadden op welke plekken de afstanden gelijk waren. Wegens de continutieit van de afstand functies (continutieit zegt eigenlijk niks meer dan, dat als twee waarden in het domein bij elkaar in de buurt liggen, de functie waarden dan ook bij elkaar in de buurt liggen) is het nu genoeg om te laten zien dat er aan de ene kant een punt is waar de ene groter is en aan de andere kant een punt is waar de ander groter is. Immers als er aan een kant een punt zou zijn waar de een groter is en een punt waar de andere groter is, dan zou uit de tussenwaarde stelling (geldt als een functie continu is) volgen, dat er tussen een punt moet zijn waar de afstanden gelijk zijn.
Dus vandaar de continuiteit. Maar zoals ik zij volgt het ookal direct uit de stellingen over middenloodlijnen en conflictlijnen tussen twee punten.

Een bash is niet echt nodig hoor

Eigenlijk wel, Aangezien wat LD noemt alleen maar zegt dat de limiet in het punt bestaat. Hij zegt niks over dat de functie waarde gelijk moet zijn aan de limiet. Wat overigens slechts een uitspraak is die equivalent is aan continuiteit.
Continuiteit (in een metrische ruimte) is dat:
Er bij ieder e>0 een d>0 zodat als afstand(x,y) < d => afstand(f(y),f(x)) < e.

Maar ja das beside the point

[ Voor 12% gewijzigd door Verwijderd op 09-12-2002 14:23 ]

[GeeBee]

Je hebt gelijk.
Als ik het goed lees, zegt LD dat de limieten in een punt van alle kanten gelijk zijn maar niet dat die limieten ook gelijk moeten zijn aan de functiewaarden in dat punt.

[Sendy]

Perfect bewezen GeeBee. Keurig plaatje ook (je mist alleen de rechte hoeken en de dezelfde-lengte markertjes )

Ik heb op de middelbare school weleens geprobeerd zo'n assenstelsel te tekenen dat je in de wiskunde boekjes tegenkwam, zo'n scheve omgekeerde Y, waarop de eenheidslengte stond aangegeven.
Stel dus dat je met een niet-perspectieve (sp?) camera naar een 3-dimensionaal assenstelsel kijkt, hoe ziet het plaatje er dan uit?

Mijn leraar vertelde dat dat moeilijk te construeren is. Mij is het nooit gelukt . Misschien is dit iets voor een nieuwe uitdaging?

[Lord Daemon]

Verwijderd schreef op 09 December 2002 @ 14:17:
Eigenlijk wel, Aangezien wat LD noemt alleen maar zegt dat de limiet in het punt bestaat. Hij zegt niks over dat de functie waarde gelijk moet zijn aan de limiet. Wat overigens slechts een uitspraak is die equivalent is aan continuiteit.

Met je eerste verhaal over continuïteit kan ik het alleen maar eens zijn, maar weet je zeker dat je defintie van dat begrip wel klopt? Ik meen toch dat f(x) = {a als x<0, b als x>0, x=0 ligt niet in het domein} wel continu is als a = b, of vergis ik me dan?

[GeeBee]

Thuissendy schreef op 09 december 2002 @ 20:07:
Perfect bewezen GeeBee. Keurig plaatje ook (je mist alleen de rechte hoeken en de dezelfde-lengte markertjes )

Bedankt, maar die had ik eigenlijk weggelaten vanwege de duidelijkheid, maar je kunt ze krijgen hoor

Ik heb op de middelbare school weleens geprobeerd zo'n assenstelsel te tekenen dat je in de wiskunde boekjes tegenkwam, zo'n scheve omgekeerde Y, waarop de eenheidslengte stond aangegeven.
Stel dus dat je met een niet-perspectieve (sp?) camera naar een 3-dimensionaal assenstelsel kijkt, hoe ziet het plaatje er dan uit?

Mijn leraar vertelde dat dat moeilijk te construeren is. Mij is het nooit gelukt . Misschien is dit iets voor een nieuwe uitdaging?

Het lijkt me toch onnodig om in dit geval in 3D te denken? Laten we het niet moeilijker maken dan nodig is...

[Verwijderd]

Lord Daemon schreef op 09 december 2002 @ 21:34:

[...]
Met je eerste verhaal over continuïteit kan ik het alleen maar eens zijn, maar weet je zeker dat je defintie van dat begrip wel klopt? Ik meen toch dat f(x) = {a als x<0, b als x>0, x=0 ligt niet in het domein} wel continu is als a = b, of vergis ik me dan?

Die is zelfs continu als a ongelijk is aan b. Hij is namelijk continu in elk punt van het domein, maar dat houdt wel degelijk in dat ook de functiewaarde gelijk is aan de limiet, en niet alleen dat de limiet bestaat ("in alle richtingen gelijk is").

Je bedoelt waarschijnlijk dat je functie volgens bovenstaande definitie niet continu zou zijn in 0, maar 0 ligt niet in het domein en "continu in 0" betekent dus niks. Ook is het niet zo dat hij globaal niet continu kan zijn en overal lokaal wel - zeggen dat een functie continu is is hetzelfde als zeggen dat hij in elk punt van zijn domein continu is.

[ Voor 29% gewijzigd door Verwijderd op 10-12-2002 18:38 ]

[Verwijderd]

Lord Daemon schreef op 09 december 2002 @ 21:34:

[...]
Met je eerste verhaal over continuïteit kan ik het alleen maar eens zijn, maar weet je zeker dat je defintie van dat begrip wel klopt? Ik meen toch dat f(x) = {a als x<0, b als x>0, x=0 ligt niet in het domein} wel continu is als a = b, of vergis ik me dan?

Dan klopt mijn definitie toch. Als nul niet in het domein van f ligt dan is f gedefineerd op een topologische ruimte waar nul geen element van is. Ik geloof dat R/{0} nog steeds een metrische ruimte is met de standaard metriek. Dus dan klopt de definitie gewoon.
Overigens het gaat hier dus om de algemene definitie van continiteit op een topologische ruimte. Het domein van de functie is de topologische ruimte waarop hij gedefineerd is. Wat de definitie betreft bestaan punten buiten deze verzameling gewoon niet. Je hoeft dus niet te kloten met toevoegels als x zit in de doorsnede van een omgeving van y en het domein van f, zoals je wel moet doen op R.

Nog even een voorbeeld waar de definitie die jij eerst gaf niet altijd werkt. Neem het geval wat jij net noemde en defineer f(0)=c. Als c != a = b is f niet continu, maar volgens jou def. dus wel.